29. Poincaré dualitás

Ennek a fejezetnek a célja, hogy bebizonyítsuk a következőt:

29.1. Tétel (Poincaré dualitás). Legyen M egy n-dimenziós összefügő, irányítható, zárt topológikus sokaság. Ekkor Hn(M; )~
=, és az [M] Hn(M; ) generátorral való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

         k        ~=
D [M ] : H (M  ;ℤ) -→  Hn -k(M  ;ℤ),  D [M](x) = x ∩ [M  ]

Ebben a fejezetben csupa olyan állítással találkozunk, ami egy kis gömb környezetében könnyen kiszámolható. A fő bizonyítási módszerünk a Mayer-Vietoris sorozat (21.5. Tétel), ennek segítségével tudunk nagy kompakt halmazok környezetéről információt szerezni. A módszerünk a lelke mélyén véges, nem tudunk a kompakt halmazoktól elszabadulni. Ezért van szükségünk a kompakt tartójú kohomológia fogalmára.

Legyen M egy topológikus sokaság, K M egy kompakt részhalmaz. A Hom (Δ(X), ) komplexusban keresünk olyan rész-komplexust, amelyik a K halmaz környezetére „koncentrál”. Ha csak olyan koláncokat engedünk meg, amelyek minden K-ból kilógó szimlexen nullák, akkor nem kapunk rész-komplexust: egy ilyen kolánc kohatárában szerepelhet egy csomó olyan szimplex, amelynek csak az egyik oldala van K-ban. Ehelyett csak azt követeljük majd meg a koláncainktól, hogy a K-tól diszjunkt szimplexeken nullák legyenek.

29.2. Definíció. Legyen X egy tetszőleges topológikus tér. A kompakt tartójú kohomológiáit így definiáljuk:

  n                  n
H c (X; ℤ) =  li-m→  H   (X, X  \ K )
             Kkom⊆pXact

Az alábbi tétel megmutatja, hogy miért nem definiáljuk a „kompakt tartójú homológiákat”: a homológia-osztályok már maguktól kompakt tartójúak.

29.3. Tétel. Legyen X tetszőleges topológikus tér, és A X egy altér. Az alábbi izomorfizmusra úgy szokás hivatkozni, hogy „a homológiának kompakt tartója van”. A képletbeben (K,B) a kompakt párokon fut (lásd a 11.3. Definíciót).

H  (X, A;ℤ ) ~=    lim     H  (K, B; ℤ )
  n            (K,B-)→⊆(X,A)   n
                 kompact

Ötlet: A tétel azért igaz, mert a direkt limesz funktor egzakt. Az analóg állítás kohomológiákra nem igaz, mert az inverz limesz funktor nem egzakt.

29.4. Konvenció. Legyen M egy topológikus sokaság, K M egy kompakt részhalmaz. Legyen U a K olyan nyílt környezete, melynek a K deformációs retraktuma. Ha az M viselkedését akarjuk megérteni a K környezetében, akkor elég az (U,∂U) párt (és benne K-t) tanulmányozni. De (U,∂U) homotóp ekvivalens (M,M \U)-val, sőt (M,M \ K)-val is. Ezért ebben a fejezetben gyakran dolgozunk (M,M \ K) alakú párokkal, érdemes egy jelölést is bevezetni:

          (         )
(M |K ) =  M, M  \ K       ⇔    „M  a K  körül”
Ha x M egy pont, akkor pedig:
         (            )
(M  |x) =  M,  M  \ {x }     ⇔    „M  az x körül”
Ugyanezekt a jelöléseket használjuk majd homológia- és kohomológia-csoportokban is, mint például:
                  (            )     n              n(             )
Hn (M |K; ℤ) = Hn  M,  M \K; ℤ  ,  H  (M  |x; ℤ) = H   M, M  \{x };ℤ

Az alábbi lemma arról szól, hogy egy topológikus sokaságban bármely pont környezetében „lokálisan” érvényes a Poincaré dualitás. Később, a Poincaré dualitás bizonyításakor ezeket a lokális dualitásokat fogjuk majd a Mayer-Vietoris sorozat segítségével összeragasztani.

29.5. Lemma. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, x M egy pont és B M egy x-et tartalmazó tömör golyó. Lásd be, hogy

                                              (
  (       )      (       )      (        )    |{ 0  ha i ⁄= n
Hi M  |x;ℤ  ~= Hi  M |B; ℤ  ~= Hi  B, ∂B; ℤ  ~=    ℤ   ha i = n
                                              |(
és
                                              (
  (       )      (        )     (         )   |{ 0   ha i ⁄= n
Hi M  |x;ℤ  ~= Hi  M  |B; ℤ  ~=  Hi B, ∂B; ℤ  ~=    ℤ   ha i = n
                                              |(
Továbbá, az alábbi diagramon a sapka szorzás éppen az egész számok szorzása (miután az egyes csoportokat -vel azonosítottuk)!
                                ∩
Hn  (B, ∂B; ℤ ) ⊗ Hn(B, ∂B; ℤ )- →  H0(B; ℤ ) ~= ℤ

Bizonyítás. A három szóban forgó tér-pár szinguláris lánc-komplexusa lánc-homotóp a kivágási tétel (21.1) miatt:

         ~           ~
Δ ⋅(M |x)=  Δ ⋅(M  |B )=  Δ ⋅(B, ∂B )
Ezért a keresett homológia- illetve kohomológia-csoportok izomorfak egymással. Legyen most n 2, tekintsük B-ben a következő CW-felbontást:

(Az n < 2 eset is nagyon hasonló, az olvasóra hagyjuk). Világos, hogy B CW-lánc-komplexusa n, n - 1 és 0 dimenzióban él:

           {             ~=                                       }
ΔCW⋅  (B ) =  0 →  σn ⋅ ℤ -→ ηn-1 ⋅ ℤ → 0 →  ⋅⋅⋅ → 0 →  P0 ⋅ ℤ → 0
és a (B,∂B) pár CW-lánc-komplexusa csak n-dimenziókban különbözik nullától:
                {               }
ΔCW  (B, ∂B ) =   0 → σ  ⋅ ℤ → 0
  ⋅                     n
A két komplexus tenzor szorzata éppen Δ(B × B,B × ∂B), és íme a (B,∂B)`→(B × B,B × ∂B) átlós beágyazáshoz tartozó lánc-homomorfizmus:
 -----            --~=--             -----  ------ -----            -----
0      σn ⊗ σn ⋅ ℤ     ηn-1 ⊗|σn ⋅ ℤ      0      0      P0 ⊗ σn ⋅ ℤ     0|
|                                         |      |                       |
0----------0 ----------------0 -----------0------0--------σn ⋅ ℤ--------0
Ebből könnyen kiolvasható, hogy a [σn] Hn(B,∂B; ) kohomológia generátor és a [σn] Hn(B,∂B; ) homológia generátor sapka szorzata éppen a [P0] H0(B; ) homológia generátor.

A Poincaré dualitásban kulcs-szerepe van az irányításnak. Klasszikusan az érintő nyaláb segítségével szokás definiálni. Topológikus sokaságokra ez az út nem járható, de van egy jó helyettesítő eszköz: az irányítás nyaláb. A definíció előtt szükség van néhány alapfogalomra.

Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, x M egy pont. Találhatunk egy x Ux M környezetet, amelyik homeomorf az n-dimenziós golyóval. Ha ezeket az Ux környezeteket sikerülne össze-barkácsolni egy golyó-nyalábbá, akkor azt használhatnánk az M érintő-nyalábjának. Ezt sajnos nem tudjuk megtenni, de legalább imitáljuk: Ux helyett megelégszünk az (Ux,∂Ux) párral, ami homotóp ekvivalens az (M|x) párral (29.4. Konvenció). Ha M összefüggő, akkor ezek összeállnak egy tér-pár nyalábbá — amit majd ugyanúgy használunk, mintha ő lenne az éritő-nyaláb.

29.6. Lemma. Legyen M egy összefüggő topológikus sokaság, D M×M az átló. Ekkor M homogén a következő értelemben: Bármely két x,y M pontra M \{x} homeomorf M \{y}-nal. Az alábbi diagramon az M × M direkt szorzat vetítése látható a második tényezőre:

    (        |  )
T  : M  × M  |D  - →  M
Ez egy tér-pár nyaláb (12.3. Definíció), a rostja minden x M pontban az (M|x) pár.

29.7. Megjegyzés. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság. Egy x M pontban kétféleképpen irányíthatjuk: az irányítást reprezentálhatjuk ppéldául a Hn(M|x; ) csoport két generátorával (azaz kétféle képpen azonosíthatjuk Z-vel). Ez analóg azzal, hogy differenciálható sokaságokon az irányítást megadhatjuk térfogati formával. A differenciálható esetben tehát az nT*M a kulcs az irányításhoz. Ennek az analógja az alábbi irányítás nyaláb.

29.8. Definíció (irányítás nyaláb). Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság. A 29.6. Lemma megad minden Mi M összefüggő komponensen egy-egy Ti tér-pár nyalábot. A H(Ti; ) rostonkénti homológia (12.10. Konstrukció) egy -nyaláb az Mi komponensen, ezek együttvéve egy -nyalábot alkotnak az egész M-en. Ezt nevezzük az M irányítás nyalábjának.

29.9. Definíció. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja, K M egy kompakt részhalmaz. Hn(M|K) elemeit megszorítjuk Hn(M|x)-re, ahol x végigfut K pontjain. Így minden Hn(M|K)-beli homológia-osztályhoz egy K I folytonos szelést rendeltünk. Ez a hozzárendelés egy természetes homomorfizmus:

        (       )
ιK : Hn  M |K; ℤ  -→  Γ (I,K )

29.10. Lemma. Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja. Ekkor M minden kompakt részhalmaza lefedhető egy olyan A M kompakt halmazzal, amelyre Hi(M|A, ) = 0 ha i > n, és a 29.9. Definícióbeli ιA izomorfizmus.

Bizonyítás. Ebben a bizonyításban egész együtthatós homológiát használunk, elhagyjuk a -t a jelölésből. Legyen A n egy tömör golyó egy n-nel homeomorf nyílt halmazban. Mivel A pontrahúzható, azért I triviális nyaláb A fölött, így Γ(A,I)~=. Másrészt az (M|A) pár az (M|x) pár deformációs retraktuma, ahol x M tetszőleges pont, ezért a Hn(M|A) Hn(M|x) megszorítás izomorfizmus minden x A pontban, és így ιA izomorfizmus.

Minden kompakt részhalmaz lefedhető véges sok n-nel homeomorf nyílt halmazzal, tehát elegendő belátnunk a következő redukciót: ha az A, B, AB halmazok teljesítik a lemma feltételeit, akkor AB is teljesíti azokat. Tegyük hát fel, hogy A és B ilyen kompakt halmazok, és írjuk fel rájuk vonatkozó Mayer-Vietoris sorozat (21.5. Tétel) egy darabkáját:

Hj+1 (M |A ∩ B ) → Hj (M |A∪B  ) → Hj (M |A)⊕Hj  (M |B) →  Hj (M  |A ∩B )
Ha j > n, akkor Hj(A B) mindkét oldalán nulla áll, tehát ő maga is nulla. Ha pedig j = n, ezt látjuk:
0----- Hn(M  |A  ∪ B) -----Hn (M |A ) ⊕ Hn (M |B ) -----Hn (M |A ∩ B )
             |                       |                       |
             |ιA∪B                   |ιA⊕ ιB                   ιA∩B
 ------             --------                  --------
0       Γ (A ∪ B, I)        Γ (A,I ) ⊕ Γ (B,I )        Γ (A ∩ B, I )
ahol a baloldalt a fölső sor szélén Hn+1(M|A B) = 0 szerepel. Az alsó sor egzaktsága éppen azt fejezi ki, hogy egy A I és egy B I szelés pontosan akkor áll össze egy A B I szeléssé, ha az A B felett a különbségük nulla. A két jobboldali függőleges nyíl a feltétel miatt izomorfizmus, tehát az 5-lemma (2.9. Lemma) miatt ιAB is izomorfizmus.

29.11. Definíció (Fundamentális osztály). Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság, I az irányítás nyalábja. Az M irányítása egy olyam M I folytonos szelés, amelyik minden x M ponthoz az Ix~
=rost egyik generátorát rendeli. M irányítható, ha van irányítása. A 29.10. Lemma miatt egy irányítás megadható egy fundamentális osztállyal, azaz homológia-osztályok egy

      {                   }
[M  ] =  σK ∈ Hn (M |K; ℤ )
kompatibilis rendszerével, ahol K végigfut M kompakt részhalmazain. Másképpen írva:
[M  ] = {σK } ∈  lim   Hn(M  |K; ℤ )
              kKom⊆pMakt
Egy ilyen {σK} rendszert az M fundamentális oszályanak nevezünk, és [M]-mel jelöljük. Ha M kompakt, akkor egyszerűen
[M ] ∈ Hn (M  ;ℤ)

29.12. Tétel (Poincaré dualitás nyílt sokaságokra). Legyen M egy irányítható sokaság, [M] egy fundamentális osztálya. Az [M]-mel való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

                  ~
D [M ] : Hk (M ;ℤ) -=→  Hn -k(M  ;ℤ),  D [M](x) = x ∩ [M  ]
        c

Bizonyítás. Hibás bizonyítás! Javítani kell!

Ebben a bizonyításban egész együtthatós homológiát és kohomológiát használunk, elhagyjuk a -t a jelölésből. Minden A M kompakt halmazra jelölje σA Hn(M|A) az [M] képét (29.11. Definíció). Vegyük észre, hogy a Kivágási Tétel (21.1. Tétel) miatt tetszőleges A U nyílt környezet esetén Hn(M|A)~=Hn(U,A), tekinthetünk σA-ra úgy, mint a Hn(U|A) elemére. Most keresünk olyan U M nyílt halmazokat, melyeknek minden kompakt részhalmaza lefedhető olyan A M kompakt halmazzal, melyre a σA-val való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

                 ~
DU,A : Hk (U |A ) -=→ Hn -k(U ),   DU,A(x ) = x ∩ σA
(9)

Ha egy U M nyílt halmaz homeomorf n-nel, akkor minden kompakt részhalmaza lefedhető egy A U konvex kompakt részhalmazzal, és (9) következik a 29.5. Lemmából. Minden kompakt részhalmaz lefedhető véges sok n-nel homeomorf nyílt halmazzal, tehát elegendő belátnunk a következő redukciót:

Hibás bizonyítás! Javítani kell!

ha (9) teljesül az A, B és A B halmazokra, akkor teljesül A B-re is. Az alábbi diagram felső sorában az M|A B = (M|A) (M|B) fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozat látható (legalábbis annyi, amennyi odafért belőle), az alsó sorba pedig az M = M M fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozatot írtuk. δ* és * jelölik a határ-homomorfizmusokat, a függőleges nyilak pedig a (9)-ban szereplő sapka szorzások:

Hk- 1(M  |A ∩ B )δ* Hk (M |A ∪ B )-- Hk (M |A) ⊕ Hn (M |B )-- Hk (M |A ∩ B )
       |                  |                    |                    |
       |DA ∩B              DA ∪B                DA ⊕(-DB)            DA ∩B
                ∂*
  Hn -k+1(M ) -------Hn -k(M ) ------Hn -k(M ) ⊕ Hn (M ) ------Hn -k(M )
A 27.7. Tétel miatt az ábrán látható diagramm előjel erejéig kommutatív. Ha jobbra-balra folytatjuk a diagramot, a két Mayer-Vietoris sorozat mentén végig, minden k-ra ugyanilyen négyzetek ismétlődnek. A függőleges nyilak közül a DAB-vel és a DA DB-vel jelöltek izomorfizmusok. Az öt-lemma (2.9. Lemma) miatt tehát DAB is izomorfizmus.

29.13. Tétel (Poincaré dualitás peremes sokaságokra). Legyen M egy n-dimenziós irányítható kompakt peremes sokaság, [M] Hn(M,∂M; ) a fundamentális osztálya. Bontsuk fel a peremét két zárt részhalmazra: ∂M = AB, úgy, hogy A és B maguk is (n-1)-dimenziós peremes sokaságok, közös peremmel. Az [M]-mel való sapka-szorzás izomorfizmus minden dimenzióban:

                    ~
D    : Hk (M, A; ℤ) -=→ H    (M, B; ℤ ),  D   (x ) = x ∩ [M ]
 [M ]                    n-k               [M ]

29.14. Tétel. Legyen X egy irányított differenciálható sokaság, M X és N X két immertált irányított részsokaság, amelyek transzverzálisan metszik egymást. Jelölje [M], [N], [M N] H*(X, ) a fundamentális osztályok képét, [M]*, [N]*, [M N]* H*(X, ) pedig a Poincaré duálisaikat. Ekkor

[M ]* ∩ [N ] = [M ∩ N ]    és     [M  ]* ∪ [N ]* = [M ∩ N ]*