20. DeRham kohomológia

20.1. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. T*M jelöli az érintő nyaláb duálisát — ezt ko-érintő nyalábnak is nevezik, ennek szelései az 1-formák. kT*M jelöli a ko-érintő nyaláb k-adik külső hatványát — ennek szelései a k-formák. Jelölje Ωk(M) az egész M-en értelmezett k-formák terét! A külső deriválás minden k-ra egy d : kTM k+1T*M differenciál operátor, tehát egy d : Ωk(M) Ωk+1(M) lineáris leképezés ami kielégíti a Leibnitz-szabályt. Érdemes megemlíteni, hogy d2 = 0, és hogy Ω0(M) nem más, mint az M-en értelmezett sima függvények tere.

20.2. Definíció. Legyenek M, N differenciálható sokaságok, és f : M N egy sima függvény! Jelölje f*TN az N érintő-nyalábjának visszahúzottját! Az f deriváltja felfogható egy df : TM f*TN nyaláb-leképezésnek, azaz a Hom (TM,f*TN) nyaláb egy szelésének. (Lokális koordinátarendszerben ez egy mátrix-értékű függvény: az f Jacobi-mátrixa.) Ennek a duálisa indukál f* : Ωk(N) Ωk(M) homomorfizmusokat minden k-ra. (Tehát a differenciál-formákat „vissza lehet húzni”.)

Mézd még meg Stokes tételét!

20.3. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. Az alábbi komplexust de Rham komplexusnak nevezzük:

      0      d    1      d   2       d
0 →  Ω (M ) -→  Ω  (M ) -→  Ω (M  )- → ...
Ez valóban komplexus, hiszen d2 = 0. Az ő k-adik homológiája az M  k-adik de Rham kohomológiája (ez egy valós vektortér), jelölésben: HdRk(M). Bővebb információt itt találsz.

20.4. Feladat. Lásd be, hogy Ω egy kontravariáns funktor a differenciálható sokaságok (és sima leképezések) kategóriájából a vektortér komplexusok kategóriájába!

Ötlet. Lásd be, hogy a differenciál-formák visszahúzása kommutál a d operátorral!

20.5. Feladat. Legyen M egy sokaság, jelölje Δdiff(M) Δ (M) azt a rész-komplexust, amit a folytonosan differenciálható szinguláris szimplexek generálnak! Lásd be, hogy a Δdiff(M) Δ (M) beágyazás lánc-ekvivalencia!

Ötlet: Imitáld a 16.7. Lemmát, és a bizonyítását. Ehhez szükséged lehet a 13.6. Tételre.

20.6. Feladat. Legyen M egy sokaság, ω egy n-forma. Minden σ folytonosan differenciálható szinguláris n-szimplexhez rendeljük hozzá az σω valós számot. Ezt lineárisan kiterjesztjük egy In : Ωn(M) Hom (Δndiff(M), ) homomorfizmussá. Stokes tétele segítségével lásd be, hogy ezek összeállnak egy

     ⋅            (  diff      )
I : Ω (M  ) → Hom   Δ ⋅   (M  ),ℝ
lánc-homomorfizmussá, sőt, I egy természetes transzformáció az Ω és a Hom (Δdiff, ) funktorok között!

20.7. Tétel (Homotóp invariancia). Legyenek M, N differenciálható sokaságok, f,g : M N egymással homotóp sima leképezések. A hozzájuk tartozó két visszahúzás, f*,g* : Ω(N) Ω(M), homotóp ekvivalens.

Bizonyítás. Egy bizonyítást itt olvashatsz.

20.8. Következmény (Poincaré lemma). Legyen M egy pontrahúzható sokaság, és ϕ Ωk(M), 1 k dim(M), egy olyan k-forma, amelyre = 0 (azaz ω zárt forma). Ekkor van olyan ψ Ωk-1(M), amelyre = ϕ (azaz ϕ egzakt forma). Ebből azonnal következik, hogy az Ω(M) de Rham komplexus pontrahúzható (2.17. Következmény).

Bizonyítás. Következik a 20.7. Tételből.

20.9. Feladat (Poincaré lemma változata). Legyen M megint egy pontrahúzható sokaság, és jelölje M Ω0(M) az M konstans függvények halmazát. Mutasd meg, hogy az alábbi sorozat egzakt:

             0     d   1     d   2      d
0 → ℝM  →  Ω  (M ) → Ω  (M ) →  Ω (M ) →  ⋅⋅⋅

20.10. Tétel (de Rham tétele). A 20.6. Feladatban szereplő I : Ω Hom (Δ diff) lánc-leképezés lánc-homotóp-ekvivalencia.

Bizonyítás. Legyen T az M sokaság egy szimplex-felbontása (ilyen van Whitney tétele miatt), jelöljük Tk-val a T -beli k-szimplexek halmazát! Vegyük észre, hogy a szimplex-felbontásunk lokálisan véges, azaz minden pontnak van olyan környezete amelyet csak véges sok szimplex metsz! Ha a differenciál-formákat csak a T -beli szimplexeken integráljuk, akkor az I leképezés mintájára egy I˜ : Ω(M) Hom (Δ diff(M), ) lánc-leképezést. A 20.5. Feladat miatt elég belátnunk, hogy ˜I lánc-homotóp-ekvivalencia. Ezért konstruálunk egy J : Hom (Δ diff(M), ) Ω(M) homotópia inverzet.

Rögzítünk egy k 0 egészet! Minden σ Tk szimplexhez választunk egy Uσ M nyílt halmazt úgy, hogy mindegyik σ Tk metszi Uσ-t, és az Uσ halmazok páronként diszjunktak. Minden σ Tk-ra választunk olyan ψσ Ωk(M) differenciál-formát, amelyik nulla az Uσ halmazon kívül, és σψσ = 1. Ezután minden f : Δk(M) koláncra legyen

  k      ∑
J  (f) =     f (σ ) ⋅ ψ σ.
         σ∈Tk
Világos, hogy ˜I(Jk(f)) = f. Az is igaz, hogy J ˜I homotóp az identitáshoz (az Ω(M) komplexuson), de azt most nem bizonyítjuk.

20.11. Tétel. Legyen M egy differenciálható sokaság, U egy jó fedése. Az M de Rham komplexusa lánc-ekvivalens a Č(X,U; G) Čech komplexussal. Ezért minden n-re:

HndR(M ) ~= Hˇn (X; ℝ )

Bizonyítás. A azonnal következik a 3.24. Következményből, csak a megfelelő kettős komplexust kell kitölteni — amit az olvasóra bízunk!

20.12. Feladat. Töltsd ki az előző bizonyítás végén felbukkanó kettős komplexust! Lásd be, hogy a sorok és az oszlopok valóban egzaktak!

Ötlet: Minden (p + 1)-elemű J I részhalmazhoz készítsd el a

Ωq (⋂    U )
      j∈J  j
csoportot. Ezek direkt szorzata legyen a 3.24. Következményben keresett Mp,q csoport! A q irányban a differenciál legyen a differenciál formák d operátora. A p iránban pedig imitáld a Čech komplexus differenciálját! Minden q irányú oszlop DeRham komplexusok direkt szorzata, az egzaktság a Poincaré lemmából következik. Tekints egy p irányú sort, egység-osztás segítségével lásd be, hogy pontrahúzható (2.17. Következmény). Ebből következik a p irányú egzaktság.

20.13. Feladat (de Rham tétel másik bizonyítása). Lásd be a 20.10. Tételt a 20.11. Tétel és a 19.5. Tétel segítségével.

20.14. Feladat (de Rham tétel harmadik bizonyítása). Lásd be a Mayer-Vietoris tétel (21.5. Tétel) de Rham kohomológiára vonatkozó változatát! Mutasd meg, hogy ebből is következik a 20.10. Tétel!