8. Külső szorzás — algebra

8.1. Tétel. Legyenek K és L modulus komplexusok! Ekkor minden p,q párra létezik egy természetes külső szorzás (angolul cross product):

                  ×        --------
Hp (K ⋅) ⊗ Hq (L ⋅) -→ Hp+q (K⋅ ⊗ L⋅)
Gyakran érdemes az egyazon p+q = n értékekhez tartozó külső szorzásokat együtt, az alábbi direkt összegben vizsgálni:
 ⊕
     H  (K ) ⊗ H  (L )-×→  H  (K--⊗-L--)
       p   ⋅     q  ⋅       n   ⋅    ⋅
p+q=n

Bizonyítás. Jelölje , d illetve D a három komplexus (K, L és a szorzat) differenciálját! Tekintsük az alábbi részkomplexusokat:

Im (∂)  ≤ Ker (∂ ) ≤ K ,   Im (d) ≤  Ker(d)  ≤ L ,
     ⋅          ⋅    ⋅        ⋅         ⋅     ⋅

Im (D )⋅ ≤ Ker(D )⋅ ≤ K⋅ ⊗ L⋅.
Az alábbi relációk azonnal láthatók D definíciójából (5.2. Definíció):
Ker(∂)p ⊗ Ker (d )q  ≤  Ker(D )p+q,

(                                       )
  Im (∂)p ⊗ Ker(d)q +  Ker (∂)p ⊗ Im (d)q   ≤  Im (D)p+q.
Ezután a tétel következik az alábbai, a Q P és T S modulusokra vonatkozó azonosságból:
      ∕
P ⊗  S  (P ⊗  T +  Q  ⊗ S ) ~=  (P /Q) ⊗ (S/T )
(1)

8.2. Feladat. Igazold az (1) azonosságot!

8.3. Tétel. Legyen 0 A B E 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata, K egy modulus komplexus. Tegyük fel, hogy E lapos modulusokból áll, így még két egzakt sorozathoz jutunk:

0 →  A  ⊗ K  →  B  ⊗ K  →  E ⊗ K  →  0
       ⋅    ⋅    ⋅     ⋅    ⋅    ⋅

0 →  K ⋅ ⊗ A ⋅ → K ⋅ ⊗ B ⋅ → K⋅ ⊗ E⋅ → 0
Mindhárom sorozathoz tartozik egy-egy hosszú egzakt sorozat (2.6. Tétel), jelölje δ* a határ-homomorfizmusokat. Tetszőleges e Hp(E) és k  Hq(K) homológia-osztályokre teljesülnek a következő külső szorzat azonosságok:
δ*(e × k) = δ*(e) × k  ,    δ*(k × e) = (- 1)deg(k)k × δ*(e)

Bizonyítás. Jelölje d, és D a B, K és BK komplexusok differenciálját! Válasszunk az e, k elemekhez e Ep és k Kq reprezentánsokat! Az alábbi kommutatív diagramon a függőleges nyilak a k-val való külső szorzást reprezentálják:

  ----------   -----f------   ------g-----   ----------
0           A|⋅            B|⋅             E⋅          0
             |⊗k            |⊗k            |⊗k
                    f˜              ˜g
0 -------A ⋅ ⊗ K⋅ -------B⋅ ⊗ K⋅ -------E⋅ ⊗ K⋅ -------0
Mivel (k) = 0, azért a 2.6. Tétel szerint a δ*(e×k) homológia-osztályt az alábbi lánc reprezentálja:
    (              )       (              )
 ˜-1     - 1            ˜-1     - 1
f    D (˜g  (e-⊗ k))  = f    D (g  (e) ⊗ k)  =
      (                                         )
=  ˜f-1  d(g-1(e)) ⊗ k + (- 1)deg(e)g-1(e) ⊗ ∂/(/k) 0 =
              --   --                --   / --
    -1(   - 1   )
= f    d(g   (e-))  ⊗ k,
Itt a (-1)deg(e) előjel a szorzat komplexus differenciáljából (5.2. és 3.3. Definíciók) származik. Az utolsó sorból látható, hogy ugyanez a lánc reprezentálja a δ*(e) × k homológia-osztályt is. Ez bizonyítja az első azonosságot. Tekintsük most a másik oldalról való külső szorzást:
0 ----------A ⋅------------B ⋅------------ E⋅----------0
             |              |              |
          k⊗ |            k⊗|            k⊗|
  -------         -------        -------        -------
0        A ⋅ ⊗ K⋅        B⋅ ⊗ K⋅        E⋅ ⊗ K⋅        0
Az alábbi számolásban D* jelöli a B K szorzat differenciálját. Most is (k) = 0, tehát a 2.6. Tétel szerint a δ*(k × e) homológia-osztályt az alábbi lánc reprezentálja:
   (               )       (               )
˜f-1 D *(˜g- 1(k ⊗ e))  = f˜-1 D *(k ⊗ g-1(e))  =
            --  --              --      --
   ˜-1(    / 0    -1          deg(k)       - 1   )
=  f    /∂(/k)   ⊗ g  (e) + (- 1)    k-⊗ d(g   (e))  =
       deg(k)     -1(   - 1   )
= (- 1)    k-⊗ f    d(g   (e))
Itt a (-1)deg(k) = (-1)deg(k) előjel a szorzat komplexus differenciáljából (5.2. és 3.3. Definíciók) származik. Az utolsó sorból látható, hogy a (-1)deg(k)k × δ *(e) homológia-osztályt is ugyanez a lánc reprezentálja. Ez bizonyítja a második azonosságot.

8.4. Feladat. A 8.1. Tétel segítségével építs ilyen külső szorzatot is:

  p(             )    q(             )  ×    p+q(-----------------------)
H    Hom  (K⋅,M ) ⊗H     Hom  (L⋅,N )  -→  H     Hom   (K ⋅ ⊗ L ⋅,M ⊗ N )
Megint összegezhetjük az egyazon p+q = n értékhez tartozó szorzásokat:
 ⊕      (              )     (            )   ×     (----------------------)
     Hp   Hom  (K ⋅,M  ) ⊗Hq   Hom  (L ⋅,N )  - →  Hn  Hom  (K ⋅ ⊗ L ⋅,M ⊗ N )
p+q=n

Ötlet: Lineáris függvények szorzata bi-lineáris, ez ad egy (modulusokra vonatkozó) funktoriális homomorfizmust:

Hom  (X, M ) ⊗ Hom (Y, N ) → Hom  (X ⊗  Y,M  ⊗ N )

8.5. Feladat. Az előzőek mintájára építs ilyen külső szorzatot is (alsó, és felső indexekkel):

   (             )      (  )           (-----------------)
Hp  Hom  (K ⋅,M )  ⊗ Hq  L ⋅ - ×→  Hp+q  Hom  (K ⋅,L ⋅ ⊗ M )
Megint összegezhetjük az egyazon p+q = n értékhez tartozó szorzásokat:
 ⊕      (             )       (  )        ( -----------------)
     Hp   Hom  (K ,M  ) ⊗  Hq  L⋅  -×→  Hn   Hom  (K ,L ⋅ ⊗ M )
                  ⋅                                ⋅
p+q=n

8.6. Tétel. Legyen 0 F A B 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata, K egy modulus komplexus. Legyenek továbbá M és N tetszőleges modulusok. Tegyük fel, hogy F és K projektív modulusokból áll, így még három egzakt sorozathoz jutunk:

0 →  Hom  (B ,M ) →  Hom  (A ,M  ) → Hom  (F ,M ) →  0
            ⋅                ⋅               ⋅

0 →  Hom  (B⋅⊗K ⋅,M ⊗N  ) → Hom  (A ⋅⊗K ⋅,M ⊗N  ) → Hom  (F ⋅⊗K  ⋅,M  ⊗N  ) → 0

0 →  Hom  (K ⊗B  ,N ⊗M  ) → Hom  (K ⊗A   ,N ⊗M  ) → Hom  (K ⊗F  ,N ⊗M   ) → 0
            ⋅   ⋅                   ⋅   ⋅                   ⋅   ⋅
A hozzájuk tartozú hosszú egzakt sorozatokban (2.6. Tétel) jelölje δ* a határ-homomorfizmusokat. Tetszőleges e Hp( Hom(F ,M)) és k  Hq( Hom(K ,N)) homológia-osztályokre teljesülnek a következő külső szorzat azonosságok:
 *           *                *              deg(k)     *
δ (e × k) = δ (e) × k  ,    δ (k × e) = (- 1)     k × δ (e)

Ötlet: Imitáld a 8.3. Tétel bizonyítását!

8.7. Feladat. Miért nem következik a 8.6. Tétel a 8.3. Tételből? Keress olyan általánosítást, amelyikből már következik!

8.8. Feladat. Mondd ki, és lásd be a 8.3. Tétel megfelelőjét a külső szorzás a 8.4. Feladatbeli változatára! Vigyázat: a Hom funktor megfordítja az egzakt sorozatokat!