[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

28. A Leray-Hirsch tétel

Direkt szorzatok kohomológia-gyűrűjéről a Künneth tételek adnak nagyon sok információt (lásd a 25. és a 26. szakaszokat). A direkt szorzat egyik általánosítása a nyaláb fogalma (lásd a 12.2. Definíciót). Belátjuk, hogy bizonyos feltételek mellett a nyalábok kohomológia-csoportjai is könnyen számolhatók. A gyűrű-struktúráról viszont ez a módszer nem ad számot.

28.1. Tétel (Leray-Hirsch). Legyen F→iE→pB egy nyaláb (12.2. Definíciót), és R egy kommutatív gyűrű! A p∗ kohomológia-homomorfizmus segítségével a H∗(E; R) kohomológia-gyűrű egy H∗(B; R)-modulusnak tekinthető (lásd a 27.10. Következmény (b) pontját). Tegyük fel, hogy

(a)
Hn(F; R) végesen generált szabad R-modulus minden n-re,
(b)
vannak olyan cj ∈ Hkj(E; R) kohomológia osztályok, amelyeknek tetszőleges F rostra való i∗c j megszorításai együttvéve a H∗(F; R) szabad R-modulus bázisát alkotják.

Ekkor H∗(E; R) egy szabad H∗(B; R)-modulus, a c j osztályok egy bázist alkotnak. Az izomorfizmust megadjuk a csésze-szorzat segítségével:

∗ ∗ ∼= ∗ ( ∗ ) ∗ Φ : H (B; R) ⊗R H (F ;R )− → H (E; R ), Φ b ⊗ i cj = p b ∩ cj.

Bizonyítás. Most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor B egy véges-dimenziós CW-komplexus, az általános eset könnyen visszavezethető erre. Ha dim(B) = 0, akkor E felbomlik a rostjainak diszjunkt uniójára, tehát H∗(E; R)∼= ∏ b∈BH∗(F; R), és a tétel igaz ebben az esetben.

Legyen most dim(B) = n > 0, a tételt n szerinti indukcióval bizonyítjuk. Válasszunk minden n-cella belsejében egy tömör golyót, legyen X ⊂ B a golyók uniója, és legyen Y ⊂ B az X halmaz komplementumának lezártja. Legyen továbbá X˜ = p−1(X) és Ỹ = p−1(Y ).

Látható, hogy X∩Y a golyók peremének uniója, azaz (n−1)-dimenziós, Y pedig homotóp ekvivalens a B komplexus (n − 1)-vázával, tehát szintén (n−1)-dimenziós. Mivel a golyók pontrahúzhatók, X homotóp ekvivalens egy 0-dimenziós CW-komplexussal. Az indukciós feltétel miatt tehát a tétel állítása igaz az F → ˜X → X, az F → Ỹ → Y és az F → (X˜ ∩Ỹ) → (X ∩ Y ) nyalábokra. Az alábbi diagrammon a bal oldali oszlop a B = X ∪ Y felbontáshoz, a jobboldali pedig az E = X˜ ∪Ỹ felbontáshoz tartozó Mayer-Vietoris sorozatból származik:

| | | | Hn (X ∩ Y ;R ) ⊗ Hm (F ;R )---------Φ----------Hn+m ( ˜X ∩ Y˜;R ) | | ( |j∗ ) |j∗ Hn (X; R ) ⊕ Hn (Y ;R ) ⊗ Hm (F ;R )----Φ---- Hn+m (X ˜; R ) ⊕ Hn+m (Y˜;R ) | | |i∗ |i∗ n m -----------Φ------------ n+m H (B; R ) ⊗|H (F ;R) H (E; R) |δ∗ |δ∗ n−1 m --------Φ--------- n+m −1 ˜ ˜ H (X ∩ Y ;R|) ⊗ H (F ;R ) H (X ∩ Y ;R ) |j∗ |j∗ ( ) Φ Hn −1(X; R ) ⊕ Hn − 1(Y ;R ) ⊗ Hm (F ;R )----- Hn+m − 1(X ˜; R ) ⊕ Hn+m −1(˜Y;R ) | | | |
Az i∗, j∗, δ∗ jelöléseket a 21.5. Tételből vettük át. A csésze-szorzat funktorialitása miatt az i∗-ot és a j∗-ot tartalmazó téglalapok kommutatívak. A δ∗-ot tartalmazó téglalapok pedig a 8.6. Tétel miatt kommutatívak (lásd még a 27.6. Tételt is). Az indukciós feltevés miatt a diagrammon látható öt Φ-vel jelölt homomorfizmus közül négy (a felső kettő és az alsó kettő) izomorfizmus. Az 5-lemma (lásd a 2.9. Lemmát) miatt tehát a középső Φ is izomorfizmus. □

28.2. Feladat. Mondd ki, és bizonyítsd be a Leray-Hirsch tétel tér-párokra vonatkozó változatát!

Ötlet. Legyenek (F,F0) és (B,B0) tér-párok, és p : (E,E0) → B egy (F,F0)-nyaláb (lásd a 12.3. Definíciót). Érdemes három változatot is kimondani: az (E,E0), az (E,p−1(B 0)), illetve az (E,E0 ∪ p−1(B 0)) tér-párok kohomológiáira! □

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]