\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
%\nopagenumbers
\centerline{\bf SZEMIN\'ARIUMI FELDOLGOZ\'ASRA JAVASOLT T\'EM\'AK}
\bigskip
\noindent{\bf Tournamentek vizsg\'alata --- Kapcsolatuk a line\'aris
programoz\'assal.}
 
Lehet-e egy ultiversenyt j\'ol megszervezni? Azaz, adva $3n$
versenyz\H{o}, a lehets\'eges $\dbinom {3n}3$ h\'arom elem\H{u}
r\'eszhalmazt be lehet-e osztani $\dfrac1{n}\dbinom{3n}3$ $n$
elem\H{u} csoportra (az egy fordul\'oban lej\'atszand\'o
m\'erk\H{o}z\'esek), melyek mindegyike a $3n$  elem\H{u}
halmaz partici\'oj\'at adja? A k\'erd\'est term\'eszetes m\'odon meg
lehet k\'erdezni $3$ szerepl\H{o}s j\'at\'ekok helyett tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v eg\'esz $k$ szerepl\H{o}s j\'at\'ekra. Az erre a
feladatra Baranyai Zsolt \'altal bizony\'{\i}tott igenl\H{o}
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak az ismertet\'es\'et javaslom.
Katona Gyul\'aval val\'o konzult\'aci\'o alapj\'an Baranyai Zsolt
kandid\'atusi disszert\'aci\H{o}j\'anak tanulm\'anyoz\'as\'at
l\'atom c\'elszer\H{u}nek. Ez megtal\'alhat\'o az MTA Matematikai
Kutat\'o Int\'ezet\'enek k\"onyv\-t\'a\-r\'a\-ban. \'Erdemesenek tartom
megjegyezni, hogy ezt a t\'em\'at nemcsak a probl\'ema, hanem a
felhaszn\'alt m\'odszer \'erdekess\'ege miatt is aj\'anlom. A
k\'erd\'es megfogalmazhat\'o, mint egy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
line\'aris programoz\'asi feladat, \'es ilyen m\'odszert k\"ovet a
bizony\'{\i}t\'as. M\'{\i}g a line\'aris programoz\'as klasszikus
eseteire viszonylag j\'ol kidolgozott elm\'elet l\'etezik, az eg\'esz
\'ert\'ek\H{u} line\'aris prog\-ra\-mo\-z\'as\-r\'ol
csak speci\'alis esetekben alkalmazhat\'o r\'esz\-ered\-m\'e\-nyek
ismeretesek. Ebbe ad n\'emi betekint\'est az eml\'{\i}tett
probl\'ema vizsg\'alata.
 
A line\'aris programoz\'as probl\'em\'ajanak egy m\'asik ir\'any\'u
\'erdekes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa a kvad\-ra\-ti\-kus programoz\'as.
Err\H{o}l Lov\'asz L\'aszl\'o \'{\i}rt \'erdekes t\'argyal\'ast, mely
megtal\'alhat\'o az ELTE homepage-\'en a
 
\centerline{http://www.cs.elte.hu/forro.html}
\noindent
c\'{\i}m\H{u} lapon. Ezt az\'ert nem t\"untetem
fel a javasolt t\'em\'ak k\"oz\"ott, mert ennek feldolgoz\'asa t\"obb
id\H{o}t \'es energi\'at ig\'enyel, mint amit egy vagy n\'eh\'any
el\H{o}ad\'asban fel tudunk dolgozni. Ha m\'egis van jelentkez\H{o}
ennek ismertet\'es\'ere, akkor azt sz\'{\i}vesen vessz\"uk.
 
\bigskip
\noindent{\bf Szab\'alyos tizenh\'etsz\"og szerkeszt\'ese}
 
Gindikin egy oroszul \'{\i}rt, de angol ford\'{\i}t\'asban is
megjelent k\"onyv\'enek (Rasskazi o matematikach i fizikach ---
T\"ort\'enetek matematikusokr\'ol \'es fizikusokr\'ol) Gaussr\'ol
\'{\i}rt r\'esz\'eben elmagyar\'azza a szab\'alyos tizenh\'etsz\"og
szerkeszt\'es\'et. A t\'argyal\'asm\'od elemi, de nagyon tanuls\'agos.
K\"ul\"on\"osen azok sz\'am\'ara \'erdekes ez, akiket \'erdekel
a Galois elm\'elet szeml\'eletes tartalma, \'es az hogy erre hogyan
lehet r\'aj\"onni. Tulajdonk\'eppen a $\sum\limits_{k=0}^{16}x^k=0$
egyenlet Galois csoportj\'at hat\'arozza meg a szerz\H o szeml\'eletes
m\'odon, illetve meg\-ma\-gya\-r\'az\-za, hogy ebb\H ol mi\'ert
 k\"ovetkezik a szab\'alyos tizeh\'etsz\"og
szer\-keszt\-het\H o\-s\'ege. Ehhez csak laz\'an kapcsol\'od\'o, de
szint\'en tanuls\'agos azoknak az ebben a k\"onyvben szerepl\H{o}
sz\'amelm\'eleti probl\'em\'aknak a t\'argyal\'asa, melyeknek egy
speci\'alis \'es k\"onnyen ellen\H or\'{\i}zhet\H o esete tette
lehet\H ov\'e az eml\'{\i}tett Galois csoport meghat\'aroz\'as\'at.
 
Egy m\'asik k\'erd\'es, melynek lehets\'eges t\'argyal\'as\'at ez a
k\"onyv vetette fel sz\'a\-mom\-ra, de amelyiknek sem a megold\'as\'at
sem az irodalomban el\-\'er\-he\-t\H o t\'argyal\'as\'at nem ismerem, a
k\"ovetkez\H o casus irreducibilisnek nevezett prob\-l\'e\-ma.
Tekints\"uk a harmadfok\'u egyenletetet
abban az esetben, amikor mind a h\'arom gy\"ok val\'os. Ismeretes, hogy
a harmadfok\'u egyenlet meg\-old\'o\-k\'ep\-lete szerint ekkor a
gy\"ok\"ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz komplex sz\'amokb\'ol is
kell k\"ob\-gy\"o\-k\"ot vonni. Az igaz\'an tartalmas
\'all\'{\i}t\'as viszont az lenne, hogy ezeket a gy\"ok\"oket nemcsak
e megold\'ok\'eplet szerint, hanem sehogyan sem lehet csup\'an val\'os
sz\'amokat haszn\'alva az \"osszead\'as, kivona\'as, szorz\'as,
oszt\'as \'es gy\"okvon\'as m\H uvelete seg\'{\i}ts\'eg\'evel
fel\'{\i}rni. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz val\'osz\'{\i}n\H uleg
a Galois elm\'elet alaposabb ismerete sz\"uks\'eges.
 
\bigskip\noindent
{\bf Holley egyenl\H{o}tlens\'eg --- alkalmaz\'asok a
kombinatorik\'aban \'es statisztikus fizik\'aban}
 
A Holley egyenl\H{o}tlens\'eg a statisztikus fizik\'aban
fogalmaz\'odott meg. Egyik k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye az FKG
(Fortuin--Kasteleyn--Ginibre) egyenl\H{o}tlens\'eg, mely fontos
szerepet j\'atszott Geoffrey Grimmett Bolyai koll\'egiumbeli
el\H{o}ad\'as\'aban is. Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg a
kombinatorik\'aban, az un.\ modul\'aris f\"uggv\'enyek
vizsg\'alat\'aban is hasznosnak bi\-zo\-nyult. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg bizonyos a szeml\'elet alapj\'an
,,ny\'{\i}l\-v\'an\-va\-l\'o", de form\'alisan bonyolultan
fel\'{\i}rhat\'o \'es nehezen bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'asok
igazol\'as\'ara hasz\-n\'al\-ha\-t\'o. Csak v\'azlatosan, pongyol\'an
fogalmazok meg egy ilyen \'all\'{\i}t\'ast, amelyik \'erz\'ekelteti
az ilyen tipus\'u \'all\'{\i}\-t\'a\-sok jelleg\'et. Ha egy
statisztikus fizikai modellben egy r\'acs pontjaiban 0 vagy 1
\'allapot\'u spinek \"ulnek, \'es a modell Hamilton f\"uggv\'eny\'et
\'ugy v\'altoztatjuk meg, hogy a sok 1 \'allapot\'u spint
tartalmaz\'o \'allapotok energi\'aja cs\"okken, akkor a
megv\'altoztatott Hamilton f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Gibbs \'allapotban t\"obb 1 \'al\-la\-po\-t\'u spin van. (Egy Gibbs
\'allapot szerinti m\'ert\'ek a kis energi\'aj\'u konfigur\'aci\'okra
van koncentr\'alva.)
 
Pontosabban megfogalmazva, a Holley egyenl\H{o}tlens\'eg a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel fog\-lal\-ko\-zik:
Legyen adva egy $X$ v\'eges halmaz, \'es legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $X$ r\'esz\-hal\-ma\-zait mint
elemeket tartalmaz\'o halmazokon. Azaz, az $\{A_1,\dots,A_k\}$,
 $A_j\subseteq X$, $j=1,\dots,k$ tipus\'u halmazoknak van $\mu$
illetve $\nu$ m\'ert\'eke, \'es
$$
\mu(\{A_1,\dots,A_k\})=\sum\limits_{j=1}^k\mu(A_j),\quad
\nu(\{A_1,\dots,A_k\})=\sum\limits_{j=1}^k\nu(A_j).
$$
Tov\'abb\'a $\sum\limits_{A\subseteq X}\mu(A)=1$ \'es
$\sum\limits_{A\subseteq X}\nu(A)=1$. A $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekek
szeml\'eletes jelent\'ese: V\'eletlenszer\H{u}en kijel\"olj\"uk az $X$
halmaz bizonyos pontjait, \'es $\mu(A)$ illetve $\nu(A)$ annak a
val\'osz\'{\i}m\H{u}s\'ege, hogy pontosan az $A$ halmaz elemeit
v\'alasztottuk ki. Azt mondjuk, hogy $\mu\ge\nu$, ha l\'etezik olyan
csatol\'as (coupling) a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekek k\"oz\"ott, mely
szerint az els\H{o} koordin\'ata egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tartalmazza a m\'asodikat. Pontosabban, l\'etezik olyan $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
az $\left\{\left(A_{i_1},B_{j_1}\right),\dots,
\left(A_{i_k},B_{j_k}\right)\right\}$, $\left(A_{i_r},B_{j_r}\right)\in
X\times X$ p\'arokb\'ol \'all\'o halmazokon, melyekre
$$
\align
&P\left\{\left\{\left(A_{i_1},B_{j_1}\right),\dots,
\left(A_{i_k},B_{j_k}\right)\right\}\right)=\sum\limits_{r=1}^k
P\left(A_{i_r},B_{j_r}\right),\\
&\sum\limits_{B\subseteq X}P(A,B)=\mu(A),\quad
\sum\limits_{A\subseteq X}P(A,B)=\nu(B),
\endalign
$$
\'es $P(A,B)=0$, ha $B\not\subseteq A$. A Holley egyenl\H{o}tlens\'eg
c\'elja j\'ol haszn\'alhat\'o, ellen\H{o}r\'{\i}zhet\H{o}
el\'egs\'eges felt\'etelt adni arra, hogy $\mu\ge\nu$.
 
A Holley egyenl\H{o}tlens\'eg a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as:
$\mu\ge \nu$, ha $\mu(A\cup B)\nu(A\cap B)\ge \mu(A)\nu(B)$ minden
$A\subseteq X$ \'es $B\subseteq X$ halmazra. Az egyenl\H{o}tlens\'eg
eredeti bizony\'{\i}t\'asa a Markov folyamatok elm\'elet\'enek ravasz
alkalmaz\'as\'an alapul. J\'oval k\'es\H{o}bb s\'{\i}ker\"ult tal\'alni
egyszer\H{u}bb, term\'eszetes, kombinatorikus bizony\'{\i}t\'ast. Ezt
az eredm\'enyt J\'arai Antal fogja ismertetni a szemin\'ariumon, mivel
ennek ismerete egy\'ebk\'ent is hasznos PhD. munk\'aj\'aban.
\bigskip\noindent
{\bf Izoperimetrikus probl\'em\'ak}
 
A klasszikus izoperimetrikus probl\'ema a k\"ovetkez\H{o}:
Egys\'egnyi ter\"ulet\H{u} tar\-to\-m\'a\-nyok k\"oz\"ul melyiknek a
ter\"ulete a legnagyobb? A v\'alasz az, hogy a k\"or. E k\'erd\'es
k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at is nevezhetj\"uk
(\'altal\'anos\'{\i}tott) izoperimetrikus probl\'em\'anak. Legyen adva
egy folytonos $e(\bold n)>0$ f\"uggv\'eny a s\'{\i}k egys\'egvektorain,
\'es egy $\bold G$ tartom\'any a s\'{\i}kon s\'{\i}ma $\partial\bold
G$ hat\'arral. Tekints\"uk az $\oint_{\partial\bold G} e(\bold
n_{\bold G}(x))\,dx$ integr\'alt a $\partial\bold G$ hat\'aron,
ahol $\bold n_{\bold G}(x)$ a $\bold G$ k\"uls\H{o} norm\'alis
egys\'egvektora az $x\in\partial\bold G$ pontban. Egys\'egnyi
ter\"ulet\H{u} $\bold G$ tartom\'anyok k\"oz\"ul melyikre lesz az
adott integr\'al minim\'alis?
 
A fenti k\'erd\'esre egyszer\H{u} geometriai k\'eppel
le\'{\i}rhat\'o v\'alasz adhat\'o. Minden $\bold n\in \bold R^2$
egy\-s\'eg\-vek\-tor\-hoz defin\'aljuk az $\{x\:x\in \bold
R^2,\;e(\bold n) x\bold n\le1\}$ f\'els\'{\i}kot, ahol $x\bold n$
skal\'arszorzatot jel\"ol. A keresett tartom\'anyt ezen f\'els\'{\i}kok
metszete adja meg, pontosabban ennek a metszetnek olyan
kinagy\'{\i}t\'asa, melynek a ter\"ulete egys\'egnyi. Tov\'abbi
\'erdekes probl\'ema annak vizsg\'alata, hogy ha egy tartom\'anyra a
funkcion\'al \'ert\'eke k\"ozel van az optimumhoz, akkor a tartom\'any
alakja mennyire hasonl\'{\i}t az optim\'alis tartom\'any\'ehoz.
 
A fenti k\'erd\'esek a geometria term\'eszetes, klasszikus
probl\'em\'aihoz tartoznak, de fontosak egy\'eb matematikai \'es
fizikai probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban is. Vizsg\'alatukban a konvex
geometria fontos fogalmai \'es eredm\'enyei, mint p\'eld\'aul a vegyes
t\'erfogat, Minkowski egyenl\H{o}tlens\'eg, stb.\ szerepelnek. A
k\'erd\'esek alapos vizsg\'alat\'ahoz nem elegend\H{o} n\'eh\'any
el\H{o}ad\'as. De rem\'elhet\H{o}leg a Matematikai Int\'ezet geometriai
oszt\'aly\'anak n\'eh\'any munkat\'arsa is el\H{o}ad, illetve
tan\'acsot ad n\'eh\'any cikk ismertet\'es\'ere, \'es ezek
lehet\H{o}v\'e teszik, hogy n\'emi betekint\'est kapjunk ebbe a
probl\'emak\"orbe.
 
\noindent
Makai Endre \'altal esetleges feldolgoz\'asra aj\'anlott
irodalom:\smallskip
\item{}H. Busemann: The isoperimetric problem in the Minkowski plane,
Amer. J. Math. 69 (1947), 863--871, (a ``s\'ulyozott''
izoperimetrikus probl\'ema $\bold R^2$-ben)
\item{}H. Busemann: The isoperimetric problem for Minkowski area, Amer.
J. Math. 71 (1949), 743--762, (a ``s\'ulyozott"
izoperimetrikus probl\'ema $\bold R^n$-ben)
\item{} H. Busemann: The geometry of Finsler spaces, Bull. Amer. Math.
Soc. 56 (1950), 5--16, (\'altal\'anos mese a Minkowski
geometri\'ar\'ol)
\item{} L. Fejes T\'oth: Elementarer Beweis einer isoperimetrischen
Ungleichung, Acta Ma\-the\-matica Acad.\ Sci.\ Hung.~1 (1950),
273--276, ($\bold R^2$-ben az izo\-peri\-met\-ri\-kus
egyenl\H{o}tlens\'eg egy, az egyenl\H{o}tlens\'eg stabil\'{\i}t\'as\'at
is mag\'aban foglal\'o \'eles\'{\i}t\'es\'enek bizony\'{\i}t\'asa,
iga\-z\'a\-b\'ol integr\'algeometri\'aval. De le\'{\i}rva csak a
pap\'{\i}r\-haj\-to\-ga\-t\'as van).
 
 
\bye

