33. Poincaré sorok

33.1. Definíció (Poincaré-sor). Legyen V = n=0V n egy olyan fokszámozott vektortér egy tetszőleges test felett, melynek minden homogén komponense véges dimenziós. Az alábbi hatványsort a V Poincaré-sorának nevezzük:

         ∑∞
PV (t) =    dim (Vn)tn
         n=0

33.2. Megjegyzés. Ha A = n=0A n egy végesen generált fokszámozott gyűrű, akkor A egy olyan fokszámozott algebra a racionális szám-test felett, melynek minden homogén komponense véges dimenziós, ezért beszélhetünk a PA(t) Poincaré-sorról. A homogén generátor-rendszer mérete szerinti indukcióval bizonyítható, hogy ebben az esetben a Poincaré-sor összege egy racionális törtfüggvény.

33.3. Példa. Az M = Gr(k, ) Grassmann-sokaság -együtthatós kohomológia-gyűrűjének Poincaré-sora:

                ∏k     1
PH *(M;ℤ)⊗ ℚ(t) =    -----2i
                 i=1 1 - t

33.4. Példa. Az M = Gr(k, ) Grassmann-sokaság 2-együtthatós kohomológia-gyűrűjének Poincaré-sora:

               ∏k
P  *     (t) =     --1---
  H (M;ℤ2)         1 - ti
               i=1