13. Fokszám

Ha M egy kompakt (peremes) sokaság, akkor az M∕∂M faktor-térnek van egy kitüntetett pontja (∂Y képe), melynek komplementuma egy differenciálható sokaság. Ebben a fejezetben fontos, hogy ilyen „sokaság-szerű” objektumokkal dolgozzunk, ezért van szükségünk a következőkre:

13.1. Definíció (Csúcsos sokaság). Egy kompakt csúcsos sokaság egy X kompakt Hausdorff topológikus tér a következő struktúrával ellátva:

Egy CX véges részhalmaz, ezek a pontok az X csúcsai (az üreshalmaz is megengedett),
X = X \C egy differenciálható sokaság (lehet pereme is), ezt az X sima részének modjuk.
Megköveteljük, hogy X lezártja az egész X legyen, és
X-nek legyen véges sok szimplexből álló szimplex-felbontása.

Az X sima rész peremének lezártját az X peremének hívjuk, ∂X-szel jelöljük. Ha a perem üres, akkor X egy zárt csúcsos sokaság. Világos, hogy minden csúcsos sokaság pereme zárt csúcsos sokaság (esetleg csúcs nélkül). Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy X-nek lehet pereme, akkor peremes csúcsos sokaságnak mondjuk.

Az X csúcsos sokaság szimplex felbontása egy olyan szimplex felbontás, amelyben a C-beli pontok szerepelnek a felbontás csúcsai között, és amelyben ∂X egy rész-komplexus.

X egy irányítása nem más, mint az X sima rész irányítása. Ha rögzítünk egy irányítást X-en, akkor irányított csúcsos sokasággá válik.

13.2. Példa. Hol találunk csúcsos sokaságokat:

(a)
Minden kompakt differenciálható sokaság egyben csúcsos sokaság is (nulla csúccsal).
(b)
Ha M egy kompakt sokaság és ∂M, akkor az M∕∂M faktor-tér egy csúcsos sokaság. Egy csúcsa van: ∂M képe.
(c)
Még általánosabban, ha X egy n-dimenziós csúcsos sokaság, A X egy n-dimenziós kompakt csúcsos részsokaság, akkor az X∕A faktor-tér is egy csúcsos sokaság. X∕A-nak kétféle csúcsa van: egyrészt az X∕A-ban lévő csúcsok X∕A-ban is csúcsok maradnak, másrészt az A képe is csúcs lesz.

13.3. Feladat. Lásd be, hogy egy kompakt csúcsos sokaság minden csúcsának van olyan környezete, amelyik homeomorf egy peremes sokaságra állított kúppal! Mi történik, hogy ha a definícióban a véges szimplex-felbontás helyett ezt a tulajdonságot követeljük meg?

13.4. Feladat. Hogyan definiálnád a (nem feltétlenül kompakt) csúcsos sokaságokat?

13.5. Definíció (Csúcs-tartó leképezések). Legyenek X, Y csúcsos sokaságok, f : X Y egy folytonos függvény, h : X × [0, 1] Y egy folytonos homotópia. Jelölje CX az X csúcsainak halmazát.

f csúcs-tartó, ha X csúcsait csúcsokba viszi.
f folytonosan differenciálható, ha csúcs-tartó, és folytonosan differenciálható az Y sima rész teljes ősképén (ami egy nyílt halmaz X-ben).
Jelöljük Z-vel az X × [0, 1]/C× [0, 1] faktor-teret. Ez is egy csúcsos sokaság.
h csúcs-tartó, ha a C× [0, 1] halmaz minden pontját csúcsba küldi, azaz indukál egy h : Z Y csúcs-tartó folytonos függvényt.
h folytonosan differenciálható, ha csúcstartó, és az indukált h : Z Y leképezés folytonosan differenciálható.
Két X Y csúcstartó leképezés csúcstartóan homotóp, illetve folytonosan diferenciálhatóan homotóp, ha van köztük csúcstartó, illetve folytonosan differenciálható homotópia.

13.6. Tétel (Differenciálható approximáció). Legyenek X, Y kompakt csúcsos sokaságok (perem is megengedett). Jelölje C0(X,Y ) az X Y folytonos csúcstartó leképezések terét a kompakt-nyílt topológiában.

(a)
C0(X,Y ) lokálisan összefüggő (azaz minden pontjának van összefüggő környezete).
(b)
Minden f : X Y folytonos csúcstartó függvénynek van olyan környezete C0(X,Y )-ban, amelyik csupa f-fel csúcstartóan homotóp függvényből áll.
(c)
A folytonosan differenciálható X Y függvények sűrű halmazt alkotnak C0(X,Y )-ban.
(d)
Minden f : X Y folytonos csúcstartó függvény csúcstartóan homotóp egy ˜f : X Y folytonosan differenciálható függvénnyel.
(e)
Ha az f,g : X Y folytonosan differenciálható függvények csúcstartóan homotópok, akkor van közöttük folytonosan differenciálható homotópia is.

Bizonyítási ötletek. (a) következik a Lebesgue-lemmából.
(b) az (a) átfogalmazása.
(c): egy f(x) függvényt f(x)K(x,y)dy alakú függvényekkel közelíthetünk, ahol K megfelelően választott folytonosan diferenciálható függvény.
(d) azonnal következik (b)-ből és (c)-ből.
Legyen Z = X × [0, 1]C× [0, 1], ahol C az X csúcsainak halmaza. (e) következik abból, ha a (d)-t alkalmazzuk C0(Z,Y )-ra.

13.7. Tétel (Szimplíciális approximáció). Legyenek X, Y kompakt csúcsos sokaságok, és f : X Y egy csúcstartó folytonos leképezés.

(a)
Létezik a két csúcsos sokaságnak olyan szimplex-felbontása (lásd a 13.1. Definíciót), és hozzá olyan g : X Y szimplíciális leképezés, amely csúcstartó, és csúcstartóan homotóp f-fel.
(b)
Legyenek továbbá x1,,xm X olyan pontok, melyek környezetében f folytonosan differenciálható, és a Jakobi determinánsa nem nulla. Ilyenkor megkövetelhetjük, hogy az x1,,xn pontok egy-egy n-szimplex belsejében legyenek, ezeken a kitüntetett szimplexeken az f és g megegyezzen, sőt, ezeken a szimplexeken az egész f ~ g homotópia is triviális legyen.

Emékeztető: egy h : X × [0, 1] Y homotópia egy U X részhalmazon akkor triviális, ha az (u,t) U × [0, 1] pontokban h(u,t) csak u-tól függ, t-től független.

13.8. Definíció (Differenciálható leképezés foka). Legyenek X, Y n-dimenziós irányított zárt csúcsos sokaságok, f : X Y egy folytonosan differenciálható leképezés. Válasszunk olyan y Y belső pontot, amelyik az f-nek reguláris értéke! (Ilyen mindig van a Sard lemma miatt.) Számoljuk össze az f-1(y) pontjait előjelesen: egy pont +1-et ér, ha az f Jakobi determinánsa pozitív ebben a pontban, ha pedig negatív, akkor -1-nek számoljuk. Az így kapott (előjeles) összeg deg(f), az f foka. (Hamarosan belátjuk, hogy ez nem függ az y választásától.)

Mivel y reguláris érték, azért véges sok ősképe van (tehát véges sok ±1-et kell összeadnunk), és a Jacobi determináns egyikben sem nulla. Ha x f-1(y), akkor az f függvény diffeomorfizmus az x pont egy kis környezete és az y pont egy környezete között. Ha ez a diffeomorfizmus irányítás-tartó, akkor a Jakobi determináns előjele pozitív x-ben, ha pedig irányítás-fordító, akkor az előjel negatív.

13.9. Tétel (Differenciálható leképezés foka). Legyenek X, Y n-dimenziós irányított zárt csúcsos sokaságok, f : X Y egy folytonosan differenciálható leképezés.

(a)
Ha Y összefüggő, akkor f foka nem függ a definícióban választott reguláris értéktől.
(b)
Tegyük fel, hogy van olyan Z kompakt (n + 1)-dimenziós irányított csúcsos sokaság, melynek (irányított) pereme éppen X. Ha f kiterjeszthető egy Z Y folytonosan differenciálható függvénnyé, akkor deg(f) = 0.

Bizonyítás. Először az (a) állítással foglalkozunk. Tegyük fel, hogy Y összefüggő! Legyenek y,z Y reguláris értékek, jelölje deg y(f) és deg z(f) a kétféle (y-hoz, illetve z-hez tartozó) fokszámot! Alkalmazzuk a 13.7. Tételt az f függvényre és az {x1,,xm} = f-1(y) f-1(z) véges ponthalmazra. Ez ad nekük szimplex-felbontásokat X-en és Y -on, és egy g : X Y szimplíciális approximációt.

Tekintsünk egy σ Y n-szimplexet! A g-1(σ) őskép véges sok (X-beli) n-szimplexből áll, és ezen szimplexek belsejét g diffeomorfan képezi le σ belsejére. A 13.8. Definíció analógiájára számoljuk meg előjelesen a g-1(σ) őskép n-szimplexeit: azok a szimplexek, melyeken g irányítástartó, +1-et érnek, azok pedig, ahol irányítás-fordító, -1-et. Az így kapott előjeles összeget deg σ(g)-vel jelöljük.

Világos, hogy ha σy az y-t, tartalmazó n-szimplex, akkor deg σy(g)-t meghatározó előjeles összeg ugyanaz az összeg, mint amivel deg y(f)-et számoltuk a 13.8. Definícióban, és ha σz a z-t tartalmazó n-szimplex, akkor deg z(f) = deg σz(g). Tehát elegendő bebizonyítanunk, hogy deg σ(g) nem függ a σ szimplextől.

Legyen ϕ a σ egy olyan (n- 1)-dimenziós lapja, amelyik az Y belsejében van. Jelölje τ Y a lap másik oldalán élő n-szimplexet. Világos, hogy g-1(ϕ) diszjunkt (n - 1)-szimplexekből áll, melyek két-két X-beli n-szimplexet határolnak, és ezáltal párokba rendezzük a g-1(σ τ)-beli n-szimplexeket. Legyen ϕ′⊆ g-1(ϕ) az egyik ilyen (n - 1)-szimplex. A két szomszédos n-szimplex négyféleképpen helyezkedhet el:

g az egyiket σ-ra képezi, a másikat τ-ba, mindkettőn irányítás-tartó.
g az egyiket σ-ra képezi, a másikat τ-ba, mindkettőn irányítás-fordító.
g mindkettőt σ-ra képezi, az egyiken irányítás-tartó, a másikon irányítás-fordító (tehát ϕmentén van egy hajtásvonal).
g mindkettőt τ-ra képezi, az egyiken irányítás-tartó, a másikon irányítás-fordító (tehát ϕmentén most is van egy hajtásvonal).

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a szimplex-pár mind a négy esetben a ugyanannyival járul hozzá deg σ(g)-hen mint deg τ(g)-hez. Ez mindegyik párra érvényes, tehát deg σ(g) = deg τ(g). Mivel Y összefüggő, azért szomszédos szimplexeken keresztül lépkedve σ-ból bármelyik n-szimplexbe. Így deg σ(g) nem függ σ-tól sem. Az (a) állítást beláttuk.

A (b) állítás bizonyítása sokkal egyszerűbb. Legyen F : Z Y a folytonosan differenciálható kiterjesztés. Válasszunk egy y Y pontot, amelyik f-nek és F-nek is reguáris értéke! (Ilyen mindig van a Sard lemma miatt.) Erre az y-ra alkalmazzuk majd a 13.8. Definíciót. Az inverz függvény tételből következik, hogy F-1(y) egy egydimenziós peremes részsokaság X-ben (lásd itt). Mivel X kompakt, azért F-1(y) véges sok szakasz és véges sok körvonal diszjunkt uniója. A szakaszok ∂Z = X-ből indulnak és oda térnek vissza, a körvonalak pedig elkerülik X-et. Ezért a szakaszok párokba rendezik f-1(y) X pontjait, a pár egyik tagja mindig pozitívan, a másik pedig negatívan járul hozzá a deg(f)-et definiáló összeghez. Tehát f-1(y) pontjai páronként kiejtik egymást, így deg(f) = 0 ebben az esetben.

13.10. Definíció (Folytonos leképezés foka). Legyenek X, Y n-dimenziós irányított zárt peremes sokaságok, f : X Y egy folytonos csúcstartó leképezés. Legyen ˜f : X Y egy olyan folytonosan differenciálható függvény amelyik csúcstartóan homotóp f-fel. Az f foka, jelölésben deg(f), legyen egyenlő ˜f fokával, deg(f˜ )-fel (lásd a 13.8. Definíciót)!

13.11. Tétel (Folytonos leképezés foka). Legyenek X, Y n-dimenziós irányított zárt csúcsos sokaságok, f : X Y egy folytonos csúcstartó leképezés.

(a)
A 13.10. Definíció jó: mindig tudunk megfelelő ˜f -ot választani, és minden választás ugyanakkora a fokú.
(b)
Ha g : X Y egy olyan folytonos csúcstartó leképezés, amelyik csúcstartóan homotóp f-fel, akkor deg(f) = deg(g).
(c)
Tegyük fel, hogy van olyan Z (n + 1)-dimenziós irányított csúcsos sokaság, melynek (irányított) pereme éppen X. Ha f kiterjeszthető egy Z Y folytonos csúcstartó függvénnyé, akkor deg(f) = 0.

Bizonyítás. A 13.6. Tétel miatt van olyan f˜ : X Y folytonosan differenciálható függvény amelyik csúcstartóan homotóp f-fel. Ha f˜: X Y egy másik f-fel pontozottan homotóp folytonosan differenciálható pontozott leképezés, akkor ˜f és f˜ pontozottan homotópok egymással, tehát 13.6. Tétel miatt van közöttük egy h : X × [0, 1] Y folytonosan differenciálható homotópia. Idézzük fel a 13.5. Definíciót: h indukál egy ˜h : Z Y folytonosan differenciálható függvényt, ahol Z = X ×[0, 1]/C×[0, 1], és C jelöli az X csúcs-pontjainak halmazát. A 13.9. Tétel miatt a h|∂Z megszorítás foka nulla.

Világos, hogy Z pereme az X0 X1 csokor, ahol X0 = X ×{0}, X1 = X ×{1}, és a felülvonás jelöli az irányítás megfordítását. h megszorítása X0-ra, illetve X1-re éppen f˜ , illetve f˜ . Tehát a fentiek miatt deg(g) - deg(f) = 0. Ezzel az (a) állítást bebizonyítottuk.

A (b) állítás azonnal következik az (a) állításból, hiszen pontosan ugyanazok a függvények homotópok f-fel mint g-vel.

Legyen F : Z Y a (c) állításban szereplő függvény. A 13.6. Tétel alapján választunk egy olyan F˜ folytonosan diferenciálható függvényt, amelyik F-fel csúcstartóan homotóp. Világos, hogy az F|X megszorítás csúcstartóan homotóp f-fel, tehát definíció szerint deg(f) = deg(F|X). Másrészt, 13.9. Tétel(b) miatt deg(F|X) = 0. Ezzel beláttuk a (c) állítást is.