Sztochasztikus és egy valószínűségi konvergencia

1.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, … független valószínűségi változók sorozata, melyre P (ξ_{n} =

n) = P (ξ_{n} = −n) = \frac{1}{10n log(n + 1)}, P (ξ_{n} = 0) = 1 − \frac{1}{5n log(n + 1)}, n = 1, 2, . . ..

Lássuk be, hogy az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} részletösszegek teljesítik a következő állításokat:

a.) \frac{S_{n}}{n} ⇒ 0, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl.

b.) Az \frac{S_{n}(ω)}{n} sorozat 1 valószínűséggel divergál.

2.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & ha |x| ≤ 2 \\ \frac{C}{x^{2} log |x|} & ha |x| ≥ 2 \end{matrix}

sűrűségfüggvénnyel. (A C konstanst az ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1 egyenlet határozza meg.)

Lássuk be, hogy az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} részletösszegek teljesítik az \frac{S_{n}}{n} ⇒ 0, ha n → ∞,

tulajdonságot, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl, és E|ξ_{n}| = ∞

Megjegyzés 1: Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók, akkor a valószínűségszámítás egyik klasszikus eredménye szerint a ξ_{n} sorozat akkor és csak akkor teljesíti a nagy számok erős törvényét, ha E|ξ_{n}| < ∞. Részlete-

sebben: Az \frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} átlagok egy valószínűséggel divergálnak, ha E|ξ_{n}| = ∞,

és egy valószínűséggel konvergálnak, ha E|ξ_{n}| < ∞. Ez utóbbi esetben a limesz egy valószínűséggel az Eξ_{n} konstans. Ez az állítás következik a 3. és 9. feladat eredményeiből.

3.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata. Ha E|ξ_{n}| = ∞, akkor az A_{n} = {|ξ_{n}| > n} események közül végtelen sok követ-

kezik be egy valószínűséggel. Ezért az \frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} átlagok egy valószínűséggel

divergálnak. 4.) Az X_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata akkor és csak akkor konvergál

egy valószínűséggel nullához, ha minden ε > 0-ra

lim_{n→∞} P (sup_{k≥n} |X_{k}| > ε) = 0.

5.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, (nem feltétlenül független) valószínűségi változók sorozata,

és legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}. Ha minden ε > 0-ra teljesül a

∑_{n=1}^{∞} P ( sup_{2^{n−1}≤k≤2^{n}} |S_{k}| > ε2^{n}) < ∞

feltétel, akkor az \frac{S_{n}}{n} sorozat egy valószínűséggel konvergál nullához.

6.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, melyre Eξ_{n} = 0 és E|ξ_{n}|^{k} < ∞ valamilyen egész k ≥ 1 számmal. Ekkor

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} részletösszegekre |ES_{n}^{k}| < Cn^{k/2} alkalmas C > 0 számmal. Ezért, ha

k páros szám, akkor P ( sup_{1≤k≤n} |S_{k}| > εn) ≤ C(ε)n^{−k/2+1}. Ha Eξ_{n}^{4} < ∞, akkor

lim_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} → 0 1 valószínűséggel.

6a.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók soro-

zata, melyre Eξ_{n} = 0 és E|ξ_{n}|^{k} < ∞ minden k ≥ 1 számra. Ekkor az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}

részletösszegek teljesítik az

ES^{2k−1} = o (n^{(2k−1)/2}) és ES_{n}^{2k} = 1 · 3 ⋯ (2k − 1)n^{k} (1 + o (1))

aszimptotikus azonosságokat.

Megjegyzés: Az előző feladat azonosságai azt jelentik, hogy az \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} valószínűségi

változók momentumai konvergálnak a standard normális eloszlású valószínűségi

változók momentumaihoz. Be lehet látni, hogy ebből következik az, hogy a \frac{S_{n}}{\sqrt{n}}

valószínűségi változók eloszlása konvergál a standard normális eloszláshoz. E kérdés részleteit ebben a feladatsorban nem tárgyaljuk. Mindössze egy olyan feladatot tekintünk (7. feladat), amelyikre szükség van ahhoz, hogy a 6a) feladat eredményeiből levezessük a centrális határeloszlátételt.

A nagy számok törvénye azt fejezi, ki hogy független nulla várható értékű valószínűségi változók összege kisebb, mint ahogy azt triviális becslésekből kapnánk. Jó természetes becslést kaphatunk a momentumok vizsgálatával, és minél több momentuma van az összeadandóknak, annál jobb becslést kaphatunk. Ha az összes momentum létezik, akkor a természetes módon normált összegek momentumai a normális eloszlás momentumaihoz tartanak. E tényből levezethető a centrális határeloszlástétel is. Bár ebben az érvelésben az összes momentum konvergenciájára szükség van, mégis levezethető ilyen módon a centrális határeloszlás mindössze két momentum létezése esetén is. Ehhez célszerű az összeadandókat egy nagy K számnál levágni, azaz érdemes az összeadandókat ξ_{k} = ξ′_{k} + ξ′′_{k}, ξ′_{k} = ξ_{k}I(|ξ_{k}| < K) és ξ′′_{k} = ξ_{k}I(|ξ_{k}| ≥ K) formában felírni. A ξ′_{k} valószínűségi változók részletösszegeinek momentumait jól tudjuk becsülni. A ξ′′_{k} változók összege relative kicsi, és ezt a Csebisev egyenlőtlenségből is le lehet vezetni. A fenti érvelés jelzi, hogy érdemes vizsgálni az összeadandók különösen nagy értékeinek hatását a részletösszegekre. Ezt mutatják a feladatsor azon eredményei is, melyek megadják a nagy számok gyenge és erős törvényének szükséges és elégséges feltételét független, egyforma eloszlású valószínűségi változók részletösszegeire.

7.) Legyen az F (x) eloszlásfüggvény olyan, hogy momenutumai megegyeznek a standard normális eloszlás momentumaival, azaz legyen

∫_{−∞}^{∞} x^{k}F ( dx) = \{ \begin{matrix}1 · 3 ⋯ (2l − 1) & ha k = 2l \\ 0 & ha k = 2l − 1 \end{matrix}

Ekkor F (x) a standard normális eloszlásfüggvény.

A nagy számok erős törvényének bizonyításában fontos szerepet játszik a következő Kolmogorov egyenlőtlenség. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, (nem feltétlenül egyforma eloszlású) valószínűségi vál-

tozók, Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = σ_{k}^{2}, S_{k} = ∑_{p=1}^{k} ξ_{p}, k = 1, …, n. Ekkor

P ( sup_{1≤k≤n} |S_{k}| ≥ x) ≤ \frac{ES_{n}^{2}}{x^{2}} = \frac{∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}}{x^{2}}

minden x > 0-ra. Érdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenlőtlenség ugyanazt a felső becslést adja annak valószínűségére, hogy az S_{k} részletösszegek szuprémuma nagyobb mint valamilyen x > 0 szám, mint amit a Csebisev egyenlőtlenség ad annak az eseménynek a valószínűségére, hogy az utolsó tag S_{n} nagyobb, mint x.

Ugyancsak nagyon hasznos a nagy számok törvényének bizonyításában következő technikai jellegű lemma. Kronecker lemma: Ha az a_{n} és q_{n}, n = 1, 2, … számsorozatok olyanok, hogy

a ∑_{n=1}^{∞} a_{n} összeg konvergens, a q_{n} sorozat monoton nő és lim_{n→∞} q_{n} = ∞, akkor

lim_{n→∞} \frac{1}{q_{n}} ∑_{k=1}^{n} a_{k}q_{k} = 0.

Érdemes megemlíteni a következő speciális esetet. Ha a ∑_{n=1}^{∞} \frac{x_{n}}{n} összeg konvergens,

akkor \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} x_{k} sorozat nullához tart n → ∞ esetén. Ez az állítás következik a

Kronecker lemmából a_{n} = \frac{x_{n}}{n} és q_{n} = n választással.

8.) Legyenek ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószínűségi változók, Eξ_{n} = 0, Eξ_{n}^{2} = σ_{n}^{2}.

Lássuk be a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével azt, hogy ha ∑_{n=1}^{∞} \frac{σ_{n}^{2}}{n^{2}} < ∞,

akkor \frac{S_{n}}{n} egy valószínűséggel tart nullához n → ∞ esetén.

9.) Lássuk be a Megjegyzés 1-ben megfogalmazott állítás másik felét, azaz a következőt: Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, E|ξ_{1}| < ∞, Eξ_{1} = 0, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n = 1, 2, …, akkor lim_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} = 0 1 valószínűség-

gel.

10.) Legyen X_{n} (nem feltétlenül független) valószínűségi változók sorozata, és az X_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye legyen φ_{n}(t) = Ee^{itX_{n}}, −∞ < t < ∞. Az X_{n} sorozat akkor és csak akkor konvergál sztochasztikusan nullához, ha φ_{n}(t) → 1, n → ∞ esetén minden −∞ < t < ∞-re. A φ_{n}(t) → 1 konvergencia egyenletes minden véges |t| < A, A > 0 intervallumban.

11.) Legyenek ξ_{n}, n = 1, 2, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók. Az

\frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} átlagok akkor és csak akkor konvergálnak sztochasztikusan nullához,

ha a ξ_{n} valószinűségi változók karakterisztikus függvénye a 0-ban differenciálható, és ez a derivált nulla.

Megjegyzés: Az előző feladat szükséges és elégséges feltételt adott arra, — a karakterisztikus függvények tulajdonságaival kifejezve — hogy független egyforma eloszlású valószínűségi változók részletösszegei mikor teljesítik a nagy számok gyenge törvényét. Pontosabban, e feladat eredménye arra ad szükséges és elégséges feltételt, hogy mikor konvergál e valószínűségi változók átlaga sztohasztikusan nullához. Ennek az eredménynek a segítségével viszont nem nehéz megadni annak szükséges és elégséges feltételét, hogy mikor konvergál az átlag sztohasztikusan valamilyen a számhoz. Természetes kívánság viszont, hogy a feltételt ne a (némileg mesterséges) karakterisztikus függvény, hanem az eloszlásfüggvény tulajdonságai segítségével fejezzük ki. Ez a célja a következő feladatnak.

12.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók soro-

zata. Jelölje S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} e valószínűségi változók részletösszegeit, φ(t) = Ee^{itξ_{1}} és

F (x) = P (ξ_{1} ≤ x) pedig a ξ_{1} valószínűségi változó karakterisztikus illetve eloszlásfüggvényét. A következő állítások ekvivalensek:

a.) Az \frac{S_{n}}{n} valószínűségi változók sztochasztikusan konvergálnak nullához.

b.) A φ(t) karakterisztikus függvény a nullában differenciálható, és a derivált nulla. c.) lim_{x→∞} x [F (−x) + (1 − F (x))] = 0, és lim_{u→∞} ∫_{−u}^{u} xF ( dx) = 0.

Az előző feladatokban (3., 9., 12. feladatok) maegadtuk a szükséges és elégséges feltételét annak, hogy független egyforma eloszlású valósz1nűségi változók átlaga egy valószínűséggel vagy sztochasztikusan nullához tartson. Megvizsgáljuk a következő kérdést: Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy független és egyforma eloszlású

ξ_{1}, ξ_{2} …, valószínűségi változók S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} összegeire az \frac{S_{n}}{n} −a_{n} valószínűségi változók

sztochasztikusan vagy egy valószínűséggel nullához konvergáljanak alkalmas (determinisztikus) a_{n} konstansokkal. Mint látni fogjuk, az egy valószínűségi konvergencia estén ez a gyengébb követelmény nem bővíti lényegesen a lehetséges ξ_{n} sorozatok osztályát. Mindössze annyit enged meg, hogy a ξ_{n} valószínűségi változókhoz egy konstanst hozzáadjunk, amit normáláskor levonunk. A sztochasztikus konvergencia esetén viszont az ezt a gyengített feltételt kielégítő sorozatok osztálya valamivel bővül.

13.) Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók F (x) el-

oszlásfüggvénnyel. Ha lim_{x→∞} x[1 − F (x) + F (−x)] = 0, akkor az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}

részletösszegekre \frac{S_{n}}{n} − a_{n} ⇒ 0 n → ∞ esetén a_{n} = ∫_{−n}^{n} uF ( du) választással. Az a_{n} sorozatot a fenti reláció majdnem egyértelműen meghatározza. Azaz, ha a fenti sztochasztikus konvergencia teljesül valamilyen a_{n} sorozattal, akkor egy másik ā_{n} sorozattal ez a konvergencia akkor és csak akkor teljesül, ha lim_{n→∞}(a_{n} − ā_{n}) = 0.

14.) A 13. feladat állítása megfordítható. Azaz, ha a feladat jelőléseivel \frac{S_{n}}{n} − a_{n} ⇒ 0, n → ∞ esetén alkalmas a_{n} sorozattal, akkor lim_{x→∞} x[1 − F (x) + F (−x)] = 0, és

lim_{x→∞} \frac{1}{x} ∫_{−x}^{x} u^{2}F ( du) = 0.

15.) Ha a ξ_{1}, ξ_{2}, … független valószínűségi változók részletösszegeire \frac{S_{n}}{n} − a_{n} → 0 n → ∞ esetén egy valószínűséggel, akkor E|ξ_{1}| < ∞, és a_{n} = Eξ_{1} + o(1).

16.) Tekintsük az f_{s}(x) = \frac{1}{π} \frac{s}{s^{2} + x^{2}} , −∞ < x < ∞, s > 0 (Cauchy eloszlást definiáló)

sűrűségfüggvényeket. Lássuk be, hogy f_{s} ∗f_{t}(x) = f_{s+t}(x), ahol ∗ konvoluciót jelöl. 17.) Legyenek ξ_{k}, k = 1, …, n, független egyforma eloszlású valószínűségi változók

sorozata f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1 + x^{2}} eloszlással. Mi a \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} valószínűségi változó eloszlása?

Miért nem igaz ezekre a valószínűségi változókra a nagy számok (gyenge) törvénye? 18.) Határozzuk meg a Cauchy eloszlású valószínűségi változók karakterisztikus függvé-

nyét. 19.) Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, … független egyforma eloszlású valószínűségi változók soro-

zata f(x) sűrűségfüggvénnyel. Teljesíti-e ezen valószínűségi változók átlaga a nagy számok erős és a nagy számok gyenge törvényét, ha

a.) f(x) = \frac{C}{1 + x^{2}}

b.) f(x) = \frac{C}{1 + x^{2} log(x^{2} + 4)}

c.) f(x) = \frac{C}{1 + x^{2} log^{2}(x^{2} + 4)}

A klasszikus valószínűségszámítás egyik klasszikus eredménye az un. három sor tétel a következő kérdéssel foglalkozik: Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független valószínűségi változók

sorozata. Ekkor a 0–1 törvény alapján a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} egy valószínűséggel konvergens vagy di-

vergens. Az alább megfogalmazandó és az azt követő három feladatban bebizonyítandó három sor tétel megadja annak szükséges és elégséges feltételét, hogy ez az összeg egy valószínűséggel konvergáljon.

Három sor tétel. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független valószínűségi változók. A ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k}

véletlen összeg akkor és csak akkor konvergál egy valószínűséggel, ha rögzítve egy tetszőleges C > 0 számot és tekintve a ξ′_{k} = ξ_{k}I({|ξ_{k}| < C}) valószínűségi változókat, ahol I(A) az A halmaz indikátorfüggvénye, ez a sorozat teljesíti a következő feltételeket:

(i) ∑_{k=1}^{∞} P (ξ_{k} ≠ ξ′_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} P (|ξ_{k}| ≥ C) < ∞,

(ii) A ∑_{k=1}^{∞} Eξ′_{k} összeg konvergens.

(iii) ∑_{k=1}^{∞} Var ξ′_{k} < ∞.

20.) Bizonyítsuk be (a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével), hogy ha a független valószínűségi változók ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozata teljesíti a három sor tétel feltételeit, akkor

a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg egy valószínűséggel konvergál.

21.) a.) Legyen ξ korlátos valószínűségi változó, P (|ξ| < K) = 1, Eξ = 0. Ekkor min-

den olyan t számra, melyre |t| ≤ \frac{1}{K} igaz, hogy a ξ φ(t) = Ee^{itξ} karakterisztikus

függvénye teljesíti az 1 − ℜφ(t) > \frac{t^{2}}{4} egyenlőtlenséget.

b.) Ha ξ_{k}, k = 1, 2, …, független szimmetrikus eloszlású valószínűségi változók sorozata (azaz P (ξ_{k} > x) = P (ξ_{k} < −x) minden k-ra és x ≥ 0-ra φ_{k}(t), −∞ < t <

∞, karakterisztikus függvényekkel, és ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg (eloszlásban) konvergál, akkor

∑_{k=1}^{∞}[1 − φ_{k}(t)] < ∞ elég kis t-re.

c.) Ha a független szimmetrikus eloszlású ξ_{k} valószínűségi változók teljesítik a |ξ_{k}| < C

alkalmas (k-tól független) C > 0 számmal, és ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} egy valószínűséggel konvergens,

(elég feltenni, hogy ez az összeg eloszlásban konvergál,) akkor ∑_{k=1}^{∞} Var ξ_{k} < ∞.

22.) Bizonyítsuk be, hogy ha a független ξ_{k} valószínűségi változókra ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} egy valószí-

nűséggel konvergál, akkor teljesül a három sor tételben megfogalmazott (i), (ii) és (iii) tulajdonság.

23.) Bizonyítsuk be a három sor tétel segítségével, hogy ha a ξ_{k} független valószínűségi

változók teljesítik az Eξ_{k} = 0 és ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} < ∞ feltételeket, akkor a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg egy valószínűséggel konvergál. Ha E|ξ_{k}|^{2+α} ≤ K (Eξ_{k}^{2})^{(2+α)/2} valamilyen α > 0 és a k indextől függő K számmal (ez a becslés azt fejezi ki, hogy Eξ_{k}^{2+α} nem túl nagy, kisebb mint a Hölder egyenlőtlenség alapján erre a momentumra megadható alsó becslés), és ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} < ∞ akkor a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg egy valószínűséggel divergens.

24.) Adjunk példát független valószínűségi változók olyan ξ_{k}, k = 1, 2, …, sorozatára, melyre Eξ_{k} = 0, ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} = ∞ és a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} sorozat egy valószínűséggel konvergál.

Megoldások

1.) ES_{n} = 0, és ES_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{2} = ∑_{k=1}^{n} \frac{k}{25 log(k + 1)}. Ezért a Csebisev egyenlőtlenség

alapján tetszőleges ε > 0-ra P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) ≤ \frac{1}{εn^{2}} ∑_{k=1}^{n} \frac{k}{25 log(k + 1)} → 0. Tehát

\frac{S_{n}}{n} ⇒ 0.

Mivel a \{|ξ_{n}| ≥ n\} események függetlenek, és ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{5n log(n + 1)} = ∞, a Borel– Cantelli lemma alapján egy valószínűséggel igaz az, hogy a {|ξ_{n}| ≥ n} esemény végtelen sok n-re bekövetkezik. Ha az \frac{S_{n}(ω)}{n} sorozat konvergens, akkor \frac{S_{n}(ω)}{n} − \frac{S_{n−1}(ω)}{n} = \frac{ξ_{n}(ω)}{n} → 0, ez pedig egy valószínűséggel nem lehetséges.

2.) Definiáljuk rögzített n-re a ξ_{k} = ξ_{k}^{(1,n)} + ξ_{k}^{(2,n)} dekompoziciót, 1 ≤ k ≤ n, ahol ξ_{k}^{(1,n)} = ξ_{k}I({|ξ_{k}| ≤ n}), ξ_{k}^{(2,n)} = ξ_{k}I({|ξ_{k}| ≥ n}), és I(A) az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli. Ekkor Eξ_{k}^{(1,n)} = 0, Eξ_{k}^{(1,n)}^{2} = ∫_{−n}^{n} x^{2}f(x) dx ≤ \frac{const. n}{log n}, és P (ξ_{k}^{(2,n)} ≠ 0) ≤ \frac{const.}{n log n}. Ezért a Csebisev egyenlőtlenség segítségével kapjuk, hogy

P (|\frac{S_{n}}{n} | ≥ ε) ≤ P (|∑_{k=1}^{n} ξ_{k}^{(1,n)}| ≥ nε) + ∑_{k=1}^{n} P (ξ_{k}^{(2,n)} ≠ 0) ≤ \frac{const. n}{ε log n} + \frac{const.}{log n} .

A fenti kifejezés nullához tart, ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy \frac{S_{n}}{n} ⇒ 0. Másrészt,

E|ξ_{n}| = 2∫_{2}^{∞} \frac{C′}{x log x} dx = ∞.

3.) Ha E|ξ_{1}| = ∞, akkor ∑_{k=1}^{∞} P (|ξ_{1}| > k) = ∞. Innen ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{n}| > n) = ∞, és a

Borel–Cantelli lemma alapján 1 valószínűséggel |ξ_{n}| > n végtelen sok n-re. Ha \frac{S_{n}(ω)}{n} konvergál, akkor \frac{S_{n}(ω)}{n} − \frac{S_{n−1}(ω)}{n} = \frac{X_{n}(ω)}{n} → 0, ami egy valószínűséggel nem lehetséges.

4.) Tegyük fel, hogy X_{n} → 0 1 valószínűséggel. Definiáljuk a következő A(n, ε) halma-

zokat: A(n, ε) = {ω: sup_{k≥n} |X_{k}(ω)| > ε}. Ekkor ⋯ A(n, ε) ⊃ A(n + 1, ε) ⊃ ⋯, és

P ( ⋂_{n=1}^{∞} A(n, ε)) = 0. Ezért a mértékek folytonossága miatt lim_{n→∞} P (A(n, ε)) = 0, és ez a bizonyítandó állítás egyik fele. Ha lim_{n→∞} P (A(n, ε)) = 0, akkor P ( ⋂_{n=1}^{∞} A(n, ε)) = 0, ami azt jelenti, hogy

P (lim sup_{n→∞} |X_{n}| ≤ ε) = 1 .

Alkalmazva ezt az állítást minden ε = 1/k, k = 1, 2, … számra, kapjuk, hogy X_{n} → 0 1 valószínűséggel, és ez az állítás másik fele.

5.) Az adott feltételek mellett a Borel–Catelli lemma alapján 1 valószínűségi halmazon

sup_{2^{n−1}≤k≤2^{n}} |S_{k}(ω)| > 2^{n}ε, ha n > n_{0}(ω, ε). Ha 2^{n−1} ≤ l < 2^{n}, n > n_{0}(ω, ε) akkor

\frac{|S_{l}|}{l} ≤ 2ε. Alkalmazva ezt az állítást ε = \frac{1}{k} -ra. k = 1, 2, …, kapjuk az állítást.

6.) Felírva az S_{k} momentumait, elvégezve a beszorzásokat és felhasználva azt, hogy független valószínűségi változók szorzatának a várható értéke megegyezik a változók várható értékének a szorzatával kapjuk azt, hogy

ES_{n}^{k} = E (∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{k} = ∑_{\begin{matrix}1≤l_{r}≤n, r=1,...,k \\ s_{1}+···s_{r}=k \end{matrix}} Eξ_{l_{1}}^{s_{1}} ⋯ Eξ_{l_{r}}^{s_{r}} .

Mivel a ξ_{l} valószínűségi változók várható értéke nulla, ezért az előző összegben szereplő tagokra Eξ_{l_{1}}^{s_{1}} ⋯ Eξ_{l_{r}}^{s_{r}} = 0, ha ebben a szorzatban valamelyik s_{j} nullával egyenlő. Ezért

ES_{n}^{k} = Σ_{1}(n) + Σ_{2}(n) ,

ahol

Σ_{1}(n) = ∑_{1≤l_{r}≤n, 1≤r≤p} Eξ_{l_{1}}^{2} ⋯ Eξ_{l_{p}}^{2}
= n(n − 1) ⋯ (n − p + 1) · (k − 1) ⋯ 3 · 1 ha k = 2p ,
Σ_{1}(n) = 0, ha k = 2p + 1

és

Σ_{2}(n) = ∑_{1≤l_{r}≤n, r=1,...,k s_{1}+···+s_{r}=k s_{j}≥2,j=1,...,r létezik 1≤m≤r melyre s_{m}≥3} Eξ_{l_{1}}^{s_{1}} ⋯ Eξ_{l_{r}}^{s_{r}} .

A Σ_{2}(n)-ben szereplő szorzatok legfeljebb (k − 1)/2 tényezőből áll. Ezért ennek az összegnek legfeljebb const. n^{(k−1)/2} tagból áll. Mindegyik tag kisebb mint egy alkalmas (n-től független) konstans. Ezért

Σ_{2}(n) ≤ const. n^{(k−1)/2} .

Mivel Σ_{2}(n) ≤ const. n^{k/2}, innen következik, hogy |ES_{n}^{k}| ≤ const. n^{k/2}. Ha k páros szám, és m ≤ n akkor innen következik, hogy P (S_{m} > εn) ≤ C(ε)n^{−k/2}, ezért

P ( sup_{1≤m≤n} S_{m} > εn) ≤ C(ε)n^{−k/2+1}. Speciálisan,

P ( sup_{1≤m≤n} S_{m} > εn) ≤ C(ε)n^{−1} k = 4 választással.

Ebből a becslésből és az előző feladat eredményéből következik, hogy ha Eξ_{1}^{4} < ∞,

akkor \frac{S_{n}}{n} → 1 egy valószínűséggel.

6a.) A 6. feladat becslései adják, hogy Σ_{2}(n) = o (n^{k/2}), ezért ES_{n}^{k} = Σ_{1}(n) + o(n^{k/2}). Ha k páratlan, akkor Σ_{1}(n) = 0, ha k páros, akkor lim_{n→∞} n^{−k/2}Σ_{1}(n) = 1·3 ⋯ (2k − 1). Ezen összefüggésekből következik a 6a.) feladat állítása.

7.) Mivel az eloszlásfüggvényt egyértelműen meghatározza a karakterisztikus függvény, ezért elég belátni azt, hogy az adott feltételek mellett φ(t) = ∫ e^{itx}F ( dx) = e^{−t^{2}/2}. Viszont ebben az esetben φ^{(2k−1)}(0) = 0, φ^{(2k)}(0) = (i^{2k})1 · 3 ⋯ (2k − 1), és a Taylor sorfejtés alapján

∫_{−∞}^{∞} e^{itx}F ( dx) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{i^{2k}1 · 3 ⋯ (2k − 1)}{2k!}t^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} (\frac{−t^{2}}{2} )^{k} = e^{−t^{2}/2} .

8.) A Kronecker lemma alapján elég belátni, hogy a ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ξ_{k}(ω) sorozat egy valószínű-

séggel konvergens. Ehhez elég belátni, hogy tetszőleges ε > 0-ra

P ( sup_{N≥n} |∑_{k=n}^{N} \frac{1}{k} ξ_{k}| > ε) → 0 ha n → ∞ .

Ebből ugyanis következik, hogy a ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ξ_{k} sorozat egy valószínűséggel Cauchy so-

rozat. A kívánt egyenlőtlenség viszont következik a Kolmogorov egyenlőtlenségből, mivel

P ( sup_{N≥n} |∑_{k=n}^{N} \frac{1}{k} ξ_{k}| > ε) ≤ \frac{1}{ε^{2}} ∑_{k=n}^{∞} \frac{Eξ_{k}^{2}}{k^{2}} → 0 ha n → ∞ .

9.) Definiáljuk a ξ_{n} = ξ′_{n} + ξ′′_{n}, ξ′_{n} = ξ_{n}I(|ξ_{n}| ≤ n), ξ′′_{n} = ξ_{n}I(|ξ_{n}| > n) felbontást, ahol I(A) az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli. Ekkor

∑_{k=1}^{n} P (ξ′′_{k} ≠ 0) = ∑_{k=1}^{n} P (|ξ_{k}| > k) = ∑_{k=1}^{n} P (|ξ_{1}| > k) ≤ 1 + E|ξ_{1}| < ∞ .

Ezért a Borel–Cantelli lemma alapján egy valószínűséggel csak véges sok k-ra tel-

jesül a ξ′′_{k} ≠ 0 esemény, és ezért \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ′′_{k} → 0 egy valószínűséggel.

|\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} Eξ′_{k}| = |−\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} Eξ′′_{k}| ≤ \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} E|ξ_{1}|I(|ξ_{1}| ≥ k) → 0 ,

ha n → ∞, mert E|ξ_{1}| < ∞, és ezért E|ξ_{1}|I(|ξ_{1}| > k) → 0, ha k → ∞.

Az előző feladathoz hasonlóan érvelhatünk. Kolmogorov egyenlőtlenség alapján

P ( sup_{n≤k≤N} ∑_{j=n}^{k} \frac{1}{j}(ξ′_{j} − Eξ′_{j}) > ε) ≤ \frac{1}{ε^{2}} ∑_{k=n}^{N} \frac{1}{k^{2}} E(ξ′_{k} − Eξ′_{k})^{2} ≤ \frac{1}{ε^{2}} ∑_{k=n}^{N} \frac{1}{k^{2}} Eξ′_{k}^{2}

minden n-re N-re és ε > 0-ra. Mivel

∑_{k=n}^{N} \frac{1}{k^{2}} Eξ′_{k}^{2} ≤ ∑_{k=n}^{∞} \frac{1}{k^{2}} Eξ_{1}^{2}I(|ξ_{1}| > k) ≤ const. ∑_{j=n}^{∞} j^{2}P (j ≤ |ξ_{1}| < j + 1) (∑_{k=j}^{∞} \frac{1}{k^{2}} )

≤ const. ∑_{j=n}^{∞} jP (j ≤ |ξ_{1}| < j + 1) ≤ const. E|ξ_{1}|I(|ξ_{1}| > n) ,

és az utolsó kifejezés jobboldala nullához tart, ha n → ∞, ezért a Kolmogorov

egyenlőtlenségből következik, hogy a T_{n}(ω) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} (ξ′_{k}(ω) − Eξ′_{k}) sorozat Cauchy

sorozat egy valószínűséggel, azaz a ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} (ξ′_{k} −Eξ′_{k}) sorozat egy valószínűséggel kon-

vergál. A Kronecker lemma alapján \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n}(ξ′_{k}−Eξ′_{k}) → 0 egy valószínűséggel. Mivel

\frac{1}{n} ∑ Eξ′_{k} → 0, és \frac{1}{n} ∑ ξ′′_{k} → 0 egy valószínűséggel, innen következik az állítás.

10.) A feladat állításának két bizonyítását adjuk.

Első bizonyítás: Az állítás következik a valószínűségszámítás standard eredményeiből. Az X_{n} sorozat akkor és csak akkor konvergál sztochasztikusan nullához, ha eloszlásban konvergál a nulla pontba koncentrált mértékhez. Ez utóbbi akkor és csak akkor teljesül, ha a φ_{n}(t) karakterisztikus függvények sorozata konvergál a nulla pontba koncentrált mérték karakterisztikus függvényéhez minden t-re, és ez utóbbi a φ(t) ≡ 0 függvény. A konvergencia minden véges intervallumban egyenletes.

Második bizonyítás: Ha X_{n}(t) ⇒ 0, akkor e^{itX_{n}} ⇒ 1 minden t-re, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. Másrészt |e^{itX_{n}}| ≤ 1. Ezért a Lebesgue tétel alapján φ_{n}(t) = ∫ e^{itX_{n}(ω)}dP (ω) → ∫ 1 dP (ω) = 1. Mivel |e^{itX_{n}(ω)} − 1| ≤ A|X_{n}(ω)|, ha |t| ≤ A, be lehet látni, hogy a konvergencia egyenletes minden véges intervallumon.

Ha φ_{n}(t) → 1 minden t-re, akkor tetszőleges A > 0-ra ∫_{−A}^{A} ℜ (1 − φ_{n}(t)) dt → 0, ha n → ∞. Viszont

∫_{−A}^{A} ℜ (1 − φ_{n}(t)) dt = ∫_{−A}^{A} ∫_{−∞}^{∞} ℜ (1 − e^{itx}) dtF_{n}( dx)

= ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−A}^{A}(1 − cos tx) dtF_{n}( dx) = ∫_{−A}^{A} 2A (1 − \frac{sin Ax}{Ax}) F_{n}( dx) ,

ahol F_{n}(x) az X_{n} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Mivel 1 − \frac{sin Ax}{Ax} ≥ 0,

\frac{sin Ax}{Ax} ≤ \frac{1}{2}, ha |x| > \frac{2}{A}, ezért

∫_{|x|>2/A} ℜ (1 − φ_{n}(t)) dt ≥ ∫_{|x|>2/A} AF_{n}( dx) = AP (|X_{n}| > \frac{2}{A}) → 0.

Mivel ez az állítás igaz minden A > 0-ra, X_{n} ⇒ 0. 11.) Az \frac{S_{n}}{n} ⇒ 0 feltétel ekvivalens azzal, hogy φ (\frac{t}{n})^{n} − 1 → 0 minden t-re. Ha

a karakterisztikus függvény a nullában differenciálható, és a derivált nulla, akkor

|(φ^{n} (\frac{t}{n}) − 1)| = n |φ (\frac{t}{n}) − 1| · |\frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} φ^{k} (\frac{t}{n})| ≤ n |φ (\frac{t}{n}) − 1| → 0.

A másik irány bizonyításához vegyük észre, hogy \frac{S_{n}}{n} ⇒ 0 esetén φ (\frac{t}{n})^{n} − 1 =

exp \{n log φ (\frac{t}{n})\}−1 → 0 egyenletesen minden t ∈ [−A, A], A > 0 intervallumon,

ezért n log φ (\frac{t}{n}) → 0 és n · arg φ (\frac{t}{n}) → 0 egyenletesen |t| < A-ra, ha n → ∞. Ennek bizonyításához azt kell észrevenni, hogy bár az adott feltételből rögzített t-re csak az következik, hogy n · arg φ (\frac{t}{n}) ∼ 2kπ valamilyen egész k-ra, de a

φ (\frac{t}{n})^{n} függvény egyenletes konvergenciájából, a φ (\frac{t}{n})^{n} görbe folytonosságából és a φ(0) = 1 relációból következik, hogy k = 0. Mivel |1 − z| ≤ const. | log z|, ha |1 − z| ≤ \frac{1}{10}, innen következik, hogy n (φ (\frac{t}{n}) − 1) → 0, ha n → ∞, és a konvergencia minden korlátos intervallumban egyenletes. Ezért minden ε > 0hoz létezik olyan n = n(ε) küszöbindex, hogy |\frac{φ (\frac{t}{n}) − 1}{\frac{t}{n}} | < ε, ha n ≥ n(ε), és \frac{1}{2} ≤ |t| ≤ 1. Innen következik, hogy hogy φ′(0) = 0, ahogy állítottuk.

12.) Az a.) és b.) rész állítás ekvivaleciája az előző feladat eredménye.

A c.) ⇒ b.) állítás bizonyítása:

\frac{φ(h) − 1}{h} = ∫_{−T}^{T} \frac{e^{ihx} − 1}{h}F ( dx) + ∫_{|x|>T} \frac{e^{ihx} − 1}{h}F ( dx) = I(T, h) + II(T, h).

Mivel |\frac{e^{ihx} − 1}{h}| ≤ \frac{2}{h} és |\frac{e^{ihx} − 1}{h} − ix| ≤ \frac{x^{2}}{h} rögzítve egy kis ε > 0 számot T = \frac{ε}{h}

választással a következő becsléseket tehetjük:

|II(T, h)| ≤ \frac{1}{h} ∫_{x>|T |} F ( dx) = \frac{T [F (−T) + (1 − F (T)]}{h} → 0 ha h → 0 ,

|I(T, h)| ≤ |∫_{−T}^{T} xF ( dx)| + |∫_{−T}^{T} \frac{x^{2}}{h} F ( dx)| = |I_{1}(T, h)| + |I_{2}(T, h)| ,

|I_{1}(T, h)| → 0 ha h → 0

és parciális integrálással kapjuk, hogy

I_{2}(T, h) = ((1 − F (T))\frac{T^{2}}{h} − F (−T)\frac{T^{2}}{h} )−2 ∫_{0}^{T} (1−F (x))\frac{x}{h} dx−2 ∫_{−T}^{0} F (x)\frac{x}{h} dx .

Továbbá [F (x)\frac{x^{2}}{h} ]_{−T}^{T} → 0 ha h → 0, és

|∫_{−T}^{T} F (x)\frac{x}{h} dx| ≤ ∫_{−T}^{T} \frac{const.}{|x|} \frac{|x|}{h} dx ≤ \frac{T}{h} ≤ const. ε .

Mivel ezek az egyenlőtlenségek minden ε > 0-ra igazak, ezért

φ′(0) = lim_{h→0} \frac{φ(h) − 1}{h} = 0

A b.) ⇒ c.) állítás bizonyítása: A b.) feltétel teljesülése esetén tetszőleges ε > 0-ra |ℜ[1 − φ(u)]| < \frac{ε}{x}^{−1} ha u < \frac{1}{x} és x > x(ε). Ezért elég nagy x-re

ε > x^{2} ∫_{0}^{1/x} ℜ[1 − φ(u)] du = ∫_{0}^{1/x} ∫_{−∞}^{∞} x^{2}(1 − cos ut)F (d u) dt

= ∫_{−∞}^{∞} ∫_{0}^{1/x} x^{2}(1 − cos ut) dtF (d u) = ∫_{−∞}^{∞} (x − \frac{x^{2} sin \frac{u}{x}}{u} ) F ( du)

≥ \frac{x}{2} ∫_{\{|t|>2x\}} F ( du) = \frac{x}{2} [(1 − F (2x)) + F (−2x)] .

Innen következik a c.) rész egyik állítása. A c.) ⇒ b.) bizonyításában az II(T, h) és I_{2}(T, h) tag becslésében (T = \frac{ε}{h} választással) ezt a már bizonyított relációt használtuk fel. Ezekből a becslésekből következik, hogy

|\frac{φ(h) − 1}{h} − ∫_{−T}^{T} xF ( dx)| → 0 ha h → 0 . (T = \frac{ε}{h})

Mivel \frac{φ(h)−1}{h} → 0, ha h → 0 innen következik a c.) rész másik állítása is. 13.) Rögzítsünk egy tetszőleges kis ε > 0 számot, és definiáljuk rögzített n-re a ξ′_{k} =

ξ_{k}I(|ξ_{k}| ≤ n) és ξ′′_{k} = ξ_{k}I(|ξ_{k}| > n), 1 ≤ k ≤ n valószínűségi változókat, ahol I(A) az A halmaz indikátor függvényét jelöli. Legyen S′_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ′_{k} és S′′_{n} = ∑_{k=1} < nξ′′_{k}.

Rögzítsünk egy tetszőleges kis ε > 0 számot. Elég nagy n > n(ε)-ra P (|S′′_{n}| >

εn) ≤ P (S′′_{n} ≠ 0) ≤ ∑_{k=1}^{n} P (|ξ_{k}| > n) = n[1 − F (n) + F (−n)] ≤ ε. Másrészt, a

Csebisev egyenlőtlenség alapján P (|S′_{n} − ES′_{n}| > n) ≤ \frac{Var ξ′_{1}}{ε^{2}n} ≤ ε, mivel Var ξ′_{1} ≤

Eξ′_{1}^{2} = ∫_{−n}^{n} u^{2}F ( du), és \frac{1}{n} ∫_{−n}^{n} u^{2}F ( du) → 0, ha n → ∞. Az utolsó reláció azért

igaz, mert ∫_{T <|u|<2T} u^{2}F ( du) ≤ εT, ha T > T (ε) a feladat feltételének teljesülése esetén, ezért ∫_{−n}^{n} u^{2}F ( du) ≤ εT +const. (ε). Mivel a fenti állítások tetszőleges ε > 0

és elég nagy n számra igazak, és S_{n} = S′_{n}+S′′_{n}, innen következik, hogy \frac{S_{n}}{n} −a_{n} ⇒ 0,

a_{n} = Eξ′_{1} = ∫_{−n}^{n} uF ( du). Vágül, ha a fenti reláció egy másik ā_{n} számsorozatra is érvényes, akkor ezeket egymásból kivonva kapjuk, hogy ā_{n} − a_{n} → 0, ha n → ∞.

14.) Alkalmazzuk a következő szimmetrizációs eljárást. Legyen ξ̄_{n}, n = 1, 2, …, független azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata, mely független a ξ_{n}, n =

1, 2, …, sorozattól is. Legyen η_{n} = ξ_{n} − ξ̄_{n}, n = 1, 2, …, T_{n} = ∑_{k=1}^{n} η_{k}, n = 1, 2, . . ..

Ekkor \frac{T_{n}}{n} → 0, ha n → ∞. Ezért alkalmazhatjuk a 12. feladat eredményét, és annak c.) része alapján lim_{x→∞} xP (|η_{1}| > x) = 0. Válasszunk egy olyan A > 0

számot, melyre P (|ξ_{1}| > x) ≤ \frac{1}{2}. Ekkor minden elég nagy x-re

\frac{ε}{x} ≥ P (|η_{1}| > x) ≥ P (|ξ_{1} − ξ̄_{1}| > x, |ξ̄_{1}| ≤ A) ≥ P (|ξ_{1}| > x + A, |ξ̄_{1}|)

≥ \frac{1}{2}P (|ξ_{1}| > x + A) .

Innen következik, hogy x[1 − F (x) + F (−x)] = xP (|ξ_{1}| > x) ≤ 2ε tetszőleges ε > 0 és x > x(ε) számra.

15.) Az előző feladat megoldásában is használt szimmetrizációs érv segítségével be tudjuk bizonyítani azt, hogy a feladat feltételeinek teljesülése esetén E|ξ_{1}| ≤ ∞. Legyen ugyanis ξ̄_{n}, n = 1, 2 …, a ξ_{n} sorozattól is független, azonos eloszlású független valószínűségi változók sorozata, mely változók ugyanolyan eloszlásúak mint ξ_{1}. Vezessük be továbbá az η_{n} = ξ_{n}−ξ̄_{n} valószínűségi változókat. Ekkor az η_{n}, n = 1, 2, …, változókra teljesül a nagy számok erős törvénye (a_{n} = 0 választással), ezért |η_{1}| = E|ξ_{1} = ξ̄_{1}| < ∞. Az előző feladat megoldásának végén adott becslés szerint P (|ξ_{1}| > x + A) ≤ 2P (|η| > x) alkalmas (fix) A konstanssl minden x > 0 számra. Innen következik, hogy E|ξ_{1}| < ∞. Végül a nagy számok törvénye alapján a feladat állítás igaz a_{n} = a − Eξ_{1} választással. A 13. feladat megoldásának végén használt érv jelen esetben azt adja, hogy a_{n} = Eξ_{1} + o(1) az összes lehetséges jó választás arra, hogy a feladatban szereplő limesz reláció érvényes legyen.

16.) A bizonyítandó állítás ekvivalens a következő azonossággal:

∫_{−∞}^{∞} \frac{st}{(s^{2} + (\frac{x}{2} + y)^{2}) (t^{2} + (\frac{x}{2} − y)^{2})} dy = \frac{(s + t)π}{(s + t)^{2} + x^{2}}

A fenti integrált, bár sok számolással, de az analízis standard módszereivel kiszámíthatjuk. Az integrálban szereplő törtet a következő módon kezelhetőbb alakra hozhatjuk:

\frac{st}{(s^{2} + (\frac{x}{2} + y)^{2}) (t^{2} + (\frac{x}{2} − y)^{2})} (x^{4} + 2x^{2}(s^{2} + t^{2}) + (t^{2} − s^{2})^{2})

= st (\frac{t^{2} − s^{2} + x^{2} + 2x (\frac{x}{2} + y)}{s^{2} + (\frac{x}{2} + y)^{2}} + \frac{s^{2} − t^{2} + x^{2} + 2x (\frac{x}{2} − y)}{t^{2} + (\frac{x}{2} − y)^{2}})

Felhasználva az ∫ \frac{2x}{1+x^{2}} dx = log(1 + x^{2}) azonosságot, belátható, hogy

lim_{K→∞} ∫_{−K}^{K} (\frac{2x (\frac{x}{2} + y)}{s^{2} + (\frac{x}{2} + y)^{2}} + \frac{2x (\frac{x}{2} − y)}{t^{2} + (\frac{x}{2} − y)^{2}} ) dy = 0

(Két végtelenhez tartó integrál különbségét kapjuk, de a különbség nullához tart.) Ezért a bizonyítandó azonosság a következő állítássá redukálható:

\frac{1}{x^{4} + 2x^{2}(s^{2} + t^{2}) + (t^{2} − s^{2})^{2}} ∫_{∞}^{∞} st (\frac{t^{2} − s^{2} + x^{2}}{s^{2} + (\frac{x}{2} + y)^{2}} + \frac{s^{2} − t^{2} + x^{2}}{t^{2} + (\frac{x}{2} − y)^{2}} ) dy

= \frac{(s + t)π}{1 + (s + t)^{2}x^{2}}

A fenti integrál az ∫ \frac{1}{1+x^{2}} dx = arctan x azonosság alapján kiszámítható, és azt kapjuk, hogy

∫ ⋯ = \frac{πst}{(t^{2} − s^{2})^{2} + 2x^{2}(s^{2} + t^{2}) + x^{4}} (\frac{(t^{2} − s^{2} + x^{2})}{s} + \frac{(s^{2} − t^{2} + x^{2})}{t})

ami további számolással a következő kifejezéssé alakítható át:

∫ ⋯ = π \frac{(t + s)(x^{2} + (t − s)^{2})}{(x^{2} + (t + s)^{2}) (x^{2} + (t − s)^{2})} = π \frac{t + s}{(x^{2} + (t + s)^{2})}.

Ez a kívánt azonosság.

17.) A \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye n \underbrace{f ∗ · ∗ f}_{n}(nx), ahol ∗ konvolu-

ciót jelöl, és f(x) = \frac{1}{π(1 + x^{2})}. Ez az elöző feladat alapján f(x)-szel egyenlő, tehát n-től független. Ezért a nagy számok (gyenge) törvénye ebben az esetben nem érvényes. Jegyezzük meg, hogy az ilyen eloszlású valószínűségi változók abszolut értékének nincs várható értéke, sőt mint a következő feladat mutatja, a karakterisztikus függvény nullában nem differenciálható.

18.) A φ(t) = ∫_{∞}^{∞} \frac{e^{itx}}{π(1+x^{2})} dx integrált a residium számítás segítségével kiszámíthatjuk.

Ha a g(x) = g(x, t) = \frac{e^{i}tx}{π(1+x^{2})} függvényt a |z| = R ℑz ≥ 0 félkörön integráljuk t > ge0 esetén, a |z| = R, ℑz ≤ 0 félkörön integráljuk t ≤ 0 esetén, akkor az integál nullához tart R → 0-ra. A g(x) függvénynek két pólusa van, a ±i pontokban. Ha t ≥ 0 az i pontban, ha t ≤ 0 a −i pontban levő pólust kell figyelembe venni, és a rezidium (az integrál) e^{−|t|}-vel egyenlő.

19.) Az a.) esetben 1 − F (x) = ∫_{x}^{∞} \frac{C}{1 + u^{2}} du ∼ \frac{C}{2x} nagy x-re, ezért lim_{x→∞} x(1 − F (x)) >

0, tehát látható, hogy a nagy számok gyenge törvényének a 12. feladat c.) részében megfogalmazott feltételek, ezért a nagy számok gyenge (következésképp a nagy számok erős törvénye) nem teljesül ebben az esetben. Érdemes megjegyezni, hogy a 17. vagy 18. feladatból kiolvasható, hogy ebben az esetben a normálófaktor C = \frac{1}{π}, és az átlag eloszlása megegyezik ξ_{1} eloszlásával. Innen is látható, hogy a nagy számok gyenge törvénye nem teljesül.

A b.) esetben 1 − F (x) = F (−x) = ∫_{x}^{∞} \frac{C}{(1 + u^{2}) log(u^{2} + 4)} du ∼ \frac{C̄}{x log x} nagy

x-re, ezért lim_{x→∞} x[(1 − F (x) + F (−x)] = 0, és f(x) = f(−x). Innen következik, hogy a 12. feladat c.) részében megfogalmazott tulajdonságok ezért a nagy számok

gyenge törvénye teljesül. Másrészt, E|ξ_{1}| = ∫_{−∞}^{∞} \frac{C|u|}{(1 + u^{2}) log(u^{2} + 4)} du = ∞,

mert \frac{|u|}{(1 + u^{2}) log(u^{2} + 4)} du ∼ \frac{1}{2|u| log u}, ha |u| → ∞, és ∫_{2}^{∞} \frac{1}{u log u} du = ∞. Így a

3. feladat alapján a nagy számok erős törvénye nem teljesül.

c.) Ebben az esetben E|ξ_{1}| = ∫_{−∞}^{∞} \frac{C|u|}{(1 + u^{2}) log^{2}(u^{2} + 4)} du < ∞, mert

\frac{|u|}{(1 + u^{2}) log^{2}(u^{2} + 4)} du ∼ \frac{1}{4|u| log^{2} u}, ha |u| → ∞,

és ∫_{2}^{∞} \frac{1}{u log^{2} u} du < ∞. Így a 9. feladat alapján ebben az esetben teljesül a nagy számok erős, (ezért a nagy számok gyenge) törvénye.

20.) A negyedik feladat állításából következik, hogy elég belátni azt, hogy tetszőleges ε > 0-ra

lim_{n→∞} P ( sup_{m≥n} |∑_{k=n}^{m} ξ_{k}| > ε) → 0.

Vegyük észre, hogy

P ( sup_{m≥n} |∑_{k=n}^{m} ξ_{k}| > ε) ≤ ∑_{k=n}^{∞} P (ξ_{k} = ξ′_{k}) + P ( sup_{m≥n} |∑_{k=n}^{m}(ξ′_{k} − Eξ′_{k})| > ε − ∑_{k=n}^{m} ξ′_{k})

továbbá ∑_{k=n}^{∞} P (ξ_{k} = ξ′_{k}) → 0 n → ∞ esetén (i) miatt és ∑_{k=n}^{m} Eξ′_{k} < \frac{ε}{2} minden m ≥ n-re ha n > n(ε) (ii) miatt. Végül a Kolmogorov egyenlőtlenség alapján

P ( sup_{m≥n} |∑_{k=n}^{m}(ξ′_{k} − Eξ′_{k})| > \frac{ε}{2}) ≤ \frac{∑_{k=n}^{∞} Var ξ_{k}}{ε^{2}} → 0 ha n → ∞.

a (iii) tulajdonság miatt. Ezekből az egyenlőtlenségekből következik a feladat állítása.

21.) a.) Jelölje F (x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ekkor

ℜ (1 − φ(t)) = ∫_{−∞}^{∞}(1 − costx)F ( dx) ≥ ∫_{−∞}^{∞} \frac{t^{2}x^{2}}{4} F ( dx) = \frac{t^{2}}{4} Var ξ ,

ha |tx| ≤ |tK| ≤ 1 mivel 1 − cos u > \frac{u^{2}}{4} , ha |u| ≤ 1.

b.) Ha a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg eloszlásban konvergál valamely ξ valószínűségi változóhoz φ(t) karakterisztikus függvénnyel, akkor φ(t) = ∏_{k=1}^{∞} φ_{k}(t). Tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, hogy |1 − φ(t)| < e, és |1 − φ_{n}(t)| < ε minden n ≥ 1-re, ha |t| < δ.

(Az utóbbi egyenlőtlenség azért igaz, mert \frac{∏_{k=1}^{n+1} φ_{k}(t)}{∏_{k=1}^{n} φ_{k}(t)} → 1, ha n → ∞, és a konvergencia egyenletes, ha t egy véges intervallumban van.) Mivel a ξ_{k} valószínűségi változók szimmetrikus eloszlásúak, a φ_{k}(t) karakterisztikus függvény valós értékű minden t-re, és a φ(t) = ∏_{k=1}^{∞} φ_{k}(t) azonosságnak véve a logaritmusát kapjuk, hogy a ∑_{k=1}^{∞} log φ_{k}(t) összeg konvergens, sőt abszolut konvergens |t| < δ esetén, mivel ebben az esetben 1 − ε < φ(t) ≤ 1. Mivel log φ(t) > \frac{1}{s}(1 − φ(t)), ha ε > 0 elég kicsinek választjuk, innen következik, hogy ∫ ∑_{k=1}^{∞}(1 − φ(t)) < ∞ |t| < δ esetén.

c.) Az a.) és b.) részből következik, hogy ∑_{k=1}^{∞} Var ξ_{k} ≤ \frac{4}{t} ∑_{k=1}^{∞}(1 − φ(t)) < ∞ az adott

feltételek mellett. 22.) Ha a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg egy valószínűséggel konvergens, akkor a |ξ_{k}| > C esemény csak

véges sok k indexre teljesül, ezért a Borel–Cantelli lemma alapján ∑_{k=1}^{∞} P (|ξ_{k}| > C) < ∞, ezért az (i) tulajdonság teljesül. Továbbá a Borel-Cantelli lemma másik fele

alapján a ∑_{k=1}^{∞} ξ′_{k} összeg is egy valószínűséggel konvergens, ahol ξ′_{k} = ξ_{k}I(|ξ_{k}| < C).

A bizonyítás befejezését a más problémák megoldásában is hasznos un. szimmetrizálás segítségével tehetjük meg. Legyen ξ′′_{k} független valószínűségi változók sorozata, melyek a ξ′_{k} sorozattól is függetlenek, és ξ′′_{k} ugyanolyan eloszlású mint a ξ′_{k} valószínűségi változó. Legyen ξ̃_{k} = ξ′_{k} − ξ′′_{k}. Ekkor ξ̃_{k} független szimmetrikus

eloszlású valószínűségi változók sorozata, melyekre a ∑_{k=1}^{∞} ξ̃_{k} sorozat konvergens.

Ezért az előző feladat alapján ∑_{k=1}^{∞} Var ξ̃_{k} < ∞, és mivel Var ξ̃_{k} = 2Var ξ′_{k} innen

következik a (iii) tulajdonság. A ξ′_{k} − Eξ′_{k} sorozat teljesíti a három sor tétel mindhárom feltételét. Ezért e tételnek a 20. feladatban már bizonyított részét

felhasználva kapjuk, hogy a ∑_{k=1}^{∞}(ξ′_{k} − Eξ′_{k}) és ∑_{k=1}^{∞} Eξ′_{k} = ∑_{k=1}^{∞} ξ′_{k} − ∑_{k=1}^{∞}(ξ′_{k} − Eξ′_{k})

összegek konvergensek egy valószínűséggel. Ezért a (ii) tulajdonság is teljesül.

23.) Legyen ξ′_{k} = ξ_{k}I(|ξ_{k}| < 1). Ekkor ∑_{k=1}^{∞} Var ξ′_{k} ≤ ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} ≤ ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2}, ezért a három

sor tétel (iii) feltétele teljesül C = 1 választással. Mivel |Eξ′_{k}| = |Eξ_{k}I(|ξ_{k}| >≥ 1) ≤ Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| ≥ 1) ≤ Eξ_{k}^{2} és hasonlóan P (|ξ_{k}| ≥ 1) ≤ Eξ_{k}^{2}, ezért a a három sor

tétel (i) és (ii) feltétele is következik a ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} < ∞ feltételből.

A feladat másik állításának a bizonyításában feltehetjük, hogy lim_{k→∞} P (|ξ_{k}| ≥ 1) =

0, mert ellenkező esetben a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összeg divergens a három sor tétel (i) tulajdon-

ságának nem teljesülése miatt. Be kívánjuk bizonyítani, hogy e feltétel teljesülése esetén

Var ξ_{k}I(|ξ_{k}| < 1) ≥ \frac{1}{2}Eξ_{k}^{2} ha k elég nagy.

Innen következik az állítás, mivel ebből az állításból és a ∑_{k=1}^{∞} Eξ_{k}^{2} = ∞ feltételből

következik, hogy a három sor tétel (iii) feltétele nem teljesül. Mivel Eξ_{k} = 0

Var ξ_{k}I(ξ_{k} < 1) = Eξ_{k}^{2}I(ξ_{k} < 1) − (Eξ_{k}I(ξ_{k} < 1))^{2}

= Eξ_{k}^{2} − Eξ_{k}^{2}I(ξ_{k} ≥ 1) − (Eξ_{k}I(ξ_{k} ≥ 1))^{2} ≥ Eξ_{k}^{2} − 2Eξ_{k}^{2}I(ξ_{k} ≥ 1).

A Hölder egyenlőtlenség alapján

Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| ≥ 1) ≤ (Eξ_{k}^{2+α})^{(2/2+α)} P (|ξ_{k}| ≥ 1)^{α/(2+α)}

≤ KEξ_{k}^{2}P (|ξ_{k}| ≥ 1)^{α/(2+α)} ≤ \frac{1}{4}Eξ_{k}^{2}

elég nagy k-ra. Ezért Eξ_{k}^{2}I(|ξ_{k}| < 1) ≥ \frac{1}{2}Eξ_{k}^{2}, és innen következik a feladat állítása.

24.) Egy lehetséges példa: P (ξ_{k} = k) = P ξ_{k} = −k) = \frac{1}{2k}, P (ξ_{k} = 0) = 1 − \frac{1}{k} minden k = 1, 2, … -re. Ekkor Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = k és a Borel–Cantelli lemma alapján a ∑_{k=1}^{∞} ξ_{k} összegben egy valószínűséggel csak véges sok nem zéró tag van.

Kiegészítés

A Kolmogorov egyenlőtlenség bizonyítása. Definiáljuk a

τ(ω) = min{k: k ≤ n; |S_{k}(ω)| ≥ x}

valószínűségi változót. (τ(ω) = n ha S_{k}(ω) < x minden k ≤ n-re.) Azt állítjuk, hogy

ES_{τ(ω)}^{2} ≤ ES_{n}^{2} .  (a)

Az utolsó egyenlőtlenség és a Csebisev egyeenlőtlenség alapján

P (max_{k≤n} |S_{k}| > x) = P (|S_{τ(ω)}| > x) ≤ \frac{ES_{τ(ω)}^{2}}{x^{2}} ≤ \frac{ES_{n}^{2}}{x^{2}} ,

és ez a Kolmogorov egyenlőtlenség. A kívánt egyenlőtlenség bebizonyításához vegyük észre, hogy

\begin{aligned}ES_{n}^{2} − ES_{τ(ω)}^{2} & = ∑_{k=1}^{n} E(S_{n} − S_{k})(S_{n} − S_{k} + 2S_{k})I(\{τ(ω) = k\}) \\ & = ∑_{k=1}^{n} E(S_{n} − S_{k})^{2}I(\{τ(ω) = k\}) + 2 ∑_{k=1}^{n} E(S_{n} − S_{k})S_{k}I(\{τ(ω) = k\}) . \end{aligned}

(b)

Mivel az S_{n} − S_{k} és S_{k}I({τ(ω) = k}) valószínűségi változók függetlenek, (az S_{n} − S_{k} a ξ_{l}, l = k + 1, …, n, az S_{k}I({τ(ω) = k}) az ξ_{l}, l = 1, …, k valószínűségi változóktól függ,) és E(S_{n} − S_{k}) = 0, ezért

E(S_{n} − S_{k})S_{k}I({τ(ω) = k}) = E(S_{n} − S_{k})ES_{k}I({τ(ω) = k}) = 0 .

Innen következik, hogy az (b) azonosság jobboldalának a második tagja nulla. Mivel az első tag egy nem negatív valószínűségi változó várható értéke, ezért az (b) azonosságból következik az (a) reláció. Így bebizonyítottuk a Kolmogorov egyenlőtlenséget.

A Kronecker lemma bizonyítása. A bizonyítás az un. Abel féle átrendezés módszerén

alapul. Vezessük be az s_{n} = ∑_{k=n}^{∞} a_{k} mennyiségeket. Legyen q_{0} = 0. Ekkor

\frac{1}{q_{n}} ∑_{k=1}^{n} a_{k}q_{k} = \frac{1}{q_{n}} ∑_{k=1}^{n}(s_{k} − s_{k+1})q_{k} = \frac{1}{q_{n}} (−s_{n+1}q_{n} + ∑_{k=1}^{n} s_{k}(q_{k} − q_{k−1})) .

Rögzítve egy tetszőlegesen kicsi ε > 0 számot válasszunk egy olyan N = N(ε) küszöbindexet, melyre igaz, hogy |s_{k}| < ε ha k > N. (Ez lehetséges, mert lim_{n→∞} s_{n} = 0.) Mivel q_{k} − q_{k−1} ≥ 0 minden k-ra a q_{k} sorozat monotonitása miatt, ezért

|\frac{1}{q_{n}} ∑_{k=N}^{n} s_{k}(q_{k} − q_{k−1})| ≤ \frac{ε(q_{n} − q_{N−1})}{q_{n}} ≤ ε .

Másrészt, mivel lim_{n→∞} q_{n} = ∞ és lim_{n→∞} s_{n} = 0

lim_{n→∞} \frac{1}{q_{n}} (−s_{n+1}q_{n} + ∑_{k=1}^{N−1} s_{k}(q_{k} − q_{k−1})) = 0 .

A fenti becslésekből következik, hogy

lim sup_{n→∞} |\frac{1}{q_{n}} ∑_{k=1}^{n} a_{k}q_{k}| ≤ ε .

Mivel ez az állítás tetszőleges ε > 0-ra igaz, innen adódik a Kronecker lemma.