\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\centerline{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel marting\'alokra.}

\beginsection 1. Bevezet\'es. A f\H{o} eredm\'enyek megfogalmaz\'asa.

Ebben az \'{\i}r\'asban a a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik legfontosabb eredm\'eny\'enek az egyes soraiban f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tartalmaz\'o
sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek egy tartalmas, marting\'alokr\'ol
sz\'ol\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at ismertetem. Annak
\'erdek\'eben, hogy a marting\'alokr\'ol sz\'ol\'o eredm\'enyt
jobban meg\'erts\"uk, felid\'ezem el\H{o}sz\"or az egyes soraiban
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tartalmaz\'o
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-r\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel egyes soraiban f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tartalmaz\'o
sz\'eriasorozatok sor\"osszegeir\H{o}l.} {\it Legyen adva egy
sz\'eriasorozat, azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\'et
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'ammal indexelt $X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$, rendszere, ahol $n_k$, $k=1,2,\dots$ pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'amok sorozata. Teljes\'{\i}tse e sz\'eriasorozat a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat:

\medskip
\item{a)} Az egyes sorokban lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u}ek, azaz minden $k=1,2,\dots$ indexre a
$X_{k,1},\dots,X_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek, \'es $EX_{k,j}=0$ minden $k=1,2,\dots$ \'es
$1\le j\le n_k$ indexre.
\item{b.)} A sz\'eriarozat egy sor\'aban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzeteinek az
\"osszege 1-hez tart, ha $k\to\infty$, azaz
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}EX_{k,j}^2=1
$$
\item{c)}
A sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az \'ugynevezett Lindeberg
felt\'etelt, azaz
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)=0\quad
\text{minden $\e>0$ sz\'amra.} \tag1.1
$$
(Itt, \'es a tov\'abbiakban $I(A)$ egy $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.)

\medskip
Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}X_{k,j}$ sor\"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}

\medskip
Ebben az \'{\i}r\'asban egy centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
ismertetek olyan sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra, amelyek az
el\H{o}z\H{o} t\'etelhez hasonl\'o, de  gyeng\'ebb felt\'eteleket
teljes\'{\i}tenek. A sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok egyes soraiban
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol azt
tessz\"uk fel, hogy azok
mar\-tin\-g\'al\-k\"u\-l\"onb\-s\'eg\-so\-ro\-za\-tot alkotnak. Ez a
megk\"ot\'es \'ugy tekinthet\H{o}, mint az el\H{o}z\H{o} t\'etel a)
felt\'etel\'enek gyeng\'{\i}tett v\'altozata. A b) felt\'etel helyett
azt tessz\"uk fel, hogy a sz\'eriasorozat egy sorban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oinak m\'ultra vett
felt\'eteles sz\'or\'asn\'egyzeteinek (v\'eletlen) \"osszege 1-hez
tart. V\'eg\"ul a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
teljes\"ul\'es\'ehez sz\"uks\'eg van m\'eg a c) pontban
megfogalmazott Lindeberg felt\'etel egy n\'emileg gyeng\'ebb
megfelel\H{o}j\'ere. A pontos eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'ast mondja ki.

\medskip\noindent
{\bf Marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}  {\it Le\-gyen adva minden
$k=1,2,\dots$ sz\'amra val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'ok
$X_{k,1},\dots,X_{k,n_k}$ \'es  n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset \Cal F_{k,n_k}$,
$\sigma$-algebr\'ak olyan rendszere, amely teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:

\medskip
\item{a.)} Az $X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'ok \'es $\Cal F_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $0\le j\le n_k$, $\sigma$-algebr\'ak marting\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatot alkotnak, azaz az $X_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} az
$\Cal F_{k,j}$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es
$E(X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
minden $k=1,2,\dots$ \'es $1\le j\le n_k$ indexre.
\item{b.)} $EX_{k,j}^2<\infty$ minden $k=1,2,\dots$
\'es $1\le j\le n_k$ indexre, \'es vezess\"uk be a
$\sigma_{k,j}^2=E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$ felt\'eteles sz\'or\'asn\'egyzeteket. Teljes\"ul a
$$
\sum_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}\Rightarrow1, \quad\text{ha }
k\to\infty \tag1.2
$$
rel\'aci\'o. (Itt \'es a tov\'abbiakban $\Rightarrow$ sztochasztikus
konvergenci\'at jel\"ol.)
\item{c.)} Teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o} Lindeberg t\'{\i}pus\'u
felt\'etel
$$
\sum_{j=1}^{n_k}E(X^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})\Rightarrow0,
\quad\text{ha } k\to\infty \tag1.3
$$
minden $\e>0$ sz\'amra.

\medskip
E felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, v\'eletlen
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $k\to\infty$.}

\medskip
Igaz a fenti t\'etel k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa,
amely marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok helyett
`majdnem marting\'al k\"ul\"onbs\'eg' sz\'eriasorozatokra
mond ki hasonl\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Majdnem marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol
sz\'ol\'o centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel.}  {\it
Le\-gyen adva minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $X_{k,1}$,\dots, $X_{k,n_k}$
\'es  n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset \Cal F_{k,n_k}$,
$\sigma$-algebr\'ak olyan rendszere, amelyekre az $X_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} az
$\Cal F_{k,j}$ $\sigma$-algebr\'ara minden $k=1,2,\dots$ \'es
$1\le j\le n_k$ indexre, \'es a
$\mu_{k,j}=E(X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ekek kicsik a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben:
$$
\sum_{j=1}^{n_k}\mu_{k,j}\Rightarrow0, \quad\text{ha }
k\to\infty. \tag1.4
$$
Ha az $X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es $\Cal F_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $0\le j\le n_k$, $\sigma$-algebr\'ak teljes\'{\i}tik
az (1.2), (1.3) \'es (1.4) felt\'eteleket azzal a
m\'o\-do\-s\'{\i}\-t\'as\-sal, hogy jelen esetben az (1.2)
formul\'aban a
$$
\sigma^2_{k,j}=E\((X_{k,j}-\mu_{k,j})^2|\Cal F_{k,j-1}\)=
E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})-\mu_{k,j}^2 \tag1.5
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek, akkor az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
\"osszegek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak a standard
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $k\to\infty$ eset\'en.}

\medskip
A fenti eredm\'enyek a leg\'altal\'anosabb ismert centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelek mar\-tin\-g\'al\-k\"u\-l\"onb\-s\'eg,
illetve majdnem marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokra.
\'Erdemes k\"ul\"on hangs\'ulyozni, hogy az (1.2)~felt\'etelben csak
azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy a $\sigma^2_{k,j}$ felt\'eteles
m\'asodik momentumok \"osszegei r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre 1-hez
tartanak, ha $k\to\infty$, de nem fogalmaztunk meg olyan felt\'etelt,
amelyb\H{o}l az k\"ovetkezne, hogy a
$\sigma^2_{k,j}=E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})$ felt\'eteles
m\'asodik momentumok k\"ozel vannak a $d_{k,j}^2=EX_{k,j}^2$
m\'asodik mo\-men\-tu\-mok\-hoz. Ilyen gyenge felt\'etel mellett a
bizony\'{\i}t\'as finomabb gondolatokat ig\'enyel. K\'et olyan
dolgozatot ismerek, ahol a centr\'alis hat\'areloszl\'ast ilyen
felt\'etelek mellett bizony\'{\i}tott\'ak. Ezek egyike B. M. Brown
{\it Martingale Central Limit Theorems}\/ c\'{\i}m\H{u} dolgozata,
amely a {\it The Annals of Mathematical Statistics}\/ (1971) vol~42
No.~1 59--66 k\"otetben jelent meg. A m\'asik Aryeh Dvoretzky {\it
Asymptotic normality for sums of dependent random variables}
c\'{\i}m\H{u} a {\it Sixth Berkeley Symposium}\/ II. k\"otet
513--535 oldal\'an megjelent mun\-k\'a\-ja. A k\'et dolgozat a
bizony\'{\i}t\'as f\H{o} neh\'ezs\'eg\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"uzdi le. Brown dolgozata az
egyszer\H{u}bb, \'es az \H{o} m\'odszere alkalmasabbnak l\'atszik
\'altal\'anosabb hat\'areloszl\'ast\'etel probl\'em\'ak
vizsg\'alat\'aban. Ez\'ert itt Brown bizony\'{\i}t\'as\'anak egy
kiss\'e m\'odos\'{\i}tott v\'altozat\'at ismertetem. B\'ar Brown
cikke marting\'alok normaliz\'altjaira bizony\'{\i}t
hat\'areloszl\'ast\'etelt, teh\'at nem sz\'eriasorozatokat
vizsg\'al, az ered\-m\'eny \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
sz\'eriasorozatokra nem okoz neh\'ezs\'eget.  Az ismertet\'es
v\'eg\'en r\"oviden \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}\-tom Brown \'es
Dvoretzky m\'odszer\'et. Ezenk\'{\i}v\"ul ismertetek egy
eredm\'enyt, amely a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-r\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel v\'altozat\'anak tekinthet\H{o}. Brown
dolgozata tartalmaz egy hasonl\'o eredm\'enyt abban a speci\'alis
esetben, amikor marting\'al sorozatok normaliz\'alt tagjait
tekintj\"uk. Az \'altal\'anos sz\'eriasorozatokat az\'ert \'erdemes
k\"ul\"on t\'argyalni, mert  ekkor olyan  jelens\'egeket is
figyelembe kell venni a t\'etel  megfogalmaz\'as\'aban, amelyek a
Brown dolgozat\'aban t\'argyalt esetben nem jelennek meg.
A marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-r\'ol
sz\'ol\'o funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
megfogalmazom, de annak bizony\'{\i}t\'as\'at nem t\'argyalom.
Csak a bizony\'{\i}t\'as n\'eh\'any fontos gondolat\'at ismertetem.

E bevezet\'es v\'eg\'en r\"ovid megjegyz\'est teszek a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel (1.3) Lindeberg t\'{\i}pus\'u
felt\'etel\'evel kapcsolatban. Az (1.1) formul\'aban megadott
Lindeberg felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (1.3) formula, mert
$$
\sum_{j=1}^{n_k}EX^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)
=E\(\sum_{j=1}^{n_k}E(X^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})\),
$$
\'{\i}gy ha az (1.1) formula teljes\"ul, akkor az (1.3)
kifejez\'es baloldala $L_1$-norm\'aban is konverg\'al null\'ahoz.
Az \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa nem igaz. Lehet olyan
sz\'eriasorozatokat konstru\'alni, amelyekre az (1.3) rel\'aci\'o
teljes\"ul, de az (1.1) rel\'aci\'o nem. Viszont a mar\-tin\-g\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-r\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak els\H{o}
l\'ep\'es\'eben a bizony\'{\i}t\'ast egy olyan speci\'alis esetre
reduk\'aljuk, amelyben egy\'eb a bizony\'{\i}t\'as szempontj\'ab\'ol
hasznos tulajdons\'agok mellett az is igaz, hogy az (1.3) felt\'etelt
az (1.1) felt\'etellel lehet he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-teni.

\beginsection 2. Az eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa.

{\it A marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}
El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
arra az esetre lehet reduk\'alni, amelyben
a sz\'eriasorozat elemei teljes\'{\i}tik a t\'etel felt\'etelei
mellett a
$$
\lim_{k\to\infty} P\(\sum_{j=1}^{n_k} \sigma^2_{k,j}\le 2\)=1 \tag2.1
$$
rel\'aci\'ot is. (Val\'oj\'aban ebben a formul\'aban szerepl\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg jobb oldal\'an a 2 helyett tetsz\H{o}leges $C>1$
sz\'amot \'{\i}rhattunk volna.)

Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a
$$
\tau_k=\min\[n_k,\,\max\left\{j\colon \; \summ_{l=1}^j\sigma_{k,l}^2
\le2\right\}\]\quad (\tau_k=0 \text{ ha } \sigma^2_{k,1}>2.) \tag2.2
$$
meg\'all\'asi szab\'alyokat, \'es az $\bar X_{k,j}$, 
$$
\bar X_{k,j}=\left\{
\aligned
&X_{k,j}, \quad \text{ha } j\le \tau_k, \\ 
&\;0, \qquad  \text{ha } j>\tau_k,
\endaligned \right. \qquad 1\le j\le n_k,
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. A most 
defini\'alt $\tau_k$
val\'oban meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, mert $\sigma^2_{k,j+1}$
$\Cal F_{k,j}$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
\'{\i}gy a $j$ id\H{o}pontban el tudjuk d\"onteni, hogy a
$\{\tau_k\le j\}$ vagy a $\{\tau_k\ge j+1\}$ esem\'eny k\"ovetkezik-e
be. (Vegy\"uk \'eszre, hogy $\sigma^2_{k,j+1}$ $\Cal F_{k,j}$ \'es
nemcsak $\Cal F_{k,j+1}$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.) Vezess\"uk be a $\bar\sigma_{k,j}^2=E(\bar X_{k,j}^2|
\Cal F_{k,j-1})$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat is. R\"ogz\'{\i}tett $k$
indexre az $\bar X_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'es $\Cal F_{k,j}$,  $0\le j\le n_k$,
$\sigma$-algebr\'akb\'ol \'all\'o rendszer marting\'alk\"ul\"onbs\'eg
sorozatot alkot. Tov\'abb\'a
$\bar\sigma^2_{k,j}(\oo)=\sigma^2_{k,j}(\oo)$, ha
$\tau_k(\oo)\ge j$, \'es $\bar\sigma^2_{k,j}(\oo)=0$, ha
$\tau_k(\oo)< j$. Val\'oban, $E(\bar X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=
E(X_{k,j}I(\tau_k\ge j)|\Cal F_{k,j-1})= I(\tau_k\ge j)
E(X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=0$, \'es $\bar\sigma^2_{j,k}=
E(X_{k,j}^2 I(\tau_k\ge j)|\Cal F_{k,j-1})= I(\tau_k\ge j)
E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})=I(\tau_k\ge j)\sigma^2_{k,j}$.

Ezenk\'{\i}v\"ul az (1.3) rel\'aci\'o \'erv\'enyben marad, ha abban
az $X_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat az
$\bar X_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
helyettes\'{\i}tj\"uk, mivel $|\bar X_{k,j}|\le |X_{k,j}|$.
Tov\'abb\'a az (1.2) rel\'aci\'o miatt
$\limm_{k\to\infty}P(\tau_k=n_k)=1$.

A fentiekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy az (1.2) rel\'aci\'o
\'erv\'enyben marad, ha a $\sigma^2_{k,j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat a $\bar\sigma^2_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal cser\'elj\"uk ki, \'es a (2.1) rel\'aci\'o is
\'erv\'enyes, ha abban $\bar\sigma^2_{k,j}$-t \'{\i}runk
$\sigma^2_{k,j}$ helyett. V\'eg\"ul az
$\bar S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\bar X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
\"osszegek teljes\'{\i}tik az $\bar S_k-S_k\Rightarrow0$
 rel\'aci\'ot, ha $k\to\infty$, mert $\bar S_k=S_k$, ha 
$\tau_k=n_k$. A fenti \"osszef\"ugg\'esekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy el\'eg a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt az $X_{k,j}$ sz\'eriasorozat
helyett az $\bar X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, \hfill\break
$1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozatra be\-l\'at\-ni, \'es ez ut\'obbi sz\'eriasorozat
v\'altoz\'oi (\'es a hozz\'ajuk tartoz\'o) $\bar\sigma^2_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok) jel\"ol\'es\'eb\H{o}l
elhagyva a fel\"ulvon\'ast olyan sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tot 
kapunk, amely teljes\'{\i}ti e t\'etel felt\'eteleit \'es 
ezenk\'{\i}v\"ul a (2.1)~rel\'aci\'ot is.

Az (1.3) \'es (2.1) felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (1.1) Lindeberg
felt\'etel is az $X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozatra, mert a Lebesgue t\'etel szerint, \'es az
$$
\summ_{j=1}^{n_k}E(X^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})
\le\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2\le2
$$ 
rel\'aci\'o miatt
$$
\sum_{j=1}^{n_k}EX^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)=
E\(\sum_{j=1}^{n_k}E(X^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})\)\to0,
$$
ha $k\to\infty$. Hasonl\'oan megmutathat\'o, hogy az (1.2)
formul\'aban a (2.1) rel\'aci\'o teljes\"ul\'ese eset\'en $L_1$
konvergenci\'at is \'{\i}rhatunk a sztochasztikus konvergencia
helyett, \'es
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\sigma_{k,j}^2=
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}EX_{k,j}^2=1. \tag2.3
$$

A bizony\'{\i}tand\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel ekvivalens
azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=e^{-t^2/2}\quad \text{minden $t$ val\'os
sz\'amra.} \tag2.4
$$
Megmutatjuk, hogy a (2.4) rel\'aci\'o levezethet\H{o} (a (2.1)
formula felhaszn\'al\'as\'aval) a
$$
\lim_{k\to\infty}E e^{itS_k+t^2U_k/2}=1,\quad
\text{minden $t$ val\'os sz\'amra} \tag2.5
$$
k\"onnyebben igazolhat\'o formul\'ab\'ol, ahol
$U_k=\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}$, $k=1,2,\dots$.

Val\'oban az (1.2) formula szerint $U_k\Rightarrow1$, ha
$k\to\infty$, \'es $0\le U_k\le2$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra a
(2.1) formula miatt. Ez\'ert $e^{itS_k+t^2U_k/2}-
 e^{itS_k+t^2/2}\Rightarrow0$, ha $k\to\infty$ minden val\'os $t$
sz\'amra, \'es 
$|e^{itS_k+t^2U_k/2}- e^{itS_k+t^2/2}|\le2\cdot2^{1+t^2}$.
Ez\'ert a Lebesgue t\'etel szerint
$\limm_{k\to\infty}E(e^{itS_k+t^2U_k/2}- e^{itS_k+t^2/2})=0$. A (2.4)
k\'eplet k\"ovetkezik ebb\H{o}l az \"osszef\"ugg\'esb\H{o}l \'es a
(2.5) formul\'ab\'ol.

A (2.5) formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
megmutatjuk, hogy l\'etezik olyan csak a $t$ param\'etert\H{o}l
f\"ugg\H{o} $K(t)>0$ sz\'am, amelyre
$$
|E e^{itS_k+t^2U_k/2}-1|\le K(t)\summ_{j=1}^{n_k}
E\left|e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}E\(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1}\)-1
\right|. \tag2.6
$$
Val\'oban, vezess\"uk be az
$$
S_{k,j}=\sum_{l=1}^j X_{k,l},\quad
U_{k,j}=\sum_{l=1}^j \sigma^2_{k,l}, \quad 1\le j\le n_k
$$
\'es $S_{k,0}=0$, $U_{k,0}=0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat minden $k=1,2,\dots$ indexre. Ekkor $S_{k,n_k}=S_k$,
$U_{k,n_k}=U_k$, \'es
$$
\align
Ee^{itS_k+t^2U_k/2}-1&= \sum_{j=1}^{n_k}
E\(e^{itS_{k,j}+t^2U_{k,j}/2}
-e^{itS_{k,j-1}+t^2U_{k,j-1}/2}\)\\
&= \sum_{j=1}^{n_k}
Ee^{itS_{k,j-1}+t^2U_{k,j-1}/2}
E\left.\(e^{itX_{k,j}+t^2\sigma_{k,j}^2/2}-1\right|\Cal F_{k,j-1}\).
\endalign
$$
Mivel az $e^{itS_{k,j-1}+t^2U_{k,j-1}/2}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o korl\'atos, kisebb mint valamely $K(t)$ csak a $t$
param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o} sz\'am, a fenti
azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
|Ee^{itS_k+t^2U_k/2}-1|\le K(t) \sum_{j=1}^{n_k}
E\left|E\(e^{itX_{k,j}+t^2\sigma_{k,j}^2/2}-1|\Cal F_{k,j-1}\)\right|,
$$
\'es mivel
$E\(e^{itX_{k,j}+t^2\sigma_{k,j}^2/2}-1|\Cal F_{k,j-1}\)=
e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})-1$, innen
k\"o\-vet\-ke\-zik a (2.6) becsl\'es.

Annak \'erdek\'eben, hogy a (2.5) formul\'at bel\'assuk a (2.6)
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est kell
adnunk az
$E\left|e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}E\(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1}\)-1
\right|$ kifejez\'esekre. E kifejez\'esek al\'abb ismertetend\H{o}
becsl\'es\'enek a h\'atter\'eben a k\"ovetkez\H{o} heurisztikus
gondolatmenet van. Az $e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'ese $1+\frac{t^2\sigma^2_{k,j}}2+\cdots$, az
$E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})$ f\"uggv\'eny sorfejt\'ese pedig
(az $E(X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=0$ rel\'aci\'o miatt)
$$
E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})=1+E(itX_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})
-\frac{E(t^2X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})}2+\cdots
=1-\frac{t^2\sigma^2_{k,j}}2+\cdots
$$
alak\'u. Ez\'ert az
$e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}E\(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1}\)-1$
kifejez\'es Taylor sorfejt\'es\'enek a konstans, az els\H{o} \'es
m\'asodrend\H{u} tagja elt\H{u}nik, \'es ez a kifejez\'es kicsi. Azt
v\'arjuk, hogy emiatt j\'o becsl\'est tudunk adni a (2.6) formula
jobboldal\'ara. A sz\'amol\'as sor\'an ki kell haszn\'alni,
hogy a (2.1) \'es (1.1) formul\'ak miatt a $\sigma^2_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kicsik.

Az $e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}$  kifejez\'es $e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}=
1+\frac{t^2\sigma^2_{k,j}}2+\eta_{k,j}^{(1)}$ alakban \'{\i}rhat\'o
alkalmas $\eta_{k,j}^{(1)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval,
amelyre teljes\"ul az $|\eta_{k,j}^{(1)}|\le  K_1(t)\sigma_{k,j}^4$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamely csak a $t$ sz\'amt\'ol f\"ugg\H{o}
$K_1(t)$ sz\'ammal, mert $\sigma^2_{k,j}\le2$ a (2.1) formula szerint.
Hasonl\'oan becs\"ulhetj\"uk az 
$$
\eta_{k,j}^{(2)}=E\left.\(e^{itX_{k,j}}-1+\frac{t^2X_{k,j}^2}2
\right|\Cal F_{k,j-1}\)
$$
kifejez\'est. Ennek \'erdek\'eben
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\e>0$ sz\'amot, \'es
\'{\i}rjuk fel az
$$
\left|e^{itX_{k,j}}-1-itX_{k,j}+\frac{t^2X_{k,j}^2}2\right|\le
\alpha(X_{k,j})=\alpha_{\e,t}(X_{k,j})
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol 
$\alpha(x)=t^2x^2I(|x|>\e)+\frac\e6|t|^3x^2I(|x|\le\e)$. Val\'oban, ha
$|x|>\e$, akkor az $\left|e^{itx}-1-itx+\frac{t^2x^2}2\right|$
kifejez\'esre a $t^2x^2$ \'es ha $|x|\le\e$, akkor a
$\frac{|t|^3|x|^3}6\le\e\frac{|t|^3x^2}6$ fels\H{o} becsl\'est adva 
megkapjuk a fenti formul\'at.
Felhaszn\'alva az $E(X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})=0$ rel\'aci\'ot \'es
v\'eve az el\H{o}z\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egben szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et a $\Cal F_{k,j-1}$ $\sigma$-algebra szerint 
a k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eget kapjuk:
$$  \allowdisplaybreaks
\align
|\eta_{k,j}^{(2)}|&=
\left|E\left.\(e^{itX_{k,j}}-1-itX_{k,j}+\frac{t^2X_{k,j}^2}2
\right|\Cal F_{k,j-1}\)\right| \\
& \le
E\left.\(\left|e^{itX_{k,j}}-1-itX_{k,j}+\frac{t^2X_{k,j}^2}2
\right|\right|\Cal F_{k,j-1}\)\\
&\le E(\alpha(X_{k,j})|\Cal F_{k,j-1}) 
\le t^2E(X_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})
+\frac\e6 |t|^3\sigma^2_{k,j}.
\endalign
$$

Mivel $\sigma^2_{k,j}\le2$ a (2.1) formula miatt, ez\'ert
mind $\eta^{(1)}_{k,j}$, mind $\eta^{(2)}_{k,j}$ korl\'atos
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o (csak a $t$
param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}) korl\'attal, \'es a fenti
becsl\'esekb\H{o}l kapjuk, hogy
$$
\align
&\left|e^{t^2\sigma_{k,j}^2/2}E\(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1}\)-1\right|
=\left|\(1+\frac{t^2\sigma_{k,j}^2}2+\eta_{k,j}^{(1)}\)
\(1-\frac{t^2\sigma_{k,j}^2}2+\eta_{k,j}^{(2)}\)-1\right| \\
&\qquad\le t^4\sigma^4_{k,j}+K_3(t)\(|\eta^{(1)}_{k,j}|+|\eta_{k,j}^{(2)}|\)\\
&\qquad \le K_4(t)(\sigma^4_{k,j}+
E(X_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})+\e \sigma^2_{k,j}).
\endalign
$$
Vegy\"unk v\'arhat\'o \'ert\'eket az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egben,
\'es \"osszegezz\"uk azt minden $1\le j\le n_k$ indexre. Az \'{\i}gy
kapott egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l \'es a (2.6) formul\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
|E e^{itS_k+t^2U_k/2}-1|\le
 K_5(t)\(\sum_{j=1}^{n_k}E\sigma^4_{k,j}+
\sum_{j=1}^{n_k}EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)
+\e\sum_{j=1}^{n_k} E\sigma^2_{k,j}\). \tag2.7
$$
A (2.7) egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an lev\H{o} els\H{o} \"osszeg
becsl\'es\'enek \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel, felhaszn\'alva 
a $\sigma_{k,j}^2\le2$ rel\'aci\'ot, a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget:
$$
\align
E\sigma^4_{k,j}&=E\((EX^2_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})
+(EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|\le\e)|\Cal F_{k,j-1})\)^2\\
&\le2\(E(EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})^2
+E(EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|\le\e)|\Cal F_{k,j-1})^2\)\\
&\le2E\sigma_{k,j}^2E(X_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})
+2\e^2 E(EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|\le\e)|\Cal F_{k,j-1}) \\
&\le4EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)+2\e^2 E\sigma_{k,j}^2.
\endalign
$$
(V\'alasszuk ebben a becsl\'esben ugyanazt az $\e>0$ sz\'amot, 
mint (2.7)-ban. E becsl\'es alapj\'an
fel\'{\i}rhatjuk a (2.7) formula al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et.
$$
|E e^{itS_k+t^2U_k/2}-1|\le
 K_6(t)\(\sum_{j=1}^{n_k}EX_{k,j}^2I(|X_{k,j}|>\e)
+\e\sum_{j=1}^{n_k} E\sigma^2_{k,j}\). \tag2.8
$$
Mivel a (2.8) formula \'erv\'enyes minden $\e>0$ sz\'amra, ez\'ert
a (2.5) formula k\"ovetkezik az (1.1), (2.3) \'es (2.8)
rel\'aci\'okb\'ol. A marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
R\'at\'erek a majdnem marting\'al k\"ul\"onbs\'eg 
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel bizony\'{\i}t\'as\'ara. A 
term\'eszetes gondolat az, hogy az 
$\bar X_{k,j}=X_{k,j}-\mu_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok bevezet\'es\'evel visszavezetj\"uk a feladatot
a m\'ar bebizony\'{\i}tott marting\'al k\"ul\"onbs\'eg 
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etelre. A f\H{o} neh\'ezs\'eget a c) Lindeberg
felt\'etel ellen\H{o}rz\'ese okozza erre az \'uj sorozatra. E
neh\'ezs\'eg lek\"uzd\'es\'enek \'erdek\'eben \'erdemes a 
m\'odszert kiss\'e finom\'{\i}tani \'es az el\H{o}z\H{o} 
bizony\'{\i}t\'as elej\'en al\-kal\-ma\-zott csonk\'{\i}t\'asi 
elj\'ar\'as term\'eszetes adapt\'aci\'oj\'aval kombin\'alni. 

\medskip\noindent
{\it A majdnem marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol
sz\'ol\'o centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
bizony\'{\i}t\'asa.} Vezess\"uk be ebben az esetben is a (2.2)
formul\'aban defini\'alt $\tau_k$ meg\'all\'asi szab\'alyokat azzal
a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy jelen esetben a $\sigma^2_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok meg\-egyez\-nek az (1.5)
k\'epletben bevezetett kifejez\'esekkel. Vezess\"uk be az
$\bar X_{k,j}=X_{k,j}I(\tau_k\ge j)$,
$\bar\mu_{k,j}=E(\bar X_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})$ \'es
$\bar\sigma_{k,j}^2=E(\bar X^2_{k,j}|\Cal F_{k,j-1})-\bar\mu^2_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat is, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$. Ekkor $\limm_{k\to\infty}P(\tau_k=n_k)=1$, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\bar X_{k,j}=X_{k,j}$,
$\bar\mu_{k,j}=\mu_{k,j}$, $\bar\sigma^2_{k,j}=\sigma^2_{k,j}$
minden $1\le j\le n_k$ indexre 1-hez tart, ha $k\to\infty$, \'es
$|\bar X_{k,j}|\le |X_{k,j}|$. Ez\'ert az el\H{o}z\H{o}
bizony\'{\i}t\'as \'ervel\'es\'ehez hasonl\'oan a majdnem
mar\-tin\-g\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel bizony\'{\i}t\'as\'at
vissza\-ve\-zet\-het\-j\"uk arra az esetre, amikor a t\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese mellett a (2.1) rel\'aci\'o is
\'erv\'enyes.

Hagyjuk el az el\H{o}bb defini\'alt $\bar X_{k,j}$, 
$\bar\sigma_{k,j}^2$ \'es $\bar\mu_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok jel\"ol\'es\'eben a von\'ast \'es defini\'aljuk 
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel az $\tilde X_{k,j}=X_{k,j}-\mu_{k,j}$, 
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat. Azt akarjuk bel\'atni, hogy az $(\tilde X_{k,j}$, 
$\Cal F_{k,j})$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$ rendszer 
teljes\'{\i}ti a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol 
sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit. Ez a 
rendszer ny\'{\i}lv\'anval\'oan teljes\'{\i}ti a t\'etel a) \'es b)
fel\-t\'e\-te\-leit, de a c), azaz a Lindeberg felt\'etel 
teljes\"ul\'ese indokl\'asra szorul. Mivel tudjuk, hogy az (1.1) 
formula teljes\"ul az $X_{k,j}$ sz\'eriasorozatra, ahhoz, hogy 
bebizony\'{\i}tsuk a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'es\'et az 
$\tilde X_{k,j}$ sz\'eriasorozatra \'es \'{\i}gy befejezz\"uk a 
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at, el\'eg a k\"ovetkez\H{o} 
\'all\'{\i}t\'ast igazolni: Ha egy $(X_{k,j},\Cal F_{k,j})$ 
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az (1.1) felt\'etelt, \'es 
$\mu_{k,j}=EX_{k,j}$, akkor
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E(X_{k,j}-\mu_{k,j})^2
I(|X_{k,j}-\mu_{k,j}|>\e)=0\quad \text{minden $\e>0$ sz\'amra.}
$$

Ez az \"osszef\"ugg\'es azonnal k\"ovetkezik az al\'abbi lemm\'ab\'ol,
amely megegyezik Dvo\-retzky a bevezet\'esben id\'ezett cikk\'enek
Lemma~3.3 eredm\'eny\'evel. (Egy apr\'o k\"ul\"onbs\'eg van.
K\'enyelmi okokb\'ol a Dvoretzky lemm\'aj\'aban szerepl\H{o}
4 egy\"utthat\'ot 8-ra cser\'eltem, ennek azonban nincs
jelent\H{o}s\'ege.)

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $X$ n\'egyzetesen integ\'alhat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\Cal F\subset \Cal A$
$\sigma$-algebra, $\mu=E(X|\Cal F)$ egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor
$$
8EX^2I(|X|>\e)\ge E(X-\mu)^2I(|X-\mu|>2\e) \quad
\text{minden $\e>0$ sz\'amra.} \tag2.9
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Tudjuk, hogy $E(X-E(X|\Cal F))^2\le EX^2$
tetsz\H{o}leges v\'eges m\'asodik momentummal rendelkez\H{o}
$X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora. Ha az ebben az
egyenl\H{o}tlens\'egben szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat csonk\'{\i}tjuk, akkor  az egyenl\H{o}tlens\'eg 
\'erv\'eny\'et veszt\-heti. Viszont \'erv\'enyes marad annak egy 
olyan gyeng\'{\i}tett  v\'altozata, amely megfelel c\'eljainknak. 
Ez a fenti lemma f\H{o} mondanival\'oja.

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ V\'eve az $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'as\'at
az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es $E$-vel jel\"olve a
v\'arhat\'o \'ert\'eket eme (v\'eletlen) m\'ert\'ek szerint is, a
(2.9)~formula a k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egre
reduk\'alhat\'o:
$$
8EX^2I(|X|>\e)\ge E(X-EX)^2I(|X-EX|>2\e) \quad
\text{minden $\e>0$ sz\'amra,}
$$
vagy ekvivalens m\'odon az $Y=X-EX$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
8E(Y+c)^2I(|Y+c|>\e)\ge EY^2I(|Y|>2\e) \tag2.10
$$
minden val\'os $c$ \'es $\e>0$ sz\'amra,
ha $EY=0$ \'es $EY^2<\infty$.

A (2.10) egyenl\H{o}tlens\'eg tov\'abb reduk\'alhat\'o. El\'eg azt
a speci\'alis esetet tekinteni, amikor $Y$ eloszl\'asa $P(Y=Aq)=p$,
$P(Y=-Ap)=q$ alak\'u valamely $A>0$, $0\le p,q\le1$, $p+q=1$ 
sz\'amokkal. Innen k\"ovetkezik ugyanis a (2.10) formula abban az
esetben is, ha az $Y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a 
k\"ovetkez\H{o} alak\'u. L\'etezik az $\Omega$ halmaznak olyan 
$\Omega=\Omega_1+\Omega_2+\Omega_3$ partici\'oja, amelyre $Y=a$ az 
$\Omega_1$ halmazon, $Y=-b$ az $\Omega_2$ halmazon valamely $a>0$ \'es 
$b>0$ sz\'amokkal, $aP(\Omega_1)-bP(\Omega_2)=0$, \'es $Y=0$ az 
$\Omega_3$ halmazon. Tov\'abb\'a a (2.10) egyenl\H{o}tlens\'eg igaz 
minden olyan $Y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, amely 
v\'eges sok \'ert\'eket vesz fel, \'es $EY=0$, mert ezek 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'oak olyan az el\H{o}bbi tulajdons\'aggal 
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegek\'ent, 
amelyeknek a tart\'oja diszjunkt. Ezut\'an a (2.10) \'all\'{\i}t\'ast 
megkapjuk az \'altal\'anos esetben, ha egy $Y$, $EY=0$ 
va\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot  v\'eges sok \'ert\'eket 
felvev\H{o} $Y_n$, $EY_n=0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal k\"ozel\'{\i}t\"unk alkalmas m\'odon.

Tov\'abb egyszer\H{u}s\'{\i}thetj\"uk a (2.10) egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'at (a $c$ \'es $\e$ param\'eterek esetleges
m\'odos\'{\i}t\'as\'aval) azzal, hogy  csak olyan $Y$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekint\"unk, amelyekre 
$A=1$, \'es $q\ge\frac12\ge p\ge0$. Ebben a speci\'alis esetben a 
(2.10) egyenl\H{o}tlens\'eg ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, ha 
$\e\ge\frac q2$, mert ekkor a jobboldal null\'aval egyenl\H{o}. Ha 
$0\le \e<\frac q2$, akkor a (2.10) formula jobboldala kisebb vagy 
egyenl\H{o}, mint $EY^2=pq^2+p^2q=pq$, \'es el\'eg megmutatni, hogy 
$8E(Y+c)^2I(|Y+c|>\e)\ge pq$ minden $c$ val\'os sz\'amra, ha 
$0\le\e<\frac q2$.

Ha $c\ge-\frac q2$, \'es $0\le\e<\frac q2$, akkor
$q+c\ge\frac q2>\e$, \'es
$8E(Y+c)^2I(|Y+c|>\e)\ge 8P(Y=q)(q+c)^2=8p(q+c)^2\ge2pq^2\ge pq$.
Ha $c<-\frac q2$, \'es $0\le\e<\frac q2$, akkor
$|-p+c|>\frac q2\ge\e$, \'es
$8E(Y+c)^2I(|Y+c|>\e)\ge 8P(Y=-p)(p+|c|)^2=8q(p+|c|)^2\ge2q^3\ge pq$.
A lemm\'at bebizony\'{\i}tottuk.

\beginsection 3. N\'eh\'any megjegyz\'es. A funkcion\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.

A marting\'alk\"ul\"onbs\'egek sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelek k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
bizony\'{\i}t\'asainak \"osszehasonl\'{\i}t\'as\'at
az ered\-m\'eny ha\-gyo\-m\'a\-nyos `klasszikus'
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak r\"ovid t\'argyal\'as\'aval kezdem.

Tekints\"uk egy $X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'es $\Cal F_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $0\le j\le n_k$, r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre
n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebr\'akb\'ol \'all\'o marting\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatot, \'es defini\'aljuk az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}X_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket.
Azt akarjuk megmutatni, hogy alkalmas felt\'etelek teljes\"ul\'ese
eset\'en az $S_k$ v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak
a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, vagy ami ezzel ekvivalens,
$\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=e^{-t^2/2}$ minden val\'os sz\'amra.

A hagyom\'anyos, klasszikusnak tekinthet\H{o} bizony\'{\i}t\'as a
k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'esen alapul. Vezess\"unk be minden $k$
indexre olyan $Y_{k,1},\dots,Y_{k,n_k}$  f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
amelyek f\"uggetlenek az $\Cal F_{k,n_k}$ $\sigma$-algebr\'at\'ol,
defini\'aljuk a $T_k=\summ_{j=1}^{n_k}d_{k,j}Y_j$ \"osszeget, ahol
$d^2_{k,j}=EX_{k,j}^2$, \'es mutassuk meg, hogy
$\limm_{k\to\infty}E(e^{itS_k}-e^{iT_k})=0$ alkalmas felt\'etelek
teljes\"ul\'ese eset\'en. Ezt \'ugy l\'atjuk be, hogy az
$Ee^{itS_k}$ kifejez\'esben szerepl\H{o} $S_k$ \"osszegben
kicser\'elj\"uk el\H{o}sz\"or az $X_{k,n_k}$ v\'altoz\'ot
a $d_{k,n_k}Y_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval,
azt\'an az $X_{k,n_k-1}$ v\'altoz\'ot a $d_{k,n_k-1}Y_{k,n_k-1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-val, \'es \'{\i}gy tov\'abb
eg\'esz addig, am\'{\i}g a $T_k$ \"osszeghez nem jutunk. Ek\"ozben
j\'o becsl\'est adunk arra, hogy az egyes cser\'ek \'altal mennyit
v\'altozott a tekintett \"osszeg karakterisztikus f\"uggv\'enye.
Expliciten megfogalmazva a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast alkalmazzuk.
Defini\'aljuk az $S_{k,j}=\summ_{l=1}^j X_{k,l}+
\summ_{l=j+1}^{n_k}d_{k,l} Y_{k,l}$, $1\le j\le n_k-1$, $S_{k,0}=T_k$
\'es $S_{k,n_k}=S_k$ \"osszegeket. Ekkor
$$
E(e^{itS_k}-e^{itT_k})=\sum_{j=1}^{n_k}
E(e^{itS_{k,j}}-e^{itS_{k,j-1}}). \tag3.1
$$
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz j\'o
becsl\'est kell adnunk az $|E(e^{itS_{k,j}}-e^{iS_{k,j-1}})|$
kifejez\'esekre. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\aligned
\left|E(e^{itS_{k,j}}-e^{iS_{k,j-1}})\right|
&\le E\left|E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})
-Ee^{itd_{k,j}Y_{k,j}}\right|\\
&=E\left|E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})-e^{-t^2d_{k,j}^2/2}\right|.
\endaligned \tag3.2
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy a (3.1) \'es (3.2) formula egy\"uttese
hasonl\'{\i}t a (2.6) egyenl\H{o}tlens\'eghez. A (3.2) formula
jobboldal\'an lev\H{o} kifejez\'esre j\'o becs\'est tudunk kapni,
ha tekintj\"uk az
$$
E(e^{itX_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})-e^{-t^2d^2_{k,j}/2}
$$
kifejez\'esnek a $t$ v\'altoz\'o szerinti Taylor-sor fejt\'es\'et.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a Taylor-sor m\'asodrend\H{u} tagja
$\frac{t^2}2(d_{k,j}^2-\sigma^2_{k,j})$, ahol
$\sigma^2_{k,j}=E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})$. Mivel a (3.2)
kifejez\'es jobboldal\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, e
becsl\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel akkor bizony\'{\i}thatjuk be a
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt, ha a
$\summ_{j=1}^{n_k}|\sigma^2_{k,j}-d_{k,j}^2|$ \"osszeg nagy $k$
indexre kicsi. Ilyen m\'odon olyan eredm\'enyt kapunk, amely sok
vizsg\'alatban hasznos, de csak viszonylag er\H{o}s felt\'etelek
mellett \'erv\'enyes. A marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'eriasorozatokr\'ol az els\H{o} fejezetben megfogalmazott
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben viszont j\'oval enyh\'ebb
felt\'eteleket \'{\i}rtunk el\H{o}. Ott a tipikus `nem
elfajul\'o' esetben, amikor
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}d_{k,j}^2=1$,
azt k\"ovetelt\"uk meg az (1.2) formul\'aban, hogy
$$
\sum_{j=1}^{n_k}\(\sigma^2_{k,j}-d_{k,j}^2\)\Rightarrow0,
\quad\text{ha } k\to\infty,
$$
azaz a fenti rel\'aci\'oban nem kellett a
$\sigma^2_{k,j}-d_{k,j}^2$ tagok abszol\'ut \'ert\'ek\'et venni.

Brown \'es Dvoretzky bizony\'{\i}t\'as\'anak a f\H{o} \'erdekess\'ege
az, hogy az el\H{o}bb v\'azolt m\'odszer nem trivi\'alis
finom\'{\i}t\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel ilyen gyeng\'ebb
felt\'etelek mellett bizony\'{\i}tott\'ak be a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'eriasorozatokra.

Dvoretzky az el\H{o}bb t\'argyalt m\'odszerhez hasonl\'o
konstrukci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel bi\-zo\-ny\'{\i}\-tot\-ta
be eredm\'eny\'et, de \H{o} olyan $T_k$ \'es $S_{k,j}$ v\'eletlen
\"osszegeket vezetett be, ahol a $d_{k,l}Y_{k,l}$
\"osszeandand\'okat $\sigma_{k,l}Y_{k,l}$ alak\'u tagokkal
helyettes\'{\i}tette. Akkor tudjuk ilyen m\'odon bebizony\'{\i}tani
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt, ha igazolni tudjuk a
(3.2) formul\'anak egy olyan v\'altozat\'at, amelynek k\"oz\'eps\H{o}
tagj\'aban $E(e^{it\sigma_{k,j}Y_{k,j}}|\Cal F_{k,j-1})
=e^{-t^2\sigma^2_{k,j}/2}$ szerepel $Ee^{itd_{k,j}Y_{k,j}}$ helyett.
Egy ilyen becsl\'es lehet\H{o}v\'e teszi a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel itt kimondott \'elesebb alakj\'anak a
bizony\'{\i}t\'as\'at, mert ekkor a megfelel\H{o} Taylor sorfejt\'esben
a m\'asodfok\'u tag egy\"utthat\'oja is nulla.

Dvoretzky egy ilyen becsl\'est bizony\'{\i}tott, de csak azon plusz
felt\'etel mellett, hogy
$$
\sum_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1 \quad \text{minden $k$ indexre.}
\tag3.3
$$
Erre a felt\'etelre az\'ert volt sz\"uks\'ege, mert ez biztos\'{\i}tja 
azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es $\sigma$-algebr\'ak
f\"uggetlens\'eg\'et, amelyeket a (3.2) formula m\'odos\'{\i}tott
alakj\'anak a bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban haszn\'alt.
E tulajdons\'ag megfogalmaz\'as\'at, amelyet Dvoretzky
cikk\'enek Lemma~3.2 ered\-m\'e\-nye tartalmaz elhagyom.
(Megjegyzem, hogy
$T_k=\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}Y_j$ standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha
teljes\"ul a (3.3) felt\'etel, mert ekkor
$T_k$ felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sa felt\'eve az $\Cal F_{k,n_k}$
$\sigma$-algebr\'at a norm\'alis el\-osz\-l\'as nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$
sz\'or\'asn\'egyzettel.)

Miut\'an Dvoretzky bebizony\'{\i}totta a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt azon plusz meg\-k\"o\-t\'es mellett,
hogy a (3.3) formula teljes\"ul, megmutatta, hogy alkalmas, a
(2.2)~formul\'ahoz hasonl\'o meg\'all\'asi szab\'aly bevezet\'es\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel az \'altal\'anos eset visszavezethet\H{o}
erre a speci\'alis esetre.

Brown itt ismertetett bizony\'{\i}t\'as\'anak gondolatmenete
hasonl\'o Dvoretzky\'ehez. Eb\-ben a bizony\'{\i}t\'asban
azonban az $Ee^{itS_k}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny
helyett el\H{o}sz\"or (a m\'asodik fejezetben bevezetett
jel\"ol\'essel) az $Ee^{itS_k+t^2U_k/2}$ kifejez\'est becs\"ulj\"uk
meg. Annak \'er\-de\-k\'e\-ben, hogy ezt megtehess\"uk, el\H{o}sz\"or
az eredeti sz\'eriasorozat egy olyan alkalmas m\'odos\'{\i}t\'as\'at
defini\'altuk a (2.2) k\'epletben bevezetett $\tau_k$ meg\'all\'asi
szab\'aly seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely az eredeti sz\'eriasorozat
egyfajta csonk\'{\i}tottj\'anak tekinthet\H{o}. Az eredeti \'es
m\'o\-do\-s\'{\i}\-tott sz\'eriasorozat sor\"osszegeinek a
hat\'areloszl\'asa megegyezik, \'es a m\'odos\'{\i}tott
sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat meg\H{o}rzi az eredeti sz\'eriasorozat
marting\'al k\"ul\"onbs\'eg tulajdons\'ag\'at is. Ezen\-k\'{\i}\-v\"ul
a m\'odos\'{\i}tott sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt $S_k$ \'es $U_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
az $Ee^{itS_k+t^2U_k/2}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek v\'eges, s\H{o}t a
$\sigma^2_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (\'es azok
\"osszegei is) korl\'atosak.

Megjegyzem, hogy mivel ez a meg\'all\'asi szab\'aly
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt m\'odos\'{\i}tott 
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az (1.1) Lindeberg felt\'etelt 
is, ez\'ert az $\tilde X_{k,j}=X_{k,j}I(|X_{k,j}|\le\e)-
E(X_{k,j}I(|X_{k,j}|\le\e)|\Cal F_{k,j-1})$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$, k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
sz\'eriasorozat az eredeti rendszer olyan kis perturb\'aci\'oja,
amely teljes\'{\i}ti a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit, \'es korl\'atos
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat tartalmaz.
(Vegy\"uk \'eszre, hogy az $X_{k,j}-\tilde X_{k,j}=
X_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)-E(X_{k,j}I(|X_{k,j}|>\e)|\Cal F_{k,j-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei j\'ol 
be\-cs\"ul\-he\-t\H{o}\-ek. Tov\'abb\'a az (1.1) Lindeberg 
felt\'etel azt is biztos\'{\i}tja, hogy az $X_{k,j}$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ki\-cse\-r\'e\-l\'e\-se 
az $\tilde X_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal 
csak elhanyagolhat\'oan kis hib\'at okoz.) Ennek az 
\'eszrev\'etelnek a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel 
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban nincs jelent\H{o}s\'ege, 
de az al\'abb ismertetett funkcion\'alis  centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel bizony\'{\i}t\'as\'aban 
hasznos lehet, mert lehet\H{o}v\'e teszi, hogy 
exponenci\'alis momentumokkal dolgozhassunk.

Dvoretzky \'es Brown m\'odszer\'enek a hasonl\'os\'ag\'at 
jobban meg\'erthet\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az e fejezet elej\'en bevezetett 
jel\"ol\'esekkel
$$
E\(e^{it\sigma_{k,j}Y_{k,j}+t^2\sigma^2_{k,j}/2}|\Cal F_{k,j-1}\)=
\left.E(e^{ituY_{k,j}+t^2u^2/2})\right|_{u=\sigma^2_{k,j}}=1
\tag3.4
$$
minden $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$ indexre. Vezess\"uk be a
kor\'abban defini\'alt $S_{k,j}$, $S_k$ \'es $T_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\bar S_{k,j}=\bar S_{k,j}(t)=\summ_{l=1}^j (it X_{k,l}
+\frac{t^2}2\sigma^2_{k,l})+
\summ_{l=j+1}^{n_k}(it\sigma_{k,l}Y_{k,l}+\frac{t^2}2\sigma^2_{k,l})$,
$1\le j\le n_k-1$, $\bar S_{k,0}=\bar S_{k,0}(t)=\bar T_k=
\summ_{l=1}^{n_k}(it\sigma_{k,j}Y_{k,j}+\frac{t^2}2\sigma^2_{k,j})$,
\'es
$\bar S_{k,n_k}=\bar S_{k,n_k}(t)=\bar S_k=\summ_{l=1}^{n_k} (it X_{k,j}
+\frac{t^2}2\sigma^2_{k,j})$ megfelel\H{o}it. Ha az $Ee^{itS_k}$
helyett az $Ee^{itS_k+t^2 U_k/2}=e^{\bar S_k}$ kifejez\'est akarjuk
el\H{o}sz\"or megbecs\"ulni, akkor \'erdemes fel\'{\i}rni az
$$
Ee^{\bar S_k}-1=E\(e^{\bar S_k}-e^{\bar T_k}\)=\sum_{j=1}^{n_k}
E\(e^{\bar S_{k,j}}-e^{\bar S_{k,j-1}}\)
$$
azonoss\'agot, \'es azt j\'ol becs\"ulni.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a (3.4) k\'eplet miatt az el\H{o}z\H{o}
fejezet (2.5) k\'eplet\'eben \'es az azt k\"ovet\H{o}
sz\'amol\'asokban egy ilyen programot hajtottuk v\'egre.

A marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel h\'at\-te\-r\'e\-ben lev\H{o}
k\'epet, illetve illetve  Brown bizony\'{\i}t\'as\'at jobban
meg\'erthetj\"uk, ha megfogalmazzuk ennek az eredm\'enynek a
funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel v\'altozat\'at.
Ez a funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
inform\'alis nyelven azt \'all\'{\i}tja, hogy a
mar\-tin\-g\'al\-k\"u\-l\"onb\-s\'eg sz\'eriasorozat egyes soraiban 
lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol term\'eszetes 
m\'odon elk\'esz\'{\i}tett v\'eletlen t\"or\"ottvonalf\"uggv\'enyek 
nagy $k$ indexre k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg \'ugy vi\-sel\-ked\-nek, mint 
egy Wiener folyamat. A Wiener folyamatok egy fontos tulajdons\'aga az, 
hogy egy $W(u)$, $u\ge0$, Wiener folyamatra a $Z_t(u)=e^{tW(u)-t^2u/2}$,
$u\ge0$, sztochasztikus folyamat marting\'al. Ez\'ert minden sz\'ep 
$\tau$ meg\'all\'asi szab\'alyra $Ee^{Z_t(\tau)}=1$. Ez az 
\'all\'{\i}t\'as nemcsak val\'os, hanem komplex $t$ sz\'amokra is igaz. 
Azt v\'arjuk, hogy ha a Wiener folyamatot egy hozz\'a k\"ozeli $V(t)$
sztochasztikus folyamattal helyettes\'{\i}tj\"uk, akkor
$Ee^{tV(\tau)-t^2\tau}\sim1$. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban, a (2.5) formula megfogalmaz\'as\'aban \'es
annak bizony\'{\i}t\'as\'aban egy ilyen \'ervel\'est haszn\'altunk
tiszt\'an imagin\'arius $t$ sz\'ammal.

A marting\'alk\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
funkcion\'alis centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or bevezetek n\'eh\'any
jel\"ol\'est.

Tekints\"uk minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $X_{k,1},\dots,X_{k,n_k}$ \'es  n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset\Cal F_{k,n_k}$,
$\sigma$-algebr\'ak olyan rendszer\'et, amely teljes\'{\i}ti a
marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit. Defini\'aljuk
az
$$
S_{k,j}=\sum_{l=1}^j X_{k,j}\quad 1\le j\le n_k, \quad S_{k,0}=0,
\tag3.5
$$
r\'eszlet\"osszegeket, a $d_{k,j}^2=EX_{k,j}^2$ \'es
$\sigma^2_{k,j}=E(X_{k,j}^2|\Cal F_{k,j-1})$, $1\le j\le n_k$,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te\-ket \'es felt\'eteles
sz\'or\'asn\'egyzeteket. Vezess\"uk be ezek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$$
z_{k,0}=0,\; z_{k,j}=\sum_{l=1}^j d^2_{k,j}, \qquad \zeta_{k,0}=0,\;
\zeta_{k,j}=\sum_{l=1}^j \sigma^2_{k,j}, \quad 1\le j\le n_k, \tag3.6
$$
determinisztikus, illetve v\'eletlen oszt\'opontokat a pozit\'{\i}v
f\'elegyenesen, \'es a $T_k(t)$ v\'eletlen t\"or\"ottvonalf\"uggv\'enyt
a $[0,z_{0,k}]$ intervallumon, valamint a $V_k(t)$ v\'eletlen
t\"or\"ottvonal f\"uggv\'enyt a $[0,\zeta_{0,k}]$ v\'eletlen
intervallumon a k\"ovetkez\H{o} k\'epletek seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\aligned
T(z_{k,j})=S_{k,j},
\quad \text{\'es } T_k(t)&=\frac{z_{k,j+1}-t}{z_{k,j+1}-z_{k,j}}S_{k,j}
+\frac{t-z_{k,j}}{z_{k,j+1}-z_{k,j}}S_{k,j+1}, \\
&\qquad\text{ ha }
z_{k,j}\le t\le z_{k,j+1}, \quad 0\le j< n_k,
\endaligned \tag3.7
$$
\'es
$$
\aligned
V(\zeta_{k,j})=S_{k,j}, \quad \text{\'es } V_k(t)
&=\frac{\zeta_{k,j+1}-t}{\zeta_{k,j+1}-\zeta_{k,j}}S_{k,j}
+\frac{t-\zeta_{k,j}}{\zeta_{k,j+1}-\zeta_{k,j}}S_{k,j+1}, \\
&\qquad\text{ ha }
\zeta_{k,j}\le t\le \zeta_{k,j+1}, \quad 0\le j< n_k.
\endaligned\tag3.8
$$
Defini\'aljuk tov\'abb\'a a $T_k(\cdot)$ \'es $V_k(\cdot)$
t\"or\"ottvonalf\"uggv\'enyek
$$
\tilde T_k(t)=T_k(tz_{k,n_k}), \qquad
\tilde V_k(t)=V_k(t\zeta_{k,n_k}), \quad 0\le t\le1 \tag3.9
$$
transzform\'altj\'at a $[0,1]$ intervallumba. Megfogalmazom a
marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-r\'ol
sz\'ol\'o funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel marting\'al
k\"ul\"onbs\'eg sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra.} {\it Legyen adva
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $X_{k,1},\dots,X_{k,n_k}$ \'es  n\"ovekv\H{o}
$\Cal F_{k,0}\subset\Cal F_{k,1}\subset\cdots\subset\Cal F_{k,n_k}$,
$\sigma$-algebr\'ak olyan rendszere, amely teljes\'{\i}ti a
marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit. Te\-kint\-s\"uk 
a (3.5), (3.6), (3.8) \'es (3.9) formul\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt $\tilde V_k(t)$, $k=1,2,\dots$,  v\'eletlen t\"or\"ottvonal
f\"uggv\'enyek sorozat\'at. Ezek a $\tilde V_k(t)$  v\'eletlen
t\"or\"ottvonal f\"uggv\'enyek gyeng\'en konverg\'alnak
a Wiener m\'ert\'ekhez a $C([0,1])$ t\'erben, ha $k\to\infty$.}

\medskip
A funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom, csak n\'eh\'any uta\-l\'ast teszek
arr\'ol, hogy hogyan lehet azt n\'eh\'any klasszikus eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\-v\'e\-gez\-ni. Egyr\'eszt meg kell 
mutatni, hogy a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asok konverg\'alnak. Ezt 
le lehet vezetni a marting\'al k\"ul\"onbs\'eg sz\'eriasorozatokr\'ol
sz\'ol\'o centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-b\H{o}l
alkalmas meg\'all\'asi szab\'alyok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezenk\'{\i}v\"ul
sz\"uks\'eg van az \'ugynevezett feszess\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ara,
ami bizonyos maximum egyenl\H{o}tlens\'eget jelent. Ilyen
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get kaphatunk, kihaszn\'alva, hogy alkalmas
csonk\'{\i}t\'assal reduk\'alni lehet a fel\-ada\-tot arra az esetre,
amikor az $X_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
korl\'atosak, s\H{o}t azt is feltehetj\"uk, hogy ez a korl\'at nagyon
kicsi. Abb\'ol, hogy az $(S_{k,j},\Cal F_{k,j})$, $1\le j\le n_k$,
sorozatok marting\'alt alkotnak k\"ovetkezik, hogy az
$(e^{tS_{k,j}},\Cal F_{k,j})$ sorozatok szubmarting\'alt
alkotnak, \'es alkalmazhatjuk r\'ajuk a szubmarting\'alokra
\'erv\'enyes maximum egyenl\H{o}tlens\'eget. Ezenk\'{\i}v\"ul az
$Ee^{t(S_{k,j'}-S_{k,j})}$, $1\le j\le j'\le n_k$,
momentumgener\'al\'o f\"uggv\'enyeket becs\"ulhetj\"uk a
2.~fejezetben haszn\'alt m\'odszerek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es
ilyen m\'odon bebizony\'{\i}thatjuk a fe\-szes\-s\'eg\-hez
sz\"uks\'eges egyenl\H{o}tlens\'eget.

A feszess\'eg m\'ask\'ent is bizony\'{\i}that\'o. Brown cikk\'eben
ezt az ott bebizony\'{\i}tott Lemma~4 seg\'{\i}ts\'eg\'evel tette,
amely a marting\'alok m\'as tulajdons\'again alapul. Egy
l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az itt kimondott \'es a Brown cikkben
t\'argyalt funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
k\"oz\"ott az, hogy Brown cikk\'eben ez az eredm\'eny a $z_{k,j}$
determinisztikus oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$T_k(t)$, itt pedig a v\'eletlen $\zeta_{k,j}$ oszt\'opontok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $V_k(t)$
t\"or\"ottvonalf\"uggv\'eny $\tilde T_k(t)$ illetve
$\tilde V_k(t)$ \'atsk\'al\'az\'asaira mondja
ki a konvergenci\'at. A k\"ul\"onbs\'eg oka az, hogy Brown cikke
csak azt a speci\'alis esetet tekinti, amikor a sz\'eriasorozatok
egy marting\'al r\'eszsorozatainak a normaliz\'altjaik\'ent
jelennek meg. Ekkor az (1.2) formul\'anak az az er\H{o}sebb
alakja is \'erv\'enyes, hogy
$\limm_{k\to\infty}\frac{\zeta_{k,[kt]}}{z_{k,[kt]}}\Rightarrow1$
minden $0< t\le 1$ sz\'amra, ahol $[x]$ az $x$ sz\'am eg\'esz
r\'esz\'et jel\"oli. Ennek k\"ovetkezt\'eben ebben a speci\'alis
esetben jogunk van a $\zeta_{k,j}$ v\'eletlen oszt\'opontokat a
$z_{k,j}$ determinisztikus oszt\'opontokkal helyettes\'{\i}teni.
De az \'altal\'anos esetben ezt nem tehetj\"uk meg.

Az itt kimondott centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nem a
a marting\'alk\"uk\"onbs\'eg sorozat r\'eszlet\"osszegeib\H{o}l
a (3.7) k\'epletben term\'eszetes m\'odon defini\'alt v\'eletlen
$T_k(t)$ t\"o\-r\"ott\-vonal\-f\"ugg\-v\'eny\-r\H{o}l \'all\'{\i}tja, 
hogy nagy $k$ indexekre hasonl\'oan viselkedik egy Wiener folyamathoz,
hanem annak egy $V_k(t)$ v\'eletlen \'atsk\'al\'az\'azottj\'ar\'ol.
Azt mondhatjuk, hogy a term\'eszetes id\H{o}sk\'al\'at nem a
sz\'or\'asn\'egyzetek $z_{k,j}$ r\'eszlet\"osszegei, hanem a
felt\'eteles sz\'or\'asn\'egyzetek $\zeta_{k,j}$ 
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei hat\'arozz\'ak meg. Hasonl\'o jelens\'eggel 
tal\'alkozhatunk p\'eld\'aul egy az id\H{o} param\'etert\H{o}l 
f\"ugg\H{o} $X(t)=\int_0^t e(s)W(\,ds)$ It\^o integr\'al 
jellemz\'es\'en\'el. Egy ilyen sztochasztikus folyamat 
\'atsk\'al\'azhat\'o alkalmas `bels\H{o} id\H{o}' bevezet\'es\'evel 
Wie\-ner folyamatt\'a. (L\'asd H. P. McKean: Stochastic integrals 
c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'enek 2.5 fejezet\'et.) R\'eszletesebben
megfogalmazva az igaz, hogy ha $X(t)=\int_0^t f(s,\oo)W(\,ds)$
egy It\^o integr\'al, \'es bevezetj\"uk a 
$\tau(t)=\int_0^t f^2(s,\oo)\,ds$ `bels\H{o} id\H{o}t', akkor 
$Y(t)=X(\tau^{-1}(t))$ egy (esetleg v\'eletlen id\H{o}pontban
meg\'all\'{\i}tott) Wiener folyamat.



\bye

