9. Künneth Formulák — algebra

9.1. Feladat. Adott egy test. Lásd be, hogy minden vektortér-komplexus lánc-homotóp (2.14. Definíció) egy olyan komplexussal, amelynek nulla a differenciálja.

9.2. Feladat. Adott egy F test, legyenek K és L vektortér-komplexusok az F felett. Lásd be, hogy a külső szorzás (8.1. Tétel) ebben az esetben izomorfizmust indukál:

   (---------⋅)    ⊕
Hn  K ⋅ ⊗ F L ⋅ =      Hp (K ⋅) ⊗F Hq (L⋅)
                  p+q=n

Az előző két feladatot szeretnénk gyűrűkre általánosítani: a külső szorzás segítségével megpróbáljuk kiszámolni a direkt szorzat komplexus homológiáit. Mi most az egész számok gyűrűjére szorítkozunk, abel csoport együtthatókat használunk. (Az általános esethez nézd meg a Künneth spektrális sorozatot.)

9.3. Lemma. Adott egy R főideálgyűrű. Legyen F egy szabad R-modulusokból épült komplexus, tegyük fel, hogy Hn(F) is szabad minden n-re. Legyen H az a komplexus, melyben Hn = Hn(F), és a differenciálja nulla. Ekkor létezik egy F = HL felbontás, amelyben a L részkomplexus pontrahúzható (2.17. Következmény). Megjegyezzük, hogy ez a felbontás egyáltalán nem kanonikus!

Bizonyítás. Jelölje d a F komplexus differenciálját. A 2.1. Definíció miatt Im(d) Ker(d) F rész-komplexusok. Tekintsük a következő rövid egzakt sorozatokat:

           ⋅     ⋅         ⋅+1
0 →  Ker(d) `→  F  ↠ Im (d)   →  0
0 →  Im (d)⋅ `→ Ker(d)⋅ ↠ H ⋅ → 0
Világos, hogy a H hányados komplexus differenciálja nulla, és a 2.3. Definíció miatt Hn = Hn(F), ami egy szabad R-modulud. A 4.4. Tények (h) pontja miatt Ker(d)és Im(d) is szabad R-modulusokból állnak. Egyszerű diagram vadászat mutatja, hogy mindkét egzakt sorozat felhasad (nem kanonikusan). Ezért
  n     n        n         n+1
F  =  H  ⊕  Im (d)  ⊕ Im (d)   .
Könnyen látható, hogy az Im(d)nIm(d)n+1 összeadandók egy részkomplexust alkotnak, ami izomorf az Im(d) id
-→ Im(d) izomorfizmus leképezés-kúpjával. A 3.15. Lemma bizonyításában láttuk, hogy egy ilyen leképezés-kúp pontrahúzható.

9.4. Feladat. Dolgozd ki részletesen a 9.3. Lemma bizonyítását.

9.5. Tétel. Legyenek R egy főideálgyűrű, E és F  R-modulus komplexusok. (Alsó indexeket használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy Fn és Hn(F) szabad R-modulusok minden n-re. Ekkor a külső szorzás (8.1. Tétel) egy izomorfizmust ad:

   ( --------⋅)    ⊕
Hn   E⋅ ⊗R F ⋅ =       Hp (E⋅) ⊗R Hq (F ⋅)
                  p+q=n

Bizonyítás. A 9.3. Lemma ad egy F = H L felbontást, ahol a H részkomplexus differenciálja nulla, L pedig pontrahúzható (lásd a 2.17. Következményt). Látható, hogy Hn(F)~=Hn(H)~=Hn. Másrészt pedig

--------⋅ ~ --------⋅  --------⋅
E⋅ ⊗R F⋅ =  E⋅ ⊗R H ⋅ ⊕ E⋅ ⊗R L ⋅,
és az ERL tag pontrahúzható (lásd alább a 9.6. Feladatot). A E RH kettős komplexusban a vízszintes differenciál (a H-ből származó, lásd a 3. ábrán) nulla, ebből következik az alábbi direkt összeg felbontás:
            ⊕                   ⊕
E--⊗--H--⋅ ~=    (E   ⊗   H  ) ~=     (E    ⊗  H  (F ))
  ⋅ R   ⋅         ⋅-q  R   q          ⋅-q   R  q   ⋅
              q                  q
ahol a - q index azt jelenti, hogy az eredeti komplexusban minden komponens fokszámát q-val csökkentjük. Használva, hogy Hq(F) szabad R-modulus, az alábbi könnyű számolás mutatja a tétel igaz voltát:
    --------⋅       --------⋅
Hn (E⋅ ⊗R F⋅) ~= Hn (E⋅ ⊗R H ⋅) ~=
  ⊕                          ⊕
~=     H    (E-⊗---H--(F--)⋅) ~=     H    (E ) ⊗  H (F  )
        n-q  ⋅  R   q  ⋅           n-q  ⋅   R   q  ⋅
    q                          q

9.6. Feladat. Lásd be, hogy ha E, L  R-modulus komplexusok, és L pontrahúzható, akkor EL is pontrahúzható! (Ezt használtuk a 9.5. Tétel bizonyításában.)

9.7. Tétel. Legyenek R egy főideálgyűrű, E és F  R-modulus komplexusok. (Alsó és felső indexeket is használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Legyen továbbá M egy R-modulus. Tegyük fel, hogy Fn és Hn(F) szabad R-modulusok minden n-re. Ekkor a külső szorzás (8.5. Feladat) egy izomorfizmust ad:

   (-------------------⋅)    ⊕          (                          )
Hn  HomR  (E⋅,F ⋅ ⊗R M    ~=      HomR    Hp (HomR  (E⋅,M )),Hq (F ⋅)
                            p+q=n

Ötlet. A 9.5. Tétel bizonyítása majdnem szó szerint alkalmazható itt is.

9.8. Feladat. A 9.5. Tétel bizonyítását imitálva lásd be a 9.7. Tételt.