5. Tenzor-szorzat komplexus, Tor funktor

5.1. Definíció. Legyen K egy komplexus és M egy modulus. Alkalmazzuk a   M funktort a K komplexusra, így kapjuk a KM komplexust:

⋅⋅⋅-∂⊗---Kp -1 ⊗ M  -∂⊗---Kp ⊗  M  -∂⊗---Kp+1 ⊗  M  -∂⊗---⋅⋅⋅
Hasonló módon definiáljuk az MK komplexust is, ami persze kanonikusan izomorf KM-mel.

5.2. Definíció. Legyenek K és L komplexusok. Az egyszerűség kedvéért most -val jelöljük a K-beli differenciált, d-vel a L differenciálját. A tenzor szorzat komplexusuk az alábbi, K L-lel jelölt kettős komplexus, melynben szintén és d betűk jelölik a két differenciált:

   ⋅    ⋅p,q    p     q
(K  ⊗ L  )  =  K  ⊗ L ,   d(k ⊗ l) = k ⊗ d (l), ∂ (k ⊗ l) = ∂ (k ) ⊗ l
(lásd a 3. ábrán) Gyakran használjuk a tenzor szorzat totális komplexusát, a korábbi jelölésekkel összhangban ezt KL jelöli. (Más könyvekben gyakran KL jelöli a totális komplexust is.)


                 ..                     ..                     ..                     ..
                 .                     .                     .                     .|
                 |                     |                     |                      |
                 |                     |                     |                      |
⋅⋅⋅------    K2 ⊗ L0  ----------   K2 ⊗  L1 ----------   K2  ⊗ L2 ----------    K2 ⊗ L3 ----------⋅⋅⋅
                 |                     |                     |                      |
                 |                     |                     |                      |
   ------      1 |  0 ----------     1 |  1 ----------     1 |  2 ----------     1  |  3----------
⋅⋅⋅          K  ⊗|L                K  ⊗| L               K   ⊗ L                K  ⊗|L            ⋅⋅⋅
                 |                     |                     |                      |
                 |                     |                     |                      |
⋅⋅⋅------    K0 ⊗ L0  ----------   K0 ⊗  L1 ----------   K0  ⊗ L2 ----------    K0 ⊗ L3 ----------⋅⋅⋅
                 |                     |                     |                      |
                 |                     |                     |                      |
                 .                     .                     .                     .
                 ..                     ..                     ..                     .. 3. ábra. Tenzor szorzat komplexus


5.3. Feladat. Legyenek K és L komplexusok, tegyük fel, hogy az egyik pontrahúzható (2.17. Következmény). Bizonyítsd be, hogy a KL tenzor szorzat is pontrahúzható!

Ötlet: A tenzor szorzás funktor. Ezért ha egy homotópiát az identitással tenzor-szorzunk, homotópiát kapunk.

5.4. Definíció. Legyenek M és N modulusok. Válasszunk egy F M lapos feloldást (4.2. Definíció), most alsó indexet használunk (1.2. Konvenció). Készítsük el az FN komplexust (5.1. Definíció). Ennek az  n-edik homológiája (alsó indexekkel, lásd az 1.2. Konvenciót) a Tor n(M,N) modulus:

Torn (M,  N ) = Hn (F ⋅ ⊗ N )

5.5. Megjegyzés. Bár a jelölésből most kimaradt, a tenzor szorzat, és így a Tor n modulusok is függenek az R gyűrűtől. Ha szükséges kiírnunk, akkor a pontosabb M RN illetve Tor NR(M,N) jelölések használhatók.

5.6. Megjegyzés. Most egy kommutatív gyűrű felett dolgozunk, ezért M N és Tor n(M,N) is modulusok. Általában, ha S nem-kommutatív gyűrű, MS és SN jobb- illetve baloldali S-modulusok, akkor értelmezhetők az MSSSN és a Tor nS(M S,SN) Abel csoportok, de ezek nem lesznek S-modulusok.

5.7. Lemma. Legyenek M és N modulusok. A Tor n(M,N) modulus definíciója nem függ a feloldás választásától. Sőt, a másik tényező tetszőleges G N lapos feloldásával kaphatunk egy alternatív definíciót is:

Torn (M,  N ) = Hn (M  ⊗  G⋅)

Ötlet: Mind a két feloldást használjuk. Alkalmazzuk a 3.24. Következményt az FN és az M G komplexusokra, a kettős komplexus hiányzó részét a FG tenzor szorzat komplexussal (5.2. Definíció) töltjük ki.

Ezzel beláttuk, hogy az M feloldásából számított Tor n(M,N) modulus izomorf az N feloldásából számítottal, és ez utóbbi izomorf azzal, amit az M egy másik feloldásából kapunk.

5.8. Feladat. Dolgozd ki részletesen az 5.7. Lemma bizonyítását!

5.9. Feladat. A tenzor-szorzat szimmetrikus. Lásd be, hogy a Tor n funktor is az:

Torn(A, B ) ~= Torn(B, A )
Mit mondhatunk az asszociativitásról?

5.10. Tétel. Legyen 0 A f
-→B  g
-→C 0 egy rövid egzakt sorozat és M egy modulus. Ekkor létezik az alábbi hosszú egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ a rövid egzakt sorozattól és M-től:

                  --------            --------
⋅⋅⋅⋅⋅⋅Tor2(A, M )         Tor2(B, M  )        Tor2B(CC,M  )
              -----------------δ*-----------------
            GF
            |
      Tor1(A, M ) --------Tor1(B, M  )--------Tor1 (C,M  )
              -----------------  -----------------BC-
            GF                  δ*
            |
                ----f⊗M-----        ----g⊗M-----        ----------
        A ⊗  M              B  ⊗ M              C  ⊗ M            0

Bizonyítás. Alkalmazzuk a   M  funktort a 4.6. Lemmában készült szabad feloldásokra. Így komplexusok rövid egzakt sorozatához jutunk. Erre alkalmazzuk a 2.6. Tételt, így jutunk a kívánt egzakt sorozathoz.

5.11. Feladat. Bizonyítsd be, hogy egy M modulus pontosan akkor lapos, ha Tor 1(M,N) = 0 minden N modulusra! Mutasd meg, hogy ilyenkor Tor n(M,N) = 0 minden n 1 egészre!

5.12. Feladat. Legyenek I, J ideálok egy (tetszőleges) gyűrűben. Lásd be, hogy

     (         )
Tor1  R/I, R/J   =  (I ∩ J )/IJ

5.13. Feladat. Legyen R egy nullosztómentes főideálgyűrű.

(a)
Lásd be, hogy egy M modulus pontosan akkor torzió-mentes, ha Tor 1(M,N) = 0 minden N-re!
(b)
Legyenek M és N modulusok. Lásd be, hogy Tor 1(M,N) torzió modulus! Lásd be, hogy Tor 1(M,N) pontosan azokra a p R primekre tartalmaz p-torziót, amelyekre mind az M, mind az N torzió része tartalmaz p-torziót!
(c)
Legyenek M és N végesen generált modulusok, a struktúra tétel szetrint felírhatók prímhatvány rendű ciklikus modulusok direkt összegeként. Számítsd ki Tor 1(M,N)-et!