CW-komplexusok

14.1. Konvenció. Legyen X egy CW-komplexus. A következő jelöléseket használjuk: X_n jelöli az n-vázát, {e_n^α} vagy {E_n^α} az n-cellák halmaza, ∂e_n^α az e_n^α cella pereme, ϕ_n^α : ∂e_n^α → X_n−1 a ragasztó leképezés. A definíció miatt e_n^α ∼
= Bⁿ egy golyó, ∂e_n^α ∼
= Sⁿ⁻¹ egy gömb, tehát e_n^α∕∂e_n^α ∼
= Sⁿ egy gömb, és X_n∕X_n−1 =∨ _αe_n^α∕∂e_n^α ∨_αSⁿ egy gömbökből álló csokor. Jelölje

∕ α∕ α prα : Xn Xn −1 → en ∂e n

azt a leképezést, ami az e_n^α

∂e_n^α gömbön az identitás, a csokor összes többi tagját az e_n^α

∂e_n^α kitüntetett pontjána viszi.

14.2. Definíció.

(a): Legyenek X és Y CW-komplexusok. Az X × Y szorzat téren is van egy cella-felbontás: minden X-beli cellát megszorzunk minden Y -beli cellával. Ez a cella-felbontás ad egy CW-komplexust, aminek a topológiája esetleg finomabb, mint a szorzat-topológia. Ezt az X és az Y CW-szorzatának hívjuk, és X ×_CWY -nal jelöljük. Lásd még a 14.5. Feladatot és a 14.6. Feladatot!
(b): Legyenek X és Y CW-komplexusok. Egy f : X → Y folytonos függvényt CW-függvénynek mondunk (angolul cellular-map), ha minden n-re az X n-vázát az Y n-vázába viszi.
(c): Tekintsük [0, 1] intervallumon a következő cella-felbontást: a két végpont, és az intervallum belseje. Egy X × _CW[0, 1] → Y homotópiát CW-homotópiának hívnk, ha CW-függvény.
(d): Ha X egy CW-komplexus és A ≤ X egy részkomplexus, akkor azt mondjuk, hogy (X,A) egy CW-pár. (vesd össze a 11.1. Definícióval). Legyenek (X,A) és (Y,B) CW-párok. Egy (X,A) → (Y,B) pár-leképezést CW-pár-leképezésnek hívunk, ha egyúttal CW-leképezés is. Hasonló módon értelmezhető a CW-pár-homotópia fogalma.

14.3. Definíció. Ebben a jegyzetben Top ^CW jelöli a CW-komplexusok kategóriáját a morfizmusok a CW-függvények. Hasonlóan: Top₂^CW jelöli a CW-párok kategóriáját a morfizmusok a CW-pár-leképezések. (vesd össze a 11.2. Definícióval).

14.4. Megjegyzés. A CW-komplexusokhoz hozzá tartozik a cella-felbontásuk. Bár ebben a jegyzetben nem foglalkozunk velük, hasonlóan fontos szerepük van az olyan topológikus tereknek, amelyek homotóp ekvivalensek egy CW-komplexussal. Ezeknek tehát nincs rögzített CW felbontásuk. A legtöbb CW-komplexusokra vonatkozó tétel általánosítható ilyen terekre is.

14.5. Feladat. Legyenek X, Y CW-komplexusok, tegyük fel, hogy az egyikük lokálisan kompakt. Lásd be, hogy X ×_CWY és X × Y (azaz a kétféle szorzat-topológia) megegyezik.

14.6. Feladat. Legyenek X, Y CW-komplexusok. Lásd be, hogy az X ×_CWY id
−→ X × Y leképezés egy gyenge homotóp ekvivalencia! Lásd be, hogy ha X lokálisan kompakt, akkor homeomorfizmus!

14.7. Tétel. Legyenek X és Y CW-komplexusok, A ≤ X egy rész-komplexus.

(a): Minden f : X → Y folytonos függvény homotóp egy CW-függvénnyel.
(b): Továbbá, ha előre adott egy h : A × [0, 1] → Y homotópia az f_A megszorításból egy ₀ CW-függvénybe, akkor választható ₀ kiterjesztésének és az f ∼ homotópia választható a h kiterjesztésének.

Ötlet: Dimenzió szerinti indukcióval bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az X_n ≤ X n-vázra igaz az állítás. Ezért az ˜
f ₀ függvény és a h homotópia kiterjeszthetők az X_n ∪ A részkomplexusra. Tekintsük az X egyik (n + 1)-celláját: ez egy Bⁿ⁺¹ golyó, ∂Bⁿ⁺¹ → X_n ragasztó leképezéssel. A következő két lépés részleteit az olvasóra hagyjuk:

14.8. Feladat. Lásd be, hogy az ₀ függvény és a h homotópia kiterjeszthetők erre a cellára is.

14.9. Feladat. Lásd be, hogy az egyes cellákra való kiterjesztések egymástól függetlenek, összeállnak egy, az egész (n+1)-vázon értelmezett függvénnyé, illetve homotópiává.

Tehát igaz a tételt az (n + 1)-vázra is. Az ₀ függvényt és a h homotópiát egymás után kiterjesztettük az összes X_n ∪A részkomplexusra (minden n-re). Ezek uniója az egész X, tehát X-re is igaz a tétel. □

14.10. Feladat. Legyenek X és Y CW-komplexusok. Lásd be, hogy ha az f,g : X → Y CW-függvények homotópok, akkor CW-homotópok is, sőt, minden f ∼ g homotópia homotóp egy CW-homotópiával!

14.11. Feladat. Legyenek (X,A) és (Y,B) CW-párok (14.2. Definíció). Lásd be a következőket:

(a): Minden (X,A) → (Y,B) pár-leképezés pár-homotóp egy (X,A) → (Y,B) CW-pár-függvénnyel (lásd a 14.2. Definíciót).
(b): Ha az f,g : (X,A) → (Y,B) CW-függvények folytonosan homotópok (mint párok közti leképezések), akkor van köztük CW-pár-homotópia is (14.2. Definíció).

14.12. Definíció. Legyenek X és Y topológikus terek. Egy f : X → Y folytonos leképezést gyenge homotóp ekvivalenciának mondunk, ha f_∗ : π_nX,x ∼
− =→ π_nY,f(x) izomorfizmus minden x ∈ X bázispontban, minden n ≥ 0 egészre.

14.13. Tétel (Whitehead tétele). Legyenek X, Y CW-komplexusok, f : X → Y egy gyenge homotópia ekvivalencia. Ekkor f homotóp ekvivalencia. Tegyük fel, hogy Y az X rész-komplexusa, és f az ebből adódó beágyazás. Ekkor többet is mondhatunk: Y az X deformációs retraktuma.

14.14. Feladat. Legyenek X, Y összefüggő CW-komplexusok, f,g : X → Y folytonos függvények. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be Whitehead tételének (14.13. Tétel) egy olyan változatát, ami azt dönti el, hogy f és g homotópok-e.

14. CW-komplexusok