3. Kettős komplexusok

3.1. Definíció. Egy K⋅⋅ kettős komplexus az alábbi síkbeli kommutatív diagram, amelynek minden sora és minden oszlopa komplexus (azaz d∂ = ∂d, d2 = 0 és 2 = 0).

           .          .          .          .
           ..|         ..|         ..|         ..|
          ∂ |        ∂ |        ∂ |        ∂ |

⋅⋅⋅------ K2,0---d-- K2,1---d-- K2,2---d-- K2,3--d--- ⋅⋅⋅
            |          |          |          |
          ∂ |        ∂ |        ∂ |        ∂ |
⋅⋅⋅------   1,0---d--   1,1---d--   1,2---d--   1,3--d--- ⋅⋅⋅
          K |        K |        K |        K |
          ∂ |        ∂ |        ∂ |        ∂ |
                 d          d          d         d
⋅⋅⋅------ K0,0------ K0,1------ K0,2------ K0,3------ ⋅⋅⋅
            |          |          |          |

           ..          ..          ..          ..
           .          .          .          .
A K⋅⋅ kettős komplexus átlósan korlátos, ha minden n-re a Kp,n-p modulusok között csak véges sok nem-nulla szerepel.

3.2. Példa. A K⋅⋅ kettős komplexus átlósan korlátos, ha találunk hozzá egy B korlátot, amelyre a következő feltételek valamelyike teljesül:

3.3. Definíció. Legyen K⋅⋅ egy átlósan korlátos kettős komplexus. K jelöli a hozzá tartozó totális komplexust:

--n    ⊕     p,q                   q              p,q
K   =      K   ,   Dk =  dk + (- 1) ∂k  ha k ∈ K    .
      p+q=n
Az átlósan korlátosság biztosítja, hogy az összegeknek minden esetben véges sok nem-nulla tagjuk van. Mindez jól látható az 1. ábrán abban az esetban, amikor a nem-nulla pozíciók a p,q 0 síknegyedben találhatók.
          .            .            .            .
          ..|           ..|           ..|           ..
           |            |            |           |
           |            |            |           |
 ------ HONM  -------      -------      -------      -------
0        K3,0         K3,1         K3,2         K3,3        ⋅⋅⋅
           |            |            |           |
           |            |            |           |
 ------ HON2M,0-------   2,1-------   2,2-------   2,3-------
0        K |          K |          K |          K|          ⋅⋅⋅
           |            |            |           |
           |            |            |           |
 ------ HON1M,0-------   1,1-------   1,2-------   1,3-------
0        K |          K |          K |          K|          ⋅⋅⋅
           |            |            |           |
           |            |            |           |
 ------ HONI0MJ,K0L-------  I0J,K1L-------  I0J,K2L-------  I0J,K3L------- ⋅⋅⋅
0        K | --0      K | --1      K | --2      K|  --3
           | K          | K          | K         |  K
           |            |            |           |
          0            0            0            0 1. ábra. Totális komplexus


3.4. Definíció. A K⋅⋅ kettős komplexus [s,t]-szelete, jelölésben K[s,t]⋅⋅, egy kettős komplexus, amelyet úgy kapunk K⋅⋅-ból, hogy az s-edik és a t-edik sor közötti sávot megtartjuk, az ezen kívüli pozíciókba nullát írunk (lásd a 3.6. Lemma diagramját). K[s,t] jelöli az ehhez tartozó totális komplexust. A K⋅⋅ kettős komplexus s-edik sorát K[s] jelöli. Formálisan:

           {   p,q
K[s,t]p,q =   K     ha s ≤ p ≤ t    ,  K [s]q = K-[s,s]q+s = Ks,q.
             0     különben

3.5. Feladat. Lásd be, hogy a 3.4. Definícióban szereplő q + s kitevő helyes, azaz

       -------⋅+s
K [s]⋅ = K [s,s] .

3.6. Lemma. Legyen K⋅⋅ egy kettős komplexus. Tekintsük a különböző szeleteihez tartozó totális komplexusokat (lásd a 2. ábrán). Minden r s t értékre kapunk egy egzakt sorozatot, ami funktoriálisan függ K⋅⋅-tól:

      -----⋅     ------⋅    ------⋅
0 - → K[s,t] -→  K [r,t] -→  K [r,s]- →  0

2. ábra. Kettős komplexus szeletei


3.7. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be, hogy a fenti diagramon K[s,t] részkomplexus K[r,t]-ban, és a szerinte vett hányados izomorf K[r,s]-tal!

3.8. Feladat. Diagram vadászat! Miért nem lehet a 3.6. Lemma egzakt sorozatát fordítva írni? Mutasd meg, hogy K[r,s] nem feltétlenül részkomplexus K[r,t]-ban, és K[s,t] nem feltétlenül hányados komplexusa K[r,t]-nak.

3.9. Konvenció. Gyakran szükség van arra, hogy egy kettős komplexust blokkokból építsünk fel. Az alábbi sematikus diagramok ilyen kettős komplexusokat mutatnak. Itt most K, L komplexusok, M⋅⋅ pedig egy kettős komplexus, és a diagramon kívüli területekre nullákat kell írni:

                  |--|----------|
                  |  |          |
                  |  |          |
|----K⋅----|      | ⋅|      ⋅⋅   |
|-----⋅----|      K  |   M      |
-----L------      |  |          |
                  ---|----------|
                     -----L⋅-----
Figyeljük meg, hogy egy komplexust vízszintesen és függőlegesen is beépíthetünk egy kettős komplexusba. Természetesen, ha a diagramba írt komplexusok valamelyik irányban végtelenek, akkor a belőlük épített diagram is végelen lesz abban az irányban (noha a diagramon erre semmi nem utal). Az ilyen diagramokon nem tudjuk jelölni az egyes blokkok közt haladó differenciálokat, ezért csak olyan helyzetekben használjuk őket, amikor egyértelmű, hogy melyik homomorfizmusokról van szó.

3.10. Definíció. Legyen f : K L egy lánc-homomorfizmus, tekintsük a

L
K
kettős komplexust, amelyben f a függőleges irányú differenciál, és K-t a nulladik sorba írtuk. Az ő totális komplexusát az f leképezés-kúpjának nevezzük, és C(f)-fel jelöljük. Ha a 3.6. Lemmát alkalmazzuk erre a kettős komplexusra, akkor a következő rövid egzakt sorozatot kapjuk:
0 →  L⋅-1 → C (f⋅)⋅ → K ⋅ → 0

3.11. Feladat. Ellenőrizd, hogy a 3.10. Definícióban helyesen írtuk fel az egzakt sorozatot.

3.12. Feladat. Vesd össze a 3.10. Definíciót a leképezés-kúp szokásos definíciójával!

3.13. Lemma. A 3.10. Definícióhoz tartozó hosszú egzakt sorozat (lásd a 2.6. Tételben) így néz ki:

         q-1  ⋅ --------   q    ⋅ ⋅ ---------  q   ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ H    (L )         H  (C(f ))          H B(CK )
             ------------ δ*=Hq(f⋅) ------------
           GF
        Hq (L⋅)-------- Hq+1 (C(f⋅)⋅) -------Hq+1 (K ⋅)  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3.14. Feladat. Diagram vadászat! Ellenőrizd, hogy a 3.13. Lemma diagramján látható indexek helyesek! Lásd be, hogy a δ* határ-homomorfizmus valóban megegyezik Hq(f)-fel!

3.15. Lemma. Egy lánc-ekvivalencia leképezés-kúpja egzakt.

Ötlet: Ez a lemmát bebizonyítható egyszerű diagram vadászattal. Egy másik lehetőség, hogy megmutatjuk: a leképezés-kúp pontra húzható (lásd a 2.17. Következményt). A

K
K
kettős komplexusban a függőleges (identitás)homomorfizmus inverzéből könnyedén elkészíthetjük a kívánt lánc-homotópiát. Harmadik módszer: azonnal következik az állítás abból az észrevételből, hogy a 3.13. Lemma egzakt sorozatában a δ* határ-homomorfizmusok mind izomorfizmusok.

3.16. Feladat. Dolgozd ki a 3.15. Lemma bizonyításához adott ötleteket.

3.17. Feladat. Lásd be, hogy egy lánc-homomorfizmus pontosan akkor lánc-ekvivalencia, ha leképezés-kúpja egzakt.

Ötlet: Használd a 3.13. Lemma hosszú egzakt sorozatát.

3.18. Feladat. Legyen 0 K  ⋅
-f→L  ⋅
-g→M 0 komplexusok egy rövid egzakt sorozata. Lásd be, hogy az f leképezés-kúpja homotóp ekvivalens M-mel, a g leképezés-kúpja pedig homotóp ekvivalens K-val.

Ötlet: K részkomplexusa az

M
L
alsó sorának, és a függőleges irányú differenciál 0-ba viszi — tehát rész-kettős-komplexus. A hányados kettős-komplexus pedig
L
L
alakú. Ezért K`→C(f) részkomplexus, a hányados pedig az L ~=
-→L izomorfizmus leképezés-kúpja, alkalmazható a 3.15. Lemma.

Hasonló módon találhatunk egy szürjektív lánc-homomorfizmust C(g)-ből M-re, aminek a magja a K ~=
-→K izomorfizmus leképezés-kúpja.

3.19. Megjegyzés. Érdemes összevetni a leképezés-kúpról szóló feladatokat a triangulált kategória fogalámával.

3.20. Tétel. Tegyük fel, hogy a K⋅⋅ kettős komplexus minden sora egzakt. Ilyenkor K is egzakt, tehát Hn(K) = 0 minden n-re. Ugyanez teljesül akkor is, ha a sorok helyett az oszlopok egzaktak.

3.21. Feladat. Diagram vadászat! Lásd be a 3.20. Tételt!

3.22. Következmény. Tegyük fel, hogy a K⋅⋅ kettős komplexus átlósan korlátos, minden oszlopa egzakt, és az s-edik sor a legalsó vagy a legfelső nem-nulla sora, amint az alábbi diagramok személtetik:

|-----------------|-              |------------------|
|                 |               |      K [s ]⋅       |
|                 |               |------------------|
|  K [s + 1,∞  ]⋅⋅  |               |                  |
|                 |     vagy      |                  |
|                 |               | K [- ∞, s - 1]⋅⋅  |
|----------⋅------|-              |                  |
-------K[s]---------              --------------------
Alkalmazzuk a diagramon látható felbontásra a 3.20. Tételt, kapunk egy természetes lánc-ekvivalenciát:
       ------------⋅+(s+1)                      -------------⋅+(s+1)
K [s]⋅ ~= K [s + 1,∞ ]         illetve    K [s]⋅ ~= K [- ∞, s - 1 ]   .

3.23. Feladat. Miért van a + (s + 1) index-eltolás a 3.22. Következményben?

3.24. Következmény. Legyenek K és L komplexusok, amelyekben a negatív indexű pozíciókban nulla áll. Tegyük fel, hogy tudunk egy ilyen kettős komplexust építeni:

|--|----------|
|  |          |
| ⋅|      ⋅⋅   |
K  |   M      |
|  |          |
---|----------|
   -----L⋅-----
amelynek a sorai és az oszlopai is mind egzaktak. Ekkor K és L lánc-ekvivalensek.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.22. Következményt illetve a 45-fokos egyenesre tükrözött változatát a következő komplexusokra:

|-----------|
|           |           |--|----------|
|           |           |  |          |
|      ⋅⋅    |           |  |          |
|   M       |   és      K ⋅|  M  ⋅⋅   |
|           |           |  |          |
|------⋅----|           ---------------
-----L------|

3.25. Definíció. Legyen K⋅⋅ egy kettős kopmlexus. Definiáljuk a hozzá tartozó E1⋅⋅ és E 2⋅⋅ modulusokat (ezek már nem kettős komplexusok, csak „táblázatok”). Minden (p,q) párra legyen E1p,q = Hq(K[p]), tehát a K⋅⋅-ban vízszintesen (a d mentén) számolunk homológiát. Mivel a függőleges homomorfizmusok összeállnak egy : K[p] K[p+1] lánc-homomorfizmussá, azért az E1⋅⋅ táblázatban kapunk függőleges irányú Hp() : E 1p,q E 1p+1,q homomorfizmusokat is. Ezért az E1⋅⋅ táblázat oszlopai megint csak komplexusok, legyen E 2p,q az E1⋅⋅ táblázat q-adik oszlopának p-edik homológiája.

3.26. Tétel. Tegyük fel, hogy a K⋅⋅ kettős komplexusnak csak két sora van, a p-edik és a p + 1-edik. Ekkor minden q egészre van egy rövid egzakt sorozat:

0 →  Ep+1,q-1 →  Hp+q (K⋅) → Ep,q →  0
       2                       2
és ez a sorozat funktoriálisan függ K⋅⋅-tól.

⋅⋅⋅ HOKNpM+1,q- 1----- Kp+1,q-----Kp+1,q+1  ⋅⋅⋅
      |               |           |
      |               |           |
       p,q- 1------- IpJ,KqL-------  p,q+1
⋅⋅⋅   K             K   --p+q   K        ⋅⋅⋅
                        K

Bizonyítás. A K⋅⋅ totális komplexusa (lásd a 3.3. Definíciót) éppen a : K[p] K[p + 1] lánc-homomorfizmus (a függőleges irányú differenciál) leképezés-kúpja (lása a 3.10. Definíciót). Írjuk fel a 3.13. Lemma egzakt sorozatának egy darabját:

      --                     Hq(∂⋅)                             --
Hp+q (K ⋅) -----Hq (K[p]⋅) -----------Hq (K [p + 1]⋅) -----Hp+q+1 (K ⋅)
                   ||                     ||
                   ||                     ||
                   p,q                    ||
    0 ------------E1  ----------------- Ep1+1,q--------------0
A diagram alsó sora éppen az E1⋅⋅ táblázat q-adik oszlopa. Leolvasható róla, hogy
Ep,q = Ker (Hq (∂⋅)),   Ep+1,q=  Coker (Hq (∂ ⋅))
  2                     2
minden q-ra. A Tétel most már kiolvasható a fenti egzakt sorozat egy másik darabjából:
  Hq-1(∂⋅)                             --                    Hq(∂⋅)
-----------Hq -1(K [p + 1 ]⋅)---- Hp+q (K ⋅)-----Hq (K [p]⋅)-----------

3.27. Feladat. Tekintsük a 3.26. Tételbeli K⋅⋅ komplexust, jelölje D a K (totális) komplexus differenciálját. Kövesd a 3.26. Tétel bizonyítását az alábbi explicit formulákkal!

(a)
Lásd be, hogy
              {                       |                          }
Ker (Dp+q ) =  (a,b) ∈ Kp+1,q-1 ⊕ Kp,q||d (b) = 0,∂ ⋅(b) = (- 1)qd ⋅(a)
(b)
Tekintsük a következő részmodulust:
       {        |                                }
F p,q =  b ∈ Kp,q||∃a ∈ Kp+1,q-1 : ∂⋅(b) = (- 1)qd⋅(a )
Az alábbi képletekben kivételesen kiírjuk a d differenciál indexét. A 3.26. Tétel bizonyítása alapján lásd be, hogy
Im (dp,q-1) ≤ F p,q,  Ep,q ~= F p,q∕ Im (dp,q-1)
                      2
(c)
Az eddigiekből következik, hogy Hp+q(K) elemei reprezentálhatók Ker(Dp+q) elemeivel, és E2p,q elemei reprezentálhatók Fp,q elemeivel. Lásd be, hogy a 3.26. Tételbeli Hp+q(K) E 2p,q homomorfizmus megadható a következő módon:
Ker (Dp+q ) ∋ (a,b)------- b ∈ F p,q
         |                    |
         | --                 |
     Hp+q (K ⋅) -------------Ep,2q
(d)
Most ismét kiírjuk a d differenciál indexét. Tekintsük a
      p+1,q- 1     p+1,q- 1
Ker (d      ) ≤ K
részmodulust. Lásd be, hogy E2p+1,q-1 ennek a hányados-modulusa! Lásd be, hogy az a 3.26. Tételbeli E2p+1,q-1 Hp+q(K) homomorfizmus megadható a következő módon:
Ker (dp+1,q-1) ∋ a------- (a,0) ∈ Ker(Dp+q )
        |                         |
        |                         |
    Ep+1,q-1 ----------------Hp+q (K-⋅)
      2

3.28. Tétel. Legyen R egy nullosztómentes főideálgyűrű. Tegyük fel, hogy a 3.26. Tételbeli kettős komplexus R feletti szabad modulusokból áll. Ekkor a 3.26. Tétel egzakt sorozata felhasad. (Ez a felhasítás nem kanonikus.)

Bizonyítás. A bizonyításban felhasználjuk a 3.27. Feladatot. Tekintsük a (c) pontban szereplő diagramot, az alábbi jelölésekkel:

       p+q         ----ϕ----      p,q
Ker (D   |) ∋ (a, b)         b ∈ F
         |π                     |ρ
           --         ˜ϕ
     Hp+q (K⋅) ---------------Ep,2q
Mivel most Fp,q szabad modulus (4.4. Tények (h) pont), azért választhatunk egy
             ψ
Ker (Dp+q ) ← - F p,q
homomorfizmust, ami ϕ-nek jobboldali inverze (azaz ϕ-vel komponálva az Fp,q identitás-izomorfizmusát adja). Mivel ϕ szürjektív, azért
  (       )
ψ  Ker (ρ)  = Im (ψ) ∩ Ker(π ),
tehát ψ indukál egy
  p+q --⋅  ˜ψ    p,q
H    (K ) ← - E 2
homomorfizmust, ami ˜ϕ -nek jobboldali inverze.