22. Direkt szorzat és a Δ funktor

22.1. Tétel (Eilenberg-Zilber). Legyenek X,Y tópologikus terek. Létezik egy

Δ (X  × Y ) ~= Δ (X ) ⊗ Δ (Y )
  ⋅             ⋅        ⋅
lánc-ekvivalencia, amelyk kanonikusan függ X-től és Y -tól.

Bizonyítás. Ha A és B  CW-komplexusok, akkor

  CW            ~    CW         CW
Δ ⋅  (A ×CW  B )=  Δ ⋅  (A) ⊗ Δ ⋅  (B )
(5)

kanonikusan izomorf (14.2. Definíció). Ezt az azonosságot az A = S(X) és a B = S(Y )  CW-komplexusokra akarjuk alkalmazni. X gyengén homotóp ekvivalens az S(X)  CW-komplexussal (lásd a 16.5. Tételt), Y gyengén homotóp ekvivalens S(Y )-nal, ezért aztán X × Y gyengén homotóp ekvivalens az S(X) × S(Y ) szorzattal, ami viszont gyengén homotóp ekvivalens az S(X) ×CW S(Y )  CW-szorzattal (14.6. Feladat). Ezért a tétel következik az (5) azonosságból.

22.2. Következmény. Legyenek (X,A) és (Y,B) olyan tér-párok (11.1. Definíció), melyekre {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció). Ekkor van egy természetes lánc-ekvivalencia:

  (        (               ))
Δ ⋅ X × Y,  A × Y  ∪ X × B    ~=  Δ ⋅(X, A ) ⊗ Δ ⋅(Y,B )

Ötlet: Használjuk a 22.1. Tételt és a következő, modulusokra vonatkozó azonosságot:

                              ∕
(M  ∕N ) ⊗ (P∕Q ) ~ (M  ⊗  N ) (M  ⊗  Q + N  ⊗ P )
                  =
(6)

22.3. Feladat. Igazold a (6) azonosságot!

22.4. Megjegyzés. Érdekes az analógia van a szabad algebrák és az alábbi tétel között. Adott algebrai struktúrák egy A osztálya és egy X halmaz. Az X által generált szabad algebra egy olyan FX A algebra, amely tartalmazza X-et, és tetszőleges A A algebrába képező tetszőleges X A függvény egyértelműen kiterjeszthető egy Fx A homomorfizmussá. Az X halmazt hívjuk az FX szabad generátor rendszerének. Az FX szabad algebra, ha létezik, izomorfizmus erejéig egyértelmű, csak az X számosságától függ (meg persze A-tól). Szép A osztály esetén (pl. ha A-t azonosságokkal definiáljuk) a létezése is könnyen bizonyítható.

Tekintsük a „pozitív dimenzióban aciklikus” funktorok világát. Az alábbi tételünk arról szól, hogy Δ „szabad funktor”-ként működik ebben a világban, H0) játssza a „szabad generátor rendszer” szerepét. A bizonyítás még hangsúlyosabbá teszi az analógiát: az aciklikusságot „azonosság”-ként értelmezzük.

22.5. Tétel (Eilenberg, aciklikus modellek módszere). Legyen G egy funktor, ami topológikus terekhez komplexusokat rendel (és folytonos függvényekhez lánc-homomorfizmusokat). Tegyük fel, hogy

  (        )
Hn  G⋅(Δm  ) =  0  ha n ≥ 1 és m  ≥ 0,
ahok Δm jelöli az m-dimenziós szimplexet (16.1. Definíció). Ekkor
(a)
Minden t : H0(X; ) H0(G(X)) természetes transzformáció egy (X-től függő) természetes τ : Δ G lánc-homomorfizmusból származik: t = H0(τ).
(b)
A fenti τ nem feltétlenül egyértelmű. Ha ˜τ : Δ G egy másik természetes lánc-homomorfizmus amire H0(τ) = H0(τ˜ ), akkor τ és ˜τ lánc-homotópok egy D (X-től függő) természetes lánc-homotópiával.

22.6. Feladat. Lásd be, hogy H0(Δ(X)) kanonikusan izomorf az X összefüggő komponenzei által szabadon generált szabad Abel csoporttal. Konstruálj ez alapján egy H0) H0) H0) természetes transzformációt!

22.7. Következmény. Létezik egy olyan Δ τ⋅
-→ΔΔ természetes transzformáció, amire H0(τ) éppen a 22.6. Feladat természetes transzformációja, és bármely két ilyen transzformációt összeköt egy természetes lánc-homotópia.

Bizonyítás. A G = ΔΔ funktor kielégíti a 22.5. Tétel feltételeit.

22.8. Konstrukció. Az alábbi diagramon δ jelöli az X X × X átló-leképezést, EZ pedig az Eilenberg-Zilber tételben (22.1. Tétel) szereplő lánc-ekvivalenciát, τ pedig a két másik lánc-homomorfizmus kompozíciója:

                        τ
           --------------⋅--------------
       ----Δ (δ)                        ---
Δ ⋅(X ) -----⋅----Δ ⋅(X × X ) ----EZ----Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )
Ez a τ nyilván kielégíti a 22.7. Következmény feltételeit. Sajnos az EZ leképezés definíciója nem konstruktív, invertálni kell hozzá néhány lánc-ekvivalenciát. Íme, egy másik, teljesen explicit konstrukció, az Alexander-Whitney lánc-homomorfizmus:
            ⊕                     ∑
τn : Δn →       Δp  ⊗ Δq,   σ →       pσ ⊗ σq,
           p+q=n                 p+q=n
ahol σ egy szinguláris n-szimplex, pσ illetve σq jelöli a σ szimplex első p+1, illetve utolsó q+1 csúcsa által kifeszített lapot. Tehát dim (pσ) = p, dim (σq) = q, és a két lapnak egyetlen közös csúcsa van: a (p + 1)-edik. A két konstrukció természetesen különböző τ lánc-homomorfizmusokat ad, de a 22.7. Következmény miatt ezek lánc-homotópok.

22.9. Feladat. Tekintsük a 22.8. Konstrukciót.

(a)
Lásd be, hogy az Alexander-Whitney lánc-homomorfizmus valóban lánc-homomorfizmus!
(b)
Lásd be, hogy mindkét τ transzformáció kielégíti a 22.7. Következmény feltételeit! (Tehát lásd be, hogy természetes transzformációk, és lásd be, hogy H0(τ) éppen a 22.6. Feladatbeli homomorfiznus!)
(c)
Ebből persze következik, hogy a két konstrukció egymással lánc-ekvivalens τ lánc-homomorfizmusokat ad.

22.10. Tétel. Legyn τ a 22.7. Következménybeli lánc-homomorfizmus!

(a)
Jelölje  σ : Δ(X)Δ(X) ~=
-→Δ(X)Δ(X)  az  xy yx  szimmetriát. Az alábbi kompozíció lánc-homotóp τ-val:
Δ  (X ) -τ→⋅ Δ  (X ) ⊗ Δ (X )-σ→⋅ Δ  (X ) ⊗ Δ (X )
  ⋅          ⋅        ⋅          ⋅        ⋅
(b)
Jelolje  ψ  tenzor szorzat asszociativitás-izomorfizmusát. Tekintsük az alábbi diagramot:
                             idΔ⋅(X)⊗τ⋅  Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )
Δ ⋅(X )--τ⋅- Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )                      ψ

                             τ⋅⊗idΔ ⋅(X)  Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )
A következő két kompozíció lánc-homotóp:
    (          )       (            )
ψ ∘  idΔ⋅(X)⊗ τ⋅ ∘ τ⋅ ~ τ⋅ ⊗ idΔ⋅(X ) ∘ τ⋅

Bizonyítás. Mindkét állítás azonnal következik a 22.5. Tételből.

22.11. Feladat. Tekintsük az olyan (X,A,B) hármasok kategóriáját, amelyekben X topológikus tér, A,B X, és {A,B} jól vágnak.

(a)
Lásd be a 22.5. Tétel analógját az (X,A,B) Δ(X,A B) funktorra!
(b)
Ez alapján mutasd meg a 22.7. Következmény általánosítását: hogy van egy lánc-homotópia erejéig egyértelmű természetes transzformáció:
Δ (X, A ∪ B ) → Δ  (X, A) ⊗ Δ (X, B )
  ⋅               ⋅           ⋅