Leírás
1939-ben Turán kezdte vizsgálni azt a kérdést, hogy ha a komplex sík egy
kompakt K részhalmazán olyan polinomokat tekintünk, amelyeknek minden
gyöke is K-ban van, akkor a derivált normája hogyan becsülhető alulról
az eredeti polinom normájával?
A megfelelő felső becsléseket - tehát amikor a derivált normáját
felülről becsüljük a polinom normájával - Bernstein (egységkör) illetve
Markov (intervallum) után Bernstein-Markov típusú egyenlőtlenségeknek
szokás nevezni, és alapvetőek az approximációelméletben. Egy fordított
irányú becsléshez azonban nyilván szükséges valamilyen plusz korlátozás,
mivel a $p$ polinommal együtt $p+c$ - ahol $c$ tetszőleges konstans - is
ugyanolyan fokú polinom, és ugyanaz lesz a deriváltja is, miközben a
polinom normája tetszőlegesen naggyá tehető. Ezért vezette be Turán a
gyökökre vonatkozó feltevést.
A maximum normára vonatkozó kérdést sikerült lényegében - azaz konstans
szorzó erejéig - tisztázni 12 évvel ezelőtt. Az előadásban a hasonló
kérdésekről lesz szó $L_q$ normára: megmutatjuk, ez miért nehezebb a
maximum normás kérdésnél, és bebizonyítunk egy eredményt, ami csak egy
log n faktorral - ahol n a p polinom foka - marad el a legjobb
lehetséges (és sejtett) egyenlőtlenségtől.
Polina Glazyrinával közös munka