12. Lokális rendszerek, lapos nyalábok

12.1. Definíció. Legyenek X, Y , Z topológikus terek, f : Y X és g : Z X folytonos függvények. Azt mondjuk, hogy f és g izomorf X felett, ha van olyan h : Y Z homeomorfizmus, amelyet g-vel komponálva éppen f-hez jutunk. Ilyenkor használjuk még a következő kifejezéseket is: h egy relatív homeomorfizmus (X felett), Y és Y relatívan, vagy rostonként homeomorfak (X felett).

12.2. Definíció (nyaláb). Legyenek X, Y és F topológikus terek, f : Y X egy folytonos függvény. Azt mondjuk, hogy f lokálisan triviális, és F a rostja, ha X minden pontjának van olyan U környezete, amelyben az F|U : f-1(U) U megszorítás U felett izomorf az F × U U projekcióval. Ezeket az U feletti izomorfizmusokat lokális trivializációknak hívjuk. Ilyen esetben azt mondjuk, hogy f : Y X egy F-nyaláb (angolul: F-bundle), vagy másképpen, F Y f
→X egy nyaláb , vagy fibrált nyaláb (angolul: fibre boundle).

Ezt a fogalmat általánosíthatjuk tér-párokra is:

12.3. Definíció (tér-pár nyaláb). Legyenek (X,A) és (F,B) tér-párok, Y egy topológikus tér, f : X Y egy folytonos függvény. Azt mondjuk, hogy

f : (X, A) → Y
egy (F,B)-nyaláb, ha minden y Y pontnak van egy y Uy Y környezete, amelyre f-1(U y) homeomorf (F,B) × Uy-nal. Ha nem akarjuk hangsúlyozni, hogy mi a rost, akkor egyszerűen egyszerűen tér-pár nyalábról.

12.4. Definíció (Rost szorzat). Legyenek X, Y , Z topológikus terek, f : Y X és g : Z X folytonos függvények. Az Y éa Z X feletti rost-szorzatát így definiáljuk:

           {               ||           }
Y ×X  Z  =   (y, z) ∈ Y × Z |f (y) = g(z)
Amennyiben f és g lokálisan triviálisak F és G rosttal (12.2. Definíció), akkor Y ×XZ is lokálisan triviális F × G rosttal.

Nem csak topológikus terekből készíthetünk nyalábokat, hanem szinte minden geometriai vagy algebrai objektumból is. Erre jó példa a vektornyaláb fogalma, ahol a rostok vektorterek. Íme, egy másik variáció, ahol a rostok Abel csoportok, diszkrét topológiával:

12.5. Definíció (Lokális rendszerek). Legyen G egy Abel csoport, X egy topológikus tér. Lássuk el a G-t a diszkrét topológiával. Egy G rostú lokális renszer egy γ : Y X nyaláb G rosttal, amin értelmezve van egy folytonos Y × XY Y szorzás (rostonkénti, 12.4. Definíció), és amelyben a γ-1(U)~=G × U lokális trivializációk választhatók szorzás-tartó módon. (Ez értelmes, hiszen a G-beli szorzás ad egy természetes rostonkénti szorzást az G × U U nyalábon.)

12.6. Megjegyzés. A vektor-nyalábokhoz hasonlóan a lokális rendszerek is megadhatók áttérési függvényekkel. Itt most lineáris transzformációk helyett G automorfizmusait kell használni, és mivel most G topológiája diszkrét, azért az áttérési függvények lokálisan konstans Aut(G)-értékű függvények.

12.7. Konstrukció. Legye X egy ívszerűen összefüggő, lokálisan pontrahúzható tér, ˜
X jelöli az univerzális fedőterét. Legyen G egy Abel csoport, és ϕ : π1(X) Aut(G) egy csoport homomorfizmus (az ilyen homomorfizmusokat hívják reprezentációnak). Lássuk el G-t a diszkrét topológiával! A π1(X) csoport hat az X˜ téren és a G csoporton is, tekintsük a szorzat-hatást az X˜ × G téren. A hatás szerinti faktor egy G rostú nyaláb:

( ˜X × G)/π1 (X ) -→  X˜/ π1 (X ) ~= X
(2)

Ráadásul az X × G X nyaláb a G-koordinátán ható (relatív) szorzással egy lokális rendszert alkot, és a π1(X)-hatás felcserélhető ezzel a szorzással. Ezért a szorzás öröklődik a faktor térre is, (2) is egy G rostú lokális rendszer.

Könnyen látható, hogy pontrahúzható téren minden lokális rendszer triviális. Ebből következik, hogy minden X fölötti lokális rendszer megkapható ezzel a konstrukcióval.

12.8. Definíció. Az rostú lokális rendszereket lapos vektornyaláboknak hívjuk. Ezek tehát olyan vektor-nyalábok, amelyek megadhatók konstans áttérési függvényekkel — de most a rostok (vektorterek) topológiája diszkrét. Egy lapos nyalábok közti homomorfizmust lapos homomorfizmusnak mondunk, ha ebben a finomabb topológiában is folytonos — tehát lokálisan konstans mátrixokkal adható meg.

12.9. Megjegyzés. A 12.7. Konstrukcióban láttuk, hogy az X tér fölötti r rangú vektornyalábok bijekcióban vannak a π1(X) fundamentális csoport r-dimenziós (lineáris) reprezentációival.

12.10. Konstrukció (rostonkénti homológia). Legyen (F,B) egy tér-pár, f : (X,A) Y egy (F,B)-nyaláb, n 0 egész szám. Tegyük fel, hogy Y lokálisan pontrahúzható, megmutatjuk, hogy az egyes Hn(f-1(y); ) homológia-csoportok (ahol y végigfut Y pontjain) összeállnak egy lokális rendszerré (12.5. Definíció). Ez az f nyaláb rostonkénti homológiája, Hn(f; ).

A lokális rendszer alaphalmaza, és az Y -ra való vetítése:

     ⋃
Z =     Hn (f-1(y);ℤ ),  π : Z -→  Y
    y∈Y

H  (f -1(y);ℤ) ∈ h -π→  y     minden  y ∈ Y -ra.
  n
A vetítés rostjai Abel csoportok, izomorfak Hn(F,B; )-vel. Hátra van még, hogy topológiát adjunk a Z alaphalmaznak. Legyen U Y egy pontrahúzható nyílt halmaz. Minden y U pontra az f-1(y) f-1(U) beágyazás homotóp ekvivalencia, ez együttvéve kiadnak egy kanonikus bijekciót:
 -1       ⋃     (  -1      )      (  -1      )
π  (U ) =    Hn  f   (U );ℤ   →  Hn  f  (U );ℤ  × U
          y∈U
Lássuk el a Hn(f-1(U); ) homológia-csoportot a diszkrét topológiával, π-1(U)-nek pedig adjuk a vele bijekcióban álló H n(f-1(U); ) × U szorzat-topológiáját. Ezt minden U Y pontrahúzható nyílt halmazzal elvégezzük. Ez indukál egy topológiát az egész Z halmazon: egy részhalmaz pontosan akkor zárt, ha π-1(U)-ba eső része zárt minden U Y pontrahúzható nyílt részhalmazra.

12.11. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság, f : E M egy vektornyaláb. Tekintsük a TE, TM érintő-nyalábokat! Az f differenciálja egy df : TE f*TM nyaláb homomorfizmus, a magja TvE TE, a vertikális nyaláb. Ehhez választhatunk egy direkt komplementumot:

TE  = TvE  ⊕ ThE    ,    ThE  ~= f *TM
Egy ilyen direkt felbontást konnexiónak mondunk, ThE a horizontális nyaláb (ami persze függ a választásunktól). Több ekvivalens definíciót találsz még itt.

Egy N E részsokaság vízszintes, vagy horizontális, ha TN ThE, azaz N minden érintő-vektora vízszintes. Legyen G M egy sima görbe és e E egy pont amelyre f(e) G. Picard tétele (differenciálegyenletek megoldása) miatt létezik (egyetlen) olyan ˜G E sima görbe, amely átmegy az e ponton, és amelyre f(˜G) = G. Ezt a G felemelésének mondjuk. Ugyanezt a konstrukciót hívják még párhuzamos eltolásnak is (azaz G˜ „párhuzamos” G-vel).

Legyen most G egy hurok. Az e-ből induló ˜
G görbe másik végpontja nem feltétlenül hurok. Most e végigfut a nyaláb megfelelő rostján (ami egy V vektortér), így sok-sok vízszintes görbét kapunk. Ha a kezdőpontokhoz hozzárendeljük a végpontokat, akkkor egy V V monodrómia transzformációt kapunk. Nem nehéz belátni, hogy ez egy lineáris transzformáció. Ha most G végigfut az összes f(e)-ből induló hurkon, akkor az összes így kapott transzformáció egy zárt részcsoportot alkot GL(V )-ben, ezt hívjuk a konnexió holonómia csoportjának.

Láttuk, hogy M -beli görbéket mindig fel lehet emelni vízszintesen. Érdemes megvizsgálni, hogy mi a helyzet magasabb dimenziós részsokaságokkal:

12.12. Definíció. Legyen M egy n-dimenziós differenciálható sokaság, E M egy vektornyaláb. Egy konnexió lapos, ha E minden pontján keresztül húzható egy n-dimenziós vízszintes részsokaság.

Picard tételének sok-dimenziós változata, a Frobenius tétel. Ennek segítségével látható, hogy egy konnexió pontosan akkor lapos, ha bármely két vízszintes vektormező Lie zárójele ismét vízszintes. Ez ekvivalens azzal, hogy a konnexió konnexió görbülete nulla.

12.13. Megjegyzés. Legyen most E M egy vektornyaláb egy lapos konnexióval. Világos, hogy egymással homotóp hurkok vízszintes felemeltjei is homotópok, tehát a (fent definiált) monodrómia ad egy π1(M) GL(V ) reprezentációt, ezt hívjuk monodrómia reprezentációnak. Ez a reprezentáció ugyanaz, mint amit a 12.9. Megjegyzésben illetve a 12.7. Konstrukció-ban említünk.