<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\K{{\bold K}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
 
\beginsection Wiener folyamatok
 
A k\"ovetkez\H o  k\'et feladat azt mutatja, hogy az az esem\'eny, hogy
egy sztochasztikus  folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u-e vagy sem
nem hat\'arozhat\'o meg  a folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai
seg\'\i{}ts\'eg\'evel, de ezen eloszl\'asok  seg\'\i{}ts\'eg\'evel
explicite eld\"onthet\H o, hogy alkalmas konstrukci\'oval megadhat\'o-e
olyan sztochasztikus  folyamat, melynek ezek a v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asai, \'es amelyik egy  val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u.
\item{1.)} Legyen $X(t)=X(t,\omega)$, $0\le t\le 1$, olyan
sztochasztikus folyamat, melyre az $X(\cdot,\omega)$ trajekt\'oria
folytonos f\"uggv\'eny majdnem minden $\omega$-ra. Legyen tov\'abb\'a
ez a folyamat atommentes, azaz tetsz\H oleges folytonos $f(t)$, $0\le
t\le1$, f\"uggv\'enyre $P(\{\omega\: X(t,\omega)=f(t)\})=0$. Ekkor
l\'etezik olyan $\bar X(t,\omega)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus
folyamat, melyre $P(\{\oo\:\bar X(t,\oo)=X(t,\oo)\})=1$ tetsz\H oleges
$t\in[0,1]$-re, \'es az $\bar X(t,\oo)$ folyamat trajekt\'ori\'ai egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel sehol sem folytonosak.
\item{2.)} Legyen $B$ a $[0,1]$ intervallum egy minden\"utt s\H ur\H u
megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmaza, (p\'eld\'aul a a $[0,1]$
intervallumbeli racion\'alis sz\'amok halmaza.) Legyen
$X(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a $[0,1]$ intervallumban, melynek
v\'eges dimenzi\'os
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)=P(X(t_1)&lt;x_1,\dots,X(t_n)&lt;x_n)
$$
eloszl\'asai ismertek tetsz\H oleges $0\le t_1&lt;\cdots&lt;t_n\le1$
param\'eterekre. L\'assuk be, hogy
\itemitem{a.)} Az $F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asok  egy\'ertelm\H uen meg\-ha\-t\'aroz\-z\'ak,
hogy az $X(t)$ folyamat kiel\'eg\'\i{}ti-e a
k\"ovetkez\H o tulajdons\'agokat: Az $X(t.\oo)$, $t\in B$
trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel egyenletesen
folytonosak ($\oo$-t\'ol f\"ugg\H o folytonoss\'agi modulussal) az
$X(t)$ folyamat meg\-szo\-r\'\i{}\-t\'a\-s\'an a $t\in B$
indexhalmazra. Az $X(t)$ sztochasztikus folyamat tetsz\H oleges
$t\in[0,1]$-re szto\-chasz\-ti\-ku\-san foly\-to\-nos, azaz
$\lim\limits_{s\to t}P(|X(t)-X(s)|&gt;\e)=0$ minden $\e&gt;0$-ra.
\itemitem{b.)} L\'assuk be, hogy akkor \'es csak akkor l\'etezik olyan
$\bar X(t)$ sztochasztikus folyamat a $[0,1]$ intervallumon, melyre
$P(X(t)=\bar X(t))=1$ minden $t\in[0,1]$-re, \'es e folyamat $\bar
X(t,\oo)$ trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonosak,
ha az $X(t)$ folyamat teljes\'\i{}ti az a) r\'esz felt\'eteleit. Az
$X(t)$ \'es $\bar X(t)$ folyamat v\'eges dimezi\'os eloszl\'asai
megegyeznek.
\item{3).} Legyen $X(t)=X(t,\oo)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
sztochasztikus folyamat az $(\Omega, \Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi mez\H on. L\'assuk be, hogy $X(t,\oo)$ tekinthet\H o egy
$C([0,1])$ \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'altoz\'onak is. R\'eszletesebben megfogalmazva: Jel\H olje $\Cal B$
a Borel $\sigma$-algebr\'at $R^1$-en, \'es legyen $\Cal C$ a Borel
$\sigma$-algebra a $C([0,1])$ t\'eren, azaz legyen $\Cal C$ a
ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt legsz\H ukebb $\sigma$-algebra
a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
ter\'en a szupr\'emum norma \'altal gener\'alt topol\'ogi\'aval.
L\'assuk be, hogy ha a $\T_t\: (\Omega,\Cal A,P)\to(R^1,\Cal B)$,
$\T_t(\oo)=X_t(\oo)$, lek\'epez\'es m\'erhet\H o minden
$t\in[0,1]$-re, akkor a $\T\: (\Omega, \Cal A, P)\to (C([0,1]),\Cal C)$,
$\T(\oo)= X(\cdot,\oo)$ lek\'epez\'es is m\'erhet\H o.
\item{} Legyen $X(t)$, $0\le t\le1$, folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk
ennek $\mu_X $eloszl\'as\'at a $C([0,1])$ t\'eren a k\"ovetkez\H o
m\'odon: $\mu_X(\K)=P(X(\cdot,\oo)\in \K)$ minden $\K\in\Cal C$-re.
Mutassuk meg, hogy a $\mu_X$ m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$
sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai.
\item{4.)} Egy Komogorovt\'ol sz\'armaz\'o eredm\'eny szerint, ha az
$X(t)$, $0\le t\le 1$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat teljes\'\i{}ti az
$E|X(t)-X(s)|^{2+\delta}\le C|t-s|^{1+\e}$ felt\'etelt minden
$s,t\in[0,1]$-re valamely $\delta&gt;0$, $\e&gt;0$
\'es  $C&gt;0$ sz\'amokkal, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat a $[0,1]$ intervallumon, melyre
$P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden
$t\in[0,1]$-re. \'Altal\'anos\'\i{}tsuk ezt az eredm\'enyt arra az
esetre, amikor
az $X(t)$ sztochasztikus folyamat a $t\in[0,1]^k$ van \'ertelmezve.
Ennek
megfogalmaz\'as\'ahoz vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o jel\H ol\'eseket:
Ha $\Delta=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_k,b_k]\subset [0,1]^k$ egy
$k$-dimenzi\'os t\'eglatest, akkor
$|\Delta|=\prod\limits_{j=1}^k(b_j-a_j)$,
az $X(t)$ megv\'altoz\'asa a $\Delta$-n $X(\Delta)=\sum\limits\Sb
t_j=a_j\text{ vagy }b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(t_1,\dots,t_k)}
X(t_1,\dots,t_k)$, ahol $\chi(t_1,\dots,t_k)=\#\{j\: t_j=a_j,\;1\le
j\le k\}$.
Ha $E|X(\Delta)|^{2+\delta}\le C|\Delta|^{1+\e}$ valamely $\delta&gt;0$,
$\e&gt;0$ \'es $C&gt;0$-ra, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a $[0,1]^k$-n, melyre
$P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden $t\in [0,1]^k$-ra.
 
\item{5.)} L\'assuk be, hogy a $W(t)$, $0\le t\le a$
sztochasztikus folyamat
akkor \'es csak akkor Wiener folyamat a $[0,a]$ intervallumban, ha a
$\dfrac1{\sqrt c}W(ct)$ sztochasztikus
folyamat Wiener folyamat a $[0,a/c]$ intervallumban, alol $c&gt;0$
tetsz\'oleges pozitiv sz\'am. A $W(t)$ sztochasztikus folyamat akkor
\'es csak akkor Wiener folyamat a $[0,a]$ intervallumban, ha
$\dfrac1t W\(\dfrac1t\)$ Wiener folyamat az $\[\dfrac1a,\infty\)$
intervallumban. L\'assuk be ennek a t\'enynek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel,
hogy a Wiener
folyamatra igaz iter\'alt logaritmus t\'etelb\H ol a v\'egtelen
k\"ornyezet\'eben
k\"ovetkezik az iter\'alt logaritmus t\'etel a nulla
k\"ornyezet\'eben, azaz abb\'ol
hogy $\limsup\limits_{t\to\infty}\dfrac{W(t)}{\sqrt{2t\log\log t}}=1$ 1
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, k\"ovetkezik, hogy
$\limsup\limits_{t\to0}\dfrac{W(t)}{\sqrt{2t\log |\log t|}}=1$  1
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
\item{6.)} Legyen $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$, \dots teljes
ortonorm\'alt
rendszer a $[0,1]$ intervallumban (a Lebesgue m\'ert\'ekkel), $\xi_1$,
$\xi_2$, \dots, f\"uggetlen standard norm\'alis
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, \'es
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $W(t)$ sztochasztikus folyamatot a $[0,1]$
intervallumban.
$$
W(t)=\sum_{k=1}^\infty \xi_k\int_0^t \varphi(s)\,ds\;,\qquad 0\le
t\le1\;.
$$
L\'assuk be, hogy $W(t)$ Gauss folyamat, $EW(t)=0$, $0\le t\le1$,
melynek a kovarianciaf\"uggv\'enye megegyezik a Wiener folyamat
kovarianciaf\"uggv\'eny\'evel, azaz  $EW(s)W(t)=\min (s,t)$, $0\le
s,t\le1$.
\item{7.)} L\'assuk be, hogy a
$$
W(t)=\frac1\pi\(\xi_0+\sum_{k=1}^\infty \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}
\)\;,\qquad 0\le t\le1\;.
$$
\"osszeg v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek a Wiener
folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asaival, ha $\xi_n$, $n=0,1,\dots$, f\"uggetlen
standard
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok. Hogyan lehet ezt a
reprezent\'aci\'ot \'altal\'anos\'\i{}tani m\'as $Z(t)$, $EZ(t)=0$,
$0\le t\le1$, Gauss
folyamatra a $K(s,t)=EZ(s)Z(t)$,  ($K(s,t)=K(t,s)$),
kovarianciaf\"uggv\'eny
alkalmas reprezent\'aci\'oja seg\'\i{}ts\'eg\'evel?
\item{8.)} L\'assuk be, hogy az el\H oz\H o feladatban defini\'alt
$W(t)$ sztochasztikus folyamat Wiener folyamat.
Azaz, l\'assuk be, hogy az ott defini\'alt folyamatra a
feladatban bizony\'\i{}tott tulajdons\'agokon k\'\i{}v\"ul az is igaz,
hogy a trajekt\'ori\'ai 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonosak, az
al\'abbi r\'eszfeladatok seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\item{a.)} L\'assuk be, hogy  tetsz\H oleges $1/2&gt;\e&gt;0$-ra \'es minden
el\'eg nagy $n$-re
$$
\align
P(\A_n)=P&amp;\(\sup_{2^n\le p&lt;2^{n+1}}\sup\Sb 0\le
s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb
\left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}
-\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi s}{2k}\right|&gt;2^{-
n\e/2}\)\\ &amp;\qquad&lt;\const 2^{-n(1+\e)}
\endalign
$$
\item{b.)}
Alkalmas $n_0$ k\"usz\"obindex eset\'en tetsz\H oleges $n\ge n_0$,
$2^n\le p&lt;2^{n+1}$, $0\le t\le1$-re
$$
P\(\left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}
\right|&gt;2^{-n\e}\)&lt;\exp\left\{\(- 2^{n(1-2\e)}\)/2\right\}
$$
\item{c.)} Defini\'aljuk a $\BB(n,j,p)$, $0\le j&lt;2^{(1+\e)n}$,
$2^n\le p&lt;2^{n+1}$,
$$
\BB(n,j,p)=\left\{\oo\:
\left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k(\oo)\frac{\sin(k\pi j2^{-(1+\e)n})}{2k}
\right|&gt; 2^{-n\e} \right\}
$$
esem\'enyeket. L\'assuk be, hogy
$$
\sum_{n,j,p}P(\BB(n,j,p))&lt;\infty,\qquad \sum_n P(\A_n)&lt;\infty.
$$
L\'assuk be e rel\'aci\'ok \'es a Borel--Cantelli lemma
seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy a
$W_n(t)=\frac1\pi\(\xi_0+\sum\limits_{k=1}^n
\xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}\)$,
$0\le t\le1$, sztochasztikus folyamatok egy val\'osz\'\i{}n\H
us\'eggel egyenletesen
konverg\'alnak a 7. feladatban defini\'alt $W(t)$, $0\le t\le1$,
folyamathoz, ez\'ert ez ut\'obbi egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat.
\item{9.)} Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, standard Wiener folyamat, \'es
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $B_0(t)$ folyamatot:
$B_0(t)=W(t)-tW(1)$. L\'assuk
be, hogy $B_0(t)$ 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u (folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u) Gauss
folyamat $EB_0(s)B_0(t)=\min(s,t)-st$ kovarianciaf\"uggv\'ennyel. A
$B_0(t)$ folyamat \'es a $W(1)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti $B_0(t)$, $0\le t \le 1$,
folyamattal megegyez\H o v\'eges dimenzi\'os eloszl\'as\'u folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u folyamatokat Brown bridge-nek nevezik.
\item{b.)} Legyen $B_0(t)$ Brown bridge, $0&lt;r&lt;1$ fix sz\'am. L\'assuk
be, hogy a
$$
\dfrac1{\sqrt{r}}(B_0(rt)-tB_0(r))\quad\text{\'es}\quad
\dfrac1{\sqrt{1-r}}(B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)),\quad 0\le t\le 1,
$$
folyamatok f\"uggetlen
Brown bridge-ek, melyek f\"uggetlenek a $B_0(r)$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ot\'ol is.
\item{c.)} Ha $B_0(t)$ Brown bridge, akkor $B_0(1-t)$ is Brown bridge.
\item{10.)} Legyenek $\xi_1$, \dots, $\xi_n$ f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Defini\'aljuk
az $F_n(t)$ empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt,
$F_n(t)=\dfrac1n\#\{\xi_k\:
\xi_k&lt;t,\, 1\le k\le n\}$, $0\le t\le 1$. L\'assuk be, hogy a
standardiz\'alt
empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny $K_n(t)=\sqrt n(F_n(t)-t)$
kovarianciaf\"uggv\'enye megegyezik a Brown bridge
kovarianciaf\"uggv\'eny\'evel, \'es $EK_n(t)=0$ minden $t\in[0,1]$-re.
Mutassuk meg, hogy tetsz\H oleges $0\le t_1&lt;t_2&lt;\cdots &lt;t_k\le1$-ra a
$(K_n(t_1),\dots,K_n(t_k))$ v\'eletlen vektor eloszl\'asban
konverg\'al a
$(B_0(t_1),\dots,B_0(t_k))$ v\'eletlen vektorhoz, ha $n\to\infty$, ahol
$B_0(t)$ Brown bridge.
\item{11.)} Legyen $W(t)$ standard Wiener folyamat, \'es defini\'aljuk a
$Z(t)=\dfrac{W(e^t)}{e^{t/2}}$, $-\infty&lt;t&lt;\infty$ folyamatot.
L\'assuk be, hogy $EZ(s)Z(t)=e^{-|t-s|/2}$, $EZ(t)=0$,  A $Z(t)$ \'es
$Z(t+a)$, $-\infty&lt;t&lt;\infty$, folyamatok eloszl\'asa megegyezik tetsz\H
oleges $-\infty&lt;a&lt;\infty$-re. Legyenek $s_0&lt;s_1&lt;\cdots&lt;s_r
&lt;t_0&lt;t_1&lt;\cdots&lt;
t_p$ r\"ogz\'\i{}tett sz\'amok. A $(Z(t_0),\dots,Z(t_r)$ felt\'eteles
eloszl\'asa a $Z(s_0)=x_1,\dots,Z(s_r)=x_s$ felt\'etel eset\'en
megegyezik e v\'eletlen vektor felt\'eteles eloszl\'as\'aval a
$Z(s_r)=x_s$ felt\'etel eset\'en. Hat\'arozzuk meg ezt a felt\'eteles
eloszl\'ast.
\item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ A $Z(t)$ folyamattal megegyez\H o
eloszl\'as\'u, folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokat Ornstein--Uhlenbeck
folyamatnak nevezik.
\item{12.)} Legyen $W(t)$ Wiener folyamat a $[0,1]$ intervallumon.
\item{a.)} L\'assuk be, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2^n} [W(k2^{-n})-W((k-1)2^{-n})]^2=1\quad
\text{1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.}
$$
\item{b.)} Legyen $\mu_w$ a $W(t)$ Wiener folyamat \'es $\mu_{\sigma w}$
a $\sigma
W(t)$ eloszl\'asa a $C([0,1])$ t\'eren. L\'assuk be, hogy $\sigma&gt;0$,
$\sigma\neq 1$ eset\'en a $\mu_w$ \'es $\mu_{\sigma w}$ m\'ert\'ekek
szingul\'arisak egym\'asra n\'ezve.
\item{13.)} Legyen a $W(t)+mt$, $0\le t\le 1$, ahol $m$ fix val\'os
sz\'am \'es $W(t)$ a Wiener folyamat, eloszl\'asa a $\mu_{w,m}$ m\'ert\'ek a
$C([0,1])$ t\'eren. L\'assuk be, hogy a $\mu_{w.m}$ m\'ert\'ek abszolut
folytonos a $\mu_w$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es sz\'amoljuk ki a
Radon--Nikodym deriv\'altj\'at.
 
 \newpage
 
\beginsection Megold\'asv\'azlatok
 
\item{1.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o ekvivalencia rel\'aci\'ot
$[0,1]$-en: $x\sim y$ akkor \'es csak akkor, ha $x-y$ racion\'alis
sz\'am. Defini\'aljuk a $P=[0,1]/\sim$ ekvivalencia oszt\'alyok
halmaz\'at a fenti rel\'aci\'o szerint. Mivel mind a folytonos
f\"uggv\'enyek $\bold Q$ halmaz\'anak mind a $P$ halmaznak a
sz\'amoss\'aga kontinum, ez\'ert l\'etezik egy $\T\: \bold Q\to P$
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H u lek\'epez\'es. Egy folytonos
$f$ f\"ugg\-v\'eny\-re defini\'aljuk a $\bold U(f)=\bar f$
f\"uggv\'enyt a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\bar f(t)=f(t)$, ha $t\notin
\T(f)$, \'es $\bar f(t)=f(t)+1$ ha $t\in \T(f)$. Legyen $\bar
X(t,\oo)=\bar f(t)$, ha $X(t,\oo)$ az $f(t)$ folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor $\bar X(t)$ trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
sehol sem folytonosak, mert a $\bold U$ lek\'epez\'es egy folytonos
f\"uggv\'enyt egy sehol sem folytonos f\"ugg\-v\'eny\-re k\'epez.
M\'asr\'eszt, $P(\bar X(t)\neq X(t))=0$ minden r\"ogz\'\i{}tett $t\in
[0,1]$-re, mert a $t$ pontban egyetlen folytonos f\"uggv\'eny
\'ert\'eke v\'altozik meg, nevezetesen a $t$ pontot tartalmaz\'o
ekvivalenciaoszt\'aly k\'epe a $\T^{-1}$ transzform\'aci\'o szerint.
\item{2.)}
\itemitem{a.)} Legyen $B=\{x_1,x_2,\dots,\}$ \'es $B_n=\{x_1,\dots,x_n\}$.
Defini\'aljuk az
$$
\A(n,\e,\delta)=\{\oo;\, |X(t,\oo)-X(s,\oo)|&lt;\e,\quad \forall
\;s,t\in B_n\text{-re ha }|s-t|&lt;\delta\}
$$
esem\'enyeket. Legyen
$$
\A(\e,\delta)=\bigcup\limits_{n=1}^\infty
\A(n,\e,\delta),\quad
\A(\e)=\bigcup\limits_{\delta\to0}\A(\e,\delta),\quad
\A=\bigcap\limits_{\e\to 0}\A(\e).
$$
Ekkor az \"osszes $\A(\e,\delta)$, $\A(\e)$ \'es $\A$ esem\'eny
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege kisz\'am\'\i{}that\'o az
$F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ eloszl\'asok seg\'\i{}ts\'eg\'evel,
\'\i{}gy ezek ismeret\'eben eld\"onthet\H o, hogy az $\A$ esem\'eny
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege 1-gyel egyenl\H o-e. De az $\A(\e,\delta)$
esem\'eny azt jelenti, hogy az $X(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria
megszor\'\i{}t\'asa a $B$ halmazra olyan, hogy a delt\'an\'al
r\"ovidebb intervallumokon e f\"uggv\'eny ingadoz\'asa kisebb mint
$\e$, $\A(\e)$ azt jelenti, hogy van olyan $\oo$-t\'ol f\"ugg\H o
hossz, hogy az enn\'el r\"ovidebb intervallumokon a trajekt\'oria
ingadoz\'asa (megszor\'\i{}tva a $t\in B$ halmazra) kisebb mint
$\e$. V\'eg\"ul az $\A$ halmaz tartalmazza azon $\oo$-kat, melyekre az
$X(t,\oo)$ trajekt\'oria megszor\'\i{}t\'asa a $B$ halmazra egyenletesen
folytonos. Mivel a $P(|X(t)-X(s)|&gt;\e)$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'et meghat\'arozz\'ak a v\'eges (k\'et) dimenzi\'os
eloszl\'asok, \'\i{}gy ezek az eloszl\'asok meghat\'arozz\'ak, hogy az
$X(t)$ folyamet sztochasztikusan folytonos-e.
\itemitem{b.)}  Ha teljes\"ulnek az a) r\'eszben felsorolt
tulajdons\'agok, akkor az
$$
\bar X(t,\oo)=\lim\limits_{s\in B,s\to t}X(s,\oo)
$$
trajekt\'oria majdnem minden $\oo$-ra j\'ol defini\'alt, mert az
$X(t,\oo)$ folyamat egyenletesen folytonos a $B$ halmazon. Tov\'abb\'a
$P(\bar X(t)=X(t))=1$ a sztochasztikus folytonoss\'ag miatt. A
felt\'etelek sz\"uks\'egess\'ege ny\'\i{}lv\'anval\'o.
\item{3.)} Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges m\'erhet\H o $C\in
\Cal C$ halmazra $\T^{-1}(C)$ m\'erhet\H o halmaz, azaz eleme a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'anak. El\'eg ezt az \'all\'\i{}t\'ast ny\'\i{}lt
halmazokra bel\'atni, mert ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy az
\'all\'\i{}t\'as igaz a ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara is. Mi\'ert? Tov\'abb lehet reduk\'alni az
\'allt\'ast a k\"ovetkez\H o tipus\'u halmazokra: Ha $x=x(t)\in
C([0,1])$, $\e&gt;0$, akkor legyen $S(x,\e)=\{y\: y\in C([0,1]),\;
\sup\limits_{t\in [0,1]}|x(t)-y(t)|&lt;\e\}$. El\'eg bel\'atni, hogy az
$S(x,\e)$ tipus\'u halmazok \H osk\'epei m\'erhet\H oek minden $x\in
C([0,1])$ \'es $\e&gt;0$-ra, mert tetsz\H oleges ny\'\i{}lt halmaz el\H
o\'all\'\i{}that\'o megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen halmaz
\'uni\'ojak\'ent, \'es egy ny\'\i{}lt halmaz \H osk\'epe megegyezik az
\H ot el\H o\'all\'\i{}t\'o \'uni\'oban r\'esztvev\H o halmazok \H
osk\'ep\'enek az \'uni\'oj\'aval. A k\"vetkez\H o meggondol\'as
mutatja, hogy $S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz. Jel\H olje $Q$ a
ra\-ci\-o\-n\'a\-lis sz\'amok halmaz\'at a $[01,1]$ intervallumban.
Ekkor
$$
\T^{-1}S(x,\e)=\bigcup_{n=1}^\infty\(\bigcap_{r\in
Q}\left\{\oo\:|X(r,\oo)-x(r)|&lt;\(1-\frac1n\)\e\right\}\)
$$
(Mi\'ert?) Ebb\H ol a reprezent\'aci\'ob\'ol l\'atszik, hogy
$\T^{-1}S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz.
\item{} Az el\H oz\H o \'ervel\'es megmutatta, hogy az $\{X(t_1)\in
\A_1,\dots,X(t_k)\in \A_k\}$ alak\'u halmazok, ahol $t_1,\dots, t_k$
tet\-sz\H o\-le\-ges pontok a $[0,1]$ intervallumban, $\A_1,\dots,\A_k$
tet\-sz\H o\-le\-ges m\'erhet\H o halmazok $R^1$-en, olyan algebr\'at
alkotnak, amelyik gener\'alja a $\Cal C$ $\sigma$-algebr\'at. Mivel
ezeknek a halmazoknak a m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai, ez\'ert e v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asok meghat\'arozz\'ak a $\Cal C$ $\sigma$-algebra
halmazainak a m\'ert\'ek\'et is.
\item{5.)} Annak bizony\'\i{}t\'as\'ahoz, hogy amennyiben $W(t)$
Wiener fo\-lya\-mat, akkor az \'uj fo\-lya\-ma\-tok is azok, el\'eg
ellen\H orizni azt, hogy az \'uj folyamatok kovarianciaf\"uggv\'enye az
el\H o\'\i{}rt alak\'u. $E\dfrac1{\sqrt c}W(cs)\dfrac1{\sqrt
c}W(ct)=E\dfrac1cW(cs)W(ct)=\min(s,t)$,
$$
E\dfrac1sW\(\dfrac1s\)\dfrac1tW\(\dfrac1t\)=\min(s,t)\;.
$$
Az eredeti folyamatot kifejezve a transzform\'alt folyamat
seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy ezek a felt\'etelek sz\"uks\'egesek
is.
\item{6.)} Be kell l\'atni, hogy  $EW(s)W(t)=\min(s,t)$. A $\xi_n$
v\'altoz\'ok korrel\'alatlans\'aga miatt
$$
EW(s)W(t)=\sum_{k=1}^\infty\int_0^s
\varphi(u)\,du\int_0^t\varphi(u)\,du\;.
$$
A Parseval formula szerint tetsz\H oleges n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyekre
$$
\int_0^1 f(u) g(u)\,du=\sum_{k=1}^\infty\int_0^1 f(u)\varphi(u)\,du
\int_0^1g(u)\varphi(u)\,du.
$$
Legyen $f(u)$ a $[0,s]$, $g(u)$ pedig a $[0.t]$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. Ekkor a Parseval formula az el\H oz\H o
azonoss\'aggal adja, hogy $EW(s)W(t)=\int f(u)g(u)\,du=\min(s,t)$.
\item{7.)} Az $\varphi_0(t)=1$, $\varphi_n(t)=\cos n\pi t$
f\"uggv\'enyek
teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak a $[0,1]$ intervallumon. Mi\'ert?
\'Igy az el\H oz\H o feladat eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik az
\'all\'\i{}t\'as.
Az \'altal\'anos esetbeli reprezent\'aci\'ot megkaphatjuk, ha a $K(s,t)$
korrel\'aci\'of\"uggv\'enyt fel tudjuk \'\i{}rni
$$
K(s,t)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n\varphi_n(s)\varphi_n(t)
$$
alakban, ahol $\varphi_n(t)$ teljes ortonorm\'alt rendszer a $[0,1]$
intervallumban, \'es $\lambda_n\ge0$. Ekkor az
$$
X(t)=\sum_{n=1}^\infty\sqrt{\lambda_n}\varphi(t)\xi_n
$$
ahol $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok,  0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u \'es $K(s,t)=EX(s)X(t)$
kovarianciaf\"uggv\'ny\H u Gauss folyamat. Mi\'ert?
\item{} A k\'\i{}v\'ant reprezent\'aci\'o lehets\'eges. Defini\'aljuk a
$\bold Kf(t)=\int_0^1
K(s,t)f(s)\, ds$ integr\'aloper\'atort a n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek
ter\'en. A funkcion\'alanal\'\i{}zis eredm\'enyei alapj\'an  $\bold K$
egy kompakt
(Hilbert--Schmidt) \"onadjung\'alt oper\'ator, ez\'ert l\'etezik olyan
teljes ortonorm\'alt $\varphi_n(t)$ rendszer, melyre
$$
\bold Kf(t)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n\varphi_n(t)
\int_0^1\varphi_n(s)f(s)\,ds=\int_0^1 K(s,t)f(s)\,ds\;,
$$
ahol $K(s,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty
\lambda_n\varphi_n(s)\varphi_n(t)$.
Mivel az integr\'aloper\'ator magf\"uggv\'enye egy\-\'er\-tel\-m\H uen
meghat\'arozott, ez\'ert
megkaptuk a k\'\i{}v\'ant reprezent\'aci\'ot. Be kell m\'eg l\'atni,
hogy a k\'epletben
szerepl\H o $\lambda_n$ saj\'at\'ert\'ekek nem negat\'\i{}vak. Ehhez
el\'eg azt bel\'atni,
hogy  $\int_0^1\int_0^1 K(s,t)f(s)f(t)\,ds\,dt\ge0$  tetsz\H oleges
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o $f(t)$ f\"ugg\-v\'eny\-re. Mi\'ert?
Viszont $$
\align
\int_0^1\int_0^1 K(s,t)f(s)f(t)\,ds\,dt&amp;=
\int_0^1\int_0^1 EX(s)X(t)f(s)f(t)\,ds\,dt\\
&amp;=\(\int_0^1 f(s)EX(s)\,ds\)^2\ge0\;,
\endalign
$$
\item{} K\'erd\'es: Hogy sz\'ol a felhaszn\'alt
funkcion\'alanal\'\i{}zisbeli eredm\'eny
v\'eges dimenzi\'os line\'aris algebrai v\'altozata?
\item{8.)}\item{a.)}
$$
\align
&amp;\sup\Sb 0\le s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb
\left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}
-\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi s}{2k}\right|
&lt;\sum_{k=2^n}^p
\sup\Sb 0\le s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb\frac\pi 2(t-s)|\xi_k| \\
&amp; \qquad \le2^{-(1+\e)n}\frac\pi 2\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|\xi_k|
\le \const
2^{-n\e}+2^{-(1+\e)n}\pi\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}(|\xi_k|-E|\xi_k|)
\endalign
$$
ha $2^n\le p&lt;2^{n+1}$.  Ez\'ert
$$
P(\A_n)\le P\(\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}(|\xi_k|-E|\xi_k|)&gt;
\frac122^{n(1+\e/2}\)&lt;\const 2^{-n(1+\e)}
$$
a Csebisev egyenl\H otlens\'eg alapj\'an.
\item{b.)} Az $\eta=\sum\limits_{k=2^n}^{p} \xi_k\dfrac{\sin k\pi
t}{2k}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u
norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o,
amelyiknek a sz\'or\'asa kisebb mint $2^{-n}$. Ez\'ert egy a norm\'alis
eloszl\'as farokeloszl\'as\'ara adott ismert becsl\'es alapj\'an (ld.
p\'eld\'aul a
t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o feladatsor 7.
feladat\'at) kapjuk, hogy
P($|\eta|&gt;2^{-n\e})=P(2^{n/2}|\eta|&gt;2^{(1/2-\e)n})
&lt;\exp\{-2^{(1-2\e)n/2}\}$.
\item{c.)} A $\BB(n,j,p)$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H us\'eg\'et a b.)
r\'eszben
megbecs\"ult\"uk  $t=\dfrac j{2^{(1+\e)n}}$ v\'alaszt\'assal. Mivel
r\"ogz\'\i{}tett
$n$-re $2^{(2+\e)n}$ ilyen esem\'enyt defini\'altuk, ez\'ert a b.)
r\'esz
becsl\'es\'eb\H ol k\"ovetkezik az els\H o \"osszeg
konvergenci\'aja. Az a.) r\'eszb\H ol
k\"ovetkezik a m\'asodik \"osszeg konvergenci\'aja. A Borel--Cantelli
lemm\'ab\'ol
\'es az el\H obbi rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy $n&gt;n(\oo)$-ra
$\left|\sup\limits_{0\le t\le 1}\sum\limits_{k=p}^q \dfrac{\sin t}{2k}
\xi_k\right|&gt;4\cdot2^{-\e n}$, ha $2^n\le p,q&lt;2^{n+1}$. Ebb\H ol
k\"ovetkezik, hogy a
$\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\sin t}{2k}\xi_k$ f\"uggv\'enyek egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel egyenletesen
konverg\'alnak a $\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{\sin t}{2k}\xi_k$
f\"uggv\'enyhez. Ebb\H ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{9.)}
\item{a.)}
$$
\align
&amp;E[W(s)-sW(1)][W(t)-tW(1)]\\
&amp;\qquad=EW(s)W(t)-sEW(t)W(1)-tEW(s)W(1)+stEW(1)^2=
\min(s,t)-st
\endalign
$$
\item{b.)} Legyen $0\le s,t\le1$. Ekkor
$$
\align
&amp;\frac1rE[B_0(sr)-sB_0(r)][B_0(tr)-tB_0(r)]\\
&amp;\qquad=\frac1r[r\min(s,t)-r^2st-s(tr-tr^2-t(sr-sr^2)+st(r-r^2)
=\min(s,t)-st,
\endalign
$$
$$
E[B_0(sr)-sB_0(r)]B_0(r)=sr-sr^2-sr(1-r)=0\;,
$$
$$
E[B_0(r+(1-r)s)-(1-s)B_0(r)]B_0(r)=r-r[r+(1-r)s]-(1-s)(r-r^2)=0\;,
$$
$$
\align
&amp;E[B_0(sr)-sB_0(r)][B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]\\
&amp;\qquad=EB_0(sr)[B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]\\
&amp;\qquad\qquad-sEB_0(r)[B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]=0\;,
\endalign
$$
$$
E[B_0(r+(1-r)s)-(1-s)B_0(r)][B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]=0\;.
$$
E rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as. Mi\'ert?
\item{c.)} $EB_0(s)B_0(t)=EB_0(1-s)B_0(1-t)=0$.
\item{10.)}
$$
F_n(t)=\frac1n\sum_{k=1}^n I(\{\xi_k&lt;t\})\;,
$$
ahol $I(A)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\H oli.
Ez\'ert $EF_n(t)=t$, \'es
$$
\align
EF_n(s)F_n(t)-EF_n(s)EF_n(t)
&amp;=n\dfrac1{n^2}(P(\xi_1&lt;s,\xi_1&lt;t)-P(\xi_1&lt;s)P(\xi_1&lt;t)) \\
&amp;=\dfrac1n(\min (s,t)-st)
\endalign
$$
tetsz\H oleges $0\le s,t\le1$-re. Ebb\H ol k\"ovetkezik az
\'all\'\i{}t\'as a $K_n(t)$ ko\-va\-ri\-an\-cia\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-re.
\item{} A hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'\i{}t\'as\'ahoz el\'eg
bel\'atni azt, hogy
tetsz\H oleges $c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amokra
$\sum\limits_{j=1}^k c_jK_n(t_j)$
eloszl\'asban konverg\'al a $\sum\limits_{j=1}^k c_jB_0(t_j)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz, ha $n\to\infty$. (L\'asd  pl. a $10')$. feladatot a
norm\'alis eloszl\'as feladatsorban.) Viszont
$$
\sum\limits_{j=1}^k c_jK_n(t_j)=
\frac1{\sqrt n}\sum_{p=1}^n\sum\limits_{j=1}^k
c_j\(I(\{\xi_p&lt;t_j\})-P(\xi_p&lt;t_j)\)
$$
\'es az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H ol, ha azt az
$$
\eta_p=\sum\limits_{j=1}^k c_j\(I(\{\xi_p&lt;t_j\})-P(\xi_p&lt;t_j)\),\qquad
p=1,\dots,n\;,
$$
f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okra alkalmazzuk.
\item{11.)}
$$
EZ(s)Z(t)=e^{-(s+t)/2}EW(e^s)W(e^t)=e^{-(s+t)/2+\min(s,t)}
=e^{-|t-s|/2}\;.
$$
A $(Z(t_1),\dots,Z(t_k))$ vektor eloszl\'asa megegyezik a
$(Z(t_1+a),\dots,Z(t_k+a))$ vektor eloszl\'as\'aval, mivel mind a
kett\H o 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u norm\'alis vektor ugyanazzal a
kovarianciam\'atrix-szal.
\item{} Az Ornstein--Uhlenbeck folyamatnak a Wiener folyamat szerinti
reprezent\'aci\'oj\'at alkalmazva \'\i{}rjuk fel a
$$
\align
(Z(t_1),\dots,Z(t_p))&amp;=\(e^{-t_1/2}(W(e^{t_1})-W(e^{s_r})),\dots,
e^{-t_p/2}(W(e^{t_p})-W(e^{s_r}))\) \\
&amp;\qquad+\(e^{-t_1/2}(W(e^{s_r}),\dots,e^{-t_p/2}(W(e^{s_r})\)
\endalign
$$
azonoss\'agot. Mivel a Wiener folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H u
folyamat, ez\'ert a jobboldal els\H o
tagja f\"uggetlen a
$$
(Z(s_0),\dots,Z(s_r))=(e^{-s_0/2}(W(e^{s_0)}),\dots,
e^{-s_r/2}(W(e^{s_r)})
$$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol, m\'\i{}g a m\'asodik tag
annak f\"uggv\'enye. \'Igy a keresett vektor felt\'eteles eloszl\'asa
a norm\'alis eloszl\'as
$$
\align
(m_1,\dots,m_p)&amp;=(e^{-t_1/2},\dots,e^{-t_p/2})W(e^{s_r})\\
&amp;=(e^{-t_1/2},\dots,e^{-t_p/2})x_re^{s_r/2}=
x_r(e^{(s_r-t_1)/2},\dots,e^{(s_r-t_p/2)})
\endalign
$$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\bold D=(d_{j,k})$
kovarianciam\'atrix-szal, ahol
$$
d_{j,k}=e^{-(t_j+t_k)/2}\min(e^{t_j}-e^{s_r},e^{t_k}-e^{s_r})=
e^{-|t_j|/2+s_r-(t_j+t_k)/2}\;.
$$
\item{12.)}
\item{a.)} Az \'all\'\i{}t\'as a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek egy
viszonylag egyszer\H u
alakja. A Csebisev egyenl\H otlens\'eg alapj\'an tetsz\H oleges
$\e&gt;0$-ra
$$
\align
&amp;P\(\left|\sum_{k=1}^{2^n} [W(k2^{-n})-W((k-1)2^{-n})]^2-1\right|&gt;\e\)\\
&amp;=P\(\left|\sum_{k=1}^{2^n}\(
\[W\(\frac k{2^{n}}\)-W\(\frac{k-1}{2^{n}}\)\]^2-
E\[W\(\frac{k}{2^{n}}\)-W\(\frac{k-1}{2^{n}}\)\]^2 \) \right|&gt;\e\)\\
&amp;\qquad&lt;3\e^22^{-n}\;.
\endalign
$$
Mivel $\sum\limits_{n=1}^\infty 3\e^22^{-n}&lt;\infty$, a Borel--Cantelli
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{b.)} Defini\'aljuk a folytonos f\"uggv\'enyek k\"ovetkez\H o
$\bold K$ halmaz\'at a $C([0,1])$ t\'eren.
$$
\bold K=\{f\: f\in C([0,1]),\; \lim_{n\to\infty}
\sum_{k=1}^{2^n}\[f(k2^{-n})-f((k-1)2^{-n})\]^2=1\;.
$$
(Ez \'ugy \'ertend\H o, hogy a fenti limesz l\'etezik.) Ekkor az a.)
r\'esz
eredm\'enye szerint $\mu_w(\bold K)=1$ \'es $\mu_{\sigma w}(\bold K)=0$.
Ez\'ert a k\'et m\'ert\'ek szingul\'aris egym\'asra n\'ezve.
\item{13.)} Legyen $\mu^{(n)}_w$ a $(W(k2^{-n}),\;k=1,\dots,2^n)$
$\mu^{(n)}_{w,m}$ a $(W(k2^{-n}+mk2^{-n}),\;k=1,\dots,2^n)$ vektorok
eloszl\'asa az $R^{2^n}$ t\'erben. Legyen
$f(x_1,\dots,x_{2^n})=\dfrac
{d\mu^{(n)}_{w,m}}{d\mu^{(n)}_w}(x_1,\dots,x_{2^n})$, \'es vezess\"uk
be a
k\"ovetkez\H o $\T\:C([0,1])\to R$ lek\'epez\'est: Ha $g\in C([0,1])$,
azaz $g(x)$ egy a $[0,1]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'eny, akkor
legyen
$\T(g)=f(g(2^{-n}),g(2\cdot 2^{-n}),\dots, g(2^n\cdot2^{-n}))$. Legyenek
$\bar \mu^{(n)}_{w,m}$ \'es $\bar \mu^{(n)}_{w}$ a
$\bar \mu_{w,m}$ \'es $\bar \mu_{w}$ m\'ert\'ekek vet\"ulete a
$\{k2^{-n},k=1,\dots,2^n\}$ koordin\'at\'akra a
$C([0,1])$ t\'eren. Azaz egy $K\in C([0,1])$ halmazra legyen
$\bar \mu^{(n)}_{w,m}(K)=\mu^{(n)}_{w,m}(\bold U(K))$ \'es
$\bar \mu^{(n)}_{w}(K)=\mu^{(n)}_{w}(\bold U(K))$, ahol
$\bold U$ a $C([0,1])$ m\'erhet\H o r\'eszhalmazait k\'epezi le
az $R^{2^n}$ m\'erhet\H o r\'eszhalmazaira, \'es
$\bold U(K)=\{(x_1,\dots,x_{2^n})\: \exists g\in K;
g(k2^{-n})=x_k,\;k=1,\dots,2^n\}$. Ekkor
$\dfrac{d\bar \mu_{w,m}^{(n)}}{d\bar \mu_{w}^{(n)}}(g)=\T(g)$. Mi\'ert?
Ekkor
$$
\align
f(x_1,\dots,x_{2^n})&amp;=\exp\left\{-2^n\(
\sum_{k=1}^{2^n}(x_k-x_{k-1}+2^{-n}m)^2
+\sum_{k=1}^{2^n}(x_k-x_{k-1})^2/2\)\right\}\\
&amp;=\exp\{mx_{2^n}-m^2/2\}\;,
\endalign
$$
\'es
$\dfrac{d\bar \mu_{w,m}^{(n)}}{d\bar \mu_{w}^{(n)}}(g)=e^{m g(1)-m^2/2}$.
Ez a Radon--Nikodym deriv\'alt nem f\"ugg az $n$ indext\H ol. Ez\'ert a
Radon--Nikodym deriv\'alt definici\'oj\'at felhaszn\'alva meg lehet
mutatni, hogy
$\dfrac{d\bar \mu_{w,m}}{d\bar \mu_{w}}(g)=e^{m g(1)-m^2/2}$. Mi\'ert?
 
 
 
 
\bye
</pre></body></html>