\magnification=\magstep1
\input amstex
\TagsOnRight
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\medskip\noindent
{\bf Talagrand elm\'elete arr\'ol, hogyan becs\"ulj\"uk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozok maximum\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, \'es az elm\'elet alkalmaz\'asa
az Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ara.}

\medskip\noindent
{\it A kiindul\'o probl\'ema:}

\medskip\noindent
Legyenek $\xi_t$, $t\in T$, (egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_t=0$, \'es
$E(\xi_s-\xi_t)^2=d(s,t)^2$, $s,t\in T$.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le \text{j\'o becsl\'es a $d(\cdot,\cdot)$
mennyis\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel\.}
$$
A feladat vizsg\'alat\'aban a norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"ovetkez\H{o} 
tulajdons\'ag\'at haszn\'altuk fel:
$$
P(|\xi_t-\xi_s|>u)\le 2e^{-u^2/2d^2(s,t)} \quad
\text{minden }s,t\in T\text{ indexre \'es $u>0$ sz\'amra.} \tag1
$$

\noindent
\'Altal\'anosabb probl\'ema: Legyenek
$\xi_t$, $t\in T$, \'altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyekre
$$
P(|\xi_t-\xi_s|>u)\le h(u,d_1(s,t),d_2(s,t)),
\quad \text{minden } s,t\in T,
$$
alkalmas $d_1(\cdot,\cdot)$, \'es $d_2(\cdot,\cdot)$ metrik\'akkal
a $T$ t\'eren \'es valamely $h(\cdot,\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.

\medskip\noindent
Feladat:
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le \text{j\'o becsl\'es a $d_1(\cdot,\cdot)$
\'es $d_2(\cdot,\cdot)$ mennyis\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel\.}
$$

\noindent
Fontos speci\'alis eset: Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu$ 
eloszl\'assal, \'es legyen $\Cal F$ a
(korl\'atos) f\"uggv\'enyek alkalmas oszt\'alya, amelynek
$f\in\Cal F$ elemeire $Ef(\xi_1)=0$. Vezess\"uk be a
$S_n(f)=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n f(\xi_j)$, $f\in\Cal F$, 
\"osszegeket.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}
$$
E\sup_{f\in \Cal F}S_n(f)\le \text{j\'o becsl\'es.}
$$
E feladat vizsg\'alat\'aban alkalmazhat\'o a Bernstein 
egyenl\H{o}tlens\'eg, amely szerint:
$$
P(|S_n(f)-S_n(g)|>u)=
P\(\left|\frac1{\sqrt n}\sum_{j=1}^n [f(\xi_j)-g(\xi_j)]\right|>u\)\le
h_n(u,d_1(f,g),d_2(f,g)),
$$
k\'es\H{o}bb megadott $h_n(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel, ahol
$d_1^2(f,g)=E(f(\xi_1)-g(\xi_1))^2=\int [f(x)-g(x)]^2\mu(\,dx)$,
\'es $d_2(f,g)=\supp_x |f(x)-g(x)|$.

\medskip\noindent
Ilyen tipus\'u becsl\'esek egy alkalmaz\'asa:

\medskip\noindent
{\it Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etelben vizsg\'alt probl\'ema.}

\medskip\noindent
Le\-gyen adva $N$~f\"ug\-get\-len, egyenletes
eloszl\'as\'u $X_1,\dots,X_N$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o a $D=[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten, valamint
$N$~egyenletesen elhelyezett $Y_1,\dots,Y_N$ pont ugyan\-ezen a
$D$ egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten. (Az $Y_l$ pontok egyenletes
elhelyezked\'ese a $D$ egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten azt jelenti,
hogy a $D$ egys\'egn\'egyzet felbonthat\'o  $N$ darab $1/N$
ter\"ulet\H{u} k\"oz\"os bels\H{o} pontot nem tartalmaz\'o, nem
elfajul\'o t\'eglalap uni\'oj\'ara \'ugy, hogy mindegyik\"uk
pontosan egy $Y_l$ pontot tartalmaz. Egy t\'eglalap nem elfajul\'o,
ha befog\'oinak ar\'anya $1/10$ \'es $10$ k\"oz\"ott van.)
\'Altal\'anosabban egy $Y_1,\dots,Y_N$ pontelhelyez\'est az
egys\'egn\'egyzeten egyenletesnek nevez\"unk, ha mindegyik pontnak
$\frac1N$ s\'ulyt adva, l\'etezik e t\"omegeloszl\'asnak olyan
sz\'all\'{\i}t\'asa, amelyre az \'atsz\'all\'{\i}tott t\"omeg
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es a teljes
t\"omegsz\'all\'{\i}t\'as hossz\'anak a v\'arhat\'o 
\'ert\'eke kisebb, mint $C{\sqrt N}$ alkalmas fix $C>0$ 
univerz\'alis sz\'ammal. Val\'oj\'aban az egyenletes 
elhelyez\'esnek ezt a tulajdons\'ag\'at haszn\'aljuk fel.

A (v\'eletlen) $X_l$, $1\le l\le N$, pontokat \'ugy akarjuk
\'atindexelni az $1,\dots,N$ pontok egy $(\pi(1),\dots,\pi(N))$
permut\'aci\'oja seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a
$\summ_{l=1}^N d(X_{\pi(l)},Y_l)$ t\'avols\'ag\"osszeg, ahol
$d(X_{\pi(l)},Y_l)=|X_{\pi(l)}-Y_l|$ az $X_{\pi(l)}$ \'es $Y_l$
pontok euklideszi t\'avols\'aga, min\'el kisebb legyen. Milyen 
kicsiv\'e tehet\H{o} az
$E\(\summ_{l=1}^N d(X_{\pi(l)},Y_l)\)$  v\'arhat\'o \'ert\'ek
al\-kal\-mas (v\'eletlen) permut\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel?

\medskip\noindent
{\bf Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel.} {\it Alkalmas
(v\'eletlen, pontosabban az $X_1,\dots,X_N$ pontok hely\'et\H{o}l
f\"ugg\H{o} $\pi(\cdot)$) permut\'aci\'oval
$$
E\(\summ_{l=1}^N d(X_{\pi(l)},Y_l)\) \le L\sqrt{N\log N}
$$
egy univerz\'alis $L$ konstanssal.}

\medskip
Talagrand ezt az eredm\'enyt az \'altala kidolgozott elm\'elet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tja. El\H{o}sz\"or
megmutatja egy kombinatorikai mini-max t\'etelnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa
k\"ovetkezik az
$$
E\sup_{f\in\Cal C}\left|\summ_{l=1}^N(f(X_l)-\int f(u)\lambda(\,du))\right|
\le L \sqrt{N\log N} \tag2
$$
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l, ahol $\Cal C$ a $D$ egys\'egn\'egyzeten
defini\'alt Lipschitz 1 f\"uggv\'enyek halmaza. (Egy $f(x)$
f\"uggv\'eny Lipschitz~1 f\"uggv\'eny egy $(T,d)$ metrikus t\'eren,
ha $|f(x)-f(y)|\le d(x,y)$ minden $x,y\in T$ pontp\'arra.) Azut\'an ezt
az egyenl\H{o}tlens\'eget bizony\'{\i}tja.

\medskip
Az \'atfogalmaz\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges
kombinatorikai mini-max t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf Egy kombinatorikai mini-max t\'etel.} {\it Legyen $C=(c_{i,j})$,
$1\le i,j\le N$, egy $N\times N$-es m\'atrix, \'es vezess\"uk be az
$M(C)=\inf\summ_{i=1}^N c_{i,\pi(i)}$ \"osszeget, ahol az infimumot az
$\{1,\dots,N\}$ halmaz \"osszes lehets\'eges $(\pi(1),\dots,\pi(N))$
permut\'aci\'oj\'ara vessz\"uk. Ekkor
$$
M(C)=\sup \sum_{1\le i\le N}(w_i+w_i'),
$$
ahol a szupr\'emumot az \"osszes olyan $(w_1,\dots,w_N)$ \'es
$(w_1'\dots,w'_N)$ sorozatp\'arra vessz\"uk, amelyre
$$
w_i+w_j'\le c_{i,j} \quad \text{minden } 1\le i,j\le N \text {indexre.}
\tag3
$$
}

\medskip\noindent
{\it A Talagrand-f\'ele redukci\'o indokl\'asa:}

\medskip\noindent
Legyen $f(x)=f(x|w_i,w'_j,\;1\le i,j\le N)
=\min\limits_{1\le j\le N}[d(x,Y_j)-w_j']$,
minden olyan $w_i,\,w'_j$, $1\le i,j\le N$, sorozatp\'arra, amely
teljes\'{\i}ti a (3)~rel\'aci\'ot a $c(i,j)=d(X_i,Y_j)$,
$1\le i,j\le N$, (v\'eletlen) m\'atrix-szal. Ekkor $f(x)$
Lipschitz~1 f\"uggv\'eny, \'es
$$
\align
&\inf_\pi \sum_{1\le l\le N} d(X_l,Y_{\pi(l)})
\le \sup\Sb w_i,w_i' \text{teljes\'{\i}ti (3)-t} \\
\text{a }c(ij)=d(X_i,Y_j) \text{ m\'atrix-szal} \endSb
 \sum_{1\le i\le N}(w_i+w_i')\\
&\qquad\le \sup_{f\in\Cal C}\sum_{1\le i\le N}(f(X_i)-f(Y_i))  \\
&\qquad \le
\sup_{f\in\Cal C}\left|\summ_{j=1}^N(f(X_j)-\int f(u)\lambda(\,du))\right|
+\sup_{f\in\Cal C}\left|\summ_{j=1}^N(f(Y_j)-\int f(u)\lambda(\,du))\right|.
\endalign
$$
(Val\'oj\'aban el\'eg csak az $f(x|w_i,w'_j,\;1\le i,j\le N)$
alak\'u f\"uggv\'enyek szup\-r\'e\-mu\-m\'at venni az $f\in\Cal C$
f\"uggv\'enyoszt\'aly helyett. A fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg m\'asodik sora a $w_i\le f(X_i|w_i,w'_j)$
\'es $w_j'\le -f(Y_j|w_i,w_j')$ rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik.)
V\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve \'es az
$Y_j$ sorozat egyenletes elhelyezked\'es\'et kihaszn\'alva kapjuk a
k\"ovetez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eget, amely biztos\'{\i}tja a 
k\'{\i}v\'ant redukci\'ot.
$$
E\inf_\pi \sum_{1\le l\le N} d(X_l,Y_{\pi(l)})\le
E\sup_{f\in\Cal C}\left|\summ_{j=1}^N(f(X_j)-\int f(u)\lambda(\,du))\right|
+O(\sqrt N).
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A redukci\'ot biztos\'{\i}t\'o elv bizony\'{\i}t\'asa
megjelenik m\'ar Kantorovics \'es Wasser\-stein munk\'aiban.

\medskip\noindent
{\it A Gauss v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o maximum probl\'ema vizsg\'alata.}

Term\'eszetes sk\'al\'az\'as:
$$
N_0=1,\; N_n=2^{2^n},\quad n=1,2,\dots
$$
Legyen \hfill\break
$d(s,t)=\[E(\xi_s-\xi_t)^2\]^{1/2}$, $s,t\in T$, a
(term\'eszetes) metrika a $T$ t\'eren, \hfill\break
$d(t,A)=\inff_{s\in A}d(s,t)$, $t\in T$, $A\subset T$, a $t$ pont
t\'avols\'aga az $A$ halmazt\'ol, \hfill\break
$\Delta(A)=\supp_{s,t\in A}d(s,t)$ az $A$ halmaz \'atm\'er\H{o}je.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l.} {\it Legyen $T$ v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz, $T_n$, $n=0,1,\dots$, a $T$ halmaz 
olyan r\'eszhalmazainak sorozata, amelyekre $|T_0|=1$, \'es
$|T_n|\le N_n=2^{2^n}$, $n=1,2,\dots$, ahol $|A|$ jel\"oli
egy $A$ halmaz elemeinek sz\'am\'at. Ekkor
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le L\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2} d(t,T_n)
$$
alkalmas univerz\'alis $L$ konstanssal.}

Ez a becsl\'es Dudley egy kor\'abbi eredm\'eny\'enek a
jav\'{\i}t\'asa, \'es \'eles becsl\'es. Megfogalmazom k\'et
k\"ovetkezm\'eny\'et. Az els\H{o} k\"ovetkezm\'eny val\'oj\'aban
a t\'etel ekvivalens \'atfogalmaz\'asa, a m\'asodik
Dudley egy kor\'abbi eredm\'eny\'evel ekvivalens. Ezek
meg\-fo\-gal\-ma\-z\'a\-sa \'er\-de\-k\'e\-ben bevezetem a
k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Megengedett partici\'osorozat definici\'oja.} {\it
$\Cal A_0\subset\Cal A_1\subset\cdots$ a $T$ halmaz megengedett
partici\'osorozata, ha $\Cal A_{n+1}$ az $\Cal A_n$ partici\'o
finom\'{\i}t\'asa minden $n$-re, \'es $\Cal A_n$ elemsz\'ama nem
na\-gyobb, mint $N_n$.}

Adva egy $\Cal A_n$ (megengedett) partici\'osorozat \'es $t\in T$
pont, jel\"olje $A_n(t)$ az $\Cal A_n$ partici\'o $t$ pontot
tartalmaz\'o elem\'et. A k\"ovetkez\H{o} mennyis\'egek
bevezet\'ese hasznosnak bizonyult.

$$
\gamma_2(T,d)
=\inf \sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2}\Delta(A_n(t)),
$$
\'es \'altal\'anosabban minden $\alpha>0$ sz\'amra
$$
\gamma_\alpha(T,d)=\inf\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty
2^{n/\alpha}\Delta(A_n(t)),
$$
ahol az infimum az \"osszes $\Cal A_n$, $n=0,1,2,\dots$,
megengedett partici\'osorozatra v\'etetik.

\medskip\noindent
{\bf Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel egy v\'altozata.} {\it
Legyen $T$ v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'o halmaz.
Ekkor
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le L\gamma_2(T,d)
$$
alkalmas univerz\'alis $L$ konstanssal.}

Igaz e t\'etel al\'abbi megford\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf Als\'o becsl\'es Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l.} {\it Legyen $T$ v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz. Ekkor
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\ge \frac1L\gamma_2(T,d)
$$
alkalmas univerz\'alis $L>0$ konstanssal.}

A Dudley eredm\'eny megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk
be a k\"ovetkez\H{o} mennyi\-s\'e\-get.
$$
e_n(T)=e_n(T,d)=\inf \sup_{t\in T} d(t,T_n) \tag4
$$
ahol az infimum $T$ \"osszes legfeljebb $N_n$ elem\H{u}
($N_n=2^{2^n}$, ha $n\ge1$, $N_0=1$) $T_n$ r\'eszhalmaz\'ara 
v\'etetik. (Azaz azt a lehet\H{o} legkisebb $\e>0$ sz\'amot 
keress\"uk, amelyre a $T$ halmaz lefedhet\H{o} legfeljebb 
$N_n$ darab $\e$ sugar\'u g\"ombbel. A $T_n$ halmaz a fed\'est
biztos\'{\i}t\'o g\"omb\"ok k\"oz\'eppontjainak a halmaza.)

\medskip\noindent
{\bf Dudley becsl\'ese Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l.}
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le L\summ_{n=0}^\infty 2^{n/2}e_n(T).
$$

\medskip
A fels\H{o} becsl\'esek bizony\'{\i}t\'asa val\'oj\'aban csak 
azt haszn\'alja fel, hogy norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
(1)~egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. Hasonl\'oan 
bizony\'{\i}that\'o ennek egy v\'altozata, amely a Bernstein 
egyenl\H{o}tlens\'eggel egy\"utt becsl\'est ad f\"uggetlen, 
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
\"osszegeib\H{o}l \'all\'o v\'eletlen mennyi\-s\'e\-gek 
szup\-r\'e\-mu\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek
becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen adva egy $T$,
megsz\'aml\'alhat\'o sok  elemb\H{o}l \'all\'o t\'eren k\'et
$\bar d_2(\cdot,\cdot)$ \'es $\bar d_1(\cdot,\cdot)$ t\'avols\'ag,
valamint $X_t$, $t\in T$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
csal\'adja, amelyre $EX_t=0$ minden $t\in T$ pontra, l\'etezik
olyan $t_0\in T$ pont, amelyre $X_{t_0}\equiv0$, \'es
$$
P(|X_t-X_s|>u)\le
2\exp\left\{-\min\(\frac{u^2}{\bar d_2(s,t)^2},\frac u{\bar d_1(s,t)}\)\right\}
\tag5
$$
minden $s,t\in T$ elemp\'arra \'es $u>0$ sz\'amra. Ekkor
$$
E\sup_{t\in T}E|X_t|\le L\(\gamma_1(T,\bar d_1)+\gamma_2(T,\bar d_2)\).
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Bernstein egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Legyenek $Y_1,Y_2,\dots$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$EY_j=0$, $|Y_j|\le U$ valamilyen $U$ sz\'ammal minden $j$ indexre.
Ekkor minden $v>0$ sz\'amra
$$
P\(\left|\sum_{j\ge1} Y_j\right|>v\)\le
2\exp\left\{-\min\(\frac{v^2}{4\summ_{j\ge1}EY^2_j},\frac v{2U}\)\right\}.
$$
}

\medskip
A Bernstein egyenl\H{o}tlens\'eg speci\'alisan lehet\H{o}v\'e
teszi az el\H{o}tte kimondott t\'etel al\-kal\-ma\-z\'a\-s\'at a
k\"ovetkez\H{o} esetben. Legyen adva $N$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u $Y_1,\dots,Y_N$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\mu$ eloszl\'assal, \'es korl\'atos f\"uggv\'enyek
egy (megsz\'aml\'alhat\'o) $\Cal F$ oszt\'alya, $0\in \Cal F$,
amelynek elemeire $\int f\,d\mu=0$ minden $f\in F$-re. Vezess\"uk
be az $S_N(f)=\frac1{\sqrt N}\summ_{j=1}^N f(Y_j)$, $f\in\Cal F$,
mennyis\'egeket. Ha $\Cal F$ j\'atssza a $T$ halmaz szerep\'et,
akkor az (5) formula teljes\"ul $\bar d_2=2d_2$ \'es
$\bar d_1=\frac{2d_\infty}{\sqrt N}$ v\'alaszt\'assal, ahol $d_2$
\'es $d_\infty$ az $L_2$ illetve az $L_\infty$ norma \'altal
defini\'alt t\'avols\'ag az $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'erben.
Ez\'ert \'erv\'enyes a fenti k\'et eredm\'enynek az al\'abbi
k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb defini\'alt
$Y_1,\dots,Y_N$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $\Cal F$ 
f\"uggv\'enyoszt\'alyt, valamint $d_2$ \'es  $d_\infty$ metrik\'akat. 
Legyen $S_N(\Cal F)=\supp_{f\in\Cal F}S_N(f)$. Ekkor
$$
ES_N(\Cal F)\le L
\(\gamma_2(\Cal F,d_2)+\frac1{\sqrt N}\gamma_1(\Cal F,d_\infty)\) \tag6
$$
alkalmas univerz\'alis $L>0$ konstanssal.}

\medskip\noindent
{\it A Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Feltehetj\"uk, hogy a $T$ halmaz v\'eges, a tekintett
$T_0, T_1,\dots,T_n$ sorozatra $T_n=T$ alkalmas $n$ index-szel,
\'es $T_0=\{t_0\}$ olyan, hogy $\xi_{t_0}\equiv0$. (Ez ut\'obbi
feltev\'est az\'ert tehetj\"uk, mert $E\supp_{t\in T}\xi_t
=E\supp_{t\in T}\xi_t-E\xi_{t_0}=E\supp_{t\in T}(\xi_t-\xi_{t_0})$,
\'es $d^2(s,t)=E(\xi_s-\xi_t)^2
=E[(\xi_s-\xi_{t_0})-(\xi_t-\xi_{t_0})]^2$.) Legyen
$X=\supp_{t\in T}\xi_t$. Ekkor $P(X\ge0)=1$, \'es 
$EX=-\int_0^\infty vdP(X\ge v)=\int_0^\infty
P(X\ge v)\,dv$. Ez\'ert a $P(X\ge v)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek j\'o
becsl\'es\'ere van sz\"uks\'eg\"unk.

Minden $t\in T$ pontra \'es $0\le k\le n$ sz\'amra defini\'aljuk
azt a $t_{\pi(k)}\in T_k$ pontot, amelyre
$d(t,t_{\pi(k)})=\min\limits_{s\in T_k} d(t,s)$. Ekkor
$\xi_t=\summ_{k=1}^n(\xi_{t_{\pi(k)}}-\xi_{t_{\pi(k-1)}})$. Egy
r\"ogz\'{\i}tett $u>0$ sz\'amra legyen
$$
\Omega_k(u)=\{\oo\colon\; |\xi_{t_{\pi(k)}}(\oo)-\xi_{t_{\pi(k-1)}}(\oo)|
< u2^{k/2} d(t_{\pi(k)},t_{\pi(k-1)})
\text{ minden }t\in T\text{ pontra.}\},
$$
$1\le k\le n$, \'es $\Omega(u)=\bigcapp_{k=1}^n \Omega_k(u)$. Ekkor
$P(\Omega\setminus\Omega_k(u))\le N_kN_{k-1}\cdot 2e^{-2^ku^2/2}$,
\'es minden $u\ge2$ sz\'amra
$P(\Omega\setminus\Omega(u))\le \summ_{k=1}^n 2^{3/2\cdot 2^k}\cdot
2e^{-u^2/2}e^{-2(2^k-1)}\le 4e^{-u^2/2}$. M\'asr\'eszt minden
$\oo\in\Omega(u)$ elemi esem\'enyre $\supp_{t\in T}\xi_t(\oo)\le uS$,
ahol
$$
S=\supp_{t\in T}\summ_{k\ge1} 2^{k/2}d(t_{\pi(k)},t_{\pi(k-1)}).
$$
Innen $P\(\frac XS\ge u\)\le4e^{-u^2/2}$, ha $u\ge2$. M\'asr\'eszt
$P\(\frac XS\ge u\)\le 1$, ha $u\le2$,  ez\'ert $E\frac XS\le L$ 
alkalmas $L>0$ konstanssal. Viszont $d(t_{\pi(k)},t_{\pi(k-1)})\le
d(t_{\pi(k)}),t)+d(t_{\pi(k-1)},t)=d(t,T_k)+d(t,T_{k-1})$, \'es ezt
az azonoss\'agot $2^{k/2}$-val megszorozva, \'es
$k$-ra \"osszegezve, majd $t$-ben maximumot v\'eve kapjuk, hogy
$S\le(1+\sqrt2)\supp_{t\in T}\summ_{k\ge0}2^{k/2}d(t,T_k)$,
\'es
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le LS
\le (1+\sqrt2)L\sup_{t\in T}\summ_{n\ge0}2^{n/2}d(t,T_n).
$$

\medskip\noindent
{\it Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel egy v\'altozat\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"unk egy megengedett $\Cal A_0\subset
\Cal A_1\subset\cdots$ partici\'osorozatot. V\'alasszunk ki az
$\Cal A_n$ partici\'o minden $A\in \Cal A_n$ elem\'eb\H{o}l egy
$s\in A$ pontot, \'es ezek egyes\'{\i}t\'ese legyen a $T_n$ halmaz.
Ekkor $d(t,T_n)\le\Delta(A_n(t))$, mert az $s\in T_n\cap A_n(t)$
pontra $d(s,t)\le \Delta((A_n(t))$. Ez\'ert
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le L\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2} d(t,T_n)
\le L\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2}\Delta(A_n(t)),
$$
\'es infimumot v\'eve az \"osszes lehets\'eges megengedett partici\'ora
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf Dudley becsl\'es\'enek bizony\'{\i}t\'asa.}
$$
E\sup_{t\in T}\xi_t\le L\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2} d(t,T_n)
\le L\sum_{n=0}^\infty 2^{n/2}\sup_{t\in T} d(t,T_n)
$$
minden olyan $T_n\subset T$, $n=1,2,\dots$, sorozatra, amelyre
$|T_n|\le N_n$. V\'alasszuk a $T_n$ halmazt \'ugy, hogy
$|T_n|\le N_n$, \'es $\supp_{t\in T_n} d(t_n,T)\le 2e_n(T)$.
Ezzel a v\'alaszt\'assal megkapjuk a k\'{\i}v\'ant becsl\'est.

\medskip\noindent
{\bf P\'elda, amikor Dudley eredm\'enye gyeng\'ebb becsl\'est
ad, mint Talagrand-\'e.} {\it Legyen $b_1,b_2,\dots$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, $\xi_n=\frac{b_n}{\sqrt{\log n}}$,
$2\le n\le N_p+1$. Becs\"uljuk meg az
$E\max\limits_{2\le n\le N_p+1}\xi_n$ kifejez\'est Dudley \'es
Talagrand eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}

\noindent
Ekkor $e_m(T)\ge\frac12 2^{-m}$, ha $1\le m\le p$, mert minden
$T_m$, $|T_m|\le N_m$, $1\le m\le p$, halmazhoz l\'etezik olyan
$t\notin T_m$ pont, amelyre $t\le 2^{2^m}+2$, \'es erre a $t$
pontra $d(t,T_m)\ge \frac12 2^{-m/2}$. Ez\'ert
$\summ 2^{m/2}e_m(T)\ge\frac12 p$, \'es Dudley eredm\'enye nem ad
jobb becsl\'est, mint~$Lp$.

\noindent
Talagrand eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
$E\max\limits_{2\le n\le N_p+1}\xi_n\le L$ becsl\'est kapjuk. Azaz
olyan becsl\'est kapunk, amely nem f\"ugg a $p$ param\'etert\H{o}l.
Va\-l\'o\-ban, legyen $T_m=\{2,\dots,N_m\}\cup\{N_p+1\}$,
$1\le m\le p$. Ezzel a v\'alaszt\'assal, $|T_m|=N_m$, $1\le m\le p$,
\'es ha egy $t$ pont\-ra $N_{m-1}<t\le N_m$, akkor $d(t,T_l)=0$ az
$l\ge m$ esetben, \'es $d(t,T_l)\le d(t,N_p+1)\le 2\cdot 2^{-m/2}$,
ha $l<m$. Ez\'ert
$\summ_{l=0}^\infty 2^{l/2}d(t,T_l)\le2\summ_{l=0}^m 2^{(l-m)/2}\le L_1$.

\medskip
Az alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek
becs\-l\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa
hasonl\'o a Gauss mez\H{o}k szupr\'emum\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz.
Ez\'ert ennek az eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'as\'at nem
t\'argyalom.

\medskip\noindent
{\it Gauss val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o maximum\'anak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere adott als\'o becsl\'es
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa.}

\medskip\noindent
A Gauss v\'altoz\'ok maximum\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere
adott als\'o becsl\'es az al\'abbi k\'et t\'etelen m\'ulik. Ezek
megfogalmaz\'as\'aban a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est haszn\'aljuk.

\medskip\noindent
{\it Jel\"ol\'es:}\/ Adva egy $(T,d)$ metrikus t\'er, egy $a\in T$
pont \'es egy $r>0$ sz\'am $B_d(a,r)$ jel\"oli az $a$ k\"oz\'eppont\'u
$r$ sugar\'u k\"ort a $T$ t\'eren a $d$ metrika szerint.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen adva norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\xi_t$, $t\in T$,
rendszere egy $(T,d)$ metrikus t\'eren, ($T$ v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz), amelyre $E\xi_t=0$, $t\in T$,
\'es $E(\xi_t-\xi_s)^2=d^2(s,t)$, $s,t\in T$. Ha ebben a
rendszerben megadunk $m$ darab $\xi_{t_1}$,\dots, $\xi_{t_m}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ugy, hogy
$d(t_j,t_l)\ge a$ minden $1\le j<l\le m$ indexre valamely $a>0$
sz\'ammal, valamint $H_l\subset B_d(t_l,\sigma)$, $1\le l\le m$,
halmazokat valamely $\sigma>0$ sz\'ammal, \'es
$H=\bigcupp_{j=1}^m H_j$, akkor teljes\"ul az
$$
E\sup_{t\in H}\xi_t\ge
\frac a{L_1}\sqrt{\log m}-L_2\sigma\sqrt{\log m}
+\min_{1\le l\le m}E\sup_{t\in H_l}\xi_t
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamely univerz\'alis $L_1>0$ \'es $L_2>0$
sz\'amokkal.

Speci\'alisan, ha $\sigma<\frac a{2L_1L_2}$, akkor
$$
E\sup_{t\in H}\xi_t\ge
\frac a{2L_1}\sqrt{\log m}+\min_{1\le l\le m}E\sup_{t\in H_l}\xi_t.
$$
}

A m\'asodik eredm\'eny megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezetj\"uk
a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf N\"oveked\'esi tulajdons\'ag definici\'oja egy metrikus t\'eren
adott funk\-cio\-n\'a\-lok\-ra.} {\it Legyen adva egy $F(A)$,
$A\subset T$, (nem felt\'etlen\"ul line\'aris) funkcion\'al egy 
metrikus t\'er r\'eszhalmazain,
amelyre $F(A)\le F(B)$, ha $A\subset B$. Ez a funkcion\'al
teljes\'{\i}ti a n\"oveked\'esi tulajdons\'agot $\tau\ge1$, $c>0$
\'es $r\ge4$, param\'eterekkel, ha minden $n\ge0$,
$m=N_{n+\tau}=2^{2^{n+\tau}}$ (a $\tau$ param\'eter csak az $m$
sz\'am definici\'oj\'aban jelenik meg), eg\'esz \'es $a>0$ val\'os
sz\'amokra, valamint olyan $t_1,\dots,t_m$ pontokra a $T$ t\'erben,
amelyekre $d(t_j,t_l)>a$ minden $1\le j,l\le m$, $j\neq l$,
indexp\'arra, \'es $t_l\in B_d(s,ar)$, $1\le l\le m$, valamely
$s\in T$ pontra, \'es tetsz\H{o}leges 
$H_l\subset B_d\(t_l,\frac ar\)$, $1\le l\le m$, halmazokra
$$
F\(\bigcup_{1\le l\le m} H_l\)
\ge ca 2^{(n+1)/2}+\min_{1\le l\le m}F(H_l). \tag7
$$
}

\medskip
(A fenti definici\'oban megk\"ovetelt\"uk, hogy a tekintett $t_l$
pontok mindegyike egy r\"ogz\'{\i}tett $ar$ sugar\'u g\"ombben 
legyen, de viszonylag t\'avol legyenek egym\'ast\'ol. S\H{o}t, a 
$t_l$ pontok $H_l\subset B_d(t_l,\frac ar)$ ``k\"ornyezetei'' is 
viszonylag t\'avol vannak egym\'ast\'ol. Val\'oj\'aban a 
legfontosabb olyan bizony\'{\i}t\'asokban, ahol a n\"oveked\'esi 
tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'et el\-len\-\H{o}\-riz\-ni kell,
olyan $t_l$, $1\le l\le m$, pontrendszereket tekint\"unk, amelyek 
nem felt\'etlen\"ul teljes\'{\i}tik a $t_l\in B_d(s,ar)$ 
felt\'etelt alkalmas $s\in T$ ponttal minden $1\le l\le m$ indexre, 
de a m\'asik k\'et felt\'etel, amely a $H_l$, $1\le l\le m$, 
halmazok viszonylagos nagy t\'avols\'ag\'at biztos\'{\i}tja, 
\'erv\'enyes r\'ajuk. Ez azt jelenti, hogy a n\"oveked\'esi
tulajdons\'ag definici\'oj\'aban sze\-rep\-l\H{o} (7)~rel\'aci\'ot 
$H_l$ halmazok egy gazdagabb oszt\'aly\'aban ellen\H{o}rizz\"uk, 
mint sz\"uks\'eges volna. Ez azonban \'altal\'aban nem okoz 
probl\'em\'at.)

\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Legyen $F(A)$, $A\subset T$, n\"oveked\'esi
tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o}
funkcion\'al egy $(T,d)$ (megsz\'aml\'alhat\'o sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u)
metrikus t\'eren valamely $\tau\ge1$, $c>0$ \'es $r\ge4$
pa\-ra\-m\'ete\-rek\-kel, amelyre $F(A)\le F(B)$, ha $A\subset B$.
Ekkor l\'etezik a $T$ t\'ernek olyan
$\Cal A_0\subset A_1\subset A_2\subset\cdots$ (finomod\'o)
partici\'osorozata, amelyre a $\Cal A_n$ partici\'o elemsz\'ama
kisebb, mint $2^{2^{n+\tau}}$, \'es
$$
\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty c2^{n/2}\Delta(A_n(t))
\le Lr(F(T)+c\Delta(T)) \tag8
$$
alkalmas univerz\'alis $L>0$ konstanssal.}

A T\'etel~B-ben szerepl\H{o} partici\'osorozat lehet nem megengedett,
mert abban $\Cal A_n$ elemsz\'ama $N_{n+\tau}$-val van becs\"ulve 
$N_n$ helyett. De ez nem okoz probl\'em\'at, mert e t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyen lehet tal\'alni a (8)~formul\'at
teljes\'{\i}t\H{o} megengedett par\-ti\-ci\'o\-so\-ro\-za\-tot is.
Ugyancsak \'erdemes megjegyezni, hogy \'erdekes alkalmaz\'asokban
$\Delta(T)\le \const F(T)$, \'es ekkor a $\Delta(T)$ sz\'am
elhagyhat\'o a (8)~becsl\'es jobboldal\'an az $L$ konstans
megn\H{o}vel\'ese \'ar\'an.

A T\'etel A-ban tekintett $F(A)=E\supp_{t\in A}\xi_t$
funkcion\'al teljes\'{\i}ti a n\"oveked\'esi tulajdons\'agot
$\tau=1$, el\'eg kicsi $c>0$ \'es el\'eg nagy $r\ge4$ sz\'amokkal.
Ez\'ert alkalmazhat\'o r\'a a T\'etel~B. S\H{o}t, mivel
$\Delta(T)=\supp_{s,t\in T}\[E(\xi_s-\xi_t)^2\]^{1/2}
\le\const\supp_{s,t\in T}E|\xi_s-\xi_t|
\le\const E\supp_{s,t\in T}(\xi_s-\xi_t)\le\const F(T)$, a
(8)~formul\'ab\'ol megkapjuk az {\it als\'o becsl\'es Gauss
mez\H{o}k szupr\'emum\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l}\/
nev\H{u} t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa Ledoux koncentr\'aci\'os
egyenl\H{o}tlens\'eg\'en alapul norm\'alis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok maximum\'ar\'ol
valamint a Szudakov egyenl\H{o}tlens\'egen. Ez k\'et egy\'eb\-k\'ent 
is nagyon fontos eredm\'eny norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Ledoux koncentr\'aci\'os egyenl\H{o}tlens\'ege norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok 
maxi\-mu\-m\'a\-r\'ol.}
{\it Legyen adva $\xi_t$, $t\in T$, $E\xi_t=0$, (egy\"uttesen) Gauss
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy rendszere, ahol $T$
vagy v\'eges halmaz vagy $T$ megsz\'aml\'alhat\'o, \'es
$E\supp_{t\in T}\xi_t<\infty$. Legyen 
$\sigma^2\ge\supp_{t\in T}E\xi_t^2$. Ekkor
$$
P\(\left|\sup_{t\in T}\xi_t-E\sup_{t\in T}\xi_t\right|>u\)
\le 2e^{-u^2/2\sigma^2} \quad \text{minden $u>0$ sz\'amra}.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Szudakov egyenl\H{o}tlens\'ege.} {\it Legyen adva $m$ darab
$\xi_1,\dots,\xi_m$ norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyekre $E\xi_j=0$, \'es $E(\xi_j-\xi_k)^2\ge a^2$
minden $1\le j<k\le m$ indexp\'arra valamely $a>0$ sz\'ammal.
Ekkor
$$
E\sup_{1\le j\le m}\xi_j\ge \frac aL\sqrt{\log m}
$$
valamely univerz\'alis $L>0$ sz\'ammal.}

\medskip\noindent
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Legyen
$\eta_t=\xi_t-\xi_{t_l}$, ha $t\in H_l$, \'es
$Y_l=\supp_{t\in H_l}\eta_t$. Ekkor
$$
\sup_{t\in H_l}\xi_t=\xi_{t_l}+Y_l= \xi_{t_l}+EY_l+(Y_l-EY_l)
\ge\xi_{t_l}+EY_l-|Y_l-EY_l|
\ge\xi_{t_l}+EY_l-V,
$$
ahol $V=\max\limits_{1\le l\le m}|Y_l-EY_l|$. Innen
$$
\supp_{t\in H}\xi_t=\max_{1\le l\le m}\supp_{t\in H_l}\xi_t
\ge\max\limits_{1\le l\le m} \xi_{t_l}
+\min\limits_{1\le l\le m}EY_l-V,
$$
\'es v\'arhat\'o \'ert\'eket v\'eve
$$
E\sup_{t\in H}\xi_t
\ge E\max_{1\le l\le m} \xi_{t_l}+\min_{1\le l\le m}EY_l-EV.
$$
Tov\'abb\'a $E\max\limits_{1\le l\le m}\xi_{t_l}
\ge\frac a{L_1}\sqrt{\log m}$ a Szudakov egyenl\H{o}tlens\'eg
alapj\'an, $\min\limits_{1\le l\le m}EY_l
=\min\limits_{1\le l\le m}E\supp_{t\in T_l}\xi_t$, mert
$E\supp_{t\in T_l}(\xi_t-\xi_{t_l})=E\supp_{t\in T_l}\xi_t$,
\'es Ledoux koncentr\'aci\'os egyenl\H{o}tlens\'ege alapj\'an
$EV\le L\sigma\sqrt{\log m}$, mert
$P(V>u)\le\min\(1,2me^{-u^2/2\sigma^2}\)$,
\'es $EV=\int_0^\infty P(V>u)\,du$.

\medskip
A T\'etel B bizony\'{\i}t\'as\'at, amely egy meglehet\H{o}sen
bonyolult teljes indukci\'os elj\'ar\'ason alapul elhagyom, csak
n\'eh\'any komment\'art f\H{u}z\"ok hozz\'a. A t\'etelben
szerepl\H{o} par\-ti\-ci\'o\-so\-ro\-za\-tot bizonyos optimalit\'asi
tulajdons\'agokat figyelembe vev\H{o} moh\'o algoritmussal kapjuk
meg, \'es ez egy meglehet\H{o}sen implicit elj\'ar\'ast ad. 
Ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as nem ad effekt\'{\i}v, konstrukt\'{\i}v
m\'odszert egy j\'o partici\'osorozat megtal\'al\'as\'ara. A
bizony\'{\i}t\'as f\H{o} neh\'ezs\'eg\'et annak az indukci\'os
\'all\'{\i}t\'asnak a megfogalmaz\'asa \'es igazol\'asa jelenti,
amelyb\H{o}l k\"ovetkezik a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

A Talagrand k\"onyvben szerepl\H{o} T\'etel~B val\'oj\'aban az itt
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asn\'al \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb 
eredm\'enyt tartalmaz. Ott az van bebizony\'{\i}tva, hogy ha az
$F(A)$, $A\subset T$, funkcion\'al (s\H{o}t az \'altal\'anos
esetben nem felt\'etlen\"ul egy $F$ funkcion\'alt, hanem esetleg 
egy $F_n$, $n=1,2\dots$, funkcion\'alsorozatot tekint\"unk) egy
a (7) formul\'ahoz hasonl\'o, de \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb
tipus\'u egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}t, akkor abb\'ol
egy a (8)~formul\'ahoz hasonl\'o explicit m\'odon megfogalmazott
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg k\"ovetkezik. Sz\'amunkra ennek az
\'altal\'anosabb eredm\'enynek a k\"ovetkez\H{o} speci\'alis
esete lesz k\"ul\"on\"osen fontos. Ha
$$
F\(\bigcup_{1\le l\le m} H_l\)
\ge c2^{(n+1)p/\alpha}a^p+\min_{1\le l\le m}F(H_l). \tag9
$$
valamilyen $2\ge p\ge1$ \'es $2\ge\alpha\ge1$ sz\'amokkal, (\'es 
a $H_l$ halmazok teljes\'{\i}tik az egy metrikus t\'eren adott 
funk\-cio\-n\'a\-lok\-ra bevezetett n\"oveked\'esi tulajdons\'ag 
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'eteleket), akkor
$$
\sup_{t\in T}\sum_{n=0}^\infty c2^{np/\alpha}\Delta^p(A_n(t))
\le Lr^p(F(T)+c\Delta^p(T)) \tag10
$$
alkalmas univerz\'alis $L>0$ konstanssal \'es egy olyan
$\Cal A_0\subset A_1\subset A_2\subset\cdots$
partici\'osorozattal, amelyre a $\Cal A_n$ partici\'o elemsz\'ama
kisebb, mint $2^{2^{n+\tau}}$.

A (9) \'es (10) formul\'aban megfogalmazott eredm\'enyt
fogjuk alkalmazni a sz\'amunkra fontos, k\'es\H{o}bb 
t\'argyaland\'o ellipszoid t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban, 
amely a (11)~k\'epletben be\-ve\-ze\-tett $\gamma_{\alpha,p}(T,d)$ 
mennyi\-s\'eg\-re ad fels\H{o} becsl\'est bizonyos speci\'alis 
$(T,d)$ terekben. Ez az eredm\'eny teszi lehet\H{o}v\'e, hogy 
bizonyos feladatokban j\'o becsl\'est adjunk 
a minket \'erdekl\H{o} $\gamma_2(T,d)$ mennyis\'egre is.
Az ellipszoid t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban a T\'etelt~B-t 
ford\'{\i}tott szereposzt\'asban alkalmazzuk, mint a Gauss 
mez\H{o}k szupr\'emum\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere adott 
als\'o becsl\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban. Itt a 
$\gamma_{\alpha,p}(T,d)$ kifejez\'esre akarunk fels\H{o} 
becsl\'est adni, \'es ennek \'erdek\'eben egy j\'o, a 
(9)~formul\'at teljes\'{\i}t\H{o} $F$ funkcion\'alt keres\"unk.
Ezut\'an a (10) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapunk j\'o 
fels\H{o} becsl\'est a $\gamma_{\alpha,p}(T,d)$ kifejez\'esre.

\medskip\noindent
{\it A t\'argyalt eredm\'enyek alkalmaz\'asa, az 
Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
Jel\"olje $\ell^2$ a $t=(t_1,t_2,\dots)$,
$\summ_{j=1}^\infty t_j^2<\infty$, sorozatokb\'ol \'all\'o 
Hilbert teret, legyen adva f\"uggetlen standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $g_1,g_2\dots$ sorozata,
\'es defini\'aljuk minden $t=(t_1,t_2,\dots)\in\ell^2$ pontra az
$X_t=\summ_{k=1}^\infty t_kg_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Adva egy $T\subset\ell^2$ halmaz meg akarjuk
becs\"ulni az $E\supp_{t\in T}X_t$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. Az
\'altal\'anos fel\-adat arr\'ol, hogy becs\"ulj\"uk meg Gauss
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szupr\'emum\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et visszavezethet\H{o} erre a probl\'em\'ara.
A most megfogalmazott k\'erd\'es va\-l\'o\-j\'a\-ban ekvivalens a
$\gamma_2(T,d)$ mennyis\'eg becsl\'es\'evel, ahol $d$ az $L_2$
norma \'altal defi\-ni\'alt metrika az $\ell^2$ t\'erben.

A $\gamma_2(T,d)$ becsl\'ese neh\'ez feladat az \'altal\'anos
esetben. Viszont e mennyis\'eg nagy\-s\'ag\-rend\-je explicite
megadhat\'o, ha $T$ a k\"ovetkez\H{o}
$\Cal E=\Cal E(a_1,a_2,\dots)$ alak\'u ellipszoid.
$$
\Cal E=\Cal E(a_1,a_2,\dots)=\left\{t=(t_1,t_2,\dots)\colon\;
\sum_{k=1}^\infty\frac{t_k^2}{a_k^2}\le1\right\} \tag11
$$
valamely $a_1,a_2,\dots$ pozit\'{\i}v sz\'amokkal. Feltessz\"uk,
hogy  a (11) formul\'aban szerepl\H{o} $a_k\ge0$ egy\"utthat\'ok
k\"oz\"ott minden $A>0$ sz\'amra csak v\'eges sok olyan $a_k$
sz\'am van, amelyre $a_k>A$.

Sok fontos probl\'ema megold\'as\'aban nem elegend\H{o} a
$\gamma_2(T,d)$ becsl\'ese ilyen $T=\Cal E$ ellipszoidokra,
hanem a $\gamma_2(T,d)$ mennyis\'eget olyan $T\subset \Cal E$
alak\'u halmazokra kell megbecs\"ulni, amelyek l\'enyegesen
kisebbek, mint az $\Cal E$ halmaz. P\'eld\'aul v\'eges sok
elemb\H{o}l \'all\'o $T$ halmazokat kell tekinten\"unk.
Az ilyen k\'erd\'esek vizsg\'alata \'erdek\'eben hasznosnak
bizonyult a k\"ovetkez\H{o} mennyis\'eg bevezet\'ese \'es
vizsg\'alata:
$$
\gamma_{\alpha,p}(T,d)=\(\inf \sup_{t\in T}
\sum_{n\ge0}\(2^{n/\alpha}\Delta(A_n(t)\)^p\)^{1/p}
\alpha>0,\; p>0    \tag12
$$
ahol az infimum az \"osszes megengedett partici\'osorozatra
v\'etetik fel. A legfontosabb eset (a $p=1$ param\'eter mellett) a
$p=2$ eset. Ilyen v\'alaszt\'assal j\'o becsl\'est tudunk adni
a $\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)$ mennyis\'egekre, ahol $\Cal E$
egy a (11) formul\'aban defini\'alt ellipszoid. De sok \'erdekes
esetben $\gamma_2(\Cal E,d)=\gamma_{2,1}(\Cal E,d)=\infty$,
\'es annak \'erdek\'eben, hogy j\'o becsl\'est kapjunk a
$\gamma_2(T,d)$ mennyis\'egre egy v\'eges sok elemb\H{o}l
\'all\'o $T\subset\Cal E$ alak\'u halmazra, olyan  min\'el
kisebb $\alpha\ge1$ sz\'amot keres\"unk, amelyre
$\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)<\infty$.

Az el\H{o}bb eml\'{\i}tett probl\'ema jelenik meg akkor is,
ha egyforma eloszl\'as\'u, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeik\'ent megjelen\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szupr\'em\'anak a
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et becs\"ulj\"uk meg az (6)~formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Itt a $\gamma_2(\Cal F,d_2)$ mennyis\'egen
k\'{\i}v\"ul a $\gamma_1(\Cal F,d_\infty)$ mennyis\'eget is meg kell
becs\"ulni. De az igazi neh\'ezs\'eget az els\H{o} mennyi\-s\'eg
becsl\'ese okozza. A k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban, illetve annak
k\"ovetkezm\'eny\'eben megmutatjuk, hogyan vezet az
Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel Talagrand f\'ele
\'atfogalmaz\'as\'anak a vizsg\'alata egy $\gamma_2(T,d)$,
$T\subset\Cal E$, alak\'u kifejez\'es becsl\'es\'enek a
vizsg\'alat\'ahoz.

\medskip\noindent
{\bf Lemma korl\'atos deriv\'altakkal rendelkez\H{o}
f\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol.} {\it Le\-gyen $f(x,y)$
olyan k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny, amelyre
$\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\le1$,
$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le1$,
\'es $f(x,0)=f(x,1)$, $0\le x\le1$, $f(0,y)=f(1,y)$, $0\le y\le1$.
Ekkor az $f(x,y)=\summ c(j,k)e^{2\pi i(jx+ky)}$, Fourier sor
$c(j,k)$ egy\"utthat\'oi teljes\'{\i}tik a
$\summ_{-\infty<j,k<\infty} (j^2+k^2)|c(j,k)|^2\le\frac1{2\pi^2}$
egyenl\H{o}tlens\'eget.

Ez a becsl\'es akkor is \'erv\'enyben marad, ha az $f(x,y)$ 
f\"uggv\'eny differenci\'alhat\'os\'agi felt\'eteleit a 
k\"ovetkez\H{o} n\'emileg gyeng\'ebb felt\'etellel 
helyettes\'{\i}tj\"uk. Az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny, mint az $y$ 
v\'altoz\'o f\"uggv\'enye abszolut folytonos majdnem minden $x$-re, 
\'es mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye abszolut folytonos 
majd\-nem minden $y$-ra. Tov\'abb\'a  e f\"uggv\'eny majd\-nem minden\"utt 
l\'etez\H{o} parci\'alis deriv\'altjai majdnem minden $x$ \'es $y$ 
pontra teljes\'{\i}tik a 
$\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\le1$ \'es
$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le1$ 
egyenl\H{o}tlens\'egeket. Ezek a felt\'etelek teljes\"ulnek, ha 
$f(x,y)$ Lip\-schitz~1 f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
$\frac{\partial f}{\partial x}$ Fourier egy\"utthat\'oit, \'es
alkalmazzuk e f\"uggv\'eny Fourier sor\'ara a Parseval formul\'at.
Parci\'alis integr\'al\'assal
$$
c(-j,-k)=\int e^{2\pi i(jx+ky)}f(x,y)\,dx\,dy=-\frac1{2\pi ij}
\int e^{2\pi i(jx+ky)}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,dx\,dy,
$$
ha $j\neq0$, ahonnan $\summ_{-\infty<j,k<\infty}4\pi^2 j^2|c(j,k)|^2
\le \int \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\)^2\,dx\,dy\le1$. (Az
utols\'o becs\-l\'es els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg\'eben az\'ert nem
\'{\i}rhatunk azonoss\'agot, mert a
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ f\"uggv\'eny $C(0,k)$ alak\'u
Fourier egy\"utthat\'oi helyett null\'at \'{\i}rtunk.) Hasonl\'oan
$$
\summ_{-\infty<j,k<\infty} k^2|c(j,k)|^2\le\frac1{4\pi^2} \int
\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\)^2\,dx\,dy\le\frac1{4\pi^2},
$$
\'es ebb\H{o}l a k\'et egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a
lemma els\H{o} bekezd\'es\'enek az \'all\'{\i}t\'asa.

Ugyanez az \'ervel\'es \'erv\'enyben marad a m\'asodik bekezd\'esben
megfogalmazott tulajdons\'agok teljes\"ul\'ese eset\'en is. Azt
kell meggondolni, hogy az alkalmazott parci\'alis deriv\'al\'assal
kapott azonoss\'ag ekkor is \'erv\'enyben marad, mert
$$
\int_0^1 \frac{\partial \(e^{2\pi i(jx+ky)}f(x,y)\)}{\partial x}\,dx=
\[e^{2\pi(jx+ky)}f(x,y)\]_0^1=0 \quad\text{majdnem minden }y\text{-ra}
$$
az abszolut folytonoss\'agi felt\'etel miatt, \'es hasonl\'o
m\'odon megkapjuk a m\'asik sz\'amunkra sz\"uks\'eges azonoss\'agot 
az $x$ \'es $y$ v\'altoz\'o szerep\'enek felcser\'el\'es\'evel. Ha 
$f(x,y)$ Lipschitz~1 f\"uggv\'eny, akkor teljes\'{\i}ti az abszolut 
folytonoss\'agr\'ol el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokat, \'es a 
parci\'alis deriv\'altjai kisebbek, mint~1.

\medskip
Megfogalmazom a lemma al\'abbi  (nyilv\'anval\'o) 
1.~k\"ovetkezm\'eny\'et. Ez az eredm\'eny az\'ert hasznos a 
sz\'amunkra, mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy olyan Lipschitz~1 
f\"uggv\'enyekkel is dolgozhassunk, amelyek periodikusan
kiterjeszthet\H{o}k Lipschitz~1 f\"uggv\'enny\'e az eg\'esz s\'{\i}kon.
 
\medskip\noindent
{\bf 1. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Adva egy $f(x,y)$ Lipschitz 1
f\"uggv\'eny az egys\'egn\'egyzeten defini\'aljuk ennek $f_e(x,y)$
periodikusan folytathat\'o kiterjeszt\'es\'et a $[0,2]\times[0,2]$
n\'egyzetre a k\"ovetkez\H{o} m\'o\-don: Legyen $f_1(x,y)=f(x,y)$, ha
$0\le x,y\le1$, \'es $f_1(x,y)=f(x,2-y)$, ha $0\le x\le1$, \'es
$1\le y\le 2$. Legyen ezut\'an $f_e(x,y)=f_1(x,y)$, ha $0\le x\le1$
\'es $0\le y\le2$, $f_e(x,y)=f_1(2-x,y)$, ha $1\le x\le2$ \'es
$0\le y\le2$. Ekkor
$f_e(x,y)=\summ_{-\infty<j,k\le\infty} c(j,k)e^{i\pi (jx+ky)}$
olyan $c(j,k)$ Fourier egy\"utthat\'okkal, amelyekre
$\sum (k^2+j^2)|c(j,k)|^2\le\frac2{\pi^2}$.} 

\medskip
Az Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel Talagrand-f\'ele
\'atfogalmaz\'as\'anak bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos lesz az
1.~k\"ovetkezm\'eny. Vegy\"uk ugyanis a (2)~formul\'aban 
tekintett az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten defini\'alt Lipschitz 1 
f\"uggv\'enyek $\Cal C$ oszt\'aly\'anak v\'eges 
$T\subset\Cal C$ v\'eges r\'esz\-hal\-ma\-za\-it. Sz\"uk\-s\'e\-g\"unk 
lesz egy olyan j\'o becsl\'esre a $T$ halmazt\'ol f\"ugg\H{o}
$\gamma_2(T,d_2)$ mennyi\-s\'eg\-re, amely csak a $T$ halmaz 
sz\'amoss\'ag\'at\'ol f\"ugg. Ilyen becsl\'est az al\'abb 
megfogalmazott 2.~k\"o\-vet\-kez\-m\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
tudunk adni, amely k\"onnyen l\'athat\'o az 1.~k\"o\-vet\-kez\-m\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be az
$$
\Cal E=\left\{(a(j,k),b(j,k)),\;0\le j,k<\infty,\;(j,k)\neq(0,0),
\quad \sum_{(j,k)}\frac{a^2(j,k)+b^2(j,k)}{\frac1{2\pi^2(j^2+k^2)}}
\le1\right\} \tag13
$$
ellipszoidot. Ezen ellipszoid seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazzuk 
a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf 2. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $T$ az egys\'egn\'egyzeten
defini\'alt az $\int_{[0,1]\times[0,1]}f(x,y)\,dx\,dy=0$ 
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} Lipschitz 1 f\"uggv\'enyekb\H{o}l 
\'all\'o, $\Cal C$ f\"uggv\'enyoszt\'aly egy v\'eges 
r\'esz\-hal\-ma\-za. Ekkor 
$\gamma_2(T,d_2)\le\supp_{U\in\Cal E,\;|U|=|T|}\gamma_2(U,d)$,
ahol $\Cal E$ a (13) formul\'aban defini\'alt ellipszoid,
az egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an szerepl\H{o} $d$ a $\Cal E$
t\'eren defini\'alt $L_2$ norma \'altal induk\'alt metrik\'at
jel\"oli, \'es $|U|=|T|$ azt jelenti, hogy $U$ \'es $T$
elemsz\'ama megegyezik.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Tekints\"uk minden $f\in C$ f\"uggv\'enynek
a 2. k\"ovetkezm\'enyben defini\'alt $f_e$ kiterjeszt\'es\'et a 
$[0,2]\times[0,2]$ n\'egyzetre, \'es legyen $T_e$ az 
$\{f_e\colon\;f\in T\}$ halmaz. Ekkor 
$\gamma_2(T,d_2)=\frac12\gamma_2(T_e,d_2)$, mert 
$d_2(f,g)=\frac12d_2(f_e,g_e)$ minden $f,g\in\Cal C$ f\"uggv\'enyre.
\'Irjuk fel minden $f_e\in T_e$ f\"uggv\'eny
$$
f_e(x,y)=\summ\Sb (j,k)\colon\; 0\le j,k<\infty,\\ (j,k)\neq(0,0)\endSb
\[\sqrt2a(j,k)\frac{\cos(\pi(jx+ky))}{\sqrt2}
+\sqrt2b(j,k)\frac{\sin(\pi(jx+ky))}{\sqrt2}\]
$$
Fourier sor\'at. Az 1.~k\"ovetkezm\'eny alapj\'an e Fourier sor 
egy\"utthat\'oi teljes\'{\i}tik az
$\sum(j^2+k^2)(2a^2(j,k)+2b^2(j,k))\le\frac4{\pi^2}$
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. (Az\'ert t\'ert\"unk \'at
a $\frac1{\sqrt2}\sin$ \'es $\frac1{\sqrt2}\cos$ 
f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re  az $e^{i(sx+ty)}$ alak\'u f\"uggv\'enyek 
helyett, hogy val\'os \'ert\'ek\H{u} (ortonorm\'alt) 
f\"uggv\'enyekkel \'es egy\"utthat\'okkal dolgozhassunk.) 
Feleltess\"uk meg minden $f$ f\"ugg\-v\'eny\-nek az $2a(j,k)$ 
\'es $2b(j,k)$, $0\le j,k<\infty$, $(j,k)\neq(0,0)$
egy\"utthat\'okat. Ezen egy\"utthat\'ok sorozata benne van a 
a $\frac{2\sqrt2}\pi\Cal E$ ellipszoidban, ahol
$\Cal E$-t a (13) formul\'aban defini\'altuk. Tov\'abb\'a
ez a lek\'epez\'es izomorfia az $L_2([0,1]\times[0,1])$ t\'er
\'es a a $\{j,k),\;0\le j,k<\infty,\, (j,k)\neq0\}$ p\'arokkal
indexezett az $L_2$ norm\'aval ell\'atott t\'er k\"oz\"ott.
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy ha $U$ jel\"oli a $T_e$ halmaz
k\'ep\'et ezen transzform\'aci\'o szerint, akkor
$\gamma_2(T_e,d_2)\le\gamma_2(U,d)$, ez\'ert igaz a 
3.~k\"ovetkezm\'eny.
\medskip

Meg akarjuk becs\"ulni a $\gamma_2(U,d)$ mennyis\'eget
v\'eges $U\subset \Cal E$ halmazokra. Ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy 
$\gamma_2(U,d)\le\gamma_2(\Cal E,d)$. Viszont, mint
k\'es\H{o}bb ismertetett eredm\'enyekb\H{o}l l\'atszik,
$\gamma_2(\Cal E,d)=\infty$, ez\'ert ilyen m\'odon nem kapunk hasznos
eredm\'enyt. Viszont hasznos a k\"ovetkez\H{o} becsl\'es, amely a
Talagrand k\"onyv egyik legfontosabb eredm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf Ellipszoid t\'etel.} {\it Tekints\"uk a (11) formul\'aban
defini\'alt $\Cal E$ ellipszoidot. Erre az ellipszoidra a
(12)~formul\'aban defini\'alt $\gamma_{\alpha,p}(T,d)$
mennyis\'eg $p=2$ \'es $\alpha\ge1$ v\'alaszt\'assal valamint 
a szok\'asos Euklideszi $d$ metrik\'aval teljes\'{\i}ti a
$$
\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)\le K(\alpha)\sup_{\e>0} \e\cdot
\text{\rm {card}\,}\{i\colon\; a_i\ge\e\}^{1/\alpha}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget egy csak az $\alpha$ param\'etert\H{o}l
f\"ugg\H{o} $K(\alpha)$ konstanssal.}

\medskip
Az Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel Talagrand-f\'ele
bizony\'{\i}t\'as\'aban a (13)~formul\'aban defini\'alt
ellipszoidot kell tekinten\"unk. Erre
$\text{\rm {card}\,}\{i\colon\;a_i\ge\e\}\le\const\e^{-2}$.
(Azon $(j,k)$ nem negat\'{\i}v eg\'eszekb\H{o}l \'all\'o p\'arokat
kell tekinteni, amelyekre $j^2+k^2\le \e^{-2}$.) Ez\'ert
$\gamma_{2,2}(\Cal E,d)\le\const$ Ez a becsl\'es seg\'{\i}t a
k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'aban.

Ezenk\'{\i}v\"ul sz\"uks\'eg\"unk van egy olyan becsl\'esre,
amely a $\gamma_1(\Cal C,d_\infty)$ kifejez\'es becsl\'es\'et 
teszi lehet\H{o}v\'e a~(6) formul\'aban, ahol $d_\infty$ a 
szupr\'emum metrika az $\Cal C$ t\'er elemei k\"oz\"ott. 
Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Lipschitz f\"uggv\'enyek $L_\infty$ norm\'aban
s\H{u}r\H{u} h\'al\'oinak nagys\'ag\'ar\'ol.} {\it Te\-kint\-s\"uk
az egys\'egn\'egyzeten defini\'alt Lipschitz~1 f\"uggv\'enyek $\Cal C$
ter\'et a $d_\infty$ szupr\'emum nor\-m\'a\-val, \'es vezes\"uk
be a k\"ovetkez\H{o} $N(B,d_\infty,\e)$ mennyis\'eget minden
$B\subset\Cal C$ halmazra \'es $\e>0$ sz\'amra. $N(B,d_\infty,\e)$
a legkisebb elemsz\'am\'u a $B$ halmazt lefed\H{o} (a $d_\infty$
szupr\'emum norma szerint) $\e$ sugar\'u g\"omb\"okb\H{o}l
\'all\'o rendszer sz\'amoss\'aga. Ekkor minden $\e>0$ sz\'amra
$N(\Cal C,d_\infty,\e)\le e^{L/\e^2}$ valamilyen univerz\'alis
$L>0$~sz\'ammal. Ebb\H{o}l a rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
(4)~formul\'aban bevezetett $e_n(T,d)$ f\"uggv\'eny $T=\Cal C$
\'es $d=d_\infty$ v\'a\-lasz\-t\'as\-sal teljes\'{\i}ti az
$e_n(\Cal C,d_\infty)\le L2^{-n/2}$ egyenl\H{o}tlens\'eget
alkalmas $L>0$ konstanssal.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'asv\'azlat.}\/ Tekints\"uk egy $h\in\Cal C$
f\"uggv\'eny $A(h,2^{-k})=\{f\colon\; \sup|f(x,y)-h(x,y)|\le 2^{-k},
\;f\in \Cal C\}$ $2^{-k}$ sugar\'u k\"ornyezet\'et, $k=0,1,2,\dots$.
Be lehet l\'atni, hogy
$$
N(A(h,2^{-k}),d_\infty,2^{-(k+1)})\le e^{L2^{2(k+1)}}.
$$
Azt kell ennek \'erdek\'eben felhaszn\'alni, hogy ha k\'et $f_1$
\'es $f_2$ Lipschitz~1 tulajdons\'ag\'u f\"uggv\'enynek a
$[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzetnek egy $2^{-(k+2)}$
sz\'eless\'eg\H{u} r\'acs\'ara vett meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ra
a szupr\'emum norma szerinti t\'avols\'ag kisebb, mint
$2^{-(k+2)}$, akkor
$$
\supp_{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]}|f_1(x,y)-f_2(x,y)|\le 2^{-(k+1)}.
$$
Ennek  az egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-nek a felhaszn\'al\'as\'aval
be lehet l\'atni $k$ szerinti teljes indukci\'oval, hogy
$N(\Cal C, d_\infty,2^{-k})\le e^{2L2^{2k}}$ minden $k=0,1,\dots$
sz\'amra. Innen viszont k\"ovetkezik, hogy
$N(\Cal C,d_\infty,\e)\le e^{\bar L/\e^2}$ valamilyen univerz\'alis
$L>0$~sz\'ammal sz\'ammal minden $\e>0$ sz\'amra, ahonnan
$e_n(\Cal C,d_\infty)\le L2^{-n/2}$.

\medskip\noindent
{\it Az Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel Talagrand--f\'ele
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\'eg bel\'atni a
(2)~egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg \'erv\'enyess\'eg\'et akkor,
ha $\Cal C$ a $[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten defini\'alt,
\'es az eg\'esz s\'{\i}kra kiterjeszthet\H{o} Lipschitz~1
f\"uggv\'enyek csal\'adja, \'es $X_1,\dots,X_N$ f\"uggetlen, a
$[0,1]\times[0,1]$ egys\'egyzeten egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. S\H{o}t, azt
is feltehetj\"uk, hogy $Ef(X_1)=0$ minden $f\in\Cal C$
f\"uggv\'enyre.

V\'alasszuk azt a legnagyobb $m$ eg\'esz sz\'amot, amelyre
$2^{-m}\ge\frac1N$. Ekkor az el\H{o}z\H{o} t\'etel alapj\'an
$e_m(\Cal C,d_\infty)\le L2^{-m/2}\le\frac L{\sqrt N}$, azaz
meg lehet adni a $\Cal C$ halmazoszt\'alynak olyan
$N_m=2^{2^m}$ vagy ann\'al kevesebb elemb\H{o}l \'all\'o olyan $T=T_N$
r\'eszhalmaz\'at, amelyre minden $f\in\Cal C$ f\"uggv\'enyre
l\'etezik olyan $\bar f\in T$ f\"uggv\'eny, hogy
$\sup|f(x,y)-\bar f(x,y)|\le\frac L{\sqrt N}$. Ebb\H{o}l
speci\'alisan az is k\"ovetkezik, hogy
$\left|\summ_{j=1}^Nf(X_j)-\summ_{j=1}^N\bar f(X_j)\right|\le L\sqrt N$.
Ez\'ert
$$
E\sup_{f\in\Cal C}\left|\sum_{j=1}^Nf(X_j)\right|
\le E\sup_{f\in T}\left|\sum_{j=1}^N f(X_j)\right|+L\sqrt N,
$$
ahonnan k\"ovetkezik, hogy el\'eg bel\'atni azt, hogy
$$
E\sup_{f\in T}\left|\frac1{\sqrt N}\sum_{j=1}^N f(X_j)\right|=
E\sup_{f\in T}S_N(f)\le L\sqrt{\log N}.
$$
Ezen egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg
megmutatni a (6) formula alapj\'an, hogy
$$
\gamma_2(T,d_2)\le L\sqrt{\log N},\quad \text{\'es}\quad
\gamma_1(T,d_\infty)\le L\sqrt{N\log N},
$$
ahol $d_2$ az $L_2$ \'es $d_\infty$ az $L_\infty$ szupr\'emum
norma \'altal defini\'alt metrika a $[0,1]\times[0,1]$
egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten defini\'alt f\"uggv\'enyek ter\'en.

A $\gamma_2(T,d_2)\le L\sqrt{\log N}$ egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'aljuk a 
2.~k\"o\-vet\-kez\-m\'enyt. Ennek alapj\'an el\'eg megmutatni, 
hogy $\gamma_2(U,d)\le\sqrt{\log N}$ minden olyan $U\in\Cal E$
halmazra, amelyre $|U|\le N_m=2^{2^m}$. Itt $\Cal E$ a (13)
formul\'aban defini\'alt ellipszoidot jel\"oli. Viszont 
$\gamma_{2,2}(U,d)\le\gamma_{2,2}(\Cal E,d)\le L$ egy
univerz\'alis $L>0$ sz\'ammal.  Ez azt jelenti, hogy l\'etezik az 
$U$ halmaznak egy olyan megengedett
$\Cal A_0\subset\Cal A_1\subset \cdots\subset A_m$
partici\'osorozata, amelyre
$$
\sum_{n=0}^{m-1}\(2^{n/2}\Delta (A_n(t))\)^2\le L
\quad\text{minden } t\in U \text{ pontra.}
$$
(Mivel $|U|\le N_m$, feltehetj\"uk, hogy a megengedett
partici\'osorozat legfeljebb $m$ k\"u\-l\"on\-b\H{o}\-z\H{o} 
partici\'ob\'ol \'all, mert $\Cal A_n=\Cal A_m$, ha $n\ge m$, 
\'es az $m$-ik partici\'o csupa 1 elem\H{u}, teh\'at nulla 
\'atm\'er\H{o}j\H{u} halmazb\'ol \'all. Ez\'ert 
$\Delta(A_n(t))=0$, ha $n\ge m$.) Innen a Cauchy--Schwarz 
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
\sum_{n=0}^{m-1}2^{n/2}\Delta(A_n(t))&\le \sqrt m
\(\sum_{n=1}^m\(2^{n/2}\Delta(A_n(t))\)^2\)^{1/2}\\
&\le L\sqrt{ m}\le L\sqrt{\log N} \quad\text{minden }t\in U\text{ pontra,}
\endalign
$$
ahonnan $\gamma_2(U,d)\le L \sqrt{\log N}$, teh\'at a 
2.~k\"ovetkezm\'eny alapj\'an
$\gamma_2(T,d_2)\le L \sqrt{\log N}$.

M\'asr\'eszt, adva egy $(T,d)$ metrikus t\'er, defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $\gamma_\alpha(T,d)$-hez
hasonl\'o mennyis\'eget. Tekints\"unk olyan $T_0,T_1,\dots$
halmazokat, amelyekre $|T_n|\le N_n$, \'es $T_n\subset T$. A
$\gamma_\alpha(T,d)$ mennyi\-s\'eg\-hez hasonl\'oan defin\'alhatjuk
a $\bar\gamma_\alpha(T, d|T_0,T_1,\dots)
=\supp_{t\in T}\summ_{0\le n<\infty}2^{n/\alpha}d(t,T_n)$
kifejez\'eseket, (illetve vehetj\"uk ezek $\bar\gamma_\alpha(T,d)$
infimum\'at az \"osszes a felt\'eteleknek eleget tev\H{o}
$T_0,T_1,\dots$ so\-ro\-zat\-ra). B\'ar itt nem t\'argyaltam, a
Talagrand k\"onyvben be van bizony\'{\i}tva, hogy
$\gamma_\alpha(T,d)\le K(\alpha)\bar\gamma_\alpha(T, d|T_0,T_1,\dots)$
egy csak az $\alpha$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o} $K(\alpha)>0$
konstanssal. Ezt az eredm\'enyt fogom haszn\'alni az al\'abbiakban.
Ennek alapj\'an el\'eg a $\gamma_1(T,d_\infty)$ mennyis\'eg helyett
a $\bar\gamma_1(T, d_\infty|T_0,T_1,\dots)$ mennyis\'egre adni j\'o
becsl\'est alkalmas $T_0,T_1,\dots\subset T$ halmazokkal.

V\'alasszuk a $T$ halmaz olyan $T_n$ r\'eszhalmazait, amelyekre
$\supp_{t\in T}d_\infty(t,T_n)\le L2^{-n/2}$, \'es $|T_n|\le N_n$,
ha $0\le n\le m$. Ez az el\H{o}z\H{o} t\'etel szerint lehets\'eges.
Legyen $T_n=T$, ha $n\ge m$. Ilyen v\'alaszt\'assal
$$
\align
\gamma_1(T,d_\infty)&\le K\bar\gamma_1(T, d_\infty|T_0,T_1,\dots)
\le K\summ_{n=0}^m2^n \supp_{t\in T} d_\infty(t,T_n)\\
&\le KL\sum_{n=0}^m 2^{n/2}\le KL(\sqrt 2+1)2^{m/2}\le\bar L\sqrt N.
\endalign
$$
Ez azt jelenti, hogy $\gamma_1(T,d_\infty)\le\bar L\sqrt N$, ami a
k\'{\i}v\'antn\'al kiss\'e \'elesebb becsl\'es.

%\vfill\eject

\medskip\noindent
{\bf Ny\'{\i}lt probl\'ema.}

\medskip\noindent
{\it Legyen $g(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny a
$[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten, $X_1,\dots,X_N$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
$g(x,y)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel, \'es
$Y_1,\dots,Y_N$ a $g(x,y)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ek szerint egyenletesen
elhelyezett pontok. (Ez azt jelenti, hogy az $Y_l$,
$1\le l\le N$, pontokba $\frac1N$ t\"omeget elhelyezve, ezek
\'atsz\'all\'{\i}that\'oak a $g(x,y)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ek szerinti eloszl\'asba \'ugy,
hogy a sz\'all\'{\i}t\'asi \'utvonal hossz\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'eke kisebb, mint $\const\sqrt N$.) L\'etezik-e min\-dig
az $\{1,2,\dots,N\}$ halmaznak az
$$
E\(\summ_{j=1}^N d(X_{\pi(j)},Y_j)\) \le L\sqrt{N\log N}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget valamely univerz\'alis $L>0$ konstanssal
teljes\'{\i}t\H{o} $\pi$ permut\'aci\'oja,
vagy ehhez sz\"uks\'eges bizonyos megk\"ot\'eseket
tenni a $g(x,y)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
tulajdons\'agair\'ol?}

\medskip\noindent
{\it Az ellipszoid t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
h\'atter\'er\H{o}l.}

\medskip\noindent
Az ellipszoid t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban fontos szerepet
j\'atszik az al\'abbi egyszer\H{u} lemma, amely annak a val\'os
sz\'amokb\'ol \'all\'o v\'egtelen sorozatok ter\'en defini\'alt
norm\'anak a geometriai tulajdons\'agair\'ol sz\'ol, amely szerint
a (11)~formul\'aban defini\'alt ellipszoid az egys\'egg\"omb.
Tekints\"uk a (11)~formul\'aban bevezetett $\Cal E$ ellipszoidot,
\'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norm\'at
a $t=(t_1,t_2,\dots)$ sorozatok ter\'en. Legyen
$\|t\|^2_{\Cal E}=\summ_{k=1}^\infty \frac{t_k^2}{a_k^2}$,
ha $t=(t_1,t_2,\dots)$, \'es az $a_k$ constansok megegyeznek
a $\Cal E$ ellipszoid definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $a_k$ 
konstansokkal.

\medskip\noindent
{\bf Lemma v\'egtelen sorozatok ter\'en defini\'alt $L_2$ norm\'ak
tulajdons\'agair\'ol.}\/ {\it Le\-gyen $x=(x_1,x_2,\dots)$ \'es
$y=(y_1,y_2,\dots)$ k\'et olyan sorozat, amelyekre
$\|x\|_{\Cal E}\le1$ \'es $\|y\|_{\Cal E}\le1$.
Ekkor
$$
\left\|\frac{x+y}2\right\|_{\Cal E}\le1-\frac{\|x-y\|^2_{\Cal E}}8.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}
$$
\|x+y\|^2_{\Cal E}+\|x-y\|^2_{\Cal E}
=2\|x\|^2_{\Cal E}+2\|y\|_{\Cal E}^2\le 4,
$$
ahonnan
$$
\left\|\frac{x+y}2\right\|_{\Cal E}
\le\(1-\frac14\|x-y\|^2_{\Cal E}\)^{1/2}
\le 1-\frac18\|x-y\|^2_{\Cal E}.
$$

\medskip
Az ellipszoid t\'etel egy olyan \'altal\'anosabb t\'etel
k\"ovetkezm\'enyek\'ent ad\'odik, amely olyan norma \'altal
induk\'alt t\'avols\'agggal rendelkez\H{o} terekkel foglalkozik,
amely norma egy az el\H{o}z\H{o} lemm\'ahoz hasonl\'o 
tulajdons\'aggal rendelkezik. Ez\'ert bevezetj\"uk a 
k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.


\medskip\noindent
{\bf $p$-konvex Banach terek definici\'oja.} {\it Egy
Banach teret valamely $\|\cdot\|$ norm\'aval $p$-konvexnek
nevez\"unk $p\ge1$ kitev\H{o}vel \'es $\eta$ param\'eterrel, 
ha e Banach t\'er minden olyan  $x$, $y$ vektor\'ara, 
amelyekre $\|x\|\le1$ \'es $\|y\|\le1$
$$
\left\|\frac{x+y}2\right\|\le 1-\eta\|x-y\|^p, \quad p\ge1.
$$
}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel \'erv\'enyes $p$-konvex Banach terekre.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel $p$-konvex terekben val\'o becsl\'esekr\H{o}l.}
{\it Legyen $T$ egy $\eta$ param\'eterrel rendelkez\H{o} 
$p$-konvex t\'er, $1\le p\le2$, egys\'egg\"ombje. Tekints\"unk 
egy m\'asik $\|\cdot\|_1$ norm\'at ezen a Banach t\'eren. Ekkor
minden $1\le\alpha\le2$ sz\'amra
$$
\gamma_{\alpha,p}(T,d)\le K(\alpha,p,\eta)\sup_{0\le n<\infty}
2^{n/\alpha}e_n(T,d)
$$
valamely $K(\alpha,p,\eta)>0$ csak az $\alpha$, $p$ \'es $\eta$
param\'eterekt\H{o}l f\"ugg\H{o} sz\'ammal, ahol 
$\gamma_{\alpha,p}(T,d)$ a (12)~formul\'aban \'es $e_n(T,d)$ a 
(4)~formul\'aban defini\'alt kifejez\'es a $T$ (a $p$-konvex 
Banach t\'er norm\'aja szerinti) egys\'egg\"ombbel \'es a 
$\|\cdot\|_1$ norma \'altal induk\'alt $d$ t\'avols\'aggal.}

\medskip\noindent
Az ellipszoid t\'etel a fenti $p$-konvex terekben val\'o
becsl\'esekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel 
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye\-k\'ent kaphat\'o meg, ha azt a 
$t=(t_1,t_2,\dots)$ v\'egtelen sorozatokb\'ol \'all\'o Hilbert 
t\'erre alkalmazzuk a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norm\'aval (ez az 
el\H{o}z\H{o} lemma szerint $p$-konvex Banach t\'er $p=2$ 
v\'alaszt\'assal \'es $\eta=\frac18$ param\'eterrel) \'es a 
hagyom\'anyos $\|t\|^2=\summ_{k=1}^\infty t_k^2$ norm\'at 
v\'alasztjuk a $\|\cdot\|_1$ norm\'anak. Az ellipszoid t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz m\'eg egy eredm\'eny 
sz\"uks\'eges a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norma \'es az annak 
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $a_k$ konstansok 
kapcsolat\'ar\'ol.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norma \'es az annak
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $a_k$ konstansok 
kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol.} {\it Az $\Cal E$ ellipszoidot a 
(11)~formul\'aban defini\'al\'o $a_k$ sorozat legyen monoton
cs\"okken\H{o}. Ekkor
$$
e_n(\Cal E,d)\ge \frac12a_{2^n}\quad\text{\'es}\quad 
e_{n+3}(\Cal E,d)\le3\max_{1\le
k\le n}a_{2^k}2^{k-n},
$$
ahol $e_n(\Cal E,d)$ a (4) formul\'aban van defini\'alva, \'es $d$
a szok\'asos $\|t\|^2=\summ_{k=1}^\infty t_k^2$, ha $t=(t_1,t_2,\dots)$
Hilbert-t\'erbeli norma \'altal defini\'alt metrika.}

\medskip\noindent
{\it Az ellipszoid t\'etel bizony\'{\i}t\'asa az el\H{o}z\H{o}
eredm\'enyek alapj\'an.} Alkalmazzuk a $p$-konvex terekben val\'o 
becsl\'esekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelt a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ 
norm\'aval, melynek a (11) formul\'aban defini\'alt 
$\Cal E$ ellipszoid az egys\'egg\"ombje, \'es a $\|\cdot\|_1$ 
norma legyen $\|t\|_1^2=\summ_{k=1}^\infty t_k^2$, ha 
$t=(t_1,t_2,\dots)$. Azt kapjuk, hogy
$$
\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)\le K(\alpha)\sup_{0\le n<\infty}
2^{n/\alpha}e_n(\Cal E,d).
$$
Az $\Cal E$ ellipszoid definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $t_k$ 
v\'altoz\'ok indexeinek esetleges \'atrendez\'es\'evel 
feltehetj\"uk, hogy az $a_k$ konstansok monoton cs\"okkennek.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi a $2^{n/\alpha}e_n(\Cal E,d)$ mennyis\'eg 
becsl\'es\'et a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norma \'es az annak 
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $a_k$ konstansok 
kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Azt kapjuk, hogy 
$$
2^{n/\alpha}e_n(\Cal E,d)\le 
3\max\limits_{1\le k\le n-3}2^{k/\alpha}2^{(k-n)(1-1/\alpha)}a_{2^k}
\le C\max\limits_{1\le k\le n}2^{k/\alpha}a_{2^k},
$$ 
mert $(k-n)(1-1/\alpha)\le0$, ha $k\le n$ \'es $\alpha\ge1$. Innen
$$
\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)\le \bar K(\alpha)
\sup_{0\le n<\infty}2^{n/\alpha}a_{2^n}. 
$$

Az $a_i$ sorozat monotonit\'as\'at kihaszn\'alva $\e=a_{2^n}$
v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy 
$\text{card}\,\{i\colon\; a_i\ge \e\}\ge2^n$, ez\'ert 
$\e\(\text{card}\,\{i\colon\; a_i\ge \e\}\)^{1/\alpha}
\ge2^{n/\alpha}a_{2^n}$.
Innen,
$$
\gamma_{\alpha,2}(\Cal E,d)\le \bar K(\alpha)
\sup_{0\le n<\infty}2^{n/\alpha}a_{2^n}\le \bar K(\alpha)\sup_{\e>0} 
\e\(\text{card}\,\{i\colon\; a_i\ge \e\}\)^{1/\alpha}.
$$

\medskip\noindent
{\it A $p$-konvex terekben val\'o becsl\'esekr\H{o}l sz\'ol\'o 
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak alapgondolata.}\/ A bizony\'{\i}t\'as 
a T\'etel~B egy itt ki nem mondott \'altal\'anosabb v\'altozat\'at 
haszn\'alja. Ebben az \'altal\'anos\'{\i}t\'asban egy metrikus 
t\'eren adott funk\-cio\-n\'a\-lok n\"oveked\'esi tulajdons\'ag\'at 
kiss\'e \'altal\'anosabban defini\'aljuk. Ugyanolyan 
tulajdons\'ag\'u $t_l$ pontokat \'es $H_l$ halmazokat tekint\"unk, 
de a (7)~rel\'aci\'o helyett azt k\"ovetelj\"uk meg, hogy az $F$
funkcion\'al az
$$
F\(\bigcup_{1\le l\le m} H_l\)-\min_{1\le l\le m}F(H_l)\ge h(n,a) \tag14
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget teljes\'{\i}tse valamilyen alkalmas $h(n,a)$
f\"uggv\'ennyel. A speci\'alis $h(n,a)=ca 2^{(n+1)/2}$ v\'alaszt\'as 
a (7)~formul\'at adja. Az \'altal\'anos esetben a n\"oveked\'esi 
tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese valamely $h(n,a)$ f\"uggv\'ennyel
a (8) formula egy v\'altozat\'at implik\'alja, amelyben a
$\supp_{t\in T}\summ_{n=1}^\infty c2^{n/2}\Delta(A_n(t))$ \"osszeg
helyett egy hasonl\'o, de a $h(n,a)$ f\"uggv\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}
kifejez\'es szerepel. C\'elunk a (14) formula bizony\'{\i}t\'asa 
olyan $F$ funkcion\'allal \'es $h(n,a)$ f\"uggv\'ennyel, amelyre 
a T\'etel~B \'altal\'anos alakja a $p$-konvex terekben val\'o 
becs\-l\'e\-sek\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel eredm\'eny\'et adja. 

A k\"ovetkez\H{o} a $T$ egys\'egg\"omb r\'eszhalmazain defini\'alt
$F$ funkcion\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk bel\'atni
a t\'etelt.
$$
F(A)=1-\inf\{\|v\|\colon\; v\in \text{conv}\,A\}, \quad A\subset T.
$$
Itt \'es a tov\'abbiakban $\text{conv}\, A$ az $A$ halmaz konvex
burk\'at jel\"oli.

Ezzel az $F$ funkcion\'allal \'es alkalmas $h(n,a)$ 
f\"uggv\'ennyel pr\'ob\'aljuk bel\'atni a (14)~re\-l\'a\-ci\'ot. Az 
ellen\H{o}rizend\H{o} rel\'aci\'o megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben 
r\"ogz\'{\i}t\"unk egy $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz \'es egy 
val\'os $a>0$ sz\'amot, majd tekint\"unk  $m=N_{n+2}$ olyan 
$t_1,\dots,t_m\in T$ pontot, amelyekre $d(t_l,t_{l'})\ge a$, 
ha $1\le l,l'\le m$, \'es $l\neq l'$, ($\tau=1$ v\'alaszt\'assal 
dolgozunk) valamint $H_l\in T\cap B_d(t_l,\frac ar)$, 
$1\le l\le m$, halmazokat valamilyen el\'eg nagy $r\ge4$ 
sz\'ammal. (A funkcion\'alok n\"oveked\'esi tulajdons\'ag\'anak 
ellen\H{o}rz\'esekor kell ilyen objektumokat tekinteni. Itt
nem \'{\i}rjuk el\H{o}, hogy a $t_l$, $1\le l\le m$, pontok
mindegyike egy r\"ogz\'{\i}tett $B_d(s,ar)$ g\"ombben fek\"udj\"on.) 
A $d$ metrika a fenti definici\'okban a $\|\cdot\|_1$ norma \'altal 
defini\'alt t\'avols\'ag.

Legyen
$$
u=\inf\left\{\|v\|\colon\; v\in\text{conv}\,\(\bigcupp_{l=1}^m H_l\)\right\}
=1-F\(\bigcupp_{l=1}^m H_l\),
$$
\'es v\'alasszunk egy olyan $u'$ sz\'amot, amelyre
$$
u'>
\max_{1\le l\le m}\inf\{\|v\|\colon\; v\in\text{conv}\,H_l\}
=1-\min_{1\le l\le m}F(H_l).
$$
A (14) formula bizony\'{\i}t\'as\'aban j\'o becsl\'est adunk 
az $u'-u$ k\"ul\"onbs\'egre egy alkalmas $h(n,a)$ f\"uggv\'ennyel.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or az $e_n(T,d)$ mennyis\'egre
adunk als\'o becsl\'est (a $\|\cdot\|_1$ norma \'altal 
meghat\'arozott $d$ t\'avols\'aggal) az $u'-u$ \'es $a$ 
param\'eterek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

V\'alasszunk olyan $v_l\in\text{conv}\,H_l$, $1\le l\le m$, pontokat,
amelyekre $\|v_l\|\le u''=\min(u',1)$. Ilyen $v_l$ pontok l\'eteznek. Olyan
$v_l\in\text{conv}\,H_l$ pontokat kell v\'alasztani, amelyekre
$\|v_l\|$ el\'eg k\"ozel van az 
$\inf\{\|v\|\colon\;v\in\text{conv}\,H_l\}$ mennyis\'eghez. Ekkor 
a $p$-konvex tulajdons\'ag miatt
$$
\left\|\frac{v_l+v_{l'}}{2u''}\right\|
\le 1-\eta\left\|\frac{v_l-v_{l'}}{u''}\right\|^p,
$$
\'es mivel $\frac{v_l+v_{l'}}2\in\text{conv}\,\(\bigcupp_{j=1}^mH_j\)$,
$\frac u{u''}\le\left\|\frac{v_l+v_{l'}}{2u''}\right\|$
minden $1\le l,l'\le m$ indexre. Ez\'ert 
$$
\frac u{u''}\le 1-\eta\left\|\frac{v_l-v_{l'}}{u''}\right\|^p,
$$
Innen azt kapjuk ($l'=1$ v\'alaszt\'assal), hogy mivel $p\ge1$
$$
\|v_l-v_1\|\le u''\(\frac {u''-u}{\eta u''}\)^{1/p}
\le\( \frac{u''-u}{\eta}\)^{1/p}
\le\( \frac{u'-u}{\eta}\)^{1/p}.
$$
Legyen $R=\( \frac{u'-u}{\eta}\)^{1/p}$. Ekkor a $w_l=\frac{v_l-v_1}R$,
$1\le l\le m$, pontok mindegyik\'ere $\|w_l\|\le1$, azaz $w_l\in T$.
Tov\'abb\'a, mivel a $v_l$ pontok konstrukci\'oj\'ab\'ol \'es a $H_l$
halmazok tulajdons\'agaib\'ol ad\'odik, hogy $d(v_l,v_{l'})\ge \frac a2$,
ha $l\neq l'$, \'es a $d$ t\'avols\'ag egy norm\'ab\'ol sz\'armazik, 
ez\'ert $d(w_l,w_{l'})\ge\frac a{2R}$ minden $1\le l,l'\le m$, \'es 
$l\neq l'$ sz\'amra. Ez viszont azt jelenti, hogy 
$e_{n+1}(T,d)\ge \frac a{4R}$. Val\'oban, ha vessz\"uk a $T$ halmaz 
tetsz\H{o}leges $b<\frac a{4R}$ sugar\'u g\"omb\"okkel val\'o fed\'es\'et,
akkor a $w_l$ pontok mindegyike k\"ul\"onb\H{o}z\H{o} g\"ombben van,
ez\'ert a fed\H{o} g\"omb\"ok sz\'ama legal\'abb $m=N_{n+2}$, ez\'ert
$e_{n+1}(T,d)\ge b$.

Az $e_{n+1}(T,d)\ge \frac a{4R}$ egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l azt
kapjuk, hogy $u'-u\ge\eta \(\frac a{4e_{n+1}(T,d)}\)^p$. 
Felhaszn\'alva az $u$ \'es $u'$ mennyis\'egek definici\'oj\'at,
illetve szabads\'agunkat az $u'$ 
meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-ban azt kapjuk, hogy
$$
F\(\bigcup_{1\le l\le m} H_l\)-\min_{1\le l\le m}F(H_l)\ge 
\eta \(\frac a{4e_{n+1}(T,d)}\)^p. 
$$
Ez egy (14) tipus\'u egyenl\H{o}tlens\'eg speci\'alis
$h(n,a)=\eta \(\frac a{4e_{n+1}(T,d)}\)^p$ f\"uggv\'ennyel.

Vezess\"uk be az $S=\supp_{n\ge1}2^{n/\alpha}e_n(T,d)$, \'es
$c=\frac\eta{(4S)^p}$ mennyis\'egeket.
Ezen kifejez\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rhatjuk az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et.
$$
F\(\bigcup_{1\le l\le m} H_l\)-\min_{1\le l\le m}F(H_l)
\ge c2^{(n+1)p/\alpha}a^p.
$$
A T\'etel~B \'altal\'anosabb alakj\'ab\'ol, pontosabban annak a 
(8)~\'es (9)~formul\'aban megfogalmazott k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l 
\'es a tekintett $F$ funkcion\'al n\'eh\'any k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o} tulajdons\'ag\'ab\'ol kapjuk, hogy
$$
\supp_{t\in T}\summ_{n=0}^\infty c2^{np/\alpha}\Delta^p(A_n(t))
\le C(\alpha,p,\eta).
$$
Mivel
$$
\summ_{n=0}^\infty c2^{np/\alpha}\Delta^p(A_n(t))
=\frac\eta{(4S)^p}\sum_{n=0}^\infty \(2^{n/\alpha}\Delta(A_n(t))\)^p,
$$
ebb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l, illetve az $S$ mennyis\'eg
definici\'oj\'ab\'ol (n\'emi extra munk\'aval) k\"ovetkezik a t\'etel 
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it A $\gamma_2(\Cal E,d)$ becsl\'ese egy hiperboloidra.}

\medskip\noindent
A $\gamma_2(\Cal E,d)$ mennyis\'eg \'ert\'ek\'et egy a (11) form\'aban
defini\'alt $\Cal E$ hiperboloidra egy univerz\'alis konstans
szorz\'o erej\'eig pontosan meg lehet adni. Nevezetesen
a (11) formul\'aban defini\'alt $\Cal E$ ellipszoidra 
$$
\frac1L\(\sum_{k=1}^\infty a_k^2\)^{1/2}\le \gamma_2(\Cal E,d)\le
L\(\sum_{k=1}^\infty a_k^2\)^{1/2} \tag15
$$
egy univerz\'alis $L>0$ sz\'ammal. Ennek az egyenl\H{o}tlens\'egnek 
a bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}, ha a $\gamma_2(\Cal E,d)$ helyett 
a vele azonos nagy\-s\'ag\-ren\-d\H{u} 
$E\(\supp_{t=(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k\)$ 
kifejez\'est becs\"ulj\"uk meg, ahol $g_1,g_2,\dots$ f\"uggetlen, 
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'al\-to\-z\'ok sorozata.

Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
E\(\supp_{t=(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k\)^2
&=E\(\supp_{t=(t_1,t_2,\dots)\colon\; \summ_{k=1}^\infty 
\(\frac {t_k}{a_k}\)^2\le1}
\summ_{k=1}^\infty \frac{t_k}{a_k}(a_kg_k)\)^2 \\
&=E\summ_{k=1}^\infty a_k^2g_k^2=\sum_{k=1}^\infty a_k^2,
\endalign
$$
mivel a baloldalon a v\'arhat\'o \'ert\'eken bel\"ul szerepl\H{o}
\"osszeg r\"ogz\'{\i}tett $g_1(\oo),g_2(\oo),\dots$ \'ert\'ekekre a 
$\frac{t_k}{a_k}=\frac{a_kg_k}{\(\summ_{k=1}^\infty a_k^2g_k^2\)^{1/2}}$,
$k=1,2,\dots$, helyen veszi fel a maximum\'at. Innen \'es a Schwarz
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l ad\'odik, hogy
$E\(\supp_{t=(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k\)\le
\(\summ_{k=1}^\infty a_k^2\)^{1/2}$. Ledoux norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok maxi\-mu\-m\'a\-r\'ol sz\'ol\'o
koncentr\'aci\'os egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-ge seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
meg lehet mutatni, hogy az
$E\(\supp_{t=(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k\)\ge C
\(\summ_{k=1}^\infty a_k^2\)^{1/2}$ als\'o becsl\'es is \'erv\'enyes
alkalmas $C>0$ konstanssal. Azt kell \'eszrevenni, hogy ezen 
eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a tekintett szupr\'emum v\'arhat\'o
\'ert\'eke nem lehet sokkal kisebb, mint a m\'asodik momentum\'anak
n\'egyzetgy\"oke. Ugyanis ezen eredm\'eny alapj\'an
$$
\align
&E\(\supp_{(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k-
E\(\supp_{(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\summ_{k=1}^\infty t_kg_k\)\)^2
\le2\sup_{(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}E\(\sum_{k=1}^\infty t_kg_k\)^2\\
&\qquad =2\sup_{(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\sum_{k=1}^\infty t_k^2
=2\sup_{(t_1,t_2,\dots)\in\Cal E}\sum_{k=1}^\infty \(\frac{t_k}{a_k}\)^2a_k^2
\le2 \sup_{1\le k<\infty}a_k^2 \le2\sum_{k=1}^\infty a_k^2.
\endalign
$$

A (15) formula azt adja az Ajtai--Koml\'os--Tusn\'ady t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} (13) formul\'aban defini\'alt
$\Cal E$ ellipszoidra, hogy $\gamma_2(\Cal E,d)=\infty$. Ez 
magyar\'azatot ad arra, hogy mi\'ert kellett a bizony\'{\i}t\'asban 
a $\gamma_{1,2}(\Cal E,d)$ mennyis\'eget becs\"ulni a
$\gamma_2(\Cal E,d)$ kifejez\'es helyett.

\medskip
Ki lehet sz\'amolni a Dudley becsl\'es\'eben fell\'ep\H{o}
$\summ_{n=0}^\infty 2^{n/2}e_n(\Cal E,d)$ menyis\'eg pontos 
nagys\'agrendj\'et is (konstans szorz\'o erej\'eig) egy a 
(11)~formul\'aban defini\'alt ellipszoidra. A sz\'amol\'as
legfontosabb l\'ep\'ese a $\|\cdot\|_{\Cal E}$ norma \'es az annak
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $a_k$ konstansok 
kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol sz\'ol\'o kor\'abban megfogalmazott
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa. Ennek az eredm\'enynek az 
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa a $\gamma_2(\Cal E,d)$ kifejez\'ere
adott becsl\'essel szint\'en megmutatja, hogy bizonyos esetekben
Talagrand becsl\'ese norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok maximum\'anak a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l l\'enyegesen jobb, mint Dudley 
becsl\'ese. De mivel erre az eredm\'enyre itt nincs 
sz\"uks\'eg\"unk, ez\'ert ennek t\'argyal\'as\'at elhagyom.






\bye


