\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=2.7pt plus 1pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script =cmcsc10
 
\noindent {\bf Hat\'areloszl\'ast\'etelek \'es korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asok.} \ \ {\rm III. r\'esz} \hfill\break
{\it (Funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.)}
 
\beginsection 1. Bevezet\'es. A probl\'em\'ak megfogalmaz\'asa.
 
A {\it Hat\'areloszl\'ast\'etelek \'es korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok.}\/ t\'ema le\'{\i}r\'as\'anak II. r\'esz\'enek els\H{o}
t\'etel\'eben megadtuk annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, hogy az egyenletes ki\-csi\-s\'eg felt\'etel\'et
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozat egyes soraiban szerepl\H{o}
v\'altoz\'ok \"osszegeib\H{o}l egy alkalmas konstanst levonva olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat kapjunk, amelyeknek l\'etezik
hat\'areloszl\'asuk. Kimondjuk \'ujra e t\'etel el\'egs\'eges
r\'esz\'et. Ut\'ana megadjuk ennek az eredm\'enynek egy m\'asik
bizony\'{\i}t\'as\'at, illetve t\'argyalni fogjuk annak egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amelyben azt bizony\'{\i}tjuk be, hogy
alkalmas felt\'etelek mellett az \"osszegek sorozat\'ab\'ol
term\'eszetes m\'odon elk\'esz\'{\i}tett t\"or\"ottvonalf\"uggv\'enyek
teljes\'{\i}tenek egy funkcion\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt. Ennek a t\'argyal\'asnak
egyik c\'elja az, hogy jobban meg\'erts\"uk az eddig t\'argyalt
ered\-m\'e\-nyek h\'atter\'et. A t\'argyaland\'o eredm\'eny a
k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf 1.~T\'etel.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
$j=1,\dots,n_k$, az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozat $F_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyekkel. Vezess\"uk be az
$$
M_k(\,dx)=\sum_{j=1}^{n_k}x^2 F_{k,j}(\,dx), \quad k=1,2,\dots \tag1.1
$$
kanonikus m\'ert\'ekeket a sz\'amegyenesen, r\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $a>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
$$
\tau(x)=\tau_a(x)=\cases
x&\text{ha }|x|\le a\\
a&\text{ha }x\ge a  \\
-a&\text{ha }x\le -a
\endcases  \tag1.2
$$
f\"uggv\'enyt. Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
$E\tau(\xi_{k,j})=0$ azonoss\'agot minden $k=1,2,\dots$, $1\le
j\le n_k$ indexre, \'es az $M_k$ m\'ert\'ekek konverg\'alnak egy $M_0$
kanonikus m\'ert\'ekhez a sz\'amegyenesen.
 
Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegek  eloszl\'asban
konverg\'alnak egy eloszl\'ashoz, amelynek $\varphi(t)$,
$-\infty<t<\infty$, karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, pontosabban
annak (l\'etez\H{o}) logaritmus\'at a
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M_0(\,du) \tag1.3
$$
k\'eplet adja meg, ahol az $M_0$ kanonikus m\'ert\'ek az $M_k$
m\'ert\'ekek
hat\'ar\'ert\'eke, a $\tau$ f\"uggv\'enyt pedig az (1.2) formul\'aban
defini\'altuk.} 

\medskip
 Az eredm\'eny jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben felid\'ezz\"uk, hogy
egy a sz\'amegyenesen defini\'alt $M$ m\'ert\'eket kanonikusnak
nevez\"unk, ha
$$
M([-a,a])<\infty,\quad \text{\'es} \quad \int_{\{|x|>a\}}
\frac1{x^2}M(\,dx)<\infty
$$
minden v\'eges $a>0$ sz\'amra. Kanonikus m\'ert\'ekek $M_k$ sorozata,
$k=1,2,\dots$, akkor konverg\'al (gyeng\'en) egy $M_0$ kanonikus 
m\'ert\'ekhez, ha
$$
\aligned
\lim_{k\to\infty}M_k^+(x)&=
\lim_{k\to\infty}\int_x^\infty\frac1{u^2}M_k(\,du)=
M_0^+(x)=\int_x^\infty\frac1{u^2}M_0(\,du), \\
\lim_{k\to\infty}M_k^-(x)&=
\lim_{k\to\infty}\int_{-\infty}^{-x}\frac1{u^2}M_k(\,du)
=M_0^-(x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac1{u^2}M_0(\,du),
\endaligned \tag1.4
$$
minden olyan $x>0$ sz\'amra, ahol az $M_0^+(x)$ illetve $M_0^-(x)$
f\"uggv\'eny folytonos, \'es
$$
\lim_{k\to\infty} M_k\{[a,b]\}=M_0\{[a,b]\}
$$
minden olyan $-<\infty<a<b<\infty$ sz\'amra, ahol az $M_0$ m\'ert\'ek
folytonos. (Az $M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'aga az $a$ \'es $b$
pontokban azt jelenti, hogy $M_0(\{a\})=M_0(\{b\})=0$).
 
Az 1.~T\'etel, illetve a benne szerepl\H{o} (1.3) formula pontos
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben defini\'alni kell az (1.3) formul\'aban
szerepl\H{o} integrandust az $u=0$ pontban is. Ezt folytonoss\'agi
meggondol\'asok alapj\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tessz\"uk:
$$
\left.\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}\right|_{u=0}=
\lim_{u\to0}\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}=-\frac{t^2}2.
$$
 
A fentebb megfogalmazott 1.~T\'etel a {\it Hat\'areloszl\'ast\'etelek
\'es korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok.} II.\ r\'esz\'enek 1.
T\'etel\'eben szerepl\H{o} eredm\'enynek csak az egyik fel\'et
tartalmazza, a hat\'areloszl\'ast\'etel kimond\'as\'at az el\'egs\'eges
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en. S\H{o}t ezt az \'all\'{\i}t\'ast
is csak abban az esetben mondja ki, ha teljes\"ul az
$E\tau(\xi_{k,j})=0$ felt\'etel minden $k=1,2,\dots$ \'es $1\le j\le
n_k$ indexre. Viszont az \'altal\'anos eset egyszer\H{u}en
visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre a II.\ r\'eszben
szerepl\H{o} 2.~lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A t\'etel kimond\'asa
ebben az esetben egyszer\H{u}bb, ekkor az $M_k$ ka\-no\-ni\-kus
m\'ert\'ekek konvergenci\'aja a ka\-no\-ni\-kus $M_0$
hat\'arm\'ert\'ekhez helyettes\'{\i}ti
a II.\ r\'eszben szerepl\H{o} bonyolultabb felt\'eteleket.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'aiban gyakran
az \"osszeadand\'okb\'ol kivonjuk a v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eket, \'es
csak nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszegeit vizs\-g\'al\-juk. Az
$E\tau(\xi_{k,j})=0$ felt\'etel megfogalmaz\'asa ennek az elvnek a
m\'odos\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos esetben, amikor a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak nem felt\'etlen\"ul
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk.
 
Az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at a m\'asodik r\'esz
bizony\'{\i}t\'as\'at\'ol l\'enyegesen elt\'er\H{o} m\'odszerrel
l\'atjuk be. Az al\'abbi viszonylag egyszer\H{u} \'es a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben bebizony\'{\i}tott eredm\'enyt fogjuk
haszn\'alni.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen $S_k$ \'es $T_k$, $k=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyre az $S_k-T_k$
k\"ul\"onbs\'egek sorozata sztochasztikusan tart null\'ahoz
$k\to\infty$ eset\'eben. Ha az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz,
akkor az $T_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata is
konverg\'al ugyanahhoz az $F$ eloszl\'ashoz.
 
S\H{o}t igaz ennek az eredm\'enynek a k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa is. Legyen adva egy $(X,\rho)$
szepar\'abilis, metrikus t\'er \'es $(X,\rho)$ t\'er
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak k\'et
$S_k$ \'es $T_k$, $k=1,2,\dots$, sorozata, amelyre a $\rho(S_k,T_k)$
t\'avols\'ag
sztochasztikusan tart null\'ahoz, $k\to\infty$ eset\'eben. Ha az $S_k$
sorozat eloszl\'asban konverg\'al egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekhez az $(X,\rho)$ t\'eren, akkor a $T_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata is konverg\'al
ugyanahhoz a $\mu$ m\'ert\'ekhez.}

\medskip\noindent
 Az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban a T\'etel~A els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'ara van csak sz\"uks\'eg\"unk. A T\'etel~A
m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at az\'ert mondtuk ki \'es az\'ert fogjuk
bebizony\'{\i}t\'ani, mert az 1.~T\'etelnek egy funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel v\'altozat\'at is t\'argyalni fogjuk, \'es
annak vizsg\'alat\'aban erre az \'all\'{\i}t\'asra lesz
sz\"uks\'eg\"unk. Az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o lesz a
Poisson ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek az els\H{o} r\'esz
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben adott bizony\'{\i}t\'as\'ahaz.
A T\'etel~A seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atjuk, hogy az 1.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'asa reduk\'alhat\'o olyan
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok konvergenci\'aj\'anak
a bizony\'{\i}t\'as\'ara, amelyek eloszl\'asai korl\'atlanul
oszt\-ha\-t\'o\-ak, \'es az ezeket az eloszl\'asokat meghat\'aroz\'o
kanonikus m\'ert\'ekek is konverg\'alnak. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'ast szint\'en a T\'etel~A seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk
bel\'atni.
 
Ahhoz, hogy a fent v\'azolt programot v\'egre tudjuk hajtani
el\H{o}sz\"or c\'elszer\H{u} az 1.~T\'etelben szerepl\H{o} $M_k$
kanonikus m\'ert\'ekeket sz\'etv\'alasztani k\'et r\'eszre, amelyek
k\"oz\"ul az egyik biztos\'{\i}tja a korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'as norm\'alis a m\'asik pedig a Poisson komponens\'enek a
konvergenci\'aj\'at. Ez a tartalma a k\"ovetkez\H{o} 1.~Lemm\'anak.

\medskip\noindent
{\bf 1.~Lemma.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozat, $F_{k,j}$ a $\xi_{k,j}$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye, $G_{k,j}(\,dx)=x^2F_{k,j}(\,dx)$.
Tegy\"uk fel, hogy az $M_k=\summ_{j=1}^{n_k}G_{k,j}$ kanonikus
m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak egy $M_0$ kanonikus
m\'ert\'ekhez. \'Irjuk az $M_0$ m\'ert\'eket $M_0=M'_0+M''_0$ alakban,
ahol $M'_0$ az $M_0$ m\'ert\'ek orig\'oba es\H{o} r\'esze, azaz minden
m\'erhet\H{\o} $A\subset R^1$ halmazra  $M'_0(A)=0$, ha $0\notin
A$, \'es $M'_0(A)=M_0(\{0\})$, ha $0\in A$, tov\'abb\'a
$M''_0=M_0-M'_0$. Ekkor
l\'etezik olyan $\e_k>0$, $\e_k\to0$, ha $k\to\infty$, sz\'amsorozat,
amely\-re az $M'_k$, $M'_k(A)=M_k(A\cap I(\{|x|<\e_k\})$ m\'ert\'ekek
gyeng\'en konverg\'alnak az $M'_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez, az $M''_k$,
$M''_k(A)=M_k(A\cap I\{|x|\ge\e_k\})$ m\'ert\'ekek pedig gyeng\'en
konverg\'alnak az $M''_0$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekhez, ahol 
$I(B)$ a $B$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}(1-F_{k,j}(\e_k))=0$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}F_{k,j}(-\e_k)=0$, s\H{o}t
teljes\"ul a
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}
[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)]^2=0. \tag1.5
$$
rel\'aci\'o is.} 

\medskip\noindent
Megadjuk az 1.~Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt a konstrukci\'ot, 
amely lehet\H{o}v\'e teszi az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
redukci\'oj\'at korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'anak vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra. K\'enyelmi okokb\'ol 
az 1.~T\'etelben szerepl\H{o} $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok helyett vel\"uk azo\-nos eloszl\'as\'u $\bar\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat fogunk tekinteni.
 
Teljes\'{\i}tse a $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat az 1.~T\'etel felt\'eteleit. Minden $(k,j)$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$ sz\'amp\'arra tekints\"uk a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es defini\'aljuk az
$\bar\nu_{k,j}(A)=P(\xi_{k,j}\in A|\,|\xi_{k,j}|<\e_k)$,
$\bar{\bar\nu}_{k,j}(A)=P(\xi_{k,j}\in A|\,|\xi_{k,j}|\ge \e_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket, \'es
$p_{k,j}=P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)$ sz\'amokat, ahol $A\in\bold R^1$
m\'erhet\H{o} halmaz, \'es az $\e_k$ sz\'amok olyanok, amelyekkel az
1.~Lemma \'all\'{\i}t\'asai teljes\"ulnek. Legyenek $\eta'_{k,j}$,
$j=1,\dots,n_k$, f\"uggetlen, $\bar\nu_{k,j}$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Tekints\"unk tov\'abb\'a
f\"uggetlen $\zeta_{k,j}$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat $\bar p_{k,j}$
param\'eterrel, ahol a $\bar p_{k,j}$ sz\'am az $1-e^{-\bar
p_{k,j}}=p_{k,j}$ egyenlet megold\'asa, amelyek f\"ug\-get\-le\-nek az
$\eta'_{k,j}$ v\'altoz\'okt\'ol is. Legyenek $\gamma_{k,j,l}$, $1\le
j\le n_k$, $l=1,2,\dots$, egym\'ast\'ol \'es az \"osszes eddig
konstru\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $\gamma_{k,j,l}$,
$l=1,2,\dots$, $\bar{\bar\nu}_{k,j}$ eloszl\'as\'u.
 
A m\'ar defini\'alt $\eta'_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok mellett defini\'aljuk az
$\eta''_{k,j}=\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}\gamma_{k,j,l}$,
$\xi'_{k,j}=\eta'_{k,j}I(\zeta_{k,j}=0)$,
$\xi''_{k,j}=\gamma_{k,j,1}I(\zeta_{k,j}\ge1)$,
$\tilde\xi_{k,j}=\xi'_{k,j}+\xi''_{k,j}$, \'es
$\eta_{k,j}=\eta'_{k,j}+\eta''_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Bel\'atjuk, hogy a fent
konstru\'alt $\tilde\xi_{k,j}$ \'es $\eta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az al\'abb
megfogalmazand\'o 1.~Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at, amely
lehet\H{o}v\'e teszi az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at reduk\'alni
az egyszer\H{u}bben vizsg\'alhat\'o $\eta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
vizsg\'alat\'ara.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy a $\gamma_{k,j,1},\dots,\gamma_{k,j,\zeta_{k,j}}$
Poisson folyamat $\bar p_{k,j}\bar{\bar\nu}_{k,j}$ sz\'am\-l\'a\-l\'o
m\'er\-t\'ek\-kel. Ez\'ert, mint azt az I.~r\'eszben l\'attuk az
$\eta''_{k,j}=\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}\gamma_{k,j,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'as\'u, \'es karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek logaritmusa
$$
\log \varphi_{k,j}(t)=\log Ee^{it\eta''_{k,j}}=\int
(e^{itu}-1)\bar p_{k,j}\bar{\bar\nu}_{k,j}(\,du)
=\frac{\bar p_{k,j}}{p_{k,j}}
\int_{\{|u|\ge\e_k\}}\frac{e^{itu}-1}{u^2}G_{k,j}(\,du), \tag1.6
$$
ahol $G_{k,j}(\,du)=u^2 F_{k,j}(\,du)$ megegyezik az 1.~Lemm\'aban
defini\'alt $G_{k,j}$ m\'ert\'ekkel.

 
\medskip\noindent
{\bf 1. Seg\'edt\'etel.} {\it Teljes\'{\i}tse a $\xi_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat a 1.~T\'etel
felt\'eteleit. Ekkor a fent megadott az 1.~Lemma eredm\'eny\'et
felhaszn\'al\'o konstrukci\'o teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat: A konstru\'alt
$\tilde\xi_{k,j}=\xi_{k,j}'+\xi_{k,j}''$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa megegyezik
$\xi_{k,j}$ v\'altoz\'ok eloszl\'as\'aval, $\eta'_{k,j}$ \'es
$\eta''_{k,j}$ k\'et f\"uggetlen sz\'eriasorozat, azaz
r\"ogz\'{\i}tett $k$ indexre az $\eta'_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\eta''_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek.
Tov\'abb\'a, $P(|\xi'_{k,j}|\le\e_k)=P(|\eta'_{k,j}|\le\e_k)=1$ az
1.~Lemm\'aban bevezetett $\e_k$, $k=1,2,\dots$, sz\'amokkal.
Tov\'abb\'a
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}|E\xi'_{k,j}-E\eta'_{k,j}|=0 \tag1.7
$$
\'es teljes\"ul az
$$
\aligned
&\sup_{1\le p\le n_k}\left|\sum_{j=1}^p(\xi'_{k,j}-E\xi'_{k,j})
-(\eta'_{k,j}-E\eta'_{k,j})\right|\Rightarrow0, \\
&\sup_{1\le p\le n_k}\left|\sum_{j=1}^p (\xi''_{k,j}
-E\tau(\xi''_{k,j}))-(\eta''_{k,j}-E\tau(\eta''_{k,j}))\right|
\Rightarrow0
\endaligned \tag1.8
$$
rel\'aci\'o, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at
jel\"ol. A $\summ_{j=1}^{n_k}(\eta''_{k,j}-E\tau(\eta''_{k,j}))$
\"osszeg ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'enek logaritmusa
kifejezhet\H{o} egy az $M_k''$ m\'ert\'ekhez k\"ozellev\H{o}
$\bar M_k''$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
\log E\exp\left\{it\(\sum_{j=1}^{n_k}
(\eta''_{k,j}-E\tau(\eta''_{k,j}))\)\right\}=\int
\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}\bar M''_k(\,du), \tag1.9
$$
ahol $\bar M_k''(\,du)=M''_k(\,du)+\summ_{j=1}^{n_k}
\frac{\bar p_{k,j}-p_{k,j}}{p_{k,j}}G'_{k,j}(\,du)$, \'es $G'_{k,j}$
a $G_{k,j}$ m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa az $\bold R^1\setminus
[-\e_k,\e_k]$ halmazra.

Az $\eta'_{k,j}-E\eta'_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a centr\'alis
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$M_0(\{0\})$ sz\'or\'asn\'egyzettel.} 
\medskip\noindent

Megfogalmazunk egy eredm\'enyt korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'okr\'ol, amelyik
lehet\H{o}v\'e teszi az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
befejez\'es\'et. Eml\'ekeztet\H{o}\"ul id\'ezz\"uk fel, hogy
amennyiben $M$ kanonikus m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, Poisson folyamat a sz\'amegyenesen egy olyan
$\mu$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel, amelyet a
$\mu(du)=\frac{M(\,du)}{u^2}$ k\'eplet hat\'aroz meg,
azaz egy $A$ halmazba es\H{o} pontok sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u
$\int_{A}\frac1{u^2}\,M(\,du)$ param\'eterrel, \'es diszjunkt
halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama f\"ug\-get\-len
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, akkor az
$\eta=\eta_M=\summ_{n=1}^\infty \xi_n- E\(\summ_{n=1}^\infty
\tau(\xi_n)\)$ \"osszeg, ahol a $\tau(\cdot)$ f\"uggv\'enyt az (1.1)
k\'epletben defini\'altuk, egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens,
\'es $\eta_M$ kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Pontosabban, az $\eta_M$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot az
$$
\eta_M=\limm_{L\to\infty}\(\(\summ_{n\colon\;|\xi_n|>2^{-L}}
\xi_n\)-E\(\sum_{n\colon\;|\xi_n|>2^{-L}}\tau(\xi_n)\)\)
$$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhatjuk. Az els\H{o} r\'eszben
bel\'attuk, hogy a fenti limesz egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
l\'etezik. Ezen $\eta=\eta_{M}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a logaritmus\'at a
$$
\log\varphi(t)=\log\varphi_{M}(t)
=\int\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}M(\,du) \tag1.10
$$
k\'eplet adja meg. Az el\H{o}bb defini\'alt $\eta_{M}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a $\mu$
 sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $\zeta_1,\zeta_2,\dots$ Poisson
folyamat \'altal meghat\'arozott korl\'atlanul oszthat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak fogjuk nevezni.
Megfogalmazzuk az al\'abbi eredm\'enyt. 

\medskip\noindent
{\bf 2.~Seg\'edt\'etel.} {\it Legyen $M_k$, $k=1,2,\dots$, kanonikus
m\'ert\'ekek sorozata, amelyek gyen\-g\'en konverg\'alnak egy $M_0$
kanonikus m\'ert\'ekhez. Teljes\"ulj\"on tov\'abb\'a az
$M_0(\{0\})=0$ \'es $M_k(\{0\})=0$, $k=1,2,\dots$, felt\'etel.
Legyen $\mu_k(\,du)=\frac{M_k(\,du)}{u^2}$, $k=0,1,2,\dots$.
Ekkor defini\'alhat\'oak  olyan $\mu_k$, $k=1,2,\dots$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
$\xi_{k,1},\xi_{k,2},\dots$, \'es $\mu_0$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
$\bar\xi_{k,1},\bar\xi_{k,2},\dots$, Poisson folyamatok,
amelyekre a $\xi_{k,1},\xi_{k,2},\dots$ Poisson folyamatok
\'altal  meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott (az (1.9) formula ut\'an 
defini\'alt) $\eta_k$ \'es a $\bar\xi_{k.1},\bar\xi_{k,2},\dots$ 
Poisson folyamatok \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott 
$\bar\eta_k$ korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik
az $\eta_k-\bar\eta_k\Rightarrow0$ rel\'aci\'ot, ahol $\Rightarrow$
sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol. (Megjegyezz\"uk, hogy a
$\bar\eta_k$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asa nem f\"ugg a $k$ indext\H{o}l).}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ N\'emi tov\'abbi munk\'aval a 2.~Seg\'edt\'etel
n\'emileg \'elesebb v\'altozata is bizony\'{\i}that\'o. Lehet olyan
konstrukci\'ot is adni, amelyben $\bar\eta_k=\bar\eta$, azaz ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nem f\"ugg a $k$ indext\H{o}l.
Tov\'abb\'a el\'erhet\H{o} az is, hogy az $\eta_k-\bar\eta_k\to0$
rel\'aci\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teljes\"ulj\"on.  Viszont
az \'altalunk megfogalmazott gyeng\'ebb eredm\'eny egyszer\H{u}bben
bizony\'{\i}that\'o, \'es a vizsg\'alt probl\'em\'aban ugynanolyan
j\'ol haszn\'alhat\'o. Ez\'ert fogalmaztuk meg a 2.~Seg\'edt\'etelt
ebben az alakban. 
\medskip\noindent
 
Megmutatatjuk, hogy az 1. \'es 2. Seg\'edt\'etelb\H{o}l valamint a
T\'etel~A-b\'ol k\"ovetkezik az 1.~T\'etel. Tekints\"uk az 1.
T\'etelben konstru\'alt $\eta_{k,j}'$, $\eta_{k,j}''$,
\'es $\eta_{k,j}=\eta_{k,j}'+\eta_{k,j}''$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat valamint a
$T_k=\summ_{j=1}^{n_k}(\eta_{k,j}-E\tau(\eta_{k,j}))$,
$T'_k=\summ_{j=1}^{n_k}(\eta_{k,j}'-E\eta_{k,j}')$
\'es $T_k''=\summ_{j=1}^{n_k}(\eta_{k,j}''-E\tau(\eta_{k,j}''))$
\"osszegeket. El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy a $T_k$ \"osszegek
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan eloszl\'ashoz, amely\-nek
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek logaritmus\'at az (1.3) formula
adja meg. Val\'oban, $T_k=T'_k+T_k''$, a $T'_k$ \'es $T_k''$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, a $T'_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $M_0(\{0\})$
sz\'or\'asn\'enyzet\H{u} norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz az 1.~Seg\'edt\'etel alapj\'an. M\'asr\'eszt a $T_k''$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $M''$ kanonikus m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott korl\'atlanul 
oszt\-ha\-t\'o eloszl\'ashoz. Ez k\"ovetkezik a 2.~Seg\'edt\'etelb\H{o}l 
\'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy az (1.9) formul\'aban szerepl\H{o} 
$\bar M_k''$ kanonikus m\'er\-t\'e\-kek konverg\'alnak ahhoz az 
ahhoz az $M_0''$ kanonikus m\'ert\'ekhez, amelyik az $M_0$ m\'ert\'ek 
megszor\'{\i}t\'asa az $\bold R^1\setminus\{0\}$ halmazra. Az 
$\bar M''_k$ kanonikus m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aja az $M_0''$
kanonikus m\'ert\'ekhez k\"ovetkezik abb\'ol a t\'enyb\H{o}l,
az $M_k$ m\'ert\'ekek megszor\'{\i}t\'asai a 
$\bold R^1\setminus[-\e_k,\e_k]$ halmazokra konverg\'alnak az $M''_0$ 
m\'ert\'ekhez az 1.~Lemma eredm\'enye szerint, tov\'abb\'a a 
$\summ_{j=1}^{n_k}\frac{\bar p_{k,j}-p_{k,j}}{p_{k,j}}G_{k,j}(\,du)$
m\'ert\'ekek konverg\'alnak az azonosan nulla m\'ert\'ekhez. Ez 
ut\'obbi rel\'aci\'o az\'ert igaz, mert 
$\frac{\bar p_{k,j}-p_{k,j}}{p_{k,j}}\ge0$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}
\frac{\bar p_{k,j}-p_{k,j}}{p_{k,j}}\to0$. Val\'oban, a 
$\bar p_{k.j}$ mennyis\'eg $1-e^{-\bar p_{k,j}}=p_{k,j}$ 
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy 
$\bar p_{k,j}=-\log(1-p_{k,j})$, ahonnan nagy $k$ indexekre, (mivel 
ekkor $p_{k,j}$ nagyon kicsi minden $j$ indexre)
$p_{k,j}\le\bar p_{k,j}\le p_{k,j}+p_{k,j}^2$. Ez\'ert teljes\"ulnek 
a $p_{k,j}$ \'es $\bar p_{k,j}$ mennyis\'egekre megfogalmazott
rel\'aci\'ok.
 
V\'eg\"ul az 1.~Seg\'edt\'etel \'es a T\'etel~A lehet\H{o}v\'e teszi
az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'et. Ezen
\'eredm\'enyek miatt el\'eg megmutatni azt, hogy az
az 1.~Seg\'edt\'etelben defini\'alt $\tilde\xi_{k,j}$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
$\tilde S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\tilde \xi_{k,j}
=\summ_{j=1}^{n_k}\(\tilde \xi_{k,j}-E\tau(\tilde \xi_{k,j})\)$
\"osszegei teljes\'{\i}tik az 1.~T\'etelt. Ez viszont igaz, mert az 
(1.8)~formula alapj\'an $\tilde S_k-T_k\Rightarrow0$, ahol
$\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol. Ez\'ert a
$T_k$ sorozatra m\'ar bebizony\'{\i}tott konvergenci\'ab\'ol \'es a
T\'etel~A-b\'ol k\"ovetkezik az 1.~T\'etel.
 
Egy olyan \'all\'{\i}t\'ast is bizony\'{\i}tani fogunk a fenti
perturb\'aci\'os elv seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely szerint n\'eh\'any
term\'eszetes tov\'abbi meg\-k\"o\-t\'es eset\'en nem\-csak a
sor\-\"ossze\-gek\-re vonatkoz\'o hat\'areloszl\'ast\'etel, hanem annak
egy \'elesebb v\'altozata, az \'ugy\-ne\-ve\-zett funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel is \'erv\'enyes. Azt l\'atjuk be, hogy ha
nem\-csak az egyes sz\'eriasorozatok \"osszes elem\'enek az
eloszl\'asf\"uggv\'enyeib\H{o}l k\'esz\'{\i}tett kano\-ni\-kus
m\'ert\'ekek, hanem a sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok r\'eszlet\"osszegeihez
tartoz\'o term\'eszetes m\'odon defini\'alhat\'o kano\-ni\-kus
m\'ert\'ekek is konverg\'alnak, akkor \'elesebb \'all\'{\i}t\'as
is \'erv\'enyes. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megfogalmaz\'asa
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or felid\'ezz\"uk annak az irodalomban
$D([0,1])$ t\'ernek nevezett metrikus t\'er fogalm\'at, ahol az
eredm\'enyt meg tudjuk fogalmazni.
 
Azt mondjuk, hogy egy $x(t)$, $0\le t\le1$, f\"uggv\'eny cadlag
f\"uggv\'eny (continue \`a droite, limite \`a gauche), ha az $x(t)$
f\"uggv\'eny minden pontj\'aban jobbr\'ol folytonos, \'es l\'etezik
baloldali hat\'ar\'ert\'eke. A cadlag f\"uggv\'enyek alkotj\'ak a
$D([0,1])$ teret alkalmas metrik\'aval e f\"uggv\'enyek ter\'en. Az
egyik lehets\'eges metrika ezen a t\'eren a k\"ovetkez\H{o}
$d(\cdot,\cdot)$ t\'avols\'ag: Legyen $x,y\in D([0,1])$, k\'et cadlag
f\"uggv\'eny, $\e>0$ val\'os sz\'am. A $d(x,y)\le \e$ rel\'aci\'o
akkor teljes\"ul, ha l\'etezik olyan szigor\'uan monoton n\"ovekv\H{o}
folytonos $\lambda(t)$ f\"uggv\'eny, amely a $[0,1]$ intervallumnak
\"onmag\'ara vett homomorfizmusa, $\supp_{0\le t\le 1}
|\lambda(t)-t|\le \e$, \'es $\supp_{0\le t\le 1}|y(t)-x(\lambda(t))|
\le\e$.
 
A $D([0,1])$ t\'er a fenti metrik\'aval szepar\'abilis, de nem teljes
metrikus t\'er. Az, hogy k\'et $x(\cdot)$ \'es $y(\cdot)$ cadlag
f\"uggv\'eny k\"ozel van egym\'ashoz a fenti $d(\cdot,\cdot)$ metrika
szerint azt fejezi ki, hogy b\'ar a szupr\'emum norma szerint ez a k\'et
f\"uggv\'eny t\'avol lehet egym\'ast\'ol, de az egyik f\"uggv\'eny
param\'etertartom\'any\'anak kis transzform\'aci\'oj\'aval
a k\'et f\"uggv\'eny k\"ozel vihet\H{o} egym\'ashoz.
 
Nem ez az egyetlen lehet\H{o}s\'eg egy metrika bevezet\'es\'enek a
$D([0,1])$ t\'eren. De\-fi\-ni\'al\-hat\-juk p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} $d_0(\cdot,\cdot)$ metrik\'at a $D([0,1])$ t\'eren.
Legyen $x(\cdot)$, $y(\cdot)$ k\'et cadlag f\"uggv\'eny. Azt mondjuk,
hogy $d_0(x,y)\le\e$, ha l\'etezik a $[0,1]$ intervallumnak olyen
$\lambda(\cdot)\colon\; [0,1]\to [0,1]$ homomorfizmusa \"onmag\'ara, 
amelyre
$$
\lambda(0)=0, \quad 
\supp_{t\neq s}\log\left|\frac{\lambda(t)-\lambda(s)}{t-s}\right|\le\e, 
\quad \text{\'es } |x(t)-y(\lambda(t))|\le\e
\text{ minden $t\in [0,1]$ sz\'amra.} 
$$
Be lehet l\'atni, hogy a $d(\cdot,\cdot)$ \'es $d_0(\cdot,\cdot)$ 
metrik\'ak ugyanazt a topol\'ogi\'at defini\'alj\'ak a $D([0,1])$ 
t\'eren. A l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az, hogy a $D([0,1])$ t\'er a 
fenti $d_0(\cdot,\cdot)$ t\'avols\'aggal teljes szepar\'abilis 
metrikus t\'er, m\'{\i}g a $d_0(\cdot,\cdot)$ t\'avols\'aggal nem az.
 
Megjegyezz\"uk, hogy a T\'etel~A eredm\'eny\'enek megfogalmaz\'as\'aban
csak azt tett\"uk fel, hogy a tekintett $(X,\rho)$ metrikus t\'er
szepar\'abilis, de nem k\"ovetelt\"uk meg, hogy teljes is legyen. Ez
teszi lehet\H{o}v\'e, hogy a $d$ metrik\'at haszn\'alhassuk a
tov\'abbiakban.
 
A 2.~T\'etel megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezet\"unk n\'eh\'any
jel\"ol\'est. Adva egy az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
$\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat, ahol $F_{k,j}$ jel\"oli
a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et defini\'aljuk az
$$
S_{k,0}=0, \quad S_{k,l}=\sum_{j=1}^l \xi_{k,j},\quad 1\le l\le n_k
\tag1.11 
$$
r\'eszlet\"osszegeket, illetve r\"ogz\'{\i}tve minden $k=1,2,\dots$
sz\'amra egy alkalmas $0=u_{k,0}\le u_{k,1}\le u_{k,2}\le\cdots\le
u_{k,n_k}=1$ sz\'amsorozatot az
$$
\aligned
S_{k}(t)&=S_k(t,u_{k,0},\dots,u_{k,n_k})=S_{k,l-1}, \quad0<t\le1,
\quad\text{ha } u_{k,l-1}\le t< u_{k,l}, \\
&\qquad 1\le l\le n_k, \quad S_k(1)=S_{k,n_k},
\endaligned \tag1.12
$$
v\'eletlen cadlag f\"uggv\'enyeket minden $k=1,2,\dots$ indexre.
Defini\'alunk tov\'abb\'a bizonyos $N_k$ m\'ert\'ekeket
a sz\'amegyenes \'es a $[0,1]$ intervallum $\bold R^1\times [0,1]$
direkt szorzat\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen $0=u_{k,0}\le
u_{k,1}\le u_{k,2}\le \cdots\le u_{k,n_k}=1$ ugyanaz a sz\'amsorozat
mint amelyik az (1.12) formul\'aban szerepelt.
$$
\text {Az } N_k(\cdot)\text{ m\'ert\'ek az }\bold R^1\times
\bigcupp_{l=1}^
{n_k}\{u_{k,l}\}\text{ halmazra van koncentr\'alva,} \tag1.13
$$
\'es az $N_k(\cdot)$ m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa a $\{(t,u)\colon\;
t\in \bold R^1, u=u_{k,l}\}$ egyenesekre, $1\le l\le n_k$, legyen az
$x^2F_{k,l}(dx)$ m\'ert\'ek, azaz
$$
N_k(B\times\{u_{k,l}\})=\int_B x^2 F_{k,l}(\,dx),\quad \text{ha } 1\le
l\le n_k, \text{ \'es } B\subset \bold R^1 \text{ m\'erhet\H{o}
halmaz.} \tag1.14
$$
 
Vezess\"uk be a kanonikus m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'anak a
k\"ovetkez\H{o} megfelel\H{o}j\'et a $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avban
defini\'alt alkalmas tulajdons\'ag\'u m\'ert\'ekekre, amelyeket
szint\'en ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekeknek fogunk nevezni. Az (1.13),
\'es (1.14) formul\'akban defini\'alt $M_k$ m\'ert\'ekek
szint\'en kanonikus m\'ert\'ekek. \medskip\noindent
{\bf Kanonikus m\'ert\'ekek definici\'oja \'es konvergenci\'aja a
s\'{\i}k bizonyos s\'avjain.} {\it Ne\-vez\-z\"unk egy az $\bold
R^1\times [0,1]$ s\'avon defini\'alt $N(\cdot)$ m\'ert\'eket
kanonikusnak, ha minden $s>0$ sz\'amra
$$
N([-s,s]\times [0,1])<\infty,\quad\text{\'es}\quad
\int_{\{(u,v)\colon\; |u|\ge s, \; 0\le v\le 1\}}
\frac{N(\,du,\,dv)}{v^2}<\infty.
$$
Legyen adva $N_k$, $k=0,1,2,\dots$, kanonikus m\'ert\'ekek egy sorozata
az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon. Azt mondjuk, hogy az $N_k$ kanonikus
m\'ert\'ekek sorozata konverg\'al az $N_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez a
$\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon $k\to\infty$ eset\'en, ha
tetsz\H{o}leges olyan $0\le a\le b\le1$ sz\'amokra, amelyek az $N_0$
m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontjai, azaz amelyekre
$\limm_{\e\to0}N_0([-R,R]\times [a-\e,a+\e])=0$,
 $\limm_{\e\to0}N_0([-R,R]\times[b-\e,b+\e])=0$,
$\limm_{\e\to0}\int_{|u|>R,\,|v-a|<\e}\frac{N_0(du,dv)}{v^2}=0$,
$\limm_{\e\to0}\int_{|u|>R,\,|v-b|<\e}\frac{N_0(du,dv)}{v^2}=0$
minden $R>0$ sz\'amra, az $M_{k,a,b}(B)=N_k(B\times[a,b])$,
$k=1,2,\dots$, k\'eplettel a sz\'amegyenesen defini\'alt
$M_{k,a,b}(\cdot)$ kanonikus m\'ert\'ekek konverg\'alnak a
sz\'amegyenesen az $M_{0,a,b}(B)=N_0(B\times[a,b])$
k\'eplettel defini\'alt $M_{0,a,b}(\cdot)$ kanonikus
m\'ert\'ekhez, ha $k\to\infty$.}
\medskip
 
Az al\'abb megfogalmazott 2.~T\'etel azt mondja ki, hogy ha az (1.13),
\'es (1.14) k\'epletekben az $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon 
defini\'alt $N_{k}$ kanonikus m\'ert\'ekek konverg\'alnak egy az
$\bold R^1$ s\'avon deffini\'alt $N_0$ kanonikus m\'er\-t\'ek\-hez,
akkor az (1.12) k\'epletben defini\'alt $S_k(\cdot)$ $D([0,1])$
t\'erbeli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok gyeng\'en
konverg\'alnak egy $D([0,1])$ t\'erbeli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, amelynek v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait az $N_0$
kanonikus m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel explicit m\'odon meg tudjuk
adni.
 
\medskip\noindent
{\bf 2.~T\'etel.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, az egyenletes kicsis\'egnek eleget tev\H{o} sz\'eriasorozat,
amelynek minden tagja teljes\'{\i}ti az $E\tau(\xi_{k,j})=0$ felt\'etelt
az (1.2) k\'epletben defini\'alt $\tau(x)=\tau_a(x)$ f\"uggv\'ennyel,
ahol $a>0$ valamilyen r\"ogz\'{\i}tett sz\'am. Defini\'aljunk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra egy olyan
$0=u_{k,0}\le u_{k,1}\le u_{k,2}\le\cdots\le u_{k,n_k}=1$
sz\'amsorozatot, amelyre $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le l\le
n_k}|u_{k,l}-u_{k,l-1}|=0$, \'es tekints\"uk az (1.13) \'es (1.14)
k\'epletek \'es az el\H{o}bbi $0=u_{k,0}\le u_{k,1}\le
u_{k,2}\le\cdots\le u_{k,n_k}=1$ sz\'amsorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt $N_k$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'eket az $\bold R^1\times
[0,1]$ s\'avon. Tegy\"uk fel, hogy az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon
defini\'alt $N_k$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekek sorozata konverg\'al
egy alkalmas $N_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a,
hogy 

\medskip
\item{a.)}  Az $N_0$ hat\'arm\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $\lambda(t)=N_0(\{0\}\times [0,t])$,
$0\le t\le 1$, f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumban folytonos.
\item{b.)} Minden $b>0$ sz\'amra  az $N_0$ hat\'arm\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$$
\nu_b(t)=\int_{\{(x,y)\; |x|>b, \; 0\le y\le
t\}}\frac {N_0(dx, dy)}{x^2},\quad 0\le t\le 1,
$$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumban folytonos.

\medskip
Ekkor az (1.12) k\'epletben defini\'alt $S_k(t)$, $0\le t\le1$,
sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tok mint $D([0,1])$ t\'erben
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok gyeng\'en
konverg\'alnak egy olyan $S(t)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus
folyamathoz, amely szint\'en \'ugy tekinthet\H{o}, mint egy $D([0,1])$
t\'erbeli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez az $S(t)$
folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} szto\-chasz\-ti\-kus folyamat,
amelyet egy $N_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson folyamat
defini\'al term\'eszetes m\'odon. Tekints\"uk e sztochasztikus
folyamat egyik  $S(v)-S(u)$, $0\le u\le v\le1$, alak\'u
n\"ovekm\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa olyan korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as, amelyet az
$M_{0,u,v}(\,dx)=N_0(\,dx\times[0,v])$ k\'eplettel defini\'alt
$M_{0,u,v}$ kanonikus m\'ert\'ek hat\'aroz meg. Ez azt jelenti, 
hogy az $S(v)-S(u)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'o $\varphi_{u,v}(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek 
l\'etezik logaritmusa, amelyet az (1.3) k\'eplet al\'abbi 
v\'altozata ad meg:
$$
\log \varphi_{u,v}(t)=\int_{-\infty}^\infty
\frac{e^{itx}-1-it\tau(x)}{x^2} M_{0,u,v}(\,dx). \tag1.15
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 2.~T\'etel a.) felt\'etel\'eben megfogalmazott
els\H{o} l\'at\'asra tal\'an nem ter\-m\'e\-sze\-tes felt\'etel azt
fejezi ki, hogy a hat\'arfolyamat Gauss r\'esze olyan f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u} $X(t)$, $0\le t\le1$, Gauss folyamat, amelyre az
$s(t)=\text{Var}\,X(t)$ f\"uggv\'eny folytonos a $[0,1]$ intervallumban.
Hasonl\'oan a b.) felt\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizonyos nem
folytonoss\'agb\'ol sz\'armaz\'o ellenp\'eld\'akat k\'{\i}v\'anunk
kiz\'arni. 

\medskip
Az 1.~\'es 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o elven alapul.
Az 1.~T\'etelben haszn\'alt 1.~Se\-g\'ed\-t\'e\-tel konstrukci\'oja,
amely lehet\H{o}v\'e teszi a sz\'eriasorozatokban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak alkalmas korl\'atlanul
oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal val\'o
helyettes\'{\i}t\'es\'et alkalmazhat\'o a 2.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban is. Jegyezz\"uk meg, hogy az
1.~Seg\'edt\'etelben szerepl\H{o} (1.8) formul\'at \'ugy fogalmaztuk
meg, hogy az alkalmas legyen a 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban is,
\'es a $\supp_{1\le j\le n_k}$ kifejez\'es az\'ert szerepel ebben a
formul\'aban.
 
R\"oviden \'attekintj\"uk az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
gondolat\'at. A 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa ehhez hasonl\'o m\'odon
t\"ort\'enhet. Az 1.~Lemma \'es az 1.~Seg\'edt\'etel  lehet\H{o}v\'e
teszi, hogy a vizsg\'aland\'o \"osszegek vizs\-g\'a\-la\-t\'at
helyettes\'{\i}teni tudjuk k\'et m\'asik \"osszeg vizsg\'alat\'aval,
\'es ennek a k\'et \"osszegnek a vizs\-g\'a\-la\-t\'at szepar\'alni
tudjuk. Mind a k\'et esetben egy alkalmasan defini\'alt
sz\'eriasorozat \"osszegeinek hat\'areloszl\'as\'at kell
vizsg\'alnunk. Az els\H{o} \"osszeg viselked\'ese adja meg a
hat\'ar\'ert\'ek norm\'alis a m\'asik \"osszeg pedig annak nem
norm\'alis r\'esz\'et. Az els\H{o} \"osszeg viselked\'es\'et le tudjuk
\'{\i}rni a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
A m\'asodik \"osszeg vizsg\'alat\'at m\'ask\'ent v\'egezhetj\"uk.
Ekkor az 1.~Lemma, az 1.~Seg\'edt\'etel \'es a T\'etel~A
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a vizsg\'aland\'o sz\'eriasorozat
tagjait korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-kal
helyettes\'{\i}ts\"uk, \'es bel\'assuk hogy ezen korl\'atlanul
oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"ossze\-gei\-nek
ugyanaz a hat\'areloszl\'asa mint az eredeti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"ossze\-gei\-nek. Ez
ut\'obbi korl\'atlanul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"ossze\-gei\-nek vizsg\'alata m\'ar egy\-sze\-r\H{u}bb,
\'es ezt a vizsg\'alatot hajt\-juk v\'egre a 2.~Lemm\'aban. A fenti
gondolatmenet term\'eszetes m\'odon adap\-t\'al\-ha\-t\'o a
2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban.
 
A fentiek alapj\'an a hat\'areloszl\'asok nem norm\'alis
komponens\'enek megjelen\'es\'et inform\'alisan
k\"ovetkez\H{o}k\'epp magyar\'azhatjuk. Az egyes \"osszeadand\'ok
k\"ozel vannak egy korl\'atlanul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, \'es ezen kor\-l\'at\-la\-nul oszt\-ha\-t\'o
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
hat\'areloszl\'asa viszonylag k\"onnyen megadhat\'o. Ez azt is jelenti,
hogy a nem norm\'alis hat\'areloszl\'assal rendelkez\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etelekben az egyes \"ossze\-adan\-d\'ok\-nak
speci\'alisnak alak\'uaknak kell lenni\"uk.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy b\'ar rejtve, de az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok helyettes\'{\i}t\'ese egy
k\"ozeli korl\'atlanul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval szint\'en megjelenik a II.~r\'eszben alkalmazott a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott
bizony\'{\i}t\'asban.
 
Val\'oban tekints\"unk egy $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozat. Jel\"olje $\varphi_{k,j}(t)$ a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et. Ekkor a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegeinek
karakterisztikus f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik a
$$
\lim_{k\to\infty}\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)=\psi(t)
$$
rel\'aci\'ot alkalmas $\psi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
Bel\'attuk azt a (nem trivi\'alis) t\'enyt, hogy a fenti
rel\'aci\'oban lehet logaritmust venni, azaz ez ekvivalens a
$$
\lim_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)=\log\psi(t)
$$
rel\'aci\'oval. A bizony\'{\i}t\'as m\'asik fontos l\'ep\'ese az volt,
hogy mivel a $\xi_{k,j}$ v\'altoz\'ok egyenletes kicsik, ez\'ert a
$\log\varphi_{k,j}(t)$ tag a fenti \"osszegben
helyettes\'{\i}thet\H{o} az $-(1-\varphi_{k,j}(t))$ kifejez\'essel, azaz
a fenti formula ekvivalens azzal, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}-\summ_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))=\log\psi(t).
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy mint azt az I.~r\'eszben bel\'attuk, az
$-(1-\varphi_{k,j}(t))$ f\"uggv\'eny annak a korl\'atlanul oszthat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a lo\-ga\-rit\-mu\-sa, amelyet az a Poisson
folyamat hat\'aroz meg, amelynek sz\'aml\'al\'o m\'ert\'eke a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F_{k,j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enye. \'Igy a $\log\varphi_{k,j}(t)$
f\"uggv\'enynek a fenti helyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-se felel meg
az egyes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
helyettes\'{\i}t\'es\'enek egy korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval.
 
\beginsection 2. Az 1. T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.
 
Ebben a r\'eszben bel\'atjuk az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban
felhaszn\'alt eredm\'enyeket, azaz az 1.~Lemm\'at, az
1.~Seg\'edt\'etelt \'es a 2.~Seg\'edt\'etelt.
 
\medskip\noindent
{\it Az 1.~Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ V\'alasszunk egy olyan monoton
cs\"okken\H{o} $\eta_p$, $p=1,2,\dots$, sorozatot, amelyre
$\limm_{p\to\infty}\eta_p=0$, \'es $\pm\eta_p$ az $M_0$ m\'ert\'ek
folytonoss\'agi pontja. Ekkor teljes\"ul a
$\limm_{p\to\infty}M_0((-\eta_p,\eta_p))=M_0(\{0\})$ rel\'aci\'o.
Ezenk\'{\i}v\"ul minden $p=1,2,\dots$ sz\'amhoz l\'etezik  
olyan $k(p)$ k\"usz\"obindex, amelyre 
$|M_k((-\eta_p,\eta_p))-M_0(-\eta_p,\eta_p))|\le\frac1p$, ha
$k\ge k(p)$.
Tov\'abb\'a, ha az orig\'o az $M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja,
azaz $M(\{0\})=0$, akkor $|M_k((0,\eta_p))-M_0(0,\eta_p))|\le\frac1p$.
Feltehetj\"uk azt is, hogy $|M_0^\pm(\eta_p)-M^\pm_k(\eta_p)|
\le\frac1p$, ha $k\ge k(p)$, ahol az $M_0^\pm(\cdot)$ \'es
$M_k^\pm(\cdot)$ f\"uggv\'enyeket az (1.4) formul\'aban
defini\'altuk. Az egyenletes ki\-csi\-s\'eg felt\'etel\'enek
teljes\"ul\'ese miatt biztos\'{\i}that\'o az is, hogy
$$
\supp_{1\le j\le n_k}(1-F_{k,j}(\eta_p))+\supp_{1\le j\le n_k}
F_{k,j}(-\eta_p) \le\frac1{p(M_0^+(\eta_p)+M_0^-(\eta_p))+2},
$$
ha $k\ge k(p)$ \'es a $k(p)$ k\"u\-sz\"ob\-in\-de\-xet el\'eg nagynak
v\'alasztjuk. Feltehetj\"uk azt is, hogy a k\"usz\"ob\-in\-dexek $k(p)$
sorozata szi\-go\-r\'u\-an monoton n\"ovekv\H{o}. Legyen $\e_k=\eta_p$,
ha $k(p)\le k<k(p+1)$. Ezzel a v\'alaszt\'assal teljes\"ulnek a Lemma
\'all\'{\i}t\'asai. Ugyanis,
$$
\limm_{k\to\infty}M'_k([a,b])=\limm_{k\to\infty} M'_k([-\eta_{k(p)},
\eta_{k(p)}])=M_0(\{0\})=M_0'([a,b]),
$$
ha az $[a,b]$ intervallum a belsej\'eben tartalmazza az orig\'ot, \'es
$\limm_{k\to\infty}M'_k([a,b])=0=M_0'([a,b])$, ha az $[a,b]$ intervallum
nem tartalmazza belsej\'eben az orig\'ot, \'es az $a$ \'es $b$ pontok
az $M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontjai (teh\'at akkor is, ha 0 az
$M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja, \'es $a=0$ vagy $b=0$). E
t\'enyekb\H{o}l, illetve abb\'ol, hogy az $M'_k$, $k=1,2,\dots$, \'es
$M_0'$ m\'ert\'ek egy v\'eges $[-A,A]$ intervallumba van koncentr\'alva,
k\"ovetkezik, hogy az $M'_k$ m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak
az $M_0'$ m\'ert\'ekhez. Mivel az $M_k$ m\'ert\'eksorozat (gyeng\'en)
konverg\'al az $M_0$ m\'ert\'ekhez, az $M'_k$ m\'ert\'eksorozat pedig az
$M_0'$ m\'ert\'ekhez az $M''_k=M_k-M'_k$ m\'ert\'eksorozat is
(gyeng\'en) konverg\'al az $M_0''=M_0-M_0'$ m\'ert\'ekhez. Tov\'abb\'a
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\sum_{j=1}^{n_k}[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)]^2\\
&\qquad\le \sup_{1\le j\le n_k}[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)]
\sum_{j=1}^{n_k}[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)]\\
&\qquad=\sup_{1\le j\le
n_k}[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)](M^+_k(\e_k)+M_k^-(\e_k))\\
&\qquad\le\frac1{p(M_0^+(\eta_p)+M_0^-(\eta_p))+2}
\(M_0^+(\e_k)+M_0^-(\e_k)+\frac2p\)\le\frac2p,
\endalign
$$
ha $k\ge k(p)$. Innen $k\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk az
1.~Lemma m\'eg nem bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'as\'at. \medskip
 
\medskip\noindent
{\it Az 1.~Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\tilde
\xi_{k,j}=\eta'_{k,j}I(\zeta_{k,j}=0)+\gamma_{k,j,1}I
(\zeta_{k,j}\ge1)$, \'es $\zeta_{k,j}$ f\"uggetlen a t\"obbi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, ez\'ert
tetsz\H{o}leges $A\subset \bold R^1$ m\'erhet\H{o} halmazra
$$
\align
P(\tilde\xi_{k,j}\in A)&=
P(\tilde\xi_{k,j}\in A|\zeta_{k,j}=0)P(\zeta_{k,j}=0)+
P(\tilde\xi_{k,j}\in A|\zeta_{k,j}\ge1)P(\zeta_{k,j}\ge1)\\
&=P(\eta'_{k,j}\in A)P(\zeta_{k,j}=0)+
P(\gamma_{k,j,1}\in A)P(\zeta_{k,j}\ge1)\\
&=\nu'(A)p_{k,j}+\nu''(A)(1-p_{k,j})\\
&=P(\xi_{k,j}\in A\cap\{x\colon\; |x|< \e_k\})+
P(\xi_{k,j}\in A\cap\{x\colon\; |x|\ge \e_k\})\\
&=P(\xi_{k,j}\in A),
\endalign
$$
azaz $\tilde\xi_{k,j}$ \'es $\xi_{k,j}$ azonos eloszl\'as\'uak. A
konstrukci\'ob\'ol azonnal l\'athat\'o, hogy r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra
a $\tilde\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ugyancsak k\"onnyen k\"ovetkezik
ebb\H{o}l a konstrukci\'ob\'ol, hogy r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra a
$\eta'_{k,j}$, $\eta''_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$P(|\xi'_{k,j}|\le\e_k)=P(|\eta'_{k,j}|\le\e_k)=1$. A
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}|E\xi'_{k,j}-E\eta'_{k,j}|=0$
rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
|E\xi'_{k,j}-E\eta'_{k,j}|&=(1-P(\zeta_{k,j}=0))|E\eta'_{k,j}|
=\frac{1-P(\zeta_{k,j}=0)}{P(\zeta_{k,j}=0)}|E\xi'_{k,j}|\\
&=\frac{P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)}{P(|\xi_{k,j}|<\e_k)}
|E\tau(\xi''_{k,j})|\le 2P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)|E\tau(\xi''_{k,j})|,
\endalign
$$
ha $k\ge k_0$ alkalmas $k_0$ konstanssal, mert
$0=E\tau(\tilde\xi_{k,j})=E\xi'_{k,j}+E\tau(\xi''_{k,j})$, \'es
$P(\zeta_{k,j}\ge 1)=1-e^{-\bar p_{k,j}}=p_{k,j}=P(|\xi_{k,j}|\ge
\e_k)$, ahol $\bar p_{k,j}$ a $p_{k,j}=1-e^{-\bar p_{k,j}}$ egyenlet
megold\'asa, $p_{k,j}=P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)$, \'es $p_{k,j}\le\frac12$,
ha $k\ge k_0$. Mivel $|E\tau(\xi''_{k,j})|\le aP(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)$
innen kapjuk, hogy $|E\xi'_{k,j}-E\eta'_{k,j}|\le 2a P(|\xi_{k,j}|\le
\e_k)^2 =2a\[(1-F_{k,j}(\e_k))+F_{k,j}(-\e_k)\]^2$. Ezeket az
egyenl\H{o}tlens\'eget \"osszegezve a $j=1,\dots,n_k$ sz\'amokra \'es
felhaszn\'alva az (1.5) formul\'at meg\-kap\-juk a
b\'{\i}zony\'{\i}tand\'o (1.7) rel\'aci\'ot.
 
Az (1.8) formula els\H{o} rel\'aci\'oj\'at a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
bi\-zo\-ny\'{\i}t\-hat\-juk. Val\'oban, tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\align
P&\(\sup_{1\le p\le n_k}\left|\sum_{j=1}^p(\xi'_{k,j}-E\xi'_{k,j})
-(\eta'_{k,j}-E\eta'_{k,j})\right|>\e\)
\le\frac{\summ_{j=1}^{n_k}\text{Var}\,(\xi'_{k,j}-\eta'_{k,j})}{\e^2}\\
&\qquad=\frac{\summ_{j=1}^{n_k}(1-P(\zeta_{k,j}=0))^2
\text{Var}\,\eta'_{k,j}}{\e^2}\le\frac1{\e^2}
\sup_{1\le j\le n_k}(1-P(\zeta_{k,j}=0))^2
\sum_{j=1}^{n_k}E{\eta'_{k,j}}^2\\
&\qquad=\frac1{\e^2}M_k([-\e_k,\e_k])
\sup_{1\le j\le n_k}P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)^2\to0
\endalign
$$
ha $k\to\infty$, mert az 1.~Lemm\'aban megadott konstrukci\'oban
$\limsupp_{k\to\infty}M_k([-\e_k,\e_k])\le M_0(\{0\})<\infty$, \'es
$\supp_{1\le j\le n_k}(P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)^2\to0$ ha $k\to\infty$.
 
Az (1.8) formula m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben bel\'atjuk el\H{o}sz\"or azt, hogy
$$
E\tau(\eta''_{k,j})=\frac{\bar p_{k,j}}{p_{k,j}}
\int_{\{|u|\ge\e_k\}}\tau(u)F_{k,j}(\,du)=\frac{\bar p_{k,j}}{p_{k,j}}
E\tau(\xi_{k,j}'') . \tag2.1
$$
ahol, $p_{k,j}=P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)=
[(1-F_{k,j}(\e_k)+F_{k,j}(-\e_k)]$, \'es $\bar p_{k,j}$ az
$1-e^{-\bar p_{k,j}}=p_{k,j}$ egyenlet megold\'asa. Val\'oban, 
felhaszn\'alva, hogy ha $\eta_1,\eta_2,\dots$, f\"uggetlen, 
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\tau$ nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely f\"uggetlen az $\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okt\'ol, akkor
$E(\eta_1+\cdots+\eta_\tau)=E\tau E\eta_1$, tov\'abb\'a
$E\zeta_{k,j}=\bar p_{k,j}$ kapjuk, hogy
$$
\align
E\(\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}\gamma_{k,j,l}I(|\gamma_{k,j,l}| \le a)\)
&=\frac {E\zeta_{k,j}}{p_{k,j}}\int_{\{\e_k\le|u|\le
a\}}\tau(u)F_{k,j}(\,du)\\
&=\frac{\bar p_{k,j}}{p_{k,j}} \int_{\{\e_k\le|u|\le
a\}}\tau(u)F_{k,j}(\,du),
\endalign
$$
\'es hasonl\'oan
$$
\align
E\(\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}I(|\gamma_{k,j,l}|\ge a)\)
&=\bar{\bar\nu}_{k,j}((-\infty,-a]\cup[a,\infty))E\zeta_{k,j}\\
&=\frac{\bar p_{k,j}}{p_{k,j}} \[1-F_{k,j}(a)+F(-a_{k,j})\].
\endalign
$$
Mivel
$$
E\tau(\eta''_{k,j})=E\(\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}
\gamma_{k,j,l}I(|\gamma_{k,j,l}|\le a)\)+
aE\(\summ_{l=1}^{\zeta_{k,j}}I(|\gamma_{k,j,l}|\ge a)\),
$$
a fenti k\'et azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik a (2.1) formula.
 
Az (1.8) rel\'aci\'o m\'asodik formul\'aj\'anak bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\xi''_{k,j}-\eta''_{k,j}=\xi''_{k,j}-\sum_{l=1}^{\zeta_{k,j}}
\gamma_{k,j,l}= I(\zeta_{k,j}\ge2)\sum_{l=2}^{\zeta_{k,j}}
\gamma_{k,j,l}
$$
mert a konstrukci\'o szerint a $\zeta_{k,j}=0$ halmazon
$\xi''_{k,j}=\eta''_{k,j}=0$, \'es a $\zeta_{k,j}=1$ halmazon
$\xi''_{k,j}=\eta''_{k,j}=\gamma_{k,j,1}$. Ezt felhaszn\'alva kapjuk,
hogy
$$
\align
P&\(\sum_{j=1}^p\xi''_{k,j}-\sum_{j=1}^p\eta''_{k,j}\neq
0\text{ valamilyen }1\le p\le n_k\text{ sz\'amra}\)
\le\sum_{j=1}^{n_k}P(\zeta_{k,j}\ge2)\\
&\qquad\le
\sum_{j=1}^{n_k}\[(1-F_{k,j}(\e_k)+F_{k,j}(-\e_k))\]^2\to 0\quad
\text{ha }k\to\infty
\endalign
$$
az (1.5) formula alapj\'an. Ez\'ert az (1.8) rel\'aci\'o m\'asodik
formul\'aj\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{k \to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}|E\tau(\xi''_{k,j})
-E\tau(\eta''_{k,j})|=0.
$$
Viszont a (2.1) formula alapj\'an
$$
|E\tau(\xi''_{k,j})-E\tau(\eta''_{k,j})|=
\left|\frac{\bar p_{k,j}-p_{k,j}}{p_{k,j}}
E\tau(\xi''_{k,j})\right| \le 2a p^2_{k,j}=2aP^2(|\xi_{k,j}|\ge\e_k),
$$
ha $k\ge k_0$. Innen
$$
\sum_{j=1}^{n_k}|E\tau(\xi''_{k,j})
-E\tau(\eta''_{k,j})|\le 2a\summ_{j=1}^{n_k}
\[(1-F_{k,j}(\e_k)+F_{k,j}(-\e_k)\]^2\to0\quad \text{ha } k\to\infty
$$
az (1.5) formula alapj\'an. A fenti rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik az
(1.8) formula.
 
V\'eg\"ul az (1.6) formul\'aban szerepl\H{o} azonoss\'agokat
\"osszeadva r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra \'es minden $1\le j\le n_k$
sz\'amra, \'es felhaszn\'alva az $M''_k$ m\'ert\'eknek az
1.~Lemm\'aban megadott definici\'oj\'at kapjuk, hogy
$$
\log E\exp\left\{it\(\sum_{j=1}^{n_k} (\eta''_{k,j}\)\right\}
=\int \frac{e^{itu}-1}{u^2}\bar M''_k(\,du),
$$
\'es mivel a (2.1) azonoss\'agot \"osszegezve a $j$ v\'altoz\'oban
az $\summ_{j=1}^{n_k} E\tau(\eta''_{k,j}))
=\int\frac{\tau(u)}{u^2}\bar M''_k(\,du)$ azonoss\'agot kapjuk, 
innen k\"ovekezik az 
(1.9) formula. Az $\eta_{k,j}'-E\eta_{k,j}'$, $1\le j\le n_k$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$|\eta_k'-E\eta_k'|\le \e_k$, ez\'ert a
$T'_k=\summ_{j=1}^{n_k}(\eta'_{k,j}-E\eta_{k,j})$ \"osszegekre
alkalmazhat\'o a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. Az 
1.~Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezz\"uk, ha 
megmutatjuk, hogy
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\text{Var}\,\eta_{k,j}'=M_0(\{0\})$.
Ez k\"o\-vet\-ke\-zik az al\'abb bizony\'{\i}tand\'o
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\(E\eta_{k,j}'\)^2=0, \quad
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\left|{E\eta'_{k,j}}^2-{E\xi'_{k,j}}^2
\right|=0 \tag2.2
$$
azonoss\'agokb\'ol, mert
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}{E\xi'_{k,j}}^2=M_0(\{0\})$.
 
Az (1.7) formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan kapjuk, hogy
$$
\left|E\eta'_{k,j}\right|=\frac{|E\xi'_{k,j}|}{P(\zeta_{k,j}=0)}
=\frac{|E\tau(\xi''_{k,j})|}{P(|\xi_{k,j}|<\e_k)}
\le 2|E\tau(\xi''_{k,j})|\le 2aP(|\xi_{k,j}|>\e_k),
$$
ha $k\ge k_0$ alkalmas $k_0$ konstanssal. Innen \'es az (1.5)
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a (2.2) formula els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa.
M\'asr\'eszt
$$
\align
\left|E{\xi'_{k,j}}^2-E{\eta'_{k,j}}^2\right|&=
(1-P(\zeta_{k,j}=0))E{\eta'_{k,j}}^2
=\frac{1-P(\zeta_{k,j}=0)}{P(\zeta_{k,j}=0)}E{\xi'_{k,j}}^2\\
& \le 2P(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)E{\xi'_{k,j}}^2.
\endalign
$$
Innen \'es a Schwarz egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\sum_{j=1}^{n_k}\left|E{\xi'_{k,j}}^2-E{\eta'_{k,j}}^2\right|\le
\(\sum_{j=1}^{n_k} 4P^2(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)\cdot\sum_{j=1}^{n_k}
\(E{\xi'_{k,j}}^2\)^2\)^{1/2}\to0, \quad\text{ha }k\to \infty,
$$
mert
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
P^2(|\xi_{k,j}|\ge\e_k)=0$ az (1.5) formula  alapj\'an, \'es
$$
\summ_{j=1}^{n_k} \(E{\xi'_{k,j}}^2\)^2\le\const
\summ_{j=1}^{n_k} E{\xi'_{k,j}}^2\le \const
$$
minden $k\ge1$ sz\'amra.
 
\medskip\noindent
{\it A 2.~Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel az $M_k$
kanonikus m\'ert\'ekek konverg\'alnak az $M_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez,
\'es $M_0(\{0\})=0$, ez\'ert minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'eteznek olyan
$\delta=\delta(\e)>0$, $R=R(\e)$ sz\'amok \'es olyan $\bar n=\bar
n(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyekre
$$
M_k((-\delta,\delta))<\e^3,\quad
\int_{\{u\colon\;|u|>R\}}\frac1{u^2}M_k(\,du)<\e, \quad \text{ha } k\ge
\bar n(\e). \tag2.3
$$
Tov\'abb\'a azt is feltehetj\"uk, hogy a $\pm\delta=\pm\delta(\e)$
\'es  $\pm R=\pm R(\e)$ sz\'amok az $M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi
pontjai.
 
Vezess\"uk be a $\mu_k(\,dx)=\frac{M_k(dx)}{x^2}$, $k=1,2,\dots$,
\'es $\mu_0(\,dx)=\frac{M_0(dx)}{x^2}$ m\'ert\'ekeket a
sz\'am\-egye\-ne\-sen. V\'alasszunk olyan $\delta=x_1<x_2<\cdots<x_s=R$
sz\'amokat, ahol $s$ egy alkalmas pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, amelyekre
$\pm x_l$ az $M_0$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja, $1\le l\le s$,
\'es $\frac{\e^4}{2L}<x_l-x_{l-1}<\frac{\e^4}L$, $1<l\le s$, ahol
$L=\supp_{k\ge0}\mu_k\((-R,-\delta)\cup(\delta,R)\)$.
Val\'oj\'aban a most defini\'alt defini\'alt
$\delta=x_1<x_2<\cdots<x_s=R$ sorozat az $\bar n(\e)$
k\"usz\"obindexen kereszt\"ul f\"ugg  ez $\e$ sz\'amt\'ol is, de
ezt a f\"ugg\'est nem fogjuk felt\"untetni a jel\"ol\'es\"unkben.
 
Tekints\"uk az $\e_j=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$, sz\'amsorozatot.
V\'alasztani fogunk egy alkalmas $n_j=n_j(\e_j)\ge\bar n(\e_j)$,
$j=1,2,\dots$, sz\'amsorozatot \'es megkonstu\'aljuk az $\eta_k$
\'es $\bar\eta_k$ korl\'atlanul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat $n_j\le k\le n_{j+1}$ sorozatokat indexekre, majd
bel\'atjuk, hogy az $n_j$ sorozat alkalmas megv\'alazt\'asa eset\'en
az $\eta_k$ \'es $\bar\eta_k$, $k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a 2.~Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

A konstru\'aland\'o $\eta_k$ \'es $\bar\eta_k$ korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat egy
$\xi_{k,1},\xi_{k,2},\dots$, $\mu_k$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
\'es egy $\bar\xi_{k,2},\bar\xi_{k,2},\dots$, $\mu_0$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson folya\-mat
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel konst\-ru\-\'al\-juk meg a szok\'asos
m\'odon defini\'alhat\'o regulariz\'alt \"osszegez\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy mint azt az els\H{o} r\'eszben
tet\-t\"uk. Azaz, legyen
$$
\aligned
\eta_k(\oo)&=\lim_{N\to\infty}\(\sum_{p\colon\;|\xi_{k,p}(\oo)|\ge 2^{-N}}
\xi_{k,p}(\oo)-E\( \sum_{p\colon\;|\xi_{k,p}(\oo)|\ge 2^{-N}}
\tau(\xi_{k,p}(\oo) \)\),\\
\bar\eta_k(\oo)&=\lim_{N\to\infty}
\(\sum_{p\colon\;|\bar\xi_{k,p}(\oo)|\ge 2^{-N}} \bar\xi_{k,p}(\oo)
-E\(\sum_{p\colon\;|\bar\xi_{k,p}(\oo)|\ge 2^{-N}}
\tau(\bar\xi_{k,p}(\oo)\)\),
\endaligned \tag2.4
$$
ahol a $\tau(x)=\tau_a(x)$ f\"uggv\'enyt az (1.2) k\'epletben
defini\'altuk. Az els\H{o} r\'eszben l\'attuk, hogy a
(2.4) k\'epletben defini\'alt limesz egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
l\'etezik, \'es az e formul\'aban konstru\'alt $\eta_k$ \'es
$\bar\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok az el\H{o}\'{\i}rt
eloszl\'asokkal rendelkeznek. (Pontosabban, az els\H{o} r\'eszben egy
ezzel ekvivalens \'all\'{\i}t\'ast l\'attunk be, ahol a $\tau(\cdot)$
normaliz\'al\'o tag helyett m\'as normaliz\'al\'ast v\'alasztottunk. A
$|\xi_{k,p}(\oo)|>2^{-N}$ felt\'etelben $2^{-N}$ helyett b\'armilyen
mononoton cs\H{o}kken\H{o} $A_N\to0$ sorozatot v\'alaszthattunk volna.)
Megmutatjuk, hogy a (2.4) k\'epletben szerepl\H{o} Poisson
folyamatok alkalmas konstrukci\'oj\'aval el tudjuk \'erni, hogy az
$(\eta_k,\bar\eta_k)$ p\'arok teljes\'{\i}ts\'ek a 2.~Seg\'edt\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at.
 
A $\xi_{k,1},\xi_{k,2},\dots$, $\mu_k$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
\'es $\bar\xi_{k,2},\bar\xi_{k,2},\dots$, $\mu_0$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson folyamatok
megkonstru\'al\'as\'at olyan $\zeta_{k,l}^{\pm}$ \'es
$\bar\zeta_{k,l}^\pm$, $1\le l<s$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok megkonstru\'al\'as\'aval kezdj\"uk, amelyek k\"oz\"ul
$\zeta^+_{k,l}$ \'es $\bar\zeta^+_{k,l}$ megadj\'ak, hogy a $\xi_{k,l}$
illetve $\bar\xi_{k,l}$, $l=1,2,\dots$, Poisson folyamatok h\'any
pontot tartalmaznak az $[x_l,x_{l+1})$ intervallumban \'es hasonl\'oan
a $\zeta^-_{k,l}$  \'es $\bar\zeta^-_{k,l}$ v\'altoz\'ok megadj\'ak,
hogy ezek a $\xi_{k,l}$ illetve $\bar\xi_{k,l}$ Poisson folyamatok
h\'any pontot tartalmaznak az $[-x_{l+1},-x_{l})$ intervallumban.
 
Legyenek $\alpha_{k,l}^\pm$, $\beta_{k,l}^\pm$, $1\le l<s$, f\"uggetlen
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\alpha^+_{k,l}$ $\min (\mu_k((x_l,x_{l+1})), \mu((x_l,x_{l+1})))$
\'es $\beta^+_{k,l}$
$$
\max(\mu_k((x_l,x_{l+1})),\mu_0((x_l,x_{l_1})))-\min
(\mu_k((x_l,x_{l+1}), \mu_0(x_l,x_{l+1})))
$$
param\'eterekkel. Hasonl\'oan az $\alpha^-_{k,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak legyen
$$
\min (\mu_k((-x_{l+1},-x_l)),\mu_0((-x_{l+1},-x_l)))
$$
\'es a $\beta^-_{k,l}$ v\'altoz\'onak pedig legyen
$$
\align
&\max(\mu_k((-x_{l+1},-x_{l})),\mu_0((-x_{l+1},-x_l)))\\
&\qquad -\min (\mu_k((-x_{l+1},-x_{l})),\mu_0((-x_{l+1},-x_l)))
\endalign
$$
a param\'etere. Ha $\mu_k((x_l,x_{l+1}))\le \mu_0((x_l,x_{l+1}))$ akkor
legyen $\zeta_{k,l}^+=\alpha_{k,l}^+$,
$\bar\zeta_{k,l}^+=\alpha_{k,l}^++\beta_{k,l}^+$,
ha pedig $\mu_k((x_l,x_{l+1}))> \mu_0((x_l,x_{l+1}))$ akkor legyen
$\bar\zeta_{k,l}^+=\alpha_{k,l}^+$,
$\zeta_{k,l}^+=\alpha_{k,l}^++\beta_{k,l}^+$, $1\le l<s$. Hasonl\'oan
defini\'aljuk a $\zeta_{k,l}^-$ \'es $\bar\zeta_{k,l}^-$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat, csak itt az
$(x_l,x_{l+1})$ intervallumot a $(-x_{l+1},-x_l)$ intervallummal az
$\alpha^+_{k,l}$ \'es $\beta^+_{k,l}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat pedig az $\alpha^-_{k,l}$ \'es $\beta^-_{k,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal helyettes\'{\i}tj\"uk.
 
Az el\H{o}bb konstru\'alt $\zeta_{k,l}^+$ \'es $\zeta_{k,l}^-$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok Poisson
eloszl\'as\'uak, \'es para\-m\'e\-te\-re\-ik
$\mu_k((x_l,x_{l+1}))$ illetve $\mu_k((-x_{l+1},-x_l))$.
Hasonl\'oan, a $\bar\zeta_{k,l}^+$ \'es $\bar\zeta_{k,l}^-$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok Poisson
eloszl\'as\'uak $\mu((x_l,x_{l+1}))$ illetve $\mu((-x_{l+1},-x_l))$
param\'eterekkel. To\-v\'ab\-b\'a,
$$
\aligned
E\left|\zeta_{k,l}^+-\bar\zeta_{k,l}^+\right|=
\left|E\(\zeta_{k,l}^+-\bar\zeta_{k,l}^+\)\right|&
=\left|\mu_k((x_l,x_{l+1})) -\mu_k((x_l,x_{l+1}))\right|, \\
E\left|\zeta_{k,l}^--\bar\zeta_{k,l}^-\right|=
\left|E\(\zeta_{k,l}^--\bar\zeta_{k,l}^-\)\right|&=\left|
\mu_k((-x_{l+1},-x_l)) -\mu_k((-x_{l+1},-x_l))\right|.
\endaligned \tag2.5
$$
 
Dobjunk $\zeta_{k,l}^+$ sz\'am\'u pontot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul az $(x_l,x_{l+1})$ intervallumba \'ugy, hogy a pontok
$\frac{\mu(A)}{\mu((x_l,x_{l+1}))}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
essenek egy $A\subset (x_l,x_{l+1})$ halmazba, \'es $\zeta_{k,l}^-$
sz\'am\'u pontot egym\'ast\H{o}l f\"uggetlen\"ul a $(-x_{l+1},x_l)$
intervallumba \'ugy, hogy a pontok
$\frac{\mu(A)}{\mu((x_{-l+1},-x_l))}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
essenek egy $A\subset (x_l,x_{l+1})$ halmazba, $1\le l<s$. Hasonl\'o\'an
tekint\"unk egy $M_k(-x_1,x_1)$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u $\zeta_{k,0}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
egy $M_k((-\infty,-x_s)\cup(x_s,\infty)$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u  $\zeta_{k,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
\'es dobjunk le egym\'ast\H{o}l f\"uggetlen\"ul $\zeta_{k,0}$ pontot a
$(-x_1,x_1)$ halmazba \'ugy, hogy minden pontot
$\frac{\mu_k(A)}{\mu_k((-x_1,x_1))}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
dobunk egy $A\subset (-x_1,x_1)$  halmazba, dobjunk le egym\'ast\H{o}l
f\"uggetlen\"ul $\zeta_{k,s}$ pontot a $(-\infty,-x_s)\cup(x_s,\infty)$
halmazba \'ugy, hogy minden pontot
$\frac{\mu_k(A)}{\mu_k((-\infty,-x_s)\cup(x_s,\infty))}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel dobunk egy $A\subset
(-\infty,-x_s)\cup(x_s,\infty)$  halmazba. Legyen az \"osszes el\H{o}bb
tekintett $\zeta_{k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
f\"uggetlen egym\'ast\'ol, \'es v\'egezz\"uk a pontdob\'asokat a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} halmazokba egym\'ast\H{o}l f\"uggetlen\"ul. Ekkor a
ledobott pontok egyes\'{\i}t\'ese egy $\mu_k$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $\xi_{k,1},\xi_{k,2},\dots$,
Poisson folyamat lesz a sz\'amegyenesen. Hasonl\'oan konstru\'alhatunk
egy $\mu_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$\bar\xi_{k,1}$, $\bar\xi_{k,2}$,\dots, Poisson folyamatot a
sz\'amegyenesen, csak most a $\zeta_{k,l}$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat a 
$\bar\zeta_{k,l}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okkal, a $\zeta_{k,0}$ \'es $\zeta_{k,s}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat egy 
$\bar\zeta_{k,0}$ \'es $\bar\zeta_{k,s}$  
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oval
helyettes\'{\i}tj\"uk, amelynek definici\'oj\'aban a $\mu_k$ 
m\'ert\'eket a $\mu_0$ m\'ert\'ekkel he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-tet\-t\"uk.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Adva az el\H{o}bb
konstru\'alt $\xi_{k,p}$ Poisson folyamat $\mu_k$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel, legyen
$\xi_{k,p}^{(l)}(\oo)=\xi_{k,p}(\oo)I(\xi_{k,p}(\oo)\in (x_l,x_{l+1})$,
$\xi_{k,p}^{(-l)}(\oo)=\xi_{k,p}(\oo)I(\xi_{k,p}(\oo)\in
(-x_{l+1},-x_l)$, ha $1\le l<s$,
$\xi_{k,p}^{(s)}(\oo)=\xi_{k,p}(\oo)I(\xi_{k,p}(\oo)\in
(-\infty,-x_s)\cup (x_s,\infty)$,
$\xi_{k,p}^{(0)}(\oo)=\xi_{k,p}(\oo)I(\xi_{k,p}(\oo)\in (-x_1,x_{1})$,
\'es adva egy $N$ pozitiv eg\'esz sz\'am,
$\xi_{k,p}^{(0,N)}(\oo)=\xi_{k,p}(\oo)I(2^{-N}<|\xi_{k,p}(\oo)|\le
x_1)$. Hasonl\'oan defini\'aljuk a $\bar\xi^{(l)}_{k,p}$ \'es
$\bar\xi^{(0,N)}_{k,p}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a $\xi_{k,p}$ Poisson
folyamatot az el\H{o}bb konstu\'alt $\mu_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\'u
$\bar\xi_{k,p}$ Poisson folyamattal helyettes\'{\i}tj\"uk. Jel\"olje
$B_l$ az $(x_l,x_{l+1})$ intervallumot, ha $1\le l<s$ \'es az
$(x_{l-1},x_l)$ intervallumot, ha $-1\ge l>-s$.

Ha $k\ge n_j\ge\bar n(\e_j)$, akkor az $M_k$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti
a (2.3) rel\'aci\'ot $\e_j=2^{-j}$ sz\'ammal. Ugyancsak teljes\"ul ez
a rel\'aci\'o, ha az $M_k$ m\'ert\'eket az $M_k$ m\'ert\'ekek
limesz\'evel az $M_0$ m\'ert\'ekkel helyettes\'{\i}tj\"uk. A (2.3)
formula m\'asodik rel\'aci\'oja alapj\'an a $\zeta_{k,s}$ \'es
$\bar\zeta_{k,s}$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok param\'etere kisebb mint $2^{-j}$, \'{\i}gy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy azon $\xi_{k,p}$ illetve
$\bar\xi_{k,p}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'ama, 
amelyekre $|\xi_{k,p}|>R$ illetve $\bar|\xi_{k,p}|>R$  null\'aval 
egyenl\H{o} nagyobb, mint $1-2\cdot2^{-j}$. Tov\'abb\'a az ilyen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  sz\'am\'anak a v\'arhat\'o 
\'ert\'eke kisebb mint $2\cdot2^{-j}$. Mivel $|\tau(x)|\le a$ 
minden $x\in R^1$ sz\'amra a fenti rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, 
hogy
$$
\aligned
&P\(\left|\sum_{\{p\colon\;|\xi_{k,p}|\ge
R\}}\xi_{k,p}-E\(\sum_{\{p\colon\; |\bar\xi_{k,p}|\ge R\}}
\tau(\xi_{k,p}^{(s)})\)\right|\le 2a\cdot 2^{-j}\)<2\cdot
2^{-j} \quad\text{ha }k\ge n_j \\
&P\(\left|\sum_{\{p\colon\;|\bar\xi_{k,p}|\ge R\}}
\bar\xi_{k,p}-E\(\sum_{\{p\colon\; |\bar\xi_{k,p}|\ge R\}}
\tau(\bar\xi_{k,p}^{(s)})\)\right|\le2a\cdot 2^{-j}\)<2\cdot
2^{-j} \quad\text{ha }k\ge n_j
\endaligned\;\;. \tag2.6
$$

Mivel egy $[a,b]$ intervallumban defini\'alt $\mu$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $\xi_{p}$,  Poisson folyamatra a $\summ_p
\xi_p$ v\'eletlen \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete $\int_a^b
u^2\mu(\,du)$, (l\'asd p\'eld\'aul az els\H{o} r\'eszben
szerepl\H{o} Lemm\'at), ez\'ert a (2.3) k\'eplet els\H{o} r\'esze
\'es a Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an (vegy\"uk \'eszre, hogy
$\delta<a$ eset\'en, amit feltehet\"unk, $\tau(x)=\tau_a(x)=x$, ha
$|x|\le \delta$.)
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P\(\left|\sum_{\{l\colon\;2^{-N}\le |\xi_{k,p}|\le\delta\}}
\xi_{k,p}-E\(\sum_{\{l\colon\; 2^{-N}\le |\xi_{k,p}|\le\delta\}}
\tau(\xi_{k,p}^{(0,N)})\)\right|\ge 2^{-j}\)  \\
&\qquad \le 2^{2j} \text{Var}\,\(\sum_{\{l\colon\; 2^{-N}\le
|\xi_{k,p}|\le\delta\}} \xi_{k,p}^{(0,N)}\)\le2^{2j}\e_j^3=2^{-j}\\
&P\(\left|\sum_{\{l\colon\; 2^{-N} \le |\bar\xi_{k,p}|\le\delta\}}
\bar\xi_{k,p}-E\(\sum_{\{l\colon\; 2^{-N} \le |\bar\xi_{k,p}|\le\delta\}}
\tau(\bar\xi_{k,p}^{(0,N)})\)\right|\ge2^{-j}\) \\
& \qquad \le 2^{2j} \text{Var}\,\(\sum_{\{p\colon\; 2^{-N}\le
|\bar\xi_{k,p}|\le\delta\}}
\bar\xi_{k,p}^{(0,N)}\)\leq2^{2j}\e_j^3=2^{-j},
\quad\text{ha }k\ge n_j \text{ \'es } 2^{-N}<\delta. \tag2.7   
\endalign
$$
Tov\'abb\'a azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ha az $n_j$ indexeket el\'eg
nagyra v\'alasztjuk, akkor
$$
\align
P\Biggl(&\sum_{l\colon\; 1\le |l| <s}\(\sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in B_l}
\xi_{k,p}-E\(\sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in B_l} \tau(\xi_{k,p}^{(l)})\)\)
\tag2.8  \\
&\qquad-\(\sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in B_l}
\bar\xi_{k,p}-E\( \sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in
B_l}\tau(\bar\xi_{k,p}^{(l)})\)\)>2^{-j}\Biggr)
<2^{-j} \quad\text{ha } k\ge n_j
\endalign
$$
 
El\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy a (2.4), (2.6), (2.7) \'es (2.8)
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy $\eta_k-\bar\eta_k\Rightarrow0$,
azaz igaz a 2.~Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'asa. Val\'oban, a (2.6),
(2.7) \'es (2.8) formul\'akat \"osszeadva kapjuk, hogy minden olyen $N$
eg\'esz sz\'amra, amelyre $2^{-N}<\delta$
$$
\align
P\Biggl(&\(\summ_{p\colon\; |\xi_{k,p}|\ge 2^{-N}}
\xi_{k,p}-E\(\summ_{p\colon\; |\xi_{k,p}|
\ge 2^{-N}}\tau(\xi_{k,p})\)\)\tag2.9   \\
&\quad-\(\summ_{p\colon\; |\bar\xi_{k,p}|\ge
2^{-N}}\bar\xi_{k,p}-E\(\summ_{p\colon\; |\xi_{k,p}|\ge 2^{-N}}
\tau(\bar\xi_{k,p})\)\)
>(4a+3)\cdot 2^{-j}\Biggr) <5\cdot 2^{-j},
\endalign
$$
ha $k\ge n_j$.

Tekintve azon esem\'enyek $\liminf$-j\'et az $N$ v\'altoz\'oban,
amelyeknek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et becs\"ult\"uk a (2.9)
formul\'aban, ($\liminff_{N\to\infty} A_N=\bigcupp_{N=1}^\infty
\(\bigcapp_{L=N}^\infty A_L\)$), \'es felhaszn\'alva a (2.4) formul\'at
kapjuk, hogy $P\(|\eta_k-\bar\eta_k|>(4a+3)\cdot2^{-j}\)<5\cdot
2^{-j}$, ha $k\ge n_j$. Ez\'ert $\eta_k-\bar\eta_k\Rightarrow0$, amint
azt \'all\'{\i}tottuk.

Annak \'erdek\'eben, hogy a m\'eg hi\'anyz\'o (2.8) formul\'at is
bebizony\'{\i}tsuk el\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy
$$
\aligned
P&\(\sum_{l\colon\; 1\le |l| <s}\(\sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in B_l}  \!\!
\xi_{k,p}-E\(\sum_{p\colon\; \xi_{k,p}\in B_l} \!\! \tau(\xi_{k,p}^{(l)})\)
-\zeta_{k,l}x_l+\tau(x_l)\mu_k(B_l)\)>2^{-2j}\) \\
&\qquad\qquad <2\cdot 2^{-2j} \quad\text{\'es} \\
P&\(\sum_{l\colon\; 1\le |l| <s}\(\sum_{p\colon\;\bar\xi_{k,p}\in B_l}  \!\!
\bar\xi_{k,p}-E\(\sum_{p\colon\;\xi_{k,p}\in B_l}\!\!
\tau(\bar\xi_{k,p}^{(l)})\) -\bar\zeta_{k,l}x_l+\tau(x_l)\mu_0(B_l)\)>
2^{-2j}\) \\
&\qquad\qquad <2\cdot 2^{-2j},
\endaligned \tag2.10
$$
ha $k\ge n_j$.

A (2.10) formula els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'ege arra ad becsl\'est,
hogy mekkora hib\'at k\"ovet\"unk el, ha egy minden a $B_l$ halmazba
es\H{o} $\xi_{k,p}$ pontra a $\xi_{k,p}$ mennyis\'eget az $x_l$
sz\'ammal helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es ezeket a hib\'akat
\"osszegezz\"uk a Poisson folyamat minden olyan pont\-j\'a\-ra, amelyre
$\delta\le |\xi_{k,l}|\le R$. Mivel
$$
\align
|\xi_{k,p}-x_l|&\le\supp_{1\le|l|\le s}|x_{l+1}-x_l|
\le\frac {\e_j^4}L,\\
\left|E\(\sum_{p\colon\; \xi_{k,p}\in
B_l}\tau(\xi_{k,p}^{(l)})\)-\tau(x_l)\mu_k(B_l)\right|
&\le\supp_{1\le|l|\le s}|x_{l+1}-x_l|\mu_k(B_l)\le
\frac {\e_j^4}L\mu_k(B_l)
\endalign
$$
ha $k\ge n_j$, ez\'ert a (2.10) formula els\H{o} rel\'aci\'oja
k\"ovetkezik a
$$
\align
&\sum_{l\colon\; 1\le |l| <s} \left|E\(\sum_{p\colon\; \xi_{k,p}\in
B_l}\tau(\xi_{k,p}^{(l)})\)-\tau(x_l)\mu_k(B_l)\right|\\
&\qquad\le \sum_{l\colon\; 1\le |l| <s}\frac {\e_j^4}L\mu_k(B_l)=
\e_j^4\frac{\mu_k((-R,R)\setminus(-\delta,\delta))}L\le \e_j^4
\endalign
$$
\'es
$$
\align
P&\(\sum_{l\colon\;1\le |l|<s}\(\sum_{p\colon\; \xi_{k,p}\in B_l}
\xi_{k,p}-\zeta_{k,l}x_l\)>\e_j^2 \)\\
&\qquad\le P\(\#\{p\colon\; \delta<|\xi_{k,p}|<R\}>\frac{L}{2\e_j^2}\)\le
\frac{2\e_j^2 E\(\#\{p\colon\; \delta<|\xi_{k,p}|<R\}\)}{L} \\
&\qquad =\frac{2\e_j^2\mu_k\((-R,-\delta)\cup(\delta,R)\)}{2L}\le
2\e_j^2=2\cdot2^{-2j},\quad \text{ha }k\ge n_j
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. A (2.10) rel\'aci\'o m\'asodik
egyenl\H{o}tlens\'ege hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, csak ebben az
esetben a $\xi_{k,p}$ Poisson folyamat helyett a $\bar\xi_{k,p}$
Poisson folyamatot, a $\mu_k$ m\'ert\'ek helyett pedig a $\mu_0$
m\'ert\'eket kell tekinteni.
 
A (2.10) formula alapj\'an a (2.8) formula \'es \'{\i}gy a
2.~Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez el\'eg
megmutatni, hogy ha az $n_j\ge \bar n_j$ sorozat tagjait el\'eg nagynak
v\'alasztjuk, akkor
$$
P\(\sum_{l\colon\; 1\le |l|<s}
\left|x_l(\zeta_{k,l}-\bar \zeta_{k,l})-\tau(x_l)(\mu_k(B_l)-
\mu_0(B_l))\right|>2^ {-2j}\)\le
\frac{2^{-j}}2, \quad \text{ha }k\ge n_j. \tag2.11
$$
illetve azt, hogy igaz a k\"ovetkez\H{o} er\H{o}sebb
egyenl\H{o}tlens\'eg:
$$
\sum_{l\colon\; 1\le |l|<s} \(|x_l|\,E|\zeta_{k,l}-\bar \zeta_{k,l}|+
|\tau(x_l)|\,|\mu_k(B_l)-\mu_0(B_l)|\)<2^ {-4j},\quad\text{ha }
k\ge n_j. \tag2.12
$$
 
A (2.5) rel\'aci\'ob\'ol viszont k\"ovetkezik, hogy
$E|\zeta_{k,l}-\bar\zeta_{k,l}|=C_j|\mu_k(B_l)-\mu_0(B_l)|$.
M\'asr\'eszt $\limm_{k\to\infty}\mu_k(B_l)=\mu_0(B_l)$ az $M_k$
m\'ert\'ekeknek az $M_0$ m\'ert\'ekhez val\'o konvergenci\'aja miatt.
Mivel a (2.12) formul\'aban szerepl\H{o} \"osszeg csak v\'eges sok (a
$j$ indext\H{o}l f\"ugg\H{o} sz\'am\'u) tagot tartalmaz, a benne
szerepl\H{o} egy\"utthat\'ok szint\'en becs\"ulhet\H{o}ek csak a $j$
indext\H{o}l f\"ugg\H{o} sz\'amokkal, ez\'ert a (2.12) formula
k\"ovetkezik az el\H{o}z\H{o} \'eszrev\'etelekb\H{o}l, ha az $n_j$
indexet el\'eg nagynak v\'alasztjuk.
 
\beginsection 3. Funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. A 2. T\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.
 
{\script A.) Poisson k\"ozel\'{\i}t\'es. A hat\'arfolyamat norm\'alis
\'es Poisson r\'esz\'enek sz\'etv\'alaszt\'asa.} \medskip
 
Az 1.~Lemma, az 1.~ Seg\'edt\'etel illetve az 1.~ Lemma ut\'an megadott
konstrukci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 2.~T\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at
is vissza tudjuk vezetni egy egyszer\H{u}bben bizony\'{\i}that\'o
\'all\'{\i}t\'asra.
 
Tekints\"uk az 1.~Lemma kimond\'asa ut\'an defini\'alt $\xi'_{k,j}$,
$\xi''_{k,j}$, $\eta'_{k,j}$, $\eta''_{k,j}$,
$\tilde\xi_{k,j}=\xi_{k,j}'+\xi''_{k,j}$ \'es
$\eta_{k,j}=\eta_{k,j}'+\eta''_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $1\le j\le n_k$, \'es a seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel
defini\'alhat\'o $S'_{k,l}=\summ_{j=1}^l\xi'_{k,j}$,
$S''_{k,l}=\summ_{j=1}^l\xi''_{k,j}$, $\tilde
S_{k,l}=S'_{k,l}+S''_{k,l}$,
$T'_{k,l}=\summ_{j=1}^l(\eta'_{k,j}-E\eta'_{k,j})$,
$T''_{k,l}=\summ_{j=1}^l(\eta''_{k,j}-E\tau(\eta''_{k,j}))$,
$T_{k,l}=T'_{k,l}+T''_{k,l}$ r\'eszlet\"osszegeket, $1\le l\le n_k$,
valamint a bel\H{o}l\"uk defini\'alhat\'o $S'_k(t)$, $S''_k(t)$,
$\tilde S_k(t)$, $T'_k(t)$, $T''_k(t)$ \'es $T_k(t)$, $0\le t\le 1$,
$D([0,1])$ sztochasztikus folyamatokat hasonl\'oan az (1.12)
formul\'ahoz, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az (1.12)
formul\'aban szerepl\H{o} $S_{k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat az $S'_{k,l}$, $S''_{k,l}$, $\tilde S_{k,l}$, illetve
$T'_{k,l}$, $T''_{k,l}$ \'es $T_{k,l}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okkal
helyettes\'{\i}tj\"uk. Az (1.8) formul\'ab\'ol \'es
az $E\tau(\xi'_{k,j})+E\tau(\xi''_{k,j})=E\tau(\tilde\xi_{k,j})=0$
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\supp_{0\le l\le 1}|T_k(t)-\tilde S_k(t)|\Rightarrow0,\quad \text {ha }
k\to\infty, \tag3.1
$$
ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol. Az $S_k(t)$
\'es $\tilde S_k(t)$ folyamatok eloszl\'asa megegyezik. Tov\'abb\'a,
ha $x_k(\cdot)$ \'es $y_k(\cdot)$ olyan $D([0,1])$ t\'erbeli
f\"uggv\'enyek, amelyekre $\limm_{k\to\infty}\supp_{0\le t\le
1} |x_k(t)-y_k(t)|=0$, akkor teljes\"ul a
$\limm_{k\to\infty}d(x_k(\cdot),y_k(\cdot))=0$ rel\'aci\'o. Ez\'ert a
T\'etel~A-b\'ol \'es a (3.1) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a
2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o} bel\'atni azt, hogy a
$T_k(t)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus folyamatok gyeng\'en
konverg\'alnak a 2.~T\'etelben defini\'alt hat\'arfolyamathoz.
 
A $T_k(t)=T'_k(t)+T''_k(t)$ azonoss\'ag teljes\"ul, \'es az ebben az
azonoss\'agban sze\-rep\-l\H{o}  $T'_k(t)$ \'es $T''_k(t)$, $1\le t\le
1$, sztochasztikus folyamatok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek. Azt fogjuk
bel\'atni, hogy a $T_k'(\cdot)$ folyamatok a hat\'arfolyamat Gauss a
$T''_k(\cdot)$  folyamatok pedig a hat\'arfolyamat Poisson
komponens\'ehez konverg\'alnak $k\to\infty$ eset\'en. Ahhoz, hogy
ezt megmutassuk el\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell, hogy az $\bold
R^1\times[0,1]$ s\'avon defini\'alt $N_k$ kanonikus m\'ert\'ekek
konvergenci\'aja az $N_0$ m\'ert\'ekhez hogyan t\"ukr\"oz\H{o}dik a
$T'_k(\cdot)$ \'es $T''_k(\cdot)$ folyamatokhoz kapcsol\'od\'o
megfelel\H{o} m\'ert\'ekek viselked\'es\'eben.
 
Tekints\"unk egy az 1.~Lemm\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $\e_k$
sz\'amsorozatot, \'es defini\'aljuk, az 1.~Lem\-ma jel\"ol\'es\'et
haszn\'alva, azt az $N'_k$ m\'ert\'eket a $[0,1]$ intervallumon,
amely az $0\le u_{k,1}\le u_{k,2}\le\cdots\le u_{k,n_k}=1$ 
pontokba van
koncentr\'alva, \'es $N'_k(u_{k,l})=G_{k,l}(\e_k)-G_{k,l}(-\e_k)$,
$k=1,2,\dots$, ahol az 1.~Lemm\'ahoz hasonl\'oan 
$G_{k,l}(\,dx)=x^2F_{k,l}(\,dx)$. Ezenk\'{\i}v\"ul defini\'aljuk azt 
az $N''_k$ kanonikus m\'ert\'eket a $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon, 
amely az $\bold R^1\times u_{k,l}$, $1\le l\le n_k$, egyenesek 
uni\'oj\'ara van koncentr\'alva, \'es
$$
N''_k(B\times \{u_{k,l}\})=\int_{B\cap \{u\colon\; |u|\ge\e_k\}}
u^2F_{k,l}(\,du), \quad 1\le l\le n_k, \quad k=1,2,\dots.
$$
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy a 2.~T\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese
eset\'en a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt $N'_k$ m\'ert\'ekek
gyeng\'en konverg\'alnak az $N_0'$ m\'ert\'ekhez, amelyet az
$N_0'(B)=N_0(\{0\}\times B)$ k\'eplet defini\'al, $B\subset [0,1]$.
Az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avban defini\'alt $N''_k$ kanonikus
m\'ert\'ekek az $\bold R^1\times[0,1])$ s\'avon pedig ahhoz az $N''_0$
kanonikus m\'ert\'ekhez konverg\'alnak, amelyet az
$N''_0(B)=N_0(B\setminus(\{0\}\times [0,1]))$, $B\subset \bold
R^1\times[0,1]$, k\'eplet hat\'aroz meg.
 
Ezen \'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy ha $B\subset [0,1]$ olyan halmaz, amelynek $\partial B$
hat\'ar\'ara $\lambda(\partial B)=0$, $C\subset\bold R_1$ olyan
korl\'atos halmaz, amelyre $M_0(\partial B)=0$, akkor a 2.~T\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en $\limm_{k\to\infty}N_k(C\times
B)=N_0(C\times B)$. Tov\'abb\'a $\limm_{k\to\infty}N'_k([0,1])=M(\{0\})$
az 1.~Lemma szerint. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy tetsz\H{o}leges olyan
$B\subset [0,1]$ halmazra, amelynek $\partial B$ hat\'ar\'ara
$\lambda(\partial B)=0$, $\limsupp_{k\to\infty}N'_k(B)\le
N_0(\{0\}\times B)=N'_0(B)$. Ugyanis minden $\delta>0$ sz\'amra
l\'etezik olyan $[-\eta,\eta]$ intervallum, $\eta>0$, amelyre $\pm\eta$
az $M$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja, \'es $M_0([-\eta,\eta])\le
M_0(\{0\})+\delta$, ahonnan $N_0([-\eta,\eta]\times B)\le
N_0(\{0\}\times B)+\delta$. Mivel $\e_k\to0$, ha $k\to\infty$, innen
k\"ovetkezik, hogy $\limsupp_{k\to\infty}N'_k(B)\le
\limm_{k\to\infty}N_k(B\times [-\eta,\eta])=N_0([-\eta,\eta]\times
B)\le N_0(\{0\}\times B)+\delta)$. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden
$\delta>0$ sz\'amra \'erv\'enyes, ez\'ert $\limsupp_{k\to\infty}
N_k'(B)\le N'_0(B)$. Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget alkalmazva mind a
$B$ mind az $[0,1]\setminus B$ halmazra kapjuk, hogy
$$
\align
N'_0([0,1])=&M_0(\{0\})=
\limm_{k\to\infty}N'_k([0,1)\le\limsupp_{k\to\infty}
N_k'(B)+\limsupp_{k\to\infty}N_k'([0,1]\setminus B)\\
&\le N'_0(B)+N'_0([0,1]\setminus B))=M_0'([0,1]).
\endalign
$$
Ez az egyenl\H{o}tlens\'egsor viszont csak \'ugy lehet \'erv\'enyes,
ha a $\limm_{k\to\infty} N'_k(B)=N'_0(B)$ rel\'aci\'o
teljes\"ul.
 
Vezess\"uk be az $\bar N_k'$, $k=1,2,\dots$, \'es $\bar N_0'$
kanonikus m\'ert\'ekeket az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon az $\bar
N'_k(A)=N_k(A\cap[-\e_k,\e_k])$, $\bar N_0'(A)=N_0(A\cap
\{0\}\times[0,1])$, $A\subset \bold R^1\cap [0,1]$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor az $N_k'$ m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'ab\'ol az $N_0'$ m\'ert\'ekhez k\"ovetkezik, hogy
az $\bar N_k'$ kanonikus m\'ert\'ekek konverg\'alnak az $\bar
N_0'$ kanonikus m\'ert\'ekhez. Tov\'abb\'a, $N''_k=N_k-\bar N'_k$,
$k=1,2,\dots$, \'es az hogy az $N''_k$  kanonikus m\'ert\'ekek
konverg\'alnak az $N_0''$ kanonikus m\'ert\'ekhez az $\bold
R^1\times [0,1]$ s\'avon k\"ovetkezik abb\'ol, hogy az $N_k$
kanonikus m\'ert\'ekek konverg\'alnak az $N_0$ az $\bar N_k'$
m\'ert\'ekek pedig konverg\'alnak az $\bar N'_0$  kanonikus
m\'ert\'ekhez az $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon.

Defini\'aljuk a $T'_{k,l}=\summ_{j=1}^{l}\eta'_{k,j}$, $1\le l\le
n_k$, $T'_{k,0}=0$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es a
$T'_k(t)$, $T'_k(t)=T'_{k,l}$, ha $u_{k,l-1}\le t<u_{k,l}$,
$T_{k,l}(1)=T'_{k,n_k}$ sztochasztikus folyamatot, \'es tekints\"uk 2.
T\'etel a) felt\'etel\'eben defini\'alt $\lambda(t)=N_0(\{0\}\times
[0,t])$, $0\le t\le 1$, folytonos f\"uggv\'enyt a $[0,1]$
intervallumon. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy a $T'_k(t)$, $0\le t\le1$,
sztochasztikus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak egy $W(\lambda(t))$,
$0\le t\le1$, sztochasztikus folyamathoz, ahol $W(t)$, $0\le t\le
M(\{0\})$, egy standard Wiener folyamat.
 
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk az
$\bar u_{k,0}=0$, $\bar u_{k,l}=\frac 1{U_k}\summ_{j=1}^l \text
{Var}\, \eta_{k,j}'$, sz\'amokat, $1\le l\le n_k$, $k=1,2,\dots$,
ahol $U_k=\summ_{j=1}^{n_k} \text{Var}\, \eta'_{k,j}$, \'es a $\bar
T_{k,l}'$ sztochasztikus folyamatokat, amelyeket a $T'_{k,l}$
sztochasztikus folyamatokhoz anal\'og m\'odon defini\'alunk azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az $u_{k,l}$ sz\'amokat az $\bar u_{k,l}$
sz\'amokkal helyettes\'{\i}tj\"uk. Ekkor a klaszzikus funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an az $\frac1{\sqrt {U_k}}
\bar T'_{k,l}(t)$, $0\le t\le1$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat
gyeng\'en konverg\'al egy $W(t)$ standard Wiener folyamathoz.

Defini\'aljuk a $\lambda_k(t)$, $k=1,2,\dots$, monoton \'es folytonos
f\"uggv\'enyeket \'ugy, hogy $\lambda_k(u_{k,l})=\bar u_{k,l}$, $0\le
l\le k_n$, \'es a $\lambda_k(\cdot)$ f\"uggv\'eny line\'aris az
$[u_{k,l-1}, u_{k,l}]$, $1\le k\le n_k$ intervallumokon. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $T'_k(t)=\sqrt{U_k}\bar T'_k\(\lambda_k(t)\)$.
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}U_k=M_0(\{0\}), \quad
\limm_{k\to\infty}\supp_{0\le t\le1}\left|\lambda_k(t)
-\frac{\lambda(t)}{M_0(\{0\})}\right|=0, \tag 3.2
$$
\'es innen k\"ovetkezik, hogy a $T_k'(t)$, $0\le t\le1$ sztochasztikus
folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak az $\sqrt
{M_0(\{0\})}W\(\frac {\lambda(t)}{M_0(\{0\})}\)$ sztochasztikus
folyamathoz, amelynek eloszl\'asa megegyezik a $W(\lambda(t))$, $0\le
t\le 1$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat eloszl\'as\'aval.

Val\'oban, az 1.~Lemm\'ab\'ol  \'es a (2.2) formul\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}U_k=\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E{\xi'_{k,j}}^2=M(\{0\}).
$$
Hasonl\'oan kapjuk, hogy $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le
l\le n_k}\left|\bar u_{k,l}U_k-\summ_{j=1}^lE{\xi'_{k,j}}^2\right|=0$,
azaz
$$
\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le l\le n_k}\left|\bar
u_{k,l}M_0(\{0\})-N_0k([-\e_k,\e_k])\times[0,u_{k,l}])\right|=0.
$$
Mivel a monoton $N_k([-\e_k,\e_k])\times[0,t])$ f\"uggv\'enyek minden
$0\le t\le1$ sz\'amra konverg\'alnak a folytonos
$\lambda(t)=N_0(\{0\}\times [0,t])$ f\"uggv\'enyhez, ez\'ert ez
ut\'obbi konvergencia egyenletes, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le l\le n_k}\left|\bar
u_{k,l}M_0(\{0\})-\lambda(u_{k,l})\right|=0$, ez\'ert
$$
\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le l\le n_k}\left|\lambda_k(
u_{k,l})-\frac{\lambda(u_{k,l})}{M_0(\{0\})}\right|=0.
$$
Innen k\"ovetkezik a (3.2) rel\'aci\'o.
 
Ahhoz, hogy $T'_k(t)=\frac1{\sqrt{U_k}}\bar T'_k\(\lambda_k(t)\)$
sztochasztikus folyamatok gyenge konvergenc\'aj\'at a $W(\lambda(t))$
sztochasztikus folyamathoz bel\'assuk, el\'eg megmutatni, hogy
$$
\sqrt{U_k}\bar T'_k\(\lambda_k(t)\)-
\sqrt{U_k}\bar T'_k\(\frac{\lambda(t)}{M_0(0)}\)\Rightarrow0, \tag3.3
$$
ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol. Ugyanis a
$\sqrt{U_k}\bar T'_k\(\frac{\lambda(t)}{M_0(0)}\)$ folyamat gyen\-ge
konvergenci\'aj\'at a $W(\lambda(t))$ folyamathoz tudjuk,
ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a (3.3)
rel\'aci\'ob\'ol \'es a T\'etel~A-b\'ol. Viszont a (3.3) rel\'aci\'o
k\"ovetkezik a (3.2) formul\'ab\'ol \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
az \'altal\'anos elm\'elet szerint $\sqrt{U_k}\bar
T'_k\(\frac{\lambda(t)}{M_0(0)}\)$ sztochasztikus folyamatok gyenge
konvergenci\'aj\'ab\'ol egy folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamathoz
k\"ovetkezik, hogy e folyamatok eloszl\'asai egyenletesen feszesek,
azaz minden $\e>0$ \'es $\eta>0$ sz\'amokhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e,\eta)>0$ sz\'am amelyre
$$
P\(\sup_{(s,t)\colon\; |t-s|\le\delta} \left|\sqrt{U_k}\bar
T'_k\(\frac{\lambda(t)}{M_0(0)}\)-
\sqrt{U_k}\bar T'_k\(\frac{\lambda(s)}{M_0(0)}\)\right|>\eta\)\le\e
$$
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra. (A $\delta=\delta(\e,\eta)$
k\"usz\"obindex nem f\"ugg a $k$ sz\'amt\'ol.)
 
 
\medskip\noindent
{\script B.) A bizony\'{\i}t\'as m\'odszere. A
Poisson r\'esz konvergenci\'aj\'anak vizsg\'alata.} \medskip
 
Az A.) r\'eszben defini\'altuk $T_k(t)=T'_k(t)+T''_k(t)$, $1\le t\le
1$, $k=1,2,\dots$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok egy sorozat\'at,
\'es bel\'attuk, hogy a 2. T\'etel bizony\'{\i}t\'asa
visszavezethet\H{o} annak az \'all\'{\i}t\'asnak az igazol\'as\'ara,
hogy a $T_k(t)$ sztochasztikus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak
ugyanahhoz az $S(t)$, $D([0,1])$ t\'erbeli sztochasztikus
folyamathoz, mint az eredetileg vizsg\'alt $S_k(t)$ sztochasztikus
folyamatok. M\'asr\'eszt, a $T'_k(t)$ \'es $T''_k(t)$  f\"uggetlenek,
\'es a $T'_k(t)$ sztochasztikus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak
egy olyan Gauss folyamathoz, amely a 2.~T\'etelben le\'{\i}rt
hat\'arfolyamathoz hasonl\'o m\'odon is megadhat\'o azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az abban szerepl\H{o} az $\bold R^1\times
[0,1])$ s\'avon \'ertelmezett $N_0(\cdot,\cdot)$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'eket az $\bar N'_0$, $\bar
N_0'(A)=N_0(A\cap \{0\})$  m\'ert\'ekkel helyettes\'{\i}tj\"uk.
Ez\'ert a  2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez
el\'eg bel\'atni, hogy a $T''_k(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus
fo\-lya\-ma\-tok gyeng\'en konverg\'alnak egy az $N_0''(\cdot,\cdot)$,
$N_0''(A)=N_0(A\cap \bold R^1\setminus\{0\}\times[0,1])$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $S''_k(t)$,
$0\le t\le1$, f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} szto\-chasz\-ti\-kus 
fo\-lya\-mat\-hoz. A tov\'abbiak \'erdek\'eben vezess\"uk be a 
k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamat (id\H{o}beli) diszkretiz\'altj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $Z(t)$, $0\le t\le1$, a $[0,1]$
intervallumon defini\'alt sztochasztikus folyamat, $0=t_0<
t_1<t_2<\cdots<t_s=1$, egy \'ert\'ekeit a $[0,1]$ intervallumon
felvev\H{o} monoton sz\'amsorozat. Ekkor a $Z(t)$ sztochasztikus
folyamatnak a $0=t_0< t_1<t_2<\cdots<t_s=1$ sorozat \'altal
meghat\'arozott $\bar Z(t)=\bar Z_{t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$
diszkretiz\'altja a
$$
\bar Z=\bar Z_{t_0,t_1,\dots,t_s}(t)=T_0(t_{l-1}), \quad\text{ha }
t_{l-1}\le t<t_l, \; 1\le l\le s,\quad \bar T_0(t)=T_0(1)
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt sztochasztikus folyamat a
$[0,1]$ intervallumon.} 
\medskip
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $T''_k(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok
olyan korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok
diszkretiz\'altjai, amelyeket olyan
$\nu_k(dx,dy)=\frac{N_k(dx,dy)}{x^2}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
Poisson folyamatok hat\'aroznak meg, amelyekre az $N_k$ az $\bold
R^1\times[0,1]$ s\'avon defini\'alt ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekek
konverg\'alnak az $N''_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez, \'es tel\-je\-s\"il
az $N_k(\{0\}\cap [0,1])=0$ azonoss\'ag. Ez\'ert a 2.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at befejezz\"uk, ha bebizony\'{\i}tjuk az al\'abb
megfogalmazand\'o, a 2.~Seg\'edt\'etel f\"ugg\-v\'eny\-t\'er\-beli
\'altal\'anos\'{\i}t\'asak\'ent tekinthet\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as.} {\it Legyen $N_k$, $k=0,1,2,\dots$, kanonikus
m\'ert\'ekek egy sorozata az $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon, amelyekre
az $N_k$ m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak az $N_0$ m\'ert\'ekhez,
ha $k\to\infty$, teljes\'{\i}tik a 2.~T\'etelben megfogalmazott
b.)~felt\'etelt, \'es $N_k(\{0\}\times [0,1])=0$, $k=0,1,2,\dots$.
Defini\'aljuk a $\nu_k(dx,dy)=\frac{N_k(dx,dy)}{y^2}$,
$k=0,1,2,\dots$, m\'ert\'ekeket \'es tekints\"unk olyan
$X_n(k)=(X_n^{(1)}(k),X_n^{(2)}(k))$,
$X_n(k)\in \bold R^1\times[0,1]$, $n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$,
Poisson folyamatokat az $R^1\times [0,1])$ s\'avon, amelynek a
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekei ezek a $\nu_k(dx,dy)$ m\'ert\'ekek.
Jel\"olje $T_k(t)$, $0\le t\le1$, $k=0,1,2,\dots$, az ezen Poisson
folyamatok \'altal meghat\'arozott korl\'atlanul oszthat\'o
folyamatotokat, amelyeket tekinthet\"unk mint $D([0,1])$ t\'erbeli
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat is.
A $T_k(t)$, $k=1,2,\dots$, folyamatok eloszl\'asai
gyeng\'en konverg\'alnak a $T_0(t)$ sztochasztikus
folyamat eloszl\'as\'ahoz a $D([0,1])$ t\'erben, ha
$k\to\infty$.
 
Legyen adva minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra egy
$0=u_{k,0}<u_{k,1}<\cdots<u_{k,n_k}=1$, amelyek teljes\'{\i}tik 
a $\supp_{1\le j\le n_k}|u_{k,j}-u_{k,j-1}|=0$  felt\'etelt, 
\'es tekints\"uk az  el\H{o}bb defini\'alt $T_k(t)$ korl\'atlanul 
oszthat\'o folyamatok 
$\bar T_k(t)=\bar T_{k,u_{k,0},u_{k,1},\dots,u_{k,n_k}}$
diszkretiz\'altjait. Ezek a diszkretiz\'alt $\bar T_k(t)$
sztochasztikus folyamatok eloszl\'asai szint\'en gyeng\'en
konverg\'alnak a $T_0(t)$ folyamat eloszl\'asaihoz a $D([0,1])$
t\'erben.}
\medskip

Megjegyezz\"uk, hogy a 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
befejez\'es\'ehez sz\"uks\'eges \'allit\'as megegyezik a $\bar
T_{k,u_{k,0},u_{k,1},\dots,u_{k,n_k}}$ sztochasztikus folyamatok
eloszl\'as\'anak a $T_0(t)$ folyamat eloszl\'as\'ahoz val\'o 
konvergenci\'aval, ha a 2.~T\'etelben defini\'alt 
$0=u_{k,0}<u_{k,1}<\cdots<u_{k,n_k}=1$ sz\'amsorozatokat
tekintj\"uk.
 
Megfogalmazunk k\'et seg\'edt\'etelt, n\'eh\'any megjegyz\'est
f\"uz\"unk hozz\'ajuk, \'es megmutatjuk, hogy k\"ovetkezik
bel\H{o}l\"uk az \'All\'{\i}t\'as. A seg\'edt\'eteleket a
C.)~r\'eszben fogjuk bizony\'{\i}tani. E seg\'edt\'etelek
megfogalmaz\'asa el\H{o}tt id\'ezz\"uk fel, hogy amennyiben
$X_n=(X_n^{(1)},X_n^{(2)})$, $X_n\in \bold R^1\times[0,1]$,
$n=1,2,\dots$, Poisson  folyamat egy olyan $\nu$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'ek\-kel az $\bold R^1\times[0,1]$
s\'avon, amelyre $\nu(\bold R^1\setminus[-b,b]\times[0,1])<\infty$
minden $b>0$ sz\'amra, akkor ez a Poisson folyamat meghat\'aroz
egy korl\'atlanul oszthat\'o $T(t)$, $0\le t\le1$,  sztochasztikus
folyamatot, amelyet a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'alhatunk.
V\'alasszunk al\-kal\-mas $A_L$, $L=1,2,\dots$, sz\'am\-so\-ro\-za\-tot,
$\limm_{L\to\infty}A_L=0$, \'es legyen
$$
T^{(L)}(t)=\summ_{n\colon\; |X_n^{(1)}|>A_L,\,0\le X_n^{(2)}\le t}X_n^{(1)}-
E\(\summ_{n\colon\;|X_n^{(1)}|>A_L,\,0\le X_n^{(2)}\le t}
\tau(X_n^{(1)})\),
\quad 0\le t\le1,
$$
$L=1,2,\dots$, ahol a $\tau(\cdot)$ f\"uggv\'enyt az (1.2) formul\'aban
defini\'altuk. Ha az $A_L$ sz\'am\-so\-ro\-za\-tot alkalmasan
v\'alasztjuk meg, akkor a $T(t)=\limm_{L\to\infty}T^{(L)}(t)$, $0\le
t\le 1$, sztochasztikus folyamat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
l\'etezik, ahol a limesz a szupr\'emum norm\'aban \'ertend\H{o} a
$[0,1]$ intervallumon. Ez egy korl\'atlanul oszthat\'o folyamat, \'es
ezt nevezz\"uk az adott Poisson folyamat \'altal meghat\'arozott
korl\'atlanul oszthat\'o folyamatnak. Ha $N_0$ ka\-no\-ni\-kus
m\'ert\'ek az $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon, akkor egy a
$\nu_0(dx,dy)=\frac{N_0(dx,dy)}{x^2}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
Poisson folyamat \'altal meghat\'arozott korl\'atlanul
oszthat\'o folyamat n\"ovekm\'enyeit meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az (1.15)
formula. Az el\H{o}bb megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok k\"ovetkeznek 
az 1.~r\'esz eredm\'enyeib\H{o}l. 

\medskip\noindent
{\bf 3.~Seg\'edt\'etel.} {\it Legyen adva egy $N_0$ kanonikus
m\'ert\'ek az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon, amelyre
$N_0(\{0\}\times [0,1])=0$. Tegy\"uk fel, hogy ez az $N_0$ m\'ert\'ek
teljes\'{\i}ti a 2.~T\'etel kimond\'as\'aban megfogalmazott b.)
felt\'etelt. Tekints\"unk egy olyan $X_n=(X_n^{(1)},X_n^{(2)})$,
$X_n\in \bold R^1\times[0,1]$, $n=1,2,\dots$, Poisson folyamatot az
$R^1\times [0,1]$ s\'avon amelynek a sz\'aml\'al\'om\'ert\'eke a
$\nu_0(dx,dy)=\frac{N_0(dx,dy)}{x^2}$ m\'ert\'ek, \'es legyen
$T_0(t)$, $0\le t\le1$, az ezen Poisson folyamat \'altal
meghat\'arozott korl\'atlanul oszthat\'o folyamat. Minden $\e>0$ \'es
$\eta>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $=\delta(\e,\eta)$ sz\'am, hogy
minden olyan $0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozatra amelyre
teljes\"ul a $\supp_{1\le l\le s}|t_l-t_{l-1}|<\delta$
egyenl\H{o}tlens\'eg a $T_0(t)$ sztochasztikus folyamat \'es annak
$\bar T_0(t)=\bar T_{0,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$ diszkretiz\'altja
teljes\'{\i}ti a
$$
P\(d(T_0(\cdot), \bar T_0(\cdot))>\eta\)<\e \tag3.4
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $d(\cdot,\cdot)$ a $D([0,1])$ t\'erben
bevezetett (egyszer\H{u}bb, nem teljes) met\-ri\-k\'at jel\"oli.

Legyen $N_k$, $k=1,2,\dots$, kanonikus m\'ert\'ekek sorozata az $\bold
R^1\times [0,1]$ s\'avon, amelyekre teljes\"ul az $N_k(\{0\}\times
[0,1])=0$ felt\'etel, \'es amelyek konverg\'alnak a
fent tekintett $N_0$ kanonikus m\'ert\'ekhez. Defini\'aljuk a
$\nu_k(dx,dy)=\frac{N_k(dx,dy)}{x^2}$, $k=1,2,\dots$, m\'ert\'ekeket.
Tekints\"unk olyan $X_n(k)=(X_n^{(1)}(k),X_n^{(2)}(k))$,
$X_n(k)\in \bold R^1\times[0,1]$, $n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$,
Poisson folyamatokat az $R^1\times [0,1])$ s\'avon, amelynek a
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekei ezek a $\nu_k(dx,dy)$ m\'ert\'ekek, \'es
jel\"olje $T_k(t)$, $0\le t\le1$, $k=1,2,\dots$, az ezen Poisson
folyamatok \'altal meghat\'arozott korl\'atlanul oszthat\'o
folyamatokat. Adva egy $\e>0$ \'es $\eta>0$ sz\'am l\'etezik
olyan $=\delta(\e,\eta)$ sz\'am, \'es $k_0=k_0(\eta,\e)$
k\"usz\"obindex, hogy minden $k\ge k_0$ sz\'am \'es olyan
$0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozat eset\'en amelyre teljes\"ul a
$\supp_{1\le l\le s}|t_l-t_{l-1}|<\delta$ egyenl\H{o}tlens\'eg a
$T_k(t)$ sztochasztikus folyamat \'es annak $\bar T_k(t)=\bar
T_{k,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$ diszkretiz\'altja teljes\'{\i}ti a
$$
P\(d(T_k(\cdot), \bar T_k(\cdot))>\eta\)<\e\quad\text{ha }k\ge k_0,
\tag3.5
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $d(\cdot,\cdot)$  ugyanaz a metrika a
$D([0,1])$ t\'erben mint amelyik a (3.4) formul\'aban szerepelt.}
\medskip
Megjegyezz\"uk, hogy a (3.5) formul\'aban szerepl\H{o} $k_0$
k\"usz\"obindex nem f\"ugg a $[0,1]$ in\-ter\-val\-lum el\'eg
finom feloszt\'as\'at biztos\'{\i}t\'o $0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$
sz\'amsorozatt\'ol.
 
\medskip\noindent
{\bf 4.~Seg\'edt\'etel.} {\it Legyen adva $N_k$, $k=1,2,\dots$,
kanonikus m\'ert\'ekek sorozata az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon,
amelyekre az $N_k$ kanonikus m\'ert\'ekekek konverg\'alnak az $N_0$
kanonikus m\'ert\'ekhez, ha $k\to\infty$, \'es
$N_k(\{0\}\times[0,1])=0$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Legyen
tov\'abb\'a adva a $[0,1]$ intervallumon egy
$0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_s=1$ monoton v\'eges pontsorozat.
Minden $k=1,2,\dots$ indexre lehet konstru\'alni egy olyan $\nu_k$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $X_n(k)=(X_n^{(1)}(k),X_n^{(2)}(k))$,
$X_n(k)\in \bold R^1\times[0,1]$, $n=1,2,\dots$,  \'es egy $\nu_0$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$X'_n(k)=({X'_n}^{(1)}(k),{X'_n}^{(2)}(k))$, $X'_n(k)\in \bold
R^1\times[0,1]$, $n=1,2,\dots$, Poisson folyamatot az $R^1\times
[0,1])$ s\'avon, amelyekre az \'altaluk meghat\'arozott $T_k(t)$
\'es $T'_k(t)$ korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o szto\-chasz\-ti\-kus
folyamatok illetve azok $\bar T_k=\bar T_{k,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$
\'es $\bar T'_k=\bar T'_{k,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$ diszkretiz\'altjai
teljes\'{\i}tik a
$$
\sup_{0\le t\le 1}|\bar T_k(t)-\bar T_k'(t)|\Rightarrow0 \quad \text{ha
} k\to\infty
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at
jel\"ol.} \medskip
 
Teljes\'{\i}ts\'ek az $N_k$, $k=1,2,\dots$, kanonikus m\'ert\'ekek
az \'All\'{\i}t\'as felt\'eteleit. Ekkor  3.~\'es 4.~Seg\'edt\'etel
alapj\'an minden $\e>0$ \'es $\eta>0$ sz\'am eset\'en meg lehet adni
a $[0,1]$ intervallumnak olyan $0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_s=1$
partici\'oj\'at,
$t_l=t_l(\e)$, $0\le l\le s$, \'es lehet konst\-ru\-\'al\-ni olyan
$\nu_k(dx,dy)=\frac{N_k(dx,dy)}{y^2}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$X_n(k)=({X_n}^{(1)}(k),{X_n}^{(2)}(k))$, \'es
$\nu_0(dx,dy)=\frac{N_0(dx,dy)}{y^2}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$X'_n(k)=({X'_n}^{(1)}(k),{X'_n}^{(2)}(k))$, $n=1,2,\dots$,
$k=1,2,\dots$, Poisson folyamatokat az $R^1\times [0,1]$ s\'avon,
amelyekre az \'altaluk meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $T_k(t)$, \'es
$T'_k(t)$, $k=1,2,\dots$, korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o sztochasztikus
folyamatok illetve azok $\bar T_k=\bar T_{k,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$
\'es $\bar T'_k=\bar T'_{k,t_0,t_1,\dots,t_s}(t)$ diszkretiz\'altjai
teljes\'{\i}tik az al\'abbi re\-l\'a\-ci\'o\-kat:
$$
\aligned
P\(d(T_k'(\cdot),\,\bar T'_{k,t_0,\dots,t_s}(\cdot))>\eta\)&<\e \quad
\text{minden } k\ge1 \text{ sz\'amra} \\
P\(d(T_k(\cdot),\,\bar T_{k,t_0,\dots,t_s}(\cdot))>\eta\)&<\e,\quad
\text{ha } k\ge k_0\\
P\(\sup_{0\le t\le 1}\left|\bar T_{k,t_0,\dots,t_s}(t)
-\bar T'_{k,t_0,\dots,t_s}(t)  \right|>\eta\)&<\e, \quad\text{ha }
k\ge k_0,
\endaligned \tag3.6
$$
ahol $k_0=k_0(\e,\eta)$ alkalmas k\"usz\"obindex.
 
Val\'oban a (3.6) formula els\H{o} k\'et rel\'aci\'oja teljes\"ul
alkalmas $0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozatra minden 
$k\ge k_0$ sz\'amra, ha $k_0=\bar k_0(\e,\eta)$ alkalmas
k\"usz\"obindex a 3.~Seg\'edt\'etel alapj\'an. E rel\'aci\'ok
\'erv\'enyess\'ege nem f\"ugg att\'ol, hogyan konstru\'aljuk meg a
$\nu_k$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $X_n(k)$ \'es $\nu_0$
 sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $X'_n(k)$ Poisson folyamatokat.
Ezut\'an a 4.~Seg\'edt\'etel alapj\'an biztos\'{\i}tani tudjuk
alkalmas konstrukci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (3.6) formula
harmadik rel\'aci\'oj\'at is a $k_0$ k\"usz\"obindex
esetleges n\"ovel\'es\'evel.
 
V\'alasszunk $\e_j=\eta_j=\frac1j$ sz\'amokat a (3.6) formul\'aaban.
Ekkor l\'etezik olyan eg\'esz sz\'amoknak olyan $k_0\(\frac1j\)$
monoton sorozata \'es mindegyik $j$ sz\'amra olyan
$0=t_0^{(j)}<t_1^{(j)}<t_2^{(j)}<\cdots<t_{s_j}^{(j)}=1$ sorozat,
amelyekre alkalmas konstrukci\'o eset\'en \'erv\'enyes a (3.6)
rormul\'anak az a v\'altozata minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra
$\e=\eta=\frac1j$  v\'alaszt\'assal, amelyben a $k\ge k_0$ felt\'etelt
a $k_0\(\frac1j\)\le k\le k_0\(\frac1{j+1}\)$ felt\'etellel
helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es $0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_s=1$ helyett
$0=t_0^{(j)}<t_1^{(j)}<t_2^{(j)}<\cdots<t_{s_j}^{(j)}=1$-et
\'{\i}runk, azaz a tekintett feloszt\'assorozat f\"ugghet a $j$
indext\H{o}l. Ez\'ert az \'All\'{\i}t\'as felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en a $\nu_k$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
Poisson folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel konstru\'alt $T_k(t)$ \'es
a $\nu_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson folyamat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel konstru\'alt $T'_k(t)$ korl\'atlanul oszthat\'o
folyamatok alkalmas
$0=t_0^{(k)}<t_1^{(k)}<t_2^{(k)}<\cdots<t_{s_k}^{(k)}=1$
v\'alaszt\'assal teljes\"ulnek a
$$
\align
d\(T_k'(\cdot),\bar T'_{k,t_0^{(k)},\dots,\,t_{s_k}^{(k)}}(\cdot)\)
&\Rightarrow0  \quad\text{ha }k\to\infty \tag3.7a \\
d\(T_k(\cdot)\,,\bar T_{k,t_0^{(k)},\dots,t_{s_k}^{(k)}}
(\cdot)\)&\Rightarrow0 \quad\text{ha }k\to\infty  \tag3.7b  \\
\sup_{0\le t\le 1}\left|\bar T_{k,t_0^{(k)},\dots,t_{s_k}^{(k)}}(t)
-\bar T'_{k,t^{(k)}_0,\dots,t^{(k)}_s}(t) \right|&\Rightarrow0
\quad\text{ha }k\to\infty \tag3.7c
\endalign
$$
rel\'aci\'ok.
 
A T\'etel~A \'es a (3.7a) rel\'aci\'o alapj\'an a $\bar
T'_{k,t_0^{(k)},\dots,\,t_{s_k}^{(k)}}(\cdot)$ sztochasztikus
folyamatok eloszl\'asai konverg\'alnak a $T_0(\cdot)$ folyamat
eloszl\'as\'ahoz a $D([0,1])$ t\'erben. (A $T'_k(\cdot)$ \'es
$T_0(\cdot)$  sztochasztikus folyamatok eloszl\'asa megegyezik.)
Ezut\'an a T\'etel~A-b\'ol \'es a (3.7c) rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy a $\bar T_{k,t_0^{(k)},\dots,t_{s_k}^{(k)}}
(\cdot)$, sztochasztikus folyamatok majd a T\'etel~A-b\'ol \'es
a (3.7c) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy a
$T_k(\cdot)$ sztochasztikus folyamatok eloszl\'asai konverg\'alnak a
$T_0(\cdot)$ sztochasztikus folyamat eloszl\'as\'ahoz a $D([0,1])$
t\'erben, mint azt az \'All\'{\i}t\'as els\'o r\'esz\'eben
megfogalmaztuk. Ezut\'an az \'All\'{\i}t\'as m\'asodik fele
k\"ovetkezik a T\'etel~A-b\'ol \'es a 3.~Seg\'edt\'etel m\'asodik
fel\'eb\H{o}l. E szerint az eredm\'eny szerint ugyanis
$$
d\(T_k(\cdot)\,,\bar T_{k,u_{k,0}^{(k)},\dots,u_{k,n_k}^{(k)}}
(\cdot)\)\Rightarrow0 \quad\text{ha }k\to\infty.
$$
(Itt haszn\'aljuk ki, hogy a (3.5) rel\'aci\'oban szerepl\H{o} $k_0$
k\"usz\"obindex nem f\"ugg att\'ol, hogy amelyik el\'eg s\H{u}r\H{u}
$0=t_0<t_1<\cdot<t_s$ sorozatot vessz\"uk.)

Jegyezz\"uk meg, hogy a 3.~Seg\'edt\'etelben egy sztochasztikus
folyamatnak illetve annak diszkretiz\'altjainak t\'avols\'ag\'at nem
a szup\-r\'e\-mum, hanem a $D([0,1])$ t\'erben be\-ve\-ze\-tett
$d(\cdot,\cdot)$ metrika szerint becs\"ult\"uk meg. Ez
sz\"uks\'egszer\H{u}, hiszen, ha az eredeti szto\-chasz\-ti\-kus
folyamatnak egy v\'eletlen pontban nagy ugr\'asa van, akkor e
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat \'es annak diszkretiz\'altja
sz\"uks\'egszer\H{u}en t\'avol van egym\'ast\'ol. Viszont, ha az
ugr\'aspontok nincsenek t\'ul s\H{u}r\H{u}n, egy kis intervallumban
legfeljebb egy ugr\'aspont van akkor el\'eg \'altal\'anos esetben egy
sztochasztikus folyamat \'es annak el\'eg finom
disz\-kre\-ti\-z\'alt\-ja k\"ozel van egym\'ashoz a $d(\cdot,\cdot)$
metrik\'aban. A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemm\'aban egy olyan
t\'enyt fogalmazunk meg, amely lehet\H{o}v\'e teszi a
3.~Seg\'edt\'etelben szerepl\H{o} becsl\'esek vizsg\'alat\'at.

\medskip\noindent
{\bf 2.~Lemma.} {\it Legyen $x(t)$ \'es $y(t)$, $0\le t\le1$, k\'et
cadlag f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, amelyeknek $p$,
$p<\infty$, ugr\'aspontjuk van. (A k\'et f\"uggv\'enynek ugyanannyi
az ugr\'aspontja.) Tegy\"uk fel azt is, hogy az $x(\cdot)$ \'es
$y(\cdot)$ f\"uggv\'enyek \'ert\'ekei az egym\'ast k\"ovet\H{o} 
ugr\'aspontokban meg\-egyez\-nek. Legyen
$0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ olyan v\'eges monoton sz\'amsorozat, amelyre
$\inff_{1\le l\le s}|t_l-t_{l-1}|\le\delta$ valamilyen $\delta>0$
sz\'ammal,  \'es legyen az $x(\cdot)$ f\"uggv\'eny konstans mindegyik
$[t_{l-1},t_l)$ intervallumban, $1\le l\le s-1$. Tov\'abb\'a, ha az
$x(\cdot)$ f\"uggv\'eny $j$-ik ugr\'aspontja valamelyik $t_{l_j}$
pont, akkor az $y(\cdot)$ $j$-ik  ugr\'aspontja az
$(t_{l_{j-1}},t_{l_j}]$ intervallum valamelyik pontj\'aban
van, $1\le j\le p$. Ekkor $d(x(\cdot,\cdot)<\delta$.}

\medskip\noindent
{\it A 2.~Lemma bizony\'{\i}t\'asa}\/ Legyenek $u_1,\dots, u_p$ az
$y(\cdot)$ f\"uggv\'eny ugr\'aspontjai. Defini\'aljuk a $[0,1]$
intervallum k\"ovetkez\H{o} homomorfizmus\'at \"onmag\'ara: $\lambda
(u_j)=t_{l_j}$, $1\le j\le p$, \'es legyen a $\lambda(\cdot)$
f\"uggv\'eny line\'aris az $[u_{j-1},\,u_j]$, $1\le j \le p$,
intervallumban. (A $t_{l_j}$ pont az $x(\cdot)$ f\"uggv\'eny $j$-ik
ugr\'aspontja.) Ekkor $y(\lambda(\cdot))=x(\cdot)$, \'es $\supp_{0\le
t\le1}|\lambda(t)-t|\le \delta$. Ez\'ert $d(x(\cdot),y(\cdot))\le
\delta$.

\medskip\noindent
{\script C.) A 3. \'es 4. Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
{\it A 3. Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ V\'alasszunk egy 
olyan $\alpha>0$ sz\'amot, amelyre $\pm\alpha$ az $M_0$ kanonikus 
m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja, \'es $M_0(-\alpha,\alpha])<
\frac{\e\eta^2}8$, ahol az $M_0$ m\'ert\'eket az 
$M_0(B)=N_0(B\times[0,1])$, $B\in\bold R^1$ k\'eplet defini\'alja. 
Vezess\"uk be az $N_0''(\cdot)=N_{0,\alpha}(\cdot)$
\'es $N'_{0,A_L}(\cdot)=N'_{0,A_L,\alpha}(\cdot)$ kanonikus
m\'ert\'ekeket az $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon, amelyeket az 
$N''_0(B)=N_0(B\cap\{(x,y)\colon\; |x|\ge \alpha\})$ \'es 
$N'_{0,A_L}(B)=N_0(B\cap \{(x,y)\colon\; A_L\le|x|<\alpha\})$,
$B\in \bold R^1\cap[0,1]$, k\'epletek defini\'alnak, \'es 
az $A_L$ sz\'amokat \'ugy v\'alasztjuk e k\'epletekben, hogy azok
tegy\'ek lehet\H{o}v\'e a $T_0(t)$ korl\'atlanul oszthat\'o 
folyamatokat defini\'al\'o regulariz\'alt \"osszegek 
bevezet\'es\'et. Defini\'aljuk tov\'abb\'a a
$\nu_0''(\,dx,\,dy)=\frac{N''_0(\,dx,\,dy)}{x^2}$ \'es
$\nu_{0,A_L}'(dx,dy)=\frac{N'_{0,A_L}(dx,dy)}{x^2}$ m\'ert\'ekeket.
Tekints\"unk egy $X_n''=({X_n''}^{(1)}, {X_n''}^{(2)})$, 
$n=1,2,\dots$, $\nu''_0$ sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u} 
Poisson folyamatot \'es az \'altala meghat\'arozott
$$
T_0''(t)=\summ_{n\colon\;{X_n''}^{(1)}>\alpha,\;0\le {X_n''}^{(2)}\le t}
{X_n''}^{(1)}-
E\(\sum_{n\colon\; X_n^{(1)}>\alpha,\;0\le {X_n''}^{(2)}\le t}
\tau\({X_n''}^{(1)}\)\)
%I\(\left|{X_n''}^{(1)}\right|>\alpha\)\)\)
, \quad 0\le t\le 1,
$$
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u sztochasztikus folyamatot.
Hasonl\'oan, tekints\"unk egy $X_{n,A_L}'=({X_{n,A_L}'}^{(1)},
{X_{n,A_L}'}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$, $\nu'_{0,A_L}$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u} Poisson folyamatot \'es az
\'altala meghat\'arozott
$$
T_{0,A_L}'(t)=
\summ_{n\colon\;A_L\le{X_n'}^{(1)}<\alpha,\; 0\le {X_n'}^{(2)}\le t}
{X_n'}^{(1)}-E\(
\summ_{n\colon\;A_L\le{X_n'}^{(1)}<\alpha,\; 0\le {X_n'}^{(2)}\le t}
\tau\({X_n'}^{(1)}\)\),
$$
$0\le t\le 1$, korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u sztochasztikus
folyamatot. Legyen $T_{0,A_L}(t)=T'_{0,A_L}(t)+T''_0(T)$, $0\le
t\le1$. A $T_{0,A_L}(\cdot)$ sztochasztikus folyamatok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak szupr\'emum
norm\'aban a $T_0(\cdot)$ sztochasztikus folyamathoz, ez\'ert a (3.4)
formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$$
P\(d(T_{0,A_L}(\cdot), \bar T_{0,A_L,t_0,\cdots,t_s}(\cdot))>\eta\)<\e,
\quad \text{minden } L\ge L_0 \text{ sz\'amra} \tag3.8
$$
ahol $L_0$  alkalmas sz\'am, \'es $\bar
T_{0,A_L,t_0,\cdot,t_s}(\cdot))$ a $T_{0,A_L}(\cdot)$ folyamat
diszkretiz\'altj\'at jel\"oli. Val\'oban,
$\left\{\oo\colon\;d(T_0,(\cdot), \bar T_0(\cdot))\right\}\subset
\liminff_{L\to\infty}\left\{\oo\colon\; d(T_{0,A_L}(\cdot), \bar
T_{0,A_L,t_0,\cdots,t_s}(\cdot))\right\}$, ez\'ert a (3.8)
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a (3.4) formula.
 
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P\(d(T_{0,A_L}(\cdot),\bar T_{0,A_L,t_1,\dots,t_s}(\cdot))>\eta\)
&\le P\(\supp_{0\le t\le1}|T'_{0,A_L}(t)|>\frac\eta2\) \\
&\qquad +P\(d(T''_0(\cdot),\bar
T''_{0,t_1,\dots,t_s}(\cdot))>\frac\eta2\),
\endalign
$$
ez\'ert a (3.8) formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni azt,
hogy
$$
P\(\supp_{0\le t\le1}|T'_{0,A_L}(t)|>\frac\eta2\)<\frac\e2, \quad
\text{ha } L\ge L_0, \tag3.9
$$
\'es
$$
P\(d(T''_0(\cdot),\bar T''_{0,t_1,\dots,t_s}(\cdot))>\frac\eta2\)
<\frac\e2, \quad\text{ha } \sup_{1\le l\le s}|t_l-t_{l-1}|<\delta,
\tag3.10
$$
alkalmas $\delta>0$ sz\'ammal.

Mivel $T'_{0,A_L}(t)$ f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} sztochasztikus
folyamat, amelynek tra\-jek\-t\'o\-ri\-\'ai cadlag f\"uggv\'enyek, 
ez\'ert a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
P\(\supp_{0\le t\le1}|T'_{0,A_L}(t)|>\frac\eta2\)\le
\frac{4ET'_{0,A_L}(1)^2}{\eta^2}=\frac4{\eta^2}\int
u^2\mu'_{0,A_L}(\,du)\le\frac4{\eta^2} M_0([-\alpha,\alpha])<\e,
$$
ahol $\mu'_{0,A_L}(B)=\nu'_{0,A_L}(B\times [0,1])$ minden $B\subset
\bold R^1$ m\'erhet\H{o} halmazra. Ez\'ert \'erv\'enyes a (3.9)
egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
A (3.10) formula bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben vezess\"uk be
a $\lambda_0(t)=\lambda_{0,\alpha}(t)$ f\"uggv\'enyt, amelyet a
$\lambda_0(t)=\nu''_0(\bold
R^1\times[0,t])=\int_{\{(x,y)\colon\;|x|>\alpha,\; 0\le|y|<t\}}
\frac{N_0(\,dx,\,dy)}{x^2}$, $0\le t\le1$, k\'eplet
defini\'al. Jegyezz\"uk meg, hogy a 2.~T\'etel b.) felt\'etele
alapj\'an a $\lambda_0(\cdot)$  f\"uggv\'eny folytonos a $[0,1]$
intervallumban. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy l\'etezik olyan $\delta>0$
sz\'am, hogy minden $0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozatra
$$
\summ_{l=1}^s \(\lambda_0(t_l)-\lambda_0(t_{l-1})\)^2<\e,
\quad \text{ha }|t_l-t_{l-1}|<\delta,\text { minden } 1\le l\le s\text
{ sz\'amra.} \tag3.11
$$
Val\'oban, a $\lambda_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos,
ez\'ert l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am, amelyre
$|\lambda_0(t)-\lambda_0(s)|<\frac{\e}{\lambda(1)}$, ha
$|t-s|<\delta$. Tov\'abb\'a, a $\lambda_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny
monoton n\H{o}. Ez\'ert $\summ_{l=1}^s
\(\lambda_0(t_l)-\lambda_0(t_{l-1})\)^2\le \supp_{1\le l\le s}
|\lambda_0(t_l)-\lambda_0(t_{l-1})|\summ_{l=1}^s
|\lambda_0(t_l)-\lambda_0(t_{l-1})|<\e$, ha $|t_l-t_{l-1}|<\delta$
minden $1\le l\le s$ sz\'amra, azaz a (3.11) formula \'erv\'enyes.
 
Egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $1-e^{-\lambda}-\lambda
e^{-\lambda}\le\frac{ \lambda^2}2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz
nagyobb vagy egyenl\H{o} mint kett\H{o}, ez\'ert annak
val\'oszin\H{u}s\'ege, hogy a $\nu''_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$X_n''=({X_n''}^{(1)}, {X_n''}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$, Poisson folyamat
legal\'abb k\'et olyan $X''_{n_1}$ \'es $X''_{n_2}$ pontot tartalmaz,
amelyek ${X_{n_1}''}^{(2)}$ \'es ${X_{n_2}''}^{(2)}$
m\'asodik koordin\'at\'ai valamely $[s,t]$ intervallumba esnek, $0\le
s<t\le1$, kisebb mint $\frac12\nu''(\bold R^1\times[s,t])^2
=\frac12(\lambda(t)-\lambda(s))^2$. Ez\'ert a (3.11) formula alapj\'an
adva egy $\nu_0''$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$X_n''=({X_n''}^{(1)}, {X_n''}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$, Poisson folyamat
\'es egy $0\le t_0< t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozat az
$$
A(t_1,\dots,t_s)=\{\oo\colon\; 
\#\{n\colon\;t_{l-1}\le {X_n''}^{(2)}(\oo)\le t_l\}
\le1 \quad \text{minden } 1\le l\le s \text{ sz\'amra}\}
$$
esem\'eny teljes\'{\i}ti az
$$
1-P\(A(t_1,\dots,t_s)\)=P\(\Omega\setminus A(t_1,\dots,t_s)\)
\le\frac12\sum_{l=1}^s\(\lambda_0(t_l)-\lambda_0(t_{l-1})\)^2
\le \frac\e2 \tag3.12
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ha $\supp_{1\le l\le s}|t_l-t_{l-1}|<\delta$.
Tegy\"uk fel, hogy a (3.12) formul\'aban szerepl\H{o} $\delta>0$
sz\'am teljes\'{\i}ti a $\delta<\frac\eta2$ egyenl\H{o}tlens\'eget is.
A (3.12) formula azt jelenti, hogy egy legal\'abb $1-\frac\e2$ halmazon
az $x(t)=\bar T''_{0,t_0,t_1,\dots,t_s}(t,\oo)$ \'es
$y(t)=T_0''(t,\oo)$ f\"uggv\'enyekre \'es a
$0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amokra teljes\"ulnek a 2.~Lemma
felt\'etelei, ez\'ert $d(T''_0(\cdot,\oo),\bar T''_{0,t_0,
\cdots,t_s}(\cdot,\oo))\le\delta<\frac\eta2$, egy legal\'abb
$1-\frac\e2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} halmazon. Ez\'ert a (3.10)
\'es (3.4) rel\'aci\'ok \'erv\'enyesek.
 
A (3.5) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a (3.4)
formul\'a\'ehoz. Defini\'aljuk az $N'_{k,A_L}(\cdot)$,
$N''_k(\cdot)$ kanonikus m\'ert\'ekeket, $\nu'_{k,A_L}(\cdot)$,
$\nu''_k(\cdot)$ m\'ert\'ekeket, a $\nu'_{k,A_L}$ illetve
$\nu''_k(\cdot)$ sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-kek\H{u}
$X_{n,A_L}'=({X_{n,A_L}'}^{(1)}, {X_{n,A_L}'}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$,
\'es $X_n''=({X_n''}^{(1)}, {X_n''}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$, Poisson
folyamatokat hasonl\'oan a bizony\'{\i}t\'as elej\'en defini\'alt
m\'ert\'ekekhez \'es Poisson folyamatokhoz, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel,
hogy az $N_0$ m\'ert\'eket minden\"utt az $N_k$ m\'ert\'ekekkel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ezut\'an ezeknek a Poisson folyamatoknak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a $T_{k,A_L}'(t)$ \'es $T_k''(t)$,
$k=1,2,\dots$, $0\le t\le1$, sztochasztikus folyamatokat
hasonl\'oan a $T_{0,A_L}'(t)$ \'es $T_0''(t)$ sztochasztikus
folyamatokhoz.
 
Ezut\'an a (3.5) formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni a
(3.9) \'es (3.10) formula k\"ovetkez\H{o} analogonjait:
$$
P\(\supp_{0\le t\le1}|T'_{k,A_L}(t)|>\frac\eta2\)<\frac\e2, \quad
\text{ha } k\ge k_0\text{ \'es } L\ge L_0, \tag3.13
$$
alkalmas $k_0=k_0(\e, \eta)$ k\"usz\"obindex-szel \'es
$$
P\(d(T''_k(\cdot),\bar T''_{k,t_1,\dots,t_s}(\cdot))>\frac\eta2\)
<\frac\e2, \quad\text{ha }  k\ge k_0,\text{ \'es } \sup_{1\le l\le
s}|t_l-t_{l-1}|<\delta, \tag3.14
$$
alkalmas $k_0=k_0(\e,\eta)$ k\"usz\"obindex-szel \'es $\delta>0$
sz\'ammal.
 
A (3.13) formula ugyan\'ugy bizony\'{\i}that\'o mint a (3.9) k\'eplet,
az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben ki kell haszn\'alni
at, hogy abb\'ol, hogy a $\pm\alpha$ sz\'amok az $M_0$ m\'ert\'ek
folytonoss\'agi pontjai, \'es $M_0((-\alpha,\alpha])<
\frac{\e\eta^2}8$ k\"ovetkezik, hogy $M_k((-\alpha,\alpha])<
\frac{\e\eta^2}8$, ha $k\ge k_0$ \'es $k_0$ alkalmas
k\"usz\"obindex.
 
A (3.14) formula ugyan\'ugy bizony\'{\i}that\'o mint a (3.10)
k\'eplet, az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most a (3.11) formula
k\"ovetkez\H{o} analogonj\'ara van sz\"uks\'eg\"unk:

Minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra vezess\"uk be a
$\lambda_k(t)=\lambda_{k,\alpha}(t)$ f\"uggv\'enyt, amelyet a
$\lambda_k(t)=\nu''_k(\bold R^1\times[0,t])
=\int_{\{(x,y)\colon\;|x|>\alpha,\; 0\le|y|<t\}}
\frac{N_k(\,dx,\,dy)}{x^2}$, $0\le t\le1$, k\'eplet defini\'al.
Ekkor l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am \'es $k_0=k_0(\delta)$
k\"usz\"obindex \'ugy, hogy minden $0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$
sz\'amsorozatra
$$
\summ_{l=1}^s \(\lambda_k(t_l)-\lambda_k(t_{l-1})\)^2\le \e,
\quad \text{ha } k\ge k_0\text{ \'es } |t_l-t_{l-1}|<\delta,\text
{ minden } 1\le l\le s\text { sz\'amra.} \tag3.15
$$
Hangs\'ulyozzuk, hogy a $k_0$ k\"usz\"obindex a (3.15) formul\'aban
csak a $\delta>0$ sz\'amt\'ol f\"ugg nem pedig a
$0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozatt\'ol.
 
L\'assuk be a (3.15) formul\'at el\H{o}sz\"or abban az esetben, ha a
$0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozat nemcsak a
$|t_l-t_{l-1}|<\delta$, hanem a $|t_l-t_{l-1}|\ge\frac\delta2$
egyenl\H{o}tlens\'eget is teljes\'{\i}ti minden $1\le l\le s$ sz\'amra.
Ekkor az $N_k$ kanonikus m\'ert\'ekeknek az $N_0$ m\'ert\'ekhez
val\'o konvergenci\'aja miatt a monoton $\lambda_k(\cdot)$
f\"uggv\'enyek minden pontban konverg\'alnak a folytonos \'es monoton
$\lambda_0(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez. Ilyen esetben viszont a
$\limm_{k\to\infty}\lambda_k(t)=\lambda_0(t)$, $0\le t\le1$,
konvergencia sz\"uks\'egszer\H{u}en egyenletes, \'es a (3.15) formula
balodal\'an szerepl\H{o} \"osszeg legfeljebb $\frac2\delta$ tagot
tartalmaz. Ez\'ert eme plusz feltev\'es eset\'en a (3.15) formula a
(3.11) formula direkt k\"ovetkezm\'enye.
 
Tekints\"unk olyan $0=t_0<t_1<\cdots<t_s=1$ sz\'amsorozatot, amelyre
$\supp_{1\le s\le k}|t_l-t_{l-1}|<\frac\delta2$, azaz egy
tetsz\H{o}leges a (3.15) formul\'aban szerepl\H{o} sz\'amsorozat, azzal
a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a $\delta$ sz\'amot most a $\frac\delta2$
sz\'ammal helyetes\'{\i}tett\"uk. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy egy
ilyen sz\'amsorozatnak l\'etezik olyan
$0=t_{j_0}<t_{j_1}<\cdots<t_{j_p}=1$ r\'eszsorozatota, amelyre
$\frac\delta2\le \left|t_{j_u}-t_{j_{u-1}}\right|<\delta$ minden
$1\le u\le p$ sz\'amra. Tekints\"unk egy ilyen r\'eszsorozatot. Ekkor
az el\H{o}z\H{o}ek alapj\'an
$$
\summ_{l=1}^s \(\lambda_k(t_l)-\lambda_k(t_{l-1})\)^2\le
\summ_{u=1}^p \(\lambda_k(t_{j_u})-\lambda_k(t_{j_{u-1}})\)^2< {\e},
$$
azaz a (3.15) formul\'at bebizony\'{\i}tottuk ($\frac\delta2$
v\'alaszt\'assal a $\delta$ sz\'am helyett.) A (3.5) formula
bizony\'{\i}t\'asa ezek ut\'an ugyan\'ugy t\"ort\'enhet mint a (3.4)
formul\'a\'e. 

\medskip\noindent
{\it A 4.~Seg\'edt\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A bizony\'{\i}t\'as
alapgondolata a k\"ovetkez\H{o}. A vizsg\'aland\'o
dirszkretiz\'alt $\bar T_k(\cdot)-\bar T_k'(\cdot)$
k\"ul\"onbs\'egek csak att\'ol f\"uggnek, hogy a $T_k(\cdot)$ \'es
$T'_k(\cdot)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokat meghat\'aroz\'o Poisson
folyamatok h\'any pontot tartalmaznak a speci\'alis $A\times[0,t_l]$,
$A\subset \bold R^1$, alak\'u halmazokon. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant
Poisson folyamatoknak el\H{o}sz\"or csak alkalmas diszkretiz\'altjait
konstru\'aljuk meg. Az, hogy ezen konstrukci\'okat el tudjuk
v\'egezni \'ugy, hogy teljes\"ulj\"on a k\'{\i}v\'ant sztochasztikus
konvergencia k\"ovetkezik a 2.~Seg\'edt\'etel eredm\'eny\'eb\H{o}l.
V\'eg\"ul alkalmas v\'eletlen\'{\i}t\'essel ki tudjuk eg\'esz\'{\i}teni
a Poisson folyamatok diszkretiz\'altjait egy a 4.~Seg\'edt\'etel 
\'all\'{\i}t\'as\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'ov\'a.

A r\'eszletek kidolgoz\'asa \'erdek\'eben bevezet\"unk n\'eh\'any
je\-l\"o\-l\'est. Defini\'aljuk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} 
$\tilde N_{k,l}$, $k=0,1,2,\dots$, $1\le l\le s$, kanonikus 
m\'ert\'ekeket a sz\'amegyenesen \'es $\tilde N_k$, $k=0,1,2,\dots$, 
kanonikus m\'ert\'ekeket az $\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon.
Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or az
$\tilde N_{k,l}(B)=N_k(B\times[t_{l-1},t_l])$, $k=0,1,2,\dots$, 
$1\le l\le s$, $B\subset\bold R^1$ m\'ert\'ekeket. Vezess\"uk be 
tov\'abb\'a az $\tilde N'_{k,l}$ kanonikus m\'ert\'ekeket az 
$\bold R^1\times [0,1]$ s\'avon az
$\tilde N'_{k,l}(B\times \{t_l\})=\tilde N'_{k,l}(B)$, $B\subset \bold
R^1$, $\tilde N'_{k,l}(\bold R^1\times[0,1]\setminus\{0\})=0$,
$k=0,1,2,\dots$, $1\le l\le s$ k\'epletek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azaz
legyen az $\tilde N'_{k,l}$ m\'ert\'ek az $\tilde N_{k,l}$ m\'ert\'ek 
eltoltja a sz\'amegyenesr\H{o}l az $\{(x,y)\colon\; y=t_l\}$ egyenesre. 
V\'eg\"ul legyen $\tilde N_k=\summ_{l=1}^s \tilde N'_{k,l}$, 
$k=0,1,2,\dots$.

Defini\'aljuk ezut\'an a $\tilde\nu_{k,l}(dx)=\frac{\tilde
N_{k,l}(dx)}{x^2}$ a $\tilde\nu'_{k,l}(dx)=\frac{\tilde
N'_{k,l}(dx)}{x^2}$ \'es $\tilde\nu_{k}(dx,dy)=\frac{\tilde
N_k(dx,dy)}{x^2}$, $k=0,1,2,\dots$, $l=1,2,\dots,s$, m\'ert\'ekeket a
szok\'asos m\'odon. A 2.~Se\-g\'ed\-t\'e\-tel alapj\'an
konstru\'alhatunk olyan $\tilde\nu_{k,l}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
$\xi_{k,l}(n)$, $n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$, $l\le 1\le s$, \'es
$\tilde\nu_{0,l}$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} $\xi'_{k,l}(n)$, $n=1,2,\dots$,
$k=1,2,\dots$, $1\le
l\le s$, Poisson folyamatokat, amelyekre az e Poisson folyamatok \'altal
meghat\'arozott $U_{k,l}$ \'es $U'_{k,l}$ korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden $1\le l\le
s$ sz\'amra teljes\'{\i}tik az $U'_{k,l}-U_{k,l}\Rightarrow0$
rel\'aci\'ot, ha $k\to\infty$, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus
konvergenci\'at jel\"ol. Defini\'aljuk a $\tilde T_{k,j}=\summ_{l=1}^j
U_{k,l}$, $\tilde T'_{k,j}=\summ_{l=1}^j U'_{k,l}$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le s$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
teljes\"ul a $\supp_{1\le j\le
s}\left|\tilde T_{k,j}-\tilde T'_{k,j}\right|\Rightarrow0$ rel\'aci\'o,
ha $k\to\infty$.

Ezut\'an a 4.~Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'asait kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
$T_k(t)$ \'es $T'_k(t)$ sztochasztikus folyamatok konstrukci\'oj\'at
adjuk meg. Tekints\"uk a $\nu_{k,l}$, $\nu_{k,l}(B)=\nu_k(B\cap \bold
R^1\times [t_{l-1},t_l])$, $k=0,1,2,\dots$, $1\le l\le s$,
m\'ert\'ekeket a $\bold R^1\times[0,1]$ s\'avon, ahol
$\nu_k(dx,dy)=\frac{N_k(dx,dy)}{x^2}$. Ekkor minden
$k=0,1,2\dots$, $1\le l\le s$ \'es $x\in\bold R^1$ sz\'amra
l\'etezik olyan $\nu_{k,l}(A|x)$ ``felt\'eteles m\'ert\'ek" a
$[t_{l-1},t_l]$ intervalliumon, amelyre $\nu_{k,l}(\cdot|x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a $[t_{l-1},t_l]$ intervallumon
minden $x\in\bold R^1$ sz\'amra, $\nu_{k,l}(A|\cdot)$ m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny a $[t_{l-1},t_l]$ intervallumon minden $A\subset\bold R^1$
Borel-m\'erhet\H{o} halmazra, \'es
$$
\nu_{k,l}(B)=\int \nu(B|x)\tilde\nu'_{k,l}(\,dx)\quad \text{minden }
B\subset \bold R^1\times[t_{l-1},t_l]\text{ m\'erhet\H{o} halmazon}
\tag3.16 
$$
minden $k=0,1,2,\dots$ \'es $1\le l\le s$ sz\'amra, ahol
$\tilde\nu_{k,l}$ az el\H{o}z\H{o} paragrafusban defini\'alt m\'ert\'ek.
A (3.16) formula \'erv\'enyess\'ege tekinthet\H{o} mint a regul\'aris
felt\'eteles eloszl\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny k\"ovetkezm\'enye.
 
Ezut\'an megkonstru\'aljuk  azokat az
$X_{k,n}=(X_{k,n}^{(1)},X_{k,n}^{(2)})$,
$n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$, $\nu_k$  sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u}
\'es $X'_{k,n}=({X'_{k,n}}^{(1)},{X'_{k,n}}^{(2)})$, $n=1,2,\dots$,
$k=1,2,\dots$, $\nu_0$  sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
Poisson folyamatokat, amelyek olyan $T_k(t)$ \'es $T'_k(t)$
sztochasztikus fo\-lya\-ma\-to\-kat ha\-t\'a\-roz\-nak meg, amelyek
teljes\'{\i}tik a 4.~Seg\'edt\'etelt. Tekints\"uk a m\'ar
megkonstru\'alt $\tilde\nu_{k,l}$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
$\xi_{k,l}(n)$, $n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$, $l\le 1\le s$, \'es
$\tilde\nu_{0,l}$ sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
$\xi'_{k,l}(n)$, $n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$,
$1\le l\le s$, Poisson folyamatokat, \'es ezek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'aluk a megkonstru\'aland\'o Poisson folyamatoknak az $\bold
R^1\times (t_{l-1},t_l]$ s\'avba es\H{o} pontjait. Minden
$\xi_{k,l}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
konstru\'aljunk egy $\mu'_{k,l}(\cdot|\xi_{k,l}(n))$ eloszl\'as\'u
$\eta_{k,l}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$[t_{l-1},t_l]$ intervallumon \'es minden $\xi_{k,l}'(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz konstru\'aljunk egy
$\nu'_{0.l}(\cdot|\xi'_{k,l}(n))$ eloszl\'as\'u $\eta'_{k,l}(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Konst\-ru\-\'al\-juk
ezeket a v\'eletlen sz\'amokat egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Egy
r\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra az
$X_{k,n}=\(X_{k,n}^{(1)},X_{k,n}^{(2)}\)$,
$n=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$, $\nu_k$
sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u} Poisson folyamat \'alljon az
el\H{o}bb megkonstr\'alt $(\xi_{k,l}(n),\eta_{k,l}(n))$, $n=1,2,\dots$,
$1\le l\le s$, pontp\'arokb\'ol, az \'es
$X'_{k,n}=\({X'_{k,n}}^{(1)},{X'_{k,n}}^{(2)}\)$, $n=1,2,\dots$,
$k=1,2,\dots$, $\nu_0$  sz\'am\-l\'a\-l\'o\-m\'er\-t\'e\-k\H{u}
Poisson folyamat pedig \'alljon az el\H{o}bb megkonstr\'alt
$(\xi'_{k,l}(n),\eta'_{k,l}(n))$, $n=1,2,\dots$, $1\le l\le s$,
pontp\'arokb\'ol. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ilyen m\'odon val\'oban
$\nu_k$ illetve $\nu_0$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson
folyamatot kapunk, amelyek teljes\'{\i}tik a 4.~Seg\'edt\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at.

Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy ilyen m\'odon a k\'{\i}v\'ant
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} Poisson folyamatokat
konstru\'altunk el\'eg megmutatni azt, hogy amennyiben a
$B\times [t_{l-1},t_l]$ t\'eglalapra teljes\"ul s $\nu_{k,l}(B\times
[t_{l-1},t_l])<\infty$ felt\'etel, akkor a $B\times [t_{l-1},t_l]$
t\'eglalapba es\H{o} $(\xi_{k,l}(n),\eta_{k,l}(n))$, $n=1,2,\dots$,
pontp\'arok egy $\nu_{k,l}$ sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson
folyamatot alkotnak ezen a t\'eglalapon minden $k=1,2,\dots$ \'es $1\le
l\le s$ sz\'amra. Amennyiben pedig a $\nu_{0,l}(B\times
[t_{l-1},t_l])<\infty$ felt\'etel teljes\"ul, akkor a $B\times
[t_{l-1},t_l]$ t\'eglalapba es\H{o} $(\xi'_{k,l}(n),\eta'_{k,l}(n))$,
$n=1,2,\dots$, pontp\'arok egy $\nu_{0,l}$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ek\H{u} Poisson folyamatot alkotnak
ezen a t\'eglalapon minden $k=1,2,\dots$\'es  $1\le l\le s$ sz\'amra.
Ezen \'all\'{\i}t\'asokat viszont k\"onnyen l\'athatjuk a
k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezek a
folyamatok ugyanolyan eloszl\'as\'uak mint az olyan pontfolyamatok,
amelyeket \'ugy kapunk hogy vesz\"unk v\'eletlen sz\'am\'u pontot \'ugy,
hogy ezen pontok sz\'ama $\nu_{k,l}(B\times [t_{l-1},t_l])$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, \'es ezeket a pontokat v\'eletlen\"ul ledobjuk
$\frac{\mu_{k,l}(dx,dy)}{\nu_{k,l}(B\times [t_{l-1},t_l])}$
eloszl\'assal a $B\times [t_{l-1},t_l]$ t\'eglalapra. Ezek az \'uj
pontfolyamatok ugyanis a k\'{\i}v\'ant sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel
rendelkez\H{o} Poisson folyamatok.

V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy a konstru\'alt Poisson folyamatok
olyanok, hogy az \'altaluk meghat\'arozott korl\'atlanul oszthat\'o
$T_k(\cdot)$ \'es $T_k'(\cdot)$ sztochasztikus folyamatok
$\bar T_{k,t_0,\cdot,t_s}(\cdot)$  \'es  $\bar
T'_{k,t_0,\cdot,t_s}(\cdot)$ diszkretiz\'altjai teljes\'{\i}tik az
$\bar T_{k,t_0,\cdot,t_s}(t)=\tilde T_{k,j-1}$  \'es  $\bar
T'_{k,t_0,\cdot,t_s}(t)=\tilde T_{k,j-1}'$, ha
$t_{j-1}<t\le t_j$, $1\le j\le s$,
$\bar T_{k,t_0,\cdot,t_s}(1)=\tilde T_{k,s}$  \'es
$\bar T'_{k,t_0,\cdot,t_s}(1)=\tilde T'_{k,s}$, $k=1,2,\dots$,
azonoss\'agokat. Ez\'ert ezek a Poisson folyamatok, illetve az
\'altaluk meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott korl\'atlanul oszthat\'o folyamatok
teljes\'{\i}tik a 4.~Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.
 
 
\beginsection Appendix
 
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa.} El\'eg bebizony\'{\i}tani a
szepar\'abilis metrikus terekben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast. Azt
hogy a $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok gyeng\'en
konverg\'alnak egy $\mu$ m\'ert\'ekhez megfogalmazhatjuk \'ugy is,
hogy az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu_k$
eloszl\'asai teljes\'{\i}tik a $\limsupp_{k\to\infty}\mu_k(\bold
F)\le\mu(\bold F)$ rel\'aci\'ot minden z\'art $\bold F\subset X$
halmazra. Azt fogjuk megmutatni, hogy a T\'etel~A felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en az $T_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\bar\mu_k$ eloszl\'asai is teljes\'{\i}tik a
$\limsupp_{k\to\infty}\bar\mu_k(\bold F)\le\mu(\bold F)$ rel\'aci\'ot
z\'art $F\subset X$ halmazokra. (Jegyezz\"uk meg, hogy a gyenge
konvergencia e bizony\'{\i}t\'asban felhaszn\'alt jellemz\'ese
tetsz\H{o}leges szepar\'abilis metrikus t\'erben \'erv\'enyes. A
metrikus t\'er teljess\'eg\'et nem sz\"uk\-s\'e\-ges feltenni. L\'asd
p\'eld\'aul Billingsley Convergence of Probability Measures
c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'enek 2.1 T\'etel\'et.)
 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot. Mivel $\bold
F=\bigcapp_{n=1}^\infty \bold F_{\frac1n}$, ahol $\bold
F_a=\{x\colon\; \rho(x,\bold F)\le a\}$, ez\'ert l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am, amelyre $\mu(\bold F)\ge
\mu(\bold F_\delta)-\e$. Tov\'abb\'a teljes\"ul a $\mu_k(\bold
F_\delta)-\e<\mu(\bold F_\delta)$, ha $k\ge k_0=k_0(\e,\delta,
\bold F)$. Mivel $\rho(S_k,T_k)$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ez\'ert a $\bar\mu_k(\bold F)=P(T_k\in \bold F)\le P(S_k\in
\bold F_\delta)+P(\rho(S_k,T_k)>\delta)\le \mu_k(\bold F_\delta)+\e$,
egyenl\H{o}tlens\'eg is teljes\"ul, ha $k\ge k_0$, \'es a
$k_0=k_0(\e,\delta, \bold F)$ k\"usz\"obindexet el\'eg nagynak
v\'alasztjuk. A fenti egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $\bar\mu_k(\bold F)\le \mu_k(\bold F_\delta)+\e\le
\mu(\bold F_\delta)+2\e\le \mu(\bold F)+3\e$, ha $k\ge
k_0(\e,\delta,\bold F)$. Mivel a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes,
innen k\"ovetkezik, hogy $\limsupp_{k\to\infty}\mu_k(\bold
F)\le\mu(\bold F)$, teh\'at a T\'etel~A-t bebizony\'{\i}tottuk.

\bye
 
 
