Centrális határeloszlástétel martingálokra.

1. Bevezetés. A fő eredmények megfogalmazása.

Ebben az írásban a a valószínűségszámítás egyik legfontosabb eredményének az egyes soraiban független valószínűségi változókat tartalmazó szériasorozatok sorösszegeiről szóló centrális határeloszlástételnek egy tartalmas, martingálokról szóló általánosítását ismertetem. Annak érdekében, hogy a martingálokról szóló eredményt jobban megértsük, felidézem először az egyes soraiban független valószínűségi változókat tartalmazó szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételt.

Centrális határeloszlástétel egyes soraiban független valószínűségi változókat tartalmazó szériasorozatok sorösszegeiről. Legyen adva egy szériasorozat, azaz valószínűségi változók két pozitív egész számmal indexelt X_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, rendszere, ahol n_{k}, k = 1, 2, … pozitív egész számok sorozata. Teljesítse e szériasorozat a következő tulajdonságokat:

a) Az egyes sorokban levő valószínűségi változók függetlenek, és nulla várható értékűek, azaz minden k = 1, 2, … indexre a X_{k,1}, …, X_{k,n_{k}} valószínűségi változók függetlenek, és EX_{k,j} = 0 minden k = 1, 2, … és 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre.

b.) A szériarozat egy sorában levő valószínűségi változók szórásnégyzeteinek az összege 1-hez tart, ha k → ∞, azaz

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2} = 1

c) A szériasorozat teljesíti az úgynevezett Lindeberg feltételt, azaz

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) = 0 minden ε > 0 számra.  (1.1)

(Itt, és a továbbiakban I(A) egy A halmaz indikátorfüggvényét jelöli.)

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} X_{k,j} sorösszegek eloszlásban konvergálnak a standard normális

eloszláshoz, ha k → ∞.

Ebben az írásban egy centrális határeloszlástételt ismertetek olyan szériasorozatokra, amelyek az előző tételhez hasonló, de gyengébb feltételeket teljesítenek. A szériasorozatok egyes soraiban szereplő valószínűségi változókról azt tesszük fel, hogy azok martingálkülönbségsorozatot alkotnak. Ez a megkötés úgy tekinthető, mint az előző tétel a) feltételének gyengített változata. A b) feltétel helyett azt tesszük fel, hogy a szériasorozat egy sorban levő valószínűségi változóinak múltra vett feltételes szórásnégyzeteinek (véletlen) összege 1-hez tart. Végül a centrális határeloszlástétel teljesüléséhez szükség van még a c) pontban megfogalmazott Lindeberg feltétel egy némileg gyengébb megfelelőjére. A pontos eredmény a következő állítást mondja ki.

Martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel. Legyen adva minden k = 1, 2, … számra valószínűségi változók X_{k,1}, …, X_{k,n_{k}} és növekvő F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, σ-algebrák olyan rendszere, amely teljesíti a következő feltételeket:

a.) Az X_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változók és F_{k,j}, k = 1, 2, …, 0 ≤ j ≤ n_{k}, σ-algebrák martingál különbség szériasorozatot alkotnak, azaz az X_{k,j} valószínűségi változó mérhető az F_{k,j} σ-algebrára, és E(X_{k,j}|F_{k,j−1}) = 0 egy valószínűséggel minden k = 1, 2, … és 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre.

b.) EX_{k,j}^{2} < ∞ minden k = 1, 2, … és 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, és vezessük be a σ_{k,j}^{2} = E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} feltételes szórásnégyzeteket. Teljesül a

∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} ⇒ 1, ha k → ∞  (1.2)

reláció. (Itt és a továbbiakban ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl.) c.) Teljesül a következő Lindeberg típusú feltétel

∑_{j=1}^{n_{k}} E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) ⇒ 0, ha k → ∞  (1.3)

minden ε > 0 számra.

E feltételek teljesülése esetén az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} X_{k,j}, k = 1, 2, …, véletlen összegek

eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszlásfüggvényhez, ha k → ∞.

Igaz a fenti tétel következő általánosítása, amely martingál különbség szériasorozatok helyett ‘majdnem martingál különbség’ szériasorozatokra mond ki hasonló centrális határeloszlástételt.

Majdnem martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel. Legyen adva minden k = 1, 2, … számra valószínűségi változók X_{k,1}, …, X_{k,n_{k}} és növekvő F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, σ-algebrák olyan rendszere, amelyekre az X_{k,j} valószínűségi változó mérhető az F_{k,j} σ-algebrára minden k = 1, 2, … és 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, és a μ_{k,j} = E(X_{k,j}|F_{k,j−1}) feltételes várható értékek kicsik a következő értelemben:

∑_{j=1}^{n_{k}} μ_{k,j} ⇒ 0, ha k → ∞.  (1.4)

Ha az X_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változók és F_{k,j}, k = 1, 2, …, 0 ≤ j ≤ n_{k}, σ-algebrák teljesítik az (1.2), (1.3) és (1.4) feltételeket azzal a módosítással, hogy jelen esetben az (1.2) formulában a

σ_{k,j}^{2} = E ((X_{k,j} − μ_{k,j})^{2}|F_{k,j−1}) = E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − μ_{k,j}^{2}  (1.5)

valószínűségi változók szerepelnek, akkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} X_{k,j}, k = 1, 2, …, összegek elosz-

lásban konvergálnak a standard normális eloszlásfüggvényhez k → ∞ esetén.

A fenti eredmények a legáltalánosabb ismert centrális határeloszlástételek martingálkülönbség, illetve majdnem martingál különbség szériasorozatokra. Érdemes külön hangsúlyozni, hogy az (1.2) feltételben csak azt követeltük meg, hogy a σ_{k,j}^{2} feltételes második momentumok összegei rögzített k indexre 1-hez tartanak, ha k → ∞, de nem fogalmaztunk meg olyan feltételt, amelyből az következne, hogy a σ_{k,j}^{2} = E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) feltételes második momentumok közel vannak a d_{k,j}^{2} = EX_{k,j}^{2} második momentumokhoz. Ilyen gyenge feltétel mellett a bizonyítás finomabb gondolatokat igényel. Két olyan dolgozatot ismerek, ahol a centrális határeloszlást ilyen feltételek mellett bizonyították. Ezek egyike B. M. Brown Martingale Central Limit Theorems című dolgozata, amely a The Annals of Mathematical Statistics (1971) vol 42 No. 1 59–66 kötetben jelent meg. A másik Aryeh Dvoretzky Asymptotic normality for sums of dependent random variables című a Sixth Berkeley Symposium II. kötet 513–535 oldalán megjelent munkája. A két dolgozat a bizonyítás fő nehézségét különböző módszer segítségével küzdi le. Brown dolgozata az egyszerűbb, és az ő módszere alkalmasabbnak látszik általánosabb határeloszlástétel problémák vizsgálatában. Ezért itt Brown bizonyításának egy kissé módosított változatát ismertetem. Bár Brown cikke martingálok normalizáltjaira bizonyít határeloszlástételt, tehát nem szériasorozatokat vizsgál, az eredmény általánosítása szériasorozatokra nem okoz nehézséget. Az ismertetés végén röviden összehasonlítom Brown és Dvoretzky módszerét. Ezenkívül ismertetek egy eredményt, amely a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel funkcionális centrális határeloszlástétel változatának tekinthető. Brown dolgozata tartalmaz egy hasonló eredményt abban a speciális esetben, amikor martingál sorozatok normalizált tagjait tekintjük. Az általános szériasorozatokat azért érdemes külön tárgyalni, mert ekkor olyan jelenségeket is figyelembe kell venni a tétel megfogalmazásában, amelyek a Brown dolgozatában tárgyalt esetben nem jelennek meg. A martingál különbség szériasorozatokról szóló funkcionális centrális határeloszlástételt megfogalmazom, de annak bizonyítását nem tárgyalom. Csak a bizonyítás néhány fontos gondolatát ismertetem.

E bevezetés végén rövid megjegyzést teszek a centrális határeloszlástétel (1.3) Lindeberg típusú feltételével kapcsolatban. Az (1.1) formulában megadott Lindeberg feltételből következik az (1.3) formula, mert

∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) = E (∑_{j=1}^{n_{k}} E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1})) ,

így ha az (1.1) formula teljesül, akkor az (1.3) kifejezés baloldala L_{1}-normában is konvergál nullához. Az állítás megfordítása nem igaz. Lehet olyan szériasorozatokat konstruálni, amelyekre az (1.3) reláció teljesül, de az (1.1) reláció nem. Viszont a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel bizonyításának első lépésében a bizonyítást egy olyan speciális esetre redukáljuk, amelyben egyéb a bizonyítás szempontjából hasznos tulajdonságok mellett az is igaz, hogy az (1.3) feltételt az (1.1) feltétellel lehet helyettesíteni.

2. Az eredmények bizonyítása.

A martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel bizonyítása. Először azt mutatom meg, hogy a tétel bizonyítását arra az esetre lehet redukálni, amelyben a szériasorozat elemei teljesítik a tétel feltételei mellett a

lim_{k→∞} P (∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} ≤ 2) = 1  (2.1)

relációt is. (Valójában ebben a formulában szereplő egyenlőtlenség jobb oldalán a 2 helyett tetszőleges C > 1 számot írhattunk volna.)

Ezen állítás bizonyításának érdekében vezessük be a

τ_{k} = min [n_{k}, max {j: ∑_{l=1}^{j} σ_{k,l}^{2} ≤ 2}] (τ_{k} = 0 ha σ_{k,1}^{2} > 2.)  (2.2)

megállási szabályokat, és az X̄_{k,j},

X̄_{k,j} = \{ \begin{matrix}X_{k,j}, ha j ≤ τ_{k}, \\ 0,  ha j > τ_{k}, \end{matrix}  1 ≤ j ≤ n_{k},

valószínűségi változókat. A most definiált τ_{k} valóban megállási szabály az F_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, σ-algebrák rendszerére nézve, mert σ_{k,j+1}^{2} F_{k,j} mérhető valószínűségi változó, így a j időpontban el tudjuk dönteni, hogy a {τ_{k} ≤ j} vagy a {τ_{k} ≥ j +1} esemény következik-e be. (Vegyük észre, hogy σ_{k,j+1}^{2} F_{k,j} és nemcsak F_{k,j+1} mérhető valószínűségi változó.) Vezessük be a σ̄_{k,j}^{2} = E(X̄_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókat is. Rögzített k indexre az X̄_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókból és F_{k,j}, 0 ≤ j ≤ n_{k}, σ-algebrákból álló rendszer martingálkülönbség sorozatot alkot. Továbbá σ̄_{k,j}^{2}(ω) = σ_{k,j}^{2}(ω), ha τ_{k}(ω) ≥ j, és σ̄_{k,j}^{2}(ω) = 0, ha τ_{k}(ω) < j. Valóban, E(X̄_{k,j}|F_{k,j−1}) = E(X_{k,j}I(τ_{k} ≥ j)|F_{k,j−1}) = I(τ_{k} ≥ j)E(X_{k,j}|F_{k,j−1}) = 0, és σ̄_{j,k}^{2} = E(X_{k,j}^{2}I(τ_{k} ≥ j)|F_{k,j−1}) = I(τ_{k} ≥ j)E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) = I(τ_{k} ≥ j)σ_{k,j}^{2}.

Ezenkívül az (1.3) reláció érvényben marad, ha abban az X_{k,j} valószínűségi változókat az X̄_{k,j} valószínűségi változókkal helyettesítjük, mivel |X̄_{k,j}| ≤ |X_{k,j}|. Továbbá az (1.2) reláció miatt lim_{k→∞} P (τ_{k} = n_{k}) = 1.

A fentiekből következik, hogy az (1.2) reláció érvényben marad, ha a σ_{k,j}^{2} valószínűségi változókat a σ̄_{k,j}^{2} valószínűségi változókkal cseréljük ki, és a (2.1) reláció is

érvényes, ha abban σ̄_{k,j}^{2}-t írunk σ_{k,j}^{2} helyett. Végül az S̄_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} X̄_{k,j}, k = 1, 2, …,

összegek teljesítik az S̄_{k} − S_{k} ⇒ 0 relációt, ha k → ∞, mert S̄_{k} = S_{k}, ha τ_{k} = n_{k}. A fenti összefüggésekből következik, hogy elég a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételt az X_{k,j} szériasorozat helyett az X̄_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozatra belátni, és ez utóbbi szériasorozat változói (és a hozzájuk tartozó) σ̄_{k,j}^{2} valószínűségi változók) jelöléséből elhagyva a felülvonást olyan szériasorozatot kapunk, amely teljesíti e tétel feltételeit és ezenkívül a (2.1) relációt is.

Az (1.3) és (2.1) feltételből következik az (1.1) Lindeberg feltétel is az X_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozatra, mert a Lebesgue tétel szerint, és az

∑_{j=1}^{n_{k}} E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} ≤ 2

reláció miatt

∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) = E (∑_{j=1}^{n_{k}} E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1})) → 0,

ha k → ∞. Hasonlóan megmutatható, hogy az (1.2) formulában a (2.1) reláció teljesülése esetén L_{1} konvergenciát is írhatunk a sztochasztikus konvergencia helyett, és

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eσ_{k,j}^{2} = lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2} = 1.  (2.3)

A bizonyítandó centrális határeloszlástétel ekvivalens azzal az állítással, hogy

lim_{k→∞} Ee^{itS_{k}} = e^{−t^{2}/2} minden t valós számra.  (2.4)

Megmutatjuk, hogy a (2.4) reláció levezethető (a (2.1) formula felhasználásával) a

lim_{k→∞} Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} = 1, minden t valós számra  (2.5)

könnyebben igazolható formulából, ahol U_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2}, k = 1, 2, . . ..

Valóban az (1.2) formula szerint U_{k} ⇒ 1, ha k → ∞, és 0 ≤ U_{k} ≤ 2 minden k = 1, 2, … számra a (2.1) formula miatt. Ezért e^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − e^{itS_{k}+t^{2}/2} ⇒ 0, ha k → ∞ minden valós t számra, és |e^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − e^{itS_{k}+t^{2}/2}| ≤ 2 · 2^{1+t^{2}}. Ezért a Lebesgue tétel szerint lim_{k→∞} E(e^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − e^{itS_{k}+t^{2}/2}) = 0. A (2.4) képlet következik

ebből az összefüggésből és a (2.5) formulából.

A (2.5) formula bizonyítása érdekében először megmutatjuk, hogy létezik olyan csak a t paramétertől függő K(t) > 0 szám, amelyre

|Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − 1| ≤ K(t) ∑_{j=1}^{n_{k}} E |e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}E (e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − 1| .  (2.6)

Valóban, vezessük be az

S_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} X_{k,l}, U_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} σ_{k,l}^{2}, 1 ≤ j ≤ n_{k}

és S_{k,0} = 0, U_{k,0} = 0 valószínűségi változókat minden k = 1, 2, … indexre. Ekkor S_{k,n_{k}} = S_{k}, U_{k,n_{k}} = U_{k}, és

Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − 1 = ∑_{j=1}^{n_{k}} E (e^{itS_{k,j}+t^{2}U_{k,j}/2} − e^{itS_{k,j−1}+t^{2}U_{k,j−1}/2})

= ∑_{j=1}^{n_{k}} Ee^{itS_{k,j−1}+t^{2}U_{k,j−1}/2}E (e^{itX_{k,j}+t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} − 1| F_{k,j−1}) .

Mivel az e^{itS_{k,j−1}+t^{2}U_{k,j−1}/2} valószínűségi változó korlátos, kisebb mint valamely K(t) csak a t paramétertől függő szám, a fenti azonosságból következik, hogy

|Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − 1| ≤ K(t) ∑_{j=1}^{n_{k}} E |E (e^{itX_{k,j}+t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} − 1|F_{k,j−1})| ,

és mivel E (e^{itX_{k,j}+t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} − 1|F_{k,j−1}) = e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − 1, innen következik a (2.6) becslés.

Annak érdekében, hogy a (2.5) formulát belássuk a (2.6) egyenlőtlenség segítségével jó becslést kell adnunk az E |e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}E (e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − 1| kifejezésekre. E kifejezések alább ismertetendő becslésének a hátterében a következő heurisztikus gondolatmenet van. Az e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} függvény Taylor sorfejtése 1+ \frac{t^{2}σ_{k,j}^{2}}{2} +⋯, az E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) függvény sorfejtése pedig (az E(X_{k,j}|F_{k,j−1}) = 0 reláció miatt)

E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) = 1 + E(itX_{k,j}|F_{k,j−1}) − \frac{E(t^{2}X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1})}{2} + ⋯ = 1 − \frac{t^{2}σ_{k,j}^{2}}{2} + ⋯

alakú. Ezért az e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}E (e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − 1 kifejezés Taylor sorfejtésének a konstans, az első és másodrendű tagja eltűnik, és ez a kifejezés kicsi. Azt várjuk, hogy emiatt jó becslést tudunk adni a (2.6) formula jobboldalára. A számolás során ki kell használni, hogy a (2.1) és (1.1) formulák miatt a σ_{k,j}^{2} valószínűségi változók kicsik.

Az e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} kifejezés e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} = 1 + \frac{t^{2}σ_{k,j}^{2}}{2} + η_{k,j}^{(1)} alakban írható alkalmas η_{k,j}^{(1)}

valószínűségi változóval, amelyre teljesül az |η_{k,j}^{(1)}| ≤ K_{1}(t)σ_{k,j}^{4} egyenlőtlenség valamely csak a t számtól függő K_{1}(t) számmal, mert σ_{k,j}^{2} ≤ 2 a (2.1) formula szerint. Hasonlóan becsülhetjük az

η_{k,j}^{(2)} = E (e^{itX_{k,j}} − 1 + \frac{t^{2}X_{k,j}^{2}}{2} | F_{k,j−1})

kifejezést. Ennek érdekében rögzítsünk egy kis ε > 0 számot, és írjuk fel az

|e^{itX_{k,j}} − 1 − itX_{k,j} + \frac{t^{2}X_{k,j}^{2}}{2} | ≤ α(X_{k,j}) = α_{ε,t}(X_{k,j})

egyenlőtlenséget, ahol α(x) = t^{2}x^{2}I(|x| > ε) + \frac{ε}{6}|t|^{3}x^{2}I(|x| ≤ ε). Valóban, ha |x| >

ε, akkor az |e^{itx} − 1 − itx + \frac{t^{2}x^{2}}{2} | kifejezésre a t^{2}x^{2} és ha |x| ≤ ε, akkor a \frac{|t|^{3}|x|^{3}}{6} ≤

ε\frac{|t|^{3}x^{2}}{6} felső becslést adva megkapjuk a fenti formulát. Felhasználva az E(X_{k,j}|F_{k,j−1}) = 0 relációt és véve az előző egyenlőtlenségben szereplő valószínűségi változók feltételes várható értékét a F_{k,j−1} σ-algebra szerint a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

|η_{k,j}^{(2)}| = |E (e^{itX_{k,j}} − 1 − itX_{k,j} + \frac{t^{2}X_{k,j}^{2}}{2} | F_{k,j−1})|

≤ E (|e^{itX_{k,j}} − 1 − itX_{k,j} + \frac{t^{2}X_{k,j}^{2}}{2} || F_{k,j−1})

≤ E(α(X_{k,j})|F_{k,j−1}) ≤ t^{2}E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) + \frac{ε}{6}|t|^{3}σ_{k,j}^{2}.

Mivel σ_{k,j}^{2} ≤ 2 a (2.1) formula miatt, ezért mind η_{k,j}^{(1)}, mind η_{k,j}^{(2)} korlátos valószínűségi változó (csak a t paramétertől függő) korláttal, és a fenti becslésekből kapjuk, hogy

|e^{t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}E (e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − 1| = |(1 + \frac{t^{2}σ_{k,j}^{2}}{2} + η_{k,j}^{(1)}) (1 − \frac{t^{2}σ_{k,j}^{2}}{2} + η_{k,j}^{(2)}) − 1|

≤ t^{4}σ_{k,j}^{4} + K_{3}(t) (|η_{k,j}^{(1)}| + |η_{k,j}^{(2)}|)
≤ K_{4}(t)(σ_{k,j}^{4} + E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) + εσ_{k,j}^{2}).

Vegyünk várható értéket az utolsó egyenlőtlenségben, és összegezzük azt minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre. Az így kapott egyenlőtlenségből és a (2.6) formulából következik, hogy

|Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − 1| ≤ K_{5}(t) (∑_{j=1}^{n_{k}} Eσ_{k,j}^{4} + ∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) + ε ∑_{j=1}^{n_{k}} Eσ_{k,j}^{2}) .

(2.7)

A (2.7) egyenlőtlenség jobboldalán levő első összeg becslésének érdekében írjuk fel, felhasználva a σ_{k,j}^{2} ≤ 2 relációt, a következő egyenlőtlenséget:

Eσ_{k,j}^{4} = E ((EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) + (EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| ≤ ε)|F_{k,j−1}))^{2}
≤ 2 (E(EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1})^{2} + E(EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| ≤ ε)|F_{k,j−1})^{2})
≤ 2Eσ_{k,j}^{2}E(X_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) + 2ε^{2}E(EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| ≤ ε)|F_{k,j−1})
≤ 4EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) + 2ε^{2}Eσ_{k,j}^{2}.

(Válasszuk ebben a becslésben ugyanazt az ε > 0 számot, mint (2.7)-ban. E becslés alapján felírhatjuk a (2.7) formula alábbi következményét.

|Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} − 1| ≤ K_{6}(t) (∑_{j=1}^{n_{k}} EX_{k,j}^{2}I(|X_{k,j}| > ε) + ε ∑_{j=1}^{n_{k}} Eσ_{k,j}^{2}) .  (2.8)

Mivel a (2.8) formula érvényes minden ε > 0 számra, ezért a (2.5) formula következik az (1.1), (2.3) és (2.8) relációkból. A martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételt bebizonyítottuk.

Rátérek a majdnem martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel bizonyítására. A természetes gondolat az, hogy az X̄_{k,j} = X_{k,j} − μ_{k,j} valószínűségi változók bevezetésével visszavezetjük a feladatot a már bebizonyított martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételre. A fő nehézséget a c) Lindeberg feltétel ellenőrzése okozza erre az új sorozatra. E nehézség leküzdésének érdekében érdemes a módszert kissé finomítani és az előző bizonyítás elején alkalmazott csonkítási eljárás természetes adaptációjával kombinálni.

A majdnem martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel bizonyítása. Vezessük be ebben az esetben is a (2.2) formulában definiált τ_{k} megállási szabályokat azzal a különbséggel, hogy jelen esetben a σ_{k,j}^{2} valószínűségi változók megegyeznek az (1.5) képletben bevezetett kifejezésekkel. Vezessük be az X̄_{k,j} = X_{k,j}I(τ_{k} ≥ j), μ̄_{k,j} = E(X̄_{k,j}|F_{k,j−1}) és σ̄_{k,j}^{2} = E(X̄_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}) − μ̄_{k,j}^{2} valószínűségi változókat is, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}. Ekkor lim_{k→∞} P (τ_{k} = n_{k}) = 1, annak valószínűsége, hogy

X̄_{k,j} = X_{k,j}, μ̄_{k,j} = μ_{k,j}, σ̄_{k,j}^{2} = σ_{k,j}^{2} minden 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre 1-hez tart, ha k → ∞, és |X̄_{k,j}| ≤ |X_{k,j}|. Ezért az előző bizonyítás érveléséhez hasonlóan a majdnem martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel bizonyítását visszavezethetjük arra az esetre, amikor a tétel feltételeinek teljesülése mellett a (2.1) reláció is érvényes.

Hagyjuk el az előbb definiált X̄_{k,j}, σ̄_{k,j}^{2} és μ̄_{k,j} valószínűségi változók jelölésében a vonást és definiáljuk segítségükkel az X̃_{k,j} = X_{k,j} − μ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókat. Azt akarjuk belátni, hogy az (X̃_{k,j}, F_{k,j}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} rendszer teljesíti a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel feltételeit. Ez a rendszer nyílvánvalóan teljesíti a tétel a) és b) feltételeit, de a c), azaz a Lindeberg feltétel teljesülése indoklásra szorul. Mivel tudjuk, hogy az (1.1) formula teljesül az X_{k,j} szériasorozatra, ahhoz, hogy bebizonyítsuk a Lindeberg feltétel teljesülését az X̃_{k,j} szériasorozatra és így befejezzük a tétel bizonyítását, elég a következő állítást igazolni: Ha egy (X_{k,j}, F_{k,j}) szériasorozat teljesíti az (1.1) feltételt, és μ_{k,j} = EX_{k,j}, akkor

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} E(X_{k,j} − μ_{k,j})^{2}I(|X_{k,j} − μ_{k,j}| > ε) = 0 minden ε > 0 számra.

Ez az összefüggés azonnal következik az alábbi lemmából, amely megegyezik Dvoretzky a bevezetésben idézett cikkének Lemma 3.3 eredményével. (Egy apró különbség van. Kényelmi okokból a Dvoretzky lemmájában szereplő 4 együtthatót 8-ra cseréltem, ennek azonban nincs jelentősége.)

Lemma. Legyen X négyzetesen integálható valószínűségi változó, F ⊂ A σ-algebra, μ = E(X|F) egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor

8EX^{2}I(|X| > ε) ≥ E(X − μ)^{2}I(|X − μ| > 2ε) minden ε > 0 számra.  (2.9)

Megjegyzés: Tudjuk, hogy E(X − E(X|F))^{2} ≤ EX^{2} tetszőleges véges második momentummal rendelkező X valószínűségi változóra. Ha az ebben az egyenlőtlenségben szereplő valószínűségi változókat csonkítjuk, akkor az egyenlőtlenség érvényét vesztheti. Viszont érvényes marad annak egy olyan gyengített változata, amely megfelel céljainknak. Ez a fenti lemma fő mondanivalója.

A Lemma bizonyítása. Véve az X valószínűségi változó feltételes eloszlását az F σalgebrára, és E-vel jelölve a várható értéket eme (véletlen) mérték szerint is, a (2.9) formula a következő egyenlőtlenségre redukálható:

8EX^{2}I(|X| > ε) ≥ E(X − EX)^{2}I(|X − EX| > 2ε) minden ε > 0 számra,

vagy ekvivalens módon az Y = X − EX helyettesítéssel

8E(Y + c)^{2}I(|Y + c| > ε) ≥ EY^{2}I(|Y | > 2ε)  (2.10)

minden valós c és ε > 0 számra, ha EY = 0 és EY^{2} < ∞.

A (2.10) egyenlőtlenség tovább redukálható. Elég azt a speciális esetet tekinteni, amikor Y eloszlása P (Y = Aq) = p, P (Y = −Ap) = q alakú valamely A > 0, 0 ≤ p, q ≤ 1, p + q = 1 számokkal. Innen következik ugyanis a (2.10) formula abban az esetben is, ha az Y valószínűségi változó a következő alakú. Létezik az Ω halmaznak olyan Ω = Ω_{1} + Ω_{2} + Ω_{3} particiója, amelyre Y = a az Ω_{1} halmazon, Y = −b az Ω_{2} halmazon valamely a > 0 és b > 0 számokkal, aP (Ω_{1}) − bP (Ω_{2}) = 0, és Y = 0 az Ω_{3} halmazon. Továbbá a (2.10) egyenlőtlenség igaz minden olyan Y valószínűségi változóra, amely véges sok értéket vesz fel, és EY = 0, mert ezek előállíthatóak olyan az előbbi tulajdonsággal rendelkező valószínűségi változók összegeként, amelyeknek a tartója diszjunkt. Ezután a (2.10) állítást megkapjuk az általános esetben, ha egy Y, EY = 0 vaószínűségi változót véges sok értéket felvevő Y_{n}, EY_{n} = 0 valószínűségi változókkal közelítünk alkalmas módon.

Tovább egyszerűsíthetjük a (2.10) egyenlőtlenség bizonyítását (a c és ε paraméterek esetleges módosításával) azzal, hogy csak olyan Y valószínűségi változókat tekintünk, amelyekre A = 1, és q ≥ \frac{1}{2} ≥ p ≥ 0. Ebben a speciális esetben a (2.10) egyenlőtlenség nyílván teljesül, ha ε ≥ \frac{q}{2}, mert ekkor a jobboldal nullával egyenlő. Ha 0 ≤ ε < \frac{q}{2}, akkor a (2.10) formula jobboldala kisebb vagy egyenlő, mint EY^{2} = pq^{2} + p^{2}q = pq, és elég megmutatni, hogy 8E(Y + c)^{2}I(|Y + c| > ε) ≥ pq minden c valós számra, ha 0 ≤ ε < \frac{q}{2}.

Ha c ≥ −\frac{q}{2}, és 0 ≤ ε < \frac{q}{2}, akkor q+c ≥ \frac{q}{2} > ε, és 8E(Y +c)^{2}I(|Y +c| > ε) ≥ 8P (Y = q)(q + c)^{2} = 8p(q + c)^{2} ≥ 2pq^{2} ≥ pq. Ha c < −\frac{q}{2}, és 0 ≤ ε < \frac{q}{2}, akkor | − p + c| > \frac{q}{2} ≥ ε, és 8E(Y + c)^{2}I(|Y + c| > ε) ≥ 8P (Y = −p)(p + |c|)^{2} = 8q(p + |c|)^{2} ≥ 2q^{3} ≥ pq. A lemmát bebizonyítottuk.

3. Néhány megjegyzés. A funkcionális centrális határeloszlástétel.

A martingálkülönbségek szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételek különböző bizonyításainak összehasonlítását az eredmény hagyományos ‘klasszikus’ bizonyításának rövid tárgyalásával kezdem.

Tekintsük egy X_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókból és F_{k,j}, k = 1, 2, …, 0 ≤ j ≤ n_{k}, rögzített k indexre növekvő σ-algebrákból álló martingál különbség

szériasorozatot, és definiáljuk az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} X_{k,j}, k = 1, 2, …, részletösszegeket. Azt

akarjuk megmutatni, hogy alkalmas feltételek teljesülése esetén az S_{k} véletlen összegek eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz, vagy ami ezzel ekvivalens, lim_{k→∞} Ee^{itS_{k}} = e^{−t^{2}/2} minden valós számra.

A hagyományos, klasszikusnak tekinthető bizonyítás a következő érvelésen alapul. Vezessünk be minden k indexre olyan Y_{k,1}, …, Y_{k,n_{k}} független, standard normális eloszlású valószínűségi változókat, amelyek függetlenek az F_{k,n_{k}} σ-algebrától, definiáljuk

a T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} d_{k,j}Y_{j} összeget, ahol d_{k,j}^{2} = EX_{k,j}^{2}, és mutassuk meg, hogy lim_{k→∞} E(e^{itS_{k}} −

e^{iT_{k}}) = 0 alkalmas feltételek teljesülése esetén. Ezt úgy látjuk be, hogy az Ee^{itS_{k}} kifejezésben szereplő S_{k} összegben kicseréljük először az X_{k,n_{k}} változót a d_{k,n_{k}}Y_{k,n_{k}} valószínűségi változóval, aztán az X_{k,n_{k}−1} változót a d_{k,n_{k}−1}Y_{k,n_{k}−1} valószínűségi változóval, és így tovább egész addig, amíg a T_{k} összeghez nem jutunk. Eközben jó becslést adunk arra, hogy az egyes cserék által mennyit változott a tekintett összeg karakterisztikus függvénye. Expliciten megfogalmazva a következő eljárást alkalmaz-

zuk. Definiáljuk az S_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} X_{k,l} + ∑_{l=j+1}^{n_{k}} d_{k,l}Y_{k,l}, 1 ≤ j ≤ n_{k} − 1, S_{k,0} = T_{k} és

S_{k,n_{k}} = S_{k} összegeket. Ekkor

E(e^{itS_{k}} − e^{itT_{k}}) = ∑_{j=1}^{n_{k}} E(e^{itS_{k,j}} − e^{itS_{k,j−1}}).  (3.1)

A centrális határeloszlástétel bizonyításához jó becslést kell adnunk az |E(e^{itS_{k,j}} − e^{iS_{k,j−1}})| kifejezésekre. Nem nehéz belátni, hogy

\begin{aligned}|E(e^{itS_{k,j}} − e^{iS_{k,j−1}})| & ≤ E |E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − Ee^{itd_{k,j}Y_{k,j}} | \\ & = E |E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}d_{k,j}^{2}/2}| . \end{aligned}  (3.2)

Vegyük észre, hogy a (3.1) és (3.2) formula együttese hasonlít a (2.6) egyenlőtlenséghez. A (3.2) formula jobboldalán levő kifejezésre jó becsést tudunk kapni, ha tekintjük az

E(e^{itX_{k,j}}|F_{k,j−1}) − e^{−t^{2}d_{k,j}^{2}/2}

kifejezésnek a t változó szerinti Taylor-sor fejtését. Vegyük észre, hogy a Taylor-sor másodrendű tagja \frac{t^{2}}{2} (d_{k,j}^{2} − σ_{k,j}^{2}), ahol σ_{k,j}^{2} = E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}). Mivel a (3.2) kifejezés jobboldalán egy valószínűségi változó abszolút értékének a várható értékét vesszük, e becslések segítségével akkor bizonyíthatjuk be a centrális határeloszlástételt, ha a

∑_{j=1}^{n_{k}} |σ_{k,j}^{2} − d_{k,j}^{2}| összeg nagy k indexre kicsi. Ilyen módon olyan eredményt kapunk,

amely sok vizsgálatban hasznos, de csak viszonylag erős feltételek mellett érvényes. A martingál különbség szériasorozatokról az első fejezetben megfogalmazott centrális határeloszlástételben viszont jóval enyhébb feltételeket írtunk elő. Ott a tipikus ‘nem

elfajuló’ esetben, amikor lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} d_{k,j}^{2} = 1, azt követeltük meg az (1.2) formulában,

hogy

∑_{j=1}^{n_{k}} (σ_{k,j}^{2} − d_{k,j}^{2}) ⇒ 0, ha k → ∞,

azaz a fenti relációban nem kellett a σ_{k,j}^{2} − d_{k,j}^{2} tagok abszolút értékét venni.

Brown és Dvoretzky bizonyításának a fő érdekessége az, hogy az előbb vázolt módszer nem triviális finomításának segítségével ilyen gyengébb feltételek mellett bizonyították be a centrális határeloszlástételt martingál különbség szériasorozatokra.

Dvoretzky az előbb tárgyalt módszerhez hasonló konstrukció segítségével bizonyította be eredményét, de ő olyan T_{k} és S_{k,j} véletlen összegeket vezetett be, ahol a d_{k,l}Y_{k,l} összeandandókat σ_{k,l}Y_{k,l} alakú tagokkal helyettesítette. Akkor tudjuk ilyen módon bebizonyítani a centrális határeloszlástételt, ha igazolni tudjuk a (3.2) formulának egy olyan változatát, amelynek középső tagjában E(e^{itσ_{k,j}Y_{k,j}}|F_{k,j−1}) = e^{−t^{2}σ_{k,j}^{2}/2} szerepel Ee^{itd_{k,j}Y_{k,j}} helyett. Egy ilyen becslés lehetővé teszi a centrális határeloszlástétel itt kimondott élesebb alakjának a bizonyítását, mert ekkor a megfelelő Taylor sorfejtésben a másodfokú tag együtthatója is nulla.

Dvoretzky egy ilyen becslést bizonyított, de csak azon plusz feltétel mellett, hogy

∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1 minden k indexre.  (3.3)

Erre a feltételre azért volt szüksége, mert ez biztosítja azon valószínűségi változók és σalgebrák függetlenségét, amelyeket a (3.2) formula módosított alakjának a bizonyításában használt. E tulajdonság megfogalmazását, amelyet Dvoretzky cikkének Lemma 3.2

eredménye tartalmaz elhagyom. (Megjegyzem, hogy T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}Y_{j} standard normális eloszlású valószínűségi változó, ha teljesül a (3.3) feltétel, mert ekkor T_{k} feltételes elosz-

lása feltéve az F_{k,n_{k}} σ-algebrát a normális eloszlás nulla várható értékkel, és ∑_{j=1}^{n_{k}} σ_{k,j}^{2} = 1

szórásnégyzettel.)

Miután Dvoretzky bebizonyította a centrális határeloszlástételt azon plusz megkötés mellett, hogy a (3.3) formula teljesül, megmutatta, hogy alkalmas, a (2.2) formulához hasonló megállási szabály bevezetésének a segítségével az általános eset visszavezethető erre a speciális esetre.

Brown itt ismertetett bizonyításának gondolatmenete hasonló Dvoretzkyéhez. Ebben a bizonyításban azonban az Ee^{itS_{k}} karakterisztikus függvény helyett először (a második fejezetben bevezetett jelöléssel) az Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} kifejezést becsüljük meg. Annak érdekében, hogy ezt megtehessük, először az eredeti szériasorozat egy olyan alkalmas módosítását definiáltuk a (2.2) képletben bevezetett τ_{k} megállási szabály segítségével, amely az eredeti szériasorozat egyfajta csonkítottjának tekinthető. Az eredeti és módosított szériasorozat sorösszegeinek a határeloszlása megegyezik, és a módosított szériasorozat megőrzi az eredeti szériasorozat martingál különbség tulajdonságát is. Ezenkívül a módosított szériasorozat segítségével definiált S_{k} és U_{k} valószínűségi változókra az Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} várható érték véges, sőt a σ_{k,j}^{2} valószínűségi változók (és azok összegei is) korlátosak.

Megjegyzem, hogy mivel ez a megállási szabály segítségével definiált módosított szériasorozat teljesíti az (1.1) Lindeberg feltételt is, ezért az X̃_{k,j} = X_{k,j}I(|X_{k,j}| ≤ ε) − E(X_{k,j}I(|X_{k,j}| ≤ ε)|F_{k,j−1}), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, képlet segítségével definiált szériasorozat az eredeti rendszer olyan kis perturbációja, amely teljesíti a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel feltételeit, és korlátos valószínűségi változókat tartalmaz. (Vegyük észre, hogy az X_{k,j}−X̃_{k,j} = X_{k,j}I(|X_{k,j}| > ε)− E(X_{k,j}I(|X_{k,j}| > ε)|F_{k,j−1}) valószínűségi változók összegei jól becsülhetőek. Továbbá az (1.1) Lindeberg feltétel azt is biztosítja, hogy az X_{k,j} valószínűségi változók kicserélése az X̃_{k,j} valószínűségi változókkal csak elhanyagolhatóan kis hibát okoz.) Ennek az észrevételnek a centrális határeloszlástétel bizonyításában nincs jelentősége, de az alább ismertetett funkcionális centrális határeloszlástétel bizonyításában hasznos lehet, mert lehetővé teszi, hogy exponenciális momentumokkal dolgozhassunk.

Dvoretzky és Brown módszerének a hasonlóságát jobban megérthetük a következő észrevétel segítségével. Az e fejezet elején bevezetett jelölésekkel

E (e^{itσ_{k,j}Y_{k,j}+t^{2}σ_{k,j}^{2}/2}|F_{k,j−1}) = E(e^{ituY_{k,j}+t^{2}u^{2}/2})|_{u=σ_{k,j}^{2}} = 1  (3.4)

minden k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre. Vezessük be a korábban definiált S_{k,j}, S_{k} és

T_{k} valószínűségi változók S̄_{k,j} = S̄_{k,j}(t) = ∑_{l=1}^{j}(itX_{k,l} + \frac{t^{2}}{2} σ_{k,l}^{2})+ ∑_{l=j+1}^{n_{k}}(itσ_{k,l}Y_{k,l} + \frac{t^{2}}{2} σ_{k,l}^{2}),

1 ≤ j ≤ n_{k} − 1, S̄_{k,0} = S̄_{k,0}(t) = T̄_{k} = ∑_{l=1}^{n_{k}}(itσ_{k,j}Y_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2}), és S̄_{k,n_{k}} = S̄_{k,n_{k}}(t) =

S̄_{k} = ∑_{l=1}^{n_{k}}(itX_{k,j} + \frac{t^{2}}{2} σ_{k,j}^{2}) megfelelőit. Ha az Ee^{itS_{k}} helyett az Ee^{itS_{k}+t^{2}U_{k}/2} = eS̄_{k}

kifejezést akarjuk először megbecsülni, akkor érdemes felírni az

EeS̄_{k} − 1 = E (eS̄_{k} − eT̄_{k}) = ∑_{j=1}^{n_{k}} E (eS̄_{k,j} − eS̄_{k,j−1})

azonosságot, és azt jól becsülni. Vegyük észre, hogy a (3.4) képlet miatt az előző fejezet (2.5) képletében és az azt követő számolásokban egy ilyen programot hajtottuk végre.

A martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel hátterében levő képet, illetve illetve Brown bizonyítását jobban megérthetjük, ha megfogalmazzuk ennek az eredménynek a funkcionális centrális határeloszlástétel változatát. Ez a funkcionális centrális határeloszlástétel informális nyelven azt állítja, hogy a martingálkülönbség szériasorozat egyes soraiban levő valószínűségi változókból természetes módon elkészített véletlen töröttvonalfüggvények nagy k indexre közelítőleg úgy viselkednek, mint egy Wiener folyamat. A Wiener folyamatok egy fontos tulajdonsága az, hogy egy W (u), u ≥ 0, Wiener folyamatra a Z_{t}(u) = e^{tW (u)−t^{2}u/2}, u ≥ 0, sztochasztikus folyamat martingál. Ezért minden szép τ megállási szabályra Ee^{Z_{t}(τ)} = 1. Ez az állítás nemcsak valós, hanem komplex t számokra is igaz. Azt várjuk, hogy ha a Wiener folyamatot egy hozzá közeli V (t) sztochasztikus folyamattal helyettesítjük, akkor Ee^{tV (τ)−t^{2}τ} ∼ 1. A centrális határeloszlástétel bizonyításában, a (2.5) formula megfogalmazásában és annak bizonyításában egy ilyen érvelést használtunk tisztán imaginárius t számmal.

A martingálkülönbség szériasorozatokról szóló funkcionális centrális határeloszlástétel megfogalmazása érdekében először bevezetek néhány jelölést.

Tekintsük minden k = 1, 2, … számra valószínűségi változók X_{k,1}, …, X_{k,n_{k}} és növekvő F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, σ-algebrák olyan rendszerét, amely teljesíti a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel feltételeit. Definiáljuk az

S_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} X_{k,j} 1 ≤ j ≤ n_{k}, S_{k,0} = 0,  (3.5)

részletösszegeket, a d_{k,j}^{2} = EX_{k,j}^{2} és σ_{k,j}^{2} = E(X_{k,j}^{2}|F_{k,j−1}), 1 ≤ j ≤ n_{k}, szórásnégyzeteket és feltételes szórásnégyzeteket. Vezessük be ezek segítségével a

z_{k,0} = 0, z_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} d_{k,j}^{2},  ζ_{k,0} = 0, ζ_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} σ_{k,j}^{2}, 1 ≤ j ≤ n_{k},  (3.6)

determinisztikus, illetve véletlen osztópontokat a pozitív félegyenesen, és a T_{k}(t) véletlen töröttvonalfüggvényt a [0, z_{0,k}] intervallumon, valamint a V_{k}(t) véletlen töröttvonal függvényt a [0, ζ_{0,k}] véletlen intervallumon a következő képletek segítségével:

\begin{aligned}T (z_{k,j}) = S_{k,j}, és T_{k}(t) & = \frac{z_{k,j+1} − t}{z_{k,j+1} − z_{k,j}} S_{k,j} + \frac{t − z_{k,j}}{z_{k,j+1} − z_{k,j}} S_{k,j+1}, \\ & ha z_{k,j} ≤ t ≤ z_{k,j+1}, 0 ≤ j < n_{k}, \end{aligned}  (3.7)

és

\begin{aligned}V (ζ_{k,j}) = S_{k,j}, és V_{k}(t) & = \frac{ζ_{k,j+1} − t}{ζ_{k,j+1} − ζ_{k,j}} S_{k,j} + \frac{t − ζ_{k,j}}{ζ_{k,j+1} − ζ_{k,j}} S_{k,j+1}, \\ & ha ζ_{k,j} ≤ t ≤ ζ_{k,j+1}, 0 ≤ j < n_{k}. \end{aligned}  (3.8)

Definiáljuk továbbá a T_{k}(·) és V_{k}(·) töröttvonalfüggvények

T̃_{k}(t) = T_{k}(tz_{k,n_{k}}),  Ṽ_{k}(t) = V_{k}(tζ_{k,n_{k}}), 0 ≤ t ≤ 1  (3.9)

transzformáltját a [0, 1] intervallumba. Megfogalmazom a martingál különbség szériasorozatokról szóló funkcionális centrális határeloszlástételt.

Funkcionális centrális határeloszlástétel martingál különbség szériasorozatokra. Legyen adva minden k = 1, 2, … számra valószínűségi változók X_{k,1}, …, X_{k,n_{k}} és növekvő F_{k,0} ⊂ F_{k,1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{k,n_{k}}, σ-algebrák olyan rendszere, amely teljesíti a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástétel feltételeit. Tekintsük a (3.5), (3.6), (3.8) és (3.9) formulák segítségével definiált Ṽ_{k}(t), k = 1, 2, …, véletlen töröttvonal függvények sorozatát. Ezek a Ṽ_{k}(t) véletlen töröttvonal függvények gyengén konvergálnak a Wiener mértékhez a C([0, 1]) térben, ha k → ∞.

A funkcionális centrális határeloszlástétel bizonyítását elhagyom, csak néhány utalást teszek arról, hogy hogyan lehet azt néhány klasszikus eredmény segítségével elvégezni. Egyrészt meg kell mutatni, hogy a véges dimenziós eloszlások konvergálnak. Ezt le lehet vezetni a martingál különbség szériasorozatokról szóló centrális határeloszlástételből alkalmas megállási szabályok segítségével. Ezenkívül szükség van az úgynevezett feszesség bizonyítására, ami bizonyos maximum egyenlőtlenséget jelent. Ilyen egyenlőtlenséget kaphatunk, kihasználva, hogy alkalmas csonkítással redukálni lehet a feladatot arra az esetre, amikor az X_{k,j} valószínűségi változók korlátosak, sőt azt is feltehetjük, hogy ez a korlát nagyon kicsi. Abból, hogy az (S_{k,j}, F_{k,j}), 1 ≤ j ≤ n_{k}, sorozatok martingált alkotnak következik, hogy az (e^{tS_{k,j}}, F_{k,j}) sorozatok szubmartingált alkotnak, és alkalmazhatjuk rájuk a szubmartingálokra érvényes maximum egyenlőtlenséget. Ezenkívül az Ee^{t(S_{k,j′} −S_{k,j})}, 1 ≤ j ≤ j′ ≤ n_{k}, momentumgeneráló függvényeket becsülhetjük a 2. fejezetben használt módszerek segítségével, és ilyen módon bebizonyíthatjuk a feszességhez szükséges egyenlőtlenséget.

A feszesség másként is bizonyítható. Brown cikkében ezt az ott bebizonyított Lemma 4 segítségével tette, amely a martingálok más tulajdonságain alapul. Egy lényeges különbség az itt kimondott és a Brown cikkben tárgyalt funkcionális centrális határeloszlástétel között az, hogy Brown cikkében ez az eredmény a z_{k,j} determinisztikus osztópontok segítségével definiált T_{k}(t), itt pedig a véletlen ζ_{k,j} osztópontok segítségével definiált V_{k}(t) töröttvonalfüggvény T̃_{k}(t) illetve Ṽ_{k}(t) átskálázásaira mondja ki a konvergenciát. A különbség oka az, hogy Brown cikke csak azt a speciális esetet tekinti, amikor a szériasorozatok egy martingál részsorozatainak a normalizáltjaiként jelennek meg. Ekkor az (1.2) formulának az az erősebb alakja is érvényes, hogy lim_{k→∞} \frac{ζ_{k,[kt]}}{z_{k,[kt]}} ⇒ 1

minden 0 < t ≤ 1 számra, ahol [x] az x szám egész részét jelöli. Ennek következtében ebben a speciális esetben jogunk van a ζ_{k,j} véletlen osztópontokat a z_{k,j} determinisztikus osztópontokkal helyettesíteni. De az általános esetben ezt nem tehetjük meg.

Az itt kimondott centrális határeloszlástétel nem a a martingálkükönbség sorozat részletösszegeiből a (3.7) képletben természetes módon definiált véletlen T_{k}(t) töröttvonalfüggvényről állítja, hogy nagy k indexekre hasonlóan viselkedik egy Wiener folyamathoz, hanem annak egy V_{k}(t) véletlen átskálázázottjáról. Azt mondhatjuk, hogy a természetes időskálát nem a szórásnégyzetek z_{k,j} részletösszegei, hanem a feltételes szórásnégyzetek ζ_{k,j} részletösszegei határozzák meg. Hasonló jelenséggel találkozhatunk például egy az idő paramétertől függő X(t) = ∫_{0}^{t} e(s)W ( ds) Itô integrál jellemzésénél. Egy ilyen sztochasztikus folyamat átskálázható alkalmas ‘belső idő’ bevezetésével Wiener folyamattá. (Lásd H. P. McKean: Stochastic integrals című könyvének 2.5 fejezetét.) Részletesebben megfogalmazva az igaz, hogy ha X(t) = ∫_{0}^{t} f(s, ω)W ( ds) egy Itô integrál, és bevezetjük a τ(t) = ∫_{0}^{t} f^{2}(s, ω) ds ‘belső időt’, akkor Y (t) = X(τ^{−1}(t)) egy (esetleg véletlen időpontban megállított) Wiener folyamat.