\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
 
\beginsection Norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok
 
{\it Eml\'ekeztet\H o:}\/ $\xi$  standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, ha
eloszl\'as\'at a k\"o\-vet\-ke\-z\H o k\'eplet hat\'arozza meg:
$$
P(\xi<x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt=\Phi(x).
$$
(\'Altal\'anos  jel\H ol\'esi szok\'as: A standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyt
$\Phi(x)$, a standard  norm\'alis s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enyt pedig
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ jel\"oli.) Legyenek
$\xi_1$,
\dots, $\xi_n$ f\"ug\-get\-len  standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'ok, \'es
vezess\"uk be a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$  jel\"ol\'est. Legyen $\A$
egy
$n\times n$-es m\'atrix, \'es $\eta=\xi\A$. Ekkor $\eta$ $n$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u 0 v\'arhat\'o  \'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'al\-to\-z\'o. Minden
$n$-dimenzi\'os 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u   norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'al\-to\-z\'o ilyen alak\'u, azaz az $\eta$  $n$  dimenzi\'os
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'al\-to\-z\'o akkor \'es csak akkor norm\'alis  eloszl\'as\'u 0
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, ha
l\'etezik olyan $\A$ $n\times n$-es m\'atrix, hogy $\eta$ eloszl\'asa
megegyezik az $\xi\A$, $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$  val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'al\-to\-z\'o
eloszl\'as\'aval, ahol $\xi_1$, \dots, $\xi_n$  f\"ug\-get\-len standard
norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'ok.  Legyen
$m=(m_1,\dots,m_n)$ $n$
dimenzi\'os vektor. Ekkor $\eta+m$ \ $n$ dimenzi\'os  norm\'alis
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'al\-to\-z\'o $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, ha $\eta$ \ $n$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.  Minden
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'al\-to\-z\'o el\H o\'all\'\i{}that\'o ilyen m\'odon.
\bigskip\noindent{\it Feladatok:}
\smallskip
\item{1.)} Legyen $\eta=\xi\A+m$, ahol $\A$ $n\times n$ m\'atrix,
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$, ahol $\xi_1$, \dots, $\xi_n$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'a\-lto\-z\'ok, \'es $m$ \ $n$ dimenzi\'os vektor.
L\'assuk be, hogy $\eta$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi(t)=E e^{i(t,\eta)}=e^{-t\A^*\A t^*/2+i(m,t)},
$$
ahol $t=(t_1,\dots,t_n)$ $n$ dimenzi\'os vektor, $(\cdot,\cdot)$
skal\'arszorzatot \'es \ ${}^*$ transzpon\'altat jel\"ol.
\item{2.)} Legyen $\eta=\xi\A+m$ olyan  mint az el\H oz\H o feladatban.
Tegy\"uk
fel ezenk\'\i{}v\"ul azt, hogy az $\A$ m\'atrix invert\'alhat\'o.
Ekkor az $\eta$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi  v\'altoz\'onak van s\H u\-r\H
u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, amelyik a k\"ovetkez\H o alak\'u:
$$
f(x)=\frac1{(2\pi)^{n/2}|\det \A|}\exp\left\{
-(x-m)(\A^*\A)^{-1}(x-m)^*/2\right\} \;,
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_n)\in R^n$ $n$ dimenzi\'os vektor.
\item{3.)} Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)$  val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o akkor
\'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha  a karakterisztikus
f\"uggv\'enye
$e^{-t\DD t^*/2+i(m,t)}$ alak\'u, ahol $\DD$ pozit\'\i{}v (szemi)definit
m\'atrix. A $\DD$ m\'atrix az $\eta$ sztochasztikus vektor
$\DD=(d_{j,k})=(E\eta_j\eta_k-E\eta_jE\eta_k)$ kovarianciam\'atrixa,
$m=(E\eta_1,\dots,E\eta_n)$ az $\eta$ vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke.
\item{} Mutassuk meg,  hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at meg\-ha\-t\'a\-roz\-za  annak kovarianciam\'atrixa \'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektora. Ebben  az \'all\'\i{}t\'asban a norm\'alis eloszl\'as
megk\"ovetel\'ese fontos.
Mutassuk meg, hogy  tetsz\H oleges norm\'alis eloszl\'ashoz megadhat\'o
olyan nem
norm\'alis eloszl\'as,  melynek megegyezik a kovarianciam\'atrixa \'es
v\'arhat\'o
\'ert\'eke ezzel a norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'oval.
\item{} Mutassuk meg, hogy tetsz\H oleges $(X_1,\dots,X_k)$ (nem
felt\'etlen\"ul norm\'alis eloszl\'as\'u) val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
vektornak, mely mindegyik koordin\'at\'aj\'anak l\'etezik m\'asodik
momentuma, azaz $EX_p^2<\infty$, $p=1,\dots,k$, a $\DD=(d_{p,q})$,
$d_{p,q}=EX_pX_q-EX_pEX_q$, $1\le p,q\le k$, kovarianciam\'atrixa
pozit\'\i{}v (szemi)definit. Ez\'ert l\'etezik olyan $(Y_1,\dots, Y_k)$
norm\'alis vektor, melynek a kovarianciam\'atrixa \'es v\'arhat\'o
\'ert\'ekvektora megegyezik az $(X_1,\dots,X_k)$
kovarianciam\'atrix\'aval \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel.
\item{4.)} Az el\H oz\H o  feladatban szerepl\H o $\eta$
vektornak akkor van
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye, ha a $\DD$ m\'atrix pozit\'\i{}v definit,
\'es a s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny
$$
f(x)=\frac1{(2\pi)^{n/2}|\det \DD|^{1/2}}\exp\left\{
-(x-m)\DD^{-1}(x-m)^*/2\right\} \;,
$$
alak\'u.
\item{5.)} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra
$[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{6.)} Legyen $0\le u_1\le u_2\le \cdots\le u_n$
val\'os sz\'amok. L\'assuk
be, hogy l\'etezik olyan $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor, melyre
$E\xi_k=0$ \'es $E\xi_j\xi_k=\min(u_j,u_k)$
minden $1\le u_j,u_k\le n$-re.
\item{7.)} Minden $x>0$-ra
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x),
$$
ahol $\Phi(x)$ \'es $\varphi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'as \'es
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny.
\item{} \'Altal\'anosabban, minden $k\ge0$-ra teljes\"ul a
$$
\sum_{l=0}^{2k+1}\frac{(-1)^lc_l}{x^{2l+1}}\,\varphi(x)<1-\Phi(x)<
\sum_{l=0}^{2k}\frac{(-1)^lc_l}{x^{2l+1}}\,\varphi(x)\;,\quad\text{ha }
x>0
$$
egyenl\H otlens\'eg alkalmas $c_l>0$ konstansokkal, ahol $c_0=1$,
c$_1=1$, $c_2=3$, \'es a tov\'abbi konstansok is explicit m\'odon
megadhat\'oak.
\item{8.)} Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor. Ha valamilyen $1\le p<n$-re a
kovariancia
f\"uggv\'eny teljes\'\i{}ti az $E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=0$ felt\'etelt
minden $1\le j\le p<k\le n$ eset\'en, akkor a $(\xi_1,\dots,\xi_p)$ \'es
$(\xi_{p+1},\dots,\xi_n)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek.
\item{9.)} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor $\xi$ felt\'eteles eloszl\'asa $\eta=y$
felt\'etel eset\'en a norm\'alis eloszl\'as
$\sigma_{1,1}-\dfrac{\sigma_{1,2}^2}
{\sigma_{2,2}}$ sz\'or\'asn\'egyzettel \'es
$m_1-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}y$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.
\item{} Hogy lehet l\'atni, hogy a $\xi$ felt\'eteles eloszl\'as\'anak
a sz\'or\'asa nem negat\'\i{}v? Mikor egyenl\H o 0-val ez a sz\'or\'as?
\item{} Hogy \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti \'all\'\i{}t\'as abban az esetben, ha $\xi$
\'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is lehetnek?
\item{10.)}Az $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi  vektor
akkor \'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha tetsz\'oleges
$\sum\limits_{p=1}^k
a_p\xi_p$ line\'aris kombin\'aci\'o norm\'alis eloszl\'as\'u.
\item{$10'$)} A $(\xi_{1,n},\dots,\xi_{k,n})$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
vektorok akkor \'es csak akkor konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$
vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, ha tetsz\H oleges $\sum\limits_{p=1}^k
a_p\xi_{p,n}$ line\'aris kombin\'aci\'o eloszl\'asban konverg\'al a
$\sum\limits_{p=1}^k a_p\xi_p$ vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en.
\item{11.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, norm\'alis, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok 0 v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. L\'assuk be, hogy
\itemitem{a.)} $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\itemitem{b.)} A $\dfrac\xi\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
Cauchy eloszl\'as\'u,
azaz az  eloszl\'as s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $\dfrac1{\pi(1+x^2)}$.
\item{12.)} A k\"ovetkez\H o j\'at\'ekot j\'atszuk: P\'enzdarabot
dobunk fel
ezerszer. Fej  dob\'as eset\'en 1 forintot nyer\"unk, \'\i{}r\'as
eset\'en 1 forintot
vesz\'\i{}t\"unk. A j\'at\'ek eredm\'enye 400 fej \'es 600 \'\i{}r\'as, azaz k\'etsz\'az forint
vesztes\'eg. Mire gyanakszunk, rossz  szerencs\'ere vagy szab\'alytalan
p\'enzdarabra?  A v\'alasz term\'eszetesen szubjektiv, de \'erdekes
tudni a
k\"ovetkez\H ot: Mi a val\'osz\'\i{}n\H us\'ege annak, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab
feldob\'asa eset\'en ilyen eredm\'eny sz\"uletik?
\item{13.)} Legyen $(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)$ nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H u
norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor. L\'assuk be, hogy
$$
E\xi_1\xi_2\xi_3\xi_4=E\xi_1\xi_2E\xi_3\xi_4+E\xi_1\xi_3E\xi_2\xi_4
+E\xi_1\xi_4E\xi_2\xi_3\;.
$$
\newpage
 
\noindent{\it Seg\'\i{}ts\'eg, megold\'asok, megold\'asv\'azlatok:}
\item{1.)} Haszn\'aljuk fel,  hogy a $\xi$ standard norm\'alis
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(s)=Ee^{is\xi}=Ee^{-s^2/2}$,
\'es mivel $\xi_1$, \dots, $\xi_n$ f\"uggetlen standard norm\'alis
val\'osz\'\i{}n\H usz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, ez\'ert tetsz\H
oleges $s_1$, \dots, $s_n$ val\'os sz\'amokra
$$
Ee^{i(s_1\xi_1+\cdots+s_n\xi_n)}=\prod_{k=1}^ne^{-s_k^2/2}=
e^{-(s,s)/2}\;,
$$
ahol $s=(s_1,\dots,s_n)$. Ez\'ert
$Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t\A^*,\xi)+i(t,m)}=e^{-t\A^*\A t^*/2+i(t,m)}$.
\item{2.)} Az al\'abbi sz\'amol\'as l\'enyege a  k\"ovetkez\H o: Annak
a val\'osz\'\i{}n\H us\'eg\'et,
hogy az $\eta\in B$ tetsz\H oleges m\'erhet\H o $B\subset R^n$
tartom\'anyra fejezz\"uk ki,
mint annak a va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-g\'et, hogy a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o beesik
egy alkalmas tartom\'anyba, \'es ezt a val\'osz\'\i{}n\H us\'eget
fejezz\"uk ki az
ismert s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\H u $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o integr\'aljak\'ent.
Integr\'altranszform\'aci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel fejezz\"uk ki ezt a
mennyis\'eget, mint
egy alkalmas f\"uggv\'eny integr\'alj\'at a $B$ tartom\'anyban.  Mivel
az \'\i{}gy
kapott f\"uggv\'eny nem f\"ugg a $B$ tartom\'anyt\'ol, ez lesz a
keresett s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny.
$$
\align P(\eta\in B)&=P(\xi\in (B-m)\A^{-1})=\int_{u\in
(B-m)\A^{-1}} \frac1{(2\pi)^{n/2}} e^{-(u,u)/2} \,du \\
&=\int_{u\in B}
\frac1{(2\pi)^{n/2}|\det A|} e^{-(u-m)(\A^*\A)^{-1}(u-m)^*/2} \,du.
\endalign
$$
Az utols\'o azonoss\'ag bizony\'\i{}t\'as\'aban haszn\'aljuk fel, hogy
ha $\bold T$
invert\'alhat\'o le\-k\'e\-pe\-z\'e\-se egy $D\subset R^n$
tartom\'anynak egy $\bold T (D)$ tartom\'anyra, $\bold T(u)=(\bold
T_1(u),\dots,\bold T_n(u))$, $u\in R^n$, tov\'abb\'a mind $\bold T$ mind
annak inverze $\bold T^{(-1)}$ differenci\'alhat\'o, akkor a
k\"ovetkez\H o
integr\'alhelyettes\'\i{}t\'esi transzform\'aci\'o \'erv\'enyes:
$$
\int _{u\in D}f(u)\,du=\int_{u\in\bold T^{-1}D}f(\bold T u)\frac
1{\left|\det\(\frac{\partial \bold T_j}{\partial u_k}\)\right|}\,du\;.
$$
Itt a $\(\dfrac{\partial \bold T_j}{\partial u_k}\)$ m\'atrix a $\bold
T$ transzform\'aci\'o Jacobianja. (V\'alasszunk  $\bold T(u)
=(u-m)\A^{-1}$-et \'es
$D=(B-m)\A^{-1}$-et). Mi a szeml\'eletes tartalma az
in\-teg\-r\'al\-transz\-for\-m\'a\-ci\-\'os formul\'anak? Olvassuk ki a
seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapott
azonoss\'agb\'ol a k\'\i{}v\'ant eredm\'enyt.
\item{3.)} Az els\H o feladat seg\'\i{}ts\'eg\'evel l\'assuk be, hogy
egy norm\'alis
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye az adott alak\'u. Azt, hogy
minden ilyen alak\'u karakterisztikus f\"uggv\'eny val\'oban el\H o\'all,
l\'assuk be azt a
line\'aris algebrai \'all\'\i{}t\'ast bizony\'\i{}tva be el\H osz\"or,
hogy tetsz\H oleges
(szimmetrikus) pozit\'\i{}v szemidefinit $\DD$ m\'atrixb\'ol lehet
n\'egyzetgy\"ok\"ot
vonni, azaz a $\DD=\A^2$ reprezent\'aci\'o lehets\'eges alkalmas
(szimmetrikus, pozit\'\i{}v definit) $\A$ m\'atrix seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
Az utols\'o
\'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'as\'aban haszn\'aljuk ki, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az eloszl\'ast.
\item{} Be kell l\'atni, hogy tetsz\H oleges $u=(u_1,\dots,u_k)$
vektorra $u\DD u^*\ge0$. De $u\DD u^*=\sum\limits_{p=1}^k
\sum\limits_{q=1}^k u_pu_qE(X_p-EX_p)(X_q-EX_q)=
E\(\sum\limits_{p=1}^q u_p(X_p-EX_p)\)^2\ge 0$.
(Ha $X_p$-nek l\'etezik m\'asodik momentuma, akkor l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke is. Mi\'ert?)
\item{4.)} L\'assuk, be az \'all\'\i{}t\'ast a m\'asodik feladat \'es
a $\det \A\BB=\det\A\det\BB$ azonoss\'ag seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\item{5.)} A $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
azonos eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a
$P(\xi+\eta=0)=1/2$ azonoss\'agb\'ol. Mi\'ert?
\item{6.)} Legyen $v_k=u_k-u_{k-1}$, $k=1,\dots,n$, ahol
$u_0=0$. Legenek $\eta_1$, \dots,
$\eta_n$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok
$E\eta_k=0$, $E\eta_k^2=v_k$, $k=1,\dots,n$. Ekkor
$\xi_k=\sum\limits_{j=1}^k\eta_j$, $k=1,\dots,n$ teljes\'\i{}ti az
\'all\'\i{}t\'as felt\'eteleit.
\item{}{\it M\'asik megold\'as:}\/ El\'eg bel\'atni, hogy a
$\DD=(d_{j,k})=(\min(u_j,u_k)$ pozit\'\i{}v definit m\'atrix, azaz
$$
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \min(u_j,u_k)x_jx_k=
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^
{\min(j,k)}v_px_jx_k=\sum_{p=1}^nv_p\(\sum_{k=p}^n
x_k\)^2\ge 0
$$
tetsz\H oleges val\'os $x_1,\dots,x_n$ sz\'amokra.
\item{7.)} L\'assuk be parci\'alis integr\'al\'assal, hogy
$$
\align
\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du&=\frac1x e^{-x^2/2}-
\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du\\
&=\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du\;,
\endalign
$$
\'es vezess\"uk le az els\H o \'all\'\i{}t\'ast ebb\H ol az
azonoss\'agb\'ol.
\item{} Az \'altal\'anosabb \'all\'{\i}t\'as tov\'abbi parci\'alis
integr\'al\'assal hasonl\'o m\'odon bizony\'{\i}that\'o.
\item{8.)} A $\xi$ \'es $\eta$ vektorok akkor \'es csak akkor
f\"uggetlenek, ha az egy\"uttes karakterisztikus f\"uggv\'eny\"uk
szorzatalakban \'all el\H o, azaz
$Ee^{i(s,\xi)+i(t,\eta)}=Ee^{i(s,\xi)}Ee^{i(t,\eta)}$ tetsz\H oleges
$s$ \'es $t$ vektorra. Mi\'ert? L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast ezen
\"osszef\"ugg\'es seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\item{9.)} L\'assuk be, hogy a
$\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1,1}}\eta$
f\"uggetlen az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi  v\'altoz\'ot\'ol.
L\'assuk be ennek az
\'all\'\i{}t\'asnak \'es a felt\'eteles eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an, hogy
$$
\align
P(\xi<x|\eta=y)&=P\left.\(\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1,1}}\eta
<x-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1,1}}y\right|\eta=y\)\\
&=P\(\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1,1}}\eta
<x-\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1,1}}y\)\;.
\endalign
$$
Mi\'ert? Olvassuk ki ebb\H ol az \"osszef\"ugg\'esb\H ol az
\'all\'\i{}t\'ast. A
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$, $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$
vektorv\'altoz\'ok
eset\'et bizony\'\i{}tsuk be hasonl\'oan. Ehhez l\'assuk be, hogy
l\'etezik olyan $\A$ m\'atrix, melyre $\eta$ \'es $\xi-\eta\A$
f\"uggetlenek. Val\'oban,
L\'assuk be, el\H osz\"or, hogy
l\'etezik olyan $\U$ unit\'er m\'atrix melyre $\eta\U=(\bar
\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor koordin\'at\'ai f\"uggetlenek.
Legyen $\bar \xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p \dfrac{E\xi_r\bar
\eta_k}{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.  Ezt
m\'a\-trix\-je\l\"o\-l\'es\-sel
\'\i{}rjuk $\bar\xi=\xi-\bar \eta\BB$ form\'aban. L\'assuk be,
hogy a $\xi-
\bar\eta\BB$ \'es $\bar\eta$ vektorok
\'es $\eta$ vektorok f\"uggetlenek. De ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy a
$\xi-\bar\eta$ az $\eta=\bar\eta U^*$ vektort\'ol is f\"ggetlen.
\item{10.)} Az \'all\'\i{}t\'as nem trivi\'alis r\'esze: Tegy\"uk fel,
hogy minden
line\'aris kombin\'aci\'o norm\'alis eloszl\'as\'u. \'Irjuk fel ezt az
\'all\'\i{}t\'ast a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en. Ennek alap\'an mutassuk
meg, hogy a
vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye is norm\'alis eloszl\'as\'u.
$$
\align
E\exp\left\{i\sum_{p=1}^k t_p\xi_p\right\}&=
\exp\left\{-E\(\sum_{p=1}^k t_p\xi_p-E\(\sum_{p=1}^k\! t_p\xi_p\)\)^2\!
\biggr/2 +iE\(\sum_{p=1}^k \! t_k\xi_p\)\right\}\\
&=\exp\left\{-\sum_{p=1}^k\sum_{q=1}^k t_kt_l
(E\xi_p\xi_q-E\xi_pE\xi_q)/2+
\sum_{p=1}^kt_p iE\xi_p\right\} \\ &=e^{-t\DD t^*/2+i(m,t)}\;.
\endalign
$$
E sz\'amol\'as sor\'an kihaszn\'altuk,  hogy a val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'oknak van
m\'asodik momentumuk, mert
$Ee^{it\xi_j}=e^{-t^2(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2)/2+itE\xi_j}$.
\item{$10'$)} Haszn\'aljuk fel, hogy val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
(vektor)v\'altoz\'ok akkor
\'es csak akkor kon\-ver\-g\'al\-nak eloszl\'asban egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ohoz, ha
a karakterisztikus f\"uggv\'enyeik konverg\'alnak e v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez.
\item{11.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u.
 \item{a.)} $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt x)$. \'Irjuk fel
$\xi^2$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvol\'uci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enyt.
$$
f(x)=\int_0^x\frac1{\sqrt{u(x-u)}\pi} e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du=e^{-x/2}
\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}\pi}\,dv=\frac12 e^{-x/2}
$$
\item{b.)}
$$
\align
P\(\frac\xi\eta <x\)&=\iint_{v<xu }\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{\frac{-\pi}2\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x
\endalign
$$
\item{12.)} Alkalmazzuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
azon esem\'eny
val\'osz\'\i{}n\H us\'eg\'enek a ki\-sz\'a\-m\'\i{}\-t\'a\-s\'a\-hoz,
hogy az \'atlagt\'ol val\'o elt\'er\'es
nagyobb mint 100. A sz\'or\'asn\'egyzet $1000\times 1/4=250$ ez\'ert a
keresett
val\'osz\'\i{}n\H us\'eg k\"or\"ulbel\"ul annyi mint annak a
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy egy
standard norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'eke nagyobb, mint
$2\sqrt{10}$. Becs\"ulj\"uk meg ennek az \'ert\'ek\'et az 6. feladat
eredm\'eny\'enek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\item{}Felmer\"ul a k\"ovetkez\H o k\'erd\'es: A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel csak
k\"ozel\'\i{}t\H o becsl\'est ad. Nem  lehets\'eges-e,  hogy a
val\'osz\'\i{}n\H us\'eg val\'oj\'aban sokkal
nagyobb a kisz\'am\'\i{}tottn\'al, mert abban a hibatag domin\'al? Be lehet
l\'atni
(nem trivi\'alis eredm\'enyek se\-g\'\i{}t\-s\'e\-g\'e\-vel), hogy ez
nincs \'\i{}gy, de ennek bizony\'\i{}t\'as\'ara nem t\'er\"unk ki.
\item{13.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H
o megold\'asv\'azlatot
adok. \item{a.)} L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast abban a speci\'alis
esetben, amikor a
$\xi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)$ norm\'alis vektor egyes koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek vagy megegyeznek. Vezess\"uk le az \'altal\'anos esetet
ebb\H ol a
speci\'alis esetb\H ol felhaszn\'alva, hogy tetsz\H oleges $\xi$ vektor
kifejezhet\H o ilyen vektorok line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent,
\'es az azonoss\'ag mindk\'et oldala a $\xi$ vektor multiline\'aris
f\"uggv\'enye.
\item{b.)} Legyen a $\xi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)$ vektor
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t_1,t_2,t_3,t_4)$. L\'as\-suk
be, hogy
$$
E\xi_1\xi_2\xi_3\xi_4=\left.\frac{\partial^4\varphi(t_1,t_2,t_3,t_4)}
{\partial t_1\partial t_2\partial t_3\partial
t_4}\right|_{t_1=t_2=t_3=t_4=0}\;,
$$
\'es
$$
E\xi_1\xi_2=-\left.\frac{\partial^2\varphi(t_1,t_2,t_3,t_4)}
{\partial t_1\partial t_2}\right|_{t_1=t_2=t_3=t_4=0}\;.
$$
Vezess\"uk le az \'all\'\i{}t\'ast ezekb\H ol az azonoss\'agokb\'ol \'es a norm\'alis eloszl\'as
karakte\-risztikus f\"uggv\'eny\'enek az alakj\'ab\'ol.
 
 
 
 \bye
