25. Künneth formulák — topológia

Künneth formulái segítségével topológikus terek direkt szorzatának a homológia- illetve kohomológia-csoportjait számíthatjuk ki. Ebben a fejezetben csak kohomológia-csoportokkal foglalkozunk. Természetesen léteznek ezekkel analóg, homológia-csoportokra vonatkozó formulák is, amelyek ugyanilyen módon bizonyíthatók.

25.1. Tétel (Künneth formula kohomológiára — I). Legyenek X és Y topológikus terek, F egy test. Ekkor a külső szorzat (lásd a 24.1. Konstrukciót) izomorfizmust indukál:

   (         )
Hn  X  × Y ;F  ~  ⊕    Hp (X; F) ⊗  Hq (Y ;F)
               =                  F
                  p+q=n

Bizonyítás. Következik a 9.2. Feladat állításából.

25.2. Tétel (Künneth formula kohomológiára — II). Legyenek X és Y topológikus terek, M és N modulusok az R gyűrű felett. Tegyük fel, hogy Hq(Y ; R) szabad R-modulus minden q-ra. Ekkor a külső szorzat (lásd a 24.1. Konstrukciót) izomorfizmust indukál:

    (               )
  n                   ~  ⊕      p            q
H    X ×  Y ;M ⊗  N   =       H  (X; M  ) ⊗ H (Y ;N )
                        p+q=n

Bizonyítás. Következik a 9.7. Tételből.