2. Komplexusok

2.1. Definíció. Egy K komplexus az alábbi, R-modulusokból álló (mindkét irányban végtelen) diagramot jelöli:

⋅⋅⋅------K0  --d---K1 ---d-- K2 ---d--K3  --d---⋅⋅⋅
amelyben d2 = 0 teljesül (itt d2 jelöli d-nek d-vel való kompozícióját). (De használhatunk alsó indexeket is: 1.2. Konvenció). A K komplexus felülről korlátos, ha egy p0 indextől kezdve minden p > p0 indexre Kp = 0, és alulról korlátos, ha egy n 0 indextől kezdve minden n < n0 indexre Kp = 0. Azt mondjuk, hogy K valamerről kotlátos, ha a két korlátossági feltétel közül az egyik teljesül.

Legyen L egy másik komplexus. Egy f : K L lánc-homomorfizmus a következő kommutatív diagramot jelöli:

   ------  0 --d---  1---d--  2 ---d--  3 --d---
⋅⋅⋅      L |       L|        L|        L|       ⋅⋅⋅
        f0 |      f1|       f2|      f3 |
               d         d         d        d
⋅⋅⋅------K0  ------K1 ------ K2 ------K3  ------⋅⋅⋅
Lánc-homomorfizmusok egy K  f⋅
- →L g⋅
-→M sorozata egzakt, ha a benne szereplő Kn fn
- →Ln gn
- →Mn sorozatok mind egzaktak.

2.2. Definíció. Ebben a jegyzetben Ab jelöli az Abel csoportok kategóriáját, és Ab
-→ jelöli az Abel csoport komplexusok kategóriáját.

2.3. Definíció. Legyen K egy komplexus. Az n-edik homológiája a következő hányados-modulus:

                    d        ∕            d
Hn (K ⋅) = Ker (Kn  -→  Kn+1 )  Im (Kn -1- →  Kn )
Minden K  ⋅
-f→L lánc-homomorfizmus meghatároz egy
  n  ⋅     n  ⋅      n   ⋅
H  (f ) : H (K ) → H   (L  )
homomorfizmust: ha k Kn reprezentálja a k Hn(K) elemet, akkor f(k) reprezentálja a képét, Hn(f)(k)-t. Ezzel a definícióval Hn egy kovariáns funktor a komplexusok kategóriájából a modulusok kategóriájába.

2.4. Konvenció. Ha az L komplexust alul indexeljük, akkor a homológia-modulusait is alsó indexszel írjuk: Hn(L).

2.5. Feladat. Bizonyítsd be, hogy a 2.3. Definícióban f(k) valóban reprezentál egy homológia-osztályt (azaz d(f(k)) = 0), és ez az osztály nem függ k-tól, csak a homológia-osztályától, k-tól. Bizonyítsd be, hogy Hn tényleg funktor: kompatibilis a lánc-homomorfizmusok kompozíciójával.

2.6. Tétel. Legyen 0-→K f⋅
-→L g⋅
-→M-→0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata. Ehhez tartozik egy hosszú egzakt sorozat, ami funktoriálisan függ az eredeti sorozattól:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Hn -1(K ⋅) Hn--1(f⋅)-Hn -1(L ⋅) -Hn-1(g⋅) Hn -1(M ⋅)
                                              BC-
              ---------------δ* ---------------
            GF
            |     Hn(f⋅)            Hn (g⋅)
        Hn (K ⋅) ----------Hn (L ⋅) ----------Hn (M  ⋅)
              --------------- * --------------BC-
            GF                δ
            |
         n+1   ⋅ Hn+1(f⋅)-  n+1   ⋅ -Hn+1(g⋅)  n+1    ⋅  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
       H    (K )         H    (L )         H    (M   )
Itt a δ* határ-homomorfizmus definíciója: ha m Mn reprezentál egy m Hn(M) homológia elemet, akkor a δ*m Hn+1(K) elemet
  -1(   - 1    )     n+1
f    d(g   (m ))  ∈ K
reprezentálja. Ebben a formulában f-1 és g-1 nem egyértelmű, bármelyik őskép választható.

2.7. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be, hogy a 2.6. Tételben a formula valóban egy homológia-osztályt reprezentál, és a kapott δ*m osztály nem függ a választásoktól.

2.8. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be, hogy a 2.6. Tételben szereplő sorozat valóban egzakt.

2.9. Lemma (5-lemma). Tegyük fel, hogy az alábbi diagram (előjel erejéig) kommatív, a sorai egzaktak, és a görög betűvel jelölt függőleges nyilak mind izomorfizmusok. Ekkor az ötödik (betű nélküli) függőleges nyíl is izomorfizmus.

 A  -----B  -----C -----D  -----E
  |       |       |      |       |
α |     β |       |     δ|      ϵ|
    -----  -----   -----   -----
 X       Y       Z      U       V

2.10. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be a 2.9. Lemmát!

2.11. Feladat. Legyen 0 A B C 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata. Bizonyítsd be, hogy ha a három komplexus közül kettő egzakt, akkor a harmadik is az!

Ötlet: Következik a 2.6. Tételből. Másik lehetőség: egyszerű diagram vadászat.

2.12. Definíció. Egy f : K L lánc-homomorfizmust lánc-ekvivalenciának nevezünk, ha Hn(f) izomorfizmus minden n-re. A K, M komplexusok lánc-ekvivalensek, ha lánc-ekvivalenciák egy láncolatával összeköthetők:

    ~=       ~=      ~=          ~=
K ⋅← - X ⋅1 -→  X2⋅← - ⋅⋅⋅X ⋅n -→  M  ⋅

2.13. Megjegyzés. A 2.12. Definícióban elegendő lenne két lépéses láncolatokat használni (azaz n = 1). Ha a komplexusok kategóriáját úgy módosítjuk, hogy a lánc-ekvivalenciákat izomorfizmusokká tesszük (tehát bevezetjük az inverzüket, és az azokból kiszámítható összes kompozíciót is), akkor a modulus-kategória derivált kategóriájához jutunk.

2.14. Definíció. Legyenek f,g : K L lánc-homomorfizmusok. Azt mondjuk, hogy f és g lánc-homotópok, ha van köztük egy lánc-homotópia, azaz egy h : K L⋅-1 lánc-homomorfizmus amire

   ⋅   ⋅     ⋅    ⋅
dh  + h d = f -  g
Azt mondjuk, hogy f homotóp ekvivalencia, ha van homotópia inverze, azaz ha van olyan f˜ : L K lánc-homomorfizmus, amelyre az f˜f és a ˜f f kompozíciók homotóp ekvivalensek a L illetve a K identitás lánc-homomorfizmusával.

2.15. Tétel. Ha f,g : K L lánc-homotóp lánc-homomorfizmusok, akkor Hn(f) = Hn(g) minden n-re. Ha f homotóp ekvivalencia, akkor lánc-ekvivalencia.

2.16. Feladat. Bizonyítsd be a 2.15. Tételt.

2.17. Következmény. Azt mondjuk, hogy a K komplexus pontrahúzható, ha a K id
- →K identitás lánc-homomorfizmus homotóp ekvivalens a nulla lánc-homomorfizmussal. Egy pontrahúzható komplexus egzakt.

Bizonyítás. A nulla komplexus rész-komplexusa K-nak, és a 0`→K beágyazás egy homotóp ekvivalencia. Alkalmazzuk a 2.15. Tételt.

2.18. Feladat. Lásd be a 2.17. Következményt közvetlenül, diagram vadászattal.

2.19. Megjegyzés. A 2.15. Tétel támasztja alá azt a filozófiát, hogy egy komplexust bármikor kicserélhetünk egy vele lánc-ekvivalensre. Speciális eset: egy modulus helyett dolgozhatunk egy projektív vagy egy injektív feloldásával (lásd a 4.2. Definíciót és a 4.3. Definíciót).