14. CW-komplexusok

14.1. Konvenció. Legyen X egy CW-komplexus. A következő jelöléseket használjuk: Xn jelöli az n-vázát, {enα} vagy {E nα} az n-cellák halmaza, ∂enα az e nα cella pereme, ϕ nα : ∂e nα Xn-1 a ragasztó leképezés. A definíció miatt enα~
=Bn egy golyó, ∂enα~
=Sn-1 egy gömb, tehát e nα∕∂e nα~
=Sn egy gömb, és X n∕Xn-1 = α(enα∕∂e nα)~= αSn egy gömbökből álló csokor. Jelölje

        ∕          α∕   α
prα : Xn Xn -1 →  en ∂e n
azt a leképezést, ami az enα/∂e nα gömbön az identitás, a csokor összes többi tagját az enα/∂e nα kitüntetett pontjána viszi.

14.2. Definíció.  

(a)
Legyenek X és Y CW-komplexusok. Az X × Y szorzat téren is van egy cella-felbontás: minden X-beli cellát megszorzunk minden Y -beli cellával. Ez a cella-felbontás ad egy CW-komplexust, aminek a topológiája esetleg finomabb, mint a szorzat-topológia. Ezt az X és az Y CW-szorzatának hívjuk, és X ×CW Y -nal jelöljük. Lásd még a 14.5. Feladatot és a 14.6. Feladatot!
(b)
Legyenek X és Y CW-komplexusok. Egy f : X Y folytonos függvényt CW-függvénynek mondunk (angolul cellular-map), ha minden n-re az X n-vázát az Y n-vázába viszi.
(c)
Tekintsük [0, 1] intervallumon a következő cella-felbontást: a két végpont, és az intervallum belseje. Egy X × CW [0, 1] Y homotópiát CW-homotópiának hívnk, ha CW-függvény.
(d)
Ha X egy CW-komplexus és A X egy részkomplexus, akkor azt mondjuk, hogy (X,A) egy CW-pár. (vesd össze a 11.1. Definícióval). Legyenek (X,A) és (Y,B) CW-párok. Egy (X,A) (Y,B) pár-leképezést CW-pár-leképezésnek hívunk, ha egyúttal CW-leképezés is. Hasonló módon értelmezhető a CW-pár-homotópia fogalma.

14.3. Definíció. Ebben a jegyzetben Top CW jelöli a CW-komplexusok kategóriáját a morfizmusok a CW-függvények. Hasonlóan: Top 2CW jelöli a CW-párok kategóriáját a morfizmusok a CW-pár-leképezések. (vesd össze a 11.2. Definícióval).

14.4. Megjegyzés. A CW-komplexusokhoz hozzá tartozik a cella-felbontásuk. Bár ebben a jegyzetben nem foglalkozunk velük, hasonlóan fontos szerepük van az olyan topológikus tereknek, amelyek homotóp ekvivalensek egy CW-komplexussal. Ezeknek tehát nincs rögzített CW felbontásuk. A legtöbb CW-komplexusokra vonatkozó tétel általánosítható ilyen terekre is.

14.5. Feladat. Legyenek X, Y CW-komplexusok, tegyük fel, hogy az egyikük lokálisan kompakt. Lásd be, hogy X ×CW Y és X × Y (azaz a kétféle szorzat-topológia) megegyezik.

14.6. Feladat. Legyenek X, Y CW-komplexusok. Lásd be, hogy az X ×CW Y  id
-→X × Y leképezés egy gyenge homotóp ekvivalencia! Lásd be, hogy ha X lokálisan kompakt, akkor homeomorfizmus!

14.7. Tétel. Legyenek X és Y CW-komplexusok, A X egy rész-komplexus.

(a)
Minden f : X Y folytonos függvény homotóp egy f˜ CW-függvénnyel.
(b)
Továbbá, ha előre adott egy h : A × [0, 1] Y homotópia az f|A megszorításból egy f˜ 0 CW-függvénybe, akkor f˜ választható  ˜
f0 kiterjesztésének és az f ~  ˜
f homotópia választható a h kiterjesztésének.

Ötlet: Dimenzió szerinti indukcióval bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az Xn X n-vázra igaz az állítás. Ezért az ˜
f 0 függvény és a h homotópia kiterjeszthetők az Xn A részkomplexusra. Tekintsük az X egyik (n + 1)-celláját: ez egy Bn+1 golyó, ∂Bn+1 X n ragasztó leképezéssel. A következő két lépés részleteit az olvasóra hagyjuk:

14.8. Feladat. Lásd be, hogy az f˜ 0 függvény és a h homotópia kiterjeszthetők erre a cellára is.

14.9. Feladat. Lásd be, hogy az egyes cellákra való kiterjesztések egymástól függetlenek, összeállnak egy, az egész (n+1)-vázon értelmezett függvénnyé, illetve homotópiává.

Tehát igaz a tételt az (n + 1)-vázra is. Az ˜f 0 függvényt és a h homotópiát egymás után kiterjesztettük az összes Xn A részkomplexusra (minden n-re). Ezek uniója az egész X, tehát X-re is igaz a tétel.

14.10. Feladat. Legyenek X és Y CW-komplexusok. Lásd be, hogy ha az f,g : X Y CW-függvények homotópok, akkor CW-homotópok is, sőt, minden f ~ g homotópia homotóp egy CW-homotópiával!

Ötlet: Használd a 14.7. Tételt!

14.11. Feladat. Legyenek (X,A) és (Y,B) CW-párok (14.2. Definíció). Lásd be a következőket:

(a)
Minden (X,A) (Y,B) pár-leképezés pár-homotóp egy (X,A) (Y,B) CW-pár-függvénnyel (lásd a 14.2. Definíciót).
(b)
Ha az f,g : (X,A) (Y,B) CW-függvények folytonosan homotópok (mint párok közti leképezések), akkor van köztük CW-pár-homotópia is (14.2. Definíció).

Ötlet: Használd a 14.7. Tételt!

14.12. Definíció. Legyenek X és Y topológikus terek. Egy f : X Y folytonos leképezést gyenge homotóp ekvivalenciának mondunk, ha f* : πn(X,x)  ~
- =→πn(Y,f(x)) izomorfizmus minden x X bázispontban, minden n 0 egészre.

14.13. Tétel (Whitehead tétele). Legyenek X, Y CW-komplexusok, f : X Y egy gyenge homotópia ekvivalencia. Ekkor f homotóp ekvivalencia. Tegyük fel, hogy Y az X rész-komplexusa, és f az ebből adódó beágyazás. Ekkor többet is mondhatunk: Y az X deformációs retraktuma.

14.14. Feladat. Legyenek X, Y összefüggő CW-komplexusok, f,g : X Y folytonos függvények. Fogalmazd meg, és bizonyítsd be Whitehead tételének (14.13. Tétel) egy olyan változatát, ami azt dönti el, hogy f és g homotópok-e.