 
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection Sztochasztikus \'es egy val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
konvergencia
 
\item{1.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$ f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre $P(\xi_n=n)=P(\xi_n=-n)
=\dfrac1{10n\log (n+1)}$, $P(\xi_n=0)=1-\dfrac1{5n\log (n+1)}$,
$n=1,2,\dots$. L\'assuk be, hogy az $S_n=\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$
r\'eszlet\"osszegek teljes\'\i{}tik a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'asokat:
\itemitem  {a.)} $\dfrac{S_n}n\Rightarrow 0$, ahol $\Rightarrow$
sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol.
\itemitem  {b.)} Az $\dfrac{S_n(\omega)}n$ sorozat 1
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel diverg\'al.
\item{2.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-zata
$$
f(x)=\cases 0&\text{ha }|x|\le 2\\
\dfrac C{x^2\log|x|}&\text{ha }|x|\ge 2
\endcases
$$
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'ennyel. (A $C$ konstanst az
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$ egyenlet hat\'arozza meg.) L\'assuk
be, hogy az $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$ r\'eszlet\"osszegek
teljes\'\i{}tik az $\dfrac{S_n}n\Rightarrow 0$, ha $n\to\infty$,
tulajdons\'agot, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol,
\'es $E|\xi_n|=\infty$ \smallskip
\item{}{\it Megjegyz\'es 1:}\/ Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
akkor a val\'osz\'\i{}n\H us\'egsz\'am\'\i{}t\'as egyik klasszikus
eredm\'enye szerint a $\xi_n$ sorozat akkor \'es csak akkor
teljes\'\i{}ti a nagy sz\'amok er\H os t\"orv\'eny\'et, ha
$E|\xi_n|<\infty$. R\'esz\-le\-te\-sebben: Az
$\dfrac{S_n}n=\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$
\'atlagok egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel diverg\'alnak, ha
$E|\xi_n|=\infty$, \'es egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel konverg\'alnak,
ha $E|\xi_n|<\infty$. Ez ut\'obbi esetben a limesz egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel az $E\xi_n$ konstans.
Ez az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a 3. \'es 9. feladat
eredm\'enyeib\H ol. \smallskip
\item{3.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta. Ha
$E|\xi_n|=\infty$, akkor az $A_n=\{|\xi_n|>n\}$ esem\'enyek k\"oz\"ul
v\'egtelen sok k\"o\-vet\-ke\-zik be egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
Ez\'ert az $\dfrac{S_n}n=\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$
\'atlagok egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel diverg\'alnak.
\item{4.)} Az $X_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel null\'ahoz, ha minden $\e>0$-ra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\sup_{k\ge n} |X_k|>\e\)=0.
$$
\item{5.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, (nem felt\'etlen\"ul
f\"uggetlen) val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
legyen $S_n=\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$. Ha minden $\e>0$-ra
teljes\"ul a
$$
\sum_{n=1}^\infty P\(\sup_{2^{n-1}\le k\le 2^n} |S_k|>\e 2^n\)<\infty
$$
felt\'etel, akkor az $\dfrac{S_n}n$ sorozat egy val\'osz\'\i{}n\H
us\'eggel konverg\'al null\'ahoz.
\item{6.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, melyre $E\xi_n=0$ \'es $E|\xi_n|^{k}<\infty$
valamilyen eg\'esz $k\ge 1$ sz\'ammal. Ekkor
$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_{k}$ r\'eszlet\"osszegekre
$|ES_n^{k}|<Cn^{k/2}$ alkalmas $C>0$ sz\'ammal. Ez\'ert, ha $k$ p\'aros
sz\'am, akkor $P\(\sup\limits_{1\le k\le n}|S_k|>\e n\)\le
C(\e)n^{-k/2+1}$.
Ha $E\xi_n^4<\infty$, akkor $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{S_n}n\to0$ 1
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg\-gel.
\item{6a.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
melyre $E\xi_n=0$ \'es $E|\xi_n|^{k}<\infty$ minden $k\ge 1$
sz\'amra. Ekkor az $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$
r\'eszlet\"osszegek teljes\'\i{}tik az
$$
ES^{2k-1}=o\(n^{(2k-1)/2}\)\quad\text{\'es}\quad
ES_n^{2k}=1\cdot3\cdots(2k-1)n^k\(1+o\({1}\)\)
$$
aszimptotikus azonoss\'agokat.
\smallskip
\item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H oz\H o feladat azonoss\'agai azt
jelentik, hogy az $\dfrac{S_n}{\sqrt n}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok momentumai konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok momentumaihoz. Be
lehet l\'atni, hogy ebb\H ol k\"ovetkezik az, hogy a $\dfrac{S_n}{\sqrt
n}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa konverg\'al a
standard norm\'alis eloszl\'ashoz. E k\'er\-d\'es r\'eszleteit ebben a
feladatsorban nem t\'argyaljuk. Mind\"ossze egy olyan fel\-ada\-tot
tekint\"unk (7. feladat), amelyikre sz\"uks\'eg van ahhoz, hogy a 6a)
feladat eredm\'enyeib\H ol levezess\"uk a centr\'alis
hat\'areloszl\'at\'etelt. \smallskip
\item{} A nagy sz\'amok t\"orv\'enye azt fejezi, ki hogy f\"uggetlen
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok \"ossze\-ge kisebb, mint ahogy azt trivi\'alis
becsl\'esekb\H ol kapn\'ank.
J\'o term\'eszetes becsl\'est kaphatunk a momentumok vizsg\'alat\'aval,
\'es min\'el t\"obb momentuma van az \"ossze\-adan\-d\'ok\-nak, ann\'al
jobb becsl\'est kaphatunk. Ha az \"osszes momentum l\'etezik, akkor a
term\'eszetes m\'odon norm\'alt \"osszegek momentumai a norm\'alis
eloszl\'as momentumaihoz tartanak. E t\'enyb\H ol levezethet\H o a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel is. B\'ar ebben az \'ervel\'esben
az \"osszes momentum kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'ara sz\"uks\'eg van,
m\'egis levezethet\H o ilyen m\'odon a centr\'alis hat\'areloszl\'as
mind\"ossze k\'et momentum l\'etez\'ese eset\'en is.
Ehhez c\'elszer\H u az \"ossze\-adan\-d\'o\-kat egy nagy $K$ sz\'amn\'al
lev\'agni, azaz \'erdemes az \"ossze\-adan\-d\'o\-kat
$\xi_k=\xi'_k+\xi''_k$, $\xi_k'=\xi_kI(|\xi_k|<K)$ \'es
$\xi_k''=\xi_kI(|\xi_k|\ge K)$ form\'aban fel\'\i{}rni. A $\xi'_k$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek
momentumait j\'ol tudjuk becs\"ulni. A $\xi_k''$ v\'altoz\'ok \"osszege
relative kicsi, \'es ezt a Csebisev egyenl\H otlens\'egb\H ol is le
lehet vezetni.
\item{} A fenti \'ervel\'es jelzi, hogy \'erdemes
vizsg\'alni az \"ossze\-adan\-d\'ok k\"ul\"on\"osen nagy
\'er\-t\'e\-kei\-nek hat\'as\'at a r\'eszlet\"osszegekre. Ezt
mutatj\'ak a feladatsor azon eredm\'enyei is, melyek megadj\'ak a nagy
sz\'amok gyenge \'es er\H os t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeire. \medskip
\item{7.)} Legyen az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny olyan, hogy
momenutumai megegyeznek a standard norm\'alis eloszl\'as momentumaival,
azaz legyen
$$
\int_{-\infty}^\infty x^k F(\,dx)=
\cases
1\cdot3\cdots(2l-1)&\text{ha }k=2l\\
0&\text{ha }k=2l-1
\endcases
$$
Ekkor $F(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\medskip
\item{} A nagy sz\'amok er\H os t\"orv\'eny\'enek
bizony\'\i{}t\'as\'aban fontos szerepet j\'atszik a k\"ovetkez\H o
{\bf Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg}.
\item{} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u) va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$, $E\xi_k^2=\sigma_k^2$,
$S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}
\item{} \'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek szup\-r\'e\-mu\-ma
nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit a Csebisev egyen\-l\H
ot\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek a val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$ nagyobb, mint~$x$.
\smallskip\item{}
Ugyancsak nagyon hasznos a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek
bizony\'\i{}t\'as\'aban k\"ovetkez\H o technikai jelleg\H u lemma.
\item{} {\bf Kronecker lemma:} {\it Ha az $a_n$ \'es $q_n$,
$n=1,2,\dots$ sz\'amsorozatok olyanok, hogy a $\summ_{n=1}^\infty a_n$
\"osszeg konvergens,  a $q_n$ sorozat monoton n\H o \'es
$\limm_{n\to\infty}q_n=\infty$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=0$.}
\item{} \'Erdemes megeml\'\i{}teni a k\"ovetkez\H o speci\'alis
esetet. Ha a $\summ_{n=1}^\infty\dfrac{x_n}n$ \"osszeg konvergens,
akkor $\dfrac1n\summ_{k=1}^nx_k$ sorozat null\'ahoz tart $n\to\infty$
eset\'en. Ez az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a Kronecker lemm\'ab\'ol
$a_n=\dfrac {x_n}n$ \'es $q_n=n$ v\'alaszt\'assal.
\medskip \item{8.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_n=0$,
$E\xi_n^2=\sigma_n^2$. L\'assuk be a Kolmogorov
egyenl\H otlens\'eg seg\'\i{}ts\'eg\'evel azt, hogy ha
$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sigma_n^2}{n^2}<\infty$, akkor
$\dfrac{S_n}n$
egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel tart null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en.
\item{9.)} L\'assuk be a Megjegyz\'es~1-ben megfogalmazott
\'all\'\i{}t\'as m\'asik fel\'et, azaz a k\"ovetkez\H ot: Ha $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E|\xi_1|<\infty$,
$E\xi_1=0$, $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, akkor
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{S_n}n=0$ 1 va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'eg\-gel. \smallskip
\item{10.)} Legyen $X_n$ (nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen)
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es az $X_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
legyen $\varphi_n(t)=Ee^{itX_n}$, $-\infty<t<\infty$. Az $X_n$ sorozat
akkor \'es csak akkor konverg\'al szto\-chasz\-tikusan null\'ahoz, ha
$\varphi_n(t)\to1$, $n\to\infty$ eset\'en minden $-\infty<t<\infty$-re.
A $\varphi_n(t)\to1$ konvergencia egyenletes minden v\'eges $|t|<A$,
$A>0$ intervallumban.
\item{11.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
Az $\dfrac{S_n}n=\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$ \'atlagok akkor \'es
csak akkor konverg\'alnak szto\-chasz\-ti\-ku\-san null\'ahoz, ha a
$\xi_n$ val\'oszin\H us\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enye a 0-ban differenci\'alhat\'o, \'es ez a deriv\'alt nulla.
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H oz\H o feladat sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etelt adott arra, --- a ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyek tulajdons\'agaival kifejezve --- hogy f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegei mikor teljes\'\i{}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"o\-rv\'e\-ny\'et. Pontosabban, e feladat eredm\'enye arra ad
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt, hogy mikor konverg\'al e
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga sztohasztikusan
null\'ahoz. Ennek az ered\-m\'eny\-nek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel viszont
nem neh\'ez megadni annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, hogy mikor konverg\'al az \'atlag sztohasztikusan
valamilyen $a$ sz\'amhoz. Term\'eszetes k\'\i{}\-v\'an\-s\'ag
vi\-szont, hogy a felt\'etelt ne a (n\'emileg mesters\'eges)
karakterisztikus f\"uggv\'eny, ha\-nem az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agai seg\'\i{}ts\'eg\'evel fejezz\"uk ki. Ez a c\'elja a
k\"ovetkez\H o feladatnak. \medskip
\item{12.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta.
Jel\"olje $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$ e val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit, $\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ \'es
$F(x)=P(\xi_1\le x)$ pedig a $\xi_1$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus illetve
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
A k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'asok ekvivalensek:
\itemitem{a.)} Az $\dfrac{S_n}n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
sztochasztikusan konverg\'alnak null\'ahoz.
\itemitem{b.)} A $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny a
null\'aban differenci\'alhat\'o, \'es a deriv\'alt nulla.
\itemitem{c.)} $\lim\limits_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0$, \'es
$\lim\limits_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=0$.
\medskip
Az el\H oz\H o feladatokban (3., 9., 12. feladatok) maegadtuk a
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et annak, hogy f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz1n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel vagy sztochasztikusan null\'ahoz tartson.
Megvizsg\'aljuk a k\"ovetkez\H o k\'erd\'est: Mi a sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etele annak, hogy f\"uggetlen \'es egyforma
eloszl\'as\'u $\xi_1,\xi_2\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ \"osszegeire az $\dfrac
{S_n}n-a_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
vagy egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel null\'ahoz konverg\'aljanak
alkalmas (determinisztikus) $a_n$ konstansokkal. Mint l\'atni fogjuk,
az egy val\'osz\'\i{}n\H us\'egi konvergencia est\'en ez a gyeng\'ebb
k\"ovetelm\'eny nem b\H ov\'\i{}ti l\'enyegesen a lehets\'eges $\xi_n$
sorozatok oszt\'aly\'at. Mind\"ossze annyit enged meg, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okhoz egy kons\-tanst
hozz\'aadjunk, amit norm\'al\'askor levonunk. A sztochasztikus
konvergencia eset\'en viszont az ezt a gyeng\'\i{}tett felt\'etelt
kiel\'eg\'\i{}t\H o sorozatok oszt\'alya valamivel b\H ov\"ul.
\smallskip
\item{13.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ha
$\limm_{x\to\infty}x[1-F(x)+F(-x)]=0$, akkor az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ r\'eszlet\"osszegekre
$\dfrac{S_n}n-a_n\Rightarrow0$ $n\to\infty$ eset\'en
$a_n=\int_{-n}^nuF(\,du)$ v\'alaszt\'assal. Az $a_n$ sorozatot a fenti
rel\'aci\'o majdnem egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza. Azaz, ha a fenti
sztochasztikus konvergencia teljes\"ul valamilyen $a_n$ sorozattal,
akkor egy m\'asik $\bar a_n$ sorozattal ez a konvergencia akkor \'es
csak akkor teljes\"ul, ha $\limm_{n\to\infty}(a_n-\bar a_n)=0$.
\item{14.)} A 13. feladat \'all\'\i{}t\'asa megford\'\i{}that\'o.
Azaz, ha a feladat jel\H ol\'eseivel
$\dfrac{S_n}n-a_n\Rightarrow0$, $n\to\infty$ eset\'en alkalmas
$a_n$ sorozattal, akkor $\limm_{x\to\infty}x[1-F(x)+F(-x)]=0$, \'es
$\limm_{x\to\infty}\dfrac1x\int_{-x}^x u^2F(\,du)=0$.
\item{15.)} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeire $\dfrac {S_n}n-a_n\to0$
$n\to\infty$ eset\'en egy  val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, akkor
$E|\xi_1|<\infty$, \'es $a_n=E\xi_1+o(1)$. \medskip
\item{16.)} Tekints\"uk az $f_s(x)=\dfrac1\pi\dfrac s{s^2+x^2}$,
$-\infty<x<\infty$, $s>0$ (Cauchy eloszl\'ast de\-fi\-ni\-\'al\'o) s\H
u\-r\H u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyeket. L\'assuk be, hogy
$f_s*f_t(x)=f_{s+t}(x)$, ahol $*$ konvoluci\'ot jel\"ol.
\item{17.)} Legyenek $\xi_k$, $k=1,\dots,n$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata
$f(x)=\dfrac1\pi\dfrac 1{1+x^2}$ eloszl\'assal. Mi a
$\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa? Mi\'ert nem igaz ezekre a val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'okra a nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'enye?
\item{18.)} Hat\'arozzuk meg a Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{19.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$ f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-zata
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Teljes\'{\i}ti-e ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga a nagy sz\'amok
er\H{o}s \'es a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha
\itemitem{a.)} $f(x)=\dfrac C{1+x^2}$
\itemitem{b.)} $f(x)=\dfrac C{1+x^2\log(x^2+4)}$
\itemitem{c.)} $f(x)=\dfrac C{1+x^2\log^2(x^2+4)}$
\medskip
A klasszikus val\'osz\'{\i}n\H us\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik
klasszikus eredm\'enye az un.\ h\'arom sor t\'etel a k\"ovetkez\H o
k\'erd\'essel foglalkozik: Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Ekkor a 0--1
t\"orv\'eny alapj\'an a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konvergens vagy divergens. Az al\'abb
megfogalmazand\'o \'es az azt k\"ovet\H o h\'arom feladatban
bebizony\'{\i}tand\'o h\'arom sor t\'etel megadja annak sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy ez az \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konverg\'aljon.
\medskip \noindent
{\bf H\'arom sor t\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. A
$\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ v\'eletlen \"osszeg akkor \'es csak akkor
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel, ha r\"ogz\'{\i}tve egy
tet\-sz\H o\-le\-ges $C>0$ sz\'amot \'es tekintve a
$\xi_k'=\xi_kI(\{|\xi_k|<C\})$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okat,
ahol $I(\A)$ az $\A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye, ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H o felt\'eteleket:
\item{{\rm(i)}}  $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')=
\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|\ge C)<\infty$,
\item{{\rm(ii)}} A $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'$ \"osszeg konvergens.
\item{{\rm(iii)}} $\summ_{k=1}^\infty \text{\rm Var\,} \xi_k'<\infty$.
} \medskip
\item{20.)}  Bizony\'{\i}tsuk be (a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy ha a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozata teljes\'{\i}ti a h\'arom sor
t\'etel felt\'eteleit, akkor a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konverg\'al.
\item{21.)}
\item{a.)} Legyen $\xi$ korl\'atos val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'o, $P(|\xi|<K)=1$, $E\xi=0$. Ekkor minden olyan $t$ sz\'amra,
melyre $|t|\le\dfrac 1K$ igaz, hogy a $\xi$
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti
az $1-\Re\varphi(t)>\dfrac{t^2}4$ egyenl\H otlens\'eget.
\item{b.)} Ha $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen szimmetrikus
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta
(azaz $P(\xi_k>x)=P(\xi_k<-x)$ minden $k$-ra \'es $x\ge 0$-ra
$\varphi_k(t)$, $-\infty<t<\infty$, karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
\'es $\summ_{k=1}^\infty\xi_k$ \"osszeg (eloszl\'asban) konverg\'al,
akkor $\summ_{k=1}^\infty [1-\varphi_k(t)]<\infty$ el\'eg kis $t$-re.
\item{c.)} Ha a f\"uggetlen szimmetrikus eloszl\'as\'u $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a $|\xi_k|<C$
alkalmas ($k$-t\'ol f\"uggetlen) $C>0$ sz\'ammal, \'es
$\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konvergens,
(el\'eg feltenni, hogy ez az \"osszeg eloszl\'asban konverg\'al,) akkor
$\summ_{k=1}^\infty \text{Var}\,\xi_k<\infty$.
\item{22.)} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy ha a f\"uggetlen $\xi_k$
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okra $\summ_{k=1}^\infty
\xi_k$ egy val\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'eg\-gel konverg\'al, akkor
teljes\"ul a h\'arom sor t\'etelben megfogalmazott (i), (ii) \'es (iii)
tulajdons\'ag.
\item{23.)} Bizony\'{\i}tsuk be a h\'arom sor t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha a $\xi_k$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az $E\xi_k=0$ \'es
$\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2<\infty$ felt\'eteleket, akkor a
$\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ \"osszeg egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel
konverg\'al. Ha $E|\xi_k|^{2+\alpha}\le K \(E\xi_k^2\)^{(2+\alpha)/2}$
valamilyen $\alpha>0$ \'es a $k$ indext\H ol f\"ugg\H o $K$ sz\'ammal
(ez a becsl\'es azt fejezi ki, hogy $E\xi_k^{2+\alpha}$ nem t\'ul nagy,
kisebb mint a H\"older egyenl\H otlens\'eg alapj\'an erre a momentumra
megadhat\'o als\'o becsl\'es), \'es $\summ_{k=1}^\infty
E\xi_k^2<\infty$ akkor a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel divergens.
\item{24.)} Adjunk p\'eld\'at f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok olyan $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, sorozat\'ara, melyre
$E\xi_k=0$, $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2=\infty$ \'es a $\summ
_{k=1}^\infty\xi_k$ sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konverg\'al.
 
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1.)} $ES_n=0$, \'es $ES_n^2=\sum\limits_{k=1}^n E\xi_k^2
=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac k{25\log (k+1)}$. Ez\'ert a Csebisev
egyenl\H otlens\'eg alapj\'an tetsz\H oleges $\e>0$-ra
$P\(\left|\dfrac {S_n}n\right|>\e\)\le\dfrac1{\e n^2}
\sum\limits_{k=1}^n\dfrac k{25\log (k+1)}\to0$. Teh\'at
$\dfrac{S_n}n\Rightarrow0$.
\item{} Mivel a $\{|\xi_n|\ge n\}$ esem\'enyek f\"uggetlenek, \'es
$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac1{5n\log(n+1)}=\infty$, a
Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel igaz
az, hogy a $\{|\xi_n|\ge n\}$ esem\'eny v\'egtelen sok $n$-re
bek\"ovetkezik. Ha az $\dfrac {S_n(\oo)}n$ sorozat konvergens, akkor
$\dfrac {S_n(\oo)}n-\dfrac {S_{n-1}(\oo)}n=\dfrac{\xi_n(\oo)}n\to0$, ez
pedig egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel nem lehets\'eges.
\item{2.)} Defini\'aljuk r\"ogz\'\i{}tett $n$-re a
$\xi_k=\xi_k^{(1,n)}+\xi_k^{(2,n)}$ dekompozici\'ot,
$1\le k\le n$, ahol  $\xi_k^{(1,n)}=\xi_kI(\{|\xi_k|\le n\})$,
$\xi_k^{(2,n)}=\xi_kI(\{|\xi_k|\ge n\})$, \'es $I(A)$ az $A$ halmaz
indi\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et jel\"oli. Ekkor
$E\xi_k^{(1,n)}=0$, $E{\xi_k^{(1,n)}}^2=\int_{-n}^nx^2f(x)\,dx\le
\dfrac{\const n}{\log n}$, \'es $P(\xi_k^{(2,n)}\neq0)\le
\dfrac{\const}{n\log n}$. Ez\'ert a Csebisev egyenl\H otlens\'eg
seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy
$$
P\(\left|\frac {S_n}n\right|\ge\e\)
\le P\(\left|\sum_{k=1}^n\xi_k^{(1,n)}\right|\ge n\e\)+
\sum_{k=1}^nP(\xi_k^{(2,n)}\neq 0)\le \dfrac{\const n}{\e\log n}+
\dfrac{\const}{\log n}\;.
$$
A fenti kifejez\'es null\'ahoz tart, ha $n\to\infty$. Ez azt
jelenti, hogy $\dfrac{S_n}n\Rightarrow0$. M\'asr\'eszt,
$E|\xi_n|=2\dsize{\int_2^\infty \dfrac{C'}{x\log x}\,dx=\infty}$.
\item{3.)} Ha $E|\xi_1|=\infty$, akkor $\sum\limits_{k=1}^\infty
P(|\xi_1|>k)=\infty$. Innen $\sum\limits_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\infty$, \'es a Borel--Cantelli lemma alapj\'an 1
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel $|\xi_n|>n$ v\'egtelen sok $n$-re. Ha
$\dfrac{S_n(\oo)}n$ konverg\'al, akkor $\dfrac{S_n(\oo)}n
-\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n=\dfrac{X_n(\oo)}n\to0$, ami egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel nem lehets\'eges.
\item{4.)} Tegy\"uk fel, hogy $X_n\to0$ 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $A(n,\e)$ halmazokat:
$A(n,\e)=\{\oo\: \sup\limits_{k\ge n}|X_k(\oo)|>\e\}$. Ekkor
$\cdots A(n,\e)\supset A(n+1,\e)\supset\cdots$, \'es
$P\(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A(n,\e)\)=0$. Ez\'ert
a m\'ert\'ekek folytonoss\'aga miatt $\lim\limits_{n\to\infty}
P(A(n,\e))=0$, \'es ez a bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as egyik
fele.
\item{} Ha $\lim\limits_{n\to\infty}P(A(n,\e))=0$, akkor
$P\(\bigcap\limits_{n=1}^\infty A(n,\e)\)=0$, ami azt jelenti, hogy
$$
P\(\limsup\limits_{n\to\infty}|X_n|\le \e\)=1\;.
$$
Alkalmazva ezt az \'all\'\i{}t\'ast minden $\e=1/k$, $k=1, 2,\dots$
sz\'amra, kapjuk, hogy $X_n\to0$ 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, \'es ez
az \'all\'\i{}t\'as m\'asik fele.
\item{5.)} Az adott felt\'etelek mellett a Borel--Catelli lemma
alapj\'an 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'egi halmazon $\sup\limits_{2^{n-1}
\le k\le 2^n} |S_k(\oo)|>2^n\e$, ha $n>n_0(\oo,\e)$. Ha $2^{n-1}\le
l<2^n$, $n>n_0(\oo,\e)$ akkor $\dfrac{|S_l|}l\le 2\e$. Alkalmazva ezt
az \'all\'\i{}t\'ast $\e=\dfrac1k$-ra. $k=1,2,\dots$, kapjuk az
\'all\'\i{}t\'ast.
\item{6.)} Fel\'\i{}rva az $S_k$ momentumait, elv\'egezve a
beszorz\'asokat \'es felhaszn\'alva azt, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek a szorzat\'aval kapjuk azt, hogy
$$
ES_n^k=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^k=\sum\Sb 1\le l_r\le n,\; r=1,\dots,k\\
s_1+\cdots s_r=k\endSb E\xi_{l_1}^{s_1}\cdots E\xi_{l_r}^{s_r}\;.
$$
Mivel a $\xi_l$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, ez\'ert az el\H oz\H o \"osszegben szerepl\H o tagokra
$E\xi_{l_1}^{s_1}\cdots E\xi_{l_r}^{s_r}=0$, ha ebben a
szorzatban valamelyik $s_j$ null\'aval egyenl\H o. Ez\'ert
$$
ES_n^k=\Sigma_1(n)+\Sigma_2(n)\;,
$$
ahol
$$
\align
\Sigma_1(n)&=  \sum_{1\le l_r\le n,\;1\le r\le p}
E\xi_{l_1}^{2}\cdots E\xi_{l_p}^{2} \\
&=n(n-1)\cdots(n-p+1)\cdot(k-1)\cdots3\cdot 1\quad\text{ha
}k=2p\;, \\
\Sigma_1(n)&=0,\quad\text{ha }k=2p+1
\endalign
$$
\'es
$$
\Sigma_2(n)=\sum\Sb 1\le l_r\le n,\; r=1,\dots,k\\
s_1+\cdots+s_r=k\\s_j\ge2,j=1,\dots,r\\ \text{l\'etezik $1\le m\le
r$ melyre }s_m\ge3\endSb E\xi_{l_1}^{s_1}\cdots E\xi_{l_r}^{s_r}\;.
$$
A $\Sigma_2(n)$-ben szerepl\H o szorzatok legfeljebb $(k-1)/2$
t\'enyez\H ob\H ol \'all. Ez\'ert ennek az \"osszegnek legfeljebb
$\const n^{(k-1)/2}$ tagb\'ol \'all. Mindegyik tag kisebb mint egy
alkalmas ($n$-t\H ol f\"uggetlen) konstans. Ez\'ert
$$
\Sigma_2(n)\le \const n^{(k-1)/2}\;.
$$
Mivel $\Sigma_2(n)\le \const n^{k/2}$, innen k\"ovetkezik, hogy
$|ES_n^k|\le \const n^{k/2}$. Ha $k$ p\'aros sz\'am, \'es $m\le n$ akkor
innen k\"ovetkezik, hogy $P(S_m>\e n)\le C(\e)n^{-k/2}$, ez\'ert
$P\(\supp_{1\le m\le n}S_m>\e n\)\le C(\e)n^{-k/2+1}$. Speci\'alisan,
$$
P\(\supp_{1\le m\le n}S_m>\e n\)\le C(\e)n^{-1}\quad k=4
\text{ v\'alaszt\'assal.}
$$
Ebb\H ol a becsl\'esb\H ol \'es az el\H oz\H o feladat
eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik, hogy ha $E\xi_1^4<\infty$, akkor
$\dfrac{S_n}n\to 1$ egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
\item{6a.)} A 6. feladat becsl\'esei adj\'ak, hogy
$\Sigma_2(n)=o\(n^{k/2}\)$, ez\'ert $ES_n^k=\Sigma_1(n)+o(n^{k/2})$. Ha
$k$ p\'aratlan, akkor $\Sigma_1(n)=0$, ha $k$ p\'aros, akkor
$\limm_{n\to\infty}n^{-k/2}\Sigma_1(n)=1\cdot3\cdots(2k-1)$. Ezen
\"osszef\"ugg\'esekb\H ol k\"ovetkezik a 6a.) feladat \'all\'\i{}t\'asa.
\item{7.)} Mivel az eloszl\'asf\"uggv\'enyt egy\'ertelm\H uen
meghat\'arozza a karakterisztikus f\"uggv\'eny, ez\'ert el\'eg
bel\'atni azt, hogy az adott felt\'etelek mellett $\varphi(t)=\int
e^{itx}F(\,dx)=e^{-t^2/2}$. Viszont ebben az esetben
$\varphi^{(2k-1)}(0)=0$, $\varphi^{(2k)}(0)
=(i^{2k})1\cdot3\cdots(2k-1)$, \'es a Taylor sorfejt\'es alapj\'an
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{itx}F(\,dx)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{i^{2k} 1\cdot 3\cdots (2k-1)}{2k!} t^{2k}
=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\(\frac{-t^2}2\)^k=e^{-t^2/2}\;.
$$
\item{8.)} A Kronecker lemma alapj\'an el\'eg bel\'atni, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty\dfrac1k\xi_k(\oo)$ sorozat egy
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg\-gel konvergens.
Ehhez el\'eg bel\'atni, hogy tetsz\H oleges $\e>0$-ra
$$
P\(\supp_{ N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N\frac1k\xi_k\right|>\e\)\to
0\quad\text{ha }n\to\infty\;.
$$
Ebb\H ol ugyanis k\"ovetkezik, hogy a $\summ_{k=1}^n\dfrac1k\xi_k$
sorozat egy va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg\-gel Cauchy so\-ro\-zat.
A k\'\i{}v\'ant egyenl\H otlens\'eg viszont k\"ovetkezik a Kolmogorov
egyenl\H otlens\'egb\H ol, mivel
$$
P\(\supp_{ N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N\frac1k\xi_k\right|>\e\)\le
\frac1{\e^2}\summ_{k=n}^\infty\frac{ E\xi_k^2}{k^2}\to0\quad \text{ha }
n\to\infty\;.
$$
\item{9.)} Defini\'aljuk a $\xi_n=\xi_n'+\xi_n''$,
$\xi'_n=\xi_nI(|\xi_n|\le n)$, $\xi''_n=\xi_nI(|\xi_n|>n)$
felbont\'ast, ahol $I(A)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et
jel\"oli. Ekkor
$$
\summ_{k=1}^nP(\xi''_k\neq0)=\summ_{k=1}^nP(|\xi_k|>k)
=\summ_{k=1}^nP(|\xi_1|>k)\le
1+E|\xi_1|<\infty\;.
$$
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy val\'osz\'\i{}n\H
us\'eggel csak v\'eges sok $k$-ra teljes\"ul a $\xi''_k\neq0$
esem\'eny, \'es ez\'ert $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k''\to0$ egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
$$
\left|\frac 1n\sum_{k=1}^nE\xi_k'\right|
=\left|-\frac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''\right|
\le\frac1n\sum_{k=1}^n E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge k)\to0\;,
$$
ha $n\to\infty$, mert $E|\xi_1|<\infty$, \'es ez\'ert
$E|\xi_1|I(|\xi_1|>k)\to0$, ha $k\to\infty$.
\item{} Az el\H oz\H o feladathoz hasonl\'oan \'ervelhat\"unk.
Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\sup_{n\le k\le N}\sum_{j=n}^k\frac1j(\xi_j'-E\xi_j')>\e\)
\le\frac1{\e^2}\sum_{k=n}^N\frac1{k^2}E(\xi_k'-E\xi_k')^2
\le\frac1{\e^2}\sum_{k=n}^N\frac1{k^2}E{\xi'_k}^2
$$
minden $n$-re $N$-re \'es $\e>0$-ra. Mivel
$$
\align
\sum_{k=n}^N\frac1{k^2}E{\xi'_k}^2&\le
\sum_{k=n}^\infty\frac1{k^2}E\xi_1^2I(|\xi_1|>k)\le
\const\sum_{j=n}^\infty
j^2P(j\le|\xi_1|<j+1)\(\sum_{k=j}^\infty\frac1{k^2}\)\\
&\le\const \sum_{j=n}^\infty j P(j\le|\xi_1|<j+1)\le \const
E|\xi_1|I(|\xi_1|>n)\;,
\endalign
$$
\'es az utols\'o kifejez\'es jobboldala null\'ahoz tart, ha
$n\to\infty$, ez\'ert a Kolmogorov egyenl\H otlens\'egb\H ol
k\"ovetkezik, hogy a $T_n(\oo)=\summ_{k=1}^n\dfrac
1k(\xi_k'(\oo)-E\xi_k')$ sorozat Cauchy sorozat egy val\'osz\'\i{}n\H
us\'eggel, azaz a $\summ_{k=1}^\infty\dfrac1k(\xi'_k-E\xi'_k)$ sorozat
egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel kon\-ver\-g\'al. A Kronecker lemma
alapj\'an $\dfrac1n\summ_{k=1}^n(\xi'_k-E\xi'_k)\to0$ egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel. Mivel $\dfrac1n\summ E\xi'_k\to0$, \'es
$\dfrac1n\summ \xi''_k\to0$ egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, innen
k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{10.)} A feladat \'all\'{\i}t\'as\'anak k\'et
bizony\'\i{}t\'as\'at adjuk.
\item{}{\it Els\H o bizony\'\i{}t\'as:}\/ Az \'all\'\i{}t\'as
k\"ovetkezik a val\'osz\'\i{}n\H us\'egsz\'am\'\i{}t\'as standard
ered\-m\'e\-nye\-i\-b\H ol. Az $X_n$ sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al sztochasztikusan null\'ahoz, ha el\-osz\-l\'as\-ban
konverg\'al a nulla pontba koncentr\'alt m\'ert\'ekhez. Ez ut\'obbi
akkor \'es csak akkor teljes\"ul, ha a $\varphi_n(t)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyek sorozata konverg\'al a nulla pontba koncentr\'alt
m\'ert\'ek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez minden $t$-re, \'es ez
ut\'obbi a $\varphi(t)\equiv0$ f\"uggv\'eny. A konvergencia minden
v\'eges intervallumban egyenletes.
\item{} {\it M\'asodik bizony\'\i{}t\'as:}\/ Ha $X_n(t)\Rightarrow 0$,
akkor $e^{itX_n}\Rightarrow1$ minden $t$-re, ahol $\Rightarrow$
szto\-chasz\-ti\-kus konvergenci\'at jel\"ol. M\'asr\'eszt
$|e^{itX_n}|\le 1$. Ez\'ert a Lebesgue t\'etel alapj\'an
$\varphi_n(t)=\int e^{itX_n(\oo)}dP(\oo)\to\int 1 \,dP(\oo)=1$.
Mivel $|e^{itX_n(\oo)}-1|\le A|X_n(\oo)|$, ha $|t|\le A$, be lehet
l\'atni, hogy a konvergencia egyenletes minden v\'eges intervallumon.
\item{} Ha $\varphi_n(t)\to 1$ minden $t$-re, akkor tetsz\H oleges
$A>0$-ra $\int_{-A}^A \Re\(1-\varphi_n(t)\)\,dt\to0$, ha $n\to\infty$.
Viszont
$$
\align
&\int_{-A}^A \Re\(1-\varphi_n(t)\)\,dt=\int_{-A}^A\int_{-\infty}^\infty
\Re\(1-e^{itx}\)\,dt F_n(\,dx)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty \int_{-A}^A (1-\cos tx)\,dt F_n(\,dx)
=\int_{-A}^A 2A \(1-\frac{\sin Ax}{Ax}\) F_n(\,dx)\;,
\endalign
$$
ahol $F_n(x)$ az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye.  Mivel
$1-\dfrac{\sin Ax}{Ax}\ge0$, $\dfrac{\sin Ax}{Ax}\le\dfrac12$, ha
$|x|>\dfrac2{A}$, ez\'ert
$$
\int_{|x|>2/A} \Re\(1-\varphi_n(t)\)\,dt\ge
\int_{|x|>2/A} AF_n(\,dx)=A P\(|X_n|>\dfrac2A\)\to0.
$$
Mivel ez az \'all\'\i{}t\'as igaz minden $A>0$-ra, $X_n\Rightarrow 0$.
\item{11.)} Az $\dfrac{S_n}n\Rightarrow0$ felt\'etel ekvivalens azzal,
hogy $\varphi\(\dfrac tn\)^n-1\to0$ minden $t$-re. Ha a karakterisztikus
f\"uggv\'eny a null\'aban differenci\'alhat\'o, \'es a deriv\'alt
nulla, akkor $\left|\(\varphi^n\(\dfrac tn\)-1\)\right|=
n\left|\varphi\(\dfrac tn\)-1\right|
\cdot\left|\dfrac1n\sum\limits_{k=0}^{n-1} \varphi^k\(\dfrac
tn\)\right|\le n\left|\varphi\(\dfrac tn\)-1\right|\to0$.
\item{} A m\'asik ir\'any bizony\'\i{}t\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre,
hogy $\dfrac{S_n}n\Rightarrow 0$ eset\'en
$\varphi\(\dfrac tn\)^n-1=\exp\left\{n\log\varphi\(\dfrac
tn\)\right\}-1\to0$ egyenletesen minden $t\in [-A,A]$, $A>0$
intervallumon, ez\'ert $n\log\varphi\(\dfrac tn\)\to0$ \'es
$n\cdot\text{arg}\,\varphi\(\dfrac tn\)\to0$ egyenletesen $|t|<A$-ra,
ha $n\to \infty$. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell \'eszrevenni,
hogy b\'ar az adott felt\'etelb\H ol r\"ogz\'\i{}tett $t$-re csak az
k\"ovetkezik, hogy $n\cdot\text{arg}\,\varphi\(\dfrac tn\)\sim 2k\pi$
valamilyen eg\'esz $k$-ra, de a $\varphi\(\dfrac tn\)^n$ f\"uggv\'eny
egyenletes konvergenci\'aj\'ab\'ol, a $\varphi\(\dfrac tn\)^n$ g\"orbe
folytonoss\'ag\'ab\'ol \'es a $\varphi(0)=1$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy $k=0$. Mivel $|1-z|\le \const |\log z|$, ha
$|1-z|\le\frac1{10}$, innen k\"ovetkezik, hogy $n\(\varphi\(\dfrac
tn\)-1\)\to0$, ha $n\to\infty$, \'es a konvergencia minden korl\'atos
intervallumban egyenletes. Ez\'ert minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan
$n=n(\e)$ k\"usz\"obindex, hogy $\left|\dfrac {\varphi\(\frac
tn\)-1}{\frac tn}\right|<\e$, ha $n\ge n(\e)$, \'es $\frac 12\le |t|\le
1$. Innen k\"ovetkezik, hogy hogy $\varphi'(0)=0$, ahogy
\'all\'\i{}tottuk.
\item{12.)} Az a.) \'es b.) r\'esz \'all\'\i{}t\'as ekvivaleci\'aja az
el\H oz\H o feladat eredm\'enye.
\item{} A c.) $\Rightarrow$ b.) \'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'asa:
$$
\frac{\varphi(h)-1}h=\int_{-T}^T \frac{e^{ihx}-1}h F(\,dx)+
\int_{|x|>T} \frac{e^{ihx}-1}h F(\,dx)=I(T,h)+II(T,h).
$$
Mivel $\left|\dfrac{e^{ihx}-1}h\right|\le\dfrac2h$ \'es
$\left|\dfrac{e^{ihx}-1}h-ix\right|\le\dfrac{x^2}h$ r\"ogz\'{\i}tve
egy kis $\e>0$ sz\'amot $T=\dfrac \e h$ v\'alaszt\'assal a k\"ovetkez\H
o becsl\'eseket tehetj\"uk:
$$
| II(T,h)|\le\frac1h\int_{x>|T|} F(\,dx)=\frac{T\[F(-T)+(1-F(T)\]}h\to 0
\quad\text{ha }h\to0\;,
$$
$$
|I(T,h)|\le\left|\int_{-T}^T xF(\,dx) \right|
+\left|\int_{-T}^T \frac {x^2}hF(\,dx) \right|=|I_1(T,h)|+|I_2(T,h)|\;,
$$
$$
|I_1(T,h)|\to0\quad\text{ ha }h\to0
$$
\'es parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
I_2(T,h)= \((1-F(T))\frac{T^2}h-F(-T)\frac{T^2}h \)
-2\int_{0}^T(1-F(x))\frac xh\,dx -2\int_{-T}^0F(x)\frac xh\,dx\;.
$$
Tov\'abb\'a $\[F(x)\dfrac{x^2}h\]_{-T}^T\to 0$ ha $h\to0$, \'es
$$
\left|\int_{-T}^TF(x)\frac
xh\,dx\right|\le\int_{-T}^T\frac{\const}{|x|}\frac {|x|}h\,dx\le\frac
Th \le \const \e\;.
$$
Mivel ezek az egyenl\H otlens\'egek minden $\e>0$-ra igazak, ez\'ert
$$
\varphi'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{\varphi(h)-1}h=0
$$
\item{} A b.) $\Rightarrow$ c.) \'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'asa:
A b.) felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en tetsz\H oleges $\e>0$-ra
$|\Re[1-\varphi(u)]|<\dfrac\e x^{-1}$ ha $u<\dfrac1x$ \'es $x>x(\e)$.
Ez\'ert el\'eg nagy $x$-re
$$
\align
\e&>x^2\int_0^{1/x}\Re[1-\varphi(u)]\,du=\int_0^{1/x}\int_{-\infty}^\infty
x^2(1-\cos ut)F(d\,u)\,dt \\
&=\int_{-\infty}^\infty \int_0^{1/x}
x^2(1-\cos ut)\,dtF(d\,u)
=\int_{-\infty}^\infty \(x-\frac{x^2\sin\frac ux}u\)F(\,du)\\
&\ge\frac x2\int_{\{|t|>2x\}}F(\,du)=\frac
x2\[(1-F(2x))+F(-2x)\]\;.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik a c.) r\'esz egyik \'all\'{\i}t\'asa. A c.)
$\Rightarrow$ b.) bizony\'{\i}t\'as\'aban az $II(T,h)$ \'es $I_2(T,h)$
tag becsl\'es\'eben ($T=\dfrac \e h$ v\'alaszt\'assal) ezt a m\'ar
bizony\'{\i}tott rel\'aci\'ot
haszn\'altuk fel. Ezekb\H ol a becsl\'esekb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\frac{\varphi(h)-1}h-\int_{-T}^T xF(\,dx) \right|\to0
\quad\text{ha }h\to0\;.\quad (T=\frac \e h)
$$
Mivel $\frac{\varphi(h)-1}h\to0$, ha $h\to0$ innen k\"ovetkezik a c.)
r\'esz m\'asik \'all\'{\i}t\'asa is.
\item{13.)} R\"ogz\'\i{}ts\"unk egy tetsz\H oleges kis $\e>0$
sz\'amot, \'es defini\'aljuk r\"ogz\'\i{}tett $n$-re a
$\xi_k'=\xi_kI(|\xi_k|\le n)$ \'es $\xi_k''=\xi_kI(|\xi_k|>n)$,
$1\le k\le n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat, ahol $I(A)$ az
$A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
Legyen $S_n'=\summ_{k=1}^n\xi_k'$ \'es $S_n''=\summ_{k=1}<n\xi_k''$.
R\"ogz\'\i{}ts\"unk egy tetsz\H oleges kis $\e>0$ sz\'amot.
El\'eg nagy $n>n(\e)$-ra $P(|S_n''|>\e n)\le P(S_n''\neq0)\le
\summ_{k=1}^nP(|\xi_k|>n)=n[1-F(n)+F(-n)]\le \e$.  M\'asr\'eszt, a
Csebisev egyenl\H otlens\'eg alapj\'an $P(|S_n'-ES_n'|>n)\le \dfrac
{\text{Var}\,\xi_1'}{\e^2n}\le \e$, mivel $\text{Var}\,\xi_1'\le
E{\xi_1'}^2=\int_{-n}^n u^2F(\,du)$, \'es $\dfrac1n\int_{-n}^n
u^2F(\,du)\to0$, ha $n\to \infty$. Az utols\'o rel\'aci\'o az\'ert
igaz, mert $\int_{T<|u|<2T}u^2F(\,du)\le \e\T$, ha $T>T(\e)$ a
 feladat felt\'etel\'enek teljes\"ul\'ese eset\'en, ez\'ert
$\int_{-n}^n u^2F(\,du)\le \e T+\const(\e)$. Mivel a fenti
\'all\'\i{}t\'asok tetsz\H oleges $\e>0$ \'es el\'eg nagy $n$
sz\'amra igazak, \'es $S_n=S_n'+S_n''$, innen k\"ovetkezik, hogy
$\dfrac{S_n}n-a_n\Rightarrow0$, $a_n=E\xi_1'=\int_{-n}^nuF(\,du)$.
V\'ag\"ul, ha a fenti rel\'aci\'o egy m\'asik  $\bar a_n$
sz\'amsorozatra is \'erv\'enyes, akkor ezeket egym\'asb\'ol
kivonva kapjuk, hogy $\bar a_n-a_n\to0$, ha $n\to\infty$.
\item{14.)} Alkalmazzuk a k\"ovetkez\H{o} szimmetriz\'aci\'os
elj\'ar\'ast. Legyen $\bar \xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len
azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, mely f\"uggetlen a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozatt\'ol is. Legyen $\eta_n=\xi_n-\bar\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
$T_n=\summ_{k=1}^n\eta_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor
$\dfrac{T_n}n\rightarrow0$, ha $n\to\infty$. Ez\'ert alkalmazhatjuk
a 12. feladat eredm\'eny\'et, \'es annak c.) r\'esze alapj\'an
$\limm_{x\to\infty}xP(|\eta_1|>x)=0$. V\'alasszunk egy olyan $A>0$
sz\'amot, melyre $P(|\xi_1|>x)\le\dfrac12$. Ekkor minden el\'eg nagy
$x$-re
$$
\align
\dfrac\e x\ge P(|\eta_1|>x)&\ge
P(|\xi_1-\bar\xi_1|>x,\,|\bar\xi_1|\le A)\ge P(|\xi_1|>x+A,\,
|\bar\xi_1|)\\
&\ge\dfrac12 P(|\xi_1|>x+A)\;.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $x[1-F(x)+F(-x)]=xP(|\xi_1|>x)\le2\e$
tetsz\H{o}leges $\e>0$ \'es $x>x(\e)$ sz\'amra.
\item{15.)}  Az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban is haszn\'alt
szimmetriz\'aci\'os \'erv seg\'{\i}ts\'eg\'evel be tud\-juk
bizony\'{\i}tani azt, hogy a feladat felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese
eset\'en $E|\xi_1|\le\infty$. Legyen ugyanis $\bar\xi_n$,
$n=1,2\dots$, a $\xi_n$ sorozatt\'ol is f\"uggetlen, azonos
eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, mely v\'altoz\'ok ugyanolyan eloszl\'as\'uak
mint $\xi_1$. Vezess\"uk be tov\'abb\'a az $\eta_n=\xi_n-\bar\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor az $\eta_n$,
$n=1,2,\dots$, v\'altoz\'okra teljes\"ul a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye ($a_n=0$ v\'alaszt\'assal), ez\'ert
$|\eta_1|=E|\xi_1=\bar\xi_1|<\infty$. Az el\H{o}z\H{o} feladat
megold\'as\'anak v\'eg\'en adott becsl\'es szerint
$P(|\xi_1|>x+A)\le2P(|\eta|>x)$ alkalmas (fix) $A$ konstanssl minden
$x>0$ sz\'amra. Innen k\"ovetkezik, hogy $E|\xi_1|<\infty$.
V\'eg\"ul a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an a feladat
\'all\'{\i}t\'as igaz $a_n=a-E\xi_1$ v\'alaszt\'assal. A
13. feladat megold\'as\'anak v\'eg\'en haszn\'alt \'erv jelen esetben
azt adja, hogy $a_n=E\xi_1+o(1)$ az \"osszes lehets\'eges j\'o
v\'alaszt\'as arra, hogy a feladatban szerepl\H{o} limesz rel\'aci\'o
\'erv\'enyes legyen.
\item{16.)} A bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as ekvivalens a
k\"ovetkez\H o azonoss\'aggal:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{st}{\(s^2+\(\frac x2+y\)^2\)\(t^2+\(\frac
x2-y\)^2\)}\,dy=\frac{(s+t)\pi}{(s+t)^2+x^2}
$$
A fenti integr\'alt, b\'ar sok sz\'amol\'assal, de az anal\'\i{}zis
standard m\'odszereivel ki\-sz\'a\-m\'\i{}t\-hat\-juk. Az integr\'alban
szerepl\H o t\"ortet a k\"ovetkez\H o m\'odon kezelhet\H obb alakra
hozhatjuk:
$$
\align
&\frac{st}{\(s^2+\(\frac x2+y\)^2\)\(t^2+\(\frac x2-y\)^2\)}
\(x^4+2x^2(s^2+t^2)+\(t^2-s^2\)^2\) \\
&\qquad=st\(\frac{t^2-s^2+x^2+2x\(\frac x2+y\)}{s^2+\(\frac x2+y\)^2}+
\frac{s^2-t^2+x^2+2x\(\frac x2-y\)}{t^2+\(\frac x2-y\)^2}\)
\endalign
$$
Felhaszn\'alva az $\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx=\log (1+x^2)$
azonoss\'agot, bel\'athat\'o, hogy
$$
\lim_{K\to\infty}\int_{-K}^K
\(\frac{2x\(\frac x2+y\)}{s^2+\(\frac x2+y\)^2}+
\frac{2x\(\frac x2-y\)}{t^2+\(\frac x2-y\)^2}\)\,dy=0
$$
(K\'et v\'egtelenhez tart\'o integr\'al k\"ul\"onbs\'eg\'et kapjuk,
de a k\"ul\"onbs\'eg null\'ahoz tart.) Ez\'ert a
bizony\'\i{}tand\'o azonoss\'ag a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'ass\'a reduk\'alhat\'o:
$$
\align
&\frac1{x^4+2x^2(s^2+t^2)+\(t^2-s^2\)^2}
\int_{\infty}^{\infty}st\(\frac{t^2-s^2+x^2}{s^2+\(\frac
x2+y\)^2}+ \frac{s^2-t^2+x^2}{t^2+\(\frac x2-y\)^2}\)\,dy\\
&\qquad=\frac{(s+t)\pi}{1+(s+t)^2x^2}
\endalign
$$
A fenti integr\'al az $\int \frac1{1+x^2}\,dx=\arctan x$ azonoss\'ag
alapj\'an kisz\'am\'\i{}that\'o, \'es azt kapjuk, hogy
$$
\int \cdots =\frac{\pi st}{\(t^2-s^2\)^2+2x^2(s^2+t^2)+x^4}
\(\frac{(t^2-s^2+x^2)}s +\frac{(s^2-t^2+x^2)}t\)
$$
ami tov\'abbi sz\'amol\'assal a k\"ovetkez\H o kifejez\'ess\'e
alak\'\i{}that\'o \'at:
$$
\int\cdots= \pi\frac{(t+s)(x^2+(t-s)^2)}
{\(x^2+(t+s)^2\)\(x^2+(t-s)^2\)}=\pi\frac{t+s}{\(x^2+(t+s)^2\)}.
$$
Ez a k\'\i{}v\'ant azonoss\'ag.
\item{17.)} A $\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
$n\underbrace{f*\cdot*f}_n(nx)$, ahol $*$ kon\-vo\-lu\-ci\'ot jel\"ol,
\'es $f(x)=\dfrac 1{\pi(1+x^2)}$. Ez az el\"oz\H o feladat alapj\'an
$f(x)$-szel egyenl\H o, teh\'at $n$-t\H ol f\"uggetlen. Ez\'ert a nagy
sz\'amok (gyenge) t\"orv\'enye ebben az esetben nem \'erv\'enyes.
Jegyezz\"uk meg, hogy az ilyen eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek nincs v\'arhat\'o \'ert\'eke, s\H
ot mint a k\"ovetkez\H o feladat mutatja, a karakterisztikus
f\"uggv\'eny null\'aban nem differenci\'alhat\'o.
\item{18.)} A
$\varphi(t)=\int_{\infty}^\infty\frac{e^{itx}}{\pi(1+x^2)}\,dx$
integr\'alt a residium sz\'am\'\i{}t\'as seg\'\i{}ts\'eg\'evel
kisz\'am\'\i{}thatjuk. Ha a $g(x)=g(x,t)=\frac{e^itx}{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'enyt a $|z|=R$ $\Im z\ge0$ f\'elk\"or\"on integr\'aljuk
$t>ge0$ eset\'en, a $|z|=R$, $\Im z\le 0$ f\'elk\"or\"on integr\'aljuk
$t\le0$ eset\'en, akkor az integ\'al null\'ahoz tart $R\to0$-ra. A
$g(x)$ f\"uggv\'enynek k\'et p\'olusa van, a $\pm i$ pontokban. Ha
$t\ge0$ az $i$ pontban, ha $t\le0$ a $-i$ pontban lev\H o p\'olust kell
figyelembe venni, \'es a rezidium (az integr\'al) $e^{-|t|}$-vel
egyenl\H o.
\item{19.)} Az a.) esetben $1-F(x)=\int_x^\infty
\dfrac C{1+u^2}\,du\sim\dfrac C{2x}$ nagy $x$-re, ez\'ert
$\limm_{x\to\infty} x(1-F(x))>0$, teh\'at l\'athat\'o, hogy a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a 12. feladat c.) r\'esz\'eben
megfogalmazott felt\'etelek, ez\'ert a nagy sz\'amok gyenge
(k\"ovetkez\'esk\'epp a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye)
nem teljes\"ul ebben az esetben. \'Erdemes megjegyezni, hogy a 17.
vagy 18. feladatb\'ol kiolvashat\'o, hogy ebben az esetben a
norm\'al\'ofaktor $C=\frac1\pi$, \'es az \'atlag eloszl\'asa
megegyezik $\xi_1$ eloszl\'as\'aval. Innen is l\'athat\'o, hogy a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'enye nem teljes\"ul.
\item{} A b.) esetben $1-F(x)=F(-x)=\int_x^\infty
\dfrac C{(1+u^2)\log(u^2+4)}\,du\sim\dfrac{\bar C}{x\log x}$ nagy
$x$-re, ez\'ert $\limm_{x\to\infty}x[(1-F(x)+F(-x)]=0$, \'es
$f(x)=f(-x)$. Innen k\"ovetkezik, hogy a 12. feladat c.) r\'esz\'eben
megfogalmazott tulajdons\'agok ez\'ert a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye teljes\"ul. M\'asr\'eszt, $E|\xi_1|=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac {C|u|}{(1+u^2)\log(u^2+4)}\,du=\infty$, mert
$\dfrac{|u|}{(1+u^2)\log(u^2+4)}\,du\sim \dfrac1{2|u|\log u}$, ha
$|u|\to\infty$, \'es $\int_2^\infty \frac1{u\log u}\,du=\infty$.
\'Igy a 3.~feladat alapj\'an a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye
nem teljes\"ul.
\item{c.)} Ebben az esetben $E|\xi_1|=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac {C|u|}{(1+u^2)\log^2(u^2+4)}\,du<\infty$,
mert
$$
\dfrac{|u|}{(1+u^2)\log^2(u^2+4)}\,du\sim \dfrac1{4|u|\log^2 u}, \quad
\text{ha } |u|\to\infty,
$$
\'es $\int_2^\infty \frac1{u\log^2 u}\,du<\infty$.
\'Igy a 9.~feladat alapj\'an ebben az esetben teljes\"ul a nagy
sz\'amok er\H{o}s, (ez\'ert a nagy sz\'amok gyenge) t\"orv\'enye.
\item{20.)} A negyedik feladat \'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy el\'eg bel\'atni azt, hogy tetsz\H oleges $\e>0$-ra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
\xi_k\right|>\e\)\to0.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m \xi_k\right|>\e\)\le
\sum_{k=n}^\infty P(\xi_k=\xi_k')+
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
(\xi_k'-E\xi_k')\right|>\e-\sum_{k=n}^m\xi_k'\)
$$
tov\'abb\'a $\summ_{k=n}^\infty P(\xi_k=\xi_k')\to0$ $n\to\infty$
eset\'en (i) miatt \'es
$\sum_{k=n}^mE\xi_k'<\dfrac \e2$ minden $m\ge n$-re ha $n>n(\e)$ (ii)
miatt. V\'eg\"ul a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
(\xi_k'-E\xi_k')\right|>\frac\e2\)\le\frac{\summ_{k=n}^\infty
\text{Var}\,\xi_k}{\e^2}\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
a (iii) tulajdons\'ag miatt. Ezekb\H ol az egyenl\H otlens\'egekb\H ol
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{21.)}
\item{a.)} Jel\"olje $F(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
\Re\(1-\varphi(t)\)=\int_{-\infty}^\infty (1-cos
tx)F(\,dx)\ge\int_{-\infty}^\infty \frac{t^2x^2}4
F(\,dx)=\frac{t^2}4\text{Var}\,\xi\;,
$$
ha $|tx|\le |tK|\le 1$ mivel $1-\cos u>\dfrac {u^2}4$, ha $|u|\le 1$.
\item{b.)} Ha a $\summ_{k=1}^\infty\xi_k$ \"osszeg eloszl\'asban
konverg\'al valamely $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ohoz
$\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel, akkor
$\varphi(t)=\prod\limits_{k=1}^\infty\varphi_k(t)$. Tetsz\H oleges
$\e>0$-hoz l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy $|1-\varphi(t)|<e$, \'es
$|1-\varphi_n(t)|<\e$ minden $n\ge1$-re, ha $|t|<\delta$. (Az ut\'obbi
egyenl\H otlens\'eg az\'ert igaz, mert
$\dfrac{\prodd_{k=1}^{n+1}\varphi_k(t)}
{\prodd_{k=1}^{n}\varphi_k(t)}\to1$, ha $n\to \infty$, \'es a
konvergencia egyenletes, ha $t$ egy v\'eges intervallumban van.)
Mivel a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok szimmetrikus
eloszl\'as\'uak, a $\varphi_k(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny val\'os
\'ert\'ek\H u minden $t$-re, \'es a
$\varphi(t)=\prod\limits_{k=1}^\infty\varphi_k(t)$ azonoss\'agnak
v\'eve a logaritmus\'at kapjuk, hogy a $\summ_{k=1}^\infty
\log\varphi_k(t)$ \"osszeg konvergens, s\H ot abszolut konvergens
$|t|<\delta$ eset\'en, mivel ebben az esetben $1-\e<\varphi(t)\le 1$.
Mivel $\log\varphi(t)>\dfrac1s(1-\varphi(t))$, ha $\e>0$ el\'eg
kicsinek v\'alasztjuk, innen k\"ovetkezik, hogy  $\int
\summ_{k=1}^\infty (1-\varphi(t))<\infty$ $|t|<\delta$ eset\'en.
\item{c.)} Az a.) \'es b.) r\'eszb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{k=1}^\infty \text{Var\,}\xi_k\le \dfrac4t\summ_{k=1}^\infty
(1-\varphi(t))<\infty$ az adott felt\'etelek mellett.
\item{22.)} Ha a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konvergens, akkor a $|\xi_k|>C$ esem\'eny
csak v\'eges sok $k$ indexre teljes\"ul, ez\'ert a Borel--Cantelli
lemma alapj\'an $\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|>C)<\infty$, ez\'ert az
(i) tulajdons\'ag teljes\"ul. Tov\'abb\'a a Borel-Cantelli lemma
m\'asik fele alapj\'an a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k'$ \"osszeg is egy
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel konvergens, ahol $\xi_k'=\xi_kI(|\xi_k|<C)$.
A bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'et a m\'as probl\'em\'ak
megold\'as\'aban is hasznos un. szimmetriz\'al\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tehetj\"uk meg. Legyen $\xi_k''$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyek a $\xi_k'$
sorozatt\'ol is f\"uggetlenek, \'es $\xi_k''$ ugyanolyan eloszl\'as\'u
mint a $\xi'_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\tilde
\xi_k=\xi_k'-\xi_k''$. Ekkor $\tilde \xi_k$ f\"uggetlen szimmetrikus
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
melyekre a $\summ_{k=1}^\infty\tilde\xi_k$ sorozat konvergens. Ez\'ert
az el\H oz\H o feladat alapj\'an
$\summ_{k=1}^\infty\text{Var}\,\tilde\xi_k<\infty$,
\'es mivel $\text{Var}\,\tilde\xi_k=2\text{Var}\,\xi_k'$ innen
k\"ovetkezik a (iii) tulajdons\'ag. A $\xi_k'-E\xi_k'$ sorozat
teljes\'{\i}ti  a h\'arom sor t\'etel mindh\'arom felt\'etel\'et.
Ez\'ert e t\'etelnek a 20. feladatban m\'ar bizony\'{\i}tott
r\'esz\'et felhaszn\'alva kapjuk, hogy a $\summ_{k=1}^\infty
(\xi_k'-E\xi_k')$ \'es $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'=
\summ_{k=1}^\infty \xi_k'-\summ_{k=1}^\infty  (\xi_k'-E\xi_k')$
\"osszegek konvergensek egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel. Ez\'ert a
(ii) tulajdons\'ag is teljes\"ul.
\item{23.)} Legyen $\xi_k'=\xi_kI(|\xi_k|<1)$. Ekkor
$\summ_{k=1}^\infty \text{Var}\,\xi_k'\le\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2
\le\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2$, ez\'ert a h\'arom sor t\'etel (iii)
felt\'etele teljes\"ul $C=1$ v\'alaszt\'assal. Mivel
$|E\xi_k'|=|E\xi_kI(|\xi_k|>\ge1)\le E\xi_k^2I(|\xi_k|\ge1)\le E\xi^2_k$
\'es hasonl\'oan $P(|\xi_k|\ge1)\le E\xi_k^2$, ez\'ert a a h\'arom sor
t\'etel (i) \'es (ii) felt\'etele is k\"ovetkezik a $\summ_{k=1}^\infty
E\xi_k^2<\infty$ felt\'etelb\H ol.
\item{} A feladat m\'asik \'all\'{\i}t\'as\'anak a
bizony\'{\i}t\'as\'aban feltehetj\"uk, hogy
$\limm_{k\to\infty}P(|\xi_k|\ge1)=0$, mert ellenkez\H o esetben a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k$ \"osszeg divergens a h\'arom sor t\'etel (i)
tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'a\-nak nem teljes\"ul\'ese miatt. Be
k\'{\i}v\'anjuk bizony\'{\i}tani, hogy e felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en
$$
\text{Var}\,\xi_kI(|\xi_k|<1)\ge \frac12 E\xi_k^2\quad \text{ha $k$ el\'eg
nagy.}
$$
Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as, mivel ebb\H ol az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol \'es a $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k^2=\infty$
felt\'etelb\H ol k\"ovetkezik, hogy a h\'arom sor t\'etel (iii)
felt\'etele nem teljes\"ul.
\item{} Mivel $E\xi_k=0$
$$
\align
\text{Var}\,\xi_kI(\xi_k<1)&=E\xi_k^2I(\xi_k<1)
-\(E\xi_kI(\xi_k<1)\)^2\\
&=E\xi_k^2-E\xi_k^2I(\xi_k\ge1)
-\(E\xi_kI(\xi_k\ge1)\)^2\ge E\xi_k^2-2E\xi_k^2I(\xi_k\ge1).
\endalign
$$
A H\"older egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg alapj\'an
$$
\align
E\xi^2_kI(|\xi_k|&\ge 1)\le \(E\xi_k^{2+\alpha}\)^{(2/2+\alpha)}
P(|\xi_k|\ge1)^{\alpha/(2+\alpha)} \\
&\le K E\xi_k^2P(|\xi_k|\ge1)^{\alpha/(2+\alpha)}\le \dfrac14 E\xi_k^2
\endalign
$$
el\'eg nagy $k$-ra. Ez\'ert $E\xi_k^2I(|\xi_k|<1)\ge
\dfrac12 E\xi_k^2$, \'es innen k\"ovetkezik a feladat \'all{\'\i}t\'asa.
\item{24.)} Egy lehets\'eges p\'elda:
$P(\xi_k=k)=P\xi_k=-k)=\dfrac1{2k}$,
$P(\xi_k=0)=1-\dfrac1k$ minden $k=1,2,\dots$-re. Ekkor $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=k$ \'es a Borel--Cantelli lemma alapj\'an a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k$ \"osszegben egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel
csak v\'eges sok nem z\'er\'o tag van.
 
\newpage
 
\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es
 
{\it A Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Defini\'aljuk a
$$
\tau(\omega)=\min \{k\:\; k\le n;\; |S_k(\omega)|\ge x\}
$$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ot. ($\tau(\omega)=n$ ha
$S_k(\omega)< x$ minden $k\le n$-re.) Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
ES_{\tau(\omega)}^2\le ES_n^2\;. \tag a
$$
Az utols\'o egyenl\H otlens\'eg \'es a Csebisev egyeenl\H otlens\'eg
alapj\'an
$$
P\(\max_{k\le n} |S_k|>x\)=P\(|S_{\tau(\omega)}|>x\)\le \frac
{ES^2_{\tau(\omega)}}{x^2} \le \frac {ES^2_{n}}{x^2}\;,
$$
\'es ez a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg.
 
A k\'{\i}v\'ant egyenl\H otlens\'eg bebizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy
$$
\aligned
ES_n^2-ES_{\tau(\omega)}^2&=\sum_{k=1}^n
E(S_n-S_k)(S_n-S_k+2S_k)I(\{\tau(\omega)=k\})\\
&=\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)^2I(\{\tau(\omega)=k\})
+2\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})\;.
\endaligned \tag b
$$
Mivel az $S_n-S_k$ \'es $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, (az $S_n-S_k$ a $\xi_l$,
$l=k+1,\dots,n$, az  $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ az $\xi_l$,
$l=1,\dots,k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okt\'ol f\"ugg,)
\'es $E(S_n-S_k)=0$, ez\'ert
$$
E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})=
E(S_n-S_k)ES_kI(\{\tau(\omega)=k\})=0\;.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy az (b) azonoss\'ag jobboldal\'anak a
m\'asodik tagja nulla. Mivel az els\H o tag egy nem negat\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o  \'ert\'eke, ez\'ert
az (b) azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik az (a) rel\'aci\'o. \'Igy
bebizony\'{\i}tottuk a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eget.
\medskip\noindent
{\it A Kronecker lemma bizony{\'\i}t\'asa.\/} A bizony\'{\i}t\'as az
un.\ Abel f\'ele \'atrendez\'es m\'odszer\'en alapul. Vezess\"uk be az
$s_n=\summ_{k=n}^\infty a_k$ mennyis\'egeket. Legyen $q_0=0$. Ekkor
$$
\frac1{q_n}\sum_{k=1}^n a_kq_k=
\frac1{q_n}\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k+1})q_k=
\frac1{q_n}\(-s_{n+1}q_{n}+\sum_{k=1}^{n} s_k(q_k-q_{k-1})\)\;.
$$
R\"ogz\'{\i}tve egy tetsz\H olegesen kicsi $\e>0$ sz\'amot
v\'alasszunk egy olyan $N=N(\e)$ k\"u\-sz\"ob\-in\-de\-xet, melyre
igaz, hogy $|s_k|<\e$ ha $k>N$. (Ez lehets\'eges, mert
$\limm_{n\to\infty}s_n=0$.) Mivel $q_k-q_{k-1}\ge0$ minden $k$-ra a
$q_k$ sorozat monotonit\'asa miatt, ez\'ert
$$
\left|\frac1{q_n}\sum_{k=N}^{n}s_k(q_k-q_{k-1})\right|\le
\frac{\e(q_n-q_{N-1})}{q_n}\le \e\;.
$$
M\'asr\'eszt, mivel $\limm_{n\to\infty} q_n=\infty$ \'es
$\limm_{n\to\infty} s_n=0$
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{q_n}
\(-s_{n+1}q_{n}+\sum_{k=1}^{N-1} s_k(q_k-q_{k-1})\)=0\;.
$$
A fenti becsl\'esekb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limsup_{n\to\infty}\left|\frac1{q_n}\sum_{k=1}^n a_kq_k\right|\le\e\;.
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as tetsz\H oleges $\e>0$-ra igaz, innen
ad\'odik a Kronecker lemma.
 
 
 \bye
 
