23. Univerzális Együttható Tételek — topológia

Az univerzális együttható tételekre úgy érdemes gondolni, hogy az egészegyütthatós homológia-csoportok „lényegében meghatározzák” a tetszőleges G együtthatóval számolt homológia- és kohomológia-csoportokat.

23.1. Tétel (Univerzális Együttható tétel homológiára). Legyen X egy topológikus tér, G egy együttható csoport. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ X-től és G-től:

                         (     )         (              )
0 →  Hn (X; ℤ) ⊗ G  → Hn  X; G   →  Tor1  Hn -1(X; ℤ),G   →  0
Legyen most (X,A) egy tér-pár (11.1. Definíció). Ehhez is tartozik egy egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ az (X,A) pártól és G-től:
                                            (                 )
0 →  H  (X, A; ℤ )⊗G  →  H  (X, A;G ) →  Tor   H    (X, A;ℤ ),G  →  0
      n                   n                1    n-1
A fenti egzakt sorozatok felhasadnak. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 7.1. Tételt a Δ(X) illetve a Δ(X,A) komplexusokra.

23.2. Tétel (Univerzális Együttható tétel kohomológiára). Legyen X egy topológikus tér, G egy együttható csoport. Minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

          (              )       (     )         (            )
0 →  Ext1  Hn -1(X; ℤ ),G   →  Hn  X; G   →  Hom   Hn (X; ℤ),G   →  0
amelyik funktoriálisan függ X-től és G-től. Legyen most (X,A) egy topológikus pár (11.1. Definíció). Ehhez is tartozik egy egzakt sorozat:
        1(                 )      n(        )         (  n            )
0 →  Ext   Hn -1(X, A;ℤ ),G  →  H    X,A; G   →  Hom   H  (X, A;ℤ ),G   →  0
amelyik funktoriálisan függ az (X,A) pártól és G-től. A fenti egzakt sorozatok felhasadnak. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 7.4. Tételt a Δ(X) illetve a Δ(X,A) komplexusokra.

Az univerzális együttható tételek egy variációja pedig azt mutatja, hogy (bizonyos végességi feeltételek mellett) az egészegyütthatós kohomológia-csoportok is „lényegében meghatározzák” a tetszőleges G együtthatóval számolt homológia- és kohomológia-csoportokat.

23.3. Tétel (Univerzális Együttható tétel komológiára  II.). Legyen X egy topológikus tér, G egy együttható csoport. Tegyük fel vagy azt, hogy G végesen generált, vagy pedig azt, hogy Hn(X; ) végesen generált minden n-re. Ekkor minden n-re létezik egy egzakt sorozat:

                         (     )         (              )
0 →  Hn (X; ℤ) ⊗ G →  Hn   X; G  →  Tor1  Hn+1 (X; ℤ ),G   →  0
amelyik funktoriálisan függ X-től és G-től. Legyen most (X,A) egy topológikus pár (11.1. Definíció) most is feltesszük vagy azt, hogy G végesen generált, vagy pedig azt, hogy Hn(X,A; ) végesen generált minden n-re. Ekkor minden n-re létezik egy egzakt sorozat:
                           (       )         (                 )
0 →  Hn (X, A;ℤ )⊗G  →  Hn  X, A;G   →  Tor1  Hn+1 (X, A; ℤ),G   →  0
amelyik funktoriálisan függ az (X,A) pártól és G-től. Ezek az egzakt sorozatok felhasadnak. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 7.1. Tételt a Hom (Δ(X), ) illetve a Hom (Δ(X,A), ) komplexusokra. Menet közben használni kell az alábbi azonosságot:

Hom  (A, ℤ) ⊗ G =  Hom (A, G )
(7)

ahol A is egy Abel csoport, és vagy A vagy G végesen generált.

23.4. Feladat. Lásd be a (7) azonosságot (az ott megadott feltételek mellett)! Mutass rá ellenpéldát abban az esetben, ha sem A sem G nem végesen generált!

23.5. Feladat. A 23.3. Tétel Tor 1-es tagjában és az alábbi 23.6. Tétel Ext 1-es tagjában (n + 1)-edik kohomológia szerepel, pedig a bizonyításban használt 7.1. Tételben és a 7.4. Tételben (n - 1)-edik homológia szerepelt. Hogyan lehetséges ez?

23.6. Tétel (Univerzális Együttható tétel homológiára  II.). Legyen X egy topológikus tér, G egy együttható csoport. Tegyük fel, hogy Hn(X; ) végesen generált minden n-re. Ekkor minden n-re létezik egy egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ X-től és G-től:

          (              )       (     )         (            )
0 →  Ext1  Hn+1 (X; ℤ ),G  →  Hn  X; G   →  Hom   Hn (X; ℤ ),G   →  0
Legyen most (X,A) egy topológikus pár (11.1. Definíció) Ehhez is tartozik egy egzakt sorozat, amelyik funktoriálisan függ az (X,A) pártól és G-től:
        1(   n+1            )      (        )         (  n            )
0 →  Ext   H    (X, A;ℤ ),G   →  Hn  X,A; G   →  Hom   H  (X, A;ℤ ),G   →  0
A fenti egzakt sorozatok felhasadnak. (A felhasadás nem kanonikus.)

Bizonyítás. A 4.9. Lemma segítségével választunk végesen generált szabad approximációkat a Hom (Δ(X), )és a Hom (Δ(X,A), ) Abel csoport komplexusokhoz. Ezekre alkalmazzuk a 7.4. Tételt. Menet közben használni kell az alábbi azonosságot:

     (              )
Hom    Hom (F, ℤ),G   = F ⊗  G
(8)

ahol F egy végesen generált szabad Abel csoport.

23.7. Feladat. Lásd be a (8) azonosságot (az ott megadott feltételek mellett)! Mutass rá ellenpéldát abban az esetben, ha F nem szabad, vagy nem végesen generált!