6. Homomorfizmus komplexus, Ext funktor

6.1. Definíció. Legyen most M egy modulus, L egy fölül-indexelt komplexus, K pedig a következő alul-indexelt komplexus:

⋅⋅⋅ -→  K    - ∂→  K  -∂→  K     -∂→  ⋅⋅⋅
          p+1      p       p-1
Ha a  Hom( ,M) funktort a K komplexusra alkalmazzuk, akkor a „sorrend megfordul”, az alábbi Hom(K,M) (felül indexelt) komplexust kapjuk:
⋅⋅⋅ Hom(∂,M) Hom (Kp- 1,M ) Hom(∂,M-) Hom (Kp, M ) Hom(∂,M) Hom (Kp+1, M ) Hom(∂,M-) ⋅⋅⋅
Ha pedig a Hom(M, ) funktort alkalmazzuk a L komplexusra, akkor „megmarad az eredeti sorrend”, az alábbi Hom(M,L) (felül indexelt) komplexust kapjuk:
⋅⋅⋅ Hom(M,d) Hom (M, Lp- 1) Hom(M,d) Hom (M, Lp ) Hom(M,d) Hom (M, Lp+1 ) Hom-(M,d) ⋅⋅⋅

6.2. Megjegyzés. Ha a Hom( ,M) funktort egy fölül indexelt komplexusra alkalmazzuk, vagy ha a Hom(M, ) funktort egy alul indexelt komplexusra alkalmazzuk, akkor az eredmény egy alul indexelt komplexus lesz.

6.3. Definíció. Legyen most L egy felül indexelt komplexus (1.2. Konvenció), K pedig a következő alul-indexelt komplexus:

               ∂      ∂         ∂
⋅⋅⋅ -→  Kp+1 - →  Kp -→  Kp+1  -→  ⋅⋅⋅
A homomorfizmus komplexusuk (4. ábra) az alábbi, Hom (K,L)-lel jelölt (fölül indexelt) kettős komplexus:
           ⋅p,q              q
Hom  (K ⋅,L )   = Hom  (Kp, L ),  df : k → d(f (k)),  ∂(f) : k → f(∂(k ))
Az ehhez tartozó totális komplexust mi Hom (K,L)-lel jelöljük. (Más könyvekben gyakran a Hom (K,L) jelölést használják a totális komplexusra is.)


                   ..                                 ..                                ..                                 ..
                   .                                 .                                .                                 .
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |
-----        Hom  (K2,L0 )-------------       Hom  (K2, L1) -------------       Hom  (K2,L2 ) -------------      Hom  (K2, L3) -------------
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |
-----        Hom  (K1,L0 )-------------       Hom  (K1, L1) -------------       Hom  (K1,L2 ) -------------      Hom  (K1, L3) -------------
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |
-----        Hom  (K0,L0 )-------------       Hom  (K0, L1) -------------       Hom  (K0,L2 ) -------------      Hom  (K0, L3) -------------
                   |                                 |                                |                                 |
                   |                                 |                                |                                 |

                   ...                                 ...                                ...                                 ... 4. ábra. Homomorfizmus komplexus. Itt jelöli a függvény-kompozíciót, egy vonal (azaz   ) pedig a változót, ami ez esetben egy homomorfizmus


6.4. Feladat. Legyenek K és L komplexusok, tegyük fel, hogy az egyik pontrahúzható (lásd a 2.17. Következményt). Bizonyítsd be, hogy a Hom (K,L) totális komplexus is pontrahúzható!

Ötlet: A Hom egy funktor. Ezért ha egy homotópiát az identitással Hom-ozunk, homotópiát kapunk.

6.5. Definíció. Legyenek M és N modulusok. Válasszunk egy F M projektív feloldást (4.2. Definíció), most alsó indexet használunk (1.2. Konvenció). Készítsük el a Hom(F,N) komplexust (ez már felül-indexelt, lásd a 6.1. Definíciót). Ennek az n-edik homológiája az Ext n(M,N) modulus:

                  (            )
Extn (M,  N ) = Hn   Hom (F ,N )
                           ⋅

6.6. Megjegyzés. Bár a jelölésből most kimaradt, a Hom modulus, és így az Ext n modulusok is függenek az R gyűrűtől. Ha szükséges kiírnunk, akkor a pontosabb Hom R(M,N) illetve Ext Rn(M,N) jelölések használhatók.

6.7. Megjegyzés. Most egy kommutatív gyűrű felett dolgozunk, ezért Hom(M,N) és Ext n(M,N) is modulusok. Általában, ha S nem-kommutatív gyűrű, SM és SN mindketten baloldali S-modulusok, akkor értelmezhetők az Hom S(SM,SN) és az Ext Sn( SM,SN) Abel csoportok, de ezek nem lesznek S-modulusok.

6.8. Lemma. Legyenek M és N modulusok. Az Ext n(M,N) modulus definíciója nem függ a feloldás választásától. Sőt, a másik tényező tetszőleges N I injektív feloldásával (4.3. Definíció) kaphatunk egy alternatív definíciót is:

                  (            )
Extn (M,  N ) = Hn   Hom (M, I ⋅)

6.9. Feladat. Bizonyítsd be a 6.8. Lemmát: imitáld az 5.7. Lemma bizonyítát!

6.10. Feladat. Adnak-e a szokásos Hom-azonosságok Ext-Tor azonosságokat?

6.11. Tétel. Legyen 0 A  f
- →B g
-→C 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

 --------             --------            --------
0         Hom (C, M )         Hom  (B,M  )         Hom (BAC, M )
                 ----------------- δ* -----------------
               GF
               |
          Ext1(C, M ) --------Ext1 (B,M  )-------- Ext1(A, M )
                                                       BC
                 ----------------- δ* -----------------
               GF
               |
          Ext2(C, M ) --------Ext2 (B,M  )-------- Ext2(A, M )  ⋅⋅⋅⋅

Bizonyítás. Alkalmazzuk a  Hom( ,M)  funktort a 4.6. Lemmában készült szabad feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk, Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz.

6.12. Tétel. Legyen 0 A  f
- →B g
-→C 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

  --------            --------            --------
0         Hom  (M,  A)         Hom  (M, B )         HomB(CM, C )
                 ----------------- δ* -----------------
               |GF
               |
          Ext1(M,  A) --------Ext1 (M, B )-------- Ext1(M, C )
                                                      BC-
                 ----------------- δ* -----------------
               |GF
               |
          Ext2(M,  A) --------Ext2 (M, B )-------- Ext2(M, C )  ⋅⋅⋅⋅

Bizonyítás. Alkalmazzuk a  Hom(M, )  funktort a 4.6. Lemmában készült injektív feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk, Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz.

Íme az 5.11. Feladat analógiája projektív és injektív modulusokkal:

6.13. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor projektív, ha Ext 1(M,N) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Ext n(M,N) = 0 minden n 1 egészre!

6.14. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor injektív, ha Ext 1(N,M) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Ext n(N,M) = 0 minden n 1 egészre!