17. Szinguláris lánc-komplexus, homológia és kohomológia

17.1. Definíció. A szinguláris lánc-komplexus funktor az S funktor és a CW-lánc-komplexus funktor kompozíciója. Tehát a topológikus terek kategóriájából (11.2. Definíció) képez az Abel csoport kompexusok kategóriájába, egy X topológikus térhez az alábbi komplexust rendeli:

           CW (     )
Δ⋅(X ) = Δ ⋅   S(X )
Általánosabban, egy (X,A) tér-pár szinguláris lánc-komplexusa:
                  ∕
Δ ⋅(X, A ) = Δ ⋅(X ) Δ ⋅(A )

17.2. Megjegyzés. Sok-sok egymással (többé-kevésbé) lánc-homotóp funktort használunk, a jelölésük is nagyon hasonló: Δ, ΔCW , Δ Szimpl, stb. Ebben a jegyzetben a szinguláris láncokkal tudunk legkényelmesebben dolgozni, azért azt jelöljük Δ-val, megkülönböztető kitevő nélkül.

17.3. Tétel.  

(a)
Δ : Top A-→b  egy kovariáns funktor. (11.2. Definíció, 2.2. Definíció).
(b)
Ha f,g homotóp függvények, akkor Δ(f) és Δ(g) lánc-homotópok.
(c)
Ha egy  h  függvény gyenge homotóp ekvivalencia, akkor Δ(h) egy lánc-ekvivalencia.
(d)
Ha az X tér olyan, hogy πn(X) = {1} minden n-re, akkor Δ(X) pontrahúzható komplexus (2.17. Következmény).

Ötlet: Azonnal következik a 16.6. Tételből és a 15.11. Tételból.

17.4. Definíció. Legyen G egy Abel csoport. Definiáljuk a G-együtthatós szinguláris homológia és a szinguláris kohomológia funktorokat.

   (     )         (           )
Hn  X; G    =   Hn  Δ ⋅(X ) ⊗ G
   (     )         (      (         ))
Hn  X; G    =   Hn   Hom   Δ ⋅(X ),G
Mindent általánosíthatunk tér-párokra is:
                     (             )
Hn (X, A;G )  =   Hn  Δ ⋅(X, A ) ⊗ G
                     (                   )
  n(       )        n       (           )
H   X, A;G    =   H    Hom   Δ ⋅(X, A ),G
Tekintsük azt a ko-láncot, amelyik minden 0-dimenziós szimplexhez ugyanazt a g G elemet rendeli — ezt is g-vel fogjuk jelölni (mint a konstans függvényeket). Ez egy ko-ciklus, tehát megad egy konstans kohomológia-osztályt, amit szintén g-vel jelölünk:
g ∈ H0 (X, A; G )    minden  g ∈ G -re.
Ebben a jegyzetben, ha mindenféle jelző nélkül homológiát illetve kohomológiát írunk, akkor az mindig a szinguláris homológiát illetve a szinguláris kohomológiát jelenti.

17.5. Tétel. Legyen X egy CW-komplexus. Létezik egy

        ~
Δ  (X )-=→  ΔCW  (X )
  ⋅          ⋅
természetes lánc-ekvivalencia.

Bizonyítás. A 16.5. Tétel szerint ev : S(X) X egy gyenge homotóp ekvivalencia. Erre alkalmazzuk a ΔCW funktort, a 15.11. Tétel miatt lánc-ekvivalenciát kapunk.

17.6. Feladat. Legyen X egy szimplíciális komplexus, vagy még általánosabban, egy delta-komplexus. A szimplex felbontás ad egy természetes ι : X S(X) beágyazást. Mutasd meg, hogy ι és ev (16.3. Definíció) egymás homotópia inverzei!

Tekintsük X szimplex-felbontását egy CW-felbontásnak. Az ι segítségével a 17.5. Tételbeli lánc-ekvivalencia inverze sokkal könnyebben számolható:

         CW      ~=
Δ ⋅(ι) : Δ ⋅ (X )-→  Δ ⋅(X )