DeRham kohomologia

20.1. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. T^*M jelöli az érintő nyaláb duálisát — ezt ko-érintő nyalábnak is nevezik, ennek szelései az 1-formák. ∧ ^kT^*M jelöli a ko-érintő nyaláb k-adik külső hatványát — ennek szelései a k-formák. Jelölje Ω^k(M) az egész M-en értelmezett k-formák terét! A külső deriválás minden k-ra egy d : ∧ ^kT^M → ∧^k+1T^*M differenciál operátor, tehát egy d : Ω^k(M) → Ω^k+1(M) lineáris leképezés ami kielégíti a Leibnitz-szabályt. Érdemes megemlíteni, hogy d² = 0, és hogy Ω⁰(M) nem más, mint az M-en értelmezett sima függvények tere.

20.2. Definíció. Legyen M egy differenciálható sokaság. Az alábbi komplexust deRham komplexusnak nevezzük:

0 d 1 d 2 d 0 → Ω (M ) -→ Ω (M ) -→ Ω (M )- → ...

Ez valóban komplexus, hiszen d² = 0. Az ő k-adik homológiája az M k-adik deRham kohomológiája (ez egy valós vektortér), jelölésben: H_dR^k(M). Bővebb információt itt találsz.

20.3. Feladat. Legyen M egy sokaság, jelölje Δ⋅^diff(M) ≤ Δ ⋅(M) azt a rész-komplexust, amit a folytonosan differenciálható szinguláris szimplexek generálnak! Lásd be, hogy a Δ⋅^diff(M) ≤ Δ ⋅(M) beágyazás lánc-ekvivalencia!

Ötlet: Imitáld a 16.7. Lemmát, és a bizonyítását. Ehhez szükséged lehet a 13.6. Tételre. □

20.4. Feladat. Legyen M egy sokaság, ω egy n-forma. Minden σ folytonosan differenciálható szinguláris n-szimplexhez rendeljük hozzá az ∫ _σω valós számot. Ezt lineárisan kiterjesztjük egy ⁿ : Ωⁿ → Hom Δn^diff, ℝ homomorfizmussá. Stokes tétele segítségével lásd be, hogy ezek összeállnak egy

( ) I : Ω⋅ → Hom Δdi⋅ff ,ℝ

lánc-homomorfizmussá!

20.5. Lemma (Poincaré lemma). Ha M ⊆ ℝⁿ egy pontrahúzható nyílt részhalmaz, akkor az M deRham komplexusa pontrahúzható (lásd a 2.17. Következményt). Egy bizonyítást itt olvashatsz.

20.6. Feladat (Poincaré lemma változata). Legyen M ⊆ ℝⁿ megint egy pontrahúzható nyílt részhalmaz, és jelölje ℝ_M ⊆ Ω⁰(M) az M → ℝ konstans függvények halmazát. Mutasd meg, hogy az alábbi sorozat egzakt:

0 d 1 d 2 d 0 → ℝM → Ω (M ) → Ω (M ) → Ω (M ) → ⋅⋅⋅

20.7. Tétel. Legyen M egy differenciálható sokaság, egy jó fedése. Az M deRham komplexusa lánc-ekvivalens a Č^⋅X,; G Čech komplexussal. Ezért minden n-re:

n ~ ˇn H dR(M ) = H (X; ℝ )

Bizonyítás. A azonnal következik a 3.24. Következményből, csak a megfelelő kettős komplexust kell kitölteni — amit az olvasóra bízunk! □

20.8. Feladat. Töltsd ki az előző bizonyítás végén felbukkanó kettős komplexust! Lásd be, hogy a sorok és az oszlopok valóban egzaktak!

Ötlet: Minden (p + 1)-elemű J ⊆ I részhalmazhoz készítsd el a

Ωq (⋂ U ) j∈J j

csoportot. Ezek direkt szorzata legyen a 3.24. Következményben keresett M^p,q csoport! A q irányban a differenciál legyen a differenciál formák d operátora. A p iránban pedig imitáld a Čech komplexus differenciálját! Minden q irányú oszlop DeRham komplexusok direkt szorzata, az egzaktság a Poincaré lemmából következik. Tekints egy p irányú sort, egység-osztás segítségével lásd be, hogy pontrahúzható (2.17. Következmény). Ebből következik a p irányú egzaktság. □

20.9. Tétel (deRham tétel). Legyen M differenciálható sokaság. Az M deRham komplexusa lánc-ekvivalens a Hom Δ⋅(M),ℝ komplexussal, és ez a lánc-ekvivalencia természetes. Ezért minden n-re:

Hn (M ) ~= Hn (M ;ℝ ) dR

20.10. Feladat (deRham tétel másik bizonyítása). Próbáld meg belátni, hogy a 20.4. Feladatban konstruált : Ω^⋅ → Hom Δ ⋅^diff, ℝ lánc-homomorfizmus lánc-ekvivalencia. Ebből, és a 20.3. Feladatból következik a 20.9. Tétel.

20. DeRham kohomológia