26. Általános Künneth tételek — topológia

26.1. Tétel (Künneth formula kohomológiára — III). Legyenek X, Y topológikus terek, M modulus az R gyűrű felett. Ekkor létezik az alábbi (nem kanonikus) izomorfizmus:

                           (             )
  n(          ) ~  ⊕      p      q(     )
H   X  × Y ;M   =       H   X; H   Y ;M
                  p+q=n
Ha R test, akkor Hp(X; Hq(Y ; M))~=Hp(X; R) Hq(X; M), és a fenti izomorfizmus inverze éppen a külső szorzat (24.1. Konstrukció, összegezve p + q = n-re).

Ötlet: Alkalmazzuk a 10.4. Tételt az következő szereposztásban:

                   ⋅        (           )
E⋅ = Δ ⋅(X, A ),  F  = Hom    Δ⋅(Y,B ),M  .

26.2. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a 26.1. Tétel tér-párokra vonatkozó általánosítását!

26.3. Tétel (Künneth egzakt sorozat kohomológiára). Legyenek X, Y topológikus terek, R nullosztómentes főideálgyűrű, M, N  R-modulusok. Tegyük fel, hogy az alábbi végességi feltételek közül legalább az egyik teljesül:

Hn(X; ) és Hn(Y ; ) végesen generált minden n-re,
Hn(X; ) végesen generált, minden n-re, és N is végesen generált.

Ekkor létezik az alábbi funktoriális rövid egzakt sorozat:

     ⊕      p            q            n(               )
0 →       H  (X, M ) ⊗ H  (Y ;N ) → H   X  × Y ;M  ⊗ N   -→
     p+q=n

      ⊕          (                    )
-→          Tor1  Hp (X, M ),Hq (Y ;N ) →  0
    p+q=n+1
Ez a sorozat (nem kanonikusan) felhasad.

Ötlet: Használd Eilenberg-Zilber tételt (22.1. Tétel), a 4.9. Lemmát, a 23.3. Tétel bizonyításában szereplő (7) azonosságot, és a 10.2. Tételt.

26.4. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a 26.3. Tétel tér-párokra vonatkozó általánosítását!

26.5. Feladat. Lásd be, hogy a 26.3. Tételben szereplő

 ⊕      p            q            n(               )
      H  (X, M ) ⊗ H  (Y;N ) →  H   X  × Y ;M  ⊗ N
p+q=n
homomorfizmus nem más, mint a külső szorzás (24.1. Konstrukció).

26.6. Feladat. Ha R test, akkor a 26.3. Tétel ad egy

  n(               ) ~  ⊕     p            q
H   X ×  Y ;M ⊗  N  =       H  (X, M  ) ⊗ H (Y ;N )
                       p+q=n
izomorfizmust (feltéve, hogy a végességi feltétel teljesül). Lásd be, hogy ez ugyanaz az izomorfizmus, mint amit a 26.1. Tétel ígér. (Sőt, a 26.5. Feladat alapján ez megegyezik a külső szorzással is.)

26.7. Feladat. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be a Künneth formulák (26.1 és 26.3) homológia-csoportokra vonatkozó variánsát. (Használd a 10.2. Tételt!)