Wiener folyamatok

A következő két feladat azt mutatja, hogy az az esemény, hogy egy sztochasztikus folyamat folytonos trajektóriájú-e vagy sem nem határozható meg a folyamat véges dimenziós eloszlásai segítségével, de ezen eloszlások segítségével explicite eldönthető, hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek a véges dimenziós eloszlásai, és amelyik egy valószínűséggel folytonos trajektóriájú. 1.) Legyen X(t) = X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, olyan sztochasztikus folyamat, melyre az

X(·, ω) trajektória folytonos függvény majdnem minden ω-ra. Legyen továbbá ez a folyamat atommentes, azaz tetszőleges folytonos f(t), 0 ≤ t ≤ 1, függvényre P ({ω: X(t, ω) = f(t)}) = 0. Ekkor létezik olyan X̄(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat, melyre P ({ω: X̄(t, ω) = X(t, ω)}) = 1 tetszőleges t ∈ [0, 1]-re, és az X̄(t, ω) folyamat trajektóriái egy valószínűséggel sehol sem folytonosak.

2.) Legyen B a [0, 1] intervallum egy mindenütt sűrű megszámlálható részhalmaza, (például a a [0, 1] intervallumbeli racionális számok halmaza.) Legyen X(t) sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumban, melynek véges dimenziós

F_{t_{1},...,t_{n}}(x_{1}, …, x_{n}) = P (X(t_{1}) < x_{1}, …, X(t_{n}) < x_{n})

eloszlásai ismertek tetszőleges 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{n} ≤ 1 paraméterekre. Lássuk be, hogy a.) Az F_{t_{1},...,t_{n}}(x_{1}, …, x_{n}) véges dimenziós eloszlások egyértelműen meghatároz-

zák, hogy az X(t) folyamat kielégíti-e a következő tulajdonságokat: Az X(t.ω), t ∈ B trajektóriái egy valószínűséggel egyenletesen folytonosak (ω-tól függő folytonossági modulussal) az X(t) folyamat megszorításán a t ∈ B indexhalmazra. Az X(t) sztochasztikus folyamat tetszőleges t ∈ [0, 1]-re sztochasztikusan folytonos, azaz lim_{s→t} P (|X(t) − X(s)| > ε) = 0 minden ε > 0-ra.

b.) Lássuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan X̄(t) sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon, melyre P (X(t) = X̄(t)) = 1 minden t ∈ [0, 1]-re, és e folyamat X̄(t, ω) trajektóriái egy valószínűséggel folytonosak, ha az X(t) folyamat teljesíti az a) rész feltételeit. Az X(t) és X̄(t) folyamat véges dimeziós eloszlásai megegyeznek.

3). Legyen X(t) = X(t, ω) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Lássuk be, hogy X(t, ω) tekinthető egy C([0, 1]) értékű valószínűségi változónak is. Részletesebben megfogalmazva: Jelőlje B a Borel σalgebrát R^{1}-en, és legyen C a Borel σ-algebra a C([0, 1]) téren, azaz legyen C a nyílt halmazok által generált legszűkebb σ-algebra a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos függvények terén a szuprémum norma által generált topológiával. Lássuk be, hogy ha a T_{t}: (Ω, A, P) → (R^{1}, B), T_{t}(ω) = X_{t}(ω), leképezés mérhető minden t ∈ [0, 1]-re, akkor a T: (Ω, A, P) → (C([0, 1]), C), T(ω) = X(·, ω) leképezés is mérhető. Legyen X(t), 0 ≤ t ≤ 1, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat, és definiáljuk ennek μ_{X}eloszlását a C([0, 1]) téren a következő módon: μ_{X}(K) = P (X(·, ω) ∈ K) minden K ∈ C-re. Mutassuk meg, hogy a μ_{X} mértéket meghatározzák az X(t) sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásai.

4.) Egy Komogorovtól származó eredmény szerint, ha az X(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat teljesíti az E|X(t) − X(s)|^{2+δ} ≤ C|t − s|^{1+ε} feltételt minden s, t ∈ [0, 1]-re valamely δ > 0, ε > 0 és C > 0 számokkal, akkor létezik olyan X̄(t) egy valószínűséggel folytonos trajektóriájú folyamat a [0, 1] intervallumon, melyre P (X̄(t) = X(t)) = 1 minden t ∈ [0, 1]-re. Általánosítsuk ezt az eredményt arra az esetre, amikor az X(t) sztochasztikus folyamat a t ∈ [0, 1]^{k} van értelmezve. Ennek megfogalmazásához vezessük be a következő jelőléseket: Ha Δ =

[a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{k}, b_{k}] ⊂ [0, 1]^{k} egy k-dimenziós téglatest, akkor |Δ| = ∏_{j=1}^{k}(b_{j} − a_{j}),

az X(t) megváltozása a Δ-n X(Δ) = ∑_{\begin{matrix}t_{j}=a_{j} vagy b_{j} \\ j=1,...,k \end{matrix}}(−1)^{χ(t_{1},...,t_{k})}X(t_{1}, …, t_{k}), ahol

χ(t_{1}, …, t_{k}) = #{j: t_{j} = a_{j}, 1 ≤ j ≤ k}. Ha E|X(Δ)|^{2+δ} ≤ C|Δ|^{1+ε} valamely δ > 0, ε > 0 és C > 0-ra, akkor létezik olyan X̄(t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat a [0, 1]^{k}-n, melyre P (X̄(t) = X(t)) = 1 minden t ∈ [0, 1]^{k}-ra.

5.) Lássuk be, hogy a W (t), 0 ≤ t ≤ a sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor

Wiener folyamat a [0, a] intervallumban, ha a \frac{1}{\sqrt{c}}W (ct) sztochasztikus folyamat

Wiener folyamat a [0, a/c] intervallumban, alol c > 0 tetszóleges pozitiv szám. A W (t) sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor Wiener folyamat a [0, a] in-

tervallumban, ha \frac{1}{t}W (\frac{1}{t}) Wiener folyamat az [\frac{1}{a}, ∞) intervallumban. Lássuk

be ennek a ténynek a segítségével, hogy a Wiener folyamatra igaz iterált logaritmus tételből a végtelen környezetében következik az iterált logaritmus tétel a

nulla környezetében, azaz abból hogy lim sup_{t→∞} \frac{W (t)}{\sqrt{2t log log t}} = 1 1 valószínűséggel,

következik, hogy lim sup_{t→0} \frac{W (t)}{\sqrt{2t log | log t|}} = 1 1 valószínűséggel.

6.) Legyen φ_{1}(x), φ_{2}(x), … teljes ortonormált rendszer a [0, 1] intervallumban (a Lebesgue mértékkel), ξ_{1}, ξ_{2}, …, független standard normális valószínűségi változók, és definiáljuk a következő W (t) sztochasztikus folyamatot a [0, 1] intervallumban.

W (t) = ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} ∫_{0}^{t} φ(s) ds , 0 ≤ t ≤ 1 .

Lássuk be, hogy W (t) Gauss folyamat, EW (t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, melynek a kovarianciafüggvénye megegyezik a Wiener folyamat kovarianciafüggvényével, azaz EW (s)W (t) = min(s, t), 0 ≤ s, t ≤ 1.

7.) Lássuk be, hogy a

W (t) = \frac{1}{π} (ξ_{0} + ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k}) , 0 ≤ t ≤ 1 .

összeg véges dimenziós eloszlásai megegyeznek a Wiener folyamat véges dimenziós eloszlásaival, ha ξ_{n}, n = 0, 1, …, független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Hogyan lehet ezt a reprezentációt általánosítani más Z(t), EZ(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, Gauss folyamatra a K(s, t) = EZ(s)Z(t), (K(s, t) = K(t, s)), kovarianciafüggvény alkalmas reprezentációja segítségével?

8.) Lássuk be, hogy az előző feladatban definiált W (t) sztochasztikus folyamat Wiener folyamat. Azaz, lássuk be, hogy az ott definiált folyamatra a feladatban bizonyított tulajdonságokon kívül az is igaz, hogy a trajektóriái 1 valószínűséggel folytonosak, az alábbi részfeladatok segítségével.

a.) Lássuk be, hogy tetszőleges 1/2 > ε > 0-ra és minden elég nagy n-re

P (A_{n}) = P ( sup_{2^{n}≤p<2^{n+1}} sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1, \\ |t−s|≤2^{−(1+ε)n} \end{matrix}} | ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k} − ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπs}{2k}| > 2^{−nε/2})

< const. 2^{−n(1+ε)}

b.) Alkalmas n_{0} küszöbindex esetén tetszőleges n ≥ n_{0}, 2^{n} ≤ p < 2^{n+1}, 0 ≤ t ≤ 1-re

P (| ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k}| > 2^{−nε}) < exp \{(−2^{n(1−2ε)}) /2\}

c.) Definiáljuk a B(n, j, p), 0 ≤ j < 2^{(1+ε)n}, 2^{n} ≤ p < 2^{n+1},

B(n, j, p) = \{ω: | ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k}(ω)\frac{sin(kπj2^{−(1+ε)n})}{2k}| > 2^{−nε}\}

eseményeket. Lássuk be, hogy

∑_{n,j,p} P (B(n, j, p)) < ∞,  ∑_{n} P (A_{n}) < ∞.

Lássuk be e relációk és a Borel–Cantelli lemma segítségével, hogy a W_{n}(t) =

\frac{1}{π} (ξ_{0} + ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k}), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok egy valószínűséggel

egyenletesen konvergálnak a 7. feladatban definiált W (t), 0 ≤ t ≤ 1, folyamathoz, ezért ez utóbbi egy valószínűséggel folytonos trajektóriájú folyamat.

9.) Legyen W (t), 0 ≤ t ≤ 1, standard Wiener folyamat, és definiáljuk a következő B_{0}(t) folyamatot: B_{0}(t) = W (t) − tW (1). Lássuk be, hogy B_{0}(t) 0 várható értékű (folytonos trajektóriájú) Gauss folyamat EB_{0}(s)B_{0}(t) = min(s, t) − st kovarianciafüggvénnyel. A B_{0}(t) folyamat és a W (1) valószínűségi változó függetlenek egymástól.

Megjegyzés: A fenti B_{0}(t), 0 ≤ t ≤ 1, folyamattal megegyező véges dimenziós eloszlású folytonos trajektóriájú folyamatokat Brown bridge-nek nevezik.

b.) Legyen B_{0}(t) Brown bridge, 0 < r < 1 fix szám. Lássuk be, hogy a

\frac{1}{\sqrt{r}} (B_{0}(rt) − tB_{0}(r)) és \frac{1}{\sqrt{1 − r}} (B_{0}(r + (1 − r)t) − (1 − t)B_{0}(r)), 0 ≤ t ≤ 1,

folyamatok független Brown bridge-ek, melyek függetlenek a B_{0}(r) valószínűségi változótól is.

c.) Ha B_{0}(t) Brown bridge, akkor B_{0}(1 − t) is Brown bridge. 10.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású való-

színűségi változók. Definiáljuk az F_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvényt, F_{n}(t) =

\frac{1}{n}#\{ξ_{k}: ξ_{k} < t, 1 ≤ k ≤ n\}, 0 ≤ t ≤ 1. Lássuk be, hogy a standardizált em-

pirikus eloszlásfüggvény K_{n}(t) = \sqrt{n}(F_{n}(t) − t) kovarianciafüggvénye megegyezik a Brown bridge kovarianciafüggvényével, és EK_{n}(t) = 0 minden t ∈ [0, 1]-re. Mutassuk meg, hogy tetszőleges 0 ≤ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} ≤ 1-ra a (K_{n}(t_{1}), …, K_{n}(t_{k})) véletlen vektor eloszlásban konvergál a (B_{0}(t_{1}), …, B_{0}(t_{k})) véletlen vektorhoz, ha n → ∞, ahol B_{0}(t) Brown bridge.

11.) Legyen W (t) standard Wiener folyamat, és definiáljuk a Z(t) = \frac{W (e^{t})}{e^{t/2}}, −∞ <

t < ∞ folyamatot. Lássuk be, hogy EZ(s)Z(t) = e^{−|t−s|/2}, EZ(t) = 0, A Z(t) és Z(t+a), −∞ < t < ∞, folyamatok eloszlása megegyezik tetszőleges −∞ < a < ∞- re. Legyenek s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{r} < t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{p} rögzített számok. A (Z(t_{0}), …, Z(t_{r}) feltételes eloszlása a Z(s_{0}) = x_{1}, …, Z(s_{r}) = x_{s} feltétel esetén megegyezik e véletlen vektor feltételes eloszlásával a Z(s_{r}) = x_{s} feltétel esetén. Határozzuk meg ezt a feltételes eloszlást. Megjegyzés: A Z(t) folyamattal megegyező eloszlású, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat Ornstein–Uhlenbeck folyamatnak nevezik.

12.) Legyen W (t) Wiener folyamat a [0, 1] intervallumon. a.) Lássuk be, hogy

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{2^{n}}[W (k2^{−n}) − W ((k − 1)2^{−n})]^{2} = 1 1 valószínűséggel.

b.) Legyen μ_{w} a W (t) Wiener folyamat és μ_{σw} a σW (t) eloszlása a C([0, 1]) téren. Lássuk be, hogy σ > 0, σ ≠ 1 esetén a μ_{w} és μ_{σw} mértékek szingulárisak egymásra nézve.

13.) Legyen a W (t) + mt, 0 ≤ t ≤ 1, ahol m fix valós szám és W (t) a Wiener folyamat, eloszlása a μ_{w,m} mérték a C([0, 1]) téren. Lássuk be, hogy a μ_{w.m} mérték abszolut folytonos a μ_{w} mértékre nézve, és számoljuk ki a Radon–Nikodym deriváltját.

Megoldásvázlatok

1.) Vezessük be a következő ekvivalencia relációt [0, 1]-en: x ∼ y akkor és csak akkor, ha x − y racionális szám. Definiáljuk a P = [0, 1]/ ∼ ekvivalencia osztályok halmazát a fenti reláció szerint. Mivel mind a folytonos függvények Q halmazának mind a P halmaznak a számossága kontinum, ezért létezik egy T: Q → P kölcsönösen egyértelmű leképezés. Egy folytonos f függvényre definiáljuk a U(f) = f̄függvényt a következő módon: f̄(t) = f(t), ha t ∉ T(f), és f̄(t) = f(t)+1 ha t ∈ T(f). Legyen X̄(t, ω) = f̄(t), ha X(t, ω) az f(t) folytonos függvény. Ekkor X̄(t) trajektóriái egy valószínűséggel sehol sem folytonosak, mert a U leképezés egy folytonos függvényt egy sehol sem folytonos függvényre képez. Másrészt, P (X̄(t) ≠ X(t)) = 0 minden rögzített t ∈ [0, 1]-re, mert a t pontban egyetlen folytonos függvény értéke változik meg, nevezetesen a t pontot tartalmazó ekvivalenciaosztály képe a T^{−1} transzformáció szerint.

2.)

a.) Legyen B = {x_{1}, x_{2}, …, } és B_{n} = {x_{1}, …, x_{n}}. Definiáljuk az

A(n, ε, δ) = {ω; |X(t, ω) − X(s, ω)| < ε, ∀ s, t ∈ B_{n}-re ha |s − t| < δ}

eseményeket. Legyen

A(ε, δ) = ⋃_{n=1}^{∞} A(n, ε, δ), A(ε) = ⋃_{δ→0} A(ε, δ), A = ⋂_{ε→0} A(ε).

Ekkor az összes A(ε, δ), A(ε) és A esemény valószínűsége kiszámítható az F_{t_{1},...,t_{n}}(x_{1}, …, x_{n}) eloszlások segítségével, így ezek ismeretében eldönthető, hogy az A esemény valószínűsége 1-gyel egyenlő-e. De az A(ε, δ) esemény azt jelenti, hogy az X(·, ω) trajektória megszorítása a B halmazra olyan, hogy a deltánál rövidebb intervallumokon e függvény ingadozása kisebb mint ε, A(ε) azt jelenti, hogy van olyan ω-tól függő hossz, hogy az ennél rövidebb intervallumokon a trajektória ingadozása (megszorítva a t ∈ B halmazra) kisebb mint ε. Végül az A halmaz tartalmazza azon ω-kat, melyekre az X(t, ω) trajektória megszorítása a B halmazra egyenletesen folytonos. Mivel a P (|X(t) − X(s)| > ε) esemény valószínűségét meghatározzák a véges (két) dimenziós eloszlások, így ezek az eloszlások meghatározzák, hogy az X(t) folyamet sztochasztikusan folytonos-e.

b.) Ha teljesülnek az a) részben felsorolt tulajdonságok, akkor az

X̄(t, ω) = lim_{s∈B,s→t} X(s, ω)

trajektória majdnem minden ω-ra jól definiált, mert az X(t, ω) folyamat egyenletesen folytonos a B halmazon. Továbbá P (X̄(t) = X(t)) = 1 a sztochasztikus folytonosság miatt. A feltételek szükségessége nyílvánvaló.

3.) Azt kell belátni, hogy tetszőleges mérhető C ∈ C halmazra T^{−1}(C) mérhető halmaz, azaz eleme a A σ-algebrának. Elég ezt az állítást nyílt halmazokra belátni, mert ebből következik, hogy az állítás igaz a nyílt halmazok által generált σalgebrára is. Miért? Tovább lehet redukálni az álltást a következő tipusú halmazokra: Ha x = x(t) ∈ C([0, 1]), ε > 0, akkor legyen S(x, ε) = {y: y ∈ C([0, 1]), sup_{t∈[0,1]} |x(t) − y(t)| < ε}. Elég belátni, hogy az S(x, ε) tipusú halma-

zok ősképei mérhetőek minden x ∈ C([0, 1]) és ε > 0-ra, mert tetszőleges nyílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilyen halmaz úniójaként, és egy nyílt halmaz ősképe megegyezik az őt előállító únióban résztvevő halmazok ősképének az úniójával. A kv̈etkező meggondolás mutatja, hogy S(x, ε) mérhető halmaz. Jelőlje Q a racionális számok halmazát a [01, 1] intervallumban. Ekkor

T^{−1}S(x, ε) = ⋃_{n=1}^{∞} ( ⋂_{r∈Q} \{ω: |X(r, ω) − x(r)| < (1 − \frac{1}{n}) ε\})

(Miért?) Ebből a reprezentációból látszik, hogy T^{−1}S(x, ε) mérhető halmaz. Az előző érvelés megmutatta, hogy az {X(t_{1}) ∈ A_{1}, …, X(t_{k}) ∈ A_{k}} alakú halmazok, ahol t_{1}, …, t_{k} tetszőleges pontok a [0, 1] intervallumban, A_{1}, …, A_{k} tetszőleges mérhető halmazok R^{1}-en, olyan algebrát alkotnak, amelyik generálja a C σ-algebrát. Mivel ezeknek a halmazoknak a mértéket meghatározzák az X(t) folyamat véges dimenziós eloszlásai, ezért e véges dimenziós eloszlások meghatározzák a C σ-algebra halmazainak a mértékét is.

5.) Annak bizonyításához, hogy amennyiben W (t) Wiener folyamat, akkor az új folyamatok is azok, elég ellenőrizni azt, hogy az új folyamatok kovarianciafüggvénye az

előírt alakú. E \frac{1}{\sqrt{c}}W (cs)\frac{1}{\sqrt{c}}W (ct) = E \frac{1}{c}W (cs)W (ct) = min(s, t),

E \frac{1}{s}W (\frac{1}{s}) \frac{1}{t}W (\frac{1}{t}) = min(s, t) .

Az eredeti folyamatot kifejezve a transzformált folyamat segítségével kapjuk, hogy ezek a feltételek szükségesek is.

6.) Be kell látni, hogy EW (s)W (t) = min(s, t). A ξ_{n} változók korrelálatlansága miatt

EW (s)W (t) = ∑_{k=1}^{∞} ∫_{0}^{s} φ(u) du ∫_{0}^{t} φ(u) du .

A Parseval formula szerint tetszőleges négyzetesen integrálható f és g függvényekre

∫_{0}^{1} f(u)g(u) du = ∑_{k=1}^{∞} ∫_{0}^{1} f(u)φ(u) du ∫_{0}^{1} g(u)φ(u) du.

Legyen f(u) a [0, s], g(u) pedig a [0.t] halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor a Parseval formula az előző azonossággal adja, hogy EW (s)W (t) = ∫ f(u)g(u) du = min(s, t).

7.) Az φ_{0}(t) = 1, φ_{n}(t) = cos nπt függvények teljes ortonormált rendszert alkotnak a [0, 1] intervallumon. Miért? Így az előző feladat eredményéből következik az állítás. Az általános esetbeli reprezentációt megkaphatjuk, ha a K(s, t) korrelációfüggvényt fel tudjuk írni

K(s, t) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}φ_{n}(s)φ_{n}(t)

alakban, ahol φ_{n}(t) teljes ortonormált rendszer a [0, 1] intervallumban, és λ_{n} ≥ 0. Ekkor az

X(t) = ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{λ_{n}}φ(t)ξ_{n}

ahol ξ_{n}, n = 1, 2, …, független standard normális valószínűségi változók, 0 várható értékű és K(s, t) = EX(s)X(t) kovarianciafüggvńyű Gauss folyamat. Miért?

A kívánt reprezentáció lehetséges. Definiáljuk a Kf(t) = ∫_{0}^{1} K(s, t)f(s) ds integráloperátort a négyzetesen integrálható függvények terén. A funkcionálanalízis eredményei alapján K egy kompakt (Hilbert–Schmidt) önadjungált operátor, ezért létezik olyan teljes ortonormált φ_{n}(t) rendszer, melyre

Kf(t) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}φ_{n}(t) ∫_{0}^{1} φ_{n}(s)f(s) ds = ∫_{0}^{1} K(s, t)f(s) ds ,

ahol K(s, t) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}φ_{n}(s)φ_{n}(t). Mivel az integráloperátor magfüggvénye egy-

értelműen meghatározott, ezért megkaptuk a kívánt reprezentációt. Be kell még látni, hogy a képletben szereplő λ_{n} sajátértékek nem negatívak. Ehhez elég azt belátni, hogy ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} K(s, t)f(s)f(t) ds dt ≥ 0 tetszőleges négyzetesen integrálható f(t) függvényre. Miért? Viszont

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} K(s, t)f(s)f(t) ds dt = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} EX(s)X(t)f(s)f(t) ds dt

= (∫_{0}^{1} f(s)EX(s) ds)^{2} ≥ 0 ,

Kérdés: Hogy szól a felhasznált funkcionálanalízisbeli eredmény véges dimenziós lineáris algebrai változata?

8.) a.)

sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1, \\ |t−s|≤2^{−(1+ε)n} \end{matrix}} | ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k} − ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπs}{2k}| < ∑_{k=2^{n}}^{p} sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1, \\ |t−s|≤2^{−(1+ε)n} \end{matrix}} \frac{π}{2} (t − s)|ξ_{k}|

≤ 2^{−(1+ε)n} \frac{π}{2} ∑_{k=2^{n}}^{2^{n+1}−1} |ξ_{k}| ≤ const. 2^{−nε} + 2^{−(1+ε)n}π ∑_{k=2^{n}}^{2^{n+1}−1}(|ξ_{k}| − E|ξ_{k}|)

ha 2^{n} ≤ p < 2^{n+1}. Ezért

P (A_{n}) ≤ P ( ∑_{k=2^{n}}^{2^{n+1}−1}(|ξ_{k}| − E|ξ_{k}|) > \frac{1}{2}2^{n(1+ε/2}) < const. 2^{−n(1+ε)}

a Csebisev egyenlőtlenség alapján.

b.) Az η = ∑_{k=2^{n}}^{p} ξ_{k} \frac{sin kπt}{2k} valószínűségi változó 0 várható értékű normális valószínűségi

változó, amelyiknek a szórása kisebb mint 2^{−n}. Ezért egy a normális eloszlás farokeloszlására adott ismert becslés alapján (ld. például a többdimenziós normális eloszlásról szóló feladatsor 7. feladatát) kapjuk, hogy P(|η| > 2^{−nε}) = P (2^{n/2}|η| > 2^{(1/2−ε)n}) < exp{−2^{(1−2ε)n/2}}.

c.) A B(n, j, p) esemény valószínűségét a b.) részben megbecsültük t = \frac{j}{2^{(1+ε)n}}

választással. Mivel rögzített n-re 2^{(2+ε)n} ilyen eseményt definiáltuk, ezért a b.) rész becsléséből következik az első összeg konvergenciája. Az a.) részből következik a második összeg konvergenciája. A Borel–Cantelli lemmából és az előbbi relációkból

következik, hogy n > n(ω)-ra | sup_{0≤t≤1} ∑_{k=p}^{q} \frac{sin t}{2k}ξ_{k}| > 4 · 2^{−εn}, ha 2^{n} ≤ p, q < 2^{n+1}.

Ebből következik, hogy a ∑_{k=1}^{n} \frac{sin t}{2k}ξ_{k} függvények egy valószínűséggel egyenletesen

konvergálnak a ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin t}{2k}ξ_{k} függvényhez. Ebből következik az állítás.

9.) a.)

E[W (s) − sW (1)][W (t) − tW (1)] = EW (s)W (t) − sEW (t)W (1) − tEW (s)W (1) + stEW (1)^{2} = min(s, t) − st

b.) Legyen 0 ≤ s, t ≤ 1. Ekkor

\frac{1}{r}E[B_{0}(sr) − sB_{0}(r)][B_{0}(tr) − tB_{0}(r)]

= \frac{1}{r}[r min(s, t) − r^{2}st − s(tr − tr^{2} − t(sr − sr^{2}) + st(r − r^{2}) = min(s, t) − st,

E[B_{0}(sr) − sB_{0}(r)]B_{0}(r) = sr − sr^{2} − sr(1 − r) = 0 ,

E[B_{0}(r + (1 − r)s) − (1 − s)B_{0}(r)]B_{0}(r) = r − r[r + (1 − r)s] − (1 − s)(r − r^{2}) = 0 ,

E[B_{0}(sr) − sB_{0}(r)][B_{0}(r + (1 − r)t) − (1 − t)B_{0}(r)]
= EB_{0}(sr)[B_{0}(r + (1 − r)t) − (1 − t)B_{0}(r)]
− sEB_{0}(r)[B_{0}(r + (1 − r)t) − (1 − t)B_{0}(r)] = 0 ,
E[B_{0}(r + (1 − r)s) − (1 − s)B_{0}(r)][B_{0}(r + (1 − r)t) − (1 − t)B_{0}(r)] = 0 .

E relációkból következik az állítás. Miért? c.) EB_{0}(s)B_{0}(t) = EB_{0}(1 − s)B_{0}(1 − t) = 0. 10.)

F_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} I(\{ξ_{k} < t\}) ,

ahol I(A) az A halmaz indikátorfüggvényét jelőli. Ezért EF_{n}(t) = t, és

EF_{n}(s)F_{n}(t) − EF_{n}(s)EF_{n}(t) = n\frac{1}{n^{2}} (P (ξ_{1} < s, ξ_{1} < t) − P (ξ_{1} < s)P (ξ_{1} < t))

= \frac{1}{n}(min(s, t) − st)

tetszőleges 0 ≤ s, t ≤ 1-re. Ebből következik az állítás a K_{n}(t) kovarianciafüggvényére. A határeloszlástétel bizonyításához elég belátni azt, hogy tetszőleges c_{1}, …, c_{k} valós számokra ∑_{j=1}^{k} c_{j}K_{n}(t_{j}) eloszlásban konvergál a ∑_{j=1}^{k} c_{j}B_{0}(t_{j}) valószínűségi változó-

hoz, ha n → ∞. (Lásd pl. a 10′). feladatot a normális eloszlás feladatsorban.) Viszont

∑_{j=1}^{k} c_{j}K_{n}(t_{j}) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{p=1}^{n} ∑_{j=1}^{k} c_{j} (I(\{ξ_{p} < t_{j}\}) − P (ξ_{p} < t_{j}))

és az állítás következik a centrális határeloszlástételből, ha azt az

η_{p} = ∑_{j=1}^{k} c_{j} (I({ξ_{p} < t_{j}}) − P (ξ_{p} < t_{j})) , p = 1, …, n ,

független valószínűségi változókra alkalmazzuk. 11.)

EZ(s)Z(t) = e^{−(s+t)/2}EW (e^{s})W (e^{t}) = e^{−(s+t)/2+min(s,t)} = e^{−|t−s|/2} .

A (Z(t_{1}), …, Z(t_{k})) vektor eloszlása megegyezik a (Z(t_{1} +a), …, Z(t_{k} +a)) vektor eloszlásával, mivel mind a kettő 0 várható értékű normális vektor ugyanazzal a kovarianciamátrix-szal.

Az Ornstein–Uhlenbeck folyamatnak a Wiener folyamat szerinti reprezentációját alkalmazva írjuk fel a

(Z(t_{1}), …, Z(t_{p})) = (e^{−t_{1}/2}(W (e^{t_{1}}) − W (e^{s_{r}})), …, e^{−t_{p}/2}(W (e^{t_{p}}) − W (e^{s_{r}})))
+ (e^{−t_{1}/2}(W (e^{s_{r}}), …, e^{−t_{p}/2}(W (e^{s_{r}}))

azonosságot. Mivel a Wiener folyamat független növekményű folyamat, ezért a jobboldal első tagja független a

(Z(s_{0}), …, Z(s_{r})) = (e^{−s_{0}/2}(W (e^{s_{0})}), …, e^{−s_{r}/2}(W (e^{s_{r})})

valószínűségi változótól, míg a második tag annak függvénye. Így a keresett vektor feltételes eloszlása a normális eloszlás

(m_{1}, …, m_{p}) = (e^{−t_{1}/2}, …, e^{−t_{p}/2})W (e^{s_{r}})
= (e^{−t_{1}/2}, …, e^{−t_{p}/2})x_{r}e^{s_{r}/2} = x_{r}(e^{(s_{r}−t_{1})/2}, …, e^{(s_{r}−t_{p}/2)})

várható értékkel és D = (d_{j,k}) kovarianciamátrix-szal, ahol

d_{j,k} = e^{−(t_{j}+t_{k})/2} min(e^{t_{j}} − e^{s_{r}}, e^{t_{k}} − e^{s_{r}}) = e^{−|t_{j}|/2+s_{r}−(t_{j}+t_{k})/2} .

12.) a.) Az állítás a nagy számok törvényének egy viszonylag egyszerű alakja. A Csebisev

egyenlőtlenség alapján tetszőleges ε > 0-ra

P (|∑_{k=1}^{2^{n}}[W (k2^{−n}) − W ((k − 1)2^{−n})]^{2} − 1| > ε)

= P (|∑_{k=1}^{2^{n}} ([W (\frac{k}{2^{n}} ) − W (\frac{k − 1}{2^{n}})]^{2} − E [W (\frac{k}{2^{n}} ) − W (\frac{k − 1}{2^{n}})]^{2})| > ε)

< 3ε^{2}2^{−n} .

Mivel ∑_{n=1}^{∞} 3ε^{2}2^{−n} < ∞, a Borel–Cantelli lemmából következik az állítás.

b.) Definiáljuk a folytonos függvények következő K halmazát a C([0, 1]) téren.

K = {f: f ∈ C([0, 1]), lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{2^{n}} [f(k2^{−n}) − f((k − 1)2^{−n})]^{2} = 1 .

(Ez úgy értendő, hogy a fenti limesz létezik.) Ekkor az a.) rész eredménye szerint μ_{w}(K) = 1 és μ_{σw}(K) = 0. Ezért a két mérték szinguláris egymásra nézve.

13.) Legyen μ_{w}^{(n)} a (W (k2^{−n}), k = 1, …, 2^{n}) μ_{w,m}^{(n)} a (W (k2^{−n}+mk2^{−n}), k = 1, …, 2^{n})

vektorok eloszlása az R^{2^{n}} térben. Legyen f(x_{1}, …, x_{2^{n}}) = \frac{dμ_{w,m}^{(n)}}{dμ_{w}^{(n)}} (x_{1}, …, x_{2^{n}}), és

vezessük be a következő T: C([0, 1]) → R leképezést: Ha g ∈ C([0, 1]), azaz g(x) egy a [0, 1] intervallumon folytonos függvény, akkor legyen T(g) = f(g(2^{−n}), g(2 · 2^{−n}), …, g(2^{n} · 2^{−n})). Legyenek μ̄_{w,m}^{(n)} és μ̄_{w}^{(n)} a μ̄_{w,m} és μ̄_{w} mértékek vetülete a {k2^{−n}, k = 1, …, 2^{n}} koordinátákra a C([0, 1]) téren. Azaz egy K ∈ C([0, 1]) halmazra legyen μ̄_{w,m}^{(n)}(K) = μ_{w,m}^{(n)}(U(K)) és μ̄_{w}^{(n)}(K) = μ_{w}^{(n)}(U(K)), ahol U a C([0, 1]) mérhető részhalmazait képezi le az R^{2^{n}} mérhető részhalmazaira, és

U(K) = \{(x_{1}, …, x_{2^{n}}): ∃g ∈ K; g(k2^{−n}) = x_{k}, k = 1, …, 2^{n}\}. Ekkor \frac{dμ̄_{w,m}^{(n)}}{dμ̄_{w}^{(n)}} (g) =

T(g). Miért? Ekkor

f(x_{1}, …, x_{2^{n}}) = exp {−2^{n} (∑_{k=1}^{2^{n}}(x_{k} − x_{k−1} + 2^{−n}m)^{2} + ∑_{k=1}^{2^{n}}(x_{k} − x_{k−1})^{2}/2)}
= exp{mx_{2^{n}} − m^{2}/2} ,

és \frac{dμ̄_{w,m}^{(n)}}{dμ̄_{w}^{(n)}} (g) = e^{mg(1)−m^{2}/2}. Ez a Radon–Nikodym derivált nem függ az n indextől.

Ezért a Radon–Nikodym derivált definicióját felhasználva meg lehet mutatni, hogy

\frac{dμ̄_{w,m}}{dμ̄_{w}} (g) = e^{mg(1)−m^{2}/2}. Miért?