M E G H Í V Ó

az Összintézeti Szeminárium következő előadására, mely 2004. november 15-én du 2-kor lesz a Nagyteremben. A program:

PYBER LÁSZLÓ (Rényi Intézet)

Hány kongruenciarészcsoportja van a moduláris csoportnak?

A Γ = P SL(2, ℤ) moduláris csoport Felix Klein óta legtöbbet vizsgált részcsoportjai az ún. kongruenciarészcsoportok. Jelölje C_{n}(Γ) a Γ legfeljebb n indexű kongruenciarészcsoportjai számát. Lubotzky egy nevezetes eredménye szerint

n\frac{α_{1} log n}{log log n} ≤ C_{n}(Γ) ≤ n\frac{α_{2} log n}{log log n}

Nyitott kérdés volt, hogy α_{1} és α_{2} optimális értékei megegyeznek-e. Goldfelddel és Lubotzkyval közös cikkünk fő eredménye szerint igen, éspedig

α_{1} = α_{2} = \frac{3 − 2\sqrt{2}}{4}.

A bizonyítás első részében csoportelméleti eszközökkel belátjuk, hogy C_{n}(Γ) vizsgálata ekvivalens egy igen csúf számelméleti jellegű függvény f(n) vizsgálatával. Az f(n) függvényre a Bombieri-Vinogradov tétel segítségével lehet alsó korlátot adni. Egy Ábel csoportokra vonatkozó szokatlan kombinatorikus probléma megoldásával sikerült ezzel lényegében egyező felső korlátot is adni.

A fenti bizonyításra építve Lubotzky és Nikolov a legtöbb aritmetikus csoportra hasonló éles eredményeket értek el.

HIVATKOZÁSOK

1. A. Lubotzky, Subgroup Growth and Congruence Subgroups. Invent. Math. 119 (1995), 267-295

2. D. Goldfeld, A. Lubotzky, N. Nikolov, L. Pyber Counting Primes, Groups and Manifolds Proc. Natl. Acad. Sci. USA 101 (2004) 13428-13430

3. D. Goldfeld, A. Lubotzky, L. Pyber Counting Congruence Subroups Acta Mathematica (megjelenés alatt)

4. A. Lubotzky, N. Nikolov Subgroup Growth of Lattices in Lie Groups Acta Mathematica (megjelenés alatt)

MINDEN ÉRDEKLŐDŐT SZERETETTEL VÁRUNK!

Szilárd Ágnes, tudományos titkár