21. Kivágás, Mayer-Vietoris sorozat

21.1. Tétel (Kivágás). Legyenek A és B olyan részhalmazok az X topológikus térben, melyekre B int(A). Ekkor a Δ(X \ B,A \ B) Δ(X,A) lánc-leképezés egy lánc-ekvivalencia.

21.2. Definíció. Legyenek X, Y egy topológikus tér alterei. Azt mondjuk, hogy {X,Y } jól vág (angolul: excisive), ha

X  ∪ Y =  int(X ) ∪ int(Y ),
ahol a halmazok belsejét az XY topológiájában számoljuk. Speciálisan, ha Y X, akkor {X,Y } jól vág.

21.3. Lemma. Ha {X,Y } jól vág, akkor az alábbi (szinguláris) lánckomplexusok közti beágyazás lánc-ekvivalencia:

Δ (X ) + Δ (Y ) `→ Δ  (X ∪ Y )
 ⋅        ⋅         ⋅
Ebből tenzor-szorzás, illetve a Hom funktor segítségével kapjuk az alábbi lánc-leképezéseket, ezek is lánc-ekvivalenciák. (G tetszőleges abel-csoport.)
Δ ⋅(X ) ⊗ G + Δ ⋅(Y) ⊗ G `→  Δ⋅(X ∪ Y ) ⊗ G
     (         )        (        )         (              )
Hom   Δ ⋅(X ),G  +  Hom   Δ ⋅(Y ),G  `→  Hom   Δ ⋅(X ∪ Y ),G

21.4. Feladat. Lásd be a 21.1. Tétel következő általánosítását: ha {X,Y } jól vág jól, akkor (X,X Y )`→(X Y,Y ) izomorfizmust indukál a szinguláris homológiákon, és kohomológiákon!

21.5. Tétel (Mayer-Vietoris sorozat). Legyenek X,Y,A,B alterek egy topológikus térben, melyekre A X és B Y . Tegyük fel, hogy {X,Y } és {A,B} jól vágnak. Tekintsük az alábbi funktoriális rövid egzakt sorozat:

                                              (              )∕ (              )
0 →  Δ⋅(X ∩Y, A ∩B ) → Δ ⋅(X, A)⊕ Δ ⋅(Y, B) →   Δ ⋅(X )+ Δ ⋅(Y )     Δ⋅(A )+ Δ ⋅(B )  →  0
Alább láthatók hozzá tartozó hosszú egzakt sorozatok (homológiára és kohomológiára). Tetszőleges együttható-csoporttal (vagy modulussal) érvényesek, az olvashatóság kedvéért az együtthatókat nem tüntettük fel:
δ*                 i*                     j*                 ∂*                    i*
→  Hq (X ∩Y, A ∩B ) →  Hq (X, A )⊕Hq (Y, B )→  Hq (X ∪Y, A∪B  )→  Hq -1(X ∩Y, A∩B  )→
δ*   q             j*   q          q       i*   q             δ*   q+1             j*
→  H  (X ∪Y, A∪B  )→  H  (X, A)⊕H   (Y,B ) →  H (X ∩Y, A ∩B ) →  H    (X ∪Y, A∪B  )→