7. Univerzális Együttható Tételek — algebra

7.1. Tétel (Univerzális Együttható tétel tenzor szorzatra). Adott egy nullosztómentes főideálgyűrű. Legyen K egy szabad modulusokból épült komplexus (alul indexelt, lásd az 1.2. Konvenciót) és G egy tetszőleges modulus. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

                                       (             )
0 →  Hn(K ⋅) ⊗ G →  Hn (K ⋅ ⊗ G ) → Tor1  Hn -1(K⋅),G   → 0
amelyik funktoriálisan függ K-tól és G-től. Az egzakt sorozat felhasad. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Választunk egy kétlépéses szabad feloldást (lásd a 4.4. Tények (i) pontját):

0 →  F1 →  F0 →  G  →  0
Ha ezt tenzor-szorozzuk a K komplexussal (lásd az 5.2. Definíciót) az alábbi kettőskomplexushoz jutunk.
|----------|
|-K-⋅ ⊗-G--|
|          |
|          |
| K ⋅ ⊗ F ⋅|
|          |
|          |
------------
A 3.22. Következmény szerint a KG komplexus lánc-ekvivalens a K F szorzat totális komplexusával. A K F szorzat pedig egy kétsoros kettős komplexus, alkalmazható rá a 3.26. Tétel. Mivel az Fn modulusok szabadok, a velük való szorzás felcserélhető a homológia funktorral (mert egzakt, lásd a 4.1. Definíciót). A 3.25. Definícióbeli első táblázat így néz ki:
          |------------------|
          |   H ⋅(K ⋅) ⊗ F0   |
E ⋅⋅1  =    |------------------|
          ----H-⋅(K-⋅) ⊗-F1----
Ebből látható, hogy a második táblázat így alakul:
          |------------------|
  ⋅⋅       |   H ⋅(K⋅) ⊗ G    |
E 2  =    |------------------|
          --Tor1-(H-⋅(K-⋅),G-)--
(lásd a 3.25. Definíciót és az 5.4. Definíciót). Tehát a 3.26. Tételben szereplő egzakt sorozat megegyezik a bizonyítandó egzakt sorozattal, és a 3.28. Tétel miatt felhasad.

7.2. Feladat. A 7.1. Tétel bizonyításában alsó indexeket használtunk (1.2. Konvenció) míg a 3.26. Tételben felső indexek vannak. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk a 3.26. Tételt! Mutasd meg, hogy a kapott egzakt sorozat valóban funktoriálisan függ K-tól és G-től!

7.3. Feladat. A 7.1. Tétel bizonyításában használtuk a 3.22. Következményt. Lásd be, hogy a szóbanforgó kettős komplexus oszlopai valóban egzaktak!

7.4. Tétel (Univerzális Együttható tétel Hom-komplexusra). Adott egy nullosztómentes főideálgyűrű. Legyen K egy szabad modulusokból épült komplexus (alul indexelt, lásd az 1.2. Konvenciót) és G egy tetszőleges modulus. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

        1(             )      n(            ⋅)         (          )
0 →  Ext   Hn -1(K⋅),G   →  H   Hom  (K ⋅,G )  →  Hom    Hn (K⋅),G  →  0
(lásd a 6.1. Definíciót) amelyik funktoriálisan függ K-tól és G-től. Az egzakt sorozat felhasad. (Ez a felhasítás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Választunk egy kétlépéses injektív feloldást (lásd a 4.4. Tények (i) pontját):

0 → G  →  I0 →  I1 → 0
Alkalmazzuk a Hom funktort a K komplexusra és erre a feloldásra (lásd a 6.3. Definíciót), az alábbi kettőskomplexushoz jutunk:
|--------------|
|              |
|              |
|           ⋅  |
| Hom  (K ⋅,I ) |
|              |
|--------------|
--Hom--(K-⋅,G-)--
A 3.22. Következmény szerint a Hom(K,G) komplexus lánc-ekvivalens a Hom(K,I) totális komplexusával. A Hom(K ,I) pedig egy kétsoros kettős komplexus, alkalmazható rá a 3.26. Tétel. Mivel az In modulus injektív, a Hom( ,In) funktor felcserélhető a homológia funktorral (mert egzakt, lásd a 4.1. Definíciót). A 3.25. Definícióbeli első táblázat így néz ki:
          |----------------------|
          |   Hom  (H  ⋅(K ⋅),I1)   |
E ⋅⋅1  =    |-----------⋅-----0----|
          ----Hom--(H--(K-⋅),I-)---|
Ebből látható, hogy a második táblázat így alakul:
          |----------------------|
          |   Hom  (H ⋅(K ⋅),G )   |
E ⋅⋅2  =    |----------------------|
          ----Ext1-(H-⋅(K-⋅),G-)---|
(lásd a 3.25. Definíciót és az 5.4. Definíciót). Tehát a 3.26. Tétel egzakt sorozata megegyezik a bizonyítandó egzakt sorozattal, és a 3.28. Tétel miatt felhasad.

7.5. Feladat. Ellenőrizd a 7.4. Tétel bizonyításában az indexeket! Mutasd meg, hogy a kapott egzakt sorozat valóban funktoriálisan függ K-tól és G-től!

7.6. Feladat. A 7.4. Tétel bizonyításában használtuk a 3.22. Következményt. Lásd be, hogy a szóbanforgó kettős komplexus oszlopai valóban egzaktak!

7.7. Feladat. A 7.1. Tételben a Tor 1 csoport a jobboldalon áll, míg a 7.4. Tételben az Ext 1 csoport a baloldalon bukkan fel. Hogyan lehetséges ez — hiszen mindkét tételt a 3.22. Következmény segítségével bizonyítottuk?

7.8. Feladat. Adott egy F test. Legyen K egy F-vektortér komplexus és F G egy testbővítés. Lásd be, hogy

      Hn (K⋅ ⊗ G ) ~=   Hn (K ⋅) ⊗ G
  n(            )           (  n       )
H    Hom (K ⋅,G )   ~=   Hom   H   (K ⋅),G