32. Grassmann sokaság

32.1. Definíció (Grassmann sokaság). Legyenek 0 < k < n egész-számok, V egy n-dimenziós valós (illetve komplex) vektortér. A Grassmann-sokaság a V -beli k-dimenziós lineáris altereket paraméterezi, szokásos jelölések: Gr(k,V ), Gk(V ), Gr(k,n). A Grassmann-sokaság pontjai tehát a k-dimenziós alterek V -ben, térképeket pedig így kapunk:

Válasszunk egy V = X0 F direkt felbontást, ahol dim(X0) = k és dim(F) = n - k. Jelölje U GR(n,V ) az olyan X < V  k-dimenziós alterek halmazát, melyekre X F = {0}. Minden ilyen alterek egy X0 F homomorfizmus grafikonja, így U-t azonosítottuk a Hom(X0,F) vektortérrel. Ez egy térkép az U Gr(n,V ) részhalmazon. Tekintsük az összes lehetséges V = X0 F felbontást, így az egész Grassmann sokaságot lefedjük térképekkel, tehát Gr(k,V ) egy differenciálható sokaság (illetve komplex sokaság).

32.2. Feladat. Lásd be, hogy az U halmaz csak az F altértől függ, az X0-tól független! Lásd be, hogy a térképek lefedik az egész Grassmann sokaságot! Lásd be, hogy a térképek közötti koordináta-transzformációk differenciálhatók (sőt, polinomok)!

32.3. Konstrukció (zászló). Legyen egy végtelen dimenziós vektortér egy rögzített megszámlálható bázissal: f1,f2,f3,. Minden n 0 egészre azonosítjuk n-et az első n bázisvektor által kifeszített altérrel, ortogonális komplementuma tehát a többi bázisvektor által kifeszített altér:

ℝn = ⟨f1,f2,...,fn ⟩;   (ℝn)⊥ =  ⟨fn+1, fn+2,fn+3,...⟩.
Világos, hogy így két végtelen altér-láncot kapunk:
                            ∞⋃
0 <  ℝ1 < ℝ2 <  ℝ3 < ...;      ℝn =  ℝ∞
                            n=1
                                       ⋂∞
ℝ ∞ >  (ℝ1)⊥ > (ℝ2 )⊥ > (ℝ3 )⊥ >  ...;     (ℝn )⊥ = 0
                                       n=1
(Az ilyen altér-láncokat zászlónak nevezik.) Ugyanezt a konstrukciót elismételjük komplex vektorterekkel is:
                            ∞
      1     2    3          ⋃    n    ∞
0 <  ℂ  < ℂ  <  ℂ  < ...;      ℂ  =  ℂ
                            n=1
                                        ∞
  ∞      1 ⊥      2 ⊥      3⊥          ⋂     n ⊥
ℂ   >  (ℂ )  > (ℂ  )  > (ℂ  ) >  ...;     (ℂ  )  = 0
                                       n=1

32.4. Definíció (végtelen Grassmann sokaság). Tekintsük a 32.3. Konstrukcióban szereplő altér-láncot -ben. Ez a lánc beágyazásokat indukál a megfelelő Grassmann-sokaságok között, az uniójukat (valós) végtelen Grassmann-sokaságnak hívjuk:

       k+1            k+2            k+3
Gr (k,ℝ    ) ⊂ Gr (k,ℝ   ) ⊂ Gr (k,ℝ    ) ⊂ ...
              ⋃∞
Gr (k, ℝ∞ ) =       Gr(k,ℝn ).

             n=k+1
Ugyanezt a játékot eljátszuk komplex vektorterekkel is, így kapjuk a komplex végtelen Grassmann-sokaságot:
       k+1            k+2            k+3
Gr (k,ℂ    ) ⊂ Gr (k,ℂ   ) ⊂ Gr (k,ℂ    ) ⊂ ...
               ∞
       ∞      ⋃           n
Gr (k, ℂ  ) =       Gr(k,ℂ  ).
             n=k+1

32.5. Definíció (Univerzális nyaláb). Tekintsük a Gr(k, ) × triviális vektor-nyalábban az olyan (V,x) párok részhalmazát (emélkezz: V altér, x pedig vektor -ben), melyekre az x vektror benne van a V altérben! Ez a részhalmaz egy k-rangú vektor-nyaláb, amit univerzális nyalábnak hívunk, és γk-val jelölünk.

Az univerzális nyaláb elnevezést az alábbi tétel indokolja:

32.6. Tétel. Legyen X egy CW-komplexus! Tetszőleges f : X Gr(k, ) folytonos leképezéshez redeljük hozzá az f*γ k vektor-nyalábot. Ez egy bijekciót ad az X feletti k-rangú vektor-nyalábok izomorfia-osztályai, és az X Gr(k, ) folytonos leképezések homotópia-osztályai között.

32.7. Feladat. Fogalmazd meg a 32.4. Definíció és a 32.6. Tétel komplex vektornyalábokra vonatkozó variánsát!

32.8. Definíció (Schubert-cellák). Legyen σ = (σ12,k) egy olyan egészszámokból álló sorozat, melyre 1 σ1 < σ2 < ⋅⋅⋅ < σk. Használjuk a 32.3. Konstrukció jelölését. A σ Schubert-szimbólumhoz tartozó (valós) Schubert-cella, eσ Gr(k, ), az olyan X <  k-dimenziós alterek halmaza, melyekre

    (        )           (          )
dim   X ∩ ℝ σi =  i,   dim  X ∩ ℝ σi-1 =  i - 1  minden  i- re.
A σ-hoz tartozó komplex Schubert-cella, eσ Gr(k, ), az olyan X < komplex alterek halmaza, melyekre
dim   (X ∩ ℂ σi) = i,   dim  (X  ∩ ℂσi-1) = i - 1  minden  i-re.
    ℂ                     ℂ

32.9. Tétel. A eσ Gr(k, ) részhalmaz egy cella, dimenziója

           [                                   ]
dim(e ) = 2 (σ  - 1) + (σ  - 2) + ⋅⋅⋅ + (σ - k) .
     σ         1         2               k
A komplex Schubert-cellák páronként diszjunktak, és a Gr(k, ) Grassmann-sokaság CW-felbontását adják. A Gr(k, n) Grassmann-sokaság pedig egy CW-rész-komplexus: azon Schubert-cellákból áll, melyekre σk n.

Bizonyítás. Be kell látni, hogy eσ egy ...-dimenziójú cella, és a pereme benne van a kisebb cellák uniójában. Ezért tényleg CW-komplexus.

Egy X eσ altér pontosan akkor van benne n-ben, ha σ k n. Minden n-beli k-dimenziós altér benne van pontosan egy e σ-ban. Ezért a CW-komplexus kitölti az egész végtelen Grassmann-sokaságot, és Gr(n, n) éppen a megadott CW-rész-komplexus.

32.10. Tétel. Az eσ Gr(k, ) részhalmaz egy cella, dimenziója

dim (eσ) = (σ1 - 1) + (σ2 - 2) + ⋅⋅⋅ + (σk - k ).
A Schubert-cellák páronként diszjunktak, és a Gr(k, ) Grassmann-sokaság CW-felbontását adják. A Gr(k, n) Grassmann-sokaság pedig egy CW-rész-komplexus: azokból a Schubert-cellákból áll, melyekre σk n.

32.11. Tétel. A komplex végtelen Grassmann sokaság kohomológia-gyűrűje egy polinom-gyűrű k generátorral, melyek fokai rendere 2, 4, 6,, 2k. A 2i-fokú generátort i-edik Chern-osztálynak hívjuk, ci-vel jelöljük.

   (             )
H * Gr (k,ℂ ∞);ℤ   = ℤ [c ,c ,...,c ],  deg(c ) = 2i
                        1  2      k         i

Bizonyítás. Tekintsük a Gr(k, ) Grassmann-sokaság 32.8. Definícióban megkonstruált CW-felbontását. Ebben minden cella páros-dimenziós, tehát a H2m(Gr(k, ); ) kohomológia-csoportok mind szabad Abel-csoportok, rangjuk megegyezik az 2m-dimenziós cellák számával, tehát az olyan σ = (σ12,k) egész-szám sorozatok számával, melyekre

m =  (σ1- 1)+(σ2- 2)+ ⋅⋅⋅+(σk- k),   0 ≤ σ1- 1 ≤ σ2- 2 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ σk- k.
Másrészt, tekintsük az
A =  ℤ[c ,c ,...,c ],   deg(c) = 2i
        1  2      k         i
polinom-gyűrűt. Definíció szerint a c1r1c 2r2⋅⋅⋅c krk monom foka r 1 + 2r2 + ⋅⋅⋅ + krk, tehát az A gyűrű 2m-fokú homogén komponensének rangja megeryezik az olyan r = (r1,r2,,rk) sorozatok számával, melyekre
m  = r  + 2r +  ⋅⋅⋅ + kr ,  r ≥ 0 minden  i-re.
      1     2          k     i
Minden egyes ilyen r sorozathoz rendejük hozzá azt a σ sorozatot, amelyre σ1 - 1 = rk, σ2 - 2 = rk + rk-1, és általában
σi - i = rk + rk-1 + ⋅⋅⋅ + rk-i+1 minden  i- re.
Ez a sorozat kielégíti a σ-re szabott feltételeket, és könnyen visszakapható belőle az eredeti r-sorozat. Tehát minden m-re pontosan ugyanannyi r sorozat van, mint ahány σ sorozat. Ezzel beláttuk, hogy a H2m(Gr(k, ); ) Abel-csoport izomorf az A gyűrű 2m-fokú homogén komponensével, tehat a kohomológia-gyűrű, mint fokszámozott Abel-csoport, izomorf A-val.

A gyűrű-struktúrát később, a zászló-sokaságok segítségével határozzuk meg.

32.12. Definíció (Zászló sokaság). n-beli k-dimenziós teljes zászlónak hívjuk az olyan (L 1,L2,,Lk) k-asok halmazát, ahol Li n páronként ortogonális egy-dimenziós komplex alterek. Jelölje F(k, n) az összes n-beli k-dimenziós zászló halmazát — ez könnyen elllátható topológiával, sőt, differenciálható sokasággá tehető, ezért zászló-sokaságnak hívjuk. A 32.3. Konstrukció természetes beágyazásokat indukál, ezért definiálhatjuk a végtelen zászló-sokaságot is:

                                                            ∞⋃
F (k,ℂk ) ⊂ F (k,ℂk+1 ) ⊂ F (k,ℂk+2 ) ⊂ ...,   F (k,ℂ ∞ ) =    F (k,ℂn ).
                                                           n=k

32.13. Feladat. Jelölje F(k, n) az olyan F 1 < F2 < ⋅⋅⋅ < Fk < n altér-sorozatok halmazát, ahol dim(F i) = i. Mutass egy-egy értelmű megfeletetést F(k, n) és F(k, n) között!

32.14. Megjegyzés. Sokan a 32.13. Feladatban leírt módon definiálják a zászló-sokaságot. Ennek a módszernek megvan az az előnye, hogy nem használ merőlegességet, így tetszőleges testre is általánosítható.

32.15. Feladat. Rögzítsünk egy Hk < Hk-1 < ⋅⋅⋅ < H1 < n altér-láncot, ahol dim(Hi) = n - i minden i-re! Azt mondjuk, hogy egy (L1,,Lk) zászló transzverzális a {Hi} altér-láncra, ha Li ⁄⊂ Hi minden i-re. Mutass egy bijekciót a {Hi} altér-láncra transzverzális zászlók és az i=1kH i vektortér elemei között! Lásd be, hogy ezen a módon F(k, n) sokasággá tehető! Mennyi a dimenziója?

Ötlet. Ahhoz, hogy sokaságot kapjunk, fel kell írnunk a koordináta-transzformációt két különböző altér-lánchoz tartozó térkép között.

32.16. Feladat. Minden i = 1, 2,,k értékre tekintsük azt a ϕi : F(k, ) ℂℙ leképezést, ami az (L 1,,Lk) zászlóhoz az Li egyenest rendeli! (A projektív tér az origón átmenő egyenesek tere.) Bizonyítsd be, hogy ϕi folytonos! Mutasd meg, hogy ϕi egy F(k - 1, )-nyaláb (lásd a 12.2. Definíciót)!

32.17. Feladat. Tekintsük i = 1, 2,,k-ra a 32.16. Feladat ϕi : F(k, ) ℂℙ leképezéseit! A végtelen projektív tér kohomológia-gyűrűje a [c1] polinom-gyűrű (lásd a 31.1. Példát), vezessük be az xi = ϕi*c 1 jelölést! (Ezek mind második kohomológia-osztályok.) Lásd be, hogy a zászló-sokaság kohomológia-gyűrűje

   (            )
H * F (k,ℂ ∞ );ℤ  ~= ℤ [x1,x2,...,xk],  deg (xi) = 2minden  i-re!

Ötlet. F(1, ) = ℂℙ1, tehát k = 1-re igaz az állítás. (Lásd a 31.1. Példát!) Az általános esetet k-szerinti indukcióval bizonyíthatjuk. A 32.16. Feladat szerint ϕk egy F(k-1, )-nyaláb. A rost tehát szintén zászló-sokaság, így annak is definiálhatjuk a „saját xi kohomológia-osztályait” (i < k esetén) — a félreértés elkerülése végett ezeket xi-vel jelöljük. Mutasd meg, hogy i = 1, 2,,k - 1-re, ha az xi kohomológia-osztályt egy rostra megszorítjuk, akkor az xi osztályát kapjuk!

Az indukciós feltétel szerint tehát a kohomológia-gyűrűben az x1,x2,,xk-1 osztályok által generált részgyűrű egy polinom-gyűrű.

A polinom-gyűrű szabad Abel-csoport, tehát alkalmazhatjuk a ϕk nyalábra a Leray-Hirsch tételt (lásd a 28.1. Tételt). Ezért F(k, ) kohomológia-gyűrűje egy szabad [xk]-modulus, melynek bázisát az x1,x2,,xk-1 változókból épített monomok alkotják. Ebből már következik az állítás.

32.18. Feladat. Mutasd meg, hogy a F(k, n) zászló-sokaság kohomológia-gyűrűje szabad Abel-csoport!

Ötlet. A 32.16. Feladat mintájára konstruálj egy F(k - 1, n-1) F(k, n) ℂℙn-1 nyalábot! Alkalmazd a Leray-Hirsh tételt (lásd a 28.1. Tételt), k szerinti teljes indukcióval bizonyítsd az állítást!

Alternatív ötlet. A Schubert-cellák mintájára itt is konstruálhatunk CW-felbontást csupa páros-dimenziós cellával.

32.19. Feladat. Tekintsük azt a ψ : F(k, ) Gr(k, ) leképezést, amelyik minden (L1,Lk) zászlóhoz az L1 + ⋅⋅⋅ + Lk alteret rendeli! Bizonyítsd be, hogy ψ folytonos! Mutasd meg, hogy ϕ egy F(k, k)-nyaláb!

32.20. Feladat. Tekintsük a 32.19. Feladatbeli ϕ nyalábot! Bizonyítsd be, hogy a

       (             )       (            )
ϕ* : H * Gr (k,ℂ ∞ );ℤ  →  H * F (k,ℂ ∞ );ℤ   ~= ℤ [x1,...,xk]
homomorfizmus injektív, és a képe éppen a szimmetrikus polinomok rész-gyűrűje! Tehát a Grasmann-sokaság kohomológia-gyűrűje valóban a 32.11. Tételben megadott polinom-gyűrű.

Ötlet. Permutáld az egyeneseket a F(k, )-beli zászlókban! Így hat az Sk szimmetrikus csoport a zászló-sokaságon. Lásd be, hogy az Sk hatás az xi kohomo-lógia-generátorokat is permutálja! Lásd be, hogy a ψ leképezés Sk-invariáns! Ezért ψ* képe szimmetrikus polinomokból áll.

Alkalmazd a Leray-Hirsh tételt a ϕ nyalábra! Abból következik, hogy ψ* injektív, és a képe direkt összeadandó. A 32.11. Tétel bizonyításában már láttuk, hogy Hn(Gr(k, ); ) ugyanakkora rangú, mint a homogén n-fokú szimmetrikus polinomok csoportja.

Lásd be, hogy egy G véges rangú szabad Abel-csoportban minden valódi direkt összeadandónak kisebb a rangja, mint G-nek. Ebből következik, hogy ψ* képe egyenlő a szimmetrikus polinomok gyűrűjével.

32.21. Tétel. A valós végtelen Grassmann sokaság 2-együtthatós kohomológia-gyűrűje egy polinom-gyűrű k generátorral, melyek fokai rendere 1, 2, 3,,k. Az i-fokú generátort i-edik Stiefel-Whitney-osztálynak hívjuk, wi-vel jelöljük.

   (              )
H *  Gr(k,ℝ ∞ );ℤ2  =  ℤ2[w1,w2, ...,wk],  deg(wi ) = i

Bizonyítás. A 32.10. Tétel ad egy CW-felbontást. Be kell látni, hogy egy m-dimenziós Schubert-cella pereme minden (m - 1)-dimenziós cellát vagy kétszer fed le, vagy nullaszor. Ezért a CW-lánc-komplexusban minden differenciál nulla. A bizonyítás többi rész ugyanaz, mint a komplex Grassmann-sokaság esetében.