15. CW-homológia, CW-kohomológia

Ebben a fejezetben sokat dolgozunk irányított sokaságokkal. Ez egy jól ismert fogalom, ha a dimenzió legalább egy, de érdemes pár szót szólni a nulla dimenziós sokaságokról:

15.1. Definíció. Egy 0-dimenziós sokaság irányítása azt jelenti, hogy minden pontja kap egy előjelet (+ vagy -). Egy 1-dimenziós irányított kompakt sokaság peremét úgy irányítjuk, hogy a benne szereplő szakaszok végpontjai + előjelet kapnak, a kezdőpontok pedig - előjelet.

Legyen X egy irányított kompakt 0-dimenziós sokaság, P egy irányított pont, f pedig az X → {P} leképezés (csak egy ilyen van). Jelölje deg(X) az X-beli + illetve - előjelű pontok számának különbségét! Ha P előjele +, akkor deg(f) = deg(X), ha pedig P előjele negatív, akkor deg(f) = - deg(X).

15.2. Konvenció. Ebben a fejezetben CW-komplexusokkal dolgozunk. Az n-cellák — definíció szerint — azonosítva vannak az n-dimenziós tömör egységgöbbbel, ezért irányított peremes sokaságok, a 0-cellák mindig + előjelet kapnak. Az n-cellák pereme tehát irányított (n-1)-dimenziós gömb. Speciálisan, az 1-cellák peremében a végpont + elöjelet, a kezdőpont - előjelet kap.

15.3. Definíció. Legyen X egy CW-komplexus. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Minden n 0-ra legyen ΔnCW (X) az X n-cellái által generált szabad Abel csoport. Amikor csoport-elemekről beszélünk, [enα]-nel jelöljük az e nα cellát. Legyen e nα egy n-cella, e n-1β pedig egy (n - 1)-cella. Tekintsük az alábbi kompozíciót:

     α                         ∨                pr
∂eα -ϕn→  X     →  X    ∕X    =     (eγ  ∕∂eγ  ) - β→ eβ   ∕∂eβ  .
  n       n-1     n- 1   n-2        n-1   n- 1      n- 1   n-1
                                γ
Ez egy
 α,β   n- 1     n- 1
ψn   : S   →  S
folytonos függvény. Könnyen látható, hogy minden enα cellához csak véges sok olyan en-1β cella található, amelyre a deg(ψ nα,β) fokszám (lásd a 13.10. Definíció) nem nulla. Minden n-re definiálunk egy homomorfizmust:
           ∂                 (    )   ∑
ΔCWn  (X )- → ΔCWn- 1(X )   ,  ∂ [eαn] =      deg(ψnα,β) ⋅ [eβn- 1].
                                       β
ΔnCW (X) elemeit n-láncoknak hívjuk. Ha L egy n-lánc, akkor ∂L-et hívjuk az L határának.

Be fogjuk látni, hogy a ΔnCW (X) csoportok a fenti homomorfizmusokkal egy komplexust alkotnak. Ez a ΔCW (X) komplexus az X tér CW-lánc-komplexusa.

15.4. Feladat. Lásd be, hogy a 15.3. Definícióban minden enα cellához csak véges sok olyan en-1β cella található, amelyre deg(ψnα,β)0.

Ötlet: A kompaktság miatt csak véges sok olyan cella van, amelyik teljes egészében benne van ϕnα képében.

15.5. Definíció. Legyenek X, Y CW-komplexusok és f : X Y egy CW-függvény (14.2. Definíció). Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Az X n-celláit enα-val jelöljük (α az index), az Y n-celláit pedig Enβ-val (β az index). Tekintsük az alábbi kompozíciót:

    f                   ∨  (        ) prβ
eαn -→  Yn →  Yn∕Yn -1 =     E γn∕∂E γn  -→  E βn∕∂E βn.
                         γ
Ez indukál egy
        ∕
fα,β : eα ∂e α→ E β∕∂E β
 n     n    n     n    n
folytonos függvényt (mindkét tér homeomorf az n-dimenziós gömbbel). Könnyen látható, hogy minden enα cellához csak véges sok olyan E nβ cella található, amelyre a deg(fnα,β) fokszám (lásd a 13.10. Definíciót) nem nulla. Minden n-re definiálunk egy homomorfizmust (és mindegyiket ugyanúgy, f*-gal jelöljük):
           f*                        ∑
ΔCWn  (X ) -→  ΔCWn  (Y )  ,  f*[eαn] =     deg(fαn,β) ⋅ [E βn].
                                      β
Be fogjuk látni, hogy ezek a homomorfizmusok összeállnak egy ΔCW (X) ΔCW (Y ) lánc-homomorfizmussá, amit szintén f *-gal fogunk jelölni!

Az előző két definícióban a 13.10. Definíció segítségével konstruáltunk láncokat. Ezt a konstrukciót szeretnénk most általánosítani. n-cellák helyett azonban most egy tetszőleges n-dimenziós sokaságot képezünk Xn-be.

15.6. Definíció. Legyen X egy CW-komplexus, M egy kompakt peremes n-dimenziós differenciálható sokaság, és f : M Xn egy folytonos függvény, ami az M peremét Xn-1-be képezi. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit! Minden enβ X n-cellára tekintsük az alábbi kompozíciót:

     f                    ∨  ( γ    γ) prβ  β   β
M  - →  Xn →  Xn ∕Xn -1 =     en∕∂e n  -→  en∕∂en.
                           γ
Ez egy M enβ∕∂e nβ folytonos függvény, ami az M peremét a kitüntetett pontba viszi, tehát indukál egy
˜fβ : M ∕∂M  →  eβ∕∂eβ ~= Sn
                n   n
folytonos függvényt. M∕∂M egy csúcsos sokaság, tehát beszélhetünk az f˜β fokáról (lásd a 13.10. Definíciót). Könnyen látható, hogy csak véges sok olyan enβ cella található, amelyre deg (f˜ β)0. Az f által indukált láncot így definiáljuk:
         ∑
f [M ] =     deg(f˜β) ⋅ [eβ].
 *                      n
          β

15.7. Feladat. A 15.6. Definícióban az f leképezés az X n-vázába érkezett. Miért nem engedhetünk meg minden folytonos f : M X leképezést, melyre f(∂M) Xn-1?

15.8. Tétel. Legyen X egy CW-komplexus, M egy kompakt peremes n-dimenziós differenciálható sokaság, és f : M Xn egy folytonos függvény, ami az M peremét Xn-1-be képezi. Ekkor

 (      )
∂  f [M  ] =  f [∂M  ],
    *         *
(3)

ahol a bal oldalon a 15.3. Definíció homomorfizmusa szerepel, a jobboldalon ∂M pedig az M pereme. Speciális esetben:

                     (      )
ha  M  zárt, akkor   ∂ f*[M ]  = 0.

Bizonyítás. A 13.11. Tétel szerint az egyenlet két oldala nem változik, ha az f-et kicseréljük egy vele homotóp leképezésre. Öt lépésben fogjuk az f-et feljavítani. Legyen enγ X egy olyan n-cella, amelyik teljes egészében benne van az f(M) képhalmazban. Az első két lépésben olyan homotópiákat alkalmazunk az f-re, amelyek csak az f-1(e nγ) halmazon változtatják.

1. lépés. A 13.7. Tétel segítségével elérjük, hogy legyen olyan Dγ n-dimenziós golyó az e nγ cella belsejében, amelynek f-1(Dγ) ősképe véges sok páronként diszjunkt n-dimenziós golyóból áll, és ezek mindegyikét f homeomorfan képezi Dγ-ra.

2. lépés. Alkalmazunk még egy homotópiát, amelyik a Dγ golyókat „felfújja”, hogy betöltse vele az egész enγ cellát, az e nγ\Dγ héjat pedig az enγ peremébe deformálja.

3.lépés. Az első két lépés deformációit megismételjük az összes olyan n-cellára, amelyik teljes egészében benne van az f(M) képhalmazban.

4. lépés. Legyen enβ egy olyan n-cella, amelyik kimaradt a 3. lépésben, tehát amelyiknek van f(M)-en kívül eső pontja. Egy homotópiával ebből a pontból „kifújjuk” az enβ cella tartalmát a peremre, tehát a homotópia alkalmazása után f(M) elkerüli enβ belsejét.

5. lépés, A 4. lépést megismételjük az összes olyan enβ cellára, amelyik nem szerepelt a 3. lépésben. Ezzel elérjük, hogy M belsejében legyen véges sok páronként diszjunkt n-dimenziós golyó, B1,Bm, melyek mindegyikét f homeomorfan képezi valamelyik n-cellára, és a komplementumot az X (n - 1)-vázába képezi.

Legyen B az összes Bi uniója. Ez egy peremes sokaság, és világos, hogy az f megszorítása B-re minden egyes n-cellát pontosan annyiszor fed le (előjelesen számolva), mint az illető cella együtthatója f*[M]-ben. Könnyen látható tehát, hogy

                               (      )

f*[B ] = f*[M ] és  f*[∂B ] = ∂ f *[M ] .
Legyen N az a peremes sokaság, amit úgy kapunk, hogy M-ből kivágjuk a B belsejét. Világos, hogy f(N) Xn-1, tehát 13.11. Tétel(c) miatt
f *[∂N ] = 0.
Az N pereme, mint halmaz, az M és a B pereméből áll össze — de B peremén meg kell fordítani az irányítást, hiszen N és B a perem „szemközti oldalán” helyezkedik el. Ezért
f*[∂M ] - f*[∂B ] = f*[∂N ] = 0.
A fenti kiemelt egyenleteket összevetve kapjuk a (3) egyenletet.

15.9. Tétel. Legyenek X, Y CW-komplexusok, f,g : X Y CW-függvények, és h : X × [0, 1|→ Y egy CW-homotópia f és g között.

(a)
ΔCW (X) komplexus, azaz 2 = 0.
(b)
f* : ΔCW (X) Δ CW (Y ) egy lánc-leképezés.
(c)
h indukál egy lánc-homotópiát f* és g* között.

Bizonyítás. Használjuk a 14.1. Konvenció jelöléseit. Legyen enα az X egyik n-cellája, Φ : enα X pedig az a leképezés, amelyik a cella belsejében az identitás, a peremen pedig megegyezik a ϕnα ragasztó leképezéssel. Az enα cella egy peremes sokaság, és a 15.6. Definícióból azonnal következik, hogy Φ*[enα] éppen az [e nα] Δ nCW (X) generátor elem. A 15.8. Tétel miatt tehát [enα] = Φ *[∂enα]. Ha most az ∂enα zárt sokaságra is alkalmazzuk a 15.8. Tételt, akkor azt kapjuk, hogy 2[e nα] = 0. Ez Δ nCW (X) minden generátorára teljesül, amiből következik az (a) állítás.

A fΦ kompozítió az enα peremes sokáságot az Y CW-komplexusba képezi. Összevetve a 15.6. Definíciót a 15.5. Definícióval láthatjuk, hogy az f*[enα] lánc megegyezik az (f Φ) *[enα] lánccal. A 15.8. Tétel miatt tehát (f*[enα]) = (f Φ) *[∂enα], amiről az (a) pontban már láttuk, hogy megegyezik az f*([enα]) lánccal. Ezzel beláttuk a (b) állítást.

Végül a h homotópia segítségével definiálunk minden n-re egy Lh : ΔnCW (X) Δ n+1CW (Y ) homomorfizmust:

   (
Ln  [eαn]) = h*[eαn × [0,1 ]].
Az enα × [0, 1] határa három, a peremük mentén összeragasztott, peremes sokaságból áll:
  (         )
∂  eαn × [0,1]  = ∂eαn × [0,1] ∪ en α × {0} ∪ enα × {1}.
Szigorúan véva enα×[0, 1] nem peremes sokaság (éle van), de homeomorf egy B tömör golyóval, tehát alkalmazhatjuk rá a 15.8. Tételt. Mivel h az „éleket” az X (n - 1)-vázába viszi, azért jogos h*[∂B] összegre bontása az aábbi egyenletben:
    ( α        [ α        ]
∂Ln  [en]) = ∂h* en × [0,1] =  h*[∂B ] =
    [   α      ]    [         ]    [        ]        (     )
= h *∂e n× [0,1 ]+h * enα ×{0 } +h * enα× {1}  = Ln -1 ∂[en] +f *[en]- g*[en]
Ebből látjuk, hogy az Ln homomorfizmusok összeállnak egy f* és g* közti ΔCW (X) Δ CW (Y ) lánc-homotópiává. Beláttuk a (c) állítást is.

15.10. Feladat. Legyenek X f
-→Y  g
-→Z CW-komplexusok közti CW-függvények. Lásd be, hogy

ΔCW  (g ∘ f) = ΔCW (g) ∘ ΔCW (f )
  ⋅             ⋅         ⋅

15.11. Tétel.  

(a)
ΔCW : Top CW A-→b egy kovariáns funktor. (2.2. Definíció és 14.3. Definíció).
(b)
Ha f,g homotóp CW-függvények (tetszőleges folytonosan homotópiával), akkor ΔCW (f) és Δ CW (g) lánc-homotópok.
(c)
Ha  h  egy olyan CW-függvény, amelyik gyenge homotóp ekvivalencia, akkor ΔCW (h) egy lánc-ekvivalencia.
(d)
Ha az X CW-komplexus pontrahúzható (topológikus térként), akkor ΔCW (X) pontrahúzható komplexus (2.17. Következmény).

Ötlet: A 14.10. Feladat miatt létezik egy CW-homotópia f és g között, Whitehead tétele (14.13. Tétel) miatt h egy homotóp ekvivalencia. Ezért a lemma következik a 15.9. Tételből és a 15.10. Feladatból.

15.12. Megjegyzés. Legyenek X, Y CW-komplexusok, f : X Y tetszőleges folytonos függvény! A 14.7. Tétel miatt f homotóp egy  ˜
f : X Y CW-függvényhez. A ΔCW ( ˜
f ) lánc-leképezés függ a  ˜
f választásától, de a 14.10. Feladat miatt bármely két választás lánc-homotóp leképezéseket ad. Jelöljük f*-gal a ΔCW (f˜ ) homotópia osztályát! A 14.7. Tételből és a 14.10. Feladatból következik, hogy

(a)
f* csak az [f] homotópia-osztálytól függ,
(b)
ha g : Y Z egy másik folytonos függvény, akkor (gf)* = g*f*,
(c)
ha f homotóp ekvivalencia, akkor f* is homotóp ekvivalencia,
(d)
ha X pontrahúzható, akkor ΔCW (X) is pontrahúzható.

15.13. Megjegyzés. Az előző megjegyzés tovább pontosítható: ΔCW kiterjeszthető Top CW -ből az Abel csoportok derivált kategóriájába menő funktorrá. Ez a funktor homotópia-invariáns, tehát indukál egy funktort a homotópia kategóriából az Abel csoportok derivált kategóriájába.

15.14. Definíció. Legyen G egy Abel csoport. Definiáljuk a G-együtthatós CW-homológia és a CW-kohomológia funktorokat:

  CW (     )        CW (  CW         )
H n   X; G    =   H n   Δ ⋅  (X ) ⊗ G
  n  (     )        n  (     (  CW        ))
H CW  X; G    =   H CW  Hom   Δ ⋅  (X ),G
Mindent általánosíthatunk CW-párokra is:
     CW               CW    ∕   CW
   Δ ⋅  (X, A)  =   Δ ⋅  (X  ) Δ ⋅  (A)
  CW (       )        CW (  CW            )
Hn    X, A;G    =   H n   Δ ⋅  (X, A ) ⊗ G
  n  (       )        n  (     (  CW           ))
H CW  X, A;G    =   H CW  Hom   Δ ⋅  (X, A ),G