4. Projektív, injektív, lapos feloldások

4.1. Definíció. Egy M modulus projektív, ha a Hom(M, ) funktor egzakt. Azt mondjuk, hogy M injektív, ha a Hom( ,M) funktor egzakt. És végül M lapos, ha a   M funktor egzakt.

4.2. Definíció. Legyen M egy modulus. Készítsünk egy (balra végtelen) egzakt sorozatot:

        -3      -2     -1      0
⋅⋅⋅ → P    →  P    → P    →  P  →  M  →  0
ahol minden Pn modulus projektív. Ha az M helyére is nullát írunk, a kapott P komplexus az M egy projektív feloldása. Érdemes most úgy gondolni az M modulusra, mint egy olyan komplexusra, amelynek a 0-fokú része M, minden más fokszámon pedig 0 áll. Ekkor tehát a fenti egzakt sorozat azt jelenti, hogy a
     ~
P ⋅- =→  M
lánc-homomorfizmus egy lánc-ekvivalencia (2.12. Definíció). Ha a Pn modulusok nem csak projektívek, hanem még szabadok is, akkor P egy szabad feloldás. Sokszor a projektivitás helyett elég csak azt megkövetelni, hogy a Pn modulusok laposak legyenek — ilyenkor lapos feloldásról beszélünk.

4.3. Definíció. Legyen M egy modulus. Készítsünk egy (jobbra végtelen) egzakt sorozatot:

            0     1    2     3
0 → M  →  I  →  I  →  I  →  I  →  ⋅⋅⋅
ahol minden Ip modulus injektív. Ha az M helyére is nullát írunk, a kapott I komplexus az M egy injektív feloldása. Érdemes most úgy gondolni az M modulusra, mint egy olyan komplexusra, amelynek a 0-fokú része M, minden más fokszámon pedig 0 áll. Ekkor tehát a fenti egzakt sorozat azt jelenti, hogy a
    ~
M  -=→  I⋅
lánc-homomorfizmus egy lánc-ekvivalencia (2.12. Definíció).

4.4. Tények.  

(a)
Minden szabad modulus projektív, minden projektív modulus lapos.
(b)
Minden modulusnak van szabad feloldása (tehát projektív és lapos feloldása is).
(c)
Egy modulus pontosan akkor projektív, ha egy szabad modulus direkt összeadandója.
(d)
Minden injektív modulus osztható.
(e)
Minden modulusnak van injektív burka, azaz van egy őt tartalmazó legkisebb injektív modulus. Ezért minden modulusnak van injektív feloldása.
(f)
Nullosztómentes főideálgyűrű felett lapos = torziómentes.
(g)
Nullosztómentes főideálgyűrű felett injektív = osztható. Ezért ilyenkor egy injektív modulus faktormodulusa injektív.
(h)
Nullosztómentes főideálgyűrű felett egy szabad modulus minden részmodulusa szabad. Ezért ilyenkor projektív = szabad.
(i)
Nullosztómentes főideálgyűrű felett minden modulusnak van kétlépéses injektív feloldása:
            0    1
0 → M  →  I  →  I  →  0
és kétlépéses szabad feloldása:
       -1      0
0 →  F    →  F  →  M  →  0
(Azonnal következik (g)-ből illetve (h)-ből.)

4.5. Feladat. Legyen X egy kompakt Hausdorff tér, V egy (véges rangú) vektornyaláb X-en. Legyen C(X) az X folytonos függvények gyűrűje, és M az X V folytonos szelések C(X)-modulusa. Bizonyítsd be, hogy M projektív modulus! Bizonyítsd be, hogy minden végesen generált projektív C(X)-modulus így kapható! Mondj ki, és bizonyíts be analóg állításokat differenciálható, illetve analitikus függvényekre! Mi a helyzet, ha X nem kompakt?

4.6. Lemma. Legyen 0 A B C 0 modulusok egy rövid egzakt sorozata. Ekkor választhatunk olyan EA, F B és G C szabad feloldásokat, amelyek összeállnak az alábbi kommutatív diagrammá amelyben a sorok és az oszlopok is egzaktak:

          0|        0|        0         0        0|
                                                  |
⋅⋅⋅------ G3 ------G2  ------G1 -------G0 ------ C ------ 0
           |         |        |         |         |
                                                  |
⋅⋅⋅------F 3 ------F 2 ------F|1 ------F|0------ B|------ 0
                                                  |
⋅⋅⋅------ E3 ------E 2-------E 1-------E 0-------A ------ 0
           |         |        |         |         |
                                                  |
          0         0         0         0        0
Ezzel analóg állítás érvényes injektív feloldásokra is.

Ötlet: Kiindulhatunk tetszőleges E A és G C szabad feloldásokból. Legyen Fn = En Gn, és a függőleges homomorfizmusoknak válasszuk a felbontásban szereplő En`→Fn beágyazást és a Fn Gn projekciót. A diagram könnyen kiegészíthető megfelelő Fn Fn+1 (vízszintes) homomorfizmusokkal (csak a generátorok képét kell megadni).

4.7. Feladat. Diagram vadászat! Dolgozd ki a 4.6. Lemma bizonyítását!

4.8. Definíció. Noether gyűrű feletti modulusok egy K komplexusa véges típusú, ha minden homológiája végesen generált, és Hn(K) = 0, ha n < n0 (valamilyen n0 értékre).

4.9. Lemma (Végesen generált szabad approximáció). Noether gyűrű felett minden véges típusú K modulus-komplexushoz (4.8. Definíció) található egy F ~=
-→K lánc-ekvivalencia, ahol F egy olyan komplexus, amelynek minden tagja végesen generált szabad modulus, és Fn = 0 ha n > n 0. Az ilyen F K ekvivalenciákat végesen generált szabad approximációnak hívjuk.

4.10. Feladat. Diagram vadászat! Bizonyítsd be a 4.9. Lemma!

4.11. Feladat. Van-e analógja a 4.9. Lemmanak injektív modulusokkal?

4.12. Feladat. Lásd be, hogy projektív modulusok tenzor szorzata ismét projektív, valamint lapos modulusok tenzor szorzata ismét lapos! Mi a helyzet injektív modulusok, illetve szabad modulusok tenzor szorzatával?