31. Projektív tér

31.1. Példa (komplex projektív tér). Az n-dimenziós komplex projekív tér, ℂℙn, ideális hipersíkja ℂℙn-1, a „véges része” pedig n. Ez indukcióval megad egy olyan CW-felbontást, melyben összesen n + 1 cella van: 0-tól 2n-ig minden páros dimenzióban egy-egy. Ezért a ℂℙn CW-lánc-komplexusának -1 fokszámtól 2n + 1 fokszámig terjedő része:

0 ←  ℤ ←  0 ← ℤ  ←  0 ← ℤ ←  ⋅⋅⋅ ←  0 ← ℤ ←  0
Minden páratlan fokszámon 0 áll. A homológia-csoportok:
              {
H (ℂ ℙn;ℤ ) =   ℤ   ha i páros és 0 ≤ i ≤ 2n,
  i             0   ha i páratlan.

A kohomológia-csoportok:

              {
                ℤ   ha i páros és 0 ≤ i ≤ 2n,
Hi(ℂ ℙn;ℤ ) =
                0   ha i páratlan.

A kohomológia-gyűrű egy „levágott polinom-gyűrű”, másodfokú generátorral. A generátort első Chern-osztálynak hívjuk, jele c1.

                   ∕
H *(ℂ ℙn;ℤ ) = ℤ[c1] (cn1+1),  deg (c1) = 2.
Láttuk, hogy ℂℙn-1 egy hipersík ℂℙn-ben. Így a véges-dimenziós projektív tereket egymásba ágyaztuk, uniójuk a végtelen projektív tér, ℂℙ:
   0      1      2      3            ∞    ⋃∞     n
ℂ ℙ  ⊂ ℂ ℙ  ⊂ ℂ ℙ  ⊂ ℂ ℙ  ⊂ ...;  ℂ ℙ   =     ℂℙ  .
                                          n=0
H *(ℂℙ ∞;ℤ ) = ℤ[c1],  deg(c1) = 2.

31.2. Feladat. Lásd be, hogy a komplex projektív tér 31.1. Példaban megadott felbontása valóban CW felbontás, és ezért a kohomológia csoportjai valóban az ott megadottak. (A gyűrű-struktúrával majd később foglalkozunk.)

31.3. Feladat. Add meg a ℂℙn × ℂℙm, illetve a ℂℙ × ℂℙ terek CW-felbontását! Számítsd ki a -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

Végeredmény: Az alábbi izomorfizmusok valójában gyűrű-izomorfizmusok, de most csak fokszámozott csoport-izomorfizmust kell bizonyítani:

  *(   ∞       ∞   ) ~
H   ℂ ℙ  ×  ℂℙ  ;ℤ   = ℤ[x,y ];  deg (x) = deg(y) = 2

  *(   m      n   ) ~       ∕   m+1  n+1
H   ℂℙ   × ℂ ℙ ;ℤ   = ℤ[x,y ](x    ,y    );   deg(x) = deg(y) = 2

A homológia-csoportok vizsgálatát az olvasóra hagyjuk.

Ötlet. Legyenek {ei} illetve {fj} a cellák a két ℂℙ CW-felbintásában, dim(ei) = dim(fi) = 2i. A szorzat-tér d-dimenziós cellái:

{e ×  f ||i + j = d}
  i    j
és az ezekhez tartozó lánc-komplexusban minnden differenciál nulla. Ezek után az xpyq polinomot feleltessük meg az alábbi koláncnak:
    (        )    {
xpyq [ei × f j] =   1  ha i = p és j = q,
                    0  különben.

31.4. Feladat. Számítsd ki a δ : ℂℙ`→ℂℙ × ℂℙ átlós beágyazás által indukált homomorfizmusokat a terek homológia- és kohomológia-csoportjai között!

Végeredmény: Átvesszük a 31.1. Példából a cj jelölést, a 31.3. Feladattal kapcsolatban bevezetett [ei × fj] és xiyj jelöléseket.

                                         {
         ∑                       * i j     ci ha  i = j,
δ*[ck] =     [ei × fj]   és    δ x y  =    0  k ülönben.
        i+j=k

Ötlet. Legyen (x0,x1,xk) egy homogén koordináta-rendszer a ℂℙk téren! Jelölje Ai illetve Bi azt a két lineáris alteret ℂℙk-ben, amelyet az xi+1 = xi+2 = ⋅⋅⋅ = xk = 0, illetve az x0 = x1 = ⋅⋅⋅ = xi = 0 egyenlet-rendszer határoz meg! Világos, hogy dim(Ai) = i és dim(Bi) = k - i - 1, a két altér diszjunkt, és együtt kifeszítik az egyész ℂℙk teret. Legyen Li azon komplex egyenesek halmaza, amelyek az Ai és a Bi alterek egy-egy pontját kötik össze! Lásd be, hogy az Ai Bi halmaz komplementumának minden pontján keresztül pontosan egy Li-beli egyenes halad át.

Keress egy olyan ϕi : ℂℙk ℂℙk transzformációt, amelyik az Ai és a Bi altereket minden pontját helyben hagyja, az Li-beli egyeneseket saját magukba képezi, az Ai altér egy Ui nyílt környezetét homeomorfan képezi az Bi komplementumára, az Ui komplementumán pedig egy retrakció a Bi altérre! (Tehát ϕi az Ui környezetet az Ai centrumból az Li-beli egyenesek mentén „felfújja”, hogy kitöltse az egész ℂℙk \ B i halmazt.)

Ezután keress olyan ψi : ℂℙk ℂℙk transzformációt, amelyik az Ai és az Bi altereket minden pontját helyben hagyja, az Li-beli egyeneseket saját magukba képezi, az Ui zárt halmazon retrakció az Ai altérre, az Ui komplementumát pedig homeomorfan képezi az Ai komplementumára. (Tehát ψi az Ui komplementumát, ami az Ai altér egy környezete, az Ai centrumból az Li-beli egyenesek mentén „felfújja”, hogy kitöltse az egész ℂℙk \ A i halmazt.)

Jelölje Δ az X = ℂℙk × ℂℙk szorzat-tér átlóját! Tekintsük a Φ i = ϕi × ψi szorzat-leképezéseket: ezek az X teret saját magára képezik. Lásd be, hogy mindegyik Φi homotóp az identitás-leképezéssel!

Lásd be, hogy Φ0 úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az A0 × A0 pont egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙk × A0 részsokaságot, a környezet komplementumát pedig a B0 × ℂℙk részsokaságba képezi!

Lásd be, hogy a Φ1Φ0 kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az (A1 × A1) Δ egyenes egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙk×A 0 és a B0×A1 részsokaságokat, a környezet komplementumát pedig a B1 × ℂℙk részsokaságba képezi!

Lásd be i szerinti teljes indukcióval, hogy a Φi Φi-1 ⋅⋅⋅Φ1 Φ0 kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy az (Ai × Ai) Δ  i-dimenziós altér egy környezetével irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙk × A 0, B0 × A1, B1 × A2, ..., Bi-1 × Ai+1 részsokaságokat, a környezet komplementumát pedig a Bi × ℂℙk részsokaságba képezi!

Tehát a ΦkΦk-1⋅⋅⋅Φ1Φ0 kompozíció úgy képezi a Δ sokaságot X-be, hogy a kép irányítástartóan, egyrétegűen lefedi a ℂℙk × A 0, B0 ×A1, B1 ×A2, ..., Bk-1 ×Ak részsokaságokat. Ebből már következik az állítás.

31.5. Feladat. A 31.4. Feladat állítását felhasználva lásd be, hogy a ℂℙ projektív tér kohomológia gyűrűje valóban a 31.1. Példában megadott polinom-gyűrű!

31.6. Feladat. Lásd be, hogy a ℂℙn projektív tér kohomológia gyűrűje valóban a 31.1. Példában megadott gyűrű!

Ötlet. A ℂℙn`→ℂℙ beágyaás homomorfizmust indukál a kohomológia-gyűrűk között. Lásd be, hogy ez n fokszámig izomorfuzmus, n-nél magasabb fokszámokra pedig nulla!

31.7. Példa (valós projektív tér). Az n-dimenziós valós projekív tér, ℝℙn, ideális hipersíkja ℝℙn-1, a „véges része” pedig n. Ez indukcióval megad egy olyan CW-felbontást, melyben összesen n + 1 cella van: 0-tól n-ig minden dimenzióban egy-egy. Ezért a ℝℙn CW-lánc-komplexusának -1 fokszámtól n + 1 fokszámig terjedő része:

                                                 (|
0 ←  ℤ ←0- ℤ ← 2-  ℤ ←0- ℤ ← 2-  ...←?- ℤ ←  0,  ?={ 0  ha n  páratlan,
                                                 |( 2  ha n  páros.
A páros fokszámból induló homomorfizmusok 2-vel való szorzások, a páratlanok nullák. (Ezt abból látjuk, hogy az Si gömbfelületen az anti-podális leképezés páratlan i-re irányítás-tartó, párosra irányítás-fordító.) A homológia- illetve kohomológia-csoportok:
              (
              | ℤ    ha i = 0,
              ||{
Hi(ℝ ℙn;ℤ ) =   ℤ    akkor is, ha n páratlan és i = n,
              || ℤ2   ha i p áros és 1 ≤ i ≤ n,
              |( 0    ha i p áratlan és 1 ≤ i < n.
              ( ℤ    ha i = 0,
              ||||
              |{ ℤ    akkor is, ha n páratlan és i = n,
Hi(ℝ ℙn;ℤ ) =   0    ha i páros és 1 ≤ i ≤ n,
              |||
              ||( ℤ2   ha i páratlan és 1 ≤ i < n.
Ha 2-együtthatót használunk, akkor minden homomorfizmus nullává válik. Minden sokkal egyszerűbb lesz:
Hi(ℝ ℙn;ℤ2 ) = ℤ   és  Hi(ℝ ℙn;ℤ2 ) = ℤ   ha 0 ≤ i ≤ n.
A 2-együtthatós kohomológia-gyűrű egy „levágott polinom-gyűrű”, elsőfokú generátorral. A generátort első Stiefel-Whitney osztálynak hívjuk.
                      ∕
H  *(ℝ ℙn;ℤ  ) = ℤ [w ]  (wn+1),   deg(w ) = 1.
           2     2  1     1            1
Láttuk, hogy ℝℙn-1 egy hipersík ℝℙn-ben. Így a véges-dimenziós projektív tereket egymásba ágyaztuk, uniójuk a végtelen projektív tér, ℝℙ:
                                           ∞
   0      1      2      3            ∞    ⋃      n
ℝ ℙ  ⊂ ℝ ℙ  ⊂ ℝ ℙ  ⊂ ℝ ℙ  ⊂ ...;  ℝ ℙ   =     ℝℙ  .
                                          n=0
H *(ℝ ℙ∞; ℤ2) = ℤ2 [w1 ],   deg(w1) = 1.

Bizonyítás. Ugyanúgy megy, mint a komplex projektív tereknél.