24. Külső szorzás — topológia

24.1. Konstrukció (Külső szorzat — kohomológia). Tetszőleges X és Y topológikus térekhez, M és N modulusokhoz, p,q egészekhez hozzárendelünk egy

                                 (               )
Hp (X; M  ) ⊗ Hq (Y ;N )- ×→ Hp+q  X ×  Y ;M ⊗  N
külső szorzás homomorfizmust (angolul:cross product), ami minden változójában természetes transzformáció. A hozzárendelés az alábbi, tér-párokra vonatkozó konstrukció speciális esete, A = B = választással.

Legyenek (X,A) és (Y,B) olyan tér-párok (11.1. Definíció), melyekre {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció), és legyenek M, N modulusok. Tekintsük az alábbi diagramot, ahol az első lánc-homomorfizmus a 8.4. Feladatbeli külső szorzás, a másodikat pedig az Eilenberg-Zilber tételből (22.2. Következmény) kapjuk:

  Hom  (Δ (X, A ),M ) ⊗ Hom  (Δ (Y, B ),N )
          ⋅           |         ⋅
         (             ×               )
    Hom    Δ ⋅(X, A ) ⊗ Δ ⋅(Y, B ),M ⊗ N
                      |
     (                 EZ                  )
         (                        )
Hom   Δ ⋅ X × Y, (A × Y  ∪ X × B ) ,M  ⊗ N
Ha a kompozícióra alkalmazzuk a homológia funktort, és használjuk a 8.1. Tétel, akkor a külső szorzás (angolul:cross product) homomorfizmushoz jutunk:
                                     (                             )
Hp (X, A;M  )⊗Hq  (Y, B; N )-×→  Hp+q  X ×Y, (X  ×B ∪A  ×Y  );M ⊗N
Ez minden változójában természetes transzformáció.

24.2. Feladat (Külső szorzat — homológia). A 24.1. Konstrukció mintájára konstruáld meg az alábbi külső szorzás homomorfizmusokat:

                               (                )
                       ×
Hp(X; M  ) ⊗ Hq (Y ;N )- → Hp+q  X ×  Y;M  ⊗  N
                            ×       (       (              )       )
Hp (X,A; M  )⊗Hq (Y, B;N ) -→  Hp+q  X  ×Y,  X ×B  ∪A  ×Y   ;M ⊗N