Leírás
Green és Lindqvist igazolták, hogy a pozitív egész számok tetszőleges 2-színezése esetén végtelen sok monokromatikus megoldása van az $x+y=z^2$ egyenletnek, sőt, már az $[n,cn^8]$ alakú intervallumokon belül is található ilyen megoldás (ahol $c$ egy explicit módon megadható, de hatalmas konstans).
Erre az eredményre adunk egy másik bizonyítást, ami már az $[n,cn^4]$ intervallumon belül is garantálja monokromatikus megoldás létezését, itt a 4-es kitevő már éles (és pl. $c=10^4$ választható).
Általánosabban, belátjuk, hogy tetszőleges egész együtthatós, pozitív főegyütthatójú p polinom mellett az $x+y=p(z)$ egyenletnek a pozitív egészek bármely 2-színezése esetén végtelen sok monokromatikus megoldása létezik, amennyiben p nem csak páratlan értékeket vesz fel. Utóbbi esetben, vagyis ha $p(1)p(2)$ páratlan, akkor a számokat például a paritásuk szerint színezve nem jön létre monokromatikus megoldás, megadjuk az összes további ilyen színezést is. Amikor $p(1)p(2)$ páros, akkor az $\{1, 2, ..., n\}$ halmazon belüli megoldások számára az $n^{2/d^3-o(1)}$ alsó becslést adjuk, ahol $d$ a $p$ polinom fokszámát jelöli. Másrészről, van olyan 2-színezés, amikor a megoldásszám csak $O(n^{2/d^2})$.
Megjegyezzük, hogy 3-színezés esetén, ha $p$ legalább másodfokú, akkor már nem feltétlenül jön létre monokromatikus megoldás, amint azt Green és Lindqvist konstrukciója (illetve ennek általánosítása) mutatja.
Közös munka Hong Liuval és Sándor Csabával.