\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

\begin{center}
{\bf Hipotézisvizsgálat.}
\end{center}

\medskip\noindent
Ez a jegyzet csak rövid áttekintést ad a Bolla--Krámli könyv
Hi\-po\-té\-zs\-vizs\-gá\-lat című k\"onyv 4. fejezetéről. A legfontosabb 
fogalmakat és eredményeket is\-mer\-te\-tem, és egyes helyeken, 
ahol ezt hasznosnak tartom, teszek néhány megjegyzést az eredmények 
bizonyításáról is.

Az alapfeladat a következő. Megfigyelünk egy mintát, azaz
független, egyforma eloszlás\'u valószínűségi változók valamilyen
$X_1,\dots,X_n$ sorozatát. Feltesszük, hogy az $X_j$, $j=1,\dots,n$,
valószínűségi változók az $R^k$ Euklideszi térben veszik fel az 
értéküket. A könyv 4. fejezete csak a $k=1$ esettel foglalkozik. 
Azt akarjuk ellenőrizni a minta alapján, hogy a meg\-fi\-gyelt 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változók eloszlása rendelkezik-e bizonyos 
tulajdonságokkal. Pontosabban megfogalmazva, van eloszlásoknak 
egy valamilyen módon definiált családja, és azt akarjuk ellenőrizni, 
hogy az általunk megfigyelt valószínűségi változók eloszlása ebbe 
a családba esik-e. Azt a feltételezést, hogy ez így van, nevezzük 
nullhipotézisnek. Van  az el\-osz\-lá\-sok\-nak egy másik, a fel\-adat 
jellegétől f\"ugg\H{o} ett\H{o}l diszjunkt családja, és tudjuk, 
hogy a megfigyelt valószínűségi változók  eloszl\'asa e két 
eloszláscsalád valamelyikébe esik. Azt a feltételezést, hogy a 
minta elemeinek az eloszl\'asa ebbe a másik családba esik nevezzük 
ellenhipotézisnek. A megfigyelt minta alapján döntést hozunk arr\'ol, 
hogy szerintünk teljesül-e a nullhipotézis. Ha egy minta 
ele\-me\-i\-nek az eloszlása teljesíti a nullhipotézist, \'es mi 
olyan döntést, hozunk, hogy nem teljes\'iti azt, akkor olyan hibát 
követünk el, amit az irodalomban elsőfaj\'u hibának neveznek. Azt a 
hibát, amit akkor követünk el, ha egy olyan minta elemeinek az 
eloszlásáról, amelyik nem teljesíti a nullhipoézist azt mondjuk,
 hogy teljesíti a nullhipotézist másodfajú hibának nevezik. Célunk 
természetesen az, hogy olyan döntést hozzunk, ame\-lyik\-nek mind 
az elsőfajú mind a másodfajú hibája kicsi. De az elsőfajú hiba 
cs\"okkentésének az az ára, hogy a másodfajú hiba nő. Ezért ezt 
a feladatot pontosabban meg kell fogalmazni.

Először néhány egyéb terminológiát vezetek be. Ha mind a null
mind az ellenhipotézisben szereplő eloszlások egy Euklideszi
tér részhalmazának a pontjaival vannak indexelve, akkor paraméteres
próbáról beszélünk. Ha ezen eloszlások családja sokkal gazdagabb,
\'es ez\'ert elemeit nem lehet ilyen m\'odon indexelni,
akkor nem paraméteres próbáról be\-szé\-lünk. E jegyzetben 
a paraméteres próbákról szóló eredményeket ismertetem, bár a könyv
tartalmaz néhány eredményt nem paraméteres pró\-bák\-ról is. Egy teszt
abból áll, hogy a minta lehetséges értékeinek a
halmazát két diszjunkt részre egy ${\cal X}_e$ elfogadási és egy 
${\cal X}_k$ kritikus halmazra osztjuk. Ha a minta az ${\cal X}_e$ 
halmazba esik, akkor elfogadjuk, ha az ${\cal X}_k$ halmazba esik, 
akkor elutasítjuk a nullhipotézist. Bizonyos esetekben ennél kissé 
általánosabb eljárást alkalmazunk. Nevezetesen, a minta bizonyos 
értékei esetén, egy a mintától független kisérletet teszünk, és 
ezen kisérlet eredménye alapján $p$ va\-ló\-szí\-nű\-ség\-gel 
elfogadjuk, és $1-p$ valószínűséggel elutasítjuk a nullhipotézist. 
Az, hogy milyen valószínűséggel utasítjuk el a nullhipotézist az 
${\cal X}_e$ \'es ${\cal X}_k$ halmazok megv\'alaszt\'as\'aval, 
függ attól, hogy a nullhipotézis melyik eleme következett be. 
Akkor mondjuk, hogy a próba ereje $\varepsilon$, ha a 
legkellemetlenebb esetben is az elsőfajú hiba értéke nem nagyobb, 
mint $\varepsilon$. Formálisan, jelölje 
$\{P_\vartheta, \;\vartheta\in\Theta\}$, a 
null\-hi\-po\-té\-zis által kijelölt eloszlások családját, ahol 
$\Theta$ va\-la\-mi\-lyen paraméteter tartomány. Akkor mondjuk, hogy 
az  ${\cal X}_e$ \'es ${\cal X}_k$ halmazok által 
meghatározott próba ereje $\varepsilon$, ha 
$\sup_{\vartheta\in\Theta}P_\vartheta((X_1,\dots,X_n)\in{\cal X}_k)=\varepsilon$.
A k\"onyv az ilyen tu\-laj\-do\-ns\'a\-g\'u pr\'ob\'akat $\varepsilon$
terjedelm\H{u} pr\'ob\'aknak nevezi.
A tipikus statisztikai feladatok azt jelentik, hogy rögzítünk egy
$\varepsilon$ hibahatárt, és olyan próbát keresünk, amelynek az
ereje kisebb vagy egyenl\H{o} $\varepsilon$, \'es  a másodfajú
hibája (ami természetesen függ attól, hogy az ellenhipotézis melyik
eloszlása jelenik meg) viszonylag kicsi.

A könyv 4. fejezetének az első fontos eredménye a Neyman--Pearson lemma.
Ez azzal a speciális esettel foglalkozik, amikor mind a nullhipotézis
mind az ellenhipotézis egyetlen elemből, egy $P_{\vartheta_0}$ illetve 
$P_{\vartheta_1}$ valószínűségi mértékből áll. Rögzítünk egy 
$\varepsilon>0$ számot. A Neyman--Pearson lemma megadja azt, hogy 
hogyan néz ki az a próba, amelynek elsőfajú hibája kisebb vagy 
egyenlő $\varepsilon$, és eme megkötés mellett a másodfajú
hibája a lehető leg\-ki\-sebb. Ezen eredmény megfogalmazása érdekében
bevezetünk néhány jelölést.

Jelölje $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)$ a megfigyelt mintát. Legyen 
adva egy olyan $\mu$ mérték, amelyre nézve mind a $P_{\vartheta_0}$ 
mind a $P_{\vartheta_1}$ mérték abszolút folytonos, és legyen a 
sűrűségfüggvényük ezen $\mu$ mérték szerint $p_{\vartheta_0}(x)$ és  
$p_{\vartheta_1}(x)$. Jelölje  
$L_{\vartheta_0}(\mathbf{X})=\prod_{j=1}^n p_{\vartheta_0}(X_j)$
a  $P_{\vartheta_0}$ és
$L_{\vartheta_1}(\mathbf{X})=\prod_{j=1}^n p_{\vartheta_1}(X_j)$
a  $P_{\vartheta_1}$ mérték szerinti likelihoodfüggvényét
az $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)$ mint\'anak. 

A $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)$ minta egy csak 0 vagy 1 értéket
felvevő $\psi(\mathbf{X})$ f\"uggvényét próbafüggvénynek nevezzük,
amely a következő próbát határozza meg. A nullhipotézist fogaduk el
abban az esetben, ha $\psi(\mathbf{X})=0$, és az ellenhipotézist 
fogadjuk el abban az esetben, ha   $\psi(\mathbf{X})=1$.
Érdemes a próbafüggvényt kissé általánosabban definiálni, és olyan
definiciót bevezetni, amelyben bizonyos minták megjelenése esetén
$1-p$ valószínűséggel a nullhipotézist, és $p$ valószínűséggel 
az ellenhipotézist fogadjuk el. Ennek alapján, legyen 
$0\le \psi(\mathbf{X})\le 1$, és  $\psi(\mathbf{X})=p$ esetén 
$1-p$ valószínűséggel a nullhipotézist és $p$ valószínűséggel 
az ellenhipotézist fogadjuk el (egy a mintától független kisérlet 
alapján). Egy pr\'oba definici\'oja a $\psi(\mathbf{X})$ 
pr\'obaf\"uggv\'eny megad\'as\'at jelenti, amelynek 
seg\'its\'eg\'evel a fent megadott m\'odon hozzuk meg a 
d\"ont\'es\"unket. Egy $\psi(\mathbf{X})$ pr\'obaf\"ugv\'eny
\'altal meghat\'arozott pr\'oba els\H{o}faj\'u hib\'aja
$E_{\vartheta_0}(1-\psi(\mathbf{X}))$, m\'asodfaj\'u hib\'aja
$E_{\vartheta_1}\psi(\mathbf{X})$.
 A most bevezetett fogalmak és jelölések 
se\-gít\-sé\-gé\-vel megfogalmazzuk a Neyman--Pearson lemmát.

\medskip\noindent
{\bf Neyman--Pearson lemma.} {\it Legyen adva egy 
$\mathbf{X}=(X_0,\dots,X_n)$ minta a nullhipot\'ezis szerint
$P_{\vartheta_0}$ az ellenhipot\'ezis szerint $P_{\vartheta_1}$ eloszl\'assal, 
$P_{\vartheta_0}\neq P_{\vartheta_1}$. Minden $0<\varepsilon<1$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $c=c(\varepsilon)>0$ \'es $p=p(\varepsilon)$,
$0\le p<1$, sz\'am, hogy a seg\'its\'eg\"ukkel defini\'alt
$\psi(\mathbf{X})=\psi_{c,p}(\mathbf{X})$ pr\'obaf\"uggv\'eny,
amelyet a
$$
\psi(\mathbf{X})=\left\{
\begin{array}{l}
0 \quad\textrm{  ha  \ }
\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}<c, \\ 
p \quad \textrm{  ha  \ }
\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}=c,\\
1 \quad \textrm { ha \ } 
\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}>c. 
\end{array}\right.
$$
k\'eplet defini\'al teljes\'iti a 
$E_{\vartheta_0}(1-\phi(\mathbf{X}))=\varepsilon$
azonoss\'agot, azaz a $\psi(\mathbf{X})$ pr\'o\-ba\-f\"ugg\-v\'eny
\'altal megadott pr\'oba els\H{o}faj\'u hib\'aja $\varepsilon$.
M\'asr\'eszt, ha egy $\psi'(\mathbf{X})$
pr\'obaf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott pr\'ob\'anak
az els\H{o}faj\'u hib\'aja kisebb vagy egyenl\H{o} $\varepsilon$,
akkor e pr\'oba m\'asodfaj\'u hib\'aja nagyobb vagy egyenl\H{o},
mint a $\psi(\mathbf{X})$ pr\'obaf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
pr\'oba m\'asodfaj\'u hib\'aja. K\'epletben kifejezve: Ha
$E_{\vartheta_0}(1-\psi'(\mathbf{X}))\le\varepsilon$, akkor
$E_{\vartheta_1}\psi'(\mathbf{X})\ge E_{\vartheta_1}\psi(\mathbf{X})$.}


\medskip
Eltekintek e lemma bizonyításától, csak egy rövid heurisztikus 
ma\-gya\-rá\-za\-tot adok arra, hogy miért igaz ez az eredmény. Ha 
adva van két $\mathbf {X}=(X_1,\dots,X_n)$ \'es 
$\mathbf {X'}=(X'_1,\dots,X'_n)$ minta, amelyekre
$\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}
\le\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X'})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X'})}$, akkor
az $\mathbf{X}$ minta megjelen\'ese eset\'en ink\'abb d\"onten\'enk
a nullhipot\'ezis mellett, mint a $\mathbf{X'}$ minta megjelen\'ese
eset\'en. Ez azt sugallja, hogy olyan pr\'ob\'at v\'alasszunk, amelyben
egy alkalmas $c>0$ konstanst v\'alasztunk, \'es
$\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}<c$
eset\'en a nullhipot\'ezis,
$\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}>c$
eset\'en az ellenhipot\'ezis \'erv\'enyess\'ege mellett d\"ont\"unk.
A $c$ konstanst \'ugy akarjuk választani, hogy az elsőfajú hiba pontosan
$\varepsilon$ legyen. Lehetséges, hogy a választandó $c$ sz\'am olyan 
lesz, hogy 
a $P_{\vartheta_0}\left(\frac{L_{\theta_1}(\mathbf{X})}{L_{\theta_0}(\mathbf{X})}
=c\right)$ valószínűség pozitív. Ezen esemény bekövetkezte
esetén véletleníteni kell, bizonyos valószínűséggel a nullhipotézist,
és bizonyos valószínűséggel az ellenhipotézist kell választani annak
érdekében, hogy az elsőfajú hiba pontosan $\varepsilon$ legyen.

\medskip
Tekint\"unk statisztikai modelleket a k\"ovetkez\H{o} 
tulajdons\'agokkal. A $H_0$ nullhipot\'ezis olyan $P_\vartheta$ 
valószínűségi mértékekb\H{o}l \'all amelyek $\vartheta$ index\'ere 
$\vartheta\in\Theta_0$ valamely $\Theta_0$ indexhalmazzal, a $H_1$ 
ellenhipotézis olyan $P_\vartheta$ valószínűségi mértékekb\H{o}l 
\'all, amelyekre $\vartheta\in\Theta_1$  egy másik $\Theta_1$ 
indexhalmazzal, ezek az indexhalmazok diszjunktak, azaz 
$\Theta_0\cap\Theta_1=\emptyset$. Továbbá ezeknek a mértékeknek 
van közös domináló mértékük, azaz bevezetve a
$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$ jelölést, van olyan $\mu$ mérték, hogy 
minden $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mértéknek van 
$p_\vartheta(\cdot)$ sű\-rű\-ség\-függ\-vé\-nye e szerint a $\mu$ 
mérték szerint. A könyv bevezet ilyen modellekben egy pró\-bát, amit 
likelihood hányados próbának nevez. Ez egy plauzibilis eljárás, 
és bár a könyv nem ismertet olyan eredményeket, amelyek e módszer 
előnyös tulajdonságairól szólnak, mégis érdemes ezt ismertetni. 
A könyv több olyan statisztikai feladatot tárgyal, ahol a jó 
statisztikai próbát úgy találjuk meg, mint az adott modellben 
megjelenő likelihood hányados prób\'at.

Vezess\"uk be az $L_{\vartheta}(\mathbf{X})=\prod_{j=1}^np_\vartheta(X_j)$
likelihood f\"uggv\'enyt minden $\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)$
($n$-elem\H{u}) mint\'ara \'es $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$,
val\'osz\'in\H{u}s\'egi m\'ert\'ekre. De\-fi\-ni\-\'al\-juk a
$$
\lambda_n(\mathbf{X})=\frac{\sup_{\vartheta\in\Theta_0} L_\vartheta(\mathbf{X})}
{\sup_{\vartheta\in\Theta} L_\vartheta(\mathbf{X})}
$$
kifejez\'est. Ekkor $0\le \lambda_n(\mathbf{X})\le1$, \'es azt v\'arjuk,
hogy term\'eszetes modellekben, akkor lesz ez a kifejez\'es nagy, azaz 
k\"ozel 1 nagy val\'osz\'in\H{u}s\'eggel, ha $\vartheta\in\Theta_0$.
Ugyanis $L_{\vartheta'}(\mathbf{X})
=\exp\left\{\sum_{j=1}^n \log p_{\vartheta'}(X_j)\right\}
\sim\exp\{n E_{\vartheta}\log p_{\vartheta'}(X_1)\}$ minden 
$\vartheta'\in\Theta$ param\'eterre a nagy sz\'amok 
t\"orv\'enye alapj\'an, \'es azt v\'arjuk, hogy term\'eszetes 
modellekben, abban az esetben, ha az 
$\mathbf{X}=(X_1,\dots,X_n)$ minta elemei $P_\vartheta$
eloszl\'as\'uak, \'es \"osszehasonl\'itunk k\'et
$\vartheta\in\Theta$ \'es $\vartheta'\in\Theta$, $\vartheta\neq\vartheta'$, 
param\'eterhez tartoz\'o $P_\vartheta$ \'es $P_{\vartheta'}$ m\'ert\'eket,
akkor $E_{\vartheta}\log p_{\vartheta}(X_1)>E_{\vartheta}\log p_{\vartheta'}(X_1)$.
Ez azt sugallja, hogy akkor fogadjuk el a nullhipot\'ezist, ha 
$\lambda_n(\mathbf{X})\ge c$, ahol a $c=c(\varepsilon)$ konstanst \'ugy
v\'alasztjuk, hogy az els\H{o}faj\'u hiba $\varepsilon$ legyen. A most
le\'irt m\'odszer alapj\'an kapott pr\'ob\'akat h\'ivj\'ak
likelihood hányados prób\'anak.

\medskip
A Neyman--Pearson lemmában a következő problémával foglalkoztunk.
Megfigyelünk egy mintát, azaz független egyforma eloszlású valószínűségi
változók egy sorozatát, amelyiknek elemeiről tudjuk, hogy az eloszlásuk 
két ismert eloszlás valamelyike, de nem tudjuk me\-lyik. A minta ismerete 
alap\-ján erről akarunk dönteni. A Neyman--Pearson lemmában megadtuk, hogy
melyik az a döntési eljárás, amelyben megköveteljük, hogy az elsőfajú 
hiba (az a hiba, hogy abban az esetben, amikor a minta az első 
eloszlásból jött, mi mégis úgy itéljük meg, hogy az a második 
eloszlásból jött) valószínűsége egy előírt számnál kisebb legyen, és
a másodfajú hiba  (az a hiba, hogy abban az esetben, amikor a minta a
második eloszlásból jött, mi mégis úgy itéljük meg, hogy az az első 
eloszlásból jött) valószínűsége eme feltétel teljes\"ulése esetén a 
lehető legkisebb. Most ennek a problémának egy változatát tárgyaljuk.

\medskip
Ebben a problémában is két ismert eloszlás van, és el akarjuk dönteni,
hogy egy minta elemei e két eloszlás melyikéből származnak. Most is meg
tudjuk figyelni a minta elemeit, de azok elemszáma nem egy fix szám,
hanem elkezdjük a minta elemeit figyelni, és mi döntjük el, hogy mikor
hagyjuk abba a megfigyelést. Természetesen minél több elemet figyelünk
meg, annál jobb döntést tudunk hozni, jó döntési eljárás esetén annál 
kisebb  elsőfajú és másodfajú hibát fogunk elkövetni. Most olyan
módszert kívánunk ki\-dol\-goz\-ni, amelyikben mind az elsőfajú mind 
a másodfajú hiba kisebb, mint egy előírt szám. Ezt azáltal tudjuk 
elérni, hogy sokáig figyeljük a minta elemeit. Viszont a célunk 
az, hogy a megfigyelt minta (véletlen) elemszáma legyen minél 
kisebb. Ezt az elvárást pontosítani kell. Mikor tekintünk egy 
véletlen elemszámot kicsinek? Azt várjuk el, hogy a megfigyelt 
elemek szá\-m\'a\-nak a várható értéke legyen kicsi. De még ezzel
az elvárással sem fogalmaztuk meg a feladatot pontosan. Milyen eloszlás
szerinti várható értéket kívánunk kicsivé tenni? Két természetes
jelölt van. Az a két eloszlás, amelyek valamelyike megegyezik a
megfigyelt minta elemeinek az eloszlásával. Az alább ismertetett 
eredményből ki fog derülni, hogy egy olyan eljárást tudunk 
kidolgozni, amely szerint mind a két mérték szerint minimális 
a várható értéke a javasolt döntési módszerben megfigyelt minta 
elemsz\'am\'anak azon döntési módszerekben megfigyelt minta 
elemsz\'ama k\"ozött, amelyekben mind az elsőfajú
mind a másodfajú hiba kisebb, mint ebben a módszerben.

Ebben a feladatban úgynevezett szekvenciális eljárásokkal foglalkozunk.
Minden egyes mintaelem megjelenése után (a nulladik mintaelemtől kezd\-ve)
döntést hozunk, és az háromféle lehet. 

\medskip
\begin{description}
\item{1.)} Úgy döntünk, hogy elfogadjuk a nullhipotézist, és befejezzük a 
minta megfigyelését. 

\item{2.)} Úgy döntünk, hogy elutasítjuk a nullhipotézist, és befejezzük 
a minta megfigyelés\'et. 

\item{3.)} Úgy döntünk, hogy megfigyeljük a következő mintaelem
értékét is. 
\end{description}

Az, hogy az $n$-ik l\'ep\'esben az 1.), 2.) és 3.) lehetőségek 
közül melyiket választjuk az   
$\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$ véletlen vektor értékétől függ.
Rész\-le\-te\-seb\-ben megfogalmazva, jelölje $N$ azt a véletlen 
időpontot, amikor befejezzük a min\-ta\-ele\-mek megfigyelését. 
Tekintsük az $\{\omega\colon\;N(\omega)\ge n-1\}$ eseményt, 
amely az $\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$, (va\-ló\-já\-ban csak  az
$\mathbf{X}_{n-1}=(X_1,\dots,X_{n-1})$) v\'eletlen vektortól függ, 
és vegyük ennek a halmaznak egy olyan három $A$, $B$ és $C$ 
halmazból álló particióját, amelyikre ezen három halmaz mindegyike 
mérhető a $\sigma(X_1,\dots,X_n)$ $\sigma$-algebra szerint.
A szekvenciális eljárás $n$-ik lépése abból áll, hogy defin\'alunk
h\'arom olyan $A$, $B$ \'es $C$ halmazt, amelyek teljes\'itik a fenti
felt\'eteleket, \'es  az $A$ halmaz
bekövetkezése esetén az 1.), a $B$ halmaz bekövetkezése esetén a 2.),
a $C$ halmaz bekövetkezése esetén a 3.) lehetőséget választjuk.

\medskip
Célunk olyan szekvenciális eljárás kidolgozása, amelyikben
mind az el\-ső\-fa\-jú mind a má\-sod\-fa\-jú hiba kisebbb, 
mint egy előírt szám, és a megfigyelt min\-ta\-ele\-mek 
számának a várható értéke (a minta elemszámainak mindk\'et
le\-het\-sé\-ges eloszlása sze\-rint) vi\-szony\-lag kicsi.

Bevezetem a Wald-féle valószínűséghányados próbákat, amelyek
szek\-ven\-ciá\-lis próbák, és tartalmaznak bizonyos paramétereket. 
Ezek alkalmas meg\-vá\-lasz\-tá\-sá\-val megkapjuk a kívánt tulajdonságú 
kis hibájú, nem t\'ul nagy számú megfigyelést tartalmazó 
tesztelési eljárásokat. Annak érdekében, hogy ezeket 
ismertessem, először be kell vezetni néhány jelölést.

\medskip
Legyen adva egy $(\Omega,{\cal A}.P)$ valószínűségi mezőn  
független, egyforma el\-osz\-lá\-sú valószínűségi változók 
egy $X_1,X_2,\dots$, sorozata, amelyeknek a 
sű\-rű\-ség\-függ\-vé\-nye egy $\mu$ domin\'al\'o m\'ert\'ekre
n\'ezve a $H_0$ nullhipotézis szerint egy (ismert) 
$f_{\vartheta_0}(\cdot)$ függvény, a $H_1$ ellenhipotézis szerint
pedig egy (ismert) $f_{\vartheta_1}(\cdot)$ 
függvény. Feltesszük, hogy ez a két s\H{u}r\H{u}ségfüggvény 
különböző. Definiáljuk minden $n=1,2,\dots$ indexre és 
$\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$ mintára
az 
$L_{\theta_0}(\mathbf{X}_n)=\prod_{j=1}^n f_{\vartheta_0}(X_j)$
és 
$L_{\theta_1}(\mathbf{X}_n)=\prod_{j=1}^n f_{\vartheta_1}(X_j)$
likelihood f\"uggv\'enyeket, valamint a
$$
V_n=V_n(\mathbf{X}_n)=\frac{L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)}
{L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_n)}, \quad n=1,2,\dots
$$
valószínűségi változókat.
Rögzítsünk két $0<A<1<B<\infty$ számot, és definiáljuk segítségükkel
a következő szekvenciális próbát. Ezt nevezzük Wald-féle
valószínűséghányados próbának. Az $n=1,2,\dots,$ indexre egym\'as
után a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast k\"ovetj\"uk eg\'eszen addig a
(v\'eletlen) indexig, amikor \'ugy d\"ont\"unk, hogy befejezz\"uk
a minta megfigyel\'es\'et.  

\medskip
\begin{description}
\item{1.)} Ha $V_n(\mathbf{X}_n)\le A$, akkor \'ugy 
döntünk, hogy elfogadjuk a nullhipotézist, és befejezzük a 
minta megfigyelését. 

\item{2.)} Ha $V_n(\mathbf{X}_n)\ge B$, akkor \'ugy 
döntünk, hogy elutasítjuk a nullhipotézist, és befejezzük 
a minta megfigyelés\'et. 

\item{3.)}  
Ha $A<V_n(\mathbf{X}_n)< B$, akkor \'ugy döntünk, hogy megfigyeljük 
a következő mintaelem értékét is, \'es folytatjuk az elj\'ar\'ast. 
\end{description}

\medskip
A Wald-féle valószínűséghányados próba javasolása hipotézisek
vizs\-gá\-la\-tá\-ra hasonló elven működik mint a Neyman--Pearson 
lemma indoklása. Ha a
$V_n=V_n(\mathbf{X}_n)=\frac{L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)}
{L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_n)}$
hányados kicsi, akkor valószínű, hogy a nullhipotézis teljesül,
tehát érdemes elfogadni azt, ha ez a hányados nagy, akkor valószínűleg
az ellenhipotézis teljesül, tehát érdemes a nullhipotézist 
el\-uta\-sí\-tani. Ha ez a hányados se nem túl nagy se nem túl 
kicsi, akkor érdemes új mintaelemet kérni, hogy nagyobb 
biztonsággal tudjunk jó döntést hozni. Ha elég sok mintaelemet 
figyelünk meg, akkor olyan állapotba jutunk, hogy tudunk döntést 
hozni. Ennek indoklására elég megmutatni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\log V_n(\mathbf{X}_n)=-\infty \quad 1\textrm{ valószínűséggel},
$$ 
ha a 
nullhipotézis teljesül, és 
$$
\lim_{n\to\infty}\log V_n(\mathbf{X}_n)=\infty \quad 1 
\textrm{ valószínűséggel},
$$ 
ha az ellenhipotézis teljesül.

Ezen álllítás következik a nagy számok törvényéből, ha azt a 
$\log V_n(\mathbf{X}_n)=\sum_{j=1}^n
\log\frac{f_{\vartheta_1}(X_j)}{f_{\vartheta_0}(X_j)}$
összegre alkalmazzuk, és megmutatjuk, hogy
$$
E_{\vartheta_1}\log\frac{f_{\vartheta_1}(X_j)}{f_{\vartheta_0}(X_j)}>0, 
\quad \textrm{és} \quad
E_{\vartheta_0}\log\frac{f_{\vartheta_1}(X_j)}{f_{\vartheta_0}(X_j)}<0.
$$

\medskip
A 4.1. tétel egy olyan eredményt fogalmaz meg, amelyből következik,
hogy a Wald-féle valószínűséghányados próbákban a megfigyelt 
elemek szá\-má\-nak a várható értéke minden $0<A<1<B<\infty$  
paraméterválasztás esetén véges mind a nullhipotézis
mind az ellenhipotézis mértéke szerint, sőt ugyanez elmondható 
a megfigyelt elemek számának tetszőleges momentumáról. A 4.2. tétel,
az \'un. Wald-azonosság egy olyan azonosságot fogalmaz meg, amely
lehetőséget ad ezen várható érték aszimptotik\'aj\'anak a 
meghat\'aroz\'as\'ara.  
(Lásd  a könyv 4. fejezetének (4.3) képletét.) 
E jegyzetben csak a 4.2. tételt fogalmazom meg. Ezután beszélek e 
tétel bizonyításának a hátteréről.

\medskip\noindent
{\bf 4.2. T\'etel. Wald azonoss\'ag.} {\it Legyenek $Z_1,Z_2,\dots$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $E|Z_1|<\infty$, $N$ meg\'all\'asi szab\'aly, amelyre $EN<\infty$.
Ekkor
$$
E\left(\sum_{j=1}^N Z_j\right)=E N EZ_1.
$$
}

\medskip
Ez az azonoss\'ag tipikus marting\'alokr\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny.
Az 
$$
U_n=\sum_{j=1}^n(Z_n-EZ_n), \quad n=0,1,2,\dots,
$$ 
sorozat marting\'al. Ez\'ert sz\'ep $N$ meg\'all\'asi szab\'alyokra 
$EU_N=0$. Ez igaz 
p\'eld\'aul akkor, ha olyan meg\'all\'asi sza\-b\'alyt 
tekint\"unk, amelynek \'er\-t\'e\-ke egy val\'osz\'in\H{u}s\'eggel 
kisebb egy adott sz\'amn\'al,  p\'eld\'aul az $N_k=\min(N,k)$
 meg\'all\'asi szab\'alyt tetsz\H{o}leges $k=1,2,\dots$ sz\'ammal. 
A t\'etel felt\'etelelei lehet\H{o}v\'e teszik, hogy $k\to\infty$ 
ha\-t\'ar\-\'at\-men\-et\-tel megkapjuk az $EU_N=0$ azonoss\'agot.
 Innen k\"ovetkezik a Wald azonoss\'ag.

\medskip
\'Erdemes a 4.2. t\'etelt a 
$Z_j=\log \frac{f_{\vartheta_1}(X_j)}{f_{\vartheta_0}((X_j)}$,
$j=1,2,\dots$, v\'alaszt\'assal al\-kal\-maz\-ni a $P_{\vartheta_0}$ vagy 
$P_{\vartheta_1}$ m\'ert\'ekkel, tov\'abb\'a azt az $N$ meg\'all\'asi
szab\'alyt venni, amelyiket a Wald-f\'ele valószínűséghányados
pr\'ob\'aban alkalmaztunk. Ez a most bevezetett $Z_j$ 
val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal \'ugy is megadhat\'o, mint
a legkisebb olyan $n$ sz\'am, amelyre vagy 
$\sum_{j=1}^n Z_j\le \log A$ vagy $\sum_{j=1}^n Z_j\ge \log B$.
Ilyen v\'alaszt\'asal kapjuk a (4.3) rel\'aci\'ot $a=\log A$
\'es $b=\log B$ jel\"ol\'essel. (Ha abban az $N=n$ id\H{o}pontban,
amikor a $\sum_{j=1}^nZ_n$ \"osszeg kil\'ep az $(a,b)$ intervallumb\'ol
ennek az \"osszegnek az \'ert\'eke mindig pontosan $a$ vagy $b$ volna, 
akkor pontos azonoss\'agot \'irhatn\'ank. Az \'altal\'anos esetben 
csak k\"ozel\'it\H{o} azonoss\'ag \'erv\'enyes. Megjegyzem, hogy a 
gyakorlatban \'erdekes esetekben $\varepsilon$ nagyon kicsi, ez\'ert 
az $|a|$ \'es $b$ sz\'amokat nagyra kell v\'alasztani. Ez\'ert van 
a (4.3) formul\'aban k\"ozel\'it\H{o} azonoss\'ag.

\medskip
A 4.3. t\'etelben megadnak egy j\'o becsl\'est arra, hogy hogyan 
kell az $A$ \'es $B$ konstansokat v\'alasztani a Wald-f\'ele 
valószínűséghányados pr\'ob\'aban, ha azt akarjuk, hogy az 
els\H{o}faj\'u hiba $\varepsilon_1$, a m\'asodfaj\'u hiba 
$\varepsilon_2$ legyen. Pontos \'ert\'eket nem tudunk
megadni, de az ismertetett eredm\'enyek gyakorlati szempontb\'ol
elegend\H{o}ek. Ismertetem ezeket az eredm\'enyeket, \'es megadom
a v\'azlatos bizony\'it\'asukat.

\medskip\noindent
{\bf 4.3. T\'etel.} {\it A Wald-f\'ele valószínűséghányados pr\'ob\'aban
a $0<\varepsilon_1<1$ els\H{o}faj\'u \'es $0<\varepsilon_2<1$ m\'asodfaj\'u
hib\'aja valamint a pr\'oba definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $A$ \'es
$B$ konstansok k\"oz\"ott a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'o \'erv\'enyes:
$$
A\ge \frac{\varepsilon_2}{1-\varepsilon_1} \quad
\textrm{és}\quad
B\le \frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1}.
$$
}

\medskip
A fenti t\'etelnek van a k\"ovetkez\H{o} hasznos k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf A 4.3. T\'etel k\"ovetkezm\'enye.} {\it Adva az $\varepsilon_1$
\'es $\varepsilon_2$ jel\"oltek az els\H{o}faj\'u \'es
m\'asodfaj\'u hib\'ara defini\'aljuk seg\'its\'eg\"ukkel a 
k\"ovetkez\H{o} $A'$ \'es $B'$ konstansokat, amelyek 
v\'alaszt\'asa a Wald-f\'ele valószínűséghányados pr\'ob\'aban az 
\'un. $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ strat\'egi\'at adja. 
$$
A'= \frac{\varepsilon_2}{1-\varepsilon_1} \quad \textrm{és} \quad
B'= \frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1}.
$$
Az $A'$ \'es $B'$ konstanssal konstru\'alt Wald-f\'ele 
valószínűséghányados pr\'oba $\varepsilon_1'$ els\H{o}faj\'u 
\'es $\varepsilon_2'$ m\'asodfaj\'u hib\'aja teljes\'iti az
$\varepsilon_1'+\varepsilon_2'\le \varepsilon_1+\varepsilon_2$
valamint az
$$
\varepsilon_2'\le\frac{ \varepsilon_2}{1-\varepsilon_1} \quad
\textrm{és}\quad
\varepsilon_1'\le\frac{ \varepsilon_1}{1-\varepsilon_2}
$$
egyenl\H{o}tlens\'egeket.}

\medskip\noindent
{\it A 4.3. t\'etel bizony\'it\'asa.}\/ Jel\"olje $N$ azt a v\'eletlen
id\H{o}pontot, amikor befejezz\"uk a minta megfigyel\'es\'et. Ekkor 
$P_{\vartheta_0}(N)<\infty)=1$, $P_{\vartheta_1}(N)<\infty)=1$, \'es
$$
E_N=\left\{\omega\colon\;\frac{L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_N(\omega))}
{L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_N(\omega))}\le A\right\}
$$
az a halmaz, ahol a nullhipot\'ezist elfogadjuk, \'es
$$
K_N=\left\{\omega\colon\;\frac{
L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_N(\omega))}
{L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_N(\omega))}
\ge B\right\}
$$
az a halmaz, ahol a nullhipot\'ezist elutas\'itjuk.

Ez\'ert $P_{\vartheta_0}(E_N)=1-\varepsilon_1$,
$P_{\vartheta_0}(K_N)=\varepsilon_1$, $P_{\vartheta_1}(E_N)=\varepsilon_2$
\'es $P_{\vartheta_1}(K_N)=1-\varepsilon_2$. Tov\'abb\'a, 
$L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_N(\omega))\ge B L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_N(\omega))$
a $K_N$ halmazon, \'es integr\'alva ezen egyenl\H{o}tlens\'eg 
mindk\'et oldal\'at a domin\'al\'o $\mu$ m\'ert\'ek szerint azt 
kapjuk, hogy $P_{\vartheta_1}(K_N)\ge B P_{\vartheta_0}(K_N)$. Hasonl\'oan,
$P_{\vartheta_1}(E_N)\le A P_{\vartheta_0}(E_N)$. Ez azt jelenti, hogy
$B\varepsilon_1\le 1-\varepsilon_2$, \'es
$\varepsilon_2\le A(1-\varepsilon_1)$, \'es ezt kellett bizony\'itani.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} Wald--Wolfowitz t\'etel bizony\'it\'asa \'erdekes
gondolatokat tartalmaz. Ez\'ert, b\'ar a r\'eszletes bizony\'it\'ast
nem dolgozom ki, elmagyar\'azom annak legfontosabb l\'ep\'eseit.
A t\'etel azt mondja ki, hogy a Wald-f\'ele 
va\-ló\-szí\-nű\-ség\-há\-nya\-dos pr\'ob\'ak optim\'alisak a 
k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. Tekints\"unk egy Wald-f\'ele 
va\-ló\-szí\-nű\-ség\-há\-nya\-dos pr\'ob\'at 
valamilyen $A$ \'es $B$ param\'eterrel. Ha egy m\'asik 
szekvenci\'alis pr\'o\-b\'a\-nak mind  az els\H{o}faj\'u
mind a m\'asodfaj\'u hib\'aja nem nagyobb, mint ennek a 
pr\'ob\'anak, akkor a pr\'ob\'aban felhaszn\'alt mintaelemek 
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke nagyobb vagy egyenl\H{o}, 
mint a te\-kin\-tett Wald-f\'ele valószínűséghányados pr\'ob\'aban. 
Ez igaz mind a $P_{\vartheta_0}$ mind a $P_{\vartheta_1}$ m\'ert\'ek 
szerint vett v\'arhat\'o \'ert\'ekre.

\medskip\noindent
{\bf 4.4. T\'etel. Wald \'es Wolfowitz t\'etele.} {\it R\"ogz\'its\"unk
egy $0<A<1<B<\infty$ sz\'amp\'art, \'es tekints\"uk az \'altala 
meghat\'arozott Wald-f\'ele va\-ló\-szí\-n\H{u}\-ség\-há\-nya\-dos 
pr\'ob\'at. Legyen e pr\'oba els\H{o}faj\'u hib\'aja $\varepsilon_1$, 
\'es m\'asodfaj\'u hib\'aja $\varepsilon_2$. Jel\"olje a pr\'oba sor\'an
megfigyelt elemek sz\'am\'at $N$. Tekints\"unk egy m\'asik 
szekvenci\'alis pr\'ob\'at, amelyiknek az els\H{o}faj\'u hib\'aja 
kisebb vagy egyenl\H{o} $\varepsilon_1$, \'es m\'asodfaj\'u 
hib\'aja kisebb vagy egyenl\H{o} $\varepsilon_2$. 
Jel\"olje az e pr\'oba sor\'an megfigyelt elemek sz\'am\'at $N'$.
Legyen $E_{\vartheta_0}(N')<\infty$ \'es $E_{\vartheta_1}(N')<\infty$.
Ekkor $E_{\vartheta_0}(N)\le E_{\vartheta_0}(N')$, \'es
$E_{\vartheta_1}(N)\le E_{\vartheta_1}(N')$.}

\medskip
E feladat megoldása érdekében tekintünk egy alkalmasan megfogalmazott
optimális d\"ont\'esi elj\'ar\'asr\'ol sz\'ol\'o feladatot, és 
vizsgáljuk annak megoldását. Ez nagy segítséget nyújt Wald és Wolfowitz 
tételének a bizonyításában. Ezt a feladatot a valószínűségszámítás 
klasszikus nyelvén fogalmazom meg, amely jobban meg\-vi\-lá\-gít\-ja 
a problémát, mint a könyv statisztika nyelvén megfogalmazott 
tár\-gya\-lá\-sa.

Az optimális d\"ont\'esi elj\'ar\'asr\'ol sz\'ol\'o feladatban két 
független, egyforma eloszlású $Y_1,Y_2,\dots$ \'es $Z_1,Z_2\dots$ 
valószínűségi változokból álló sorozatot te\-kin\-tünk egy 
$(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőn. Az $Y_1,Y_2,\dots$ 
sorozat elemeinek az el\-osz\-l\'a\-sa $P_{\vartheta_0}$, a 
$Z_1,$ $Z_2$,\dots sorozat elemeinek az eloszl\'asa 
$P_{\vartheta_1}$. Ezt a k\'et $P_{\vartheta_0}$ \'es $P_{\vartheta_1}$ 
m\'ert\'eket a tov\'abbiakban r\"ogz\'itj\"uk. Adjunk meg 
ezenk\'iv\"ul egy $0<\pi<1$ sz\'amot, és legyen adva egy 
olyan $U$ valószínűségi változó, amelyre $P(U=0)=1-\pi$, 
$P(U=1)=\pi$, és $U$ f\"uggetlen az $Y_1,Y_2,\dots,$ és 
$Z_1,Z_2.\dots$ sorozatoktól. Legyenek ezenkívül rögzítve 
bizonyos  $c>0$, $w_1>0$ \'es $w_2>0$ számok, és definiáljuk 
e paraméterek segítségével a következő feladatot. 

Van egy rendszer, amelyik a 0 állapotba kerül, ha $U=0$,
és az 1 állapotba ker\"ul, ha $U=1$. Ha a rendszer a 0 \'allapotban
van, akkor kibocs\'ajtja egym\'as ut\'an az $Y_1,Y_2,\dots$ 
valószínűségi változókat, ha a rendszer az 1 \'allapotban
van, akkor kibocs\'ajtja egym\'as ut\'an a $Z_1,Z_2,\dots$ 
valószínűségi változókat. Ismerj\"uk  a $\pi$ sz\'amot, \'es a 
$P_{\vartheta_0}$ \'es $P_{\vartheta_1}$ eloszlásokat, de nem ismerjük 
az $U$, $Y_1,Y_2,\dots$ és $Z_1,Z_2,\dots$ valószínűségi változók 
értékeit. Lehetőségünk van megfigyelni a rendszer által egym\'as 
ut\'an kibocsájtott valószínűségi változók érték\'et, azaz az 
$Y_1,Y_2,\dots$ sorozat egymás utáni elemeit, ha a rendszer a 0 
állapotban van, \'es a $Z_1.Z_2,\dots$ sorozat egymás utáni 
elemeit, ha a rendszer az 1 állapotban van, de minden egyes 
megfigyelésért $c$ forintot kell fizetni. Jogunk van eldönteni, 
hogy mennyi ideig folytatjuk a megfigyelést. Ezután meg kell 
tippelnünk, hogy a rendszer a 0 vagy az 1 állapotban van-e, de 
a helytelen tippért fizetni kell. Annak a hibának, hogy a 0 
állapotra tippeltünk az 1 állapot helyett $w_1$ forint az ára,
annak a hibának, hogy az 1 állapotra tippeltünk az 0 állapot helyett 
$w_2$ forint az ára. A feladat az optim\'alis d\"ont\'esi eljárásnak,
azaz annak az eljárásnak a megad\'asa, amelyre az 
el\H{o}bb le\'irt procedúra költségének a várható értéke minimális.

Érdemes megérteni e feladat kapcsolatát a szekvenciális próbák 
vizs\-gá\-la\-tá\-val. Vezessük be az $X_n$, $n=1,2,\dots$, 
valószínűségi változókat az $X_n=Y_n$, ha $U=0$, \'es $X_n=Z_n$, 
ha $U=1$, $n=1,2,\dots$, képletekkel. Ezzel a jelöléssel az 
$X_1,X_2,\dots$ valószínűségi változókat figyeljük meg. 
Megadjuk e sorozat felt\'eteles eloszl\'as\'at felt\'eve az
$U$ val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et.
Az $U=0$ eset\-ben ez a feltételes eloszlás megegyezik
független $P_{\vartheta_0}$ eloszlású valószínűségi változók 
sorozatának az eloszl\'as\'aval. Az $U=1$ esetben ez a 
felt\'eteles eloszl\'as megegyezik független $P_{\vartheta_1}$ 
eloszlású va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változók sorozatának az 
eloszl\'as\'aval.  Egy d\"ont\'esi elj\'ar\'as 
megad\'asa azt jelenti, hogy el\H{o}sz\"or
megadunk egy az $X_1,X_2,\dots$ sorozat elemeinek 
\'ert\'ek\'et\H{o}l f\"ugg\H{o} $N$ megállási szabályt
azaz az egy olyan poz\'itiv eg\'esz \'ert\'eket felvev\H{o} $N$
val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely\-re 
$\{\omega\colon\;N(\omega)=k\}\in \sigma(X_1,\dots,X_k)
=\sigma(\mathbf{X}_k)$ minden $k=1,2,\dots$ indexre, majd
defini\'alunk egy olyan 
$T=T(X_1,\dots,X_{N(\omega})=T(\mathbf{X}_{N(\omega})$ 
valószínűségi változót, amelyre $T=0$ vagy $T=1$. A $T$ 
val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot d\"ont\'esi f\"uggv\'enynek 
nevezz\"uk. A $T=0$ esemény bek\"ovetkez\'esekor arra tippelünk, 
hogy a rendszer a 0 \'allapotban van, m\'ig a $T=1$ esemény 
bek\"ovetkez\'esekor arra tippelünk, hogy a rendszer az 1 
\'allapotban van. Tesz\"unk m\'eg egy technikai kieg\'esz\'it\'est
a definici\'oban. Megengedj\"uk azt is, hogy a nulladik id\H{o}pontban,
azaz az $X_n$ mintaelemek megfigyel\'ese n\'elk\"ul hozzunk
d\"ont\'est, ami vagy a determinisztikus $T=0$ vagy a 
determinisztikus $T=1$ f\"uggv\'eny. Form\'alisan, legyen 
$\mathbf{X}_0$ az \"ures sorozat, az \'altala gener\'alt 
$\sigma(\mathbf{X}_0)$ a trivi\'alis $\{\emptyset,\Omega\}$, 
$\sigma$-algebra. Az 
$N(\omega)$ meg\'all\'asi szab\'aly a nulla \'ert\'eket is felveheti,
de $\{\omega\colon\; N(\omega)=0\}\in\sigma(\mathbf{X}_0)$, \'es
a $T$ d\"ont\'esi f\"uggv\'eny is konstans az 
$\{\omega\colon\;N(\omega)=0\}$  halmazon.

Egy $N$ megállási szabállyal és $T$ döntési 
függvénnyel megadott d\"ont\'esi elj\'ar\'as költségének a 
várható értéke 
\begin{eqnarray}
K(N,T)\!\!\!\!\!\!\!&&=K(N,T,\pi) =\pi(cE_{\vartheta_0}(N)
+w_1P_{\vartheta_0}(T=1))    \label1 \\
&&\qquad\qquad +(1-\pi)(c(E_{\vartheta_1}(N)+w_2P_{\vartheta_1}(T=0)), 
\nonumber
\end{eqnarray}
és a feladat annak az $(N,T)$ párral megadott döntési szabálynak
a megtalálása, amelyre $K(N,T)$ minimális.

Egy szekvenciális próbát hasonlóan egy az $X_1,X_2,\dots$ sorozat 
szerinti $N$ megállási szabállyal és egy $T=T(X_1,\dots,X_N)$ 0 
vagy 1 \'ert\'eket felvev\H{o} va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi 
változóval adunk meg. A különbség az, hogy ebben az esetben 
minket a $P_{\vartheta_0}(T=1)$ elsőfajú \'es $P_{\vartheta_1}(T=0)$
másodfajú hiba nagysága érdekel, illetve az $E_{\vartheta_0}(N)$ és 
$E_{\vartheta_1}(N)$ várható értékek, amelyek  a megfigyelt 
mintaelemek sz\'am\'anak a várható érték\'evel egyenl\H{o}ek 
a  $H_0$ nullhipotézis illetve a $H_1$ ellenhipotézis 
teljesülése esetén. Azt a feladatot vizsgáljuk, hogy ha
csak olyan szekvenciális próbákat választhatunk, amelyekben  
a $P_{\vartheta_0}(T=1)$ elsőfajú \'es $P_{\vartheta_1}(T=0)$
másodfajú hiba kisebb, mint k\'et előírt szám, akkor milyen 
kicsi lehet $E_{\vartheta_0}(N)$ és $E_{\vartheta_1}(N)$  alkalmas 
próba választása estén. Az optim\'alis d\"ont\'esi szab\'aly 
keres\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o feladat val\'oj\'aban azt 
jelenti, hogy olyan szek\-ven\-ci\'a\-lis pr\'ob\'at 
keres\"unk, amelyre a $P_{\vartheta_0}(T=1)$, $P_{\vartheta_1}(T=0)$,
$E_{\vartheta_0}(N)$ és $E_{\vartheta_1}(N)$ mennyis\'egek valamely
line\'aris kombin\'aci\'oja minim\'alis \'ert\'eket vesz fel. 

Inform\'alisan azt mondhatjuk, hogy a fent megfogalmazott 
optim\'alis d\"on\-t\'e\-si elj\'ar\'as\-r\'ol sz\'ol\'o 
feladatban ugyanazokat a strat\'egi\'akat vizsg\'aljuk, 
mint a szek\-ven\-ci\'a\-lis pr\'o\-b\'ak\-ban, csak 
ezeket a strat\'egi\'akat m\'ask\'eppen \'ert\'ekelj\"uk 
ki. Olyan elj\'ar\'asokat tekint\"unk, ahol el\H{o}sz\"or 
eld\"ontj\"uk meddig folytatjuk a minta megfigyel\'es\'et, 
azt\'an a megfigyel\'esek alapj\'an megtippelj\"uk, hogy 
melyik \'allapotban vagyunk. Ez\'ert az op\-ti\-m\'a\-lis 
d\"ont\'esi elj\'ar\'asr\'ol sz\'ol\'o ered\-m\'e\-nyek 
hasz\-no\-sak lehetnek a szekvenci\'alis pr\'ob\'ak 
vizsg\'alat\'aban is. Az els\H{o} fontos eredm\'eny az 
optim\'alis d\"ont\'esr\H{o}l sz\'ol\'o feladatban, az a 
4.5. lemm\'aban megfogalmazott \'all\'it\'as, amelyik azt 
mondja ki, hogy minden $0<\pi<1$, $c>0$ \'es $w_1>0$, $w_2>0$ 
pa\-ra\-m\'e\-ter\-v\'a\-lasz\-t\'as eset\'eben az optim\'alis 
strat\'egia a Wald-f\'ele val\'osz\'in\H{u}s\'egh\'anyados 
pr\'oba olyan al\-ka\-lmas $A$ \'es $B$ konstansokkal, amelyek a 
fenti param\'eterekt\H{o}l f\"ugg\-nek. Egy m\'asik fontos 
eredm\'eny szerint minden $0<\pi<1$ param\'eter \'es 
$0<A<1<B<\infty$ konstansok eset\'en a $c>0$ \'es $w_1>0$, 
$w_2>0$ param\'etereket megv\'alaszthatjuk \'ugy, hogy az 
optim\'alis d\"ont\'es a vizsg\'alt feladatban megegyezik az ezen 
$A$ \'es $B$ konstansok \'altal meghat\'arozott  Wald-f\'ele 
va\-l\'o\-sz\'i\-n\H{u}\-s\'eg\-h\'a\-nya\-dos pr\'ob\'aval. 
Feltehetj\"uk azt is, hogy a $w_1$ \'es $w_2$ konstansokat \'ugy 
v\'alasztjuk, hogy $w_1+w_1=1$.

B\'ar a k\"onyv  csak implicit m\'odon tartalmazza ezt az 
eredm\'enyt, \'en meg\-fo\-gal\-ma\-zom explicit m\'odon 
az al\'abbi 4.4$'$. t\'etelben. A 4.4. t\'etel ezen 
\'all\'it\'as egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf 4.4$'$. T\'etel.} {\it Legyenek adva bizonyos $0<A<1<B<\infty$ 
\'es $0<\pi<1$ sz\'amok. Meg tudunk választani olyan  $c>0$, és 
$w_1>0$, $w_2>0$ számokat, amelyekre $w_1+w_2=1$, és ha az előbb 
definiált optim\'alis döntési eljárásr\'ol sz\'ol\'o fel\-ada\-tot
ezekkel a $\pi$, $c$, $w_1$ \'es $w_2$ param\'eterekkel tekintj\"uk, 
akkor az optimális dönt\'esi elj\'ar\'as e feladatban megegyezik
a Wald-f\'ele va\-ló\-szí\-nű\-ség\-há\-nya\-dos próbával 
$0<A<1<B<\infty$ paraméterekkel.}

\medskip\noindent
{\it A 4.4. t\'etel bizony\'it\'asa a 4.4$'$. t\'etel seg\'its\'eg\'evel.}\/
R\"ogz\'its\"unk egy $0<\pi<1$ sz\'amot, \'es v\'alasszuk a $c>0$,
$w_1>0$, $w_2>0$, $w_1+w_2=1$ param\'etereket oly m\'odon, hogy
ezzel a v\'alaszt\'assal a kor\'abban defini\'alt optimális 
dönt\'esi elj\'ar\'asr\'ol sz\'ol\'o feladat optim\'alis 
d\"ont\'esi elj\'ar\'asa megegyezik a Wald-f\'ele 
va\-ló\-szí\-nű\-ség\-há\-nya\-dos próbával a 4.4 t\'etel
megfogalmaz\'as\'aban szerepl\H{o} $0<A<1<B<\infty$ paraméterekkel.
Tekints\"uk azt az $N$ meg\'all\'asi szab\'alyb\'ol \'es $T$  
nulla vagy egy \'ert\'eket felvev\H{o} d\"ont\'esi 
f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o $(N,T)$ p\'art, amely meghat\'arozza 
ezt a pr\'ob\'at. Ekkor $P_{\vartheta_0}(T=1)=\varepsilon_1$, \'es 
$P_{\vartheta_1}(T=0)=\varepsilon_2$. Tekints\"unk egy m\'asik 
valamilyen $(N',T')$ meg\'all\'asi szab\'aly \'es d\"ont\'esi 
f\"uggv\'enyp\'arral defini\'alt szekvenci\'alis pr\'ob\'at. Legyen
$P_{\vartheta_0}(T'=1)=\varepsilon'_1$. \'es 
$P_{\vartheta_1}(T'=0)=\varepsilon'_2$. Ekkor mind az $(N,T)$ mind 
az $(N',T')$ p\'ar meghat\'aroz egy d\"ont\'esi elj\'ar\'ast,
\'es az $(N,T)$ p\'ar \'altal megadott döntési eljárásnak a 
4.4$'$. tételben megfogalmazott optimalitási tulajdonságából 
következik az al\'abbi egyenlőtlenség.
\begin{eqnarray*}
&&\pi(cE_{\vartheta_0}(N)+w_1\varepsilon_1)
+(1-\pi)(c(E_{\vartheta_1}(N)+w_2\varepsilon_2) \\
&&\qquad \le \pi(cE_{\vartheta_0}(N')+w_1\varepsilon'_1)
+(1-\pi)(c(E_{\vartheta_1}(N')+w_2\varepsilon'_2).
\end{eqnarray*}

A 4.4. t\'etelben olyan $(N',T')$ p\'arok \'altal meghat\'arozott
szekvenci\'alis pr\'ob\'at tekintett\"unk, amelyre 
$\varepsilon'_1\le\varepsilon_1$ \'es $\varepsilon'_2\le\varepsilon_2$.
Ilyen esetben a fenti egyenlőtlenségből következik az alábbi
egyenlőtlenség is.
$$
\pi E_{\vartheta_0}(N)+(1-\pi) E_{\vartheta_1}(N)
\le \pi E_{\vartheta_0}(N')+(1-\pi) E_{\vartheta_1}(N').
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $0<\pi<1$ param\'eterre igaz, 
innen k\"ovetkeznek az $E_{\vartheta_0}(N)\le E_{\vartheta_0}(N')$ \'es
$E_{\vartheta_1}(N')\le E_{\vartheta_1}(N)$ egyenlőtlenségek is. 
A 4.4. tételt beláttuk.

\medskip
A 4.4. t\'etel bizony\'itásának legfontosabb lépése az optimális 
stratégia megtalálása az el\H{o}bb megfogalmazott optimális 
döntési eljárásról szóló fel\-adat\-ban. A könyv csak vázlatosan 
ismerteti ezen probl\'ema megoldását. Ezért én is megel\'egszem
azzal, hogy megadjam annak legfontosabb gondolatait, illetve 
megfogalmazzam a legfontosabb megoldandó matematikai problémákat. 
Először megadom a keresett optimális stratégiát.Ennek 
ér\-de\-ké\-ben be\-ve\-ze\-tem a következő mennyiségeket.

Jel\"olj\"on (a k\"onyv jel\"ol\'eseit k\"ovetve $\delta$ egy 
lehets\'eges $(N,T)$ d\"ont\'esi el\-j\'a\-r\'ast, \'es jel\"olje 
${\cal D}$ az \"osszes olyan lehets\'eges $\delta=(N,T)$ 
d\"ont\'es halmaz\'at, amelyre $E_{\vartheta_0}(N)<\infty$, \'es
$E_{\vartheta_1}(N)<\infty$. Legyen minden $\delta=(N,T)\in{\cal D}$ 
d\"ont\'es k\"olts\'ege $r(\pi,\delta)=K(N,T,\pi)$ az (\ref{1}) 
formul\'aban defini\'alt $K(N,T,\pi)$ f\"uggv\'ennyel. Jel\"olje 
${\cal D}_1$ azon $\delta=(N,T)$ d\"ont\'esi elj\'ar\'asok 
halmaz\'at, ame\-lyek\-re $P(N\ge n)=1$, \'es legyen 
\begin{equation}
\rho(\pi)=\inf_{\delta\in{\cal D}_1} r(\pi,\delta). \label2
\end{equation}
Mint a k\"onyv megmutatja, a $\rho(\pi)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol 
korl\'atos, konk\'av, ez\'ert a $(0,1)$ intervallumon folytonos 
f\"uggv\'eny. (Vegy\"uk \'eszre, hogy az $r(\pi,\delta)$
f\"uggv\'eny folytonos minden $\delta\in{\cal D}$ d\"ont\'esi
elj\'ar\'asra. Ezt felhaszn\'alva meg lehet mutatni, hogy
$\rho(\pi)$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.) Nem neh\'ez bel\'atni, hogy 
$$
\lim_{\pi\to0}\rho(\pi)=\lim_{\pi\to1}\rho(\pi)=c.
$$ 
A $\rho(\cdot)$ f\"uggv\'eny seg\'its\'eg\'evel meg tudjuk mondani, 
milyen $\pi$ param\'eterekn\'el \'allunk le az optim\'alis 
d\"ont\'esi elj\'ar\'asban az els\H{o} megfigyel\'es el\H{o}tt,
azaz a nulladik l\'ep\'esben,
\'es ebben az esetben milyen d\"ontest hozunk.

Legyen $\delta_0=(N_0,T_0)$, ahol $N_0\equiv0$, $T_0\equiv0$, 
\'es $\delta_1=(N_0,T_1)$, ahol $N_0\equiv0$, $T_1\equiv1$. Ekkor 
$r(\pi,\delta_0)=\pi w_1$ \'es $r(\pi,\delta_1)=(1-\pi) w_0$.
Minden $0<\pi<1$ param\'eterre az optim\'alis strat\'egia 
a $\delta_0$, $\delta_1$ \'es az optim\'alis $\delta\in{\cal D}_1$ 
strat\'egia valamelyike, (ez ut\'obbi k\"olts\'ege $\rho(\pi)$), 
\'es ezek k\"oz\"ul azt kell v\'alasztani, ame\-lyik\-nek minim\'alis 
a k\"olts\'ege. Ez azt jelenti, hogy ha 
$\rho\left(\frac{w_2}{w_1+w_2}\right)\ge\frac{w_1w_2}{w_1+w_2}$, akkor
a $\pi\le \frac{w_1}{w_1+w_2}$ esetben a $\delta_0$, \'es a 
$\pi> \frac{w_1}{w_1+w_2}$ esetben a $\delta_1$ strat\'egi\'at 
alkalmazzuk. Ha 
$\rho\left(\frac{w_2}{w_1+w_2}\right)<\frac{w_1w_2}{w_1+w_2}$, 
akkor van egy olyan $0<\pi'<\frac{w_2}{w_1+w_2}$ sz\'am, 
amelyre $\pi'w_1=\rho(\pi')$, \'es egy olyan 
$\frac{w_2}{w_1+w_2}<\pi''<1$ sz\'am, amelyre 
$(1-\pi'')w_2=\rho(\pi'')$. (L\'asd a k\"onyvben a 4.1 \'abr\'at.) 
Ebben az esetben az optim\'alis strat\'egia a $\delta_0$ 
strat\'egia, ha $\pi\le\pi'$, a $\delta_1$ strat\'egia, ha $\pi\ge\pi''$,
m\'ig a $\pi'<\pi<\pi''$ esetben $N\ge1$, \'es meg kell keresni a legjobb
$\delta\in{\cal D}_1$ strat\'egi\'at.

Ilyen m\'odon megadtuk az optim\'alis strat\'egia nulladik l\'ep\'es\'et.
A tov\'abbi l\'ep\'esek megtal\'al\'asa hasonl\'o elveken alapul, b\'ar
kidolgoz\'asuk technikailag bonyolultabb. Ahhoz, hogy ezeket megadjuk
be kell vezetni a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteles val\'osz\'in\H{u}s\'egeket, 
amelyeket a k\"onyv aposteriori val\'osz\'in\H{u}s\'egeknek nevez.

Defini\'aljuk minden $\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$ sorozatra a
$$
\pi_n=\pi_n(\mathbf{X}_n)=P(U=1|X_1,\dots,X_n), \quad n=1,2,\dots,
$$
feltételes valószínűségeket, \'es legyen $\pi_0=\pi$. Be lehet
 látni, hogy
\begin{equation}
\pi_n=\pi_n(\mathbf{X}_n)=\frac{\pi L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)}
{\pi L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)+(1-\pi)L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_n)}, 
\quad n=1,2,\dots, \label3
\end{equation}
ahol $L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_n)=\prod_{j=1}^n f_{\vartheta_0}(Y_j)$,
\'es $L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)=\prod_{j=1}^n f_{\vartheta_1}(Z_j)$.
Innen k\"ovetkezik az al\'abbi rekurziv formula.
$$
\pi_n(\mathbf{X}_n)=\frac{\pi_{n-1}(\mathbf{X}_{n-1})f_{\vartheta_1}(X_n)}
{\pi_{n-1}(\mathbf{X}_{n-1})f_{\vartheta_1}(X_n)
+(1-\pi_{n-1}(\mathbf{X}_{n-1}))f_{\vartheta_0}(X_n)}.
$$

Ki tudjuk sz\'amolni az $U$ \'es $X_n,X_{n+1},\dots$ valószínűségi
változók együttes feltételes eloszlásat is feltéve az
$\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$ véletlen vektor által generált 
$\sigma$-algebrát. Azt kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
&&P(U=0, X_{n+1}\in B_1,X_{n+2}\in B_2,\dots|X_1,\dots,X_n) \\
&&\qquad=(1-\pi_n(\mathbf{X}_n)) P_{\vartheta_0}(X_1\in B_1)
P_{\vartheta_0}(X_2\in B_2)\cdots\;,\\
&&P(U=1, X_{n+1}\in B_1,X_{n+2}\in B_2,\dots|X_1,\dots,X_n)\\
&&\qquad=\pi_n(\mathbf{X}_n) P_{\vartheta_1}(X_1\in B_1)
P_{\vartheta_1}(X_2\in B_2)\cdots
\end{eqnarray*}
$B_1,B_2,\dots$ m\'erhet\H{o} halmazok  minden sorozat\'ara.

Ez azt jelenti, hogy minden $n=1,2,\dots$ időpontban a j\"ovőbeli 
$X_{n+1}$, $X_{n+2}$,\dots, valószínűségi változók együttes feltételes 
eloszlása feltéve a múlt\-be\-li $X_1,\dots,X_n$ va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi 
változók értékeit megegyezik az eredeti $X_1,X_2,\dots$ valószínűségi
változók együttes eloszlásával, ha annak definici\'oj\'aban az 
$U=1$ esemény $\pi$  valószínűségét a $\pi_n(\mathbf{X}_n)$ 
feltételes valószínűséggel he\-lyet\-te\-sít\-jük a felt\'eteles
eloszl\'as kisz\'amol\'as\'aban. Ez azt sugallja, hogy az optimális 
stratégia $n$-ik lépésében hasonló eljárást kell folytatni, mint 
a kiinduló lé\-pés\-ben, csak a $\pi$  valószínűséget a 
$\pi_n(\mathbf{X}_n)$ feltételes valószínűséggel kell 
he\-lyet\-te\-sí\-te\-ni. Az alábbi 4.5. lemma fogalmazza meg a 
fenti heurisztikus érvelés pontos jelent\'es\'et \'es  helyességét.

\medskip\noindent
{\bf 4.5. Lemma.} {\it Tekintsük a korábban definiált optimális
d\"ontési eljárásról szól\'o feladatot valamilyen $0<\pi<1$, $c>0$, 
$w_1>0$, $w_2>0$ paraméterekkel és $P_{\vartheta_0}$ és 
$P_{\vartheta_1}$ eloszlásokkal. Tekintsük a (\ref{2}) formulában a  
segitségükkel de\-fi\-ni\-ált $\rho(\pi)$, $0<\pi<1$, függvényt, 
és legyen $\pi'$ és $\pi''$ a $\pi w'=\rho(\pi')$ \'es 
$(1-\pi'')w_2=\rho(\pi'')$ egyenlet megoldása, feltéve, hogy 
van ilyen megoldás. Ha ezen egyenleteknek van megoldása, akkor a 
keresett optimális d\"ontési eljárás a következő. Tekintintsük a 
$\pi_n(\mathbf{X}_n)$, $n=0,1,2,\dots$, feltételes valószínűségek 
sorozatát, és legyen $N$ az a legkisebb index, amelyre  vagy 
$\pi_N(\mathbf{X}_N)\le\pi'$ vagy $\pi_N(\mathbf{X}_N)\ge \pi''$, 
\'es legyen $T=0$, ha $\pi_N(\mathbf{X}_N)\le\pi'$, $T=1$, ha
$\pi_N(\mathbf{X}_N)\ge \pi''$. Ha a fenti egyenleteknek nincs 
megoldása, akkor $N\equiv0$, és $T=0$, ha 
$\pi\le\frac{w_1}{w_1+w_2}$, \'es $T=1$, ha 
$\pi>\frac{w_1}{w_1+w_2}$.}

\medskip
A valószínűségszámításban kidolgozták az optimális megállások
elméletét. A következő problémát vizsgálták. Tekintünk
egy (diszkrét idejű) szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot, és amennyiben
egy adott időpontban a folyamatot megállítjuk, akkor fizetni kell 
egy a meg\-állí\-tás időpontjától és a szto\-chasz\-ti\-kus folyamat 
ezen időpontbeli \'es m\'ultbeli állapotaitól függő  költséget. 
A fel\-adat annak az optimális megállási időnek a megtalálása, 
amelynek vá\-lasz\-tá\-sa esetén költségünk várható értéke 
mi\-ni\-má\-lis. A most tárgyalt fel\-adat te\-kint\-he\-tő 
ilyen tipusú feladatnak, mert a fő prob\-lé\-ma az $N$ megállási 
időpont megtalálása. Az $N$ időpontbeli megálláshoz tartozó jó 
$T$ döntési függvény megtalálása és a felmerülő költség 
meg\-ha\-tá\-ro\-zá\-sa egyszerű.

A most említett elmélet eredményeinek és az itt tárgyalt formulák,
ész\-re\-vé\-te\-lek segítségével be lehet bizonyítani a 4.5. 
lemmát. Erről teszek majd néhány észrevételt, de a részletes 
bizonyítást nem tárgyalom. Viszont ér\-de\-mes a 4.5. lemmában 
definiált $N$ megállási szabályt olyan ekvivalens formában megadni, 
amelyik mutatja e megoldás kapcsolatát a Wald-féle 
va\-ló\-szí\-nű\-ség\-há\-nya\-dos próbával. Az $N$ megállási 
szabály másik megadását a feltételes va\-ló\-szí\-nű\-ség 
kiszámításáról szóló (\ref{3}) formula segítségével tesszük meg. 

A (\ref{3}) formul\'aban defini\'alt $\pi_n(\mathbf{X}_n)$   
fel\'irhat\'o 
$\pi_n(\mathbf{X})=\frac{\pi V_n(\mathbf{X}_n)}
{\pi V_n(\mathbf{X}_n)+(1-\pi)}$ 
alakban is a    
$V_n(\mathbf{X}_n)=\frac{L_{\vartheta_1}(\mathbf{X}_n)}
{L_{\vartheta_0}(\mathbf{X}_n)}$ f\"uggvénnyel. E formula
segítségével  a $\pi_n(\mathbf{X}_n)\le\pi'$ egyenlőtlenség 
úgy írható, hogy $V_n(\mathbf{X}_n)\le\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi'}{1-\pi'}$,
és a $\pi_n(\mathbf{X}_n)\ge\pi''$ egyenlőtlenség úgy írható, 
hogy $V_n(\mathbf{X}_n)\ge\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi''}{1-\pi''}$.
Ez azt jelenti, hogy a 4.5. lemmában a $\pi'$ \'es $\pi''$
sz\'amok seg\'its\'eg\'evel megadott optimális
d\"ontési eljárás megegyezik a Wald-féle valószínűséghányados
próbával az $A=\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi'}{1-\pi'}$ és 
$B=\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi''}{1-\pi''}$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-vá\-lasz\-tás\-sal.

Szükségünk van még egy eredményre, amelyik azt biztosítja, hogy
az optimális döntési eljárásról szóló feladatban a paramétereket
meg tudjuk választani a számunkra megfelelő módon. Ez a könyv
4.6.lemmája. E lemma bizonyításával a könyv nem foglalkozik. Ehelyett
Lehmann E. L. Testing statistical hypotheses, John Wiley and Sons,
New York--London 1959., könyv 3.12. paragrafusára hívatkozik.

\medskip\noindent
{\bf 4.6. Lemma.} {\it Legyen adva egy $0<\pi<1$ szám. Minden olyan
 $\pi'$, $\pi''$ számpárhoz, amelyre $0<\pi'<\pi<\pi''<1$, léteznek
olyan $c>0$, $w_1>0$, $w_2>0$, $w_1+w_2=1$ számok, hogy a (\ref{2}) 
formulában a  segitségükkel de\-fi\-ni\-ált $\rho(\pi)$, $0<\pi<1$, 
függvényre és ezekre a $\pi'$ és $\pi''$ számokra teljesülnek a 
$\pi w'=\rho(\pi')$ \'es $(1-\pi'')w_2=\rho(\pi'')$ egyenletek.}

\medskip
A 4.4$'$. tételt nem nehéz belátni a 4.5. és 4.6. lemmák segítségével.
Legyenek adva valamilyen $0<A<1<B<\infty$  és $0<\pi<1$ számok.
Tudunk választani olyan $\pi'$ és $\pi''$ sz\'amokat, 
$0<\pi'<\pi<\pi''<1$, amelyekre $A=\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi'}{1-\pi'}$ 
és $B=\frac{1-\pi}\pi\frac{\pi''}{1-\pi''}$. Válasszunk olyan
$c>0$, $w_1>0$, $w_2>0$, $w_1+w_2=1$ számokat, amelyekre ezek a
$\pi'$ és $\pi''$ számok teljesítik a 4.6. lemmában megfogalmazott
egyenleteket. Ezután alkalmazzuk a 4.5. lemmát ezekkel a 
$0<\pi<1$, $c>0$, $w_1>0$ és $w_2>0$ paraméterekkel. Az így kapott
optimális dóntési eljárás teljesíti a 4.4$'$. tételt.

\medskip 
Végül teszek néhány megjegyzést a 4.5. lemma bizonyításáról. A lemma
felhasználja  a következő gondolatot. Ha eljutottunk egy állapotba
va\-la\-há\-nya\-dik lépésben, akkor el kell dönteni, figyelembe 
véve az eddig összegyüjt\"ott információkat, hogy mit érdemes csinálni.
\'Erdemes-e azonnal leállni és de\-fi\-ni\-\'al\-ni az optimális 
$T$ döntésf\"uggv\'enyt, vagy el\H{o}ny\"osebb-e egy új 
min\-ta\-ele\-met kérni, és azután annak figyelembe vételével 
keresni az optimális stra\-té\-gi\-át a kö\-vet\-ke\-ző lépésben. 
Az optimális stratégia ezen k\'et lehet\H{o}s\'eg  k\"oz\"ul a 
jobbik v\'alaszt\'asa, \'es annak feltételes várható értéke e 
két stratégia feltételes várható értékének a minimuma. Meg 
kívánjuk fogalmazni ezt az állítást pontosabban is.

Ezen  \'all\'it\'as pontos megfogalmazása lehetséges, de az új 
fogalmak be\-ve\-ze\-tés\-ét és azokkal kapcsolatos eredmények 
bizonyítását igényli. A nulladik lé\-pés\-ben ezt az elvet 
alkalmaztuk a (\ref{2}) formulában bevezetett $\rho(\pi)$ 
függvény se\-gít\-sé\-gé\-vel. Ez a függvény várható értékek 
infimuma volt, és az infimumban több mint megszámlálható elem 
szerepelt. A későbbi lépésekben hasonló definiciót kellene bevezetni, 
de ott megszámlálhatónál több feltételes várható érték infimumát 
kellene venni. Ez problematikus. E problémát a lényeges szuprémum 
és lényeges infimum bevezetésével és egy velük kapcsolatos tétel 
bi\-zo\-nyí\-tá\-sá\-val lehet megoldani. Ebben a definicióban 
azt használjuk ki, hogy két va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változót, 
amelyek egy va\-ló\-szí\-nű\-ség\-gel megegyeznek azonosnak 
tekintünk, és akkor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó nagyobb, 
mint egy másik, ha egy valószinűséggel nagyobb n\'ala.

\medskip\noindent
{\bf Lényeges szuprémum és lényeges infimum definiciója.}
{\it Legyen adva $\xi_t$, $t\in T$, valószínűségi változók halmaza
egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőn, 
 ahol $T$ tetszőleges indexhalmaz. Akkor mondjuk, hogy az
$\eta$ valószínűségi változó a  $\xi_t$, $t\in T$, valószínűségi
változók lényeges szuprémuma, (lényeges infimuma), ha 
$P(\eta\ge\xi_t)=1$, ($P(\eta\le\xi_t)=1$), minden $t\in T$ indexre,
és ha $P(\eta'\ge\xi_t)=1$, ($P(\eta'\le\xi_t)=1$), minden $t\in T$ 
indexre, valamely $\eta'$ valószínűségi változóra, akkor 
$P(\eta'\ge\eta)=1$, ($P(\eta'\le\eta)=1$).}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a lényeges szuprémum és lényeges infimum
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen adva $\xi_t$, $t\in T$, 
valószínűségi változók halmaza egy $(\Omega,{\cal A},P)$ 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi mezőn, amelyek  értékeiket a  $\pm\infty$
 pontokkal kibővített számegyenesen veszik fel. Létezik a $\xi_t$, 
$t\in T$, valószínűségi változóknak $\eta$ lényeges 
szup\-ré\-mu\-ma, (lényeges infimuma), és ez az $\eta$ lényeges 
szuprémum, (lényeges in\-fi\-mum), előállítható a következő 
módon. Létezik olyan $T_0=\{t_1,t_2,\dots\}\subset T$
meg\-szám\-lál\-ha\-tó halmaz, amelyre $\eta=\sup_{t\in T_0}\xi_t$
($\eta=\inf_{t\in T_0}\xi_t$).}

\medskip
Megadom azt az eredm\'enyt az optim\'alis meg\'all\'asi feladatok
meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-r\'ol, amely seg\'it a 4.5. lemma
bizony\'it\'as\'aban. Ebben infimum helyett szup\-r\'e\-mu\-mot 
keres\"unk, de $-1$-gyel val\'o szorz\'assal a feladat 
visszavezethet\H{o} ilyen prob\-l\'e\-m\'a\-ra.

A feladat a k\"ovetkez\H{o}: Legyen adva egy $(\xi_n,{\cal F}_n)$, 
$n=0,1,2,\dots$, rendszer egy $(\Omega,{\cal A},P)$ 
val\'osz\'in\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ahol 
${\cal F}_0\subset{\cal F}_1\subset{\cal F}_2\subset\cdots\subset{\cal A}$
n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebr\'ak sorozata, $\xi_n$ ${\cal F}_n$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, jelent\'ese
a nye\-re\-m\'eny \'ert\'eke az $n$-ik l\'ep\'esben. Olyan $\tau$ 
meg\'all\'asi szab\'alyt keres\"unk erre a n\"ovekv\H{o} 
$\sigma$-algebra rendszerre, amelyre az $E\xi_\tau$ nyerem\'eny
a lehet\H{o} leg\-na\-gyobb. Feltessz\"uk, hogy $E\min(\xi_n,0)>-\infty$
minden $n=0,1,2,\dots$ indexre. Olyan rekurzi\'os azonoss\'agot
keres\"unk, amely kapcsolatot teremt azon optim\'alis meg\'all\'asi 
szab\'alyok nyerem\'enye k\"oz\"ott, amelyekben csak az $n$-ik \'es 
azok k\"oz\"ott, amelyekben csak az $n+1$-ik l\'ep\'es ut\'an 
\'allhatunk meg. 

Megadunk egy ilyen rekurzi\'os formul\'at, amelyik nagyon hasznos 
a vizs\-g\'a\-la\-tok\-ban. Annak \'er\-de\-k\'e\-ben, hogy ezt 
megfogalmazzuk bevezetj\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} 
je\-l\"o\-l\'e\-se\-ket.
$$ 
C_n=\{\tau\colon\;\tau \textrm{ megállási szabály, }
P(\tau\ge n)=1, \; E\xi_\tau<\infty\}, \quad n=0,1,2,\dots,
$$
$$
\gamma_n=\textrm{ess sup}_{\tau\in C_n} E(\xi_\tau|{\cal F}_n),
$$
ahol ess sup l\'enyeges szupr\'emumot jel\"ol, \'es
$$
v_n=\sup_{\tau\in C_n} E\xi_\tau.
$$
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Az optim\'alis meg\'all\'as rekurzi\'os tulajdons\'agair\'ol 
sz\'ol\'o t\'etel.}
\begin{eqnarray*}
\gamma_n&=&\max(\xi_n, E(\gamma_{n+1}|{\cal F}_n)), \quad n=0,1,2,\dots, \\
v_n&=&E\gamma_n, \quad n=0,1,2,\dots.
\end{eqnarray*}

\medskip
A 4.5. lemm\'aban ezt az eredm\'enyt a k\"ovetkez\H{o} szereposzt\'assal
alkalmazzuk. ${\cal F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$, 
${\cal F}_n=\sigma(X_1,\dots,X_n)$, $n=1,2,\dots$, \'es 
$$
\xi_0=\min(w_1\pi,w_2(1-\pi)),
$$
$$
\xi_n=-cn-\min_{A,B}\left(w_1(P_{\vartheta_0}((X_1,\dots,X_n)\in A)
+w_2(P_{\vartheta_1}((X_1,\dots,X_n)\in B)\right),
$$
$n=1,2,\dots$, ahol a minimum az olyan $(A,B)$ halmazp\'arokra 
v\'etetik fel, amelyek az $\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)$ v\'eletlen 
vektor \'ert\'ekk\'eszlet\'enek ${\cal F}_n$ m\'erhet\H{o} partici\'oi.
Erre a $(\xi_n,{\cal F}_n)$, $n=0,1,2,\dots$ rendszerre keres\"unk
maxim\'alis nye\-re\-m\'enyt biztos\'it\'o $\tau\in C_0$ meg\'all\'asi 
szab\'alyt. 

A $\xi_n$, $n=1,2,\dots$ val\'osz\'in\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\'oj\'at egyszer\H{u}bb alakra lehet hozni. Be lehet 
l\'atni, hogy
$$
\xi_n=-cn-\min[w_1\pi_n(\mathbf{X}_n),w_2(1-\pi_n(\mathbf{X}_n))],
\quad n=1,2,\dots.
$$

\medskip
A tov\'abbiakban $X_n=X_n(\pi)$, $\mathbf{X}_n=\mathbf{X}_n(\pi)$, 
$\gamma_n=\gamma_n(\pi)$, $v_n=v_n(\pi)$ jel\"ol\'est fogunk 
haszn\'alni akkor, ha azt a jegyzetben konstru\'alt modellt 
te\-kint\-j\"uk, amelyikben $P(U=0)=1-\pi$, $P(U=1)=\pi$. Tekinteni
fogjuk ezt a modellt minden $0<\pi<1$ param\'eterre. Legyen
tov\'abb\'a ${\cal F}_n=\sigma(\mathbf{X}_n(\pi))$.

Ezzel a jel\"ol\'essel $\rho(\pi)=-v_1(\pi)$ a (\ref{2}) 
formul\'aban defini\'alt $\rho(\pi)$ f\"ugg\-v\'ennyel. 
Be lehet l\'atni, felhaszn\'alva a 
$\pi_n(\mathbf{X}_n(\pi)),X_{n+1}(\pi),X_{n+2}(\pi),\dots)$ 
vektornak a $\sigma(\mathbf{X}_n)$ $\sigma$-algebra szerinti 
felt\'eteles eloszl\'as\'ar\'ol megfogalmazott \'all\'it\'ast, hogy 
\begin{equation}
E(\gamma_{n+1}(\mathbf{X}_{n+1}(\pi))|{\cal F}_n)
=-\rho(\pi_n(\mathbf{X}_n(\pi))-c(n-1). \label4
\end{equation} 
Spe\-ci\-\'ali\-san, $E(\gamma_{n+1}(\mathbf{X}_{n+1}(\pi))|{\cal F}_n)$ a 
$\pi_n(\mathbf{X}_n(\pi))$ val\'osz\'in\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o f\"ugg\-v\'e\-nye.

Legyen $\pi'$ és $\pi''$ a $\pi w'=\rho(\pi')$ \'es 
$(1-\pi'')w_2=\rho(\pi'')$ egyenlet megoldása. Foglalkozzunk
egyel\H{o}re csak azzal az esettel, amikor 
ezen egyenleteknek van megoldása. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\tau_0$ meg\'all\'asi szab\'alyt.
$$
\tau_0(\omega)=\min( n\colon\; n\ge0,\;  \pi_n(\pi)(\omega)\le\pi'
\textrm{ vagy } \pi_n(\pi)(\omega)\ge \pi'').
$$
Tudjuk, hogy $\tau_0\in C_0$. Be akarjuk l\'atni, hogy $\tau_0$
az optim\'alis meg\'all\'asi szab\'aly, azaz $v_0=E\tau_0$.  

Vezess\"uk be a $D_n=\{\omega\colon\;\tau_0(\omega)=n\}$ \'es 
$F_n=\{\omega\colon\; \tau_0(\omega)\ge n\}$,
halmazokat, $0\le n<\infty$. Azt \'all\'itom, hogy
$$
\gamma_m (\omega)I_{F_m}(\omega)
=E(\xi_{\tau_0}(\omega)(\pi)I_{F_m}(\omega)|{\cal F}_m)(\omega), 
\quad 0\le m<\infty.
$$ 

Ezen azonoss\'ag bizony\'it\'as\'aban felhaszn\'aljuk
a (\ref{4}) formul\'at, az optim\'alis meg\'all\'as rekurzi\'os
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etelt \'es a $\rho(\cdot)$
f\"uggv\'eny (\ref{2}) de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'at, illetve annak 
tulajdons\'agait. Ezek seg\'its\'eg\'evel be lehet l\'atni, hogy
$\gamma_n(\omega)=\xi_n(\omega)$ a $D_n$ halmazon, \'es 
$\gamma_n(\omega)=E(\gamma_{n+1}|{\cal F}_n)(\omega)$ az
$F_{n+1}$ halmazon. (Az $F_{n+1}$ halmaz ${\cal F}_n$ m\'erhet\H{o}.)
Tov\'abb\'a 
$$
\gamma_m(\omega)I_{D_n}(\omega)
=E(\xi_{n}|{\cal F}_m)(\omega)I_{D_n}(\omega), \quad\textrm{ha }n\ge m.
$$ 
Ezeket az egyenleteket \"osszeadva $n=m,m+1,\dots$-re kapjuk, hogy
$$
\gamma_m(\omega)I_{F_m}(\omega)
=E(\xi_{\tau_0}(\omega)|{\cal F}_m)(\omega)I_{F_m}(\omega) 
=E(\xi_{\tau_0}(\omega)I_{F_m}(\omega)|{\cal F}_m)(\omega),
$$
ahogy \'all\'itottam. A kapott azonoss\'agot alkalmazva $m=0$-ra, 
\'es v\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve kapjuk a 4.5 lemma
\'all\'it\'as\'at abban az esetben, ha a  $\pi w'=\rho(\pi')$ \'es 
$(1-\pi'')w_2=\rho(\pi'')$ egyenleteknek van megoldása. Ugyanis
azt kapjuk, hogy
$v_0=E\gamma_0=E\xi_{\tau_0}$. (Megjegyzem,hogy $F_0=\Omega$.)

Az optim\'alis $T$ d\"ont\'esi f\"uggv\'eny v\'alaszt\'asa, 
(amelynek v\'alaszt\'as\'aval a nyerem\'enyf\"uggv\'eny\"unk
$\xi_n$, $n=0,1,2,\dots$) viszonylag egyszer\H{u}. 
$T(\omega)=T_n(\omega)=0$, ha $\tau_0(\omega)=n$, \'es 
$\pi_n(\omega)\le \pi'$. M\'asr\'eszt $T(\omega)=T_n(\omega)=1$,
ha $\tau_0(\omega)=n$, \'es $\pi_n(\omega)\ge \pi''$.

Ha a fenti egyenletnek nincs megold\'asa akkor $N\equiv0$ 
az optim\'alis meg\-\'al\-l\'a\-si sza\-b\'aly, \'es szint\'en 
a 4.5 lemm\'aban megfogalmazott strat\'egi\'at kell alkalmazni. 
Ennek az esetnek a vizsg\'alata egyszer\H{u}bb, (\'es val\'oj\'aban
erre az eredm\'enyre nincs sz\"uks\'eg\"unk). 
%Ennek az esetnek a t\'argyal\'as\'at elhagyom.






\end{document}
