\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\beginsection Hat\'areloszl\'ast\'etelek \'es korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asok. \ \ {\rm II. r\'esz}
 
\beginsection 1. Az alapvet\H{o} eredm\'enyek megfogalmaz\'asa.
 
Ismertetj\"uk azt az eredm\'enyt (bizony\'{\i}t\'assal egy\"utt), 
amely sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges fel\-t\'e\-telt ad arra, 
hogy az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o} 
sz\'eriasorozatok alkalmasan normaliz\'alt \"osszegei 
eloszl\'asban konverg\'aljanak. Megadjuk tov\'abb\'a a 
hat\'areloszl\'ast is. Ez mindig korl\'atlanul oszthat\'o 
eloszl\'as. Ez azt jelenti, hogy nemcsak a f\"uggetlen {\it
egyforma elosz\-l\'a\-s\'u},\/ hanem tetsz\H{o}leges az 
egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozat 
normaliz\'alt \"ossze\-gei\-nek a hat\'areloszl\'asa, (ha az 
l\'etezik), korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as.
 
Az eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aban fontos szerepet 
j\'atszik annak az \"onmag\'aban is \'erdekes k\'erd\'esnek 
a vizsg\'alata, hogy korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta mikor 
konverg\'al eloszl\'asban egy, (mint k\'es\H{o}bb l\'atni 
fogjuk, sz\"uks\'egszer\H{u}en kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o
eloszl\'as\'u) val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben 
r\'eszletesebben is \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-juk a 
sz\'eriasorozatok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek \'es 
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozatainak 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etelt.
Durv\'an sz\'olva, a kap\-cso\-lat a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}: 
A sz\'eriasorozat egyes soraiban lev\H{o}  
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okhoz olyan f\"uggetlen, 
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'okat lehet
t\'ars\'{\i}tani, amelyek karakterisztikus f\"uggv\'enyeit
meghat\'aroz\'o $M$ kanonikus m\'ert\'ekek szoros 
kapcsolatban vannak a tekintett 
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asf\"uggv\'enyeivel. Tov\'abb\'a  a sz\'eriasorozat
k\"ul\"onb\"oz\H o soraiban lev\H{o} v\'altoz\'ok 
\"ossze\-g\'enek akkor \'es csak akkor van hat\'areloszl\'asa, 
ha a hozz\'ajuk t\'ars\'{\i}tott f\"uggetlen \'es 
kor\-l\'at\-la\-nul oszt\-ha\-t\'o eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett 
\"osszegek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak. Az eredeti 
\'es a t\'ars\'{\i}tott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett \"osszegek 
hat\'areloszl\'asa megegyezik.
 
Term\'eszetesen ezek az eredm\'enyek abban a speci\'alis esetben is
\'erv\'enyesek, amikor a sz\'eriasorozatok egy sorban szerepl\H{o}
tagjai nemcsak f\"ug\-get\-le\-nek, hanem egyforma eloszl\'as\'uak is.
Ezzel a speci\'alis esettel az\'ert \'erdemes k\"ul\"on foglalkozni,
mert ebben az esetben  a k\"ovetkez\H{o} a szeml\'elet alapj\'an
,,ny\'{\i}lv\'anval\'o", m\'egis bizony\'{\i}t\'asra szorul\'o
\'all\'{\i}t\'as is igaz: Ha a sz\'eriasorozatozat egyes soraiban
szerepl\H{o} tagok nemcsak f\"ug\-get\-lenek, hanem egyforma
eloszl\'as\'uak is, a tagok sz\'ama tart a v\'egtelenhez, \'es a
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok egyes soraiban lev\H{o} elemek
\"osszegeinek van hat\'areloszl\'asa, akkor a sz\'eriasorozat
teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et. Ezekb\H{o}l a
k\'es\H{o}bb pontosabban megfogalmazand\'o \'es bizony\'{\i}tand\'o
eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik a L\'evy--Hincsin formula is, azaz 
az az \'all\'{\i}t\'as, hogy az el\H{o}z\H{o} r\'eszben konstru\'alt
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok megadj\'ak az \"osszes
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'ast, \'es ez a reprezent\'aci\'o
egy\'ertelm\H{u}.
 
Az eredm\'enyek megfogalmaz\'asa el\H{o}tt felid\'ez\"unk n\'eh\'any a
tov\'abbiakban fontos fogalmat \'es bevezet\"unk n\'eh\'any
jel\"ol\'est: Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $j=1,\dots,n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'eriasorozata, azaz tegy\"uk
fel, hogy r\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Azt mondjuk,
hogy ez a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etel\'et, ha minden $\e>0$ sz\'amra
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}P(|\xi_{k,j}|>\e)=0$.
Felid\'ezz\"uk tov\'abb\'a az els\H{o} r\'eszben m\'ar defini\'alt
kanonikus m\'ert\'ek fogalm\'at. Egy $M$ m\'ert\'eket a sz\'amegyenes
Borel halmazain kanonikus m\'ert\'eknek nevez\"unk, ha tetsz\H{o}leges
v\'eges $[a,b]\subset\bold R^1$ intervallum $M\{[a,b]\}$ m\'ert\'eke
v\'eges, \'es tetsz\H{o}leges $a>0$ sz\'amra
$$
\int_{a}^\infty\frac1{x^2}M(\,dx)<\infty,\quad \text{\'es}\quad
\int_{-\infty}^{-a}\frac1{x^2}M(\,dx)<\infty.
$$
 
Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $j=1,\dots,n_k$, egy az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozat, \'es
jel\"olje $F_{k,j}$ az $\xi_{k,j}$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Vezess\"uk be az
$$
M_k(\,dx)=\sum_{j=1}^{n_k}x^2 F_{k,j}(\,dx) \tag1.1
$$
$\sigma$-v\'eges m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen \'es az
$$
\aligned
M^+_k(x)&=\sum_{j=1}^{n_k}(1-F_{k,j}(x))=\int_{u\ge x}
\frac1{u^2}M_k(\,du), \\
M^-_k(x)&=\sum_{j=1}^{n_k}F_{k,j}(-x)
=\int_{u<-x} \frac1{u^2}M_k(\,du),
\endaligned
\qquad x>0 \tag1.2
$$
jel\"ol\'eseket. Az al\'abbi t\'etelben annak sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et adjuk meg, hogy az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegek alkalmas $S_k-b_k$
norm\'altjai eloszl\'asban konverg\'aljanak $k\to\infty$ eset\'en
valamilyen $b_k$ sz\'amsorozattal. Ilyen felt\'etel megadhat\'o az
el\H{o}bb defini\'alt $M_k$ m\'ert\'ekek \'es $M_k^\pm$ f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 

\medskip\noindent
{\bf  1. T\'etel.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
$j=1,\dots,n_k$, az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozat $F_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyekkel, amelyre a $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
\"osszegeknek alkalmas $S_k-\bar b_k$ normaliz\'altjai
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak valamilyen
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ekkor l\'etezik olyan $M$ kanonikus
m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, amelyre az (1.2) formul\'aban defini\'alt
$M_k^\pm(x)$ f\"uggv\'enyek illetve az $M$ kanonikus m\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel hozz\'ajuk hasonl\'oan defini\'alt
$$
M^+(x)=\int_{u\ge x} \frac1{u^2}M(\,du), \qquad
M^-(x)=\int_{u<-x}\frac1{u^2}M(\,du)
\tag$1.2'$
$$
f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik a
$$
\lim_{k\to\infty}M_k^+(x)=M^+(x) \quad \text {\'es} \quad
\lim_{k\to\infty}M_k^-(x)=M^-(x)
\tag1.3
$$
rel\'aci\'okat minden olyan $x>0$ pontban, ahol az $M^+(\cdot)$ 
illetve $M^-(\cdot)$ f\"uggv\'eny foly\-to\-nos az~$x$.
Ezenk\'{\i}v\"ul teljes\"ul
a k\'es\H{o}bb megadand\'o (1.6) formula, amelynek megfogalmaz\'asa
\'er\-de\-k\'e\-ben bevezet\"unk n\'eh\'any jel\"ol\'est.
 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $a>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
$$
\tau(x)=\tau_a(x)=\cases
x&\text{ha }|x|\le a\\
a&\text{ha }x\ge a  \\
-a&\text{ha }x\le -a
\endcases  \tag1.4
$$
f\"uggv\'enyt \'es a
$$
\align
\beta_{k,j}=\beta_{k,j}(a)=E\tau(\xi_{k,j}),\quad
b_k&=b_k(a)=\sum_{j=1}^{n_k}\beta_{k,j},
\quad B_k=B_k(a)=\sum_{j=1}^{n_k}\beta^2_{k,j},\\
&\qquad k=1,2,\dots,\quad j=1,\dots,n_k \tag1.5
\endalign
$$
sz\'amokat. Ha az $S_k-\bar b_k$ normaliz\'alt \"osszegeknek 
l\'etezik hat\'areloszl\'asa alkalmas $\bar b_k$ sorozatra, 
akkor az (1.1) formul\'aban defini\'alt $M_k$ m\'ert\'ekek 
teljes\'{\i}tik az
$$
M_k([-s,s])-B_k\to M([-s,s]), \quad\text{ha }k\to\infty \tag1.6
$$
rel\'aci\'ot minden olyan $s>0$ pontban, ahol az $M^+$ \'es az 
$M^-$ f\"uggv\'enyek folytonosak. Az (1.6)~rel\'aci\'o a 
kor\'abban bevezetett $M$ kanonikus m\'ert\'ekkel \'es 
$M^\pm(\cdot)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel \'erv\'enyes.
 
Megford\'{\i}tva, ha az (1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'ok teljes\"ulnek
alkalmas $M$ kanonikus m\'er\-t\'ek\-kel, akkor az $S_k$ \"osszegek
al\-kal\-mas normaliz\'altjai eloszl\'asban konverg\'alnak. Meg tudunk
adni explicit m\'odon egy al\-kal\-mas normaliz\'aci\'ot, amellyel
l\'etezik hat\'areloszl\'as, \'es le tudjuk
\'{\i}rni az ehhez a normaliz\'al\'ashoz tartoz\'o hat\'areloszl\'ast.
Nevezetesen, 
az (1.5) formul\'aban defini\'alt $b_k$ konstansokkal 
az $S_k-b_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'ashoz, \'es a hat\'areloszl\'as $\varphi(\cdot)$ 
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at a
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M(\,du), \tag1.7
$$
k\'eplet adja meg, ahol az $M$ kanonikus m\'ert\'eket az (1.3), $(1.2')$
\'es (1.6) felt\'etelek ha\-t\'a\-roz\-z\'ak meg, a $\tau$ f\"uggv\'enyt
pedig az (1.4) formul\'aban dedini\'altuk. (Az (1.6) formula
hat\'arozza meg az orig\'o $M(\{0\})$ m\'ert\'ek\'et.)

A hat\'areloszl\'ast\'etel teljes\"ul\'es\'ehez el\'eg a (1.6)
felt\'etelnek egy gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at
meg\-k\"o\-ve\-tel\-ni, nevezetesen azt, hogy a (1.6) rel\'aci\'o
az $M^\pm$ f\"uggv\'enyek egy folytonoss\'agi pont\-j\'a\-ban
teljes\"ul. (L\'asd az al\'abbi 1.~Megjegyz\'est.)} 

\medskip
Ahhoz, hogy az 1.~T\'etel, illetve a benne szerepl\H{o} (1.7) formula
kimond\'asa teljes legyen defini\'alni kell az (1.7) formul\'aban
szerepl\H{o} integrandust az $u=0$ pontban is. Ezt folytonoss\'agi
meggondol\'asok alapj\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tessz\"uk itt \'es
a k\'es\H{o}bbi formul\'akban:
$$
\left.\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}\right|_{u=0}=
\lim_{u\to0}\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}=-\frac{t^2}2.
$$
 
Az 1.~T\'etel azt mondja ki, hogy egy $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$, az egyenletes ki\-csi\-s\'eg felt\'etel\'et
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatb\'ol alkalmas $b_k$ konstansokkal
k\'esz\'{\i}tett normaliz\'alt $S_k-b_k$ \"osszegeknek akkor \'es csak
akkor van hat\'areloszl\'asuk, ha a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyeinek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az (1.1) \'es (1.2) formul\'aban defini\'alt
$M_k$ m\'ert\'ekek \'es $M^\pm(\cdot)$ f\"uggv\'enyek egy alkalmas
$M$ kanonikus m\'ert\'ekkel egy\"utt teljes\'{\i}tik az (1.3) \'es
(1.6) formul\'akat. Ha van hat\'areloszl\'as, akkor a $b_k$ 
konstansok alkalmas megv\'alaszt\'as\'aval el\'erhet\H{o}, hogy a
hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a
lo\-ga\-rit\-mu\-s\'at, amely min\-dig l\'etezik, az (1.7) formula 
adja meg. S\H{o}t azt is tudjuk, hogy a $b_k$ konstansok 
egy alkalmas megv\'alaszt\'as\'at tartalmazza az (1.5) formula.
\'Igy speci\'alisan megkaptuk az egyenletes ki\-csi\-s\'e\-get
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatok normaliz\'alt \"osszegeinek
le\-het\-s\'e\-ges hat\'areloszl\'asait. Jegyezz\"uk meg, hogy az 
els\H{o} r\'eszben megkonstru\'alt kor\-l\'at\-la\-nul 
oszt\-ha\-t\'o eloszl\'asok jelentek meg hat\'areloszl\'ask\'ent, 
noha \'altal\'anosabb esetet te\-kin\-tet\-t\"unk. Nem tett\"uk 
fel, hogy a sz\'eriasorozat ugyanabban a sor\'aban lev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak. 
Az els\H{o} r\'eszben azt is elmagyar\'aztuk, hogy az (1.7) 
formul\'aval jellemzett hat\'areloszl\'ast hogyan lehet jellemezni 
egy $u^{-2}M(\,du)$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ek\H{u} Poisson
folyamat \'es egy t\H{o}le f\"uggetlen $M(\{0\})$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Az (1.3) formula hat\'arozza meg a Poisson fo\-lya\-mat 
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ek\'et az (1.6) formula pedig a norm\'alis 
eloszl\'as sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
A k\'es\H{o}bb megfogalmazand\'o $2'.$~T\'etelb\H{o}l az is
k\"ovetkezik, hogy a hat\'ar\-elosz\-l\'as meg\-ha\-t\'a\-roz\-za
az (1.3) \'es (1.6) formul\'aban szerepl\H{o} $M$ kanonikus
m\'ert\'eket.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt az 1.~T\'etelt jobban meg\'erts\"uk
tegy\"unk n\'eh\'any meg\-jegy\-z\'est. El\H{o}sz\"or vegy\"uk
\'eszre, hogy ha val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_k-b_k$
sorozata eloszl\'asban konverg\'al, akkor az $S_k-\bar b_k$ sorozat
akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban, ha l\'etezik a
v\'eges $C=\limm_{k\to\infty}(\bar b_k-b_k)$ hat\'ar\'ert\'ek.
Val\'oban, ha az $S_k-b_k$  sorozat egy $F(x)$ eloszl\'ashoz 
konverg\'al, \'es ez a felt\'etel teljes\"ul, akkor az 
$S_k-\bar b_k$ az $F(x+C)$ eloszl\'ashoz konverg\'al. 
Megford\'{\i}tva, ha a $\bar b_k-b_k$ sorozat nem
konvergens, akkor ez a sorozat vagy nem korl\'atos, \'es ekkor
l\'etezik olyan $k_j$ r\'eszsorozat, amelyre $\bar b_{k_j}-b_{k_j}
\to\pm\infty$, \'es az $S_{k_j}-\bar b_{k_j}$ sorozat eloszl\'asai
szerint minden kompakt halmaz m\'ert\'eke tart null\'ahoz,
vagy pedig l\'etezik k\'et olyan $k_j$ \'es $\bar k_j$ sz\'amsorozat,
amelyre a $\bar b_{k_j}-b_{k_j}$ \'es $\bar b_{\bar k_j}-b_{\bar k_j}$
sorozatoknak k\"ul\"onb\"oz\H{o} hat\'ar\'ert\'eke van, \'es ekkor az
$S_k-\bar b_k$ sorozatnak l\'etezik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
hat\'ar\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} r\'eszsorozata.
 
A fenti \'eszrev\'etel megadja, hogy mekkora szabads\'agunk van 
a $b_k$ norm\'al\'o konstans meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-ban, 
amikor a konvergens $S_k-b_k$ sorozatot defini\'aljuk. Az 
1.~T\'etel kimond\'as\'aban r\"ogz\'{\i}tett\"unk egy $a>0$ 
konstanst, \'es a $b_k$ sz\'am f\"ugg\"ott ett\H{o}l a 
konstanst\'ol. Ha $a$ \'es $a'$ k\'et k\"ul\"ob\"oz\H{o} 
pozit\'{\i}v konstans, akkor
$$
b_k(a)-b_k(a')=\int\frac{(\tau_a(u)-\tau_{a'}(u))}{u^2}M_k(\,du),
$$
\'es az (1.3) formula alapj\'an $C=\limm_{k\to\infty}\(b_k(a)-b_k(a')\)
=\int\frac{(\tau_a(u)-\tau_{a'}(u))}{u^2}M(\,du)$.
M\'as\-r\'eszt, ha a $b_k(a)$ illetve $b_k(\bar a)$ norm\'al\'ast
v\'alasztjuk, akkor az (1.7) formula \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
hat\'areloszl\'asok egym\'as eltoltjai a fenti $C$ konstanssal.
Ugyanis, ha a k\'et ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at tekintj\"uk, akkor ezen
logaritmusok k\"u\-l\"onb\-s\'e\-ge $it\int\frac{(\tau_a(u)-
\tau_{a'}(u))}{u^2}M(\,du)=itC$. M\'asr\'eszt, ha egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ka\-rak\-te\-risz\-tikus 
f\"uggv\'enye $\varphi(t)$, akkor a a $\xi+C$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye $e^{itC}\varphi(t)$.
 
Ezenk\'{\i}v\"ul meg fogjuk mutatni, hogy az $M_k$ m\'ert\'ekeknek a
t\'etelben defini\'alt $M$ limesze nem f\"ugg a definici\'oban 
szerepl\H{o} $a$ param\'etert\H{o}l. A probl\'ema a k\"ovetkez\H{o}.
Az (1.3) k\'epletben defini\'altuk az $M^\pm$ f\"uggv\'enyeket, \'es
ez\'altal az $M$ m\'ert\'eket a $(0,\infty)$ \'es $(-\infty,0)$
f\'elegyeneseken. Defini\'alni kell m\'eg az orig\'o $M(\{0\})$
m\'ert\'ek\'et is. Ezt az (1.6) formula, illetve az 
$M(\{0\})=\limm_{s\to0}M([-s,s])$ rel\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tehetj\"uk meg. Az (1.6) formul\'aban szerepel az $a$ 
param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}, \'es az (1.5) formul\'aban 
defini\'alt $B_k=B_k(a)$ konstans. Meg kell mutatni, hogy az
$M(\{0\})$ sz\'am \'ert\'eke nem f\"ugg az $a$ param\'eter
v\'alaszt\'as\'at\'ol, \'es $M(\{0\})\ge0$. Ezenk\'{\i}v\"ul 
meg akarjuk adni ennek a sz\'amnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi tartalm\'at is. Ezt
fogjuk tenni a 2. \'es 3.~megjegyz\'esben. El\H{o}bb azonban 
az els\H{o} megjegyz\'esben megmutatjuk, hogy ha az 
(1.6)~formula \'erv\'enyes egy olyan $s>0$ pontban, amely 
az $M^+(\cdot)$ \'es $M^-(\cdot)$ f\"uggv\'enyeknek 
folytonoss\'agi pontja, akkor ez a rel\'aci\'o \'erv\'enyes 
minden ilyen $s'$~pontban. 

\medskip\noindent
{\it 1.~Megjegyz\'es.}\/ Ha az (1.6) formula \'erv\'enyes az 
$M^\pm(\cdot)$ f\"uggv\'enyek egy $s$ folytonoss\'agi
pontj\'aban, akkor az (1.3) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy 
az (1.6) formula e f\"uggv\'enyek minden $s'>0$ folytonoss\'agi
pontj\'aban \'erv\'enyes. Ugyanis
$$  \allowdisplaybreaks
\align
&M_k([-s',s'])-M_k([-s,s])=\int_{s}^{s'} u^2M^+_k(\,du)+
\int_{s}^{s'} u^2M^-_k(\,du)\\
&\qquad\to\int_{s}^{s'}M(\,du)+\int_{-s'}^{-s}M(\,du)
=M([-s',s'])-M([-s,s]).
\endalign
$$
Ez azt jelenti, hogy a (1.6) felt\'etel helyettes\'{\i}thet\H{o} azzal
a gyeng\'{\i}tett felt\'etellel, hogy az ott fel\'{\i}rt rel\'aci\'o
teljes\"ul az $M^\pm$ f\"uggv\'enyek egy folytonoss\'agi pontj\'aban.

\medskip \noindent
{\it 2.~Megjegyz\'es.}\/ B\'ar a $\tau(\cdot)=\tau_a(\cdot)$
f\"uggv\'eny, \'{\i}gy a $\beta_k=\beta_k(a)$, a normaliz\'al\'asban
szerepl\H{o} $b_k=b_k(a)$ \'es az (1.6) formul\'aban szerepl\H{o}
$B_k=B_k(a)$ konstansok f\"uggnek az $a>0$ param\'etert\H{o}l, be
lehet l\'atni, hogy $\limm_{k\to\infty}(B_k(a')-B_k(a))=0$ k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $a>0$ \'es $a'>0$ sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy
a (1.6) formula \'ertelmes, annak \'erv\'enyess\'ege nem f\"ugg az
$a>0$ sz\'am v\'alaszt\'as\'at\'ol. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp l\'athatjuk be. Az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etele miatt $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le
n_k}|\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|=0 $, az (1.3) rel\'aci\'o 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pedig l\'athat\'o, hogy $\supp_k\summ_{j=1}^{n_k}
|\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|<\infty$. Ugyanis minden $a'>a>0$
p\'arrra
$$
\sum_{j=1}^{n_k}|\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|\le
\int_a^{a'}u(M_k^+(\,du)+M_k^-(du))+(a'-a)[M^+_k(a')+M_k^-(a')],
$$
\'es a kifejez\'es jobboldala (1.3) miatt $k$-t\'ol f\"uggetlen\"ul
becs\"ulhet\H{o}.
 
Az okoz n\'emi neh\'ezs\'eget a 2.~Megjegyz\'es 
bizony\'{\i}t\'as\'aban, hogy a $B^*_k=\summ_{j=1}^{n_k}|\beta_{k,j}|$ 
sz\'amsorozat nem felt\'etlen\"ul korl\'atos. De ezen a 
neh\'ezs\'egen seg\'{\i}thet\"unk, ha megmutatjuk, hogy az 
egyenletes kicsis\'eg miatt $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}
|\beta_{k,j}(a)|=0$. Val\'oban minden $\e>0$ sz\'amra
$|\beta_{k,j}(a)|\le \e+aP(|\xi_{k,j}>\e)\le2\e$, ha $k\ge k_0(\e,a)$
\'es $1\le j\le n_k$ az $aP\(|\xi_{k,j}|>\e\)\le \e$, ha 
$k\ge k_0(\e,a)$ egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an. 
Ez\'ert $|B_k(a')-B_k(a)|\le I_k+2II_k$, ahol
$$
I_k=\summ_{j=1}^{n_k}|\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|^2\le \sup_{1\le
j\le n_k} |\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|\summ_{j=1}^{n_k}
|\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)|\to0,
$$
ha $k\to\infty$, \'es
$$
II_k=\summ_{j=1}^{n_k}|(\beta_{k,j}(a')-\beta_{k,j}(a)) \beta_{k,j}(a)|
\le\supp_{1\le j\le n_k} |(\beta_{k,j}(a)|
\summ_{j=1}^{n_k}|\beta_{k,j}(a')-(\beta_{k,j}(a)|\to0
$$
ha $k\to\infty$. Innen k\"ovetkezik a 2.~Megjegyz\'es
\'all\'{\i}t\'asa. 

\medskip\noindent
{\it 3.~Megjegyz\'es.}\/ Defini\'aljuk a (1.4) formul\'ahoz
hasonl\'oan a $\tau'(x)=\tau'_a(x)$ f\"uggv\'enyt, mint $\tau'(x)=x$, ha
$|x|\le a$, \'es $\tau'(x)=0$, ha $|x|>a$. Legyen
$\beta'_{k,j}=\beta'_{k,j}(a)=E\tau'(\xi_{k,j})$,
$B'_k=B'_{k,j}(a)=\summ_{j=1}^{n_k}{\beta'_{k,j}}^2$. Az el\H{o}z\H{o}
megjegyz\'es \'ervel\'es\'enek term\'eszetes m\'odos\'{\i}t\'as\'aval
kapjuk, hogy $\limm_{k\to\infty}(B_k-B_k')=0$, \'es ebben a
formul\'aban a $B'_k(a)$ helyett tetsz\H{o}leges $B'_k(a')$-t
\'{\i}rhatunk. Ezt felhaszn\'alva kapjuk, hogy ha olyan $\e$ sz\'amokra
koncentr\'aljuk az al\'abbi limeszel\'est, amelyek mind az $M^+$ mind
az $M^-$ f\"uggv\'enynek folytonoss\'agi pontjai, akkor
$$ \aligned
M(\{0\})&=\lim_{\e\to0}M([-\e,\e])=
\lim_{\e\to0}\lim_{k\to\infty}\(M_k([-\e,\e])-B'_k(\e) \) \\
&=\lim_{\e\to0}\lim_{k\to\infty}\(\sum_{j=1}^{n_k}\(E\tau'_\e(\xi_{k,j})^2-
(E\tau'_\e(\xi_{k,j}))^2\)\)
=\lim_{\e\to0}\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}
\text{Var}\,\tau'_\e(\xi_{k,j}).
\endaligned \tag1.8
$$
Az (1.8) formula speci\'alisan azt is jelenti, hogy $M(\{0\})\ge0$.
Ennek a rel\'aci\'onak a szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}:
A hat\'areloszl\'as norm\'alis komponens\'enek a
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete, $M(\{0\})$ megkaphat\'o, ha a
sz\'eriasorozat egyes soraiban lev\H{o} v\'altoz\'ok
cson\-k\'{\i}\-tott\-jait \"osszegezzz\"uk, ezek limesz\'et tekintj\"uk
$k\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel, majd a csonk\'{\i}t\'as
$\e$ szintj\'evel tartunk null\'ahoz. Azaz, a hat\'areloszl\'as
norm\'alis komponense az ,,\"ossze\-adan\-d\'ok belsej\'enek" a
hozad\'eka. Az el\H oz\H oekb\H ol az is k\"ovetkezik, hogy az
$M([-s,s])$ m\'ert\'eket defini\'al\'o limesz a (1.6) formul\'aban
sz\"uks\'egk\'eppen nem-negat\'{\i}v.
 
A (1.6) rel\'aci\'o ekvivalens a k\"ovetkez\H{o} $(1.6')$
rel\'aci\'oval:
$$
M(\{0\})=\lim_{\e\to0}\lim_{k\to\infty}\(M_k([-\e,\e])-B'_k(\e)\), \tag$1.6'$
$$
ahol a limeszben olyan $\e>0$ sz\'amokat tekint\"unk, amelyek
az $M$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontjai. L\'attuk, hogy a (1.6)
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a $(1.6')$ rel\'aci\'o. M\'asr\'eszt,
ha \'erv\'enyes a $(1.6')$ rel\'aci\'o, akkor tetsz\H{o}leges
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $\e'=\e'(\e)>0$
sz\'am, amelyre fel\'{\i}rva az
$$
\align
&M_k([-s,s])-B_k-M([-s,s])=M_k([-s,s])-M_k([-\e',\e'])\\
&\qquad\qquad-(M([-s,s])-M([-\e',\e']))
+(B'_k(\e')-B_k)+(M_k([-\e',\e'])\\
&\qquad\qquad-B'_k(\e')-M(\{0\})-(M([-\e',\e'])-M\{0\})
\endalign
$$
azonoss\'agot, \'es felhaszn\'alva a
$$
\limm_{k\to\infty}(M_k([-s,s])-M_k([-\e',\e'])-
(M([-s,s])-M([-\e',\e']))=0
$$
\'es a $\limm_{k\to\infty}(B'_k(\e')-B_k)=0$
rel\'aci\'okat, amelyek az (1.3) formula k\"ovetkezm\'enyei,
tov\'abb\'a a
$$
\limsupp_{k\to\infty}|M_k([-\e',\e'])-M_k(\{0\})-B'_k(\e')|\le \e
$$
\"osszef\"ugg\'est, ami az $(1.6')$ formul\'ab\'ol k\"ovetkezik,
\'es az $M([-\e',\e'])-M\{0\}|\le \e$ rel\'aci\'ot kapjuk, hogy
$$
\limsup_{k\to\infty}|M_k([-s,s])-B_k-M([-s,s])|\le 2\e.
$$
Mivel ez minden $\e\to0$-ra igaz, $(1.6')$-b\'ol k\"ovetkezik (1.6).
 
A (1.6) rel\'aci\'o jobban haszn\'alhat\'o a bizony\'{\i}t\'asban,
\'es tal\'an k\"onnyebben ellen\-\H{o}r\'{\i}z\-he\-t\H{o}. Viszont
a $(1.6')$ formula szeml\'eletes tartalma job\-ban \'erthet\H{o}.

\medskip\noindent
{\it 4.~Megjegyz\'es.}\/ A korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok
logaritmus\'anak a (1.7) formul\'aban meg\-adott alakja n\'emileg
k\"ul\"onb\"ozik annak mind az els\H{o} r\'eszben mind pedig a Feller
k\"onyv\-ben fel\'{\i}rt alakj\'at\'ol. Itt is a Feller k\"onyvben
haszn\'alt kanonikus m\'ert\'eket hasz\-n\'al\-juk, vi\-szont a
v\'alasztott $it\tau(u)$ ,,regulariz\'ac\'os" tag k\"ul\"onb\"ozik
nind a Feller k\"onyvben v\'alasz\-tott $it\sin u$ mind pedig az
els\H{o} r\'eszben haszn\'alt $itA(u)$ regulariz\'aci\'ot\'ol.
Viszont, mint azt az els\H{o} r\'esz t\'argyal\'asa is mutatja, ezek
a formul\'ak olyan eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at adj\'ak meg, amelyek egym\'as
eltoltjai. Az $itD$ addit\'{\i}v tag az\'ert nem szerepelt ebben a
formul\'aban, mert azt alkalmas norm\'al\'assal el lehetett t\"untetni.
Az $it\tau(u)$ re\-gu\-la\-ri\-z\'a\-ci\'o el\H{o}nye az els\H{o}
r\'eszben tekintett $itA(u)$ re\-gu\-la\-ri\-z\'a\-ci\'o\-val szemben
az, hogy ez folytonos f\"uggv\'eny. Ez bizonyos hat\'ar\'ameneteket
lehet\H{o}v\'e tesz a bizony\'{\i}t\'asokban.

\medskip
Az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban fontos szerepet j\'atszik az
az eredm\'eny, amely pontosan le\'{\i}rja, hogy
a L\'evy--Hincsin formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott
korl\'atlanul oszthat\'o el\-osz\-l\'a\-sok sorozata
mikor konverg\'al elosz\-l\'as\-ban, \'es mi a
hat\'areloszl\'as. Ezen eredm\'eny megfogalmaz\'as\'anak
\'erdek\'eben el\H obb bevezetj\"uk kanonikus m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a fogalm\'at. Ez a definici\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak ter\-m\'e\-sze\-tes
adapt\'aci\'oja. 

\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Legyenek $M_n$, $n=1,2,\dots$, \'es $M$
kanonikus m\'ert\'ekek a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $M_n$
m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak az $M$ m\'ert\'ekhez, ha
$$
\align
\lim_{n\to\infty}M_n^+(x)&=
\lim_{n\to\infty}\int_x^\infty\frac1{u^2}M_n(\,du)=
M^+(x)=\int_x^\infty\frac1{u^2}M(\,du), \\
\lim_{n\to\infty}M_n^-(x)&=
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{-x}\frac1{u^2}M_n(\,du)
=M^-(x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac1{u^2}M(\,du),
\endalign
$$
minden olyan $x>0$ sz\'amra, ahol az $M^+(x)$ illetve $M^-(x)$
f\"uggv\'eny folytonos, \'es
$$
\lim_{n\to\infty} M_n\{[a,b]\}=M\{[a,b]\}
$$
minden olyan $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amra, ahol az $M$ m\'ert\'ek
folytonos. (Ez azt jelenti, hogy $M(\{a\})=M(\{b\})=0$.)}

\medskip\noindent
{\it 5.~Megjegyz\'es.}\/ Eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'ahoz
hasonl\'oan, a kanonikus m\'ert\'ekek gyen\-ge konvergenci\'aja is
megfogalmazhat\'o folytonos f\"uggv\'enyek integr\'alj\'anak a
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Be lehet l\'atni, hogy kanonikus
m\'ert\'ekek $M_n$ sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al
(gyeng\'en) egy $M$ kanonikus m\'ert\'ekhez, ha $\int f(u)M_n(du)\to
\int f(u)M(du)$ minden olyan folytonos $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre
$\supp_u\frac{|f(u)|}{1+u^2}<\infty$. Mivel erre az \'all\'{\i}t\'asra
nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ennek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyjuk.

\medskip
Az 1.~T\'etelben megadtuk annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, hogy sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok soraiban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeib\H{o}l
alkalmas konstanst kivonva e kifejez\'esek eloszl\'asban
konverg\'aljanak. A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny, amelyik hasznos az
1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban is, arra ad sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etelt, hogy korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata mikor konverg\'al
eloszl\'asban.
 
\medskip\noindent
{\bf  2.~T\'etel.} {\it Legyen adva korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok egy sorozata, amelyek karak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'enek a (l\'etez\H{o}) logaritmusa
$$
\log \varphi_n(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M_n(\,du)+iB_nt, \quad n=1,2,\dots \tag1.9
$$
alak\'u, ahol $M_n$, $n=1,2,\dots$, kanonikus m\'ert\'ekek sorozata,
\'es a $\tau(u)=\tau_a(u)$ f\"uggv\'eny a (1.4) formul\'aban
van defini\'alva. Ezek az el\-osz\-l\'a\-sok akkor \'es csak akkor
konverg\'alnak eloszl\'asban, ha l\'etezik olyan $M$ kanonikus
m\'ert\'ek, amelyre az $M_n$ m\'ert\'ekek sorozata (gyeng\'en)
konverg\'al az $M$ kanonikus m\'ert\'ekhez, \'es l\'etezik a
$B=\limm_{n\to\infty} B_n$ limesz. A hat\'areloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a logaritmusa ebben az esetben
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M(\,du)+iBt.
$$

\medskip}
A 2.~T\'etel (egyszer\H{u}s\'{\i}tett) \'ervel\'ese
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atjuk a k\"ovetkez\H{o} $2'.$~T\'etelt is.

\medskip\noindent
{\bf $2'$. T\'etel.} {\it Egy korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at megad\'o
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M(\,du)+iBt
$$
formul\'aban az eloszl\'as vagy ami ezzel ekvivalens, a $\log
\varphi(t)$ f\"uggv\'eny, egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-roz\-za
az $M$ kanonikus m\'ert\'eket \'es $B$ konstanst.}

{\it Megjegyz\'es.} A 2. \'es $2'$. t\'etel megfogalmaz\'as\'aban
\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban nem haszn\'altuk ki, hogy minden
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as (l\'etez\H{o}) logaritmusa
megadhat\'o az (1.9) formul\'aban megadott alakban alkalmas $M_n$
kanonikus m\'ert\'ekkel \'es $B_n$ konstanssal. Ez ut\'obbi t\'eny
csak k\'es\H{o}bb bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik,
amelyek implicit m\'odon felhaszn\'alj\'ak a 2. \'es $2'$. t\'etel
eredm\'enyeit is.

\medskip\noindent
V\'eg\"ul a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast l\'atjuk be, amely
seg\'{\i}t a L\'evy--Hincsin formula bizony\'{\i}t\'as\'aban, azaz az
\"osszes korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as le\'{\i}r\'as\'aban is.

\medskip\noindent
{\bf 3.~T\'etel.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, olyan sz\'eriasorozat, amelynek egy sorban lev\H{o} tagjai
nemcsak f\"uggetlenek, hanem egyforma eloszl\'as\'uak is. (Viszont nem
tessz\"uk fel, hogy az \"osszedand\'ok teljes\'{\i}tik az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et.) Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy
$n_k\to\infty$, ha $k\to\infty$, \'es az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak. Ekkor a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et.} 

\medskip
E jegyzet f\H{o} eredm\'enye arra ad sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etelt, hogy az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozatokban az egy sorban \'all\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeib\H{o}l alkalmas konstansokat kivonva az
\'{\i}gy kapott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak le\-gyen
hat\'areloszl\'asuk. Egy k\'es\H{o}bbi, a 2.~Lemm\'aban
megfogalmazand\'o eredm\'eny le\-he\-t\H{o}\-v\'e teszi a probl\'ema
reduk\'al\'as\'at arra az esetre, amikor az 1.~T\'etelben bevezetett
$\tau(\cdot)$ f\"uggv\'enyre $E\tau(\xi_{k,j})=0$, $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le n_k$. Ebben az esetben az (1.5) formul\'aban
bevezetett mennyis\'egek teljes\'{\i}tik a $b_k=0$, $B_k=0$
azonoss\'agokat, \'es az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegeknek
akkor \'es csak akkor van hat\'areloszl\'asuk, ha a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_{k,j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeib\H{o}l k\'esz\'{\i}tett $x^2F_{k,j}(\,dx)$
m\'ert\'ekek r\"ogz\'{\i}tett $k$~indexre vett \"osszegei, az
$M_k(\,dx)$ kanonikus m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak egy $M$
ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekhez. Tov\'abb\'a a hat\'areloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et megadja az (1.7) formula. Ennek a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enynek az alakj\'ab\'ol, illetve
az ilyen ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyeknek az els\H{o}
r\'eszben is elmagyar\'azott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'ab\'ol
l\'athat\'o, hogy a hat\'areloszl\'as megadhat\'o, mint egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa, amely az
$x^{-2}M(dx)$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ek \'altal defini\'alt Poisson
folyamat pontjainak al\-kal\-masan norm\'alt \"osszege plusz egy a
Poisson folyamatt\'ol f\"uggetlen nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$M(\{0\})$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
 
Tekinthetj\"uk tov\'abb\'a az $x^{-2}M_k(dx)$ m\'ert\'ekek \'altal
meghat\'arozott Poisson me\-z\H o\-ket, illetve e mez\H{o}k kijel\"olt
pontjainak alkalmasan norm\'alt \"osszeg\'et. Az el\H{o}bb
megfogalmazott eredm\'enyek azt mutatj\'ak, hogy az eredeti
\"osszegeknek \'es a Poisson mez\H{o}kben kijel\"olt pontok
\"osszegeinek egyszerre van ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-suk, \'es ezek
megegyeznek.
 
Ezeknek az eredm\'enyeknek szeml\'eletes tartalm\'at \'es a
m\"og\"ott\"uk \'all\'o k\'epet a harmadik r\'eszben fogjuk
elmagyar\'azni. Itt arr\'ol is sz\'o lesz, hogy b\'ar mint a
t\'argyalt eredm\'enyek mutatj\'ak, vannak hat\'areloszl\'ast\'etelek
nem norm\'alis eloszl\'as\'u limesszel is, az egyetlen univerz\'alis
jelleg\H{u} hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeire
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. Tov\'abb\'a bel\'atjuk, hogy
n\'eh\'any tov\'abbi ter\-m\'e\-sze\-tes feltev\'es eset\'en az
1.~T\'etel felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatokra egy
\'ugynevezett funk\-cio\-n\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel is
\'erv\'enyes.

\vfill\eject

\noindent
{\bf 2. Az eredm\'enyek n\'eh\'any \'erdekes k\"ovetkezm\'enye.}
 
\medskip\noindent
A fentebb megfogalmazott eredm\'enyek  seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet
bizony\'{\i}tani a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
klasszikus hat\'areloszl\'ast\'eteleit, illetve azok j\'ol
alkalmazhat\'oak olyan vizs\-g\'a\-la\-tok\-ban, amelyek szorosan
kapcsol\'odnak f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sai\-hoz. Ebben a
fejezetben ilyen eredm\'enyeket ismertet\"unk. El\H{o}sz\"or megadjuk
a korl\'atlanul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
jellemz\'es\'et:
 
\medskip\noindent 
{\script A.) L\'evy--Hincsin formula.}

\medskip\noindent
{\bf L\'evy--Hincsin formula:} {\it
Egy eloszl\'as akkor \'es csak akkor korl\'atlanul oszthat\'o, ha a
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek l\'etezik logaritmusa, \'es az
megadhat\'o
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
M(\,du)+iBt \tag2.1
$$
alakban, ahol $M$ kanonikus m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, $B$ val\'os
sz\'am, a $\tau(\cdot)$ f\"uggv\'enyt pedig az (1.4) formul\'aban
defini\'altuk (valamilyen r\"ogz\'{\i}tett $a>0$ sz\'ammal). Egy
kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et megad\'o (2.1) formul\'aban az $M$ kanonikus
m\'ert\'ek \'es $B$ konstans egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott, (ha
az $a>0$ sz\'amot, teh\'at a $\tau(\cdot)=\tau_a(\cdot)$ f\"uggv\'enyt
r\"ogz\'{\i}tj\"uk).}

\medskip
Eml\'ekeztet\H{o}\"ul jegyezz\"uk meg, hogy egy eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek ak\-kor \'es csak akkor van
logaritmusa, ha az sehol sem t\H{u}nik el. Ebben az esetben a
logaritmus f\"uggv\'enynek azt az \'ag\'at tekintj\"uk,
amelyik az orig\'oban null\'aval egyenl\H{o}, \'es folytonos
f\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\it A L\'evy--Hincsin formula bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Az els\H{o}
r\'eszben bel\'attuk, hogy a (2.1) formula val\'oban egy
karakterisztikus f\"uggv\'eny logaritmusa. Az, hogy a (2.1)~formula 
egy kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny 
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at defini\'alja 
k\"onnyen l\'athat\'o. Val\'oban, ha  $\xi$ karakterisztikus 
f\"uggv\'eny\'enek $\log \varphi(t)$ logaritmus\'at a (2.1)~formula 
hat\'arozza meg, akkor ennek eloszl\'asa tetsz\H{o}leges
$k$ eg\'esz sz\'amra meg\-egye\-zik $k$ olyan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'evel, amelyek
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek a logaritmusa
$\frac{\log\varphi(t)}k$, azaz az $M(\cdot)$ m\'ert\'eket az
$\frac{M(\cdot)}k$ m\'ert\'ekkel, a $B$ sz\'amot
pedig a $\frac Bk$ konstanssal helyettes\'{\i}tj\"uk a (2.1)
formul\'aban.
 
Megford\'{\i}tva, ha $\xi$ korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz tet\-sz\H{o}\-le\-ges $k$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra l\'etezik f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,k}$ sorozata, amelyre a
$S_k=\xi_{k,1}+\cdots+\xi_{k,k}$ \"osszeg eloszl\'asa megegyezik
$\xi$ eloszl\'as\'aval, akkor a 3.~T\'etel alapj\'an a $\xi_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le k$, sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, \'es mivel az $S_k$ \"osszegeknek
van hat\'areloszl\'asa, ez\'ert alkalmazhat\'o az 1.~T\'etel ebben az
esetben. Ez\'ert l\'etezik olyan $b_k$ sz\'amsorozat, amelyre az
$S_k-b_k$ sorozatnak l\'etezik hat\'areloszl\'asa, \'es a
hat\'areloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'enek a
logaritmusa megadhat\'o az (1.7) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
alkalmas $M$ kanonikus m\'ert\'ekkel. (Az\'ert jelent meg ebben az
\'ervel\'esben a $b_k$ konstans, mert csak ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tudjuk biztos\'{\i}tani, hogy a limesz az (1.7) formul\'aval 
megadhat\'o. Az (1.7) formul\'aban nem jelenik meg a (2.1) formul\'aban
szerepl\H{o} $iBt$ tag.) Mivel az $S_k$ sorozat
eloszl\'asban konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'ahoz, az $S_k-b_k$ sorozat csak \'ugy konverg\'alhat
eloszl\'asban, ha l\'etezik a $\limm_{k\to\infty}b_k=B$
hat\'ar\'ert\'ek. Ez viszont azt jelenti, hogy az (1.7) formula a
$\xi-B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek logaritmus\'at adja meg. Innen k\"ovetkezik a (2.1)
formula. E reprezent\'aci\'o egy\'ertelm\H{u}s\'ege a $2'.$~T\'etel
k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent{\script B.) 
Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}

\medskip\noindent
Megmutatjuk, hogy az els\H{o} fejezet eredm\'enyeib\H{o}l
k\"ovetkeznek a legfontosabb centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelr\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'enyek. A
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel tal\'an
leg\-\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb alakja
a k\"ovetkez\H{o}t \'all\'{\i}tja: Legyen $\xi_{k,j}$, $E\xi_{k,j}=0$,
$E\xi_{k,j}^2=\sigma^2_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
olyan sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat, amelyre $\limm_{k\to\infty}
\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$, \'es teljes\"ul a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett Lindeberg felt\'etel: Minden $\e>0$
sz\'amra $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2
I(|\xi_{k,j}|>\e)=0$, ahol $I(A)$ jel\"oli az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et. Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
 
Ismeretes tov\'abb\'a ennek az eredm\'enynek a k\"ovetkez\H{o}
Fellert\H{o}l sz\'armaz\'o megford\'{\i}t\'asa: Legyen
$\xi_{k,j}$, $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma^2_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat, amelyre
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$. Teljes\"ulj\"on
ezenk\'{\i}v\"ul a k\"ovetkez\H{o} az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etel\'en\'el kiss\'e er\H{o}sebb k\"ovetelm\'eny:
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\sigma^2_{k,j}=0$.
Ha az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ sorozat eloszl\'asban
konverg\'al a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt. S\H{o}t, ez az
\'all\'{\i}t\'as akkor is igaz, ha az $S_k$ sorozat konvergenci\'aja
helyett csak azt tessz\"uk fel, hogy az $S_k-b_k$ sorozat eloszl\'asban
konverg\'al a standard norm\'alis eloszl\'ashoz alkalmas $b_k$
sz\'amsorozattal.
 
Levezetj\"uk a most most megfogalmazott ered\-m\'e\-nye\-ket az
els\H{o} fejezet eredm\'enyei seg\'{\i}ts\'eg\'evel. S\H{o}t, kiss\'e
\'elesebb \'all\'{\i}t\'ast fogunk bizony\'{\i}tani. Bel\'atjuk, hogy a
Lindeberg felt\'etel \'erv\'enyess\'eg\'ehez a centr\'alis
hat\'areloszl\'as teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\sigma^2_{k,j}=0$ felt\'etel
helyett el\'eg feltenni azt, hogy sz\'eriasorozat egyenletesen kicsi.
 
El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy a Lindeberg felt\'etel k\"ovetkezik
az adott felt\'etelekb\H{o}l. Az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele
miatt alkalmazhatjuk az 1.~T\'etelt. Ebb\H{o}l
az eredm\'enyb\H{o}l, \'es a hat\'arm\'ert\'eknek jellemz\'es\'enek
a $2'.$~T\'etelben megfogalmazott egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak $F_{k,j}$ eloszl\'asf\"uggv\'enyeib\H{o}l az (1.2)
formula se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'alt $M_k$ ka\-no\-ni\-kus
m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik az (1.3) \'es (1.6) formul\'at az (1.5)
formul\'aban defini\'alt $B_k$ kons\-tan\-sok\-kal \'es $M$
ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekkel, amelyre $M(\{0\})=1$, $M(\bold
R^1\setminus\{0\})=0$. Mivel $B_k\ge0$ ez\'ert az (1.6) formula
alapj\'an tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$\limm_{k\to0}M_k([-\e,\e])-B_k=1$ valamilyen $B_k\ge0$ sz\'ammal.
Teh\'at minden $\e>0$ sz\'amra $\limm_{j\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|\le\e)\ge1$. M\'asr\'eszt, mivel
$\limm_{j\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$,
ez\'ert $\limm_{j\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2
I(|\xi_{k,j}|>\e)=0$, \'es ez a Lindeberg felt\'etel.
 
Megford\'{\i}tva, megmutatjuk, hogy ha teljes\"ul a Lindeberg
felt\'etel, akkor \'erv\'enyes a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel. Ekkor
$\supp_{1\le j\le n_k}P(|\xi_{k,j}|\ge\e)\le
\frac1{\e^2}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)\to0$, ha
$k\to\infty$. Ez\'ert teljes\"ul az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele,
\'es alkalmazhatjuk az 1.~T\'etelt. Azt kell bel\'atni, hogy a
$\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, $F_{k,j}$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol elk\'esz\'{\i}tett $M_k$
m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik az (1.3) \'es (1.6) felt\'eteleket az
$M\{0\})=1$, $M(\bold R^1\setminus\{0\})=0$ k\'epletekkel defini\'alt
$M$ m\'ert\'ekkel, \'es $\limm_{k\to\infty}b_k=0$. A Lindeberg
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (1.3) formula a fenti $M$
m\'ert\'ekkel, mert minden $a>0$ sz\'amra
$M_k^+(a)=\summ_{j=1}^{n_k}(1-F_{k,j}(a))\le
\frac1{a^2}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>a)\to0$, ha
$k\to\infty$, \'es hasonl\'oan $\limm_{k\to\infty} M_k^-(a)=0$.
A Lindeberg felt\'etelb\H{o}l \'es a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\limm_{k\to\infty}M_k([-s,s])=1$
minden $s>0$ sz\'amra. Ez\'ert az (1.6) formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg bel\'atni, hogy $\limm_{k\to\infty}B_k=0$. Ez a rel\'aci\'o
az\'ert igaz, mert az $E\xi_{k,j}=0$ felt\'etel alapj\'an
$$
B_k=\summ_{j=1}^{n_k}\(E(\tau(\xi_{k,j})-\xi_{k,j})\)^2
\le\summ_{j=1}^{n_k}\(E|\xi_{k,j}|I(|\xi_{k,j}|>a)\)^2
\le\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2P^2(|\xi_{k,j}|>a),
$$
ahonnan $\limm_{k\to\infty}B_k=0$, mert
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi^2_{k,j}=1$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k} P(|\xi_{k,j}>a)=0$.
Hasonl\'oan,
$$
|b_k|=\left|\summ_{j=1}^{n_k}E\(\tau(\xi_{k,j})-\xi_{k,j}\)\right|
\le\summ_{j=1}^{n_k} E|\xi_{k,j}|I(|\xi_{k,j}|>a)
\le\frac1a\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>a),
$$
ez\'ert $\limm_{k\to\infty}b_k=0$ a Lindeberg felt\'etel alapj\'an.
Ez viszont azt jelenti, hogy az
1.~T\'etel alapj\'an a $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
r\'eszlet\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan
eloszl\'ashoz, amely eloszl\'as karakterisztikus f\"ugv\'eny\'enek a
logaritmusa $\log \varphi(t)=-\frac{t^2}2$. Teh\'at igaz a centr\'alis
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel az adott felt\'etelek mellett.
 
\medskip\noindent
{\script C.) A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.}

\medskip\noindent
Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,  az ezekb\H{o}l
a v\'altoz\'okb\'ol alkotott r\'eszlet\"osszegek. A
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik klasszikus
eredm\'enye arr\'ol sz\'ol, hogy ezek az \"osszegek mikor
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, azaz ez az
eredm\'eny az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny tulajdons\'agai
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt ad
arra, hogy teljes\"ulj\"on a $\frac{S_n}n\Rightarrow a$ rel\'aci\'o
valamilyen korl\'atos $a$ sz\'ammal, ha $n\to\infty$, ahol
$\Rightarrow$ a sztochasztikus konvergenci\'at jel\"oli.
Ez az eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o}: 

\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.} {\it Legyen
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma, $F(x)$ elosz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Az $\frac
{S_n}n=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlagok akkor \'es csak akkor
konverg\'alnak sztochasztikusan egy $a$ sz\'amhoz, ha teljes\"ul a
k\"ovetkez\H{o} k\'et felt\'etel. 

\medskip
\item {i.)} $\limm_{x\to\infty}  x[1-F(x)]=0$, \'es $\limm_{x\to\infty}
xF(-x)=0$
\item{ii.)} $\limm_{x\to\infty}\int_{-x}^x uF(\,du)=a$.

\medskip}\noindent
{\it A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Tekints\"uk a $\xi_{k,j}=\frac{\xi_j}k$, $k=1,2,\dots$, $j=1,\dots,k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
sz\'eriasorozatot. Ez teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etel\'et. A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye azt jelenti,
hogy e sz\'eriasorozat \"osszegeib\H{o}l alkotott \"osszegek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $a$ pontba koncentr\'alt
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'er\-t\'ek\-hez.
Ez pedig az 1.~T\'etel alapj\'an azzal ekvivalens, hogy az
$M_k(\,dx)=kx^2F(k\,dx)$, m\'ert\'ekek $M^+_k(x)=k(1-F(kx))$ \'es
$M^-_k(x)=kF(-kx)$ f\"uggv\'enyek va\-la\-mint a
$$
\align
b_k&=k\(\int_{-a}^a uF(k\,du)+a(1-F(ak)-F(-ak))\)\\
&=\int_{-ka}^{ka}u F(\,du)+ak\(1-F(ak)-F(-ak)\),
\endalign
$$
\'es $B_k=\frac{b_k^2}k$ sz\'amok teljes\'{\i}tik az (1.3) \'es
(1.6) rel\'aci\'ot az $M\equiv0$ kanonikus m\'ert\'ekkel, \'es 
$\limm_{k\to\infty}b_k=a$.
 
N\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy az (1.3) rel\'aci\'o ekvivalens az
i.) felt\'etellel. Ha az i.) felt\'etel teljes\"ul, akkor a ii.)
felt\'etel ekvivalens a $\limm_{k\to\infty}b_k=a$ felt\'etellel.
V\'eg\"ul az i.) \'es ii.) felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az (1.6)
formula is \'erv\'enyes, mert ekkor $\limm_{k\to\infty} B_k=0$, \'es
$\limm_{k\to\infty} M_k([-s,s])=0$. Ugyanis parci\'alis integr\'al\'assal
kapjuk, hogy $M_k([-s,s])=\int_{-ks}^{ks} \frac{u^2}kF(\,du)
=s^2k\[(1-F(ks)+F(-ks)\]-\int_0^{ks}\frac{1-F(u)+F(-u)]}k\,du$, ahonnan
k\"o\-tet\-ke\-zik, hogy $M_k([-s,s])\le s^2k\[(1-F(ks)+F(-ks)\]\to0$,
ha $k\to\infty$.
 
\medskip\noindent
{\script D.) Poisson eloszl\'ashoz val\'o hat\'areloszl\'ast\'etel.}

\medskip\noindent
Az els\H{o} r\'eszben megfogalmaztunk, \'es annak
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben be is bizony\'{\i}tottunk egy
hat\'areloszl\'ast\'etelt, amelyben a hat\'areloszl\'as Poisson
eloszl\'as\'u volt. Most megmutatjuk, hogy ez az ered\-m\'eny az
1.~T\'etel egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enyek\'ent is megkaphat\'o. Az
ered\-m\'eny a k\"ovetkez\H{o}:

\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'ashoz val\'o hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it
Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$ sz\'eriasorozat,
(azaz r\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek), amely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
 
Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$
para\-m\'e-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\it A Poisson eloszl\'ashoz val\'o hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.} A $\xi_{k,j}$ sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ez\'ert az 1.~t\'etel
alkalmazhat\'o, p\'eld\'aul $a=\frac12$ v\'alaszt\'assal. Ekkor az 1.
t\'etelben szerepl\H{o} $M$ kanonikus hat\'arm\'ert\'ek az a
m\'ert\'ek, amelyre $M(\{1\})=\lambda$, $M(\bold R^1\setminus\{1\})=0$,
$b_k=0$. Ez\'ert az $S_k$ \"osszegek olyan hat\'areloszl\'ashoz
tartanak, amelyik karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmusa
$\log\varphi(t)=\lambda\(e^{it}-1\)$, azaz a hat\'areloszl\'as a
$\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as.
 
\beginsection 3. A megfogalmazott eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa.
 
A megfogalmazott eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or k\'et technikai lem\-m\'at t\'ar\-gya\-lunk. Az els\H{o}
lemm\'aban megfogalmazzuk az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en. A m\'asodik lemma
lehet\H{o}v\'e teszi a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek
bizony\'{\i}t\'as\'anak a reduk\'al\'as\'at arra a speci\'alis esetre,
amikor $E\tau(\xi_{k,j})=0$ minden el\'eg nagy $k$ indexre \'es $1\le
j\le n_k$ sz\'amra. Ezut\'an t\'er\"unk r\'a a t\'etelek
bizony\'{\i}t\'as\'ara. 

\medskip\noindent
{\script A.) K\'et a vizsg\'alatben hasznos lemma bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
{\bf 1.~Lemma.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat, $F_{k,j}$ eloszl\'as \'es
$\varphi_{k,j}(t)=Ee^{it\xi_{k,j}}$, karakterisztikus f\"uggv\'ennyel,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$. Ez a sz\'eriasorozat akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e>0$ \'es $K>0$ sz\'amra
$$
\sup_{1\le j\le n_k}\sup_{|t|<K}\left|1-\varphi_{k,j}(t)\right|<\e,
\quad \text{ha } k\ge k_0(\e,K).
$$
}

\medskip \noindent
{\it Az 1.~Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ a.) Tegy\"uk fel, hogy
teljes\"ul az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele. Ekkor $\e'=\frac\e K$
v\'alaszt\'assal  $|t|\le K$ eset\'en
$$
\align
|1-\varphi_{k,j}(t)|&\le \int |1-e^{itx}|F_{k,j}(\,dx)=\int_{|x|\le
\e'}+\int _{|x|>\e'} \\
&\le \int_{-\e'}^{\e'}|tx|F_{k,j}(\,dx)+2P(|\xi_{k,j}|>\e')\le
K\e'+2P(|\xi_{k,j}|>\e')\le \e,
\endalign
$$
ha $k\ge k_0(\e,K)$.

\medskip\noindent
b.) Ha a karakterisztikus f\"uggv\'enyre megfogalmazott felt\'etel
teljes\"ul, akkor tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e'>0$ \'es $K>0$ sz\'amra
$k\ge k_0(\e',K)$ \'es $1\le j\le n_k$ index eset\'en
$$
\align
\e'&\ge\frac1{2K}\int_{-K}^K \Re\[1-\varphi_{k,j}(t)\]\,dt=
\frac1{2K}\int_{-K}^K \int_{-\infty}^\infty (1- \cos
tx)F_{k,j}(\,dx)\,dt \\
&=\frac1{2K} \int_{-\infty}^\infty 2K\[1- \frac{\sin
Kx}{Kx}\]F_{k,j}(\,dx)\ge \int_{\{|x|>\frac2K\}}\ge \frac12
P\(|\xi_{k,j}|>\frac2K\).
\endalign
$$
Innen $\e'=\frac\e2$ \'es $K=\frac2\e$ v\'alaszt\'assal
k\"ovetkezik az egyenletes kicsis\'eg \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf 2.~Lemma.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
az egyenletes kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozat, \'es
$a>0$ r\"ogz\'{\i}tett sz\'am. Ekkor l\'etezik olyan
$\vartheta_{k,j}=\vartheta_{k,j}(a)$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'amsorozat, amelyre $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}
|\vartheta_{k,j}|=0$, \'es a $\xi'_{k,j}=\xi_{k,j}-\vartheta_{k,j}$
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az
$E\tau(\xi'_{k,j})=E\tau_a(\xi'_{k,j})=0$ felt\'etelt minden $k\ge
k_0=k_0(a)$, $1\le j\le n_k$ indexekre alkalmas $k_0(a)$
k\"usz\"obindex-szel \'es az (1.4) formul\'aban defini\'alt
$\tau(\cdot)=\tau_a(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel. Legyen
$F'_{k,j}(x)=F_{k,j}(x+\vartheta_{k,j})$ a $\xi'_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye, \'es
defini\'aljuk az $M'_k$ m\'er\-t\'e\-ke\-ket \'es az ${M'}^{\pm}_k(x)$
f\"uggv\'enyeket az $M_k$ m\'ert\'ekekhez \'es az $M^\pm_k$
f\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan az (1.1) \'es (1.2) k\'epletek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azzal a k\"u\-l\"onb\-s\'eg\-gel,
hogy az $F_{k,j}$ eloszl\'asf\"uggv\'enyeket az $F'_{k,j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyekkel helyettes\'{\i}tj\"uk e formul\'akban.
 
Az $M_k$ m\'ert\'ekek \'es $M^\pm_k$ f\"uggv\'enyek akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik az (1.3) illetve (1.6) tulajdons\'agokat, ha az
$M'_k$ m\'ert\'ekek \'es ${M'}^\pm_k$ f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik
azokat (ugyanazzal az $M$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekkel, de azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az (1.6) formul\'aban $B_k=0$-t kell
\'{\i}rni, ha az $M_k$ m\'ert\'eket az $M'_k$ m\'ert\'ekkel
helyettes\'{\i}tj\"uk). Ha e rel\'aci\'ok teljes\"ulnek, akkor a
$b_k=\summ_{j=1}^{n_k}\beta_{k,j}$
\'es $b'_k=\summ_{j=1}^{n_k}\vartheta_{k,j}$ sz\'amok teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}(b_k-b'_k)=0$ rel\'aci\'ot.} 

\medskip
A 2.~Lemma utols\'o \'all\'{\i}t\'asa szerint 
$\limm_{k\to\infty}(b_k-b'_k)=0$. Innen k\"ovetkezik, hogy 
a 2.~Lemm\'aben defini\'alt $S_k'=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}'$ 
\"osszegek \'es az 1.~T\'etelben vizsg\'alt $S_k-b_k$, 
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, normaliz\'alt \"osszegek 
egyszerre konverg\'alnak eloszl\'asban, \'es ezen \"osszegek 
hat\'areloszl\'asai megegyeznek. Jegyezz\"uk meg tov\'abb\'a, 
hogy az $S_k'$ \"osszegek ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'a\-nak 
l\'etez\'es\'ere az 1.~T\'etelben megfogalmazott (1.3) \'es 
(1.6) felt\'etel \'ugy is megfogalmazhat\'o, hogy az $M'_k$ 
kanonikus m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak az $M$ 
ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekhez. Tov\'abb\'a a
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}|\vartheta_{k,j}|=0$
rel\'aci\'o miatt a $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, 
sz\'eriasorozatra \'erv\'enyes egyenletes kicsis\'egi 
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik ugyanez a felt\'etetel a 
$\xi_{k,j}'$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozatra is.

\medskip\noindent 
{\it A 2.~Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel az
$f_{k,j}(\vartheta)=E\tau(\xi_{k,j}-\vartheta)$ f\"uggv\'eny folytonos,
\'es az egyenletes kicsis\'eg miatt minden kis $\e>0$-ra $f_{k,j}(\e)<0$
\'es $f_{k,j}(-\e)>0$, ha $k>k(\e)$. (Feltehetj\"uk, hogy $a>2\e$. A
$\tau(\xi_{k,j}-\e)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o majdnem egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kisebb mint $-\e/2$, \'es egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kisebb mint $a$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$E\tau(\xi_{k,j}-\e)<0$, ha $k\ge k_0(\e)$, \'es hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o a $E\tau(\xi_{k,j}+\e)>0$ egyenl\H{o}tlens\'eg.
Ezekb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
l\'eteznek olyan $\vartheta_{k,j}$ sz\'amok, amelyekre
$E\tau(\xi_{k,j}-\vartheta_{k,j})=0$, ha $k\ge k_0$,
\'es $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}|\vartheta_{k,j}|=0$.
 
Mivel $|\vartheta_{k,j}|<\e$ el\'eg nagy $k$-ra minden $1\le j\le
n_k$ sz\'amra, $M_k^+(x-\e)<{M'}_k^+(x)<M_k^+(x+\e)$, \'es
$M_k^-(x-\e)<{M'}_k^-(x)<M_k^-(x+\e)$, ha $k>k_0(\e)$. Innen
k\"ovetkezik az is, hogy az $M^\pm$  f\"uggv\'eny minden $x$
folytonoss\'agi pontj\'aban $M^\pm_k(x)$ \'es ${M'}^\pm_k(x)$
sz\'amok egyszerre konverg\'alnak vagy nem konverg\'alnak az $M^\pm(x)$
\'ert\'ekhez. Ez\'ert az $M^\pm$ f\"uggv\'enyek akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik az (1.3) rel\'aci\'ot, ha az ${M'}^\pm$
f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik azt.
 
A $\tau(\xi'_{k,j})+\vartheta_{k,j}-\tau(\xi_{k,j})=
\xi'_{k,j}+\vartheta_{k,j}-\xi_{k,j}=0$  rel\'aci\'o
igaz az $\{\oo\colon\; |\xi_{k,j}(\oo)|\le a-\e\}$ halmazon, ha 
$k\ge k_0(\e)$. Tov\'abb\'a, mivel $\tau(\cdot)$ Lipschitz~1 
f\"uggv\'eny a $|\tau(\xi'_{k,j})+\vartheta_{k,j}-\tau(\xi_{k,j})|\le
2\vartheta_{k,j}$ egyenl\H{o}tlens\'eg mindig teljes\"ul. Ez\'ert
v\'arhat\'o \'ert\'eket k\'epezve, \'es a $j$ v\'altoz\'oban
\"osszegezve kapjuk, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\sum_{j=1}^{n_k}|\vartheta_{k,j}-\beta_{k,j}|&=
\sum_{j=1}^{n_k} |E\tau(\xi'_{k,j})+\vartheta_{k,j}-E\tau(\xi_{k,j})| \\
&=\sum_{j=1}^{n_k}
|E\(\tau(\xi'_{k,j})+\vartheta_{k,j}-\tau(\xi_{k,j})\)
I(|\xi_{k,j}|>a-\e)|\\
&\le2\sup_{1\le j\le n_k}|\vartheta_{k,j}|(M^+_k(a-\e)+M^-_k(a-\e)),
\endalign
$$
ha $k\ge k_0(\e)$. Innen $k\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$\limm_{k\to\infty} \summ_{j=1}^{n_k}|\vartheta_{k,j}-\beta_{k,j}|
=0$, \'es ez er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'as mint a lemm\'aban
megfogalmazott $b_k-b'_k\to0$ rel\'aci\'o, ha $k\to \infty$.
 
A lemma bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez el\'eg megmutatni
azt, hogy egy olyan $s>0$ sz\'amra, amely az $M^\pm(\cdot)$
f\"uggv\'enyeknek folytonoss\'agi pontja
$$
\limm_{k\to\infty}(M_k([-s,s])-M'_k([-s,s])-B_k)=0
$$
Ez ugyanis azt jelenti, hogy a (1.6) rel\'aci\'o egyszerre teljes\"ul
az $s$ pontban az  $M_k$ \'es $M'_k$ m\'ert\'ekekre. (Az $M'_k$
m\'ert\'ekb\H ol $B'_k=0$-t kell levonni. Ugyanis $B_k=0$,
mert $\beta'_{k,j}=E\tau(\xi'_{k,j})=0$ minden $k\ge k_0$ \'es $1\le
j\le n_k$ sz\'amra.)
 
E rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'anak az \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
megmutatjuk, hogy amennyiben $s>0$  az $M^\pm(\cdot)$ f\"uggv\'enyek
folytonoss\'agi pontja, akkor
$$
\limm_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\(P(|\xi_{k,j}|>s)
-P(|\xi'_{k,j}|>s)\)=0, \tag3.1
$$
\'es
$$
\limm_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}(E\tau(\xi_{k,j})^2
-E\tau(\xi'_{k,j})^2)-B_k=0.   \tag3.2
$$
 
Mivel az $s$ pont az $M^\pm$ f\"uggv\'enyek folytonoss\'agi pontja,
ez\'ert az (1.3) formul\'at alkalmazva az $M^\pm_k$ \'es ${M'}^\pm_k$,
f\"uggv\'enyekre, kapjuk, hogy
$$
\align
&\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
(P(|\xi_{k,j}|>s)-P(|\xi'_{k,j}|>s))\\
&\qquad\qquad=\limm_{k\to\infty}
\((M_k^+(s)-{M'}^+_k(s))+(M_k^-(s)-{M'}_k^-(s))\)=0,
\endalign
$$
ez\'ert a (3.1) formula \'erv\'enyes. M\'asr\'eszt, minden el\'eg nagy
$k$ indexre \'es $1\le j\le n_k$ sz\'amokra
$\tau(\xi_{k,j})^2-\tau(\xi'_{k,j})^2+\vartheta^2_{k,j}
-2\vartheta_{k,j}\tau(\xi_{k,j})=
\xi_{k,j}^2-(\xi'_{k,j})^2+\vartheta^2_{k,j}
-2\vartheta_{k,j}\xi_{k,j}=0$ az
$\{\oo\colon\;|\xi_{k,j}(\oo)|<a-\e\}$ halmazon, \'es ez a 
kifejez\'es mindig kisebb mint $\const |\vartheta_{k,j}|$. Ez\'ert
v\'eve e kifejez\'esek abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et, \'es \"osszegeze a $j$ v\'altoz\'oban kapjuk, hogy
$$
\align
&\left|\sum_{j=1}^{n_k} E\(\tau(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2
+\vartheta^2_{k,j}-2\vartheta_{k,j}\beta_{k,j}\)\right|\\
&\qquad\le \const\(2M^+_k(a-\e)+2M^-_k(a-\e)\)\sup_{1\le j\le n_k}
|\vartheta_{k,j}|,
\endalign
$$
\'es ezt felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$$
\align
&\left|\sum_{j=1}^{n_k}
E\(\tau(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2)\)-B_k\right|=
\left|\sum_{j=1}^{n_k} E\(\tau(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2
-\beta_{k,j}^2\)\right| \\
&\qquad\le \const\(2M^+_k(a-\e)+2M^-_k(a-\e)\)\sup_{1\le j\le n_k}
|\vartheta_{k,j}|+\sum_{j=1}^{n_k}(\vartheta_{k,j}-\beta_{k,j})^2.
\endalign
$$
Mivel az $M_k^\pm(a-\e)$ sorozatok, $k=1,2,\dots$, korl\'atosak, \'es
mint kor\'abban l\'attuk $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
|\vartheta_{k,j}-\beta_{k,j})|=0$, az utols\'o kifejez\'es jobboldala
null\'ahaz tart $k\to\infty$ eset\'en, ez\'ert a (3.2) rel\'aci\'o is
\'erv\'enyes.
 
Jel\"olje $\tau_s(\cdot)$ a (1.4)  formul\'aban defini\'alt
$\tau=\tau_a$ f\"uggv\'enyt, ha a benne szerepl\H{o} $a$ param\'etert
$s$-sel helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es \'{\i}rjuk fel az
$$
\align
&M_k([-s,s])-M'_k([-s,s])-B_k=\summ_{j=1}^{n_k}\(E\tau_s(\xi_{k,j})^2
-E\tau_s(\xi'_{k,j})^2\)-B_k\\
&\hskip6.5truecm -s^2\summ_{j=1}^{n_k}(P(|\xi_{k,j}|>s)
-P(|\xi'_{k,j}|>s)) \\
&\qquad=\sum_{j=1}^{n_k} \(E\tau_s(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi_{k,j})^2\)-
\sum_{j=1}^{n_k}\(E\tau_s(\xi'_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2\)\\
&\qquad\qquad +\sum_{j=1}^{n_k}
E\(\tau(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2\)-B_k
-s^2\summ_{j=1}^{n_k}
(P(|\xi_{k,j}|>s)-P(|\xi'_{k,j}|>s))
\endalign
$$
azonoss\'agot. A 2.~Lemma bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez
azt kell m\'eg bel\'atnunk, hogy az ennek az azo\-nos\-s\'agnak
jobboldal\'an lev\H{o} kifejez\'es null\'ahoz tart, ha $k\to\infty$.
A jobboldal m\'asodik sor\'aban \'all\'o kifejez\'esek
konvergenci\'aja null\'ahoz k\"ovetkezik a (3.1) \'es (3.2)
formul\'akb\'ol. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik
a k\"ovetkez\H{o} becsl\'esekb\H{o}l.
$$
\align
\summ_{j=1}^{n_k} \(E\tau_s(\xi_{k,j})^2-E\tau(\xi_{k,j})^2)\)
&=\int\frac{\tau_s(u)^2-\tau(u)^2}{u^2} M_k(du) \\
&=\int_{\min (a,s)}^\infty\(\tau_s(u)^2-\tau(u)^2\)
(M^+_k(\,du)+M^-_k(\,du))\\
&\qquad\to \int_{\min(a,s)}^\infty \(\tau_s(u)^2-\tau(u)^2\)
(M^+(\,du)+M^-(\,du)).
\endalign
$$
A $\summ_{j=1}^{n_k} \(E\tau_s(\xi'_{k,j})^2-E\tau(\xi'_{k,j})^2)\)$
kifejez\'esnek ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke. Innen k\"o\-vet\-ke\-zik,
hogy $M_k([-s,s])-M'_k([-s,s])-B_k\to0$, ha $\to\infty$. A 2.~Lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Az els\H{o} t\'etel el\'egs\'eges r\'esz\'et, azaz a hat\'areloszl\'as
l\'etez\'es\'et az adott felt\'etelek mellett k\"ozvetlen\"ul is be
tudjuk l\'atni, de a sz\"uks\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
sz\"uks\'eg\"unk van a 2.~T\'etel eredm\'eny\'ere. Ennek
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz bel\'atunk egy  3.~Lemm\'anak nevezett
\'all\'{\i}t\'ast is. Ez lesz a k\"ovetkez\H{o} r\'esz programja.

\medskip\noindent
{\script B.) Az 1.~T\'etel el\'eg\'eges r\'esz\'enek valamint a
2.~T\'etelnek a bizony\'{\i}t\'asa.} \medskip\noindent
Az 1.~T\'etelben el\H{o}sz\"or az el\'egs\'egess\'eget
bizony\'{\i}tjuk be, azaz azt az \'all\'{\i}t\'ast, hogy ha az
(1.3) \'es (1.6) felt\'etelek teljes\"ulnek, akkor a normaliz\'alt
$S_k-b_k$ \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan
eloszl\'ashoz, amely eloszl\'as karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a lo\-ga\-rit\-mu\-s\'at az (1.7) k\'eplet adja
meg az $M$ hat\'arm\'ert\'ekkel. \medskip\noindent
{\it Az 1.~T\'etel el\'egs\'eges r\'esz\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy az $S_k-b_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek logaritmusa minden $t\in \bold R^1$
teljes\'{\i}ti a
$$
\log E e^{it(S_k-b_k)}=\sum_{j=1}^{n_k}
\log\varphi_{k,j}(t)-it\beta_{k,j}\to
\log \varphi(t),\quad \text{ha } k\to\infty
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\log \varphi(t)$ a (1.7) formul\'aban defini\'alt
f\"uggv\'eny. Jegyezz\"uk meg, hogy az egyenletes kicsis\'eg
felt\'etele miatt tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra $|1-\varphi_{k,j}(t)|\le
\e$, ha $k\ge k_0(\e,t)$, ez\'ert lehet a $\varphi_{k,j}$
f\"uggv\'enyek logaritmus\'at tekinteni.
 
El\H{o}sz\"or csak azt a speci\'alis esetet tekintj\"uk, amikor
$\beta_{k,j}=E\tau(\xi_{k,j})=0$ minden $k=1,2,\dots$, \'es $1\le j\le
n_k$ sz\'amra. Bel\'atjuk, hogy ebben az esetben
$$
\align
\limsup_{k\to\infty}&\sum_{j=1}^{n_k}
\left|1-\varphi_{k,j}(t)\right|<\infty \\
\lim_{k\to\infty}&\sum_{j=1}^{n_k}\(1-\varphi_{k,j}(t)\)
=-\log\varphi(t),
\endalign
$$
E k\'et rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as
ebben az esetben, mert $\log z+(1-z)|<2|z|^2<2\e |z|$, ha $|1-z|<\e$
\'es $\frac12>\e>0$, ez\'ert az els\H{o} rel\'aci\'o \'es az
egyenletes kicsis\'eg miatt
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}
\left|\log \varphi_{k,j}(t)+(1-\varphi_{k,j}(t))\right|=0.
$$
Felhaszn\'alva a $E\tau(\xi_{k,j})=0$ rel\'aci\'ot kapjuk, hogy
$$
\align
\sum_{j=1}^{n_k}|1-\varphi_{k,j}(t)|&=
\sum_{j=1}^{n_k}|1-\varphi_{k,j}(t)+itE\tau(\xi_{k,j})|\le
\sum_{j=1}^{n_k}\int|1-e^{itx}+it\tau(x)|F_{k,j}(dx)\\
&\le\sum_{j=1}^{n_k}\(\int_{-a}^a\frac12 t^2x^2 F_{k,j}(dx)
+\int_{\{|x|>a\}}(2+a|t|)F_{k,j}(\,dx)\)\\
&=\frac12t^2M_k\{[-a,a]\}+(2+a|t|)(M_k^+(a)+M_k^-(a))<\const,
\endalign
$$
\'es ez az els\H{o} bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as. A m\'asik
\'all\'{\i}t\'as hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, mert
$$
\align
\sum_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))&=
\sum_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t)+itE\tau(\xi_{k,j}))=
\sum_{j=1}^{n_k}\int(1-e^{itx}+it\tau(x))F_{k,j}(dx)\\
&= \int_{-\infty}^\infty
\frac{1-e^{itx}+it\tau(x)}{x^2}M_k(\,dx)=\int_{-K}^K+\int_{|x|>K}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $K>0$-ra. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot. Ha
$K=K(\e)$ el\'eg nagy, \'es a $\pm K$ pontok az $M$ m\'ert\'ek
folytonoss\'agi pontjai, akkor a (1.3) rel\'aci\'o \'es az
$1-e^{itx}+it\tau(x)$ f\"uggv\'eny korl\'atoss\'aga miatt
$\left|\int_{\{|x|>K\}}\frac{1-e^{itx}+it\tau(x)}{x^2}M_k(\,dx)
\right|<\e$, ha $k>k_0$, \'es $\left|
\int_{\{|x|>K\}}\frac{1-e^{itx}+it\tau(x)}{x^2}M(\,dx)\right|<\e$.
M\'asr\'eszt, a (1.7) rel\'aci\'ob\'ol \'es az
$\frac1{x^2}(1-e^{itx}+it\tau(x))$
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\int_{-K}^K\frac{1-e^{itx}+it\tau(x)}{x^2}M_k(\,dx)
\to \int_{-K}^K\frac{1-e^{itx}+it\tau(x)}{x^2}M(\,dx),
\quad \text{ha } k\to\infty.
$$
A fentiekb\H{o}l ad\'odik az el\'egs\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'asa az
adott esetben. Az \'altal\'anos eset bizony\'{\i}t\'asa, amikor
$E\tau(\xi_{k,j})\neq0$ is lehets\'eges, visszavezethet\H{o} erre az
esetre a 2.~Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Ugyanis az 1.~T\'etel m\'ar bizony\'{\i}tott r\'esz\'et alkalmazhatjuk
a 2.~Lemm\'aben defini\'alt $\xi'_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat\-ra. E lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk,
hogy az $S_k-b'_k$ \'es az $S_k-b_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak, ahol a $b'_k$ sz\'amokat a 2.~Lemma
megfogalmaz\'as\'aban defini\'altuk, l\'etezik hat\'areloszl\'asuk az
el\H{o}\'{\i}rt felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en, \'es a
hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at
az (1.7) k\'eplet adja meg.
 
\medskip\noindent
{\it A 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az el\'egs\'egess\'egnek,
azaz annak a t\'enynek a bizony\'{\i}t\'asa, hogy $M_n\to M$ \'es
$B_n\to B$ eset\'en a 2.~T\'etelben megadott korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok sorozata eloszl\'asban konverg\'al a 2.~t\'etelben
le\'{\i}rt hat\'areloszl\'ashoz, viszonylag egyszer\H{u}. Mivel
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek egy eloszl\'as
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez val\'o
konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik az eloszl\'asok konvergenci\'aja,
el\'eg bel\'atni azt, hogy minden r\"ogz\'{\i}tett $t$-re
$$
\align
\log \varphi_n(t)&=\int_{-\infty}^\infty
\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2} M_n(\,du)+iB_nt\\
&\qquad\to \log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty
\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2} M(\,du)+iBt,
\endalign
$$
ha $n\to\infty$.
 
Mivel $M_n\to M$, \'es a tekintett integr\'al integrandusa
teljes\'{\i}ti a
$\left|\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}\right|<\frac{\const} {1+u^2}$
egyenl\H otlens\'eget, tetsz\H oleges $\e>0$-hoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)>0$, amelyre $\pm K$ az $M$ m\'ert\'ek folytonoss\'agi pontja,
\'es
$$
\left|\int_{\{|u|>K\}} \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2} M_n(\,du)
\right|\le\e \quad\text{ha }n\ge n_0(\e),
$$
\'es hasonl\'o egyenl\H otlens\'eg \'erv\'enyes, ha az $M_n$
m\'ert\'ekeket az $M$ m\'ert\'ekkel helyettes\'{\i}tj\"uk.
M\'asr\'eszt, szint\'en az $M_n$ kanonikus m\'ert\'ekeknek az $M$
kanonikus m\'ert\'ekhez val\'o gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol \'es az
integrandus folytonoss\'ag\'ab\'ol \'es korl\'atoss\'ag\'ab\'ol az
$\{|u|\le K\}$ halmazon k\"ovetkezik, hogy
$$
\int_{\{|u|<K\}} \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2} M_n(\,du)\to
\int_{\{|u|<K\}} \frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2} M(\,du)
$$
ha $n\to\infty$. Ezekb\H ol a becsl\'esekb\H ol \'es a $B_n\to B$
rel\'aci\'ob\'ol $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkezik az
el\'egs\'egess\'eg \'all\'{\i}t\'asa.
 
A m\'asik ir\'any bizony\'{\i}t\'as\'an\'al jegyezz\"uk meg
el\H{o}sz\"or, hogy amennyiben  el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
karakterisztikus f\"uggv\'enyei(nek logaritmusai) egy folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak, akkor a hat\'arf\"uggv\'eny
szint\'en karakterisztikus f\"uggv\'eny (logaritmusa), \'es az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata pedig ahhoz az
eloszl\'ashoz konverg\'al, amelynek ez a
hat\'arf\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye (illetve annak
logaritmusa). A f\H o probl\'ema ez\'ert annak
meg\-ha\-t\'a\-ro\-z\'asa, hogy a t\'etelben defini\'alt
$\log\varphi_n$ f\"uggv\'enyeknek milyen felt\'etelek mellett van
folytonos hat\'arf\"uggv\'enye $n\to\infty$ esetben, illetve a
hat\'arf\"uggv\'eny megad\'asa.
 
A $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enysorozat lehets\'eges
hat\'ar\'ert\'ek\'enek a vizsg\'alat\'an\'al vezess\"uk be e
f\"uggv\'enyek k\"ovetkez\H o ,,sim\'{\i}t\'asait".
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $h>0$ sz\'amot, \'es legyen
$$
\psi_n(t)=\psi_n^h(t)=\log\varphi_n(t)-\frac1{2h}\int_{-h}^h
\log\varphi_n(t+s)\,ds.
$$
Ekkor
$$
\aligned
\psi_n(t)&=\int _{-\infty}^\infty \(\frac{e^{itu}-1-it\tau(u)}{u^2}
-\frac1{2h}\int_{t-h}^{t+h}\frac{e^{isu}-1-is\tau(u)}{u^2}\,ds\)
M_n(\,du) \\
&=\int _{-\infty}^\infty\(\frac{e^{itu}}{u^2}-\frac1{2h}
\int_{t-h}^{t+h} \frac{e^{isu}}{u^2}\,ds\)
M_n(\,du)=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}K(u)M_n(\,du),
\endaligned \tag3.3
$$
ahol
$$
K(u)=\frac1{u^2}\(1-\frac{\sin hu}{hu}\). \tag$3.3'$
$$
Az al\'abb megfogalmazand\'o 3.~Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bel\'atjuk, hogy l\'etezik olyan folytonos $\bar\varphi(t)$
f\"uggv\'eny, amelyre
$$
\limm_{n\to\infty}\psi_n(t)\to\psi(t)=\bar\varphi(t)-\frac1{2h}
\int_{-h}^h \bar\varphi(t+u)\,du. \tag3.4
$$
Val\'oj\'aban sz\'amunkra csak az lesz fontos, hogy a $\psi_n(t)$
f\"uggv\'enyek konverg\'alnak egy a sz\'amegyenesen folytonos
f\"uggv\'enyhez. A (3.4) rel\'aci\'o az\'ert \'erv\'enyes, mert a
3.~Lemma alapj\'an, ha a $\log \varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek konvergens
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek a logaritmusai, akkor
ezek a $\log \varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek egyenletesen korl\'atosak
minden v\'eges intervallumban, \'es konverg\'alnak egy folytonos
$\bar\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez. Ez\'ert a (3.4) formul\'aban
elv\'egzett hat\'ar\'atmenet jogoss\'aga k\"ovetkezik a Lebesgue
t\'etelb\H{o}l \'es az al\'abbi 3.~Lemm\'ab\'ol.
 
A 3.~Lemm\'at \'ugy fogalmaztuk meg, hogy az az 1.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban is al\-kal\-maz\-ha\-t\'o legyen. Ennek az
eredm\'enynek a megfogalmaz\'asa el\H{o}tt a k\"ovetkez\H{o}
megjegyz\'est tessz\"uk.
 
Legyen $\log\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, az (1.9) k\'epletben
defini\'alt f\"uggv\'enyek sorozata. Az els\H{o} r\'esz eredm\'enyei
alapj\'an tudjuk, hogy ezek a f\"uggv\'enyek korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a loga\-rit\-mu\-sai.
Ha az ezen ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek logaritmusai
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ekek eloszl\'asban konverg\'alnak, akkor
akkor a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek egyenletesen konverg\'alnak
egy $\bar \varphi(t)$ foly\-to\-nos f\"ugg\-v\'eny\-hez a nulla
alkalmas kis k\"ornyezet\'eben. 

\medskip\noindent
{\bf 3.~Lemma.} {\it Legyenek $\log \varphi_n(t)$ az (1.9) formula
\'altal defini\'alt f\"ugg\-v\'e\-nyek valamilyen $M_n$ kan\-o\-ni\-kus
m\'ert\'ekekkel \'es $B_n$ sz\'amokkal. Tegy\"uk fel, hogy ezek a
$\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek a nulla egy kis k\"ornyezet\'eben
egyenletesen konverg\'alnak egy folytonos f\"uggv\'enyhez. (Vi\-szont
nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy a hozz\'ajuk tartoz\'o eloszl\'asok is
konverg\'aljanak.) Ekkor a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $M_n$ m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a
$$
\sup_{1\le n<\infty}\int_{-\infty}^\infty\frac1{1+u^2}M_n(\,du)<\infty
\tag3.5
$$
rel\'aci\'ot. Ez\'ert e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
tetsz\H{o}leges $K>0$ sz\'amra a
$$
\sup_{1\le n<\infty}\sup_{|t|<K}|\log\varphi_n(t)|<\infty  \tag3.6
$$
egyenl\H{\o}tlens\'eg is teljes\"ul.

Ha az (1.9) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadhat\'o
$\log\varphi_n(t)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konvergens
eloszl\'asok karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye\-i\-nek a logaritmusai,
akkor nemcsak ezen eloszl\'asok karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei,
hanem e karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek logaritmusai, azaz a
$\log\varphi_n(t)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek is egyenletesen konverg\'alnak
minden v\'eges intervallumban.} 

\medskip
A 3.~Lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban azon eredm\'eny
bizony\'{\i}t\'as\'anak megfelel\H{o} r\'esz\'et adap\-t\'al\-juk,
amely arr\'ol sz\'ol, hogy karaktesztikus f\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'ab\'ol egy folytonos f\"ugg\-v\'eny\-hez
k\"ovetkezik a megfelel\H{o} eloszl\'asok konvergenci\'aja is.

\medskip\noindent
{\it A 3.~Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel a tekintett
$\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek
logaritmusai, ez\'ert alkalmas $h>0$ sz\'amra l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}\log\varphi_n(t)=\bar\varphi(t)$ folytonos
hat\'ar\'ert\'ek a $|t|\le h$ intervallumban, \'es ott ez a
konvergencia egyenletes. (A $|t|\le h$
meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'as\-ra az\'ert van sz\"uks\'eg, mert olyan
intervallumra kell szo\-r\'{\i}t\-koz\-nunk, ahol a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek $\varphi(t)$ limesz (karakterisztikus)
f\"ugg\-v\'enye szepar\'alva van a z\'er\'ot\'ol. Ezt, legal\'abbis
egyel\H{o}re, csak a nulla egy alkalmas k\"ornyezet\'eben tudjuk
biztos\'{\i}tani.) Bizonyos ism\'etl\'esek elker\"ul\'ese
\'erdek\'eben a tov\'abbi \'ervel\'esben v\'alasszuk a 2.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak  elkezd\'es\'es\'eben egy (szabadon
v\'alaszthat\'o $h$ para\-m\'e\-ter seg\'{\i}ts\'eg\'evel)
defini\'alt $\psi_n(t)$ f\"uggv\'enyek definici\'oj\'aban a
para\-m\'e\-tert ennek a $h$ sz\'amnak.
 
Ha a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek egy $[-h,h]$ intervallumban
egyenletesen konverg\'alnak, akkor felhaszn\'alva e f\"uggv\'enyeket
meg\-ha\-t\'a\-ro\-z\'o reprezent\'aci\'ot kap\-juk, hogy alkalmas
$K>0$-ra
$$
\align
\infty&>K\ge2\sup_{n<\infty}\sup_{|t|\le h}|\log\varphi_n(t)|\ge
\sup_{n<\infty}\left| \log\varphi_n(0)-
\frac1{2h}\int_{-h}^h\log\varphi_n(t)\,dt\right|\\
&= \sup_{n<\infty} \left|\int_{-\infty}^\infty
\frac1{u^2}\(1-\frac{\sin hu}{hu}\)M_n(\,du)\right|
\ge C(h) \sup_{n<\infty} \left|\int_{-\infty}^\infty
\frac1{1+u^2}M_n(\,du)\right|,
\endalign
$$
mert
$$
\frac1{u^2}\(1-\frac{\sin hu}{hu}\)=h^2\frac1{(hu)^2}\(1-\frac{\sin
hu}{hu}\)\ge \const\frac{h^2}{1+h^2u^2}\ge\const'\frac1{1+u^2}
$$
alkalmas $h$-t\'ol f\"ugg\H{o} $\const$ \'es $\const'$ sz\'amokkal. 
Innen k\"ovetkezik a (3.5) formula. M\'asr\'eszt, mivel
$$
\left|\frac{e^{itu}-1-i\tau(u)t}{u^2}\right|\le\cases
\frac{t^2}2, &\text{ha }|u|<a\\
\frac{2+aK}{u^2}, &\text{ha }|u|\ge a, \text { \'es } |t|\le K
\endcases
$$
a (3.5) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a $\log\varphi_n(t)$
f\"uggv\'enyt defini\'al\'o k\'epletben szerepl\H{o}
integr\'al egyenletesen korl\'atos minden $|t|<K$ \'es $n=1,2,\dots$
\'ert\'ekekre. A $B_n$ sorozatnak is korl\'atosnak kell lenni,
k\"ul\"onben a $\log\varphi_n(h)$ sorozat nem lenne korl\'atos,
\'{\i}gy konvergens sem. Innen k\"ovetkezik a (3.6) rel\'aci\'o is.
V\'eg\"ul a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek korl\'atoss\'ag\'ab\'ol
minden v\'eges intervallumban k\"ovetkezik, hogy a $\varphi_n(t)$
f\"uggv\'enyek illetve ezek $\varphi(t)$ limesze szepar\'alva vannak
z\'er\'ot\'ol minden v\'eges intervallumban. Ez\'ert, ha a
$\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott
eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak, akkor nemcsak ezen
eloszl\'asok ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'enyei, hanem a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek logaritmusai is egyenletesen
kon\-ver\-g\'al\-nak minden v\'eges intervallumban. A 3.~Lemm\'at
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Visszat\'erve a 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vezess\"uk be a
$\mu_n(\,du)=K(u)M_n(\,du)$, $n=1,2,\dots$, m\'ert\'ekeket a $(3.3')$
formul\'aban defini\'alt $K(\cdot)\ge0$ f\"uggv\'ennyel. \'At\'{\i}rva
a $\psi_n(t)$ f\"uggv\'enyre kapott (3.3) formul\'at, a (3.4)
rel\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'athatjuk, hogy a
$\psi_n(t)=\int_{\infty}^\infty e^{itu}\mu_n(\,du)$ Fourier
transzform\'altak konverg\'alnak egy folytonos $\psi(t)$
f\"uggv\'enyhez. Tov\'abb\'a teljes\"ul a
$$
\frac{C_1}{1+u^2}\le K(u)=\frac1{u^2}\(1-\frac{\sin hu}{hu}\)\le
\frac{C_2}{1+u^2}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmas $C_2=C_2(h)>C_1=C_1(h)>0$ konstansokkal.
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy a k\"ovetkez\H{o} k\'et eset lehets\'eges.
Vagy $\limm_{n\to\infty}\psi_n(0)\allowmathbreak=0$,
\'es ekkor az $M_n$ kanonikus m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak
az $M\equiv0$ m\'ert\'ekhez, azaz ebben az esetben $M(\bold R^1)=0$
vagy pedig $\limm_{n\to\infty}\psi_n(0)=\psi(0)>0$, \'es ekkor a
$\bar\mu_n=\frac1{\psi_n(0)}\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak egy $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez.
 
Val\'oban, ha $\limm_{n\to\infty}\psi_n(0)=0$, akkor a $K(u)$
f\"uggv\'enyre adott als\'o becsl\'es alapj\'an
$\limm_{n\to\infty}\int \frac1{1+u^2}M_n(\,du)=0$ azaz az $M_n$
kanonikus m\'ert\'ekek (gyeng\'en) konverg\'alnak a nulla
m\'ert\'ekhez. Ha $\lim\psi_n(0)>0$ (mivel $\psi_n(0)\ge0$, m\'as
lehet\H{o}s\'eg nincs), akkor a defini\'alt
$\bar\mu_n$ m\'ert\'ekek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek, \'es
ezen m\'ert\'ekek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei konverg\'alnak a
folytonos $\frac{\psi(t)}{\psi(0)}$ f\"uggv\'enyhez. Ez\'ert a
$\bar\mu_n$ m\'ert\'ekek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez. V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg,
hogy a $K(u)$ f\"ugg\-v\'eny\-re adott als\'o becsl\'esb\H{o}l \'es a
$\frac{K(u)}{1+u^2}$ folytonoss\'ag\'ab\'ol, \'es a
$\limm_{n\to\infty}\bar\mu_n=\mu$ rel\'a\-ci\'o\-b\'ol k\"ovetkezik,
hogy az $M_n(du)=K^{-1}(u)\mu_n(du)$ kanonikus m\'ert\'ekek
(gyeng\'en) konverg\'alnak az $M(du)=K^{-1}(u)\psi(0)\mu(du)$
kanonikus m\'ert\'ekhez.
 
V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy mint a bizony\'{\i}t\'as els\H{o}
fel\'eben m\'ar l\'attuk, az $M_n$ ka\-no\-ni\-kus m\'ert\'ekek
(gyenge) konvergenci\'aj\'ab\'ol az $M$ kanonikus m\'ert\'ekhez
k\"ovetkezik a $\log\varphi_n(t)$ f\"ugv\'enyt defini\'al\'o formula
integr\'al r\'esz\'enek konvergenci\'aja a $\log\varphi(t)$
f\"uggv\'eny de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-ban szerepl\H{o} integr\'alhoz.
Mivel az eloszl\'asok gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyeknek
konver\'alniuk kell a $\log\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez, ez\'ert
sz\"uks\'eges, hogy a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $B_n$ konstansoknak legyen $B$
hat\'ar\-\'er\-t\'e\-ke, \'es ez a hat\'ar\'ert\'ek szerepel a
$\log\varphi(t)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'aban.

\medskip
A 2.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan bizony\'{\i}thatjuk
a $2.'$~T\'etelt. A 2.~T\'etel ered\-m\'e\-nye teszi lehet\H{o}v\'e az
1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at is.
Ezeket a bizony\'{\i}t\'asokat tartalmazza
ennek az ismertet\'esnek a k\"ovetkez\H{o} r\'esze.
 
\vfill\break

%\medskip


\noindent
{\script C.) A 2.$'$~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa \'es az
1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese.} 

\medskip\noindent
{\it A $2'$~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ A  2.~T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan defini\'aljuk a
$$
\psi(t)=\psi^h(t)=\log\varphi(t)-\frac1{2h}\int_{-h}^h
\log\varphi(t+u)\,du.
$$
f\"uggv\'enyt. Ekkor
$$
\psi(t)=\int _{-\infty}^\infty e^{itu}K(u)M(du),
$$
ahol $K(u)=\frac1{u^2}\(1-\frac{\sin hu}{hu}\)$. A $\varphi(t)$
f\"uggv\'eny meghat\'arozza a $\psi(t)$ f\"uggv\'enyt is. Ha
$\psi(0)=0$, akkor az $M$ m\'ert\'ek azonosan 0, ha $\psi(0)>0$, akkor
a $\bar\mu(\,du)=\frac{K(u)M(\,du)}{\psi(0)}$ m\'ert\'ek az az
egy\'ertelm\H uen meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek,
amelynek ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye
$\frac{\psi(t)}{\psi(0)}$. Az
$M(\,du)=\frac{\psi(0)}{K(u)}\bar\mu(\,du)$ k\'eplet
meghat\'arozza az $M$ m\'ert\'eket is. V\'eg\"ul, a $\varphi(t)$
f\"uggv\'eny \'es az  $M$ m\'ert\'ek meghat\'arozza a korl\'atlanul
oszt\-ha\-t\'o el\-osz\-l\'a\-sok karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
logaritmus\'at megad\'o L\'evy--Hincsin formul\'aban a $B$ konstanst
is. 

\medskip\noindent
{\it Az 1.~T\'etel sz\"uks\'eges r\'esz\'enek bizony\'{\i}t\'asa:}\/
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis esetet, amikor a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok mindegyike
szimmetrikus eloszl\'as\'u, azaz a $\xi_{k,j}$ \'es $-\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa
megegyezik, \'es az $S_k$, $k=1,2,\dots$, sorozatnak van
hat\'areloszl\'asa.
 
Ha az $S_k$ sorozat eloszl\'asban konverg\'al, akkor a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\varphi_{k,j}(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik a
$$\limm_{k\to\infty}\psi_k(t)= \limm_{k\to\infty}
\prodd_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)=\psi(t) \tag3.7
$$
rel\'aci\'ot egy folytonos $\psi(t)$ f\"uggv\'ennyel, amelyik a
hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye. Innen
k\"ovetkezik, hogy egy alkalmas $|t|\le h$ intervallumban
$$
\lim_{k\to\infty}\log\psi_k(t)=\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}
\log\varphi_{k,j}(t)=\log\psi(t). \tag3.8
$$
Egyel\H{o}re ezt az \'all\'{\i}t\'ast nem tudjuk minden $t\in\bold
R^1$-re bizony\'{\i}tani, mert ehhez tudnunk kellene azt, hogy a
$\psi(t)$ f\"uggv\'eny sehol sem z\'er\'o.
 
A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szimmetri\'aja
miatt $\varphi_{k,j}(t)=E \cos (t\xi_{k,j})$ val\'os sz\'am, \'es minden
r\"ogz\'{\i}tett $t\in \bold R^1$ sz\'amra $-1\le\varphi_{k,j}(t)\le1$.
Ez\'ert $1-\varphi_{k,j}(t)=|1-\varphi_{k,j}(t)|$. Az 1.~Lemma alapj\'an
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes
kicsis\'ege miatt $\limm_{k\to\infty}\supp_{|t|<h}\supp_{1\le j\le n_k}
|1-\varphi_{k,j}(t)|=0$. Ez\'ert tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
$|\log\varphi_{k,j}(t)+(1-\varphi_{k,j}(t))|\le\e|1-\varphi_{k,j}(t)|$,
ha $k\ge k_0(\e)$, \'es a (3.8) rel\'aci\'o helyett fel\'{\i}rhatjuk a
$$
\lim_{k\to\infty}\log\bar\psi_k(t)=\lim_{k\to\infty}
-\sum_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))=\log\psi(t), \tag$3.8'$
$$
rel\'aci\'ot a $\bar\psi_k(t)=\prodd_{j=1}^{n_k}e^{\varphi_{k,j}(t)-1}$
f\"uggv\'ennyel, ha $|t|\le h$. Tov\'abb\'a, a $\xi_{k,j}$ v\'altoz\'ok
szimmetrikus eloszl\'asa miatt
$$
\align
\log\bar\psi_k(t)=-\sum_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))
&=\sum_{j=1}^{n_k}\int (e^{itx}-1-it\tau(x))F_{k,j}(\,dx)\\
&=\int \frac{e^{itx}-1-it\tau(x)}{x^2}M_k(\,dx),
\endalign
$$
ahol a $\tau(x)$ f\"uggv\'eny \'es az $M_k$ m\'ert\'ek az 1.~T\'etel
megfogalmaz\'as\'aban szerepl\H{o} mennyi\-s\'e\-gek. Ebb\H{o}l a
formul\'ab\'ol illetve a $(3.8')$ k\'epletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
a 3.~Lemma al\-kal\-maz\-hat\'o a $\bar\psi_k(t)$ f\"uggv\'enyekre.
Ez\'ert \'erv\'enyes a (3.5) formul\'anak az a v\'altozata, amelyben az
$M_n$ m\'ert\'eket a most tekintett $M_k$ m\'ert\'ekekkel
helyettes\'{\i}tj\"uk valamint a (3.6) formul\'anak az a v\'altozata,
amelyben a $\log\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyeket a $\log\bar\psi_k(t)$
f\"uggv\'enyekkel helyettes\'{\i}tj\"uk. Ez ut\'obbi rel\'aci\'o azt
jelenti, hogy minden $K>0$ sz\'amra
$$
\supp_{1\le k<\infty}\supp_{|t|\le K}\summ_{j=1}^{n_k}
(1-\varphi_{k,j}(t))=\supp_{1\le k<\infty}\supp_{|t|\le K}
\summ_{j=1}^{n_k}|1-\varphi_{k,j}(t)|<\infty,
$$
illetve $0\le\supp_{1\le k<\infty}\supp_{|t|\le K}-\summ_{j=1}^{n_k}
\log\varphi_{k,j}(t)<\infty$ a
$|\log\varphi_{k,j}(t)+(1-\varphi_{k,j}(t))|<(1-\varphi_{k,j}(t))$,
rel\'aci\'o miatt, ha $|t|\le K$ \'es $k\ge k_0(K)$. Ez\'ert a (3.7)
k\'epletben minden $t\in \bold R^1$ sz\'amra vehet\"unk logaritmust,
\'es a (3.8) \'es $(3.8')$ rel\'aci\'ok teljes\"ulnek minden val\'os
sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy a $\bar\psi_k(t)$  f\"uggv\'enyek olyan
(korl\'atlanul oszthat\'o) eloszl\'asok karakterisztikus
f\"uggv\'enyei, amelyek eloszl\'asban konverg\'alnak. Ez\'ert
alkalmazhat\'o r\'ajuk a 2.~T\'etel. Ennek alapj\'an teljes\"ulnek az
(1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'ok (ez ut\'obbi $B_k\equiv0$ konstanssal) a
tekintett esetben.
 
A k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben bizony\'{\i}tsuk be az 1.~T\'etel
sz\"uks\'eges r\'esz\'enek \'all\'{\i}t\'as\'at abban az esetben, ha
$E\tau(\xi_{k,j})=0$ minden $k\ge k_0$ \'es $1\le j\le n_k$ sz\'amra,
ahol $k_0$ al\-kal\-mas k\"usz\"obindex. Feltessz\"uk, hogy l\'etezik
olyan $\bar b_k$ sz\'amsorozat, amelyre az $S_k-\bar b_k$ sorozatnak,
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, van hat\'areloszl\'asa. Bel\'atjuk,
hogy az (3.8) \'es $(3.8')$ formul\'ak megfelel\H{o}
m\'odos\'{\i}t\'as\'at ebben az esetben is, \'es ebb\H{o}l vezetj\"uk
le a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast. Megmutatjuk, hogy a $\xi_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asai seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $M_k$ m\'ert\'ekek
teljes\'{\i}tik az (1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'okat.
 
A bizony\'{\i}t\'asban haszn\'aljuk a sok m\'as esetben is
alkalmazhat\'o szimmetriz\'aci\'o elv\'et. Azaz, tekint\"unk egy a
$\xi_{k,j}$ sz\'eriasorozatt\'ol f\"uggetlen $\bar\xi_{k,j}$
sz\'eriasorozatot, amelyre a $\xi_{k,j}$ \'es $\bar\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak, \'es
defini\'aljuk az $\bar S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\bar\xi_{k,j}$
\"osszegeket, illetve az $S_k-\bar S_k$ k\"ul\"onbs\'egeket. Ekkor az
$S_k-\bar b_k$ sorozat eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik az $S_k-\bar S_k$ sorozat eloszl\'asbeli
konvergenci\'aja, \'es ez ut\'obbi a $\xi_{k,j}-\bar\xi_{k,j}$
szimmetrikus eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o sz\'eriasorozatok sorainak \"osszegeib\H{o}l \'all\'o sorozat.
Ez\'ert erre a sorozatra alkalmazhatjuk az 1.~T\'etel eredm\'enyeit.
 
Ennek a szimmetriz\'aci\'onak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atjuk, hogy
$$
\sup_{1\le k<\infty} M_k^\pm(s)<\infty\text{ minden $s>0$
sz\'amra},\qquad \lim_{K\to\infty}\sup_{1\le k<\infty} M_k^\pm(K)=0,
$$
\'es
$$
\sup_{1\le k<\infty}M_k([-a,a])<\infty.
$$
Defini\'aljuk ugyanis az $M^0_k$ \'es ${M^0}^\pm_k$ m\'ert\'ekeket
az $M_k$ \'es $M^\pm_k$ m\'ert\'ekeknek az 1.~T\'etel megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt le\'{\i}rt definici\'oj\'ahoz hasonl\'oan, azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a defi\-ni\-ci\-\'ok\-ban a $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_{k,j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyei helyett a $\xi_{k,j}-\bar\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\bar F_{k,j}=F_{k,j}*F^-_{k,j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeit tekintj\"uk, ahol $*$ konvoluci\'ot
jel\H{o}l, $F^-_{k,j}(x)=1-F_{k,j}(-x)$ pedig a $-\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
az (1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'o teljes\"ul ($B_k=0$ konstanssal)
alkalmas $M^0$  kanonikus m\'ert\'ekkel, ha az $M^\pm_k$ \'es $M_k$
kifejez\'eseket az ${M^0}^\pm_k$ \'es $M^0$ kifejez\'esekkel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele
miatt viszont tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra \'es $k>k_0(\e)$-ra,
$x>2\e$-ra $1-\bar F_{k,j}(x-\e)=P(\xi_{k,j}-\bar\xi_{k,j}>x-\e)>
P(\xi_{k,j}>x)P(\bar\xi_{k,j}>-\e)>(1-\e)(1-F_{k,j}(x))$, \'es
hasonl\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes $\bar F_{k,j}(-x)$-ra.
Innen, \"osszegezve $j=1,\dots,n_k$-ra kapjuk, hogy
$M^\pm_k(x)\le\frac1{1-\e}{M^0}^\pm_k(x-\e)$, ha $x\ge2\e$ \'es $k\ge
k_0(\e)$. Mivel $\supp_{k<\infty}{M^0}_k^\pm(x)<\infty$ minden $x>0$-ra,
\'es $\limm_{K\to\infty}\supp_{k<\infty}{M^0}_k^\pm(K)=0$, innen $\e>0$
hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkeznek az $M^\pm_k$ f\"uggv\'enyekre
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok.
 
Az $M_k([-a,a])$ mennyis\'eg becsl\'ese \'erdek\'eben egy
egyenl\H{o}tlens\'eget bizony\'{\i}tunk be. Ebben felhaszn\'aljuk,
hogy $E\tau(\xi_{k,j})=E\tau(\bar\xi_{k,j})=0$, a $\xi_{k,j}$, a
$\bar\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es bevezetve a
$$
v(x)=\cases a&\text{ha }x>a\\
0&\text{ha }-a\le x\le a \\
-a&\text{ha }x<-a
\endcases
$$
f\"uggv\'enyt, teljes\"ul a
k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'o: $\tau(x)-v(x)=x$, ha $|x|\le a$, \'es
$\tau(x)-v(x)=0$, ha $|x|>a$. Tov\'abb\'a $\tau(x)v(x)=v^2(x)$. Ez\'ert
$$
\align
\int_{-2a}^{2a}x^2 \bar F_{k,j}(dx)&=
\int\int_{\{(x,y)\colon\;|x+y|\le 2a\}} (x+y)^2F_{k,j}(\,dx)F^-_{k,j}(\,dy)\\
&\ge\int\int_{\{(x,y)\colon\;|x|\le a,\,|y|\le a\}}
(x+y)^2F_{k,j}(\,dx)F^-_{k,j}(\,dy) \\
&=\int\int_{\{(x,y)\colon\; |x|\le a,\,|y|\le a\}}
(x-y)^2F_{k,j}(\,dx)F_{k,j}(\,dy) \\
&=E\(\tau(\xi_{k,j})-v(\xi_{k,j})-(\tau(\bar
\xi_{k,j})-v(\bar\xi_{k,j}))\)^2\\
&=2E\tau(\xi_{k,j})^2+2Ev(\xi_{k,j})^2-2(Ev(\xi_{k,j}))^2
-4E\tau(\xi_{k,j})v(\xi_{k,j})\\
&\ge2\int_{-a}^{a}x^2 F_{k,j}(dx)-4a^2(1-F_{k,j}(a)+F_{k,j}(-a)),
\endalign
$$
mert
$$
\(Ev(\xi_{k,j})\)^2=a^2(1-F_{k,j}(a)+F_{k,j}(-a))^2\le
a^2(1-F_{k,j}(a)+F_{k,j}(-a)),
$$
\'es
$$
Ev(\xi_{k,j})^2=E\tau(\xi_{k,j})v(\xi_{k,j})=a^2(1-F_{k,j}(a)+F_{k,j}(-a)).
$$
Ezeket az egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszegezve $j=1,\dots,n_k$-ra
kapjuk, hogy
$$
M^0_k([-2a,2a])\ge 2M_k([a,a])-4a^2(M_k^+(a)+M_k^-(a)).
$$
Mivel $\supp_{1\le k<\infty} M^0_k([-2a,2a])<\infty$, (az $M^0_k$
m\'ert\'ekek a (1.6) rel\'aci\'ot $B_k=0$ v\'alaszt\'assal
teljes\'{\i}tik), \'es $\supp_{1\le k<\infty} M^\pm_k(a)<\infty$, mint
azt m\'ar l\'attuk, innen k\"ovetkezik, hogy teljes\"ul a $\supp_{1\le
k<\infty}M_k([-a,a])<\infty$ rel\'aci\'o.
 
Az $M_k$ \'es $M^\pm_k$ kifejez\'esekre adott becsl\'esek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tjuk, hogy minden r\"ogz\'{\i}tett
$T>0$ sz\'amra
$$
\sup_{1\le k<\infty}\sum_{j=1}^{n_k}|1-\varphi_{k,j}(t)|\le C(T),
\quad\text{ha } |t|\le T \tag3.9
$$
alkalmas $C(T)<\infty$ konstanssal. Ugyanis minden $|t|\le T$ sz\'amra
$$
\align
|1-\varphi_{k,j}(t)|&=\left|
\int_{-\infty}^\infty(1-e^{itx}+it\tau(x))F_{k,j}(\,dx)\right|
\le \int_{-a}^a|1-e^{itx}+itx|F_{k,j}(\,dx) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\int_{|x|>a}
|1-e^{itx}+ita|F_{k,j}(\,dx)\\
&\le\frac{t^2}2 \int_{-a}^a x^2 F_{k,j}(\,dx)
+(2+|t|a)\(F_{k,j}(-a)+[1-F_{k,j}(a)]\)
\endalign
$$
E k\'epleteket \"osszegezve $1\le j\le n_k$-ra, \'es felhaszn\'alva a
$|t|\le T$ egyenl\H{o}tlens\'eget kapjuk, hogy
$$
\sum_{j=1}^{n_k}|1-\varphi_{k,j}(t)|\le\frac{T^2}2
M_k([-a,a])+(2+Ta)(M^+_k(a)+M^-_k(a)),
$$
ahonnan az $M^\pm_k(a)$ \'es $M_k([-a,a])$ sz\'amok ($k$-t\'ol
f\"uggetlen) korl\'atoss\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik a (3.9) rel\'aci\'o.
 
Az 1.~Lemma alapj\'an a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egyenletes kicsis\'eg\'eb\H{o}l k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy
minden $t\in\bold R^1$-re $\limm_{k\to\infty}\supp_{|t|\le
T}\supp_{1\le j\le n_k} |1-\varphi_{k,j}(t)|=0$. Innen
$x=1-\varphi_{k,j}(t)$ v\'alaszt\'assal a
$\limm_{x\to0}\frac{\log(1-x)+x}x=0$ rel\'aci\'o miatt kapjuk, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\sup_{t\colon\;|t|\le T}\supp_{1\le j\le
n_k}\frac{\left|\log\varphi_{k,j}(t)
+\(1-\varphi_{k,j}(t)\)\right|}{\left|1-\varphi_{k,j}(t)\right|}=0
$$
rel\'aci\'o. Innen, \'es a (3.9) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\sup_{t\colon\;|t|\le T}
\summ_{j=1}^{n_k}\left|\log\varphi_{k,j}(t)
+\(1-\varphi_{k,j}(t)\)\right|\to0 \tag3.10
$$
minden $T>0$ sz\'amra.
 
Az $S_k-\bar b_k$ sorozat eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\prod_{j=1}^{n_k}\(e^{-it\bar b_k/n_k}
\varphi_{k,j}(t)\)=\psi(t), \tag3.11
$$
ahol $\psi(t)$ a hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye.
Tov\'abb\'a a fenti konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumon. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ebben a rel\'aci\'oban lehet
logaritmust venni, azaz
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\(\log\varphi_{k,j}(t)
-\frac{it\bar b_k}{n_k}\)=\log \psi(t). \tag3.12
$$
 
E l\'ep\'es \'erv\'enyess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
megmutatjuk, hogy
$$
\supp_{t\colon\;|t|\le T}\supp_k\summ_{j=1}^{n_k}\log
|\varphi_{k,j}(t)|\le C(T) \quad\text{ha } k\ge k_0, \tag3.13
$$
ahol $C(T)<\infty$ alkalmas konstans, \'es $k_0$ alkalmas
k\"usz\"obindex. Az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele alapj\'an ugyanis
$|1-\varphi_{k,j}(t)|\le\frac14$, $\log|\varphi(t)|\le2(1-|\varphi(t)|)
\le 2|(1-\varphi(t)|$, ha $|t|\le T$, $k\ge k_0$, $1\le j\le n_k$
valamely $k_0=k_0(T)$ k\"usz\"obindex-szel. Ez\'ert a (3.9)
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a (3.13) formula.
 
A (3.13) formula miatt l\'eteznek olyan $0<C_1<C_2<\infty$ konstansok
\'es $k_0$ k\"usz\"obindex, amelyekre $C_1\le\prodd_{j=1}^{n_k}
|\varphi_{k,j}(t)|\le C_2$ minden $|t|\le T$ sz\'amra. Ez\'ert a (3.11)
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a (3.12) formula k\"ovetkez\H{o}
gyeng\'{\i}tett alakja: Minden $\e>0$, $|t|\le T$ sz\'amra \'es $k\ge
k_0(\e,T)$ indexre, ahol $k_0=k_0(\e,T)$ alkalmas k\"usz\"obindex,
l\'etezik olyan $m=m(k,t)$ eg\'esz sz\'am, amelyre
$\left|\summ_{j=1}^{n_k}\(\log\varphi_{k,j}(t)-\frac{itb_k}{n_k}\)
-\log\psi(t)-i2\pi m(k,t)\right|<\e$. Viszont mivel mind a $\log
\psi(t)$ mind a $\summ_{j=1}^{n_k}\(\log\varphi_{k,j}(t)-
\frac{itb_k}{n_k}\)$ f\"uggv\'enyek folytonosak, $\log\psi(0)=0$,
$\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(0)=0$, ez\'ert $m(k,0)=0$, ahonnan
$m(k,t)=0$  minden $|t|\le T$ sz\'amra \'es $k\ge k_0$ indexre.
Ez\'ert a (3.11) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a (3.12) rel\'aci\'o is.
 
A (3.10) rel\'aci\'o miatt $\log\varphi_{k,j}(t)$ f\"uggv\'eny
helyettes\'{\i}thet\H{o} az $\varphi_{k,j}(t)-1$ kifejez\'essel a
(3.12) formul\'aban. Innen azt kapjuk, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}-\sum_{j=1}^{n_k}(1-\varphi_{k,j}(t))-it
\bar b_k=\log\psi(t),
$$
\'es ez a formula az $E\tau(\xi_{k,j})=0$ azonoss\'ag miatt
$$
\lim_{k\to\infty}\int\frac{e^{itx}-1-it\tau(x)}{x^2}M_k(dx)-it\bar b_k
=\log\psi(t)
$$
alakban is \'{\i}rhat\'o. A 2.~T\'etel eredm\'enye alapj\'an innen
k\"ovetkezik, hogy az $M_k$ m\'ert\'ekek sorozata (gyen\-g\'en)
konverg\'al egy $M$ kanonikus m\'ert\'ekhez. Ez azt jelenti, hogy az
(1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'o ($B_k=0$ v\'alaszt\'assal) \'erv\'enyes
ebben az esetben is, \'es ezt kellett bel\'atnunk. (Ezenk\'{\i}v\"ul
teljes\"ul a $\limm_{k\to\infty}b_k=b$ rel\'aci\'o is, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy a $b_k=0$ norm\'al\'as is v\'alaszthat\'o, azaz az
$S_k$ sorozatnak is van hat\'areloszl\'asa.)
 
Ezzel bel\'attuk az 1.~T\'etel sz\"uks\'eges r\'esz\'et abban az
esetben, ha $E\tau(\xi_{k,j})=0$ minden el\'eg nagy~$k$ \'es
$1\le j\le n_k$ sz\'amp\'arra. Az \'altal\'anos eset k\"onnyen
visszavezethet\H{o} erre az esetre a 2.~Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Ugyanis, e lemma szerint l\'etezik olyan $\vartheta_{k,j}$ sorozat,
amelyre a $\xi'_{k,j}=\xi_{k,j}-\vartheta_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
$E\tau(\xi'_{k,j})=0$  azonoss\'agot, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}|\vartheta_{k,j}|=0$.
Tov\'abb\'a az (1.3) \'es (1.6) rel\'aci\'ok
\'erv\'enyess\'eg\'eb\H{o}l a $\xi'_{k,j}$ v\'altoz\'okra k\"ovetkezik
azok \'erv\'enyess\'ege az eredeti $\xi_{k,j}$ v\'altoz\'okra, \'es ezt
kellett bel\'atnunk. 

\medskip
V\'eg\"ul megadjuk a 3.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at is, \'es ezzel
befejezz\"uk a kimondott \'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent 
{\script D.) A 3.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
{\it A 3.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ A t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at \'erdemes a karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek
nyelv\'en megadni. Ezen a nyelven azt kell bel\'atni, (felhaszn\'alva
az 1.~Lemma ered\-m\'e\-ny\'et), hogy amennyiben $\oo_k(t)$,
$k=1,2,\dots$, karakterisztikus f\"uggv\'enyeknek egy sorozata, \'es
l\'etezik olyan $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny, amelyre
$\limm_{k\to\infty}\oo_k^{n_k}(t)\to\varphi(t)$ minden $t$ val\'os
sz\'amra, \'es $n_k\to\infty$, akkor minden $K>0$ sz\'amra
$\limm_{k\to\infty}\supp_{|t|\le K}(1-\oo_k(t))=0$.
 
Ebben a bizony\'{\i}t\'asban is \'erdemes szimmetriz\'aci\'ot
v\'egrehajtani. Vezess\"unk be a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok mellett olyan
t\H{o}l\"uk f\"uggetlen $\bar\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
f\"uggetlenek a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okt\'ol is, \'es defini\'aljuk az
$\eta_{k,j}=\xi_{k,j}-\bar\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Akkor ezen v\'altoz\'ok \"osszegei is
konverg\'alnak eloszl\'asban. A karakterisztikus f\"uggv\'enyek
nyelv\'en azt \'{\i}rhatjuk, hogy
$\limm_{k\to\infty}|\omega_k|^{2n_k}(t)\to|\varphi(t)|^2$.
 
El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy tetsz\H{o}leges v\'eges $[-K,K]$
intervallumban l\'etezik olyan $C=C(K)>0$ sz\'am, amelyre
$\limsupp_{k\to\infty}\supp_{|t|\le K}n_k(1-|\oo_k(t)|^2)\le C$, ha
$|t|\le K$.
 
Egy el\'eg kis $K$ sz\'amra igaz ez az \'all\'{\i}t\'as.
Ugyanis a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es a
$\varphi(0)=1$ rel\'aci\'o miatt tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
$|1-\varphi(t)|\le\e$, ha $|t|\le K$, ahol $K=K(\e)$. M\'asr\'eszt a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek egyenletes konvergenci\'aj\'ab\'ol
v\'eges intervallumokon k\"ovetkezik, hogy
$1\ge\liminff_{k\to\infty}\inff_{|t|\le K}|\oo_k(t)|^{2n_k}\ge C_1>0$,
ahonnan $1-\frac{C_2}{n_k}\le|\oo_k(t)|^2\le 1$, \'es
$n_k(1-|\oo_k(t)|^2)\le C_3<\infty$ minden $|t|\le K$ sz\'amra alkalmas
$C_1>0$, $C_2>0$ \'es $C_3>0$ konstansokkal.
 
Mivel a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyess\'eget
m\'ar tudjuk egy el\'eg kis intervallumban, ez\'ert elegend\H{o}
bel\'atni, hogy amennyiben ez igaz egy $[-K,K]$ intervallumban, akkor
a $[-2K,2K]$ intervallumban is igaz. A k\"ovetkez\H{o} becsl\'esben
$G_k$ jel\H{o}li azt a (szimmetrikus) eloszl\'ast, amelyiknek
$|\oo_k(t)|^2$ a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Ha $|t|\le K$
$$
\align
n_k(1-|\oo_k(2t)|^2)&=n_k\int (1-\cos
2tx)G_k(\,dx)=2n_k\int\(1-\cos^2 tx\)G_k(\,dx)\\
&\le4n_k\int (1-\cos tx)G_k(\,dx)=4n_k(1-|\oo_k(t)|^2)\le 4C_2,
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant becsl\'es \'erv\'enyess\'ege
(egy \'uj $C'_2=4C_2$ konstanssal) a $[-2K,2K])$ intervallumban is.
 
A bizony\'{\i}tott becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{k\to\infty}(1-|\oo_k(t)|)=0$, \'es a konvergencia egyenletes
minden v\'eges intervallumban. Ezenk\'{\i}v\"ul az is k\"ovetkezik
innen, hogy $\inff_{|t|\le K}|\varphi(t)| =\inff_{|t|\le
K}|\oo_k(t)|^{n_k}>0$ minden $K>0$ sz\'amra, mert az $0\le
n_k(1-|\oo_k(t)|)<C<\infty$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$|\oo_k(t)|^{n_k}>C'>0$ alkalmas $C'=C'(n_k,C)$ konstanssal. \'Irjuk
fel az $\oo_k(t)=|\oo_k(t)|e^{i u_k(t)}$ \'es
$\varphi(t)=|\varphi(t)|e^{iv(t)}$ karakterisztikus f\"uggv\'enyeket
pol\'arkoordin\'at\'as alakban. A 3.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
befejez\'es\'ehez azt kell m\'eg megmutatni, hogy
$\limm_{k\to\infty}u_k(t)=0$, \'es a konvergencia minden v\'eges
intervallumban egyenletes.

Tudjuk, hogy $u_k(0)=0$, $v(0)=0$, \'es az $u_k(t)$ \'es $v(t)$
f\"uggv\'enyek folytonosak. Tov\'abb\'a a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol valamint azoknak a null\'at\'ol
val\'o szepar\'alts\'ag\'ab\'ol egy r\"ogz\'{\i}tett v\'eges
intervallumban k\"ovetkezik a $\limm_{k\to\infty}n_ku_k(t)=v(t)$
rel\'aci\'o, \'es a konvergencia minden v\'eges intervallumban
egyenletes. A bizony\'{\i}t\'asban az okoz n\'emi technikai
neh\'ezs\'eget, hogy $n_ku_k(t)$ szorzat az $u_k(t)$ sz\'amot csak
modul\'o $\frac{2\pi}{n_k}$ hat\'arozza meg. R\"ogz\'{\i}tve egy $K>0$
sz\'amot, kihaszn\'alva a $v(t)$ f\"uggv\'eny egyenletes
folytonoss\'ag\'at \'es az $u_k(t)\to
v(t)$ konvergencia egyenletess\'eg\'et v\'eges intervallumokban kapjuk,
hogy l\'etezik olyan $\delta=\delta(K)>0$ sz\'am, amelyre
$\supp_{|t|\le K, |t-s|\le\delta}|v(t)-v(s)|\le\frac\pi3$, \'es
$\supp_{|t|\le K, |t-s|\le\delta}n_k|u_k(t)-u_k(s)|\le\frac\pi2$
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra. Innen, illetve az $u_k(t)$ f\"uggv\'enyek
folytonoss\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $|u_k(t)-u_k(s)|\le
\frac\pi{2n_k}$, ha $|t-s|\le \delta$, $|t|\le K$. Tekints\"uk
ugyanis egy $\delta$-n\'al nem hosszabb $[s,t]$ intervallumot. Ezt az
intervallumot az el\H oz\H{o}ek alapj\'an az 
$n_ku_k\colon\; x\to n_ku_k(x)$ lek\'epez\'es egy $\pi/2$-n\'el 
r\"ovidebb $J$ intervallumba k\'epezi. Ez\'ert a 
$\{u_k(x)\colon\;x\in [s,t]\}$ halmaz r\'esze a $\frac
J{n_k}+l\frac{2\pi}{n_k}$, $l=1,\dots,n_k-1$, intervallumok
uni\'oj\'anak, mely intervallumok (r\"ovids\'eg\"uk
miatt) diszjunktak. Ez\'ert az $u_k$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy az  $\{u_k(x)\colon\;x\in
[s,t]\}$ halmaz teljes eg\'esz\'eben valalamelyik
$\frac J{n_k}+l\frac{2\pi}{n_k}$ intervallum belsej\'eben van, \'es
a megfogalmazott egyenl\H otlens\'eg \'erv\'enyes.

Ez\'ert $\supp_{|t|\le K}|u_k(t)|\le\frac{K\pi}{\delta n_k}$ minden
$k$-ra. Innen k\"ovetkezik, hogy $\limm_{k\to\infty}u_k(t)=0$, \'es
a konvergencia minden v\'eges intervallumban egyenletes. A 3.~T\'etelt
bebizony\'{\i}tottuk.
 
\bye
