A Bolyai kollégium matematikai szemináriumának következõ programja

A Bolyai kollégium 1997--98 tanév elsõ matematika szemináriumán február 12-én 1/4 5 órai kezdettel Makai Endre (MTA. Matematikai Kutató Intézete) beszél az izoperimetrikus problémáról. Ezt a témát késõbb is tárgyalni szeretnénk, és ebben a szeminárium résztvevõinek aktív részvételére számítunk. (Cikkek ismertetése.) Az elõadás absztraktja után található a Makai Endre által feldolgozásra ajánlott irodalom. Ez utóbbi megtalálható a feldolgozásra ajánlott témák ismertetésében is.

Írtam néhány feladatról, melyeket érdemesnek tartok feldolgozásra. Ebben a szeminárium résztvevõinek munkájára számítok. Ennek az ismertetésnek a TeX, dvi vagy postscript file-ja elérhetõ az ennek a homepage-nek végén található Feldolgozásra javasolt cikkek és témák utáni TeX file, dvi file vagy postscript file szóra rákattintva.

Makai Endre elõadásának absztraktja:

Az izoperimetrikus problémán keresztül kis bevezetõt nyújtunk a konvex testek elméletébe. Szerepelni fog pl. Minkowski felszíndefiniciója, a vegyes térfogatok definiciója, a Brunn--Minkowski egyenlõtlenség.

Esetleges feldolgozásra ajánlott irodalom:

H. Busemann, The isoperimetric problem in the Minkowski plane, Amer. J. Math. 69 (1947), 863-871, MR 9-372 (a "súlyozott" izoperimetrikus probléma R^2-ben);
H. Busemann, The isoperimetric problem for Minkowski area, Amer. J. Math. 71 (1949), 743-762, MR 11-200 (a "súlyozott" izoperimetrikus probléma R^n-ben);
H. Busemann, The geometry of Finsler spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), 5-16, MR 11-400 (általános mese Minkowski geometriáról);
L. Fejes Tóth, Elementarer Beweis einer isoperimetrischen Ungleichung, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1 (1950), 273-276, MR 13-971 (R^2-ben az izoperimetrikus egyenlõtlenség egy, az egyenlõtlenség stabilítását is magában foglaló élesítésének bizonyítása, igazából integrálgeometriával, de leírva csak a papírhajtogatás van).

A további szemináriumokon fel kívánjuk dolgozni az 1997. évi Schweitzer verseny néhány példáját is, illetve néhány ehhez kapcsolódó problémát. Így a február 26. foglalkozáson a ennek a Schweitzer versenynek a 7. példáját tárgyaljuk, illetve annak az eredménynek a bizonyítását, mely szerint létezik eltolásinvariáns végesen additív egyre normált mérték egy kommutativ csoport összes részhalmazán. Ez az eredmény szolgál a tárgyalt Schweitzer feladat megoldásának alapjául. Az azt követõ szemináriumon tárgyalni fogjuk azt, hogy mely csoportokon nem létezik ilyen mérték. Szívesen venném, ha a Laczkovich Miklós speciálelõadását is hallgató diákok beszélnének e probléma kapcsolatáról a Laczkovich Miklós által tárgyalt kérdésekkel.

Az 1997-98 tanév második félévében tárgyalt feladatsorok

Végesen additiv invariáns mértékek csoportokon és az 1997. évi Schweitzer verseny 7. feladata. Február 19.
Végesen additiv invariáns mértékek csoportokon 2. Február 26.

Feldolgozásra javasolt cikkek és témák. TeX file, dvi file, pdf file.