Aszimptotikus kohomológiafüggvények projektív varietásokon

Küronya Alex

Legyen X egy sima komplex projektív varietás, L egy egyenesnyaláb X felett. Az alábbi ún. Riemann–Roch-probléma már a XIX. században komoly figyelmet kapott: hogyan változik

h^{0} (X, L^{⊗m}) ,

mint m ∈ ℕ függvénye? Ugyan görbékre és felületekre ismert a válasz, általános varietások esetén messze járunk tőle.

Az előadás tárgya a Riemann–Roch-kérdéskör egy alternatív megközelítése Demailly, Ein, Lazarsfeld és mások nyomán, a konkrét kohomológiacsoportok dimenzióinak kiszámítása helyett h^{0} (X, L^{⊗m})-nek mint m függvényének az aszimptotikus viselkedésére helyezve a hangsúlyt.

Ismert, hogy tetszőleges 0 ≤ i ≤ dim X esetén

h^{i} (X, L^{⊗m}) ≤ C · m^{dim X} ,

így a

ĥ^{i} (X, L) =^{def} lim sup_{m} \frac{h^{i} (X, L^{⊗m})}{m^{dim X}}

kifejezés egy nemnegatív valós szám. Ez a mennyiség sokat elárul az L egyenesnyaláb geometriájáról, például

ĥ^{0} (X, L) > 0

pontosan akkor, ha L az X varietás effektív divizorainak kúpjának a belsejében van (ún. nagy egyenesnyaláb). Egy másik példa: ha L bőséges, akkor

ĥ^{i} (X, L) = \begin{cases}(L^{n}) ha i = 0 , \\ 0 ha i > 0 , \end{cases}

Serre eltűnési tétele és az aszimptotikus Riemann–Roch-tétel miatt.

Kicsit konktrétabban, az előadás során azt fogjuk vizsgáljuk, miként viselkednek tetszőleges n-dimenziós irreducibilis komplex projektív X varietás és D Cartierdivízor esetén a

ĥ^{i} (X, D) =^{def} lim sup_{m} \frac{h^{i} (X, O_{X}(mD))}{m^{n}/n!}

ún. aszimptotikus kohomológiafüggvények (mint D függvényei).

Egyszerűbb esetek (projektív sík pár pontban felfújva, Abel-varietások) vizsgálata után megmutatjuk, hogy az aszimptotikus kohomológiafüggvények folytonosak a Néron–Severi-téren.

Belátható, hogy, hogy sima felületek esetén az effektív kúp belsejében az aszimptotikus függvények darabonként polinomiálisak egy lokálisan véges racionális poliéderes felbontásra nézve. Azt is látni fogjuk, hogy magasabb dimenziós sokaságokon ilyen jellegű állítás általában nem igaz.