\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection Hat\'areloszl\'ast\'etelek \'es korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok. {\rm I. r\'esz}

{\it Az alapvet\H{o} probl\'em\'ak megfogalmaz\'asa.} 
\bigskip\noindent 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
feladata a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es vizsg\'alata: \smallskip
 
Legyen  $\xi_1, \xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, a
bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett r\'eszlet\"osszegek sorozata.
Tekints\"uk az $\frac{S_n-A_n}{B_n}$  norm\'alt
r\'esz\-let\-\"osze\-geket alkalmas norm\'al\'assal. Mikor viselkedik
ezeknek a norm\'alt \"osszegeknek az eloszl\'asa k\"ul\"onb\"oz\H{o}
nagy $n$ sz\'amokra hasonl\'oan, azaz mikor van ezeknek a norm\'alt
r\'eszlet\"osszegeknek hat\'areloszl\'asa, ha $n\to\infty$? Hogyan
\'erdemes az $A_n$ \'es $B_n$ norm\'al\'o konstansokat v\'alasztani?
Milyen eloszl\'asok jelenhetnek meg hat\'areloszl\'ask\'ent?
 
Ugyanez a k\'erd\'essorozat term\'eszetes m\'odon felmer\"ul, ha
$\xi_1, \xi_2,\dots$ f\"uggetlen \'es {\it egyforma eloszl\'as\'u}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. A k\'erd\'es egy
k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes m\'odos\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o}
sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o k\'erd\'es. El\H{o}sz\"or vezess\"uk
be a k\"ovetkez\H{o} fogalmat: 

\medskip\noindent
{\bf Sz\'eriasorozatok definici\'oja.} {\it
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
$k\to\infty$, sz\'eriasorozat, ha az egy sorban lev\H{o}
$\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek. (A k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorokban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kapcsolat\'ar\'ol nem
t\'etelez\"unk fel semmit.)} 

\medskip
Legyen $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, ahol $\xi_{k,j}$, $1\le j\le
n_k$, $k=1,2,\dots$ sz\'eriasorozat. Milyen hat\'areloszl\'ast\'etelt
teljes\'{\i}thetnek az $S_n$ vagy $S_n-A_n$ (normaliz\'alt)
r\'eszlet\"osszegek? Mi a lehets\'eges hat\'areloszl\'as, ha az egy
sorban szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nemcsak
f\"uggetlenek, hanem azonos eloszl\'as\'uak is?
 
A k\"ovetkez\H{o} kapcsolat van f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok illetve sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"osszegeinek
vizsg\'alata k\"oz\"ott. Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
(esetleg egyforma eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Defini\'aljuk a $\xi_{k,j}=\frac{\xi_j}{B_k}$,
$1\le j\le k$, sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tot, $k=1,2,\dots$. (Itt a $B_k$
konstans megegyezik a r\'eszlet\"osszegek norm\'al\'as\'aban
szerepl\H{o} $B_k$ norm\'al\'o  faktorral, \'es $n_k=k$.) Ezzel a
v\'alaszt\'assal f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek vizsg\'alata \'ugy is tekinthet\H{o}, mint
speci\'alis
sz\'eriasorozatok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek vizsg\'alata.
 
A hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban bizonyos trivi\'alisan
\'erdektelen eseteket ki aka\-runk z\'arni. Ilyen eset a p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $\xi_1=\xi$, \'es $\xi_k\equiv0$, ha $k\ge2$.
Ekkor $S_n=\xi$, \'es $\frac {S_n-0}1\to\xi$, ha $n\to\infty$.
\'Altal\'anosabban, azt a lehet\H{o}s\'eget akarjuk kiz\'arni, hogy az
$S_n$ r\'eszlet\"osszeg egyetlen tagja domin\'ans szerepet j\'atsszon a
hat\'areloszl\'asban. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o} kicsis\'eg fogalm\'at.

\medskip \noindent
{\bf Definici\'o.}  {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyek
r\'eszlet\-\"ossze\-gei\-nek norm\'al\'as\'aban $B_n$  a norm\'al\'asi
faktor. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat teljes\'{\i}ti az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha minden $\e>0$-ra
$$
\sup_{1\le j\le n}P(|\xi_j|>\e B_n)<\e, \quad\text{ha }n>n_0(\e).
$$
 
A $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$ sz\'eriasorozat akkor teljes\'{\i}ti az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha minden $\e>0$-hoz l\'etezik
$k_0=k_0(\e)$ k\"usz\"obindex \'ugy, hogy
$$
\sup_{1\le j\le n_k}P(|\xi_{k,j}|>\e)<\e, \quad\text{ha }k>k_0(\e)
$$
minden $\e>0$-ra.} 

\medskip
A tov\'abbiakban a hat\'areloszl\'ast\'etelt az egyenletes
kicsis\'eget teljes\'{\i}t\H{o} sorozatok vagy sz\'eriasorozatok
r\'eszlet\"osszegeire vizsg\'aljuk. Megfogalmazzuk a kor\'abbiakban
m\'ar szerepelt klasszikus eredm\'enyeket. 

\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
 
\noindent
{\it a.) F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeire: Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$E\xi_j=0$, $E\xi_j^2=\sigma_j^2$, $j=1,2,\dots$,
$D_n^2=\summ_{j=1}^n\sigma_j^2$, \'es teljes\'{\i}tse ez a sorozat a
k\"ovetkez\H{o} Lindeberg felt\'etelt:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{D_n^2}\sum_{j=1}^n E\xi_j^2I(|\xi_j|>\e D_n)=0
$$
minden $\e>0$-ra. Ekkor az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegekre
$\frac{S_n}{D_n}$ eloszl\'asban konverg\'al a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz.
 
\noindent b.) Sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"oszegeire:  Legyen
$\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat, $k=1,2,\dots$,
$E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma_{k,j}^2$, $1\le k\le n_k$,
$k=1,2,\dots$, $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$. Legyen
$\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es teljes\"ulj\"on a
k\"ovetkez\H{o} Lindeberg felt\'etel:
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k} E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)=0\quad
\text{minden }\e>0-ra.
$$
Ekkor az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a standard norm\'alis elosz\-l\'as\-hoz.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A Lindeberg felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etele.

\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'ashoz val\'o hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it
Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, amely teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
 
Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$
para\-m\'e-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}

\medskip
Egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben megadjuk a fenti t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
\beginsection Az els\H{o} t\'argyaland\'o k\'erd\'es
 
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est: Legyen
$\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$ olyan sz\'eriasorozat, amelyben az egy
sorban szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nemcsak
f\"uggetlenek, hanem egyforma eloszl\'as\'uak is. Tegy\"uk fel, hogy az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ r\'eszlet\"osszegek $S_k-A_k$
normaliz\'altjai eloszl\'asban konverg\'alnak valamilyen $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Milyen $F$
eloszl\'as jelenhet meg, mint hat\'areloszl\'as? Az al\'abbi
heurisztikus gondolatmenet c\'elja megindokolni a korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asok defini\'al\'as\'at, mint a lehets\'eges
hat\'ar\-elosz\-l\'a\-sok csa\-l\'ad\-j\'a\-nak a term\'eszetes
jel\"oltj\'et.
 
A $\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$ sorozatot osszuk fel $L$ darab
egyforma hossz\'us\'ag\'u blokkra. (Egy  $k$-t\'ol nem f\"ugg\H{o} $L$
sz\'amot tekint\"unk. Az, hogy $n_k$ nem felt\'etlen\"ul oszthat\'o az
$L$ sz\'ammal, nem okoz s\'ulyos probl\'em\'at. P\'eld\'aul
felhaszn\'alhatjuk azt, hogy az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele miatt
minden egyes sorb\'ol v\'eges sok ($L$-n\'el kevesebb) tagot elhagyva
nem v\'altozik a hat\'areloszl\'ast\'etel. Ilyen m\'odon el\'erhetj\"uk
azt, hogy az egyes sorok tagsz\'ama $L$-lel oszthat\'o.) Legyen
$\eta_1^{(k)}$, \dots, $\eta_L^{(k)}$ a $k$-ik sorban lev\H{o}
blokkokban lev\H{o} $\xi_{j,k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszege minusz $\frac {A_k}L$. Ekkor $\eta_1^{(k)}$, \dots,
$\eta_L^{(k)}$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$$
\eta_1^{(k)}+\cdots+\eta_L^{(k)}\Rightarrow S \quad\text{eloszl\'asban}.
$$
V\'egrehajtva a $k\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet, kapjuk, hogy
$$
\eta_1+\cdots+\eta_L\overset\Delta\to= S
$$
ahol $\overset\Delta\to=$  eloszl\'asban val\'o azonoss\'agot jel\"ol,
\'es $\eta_1, \dots,\eta_L$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek eloszl\'asa megegyezik
az $\eta_1^{(k)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
hat\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'aval, amikor $k\to\infty$. (Ez a l\'ep\'es
val\'oj\'aban r\'eszletesebb indokl\'ast ig\'enyelne. A f\H{o}
probl\'ema annak indokl\'asa, hogy az $\eta_1^{(k)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak,
illetve el\'eg annyit megmutatni, hogy ennek a sorozatnak van
konvergens r\'eszsorozata.) 

\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Egy $F$ eloszl\'as, (illetve egy $F$
eloszl\'as\'u $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o) korl\'atlanul
oszthat\'o, ha tetsz\H{o}leges $L$ eg\'esz sz\'amra l\'eteznek olyan
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $\eta_1,\dots,\eta_L$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre az
$\eta_1+\cdots+\eta_L$ \"osszeg $F$ eloszl\'as\'u.} 

\medskip\noindent
{\bf Ekvivalens definici\'o.} {\it Egy $F$ eloszl\'as akkor \'es csak
akkor korl\'atlanul oszthat\'o, ha annak $\varphi(t)=\int
e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere \'es tetsz\H{o}leges
$L$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra az $\omega(\cdot)^L=\varphi(\cdot)$
f\"uggv\'enyegyenlet megoldhat\'o, ahol $\omega(\cdot)$}
karakterisztikus f\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\bf Vizsg\'aland\'o k\'erd\'esek:}
 
\item{a.)} Korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok jellemz\'ese.
\item{b.)} Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy csak a korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asok l\'epnek fel hat\'ar\-elosz\-l\'as\-k\'ent.

\beginsection K\'es\H{o}bb vizsg\'aland\'o k\'erd\'es:

Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek hat\'areloszl\'as\'at vizsg\'aljuk,
akkor hasonl\'o indokol\'assal term\'eszetess\'e v\'alik a
kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o eloszl\'asok egy fontos 
aloszt\'aly\'anak, a stabilis eloszl\'asoknak a 
be\-ve\-ze\-t\'ese.

\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Egy $F$ eloszl\'as stabilis, ha
tetsz\H{o}leges $L$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amhoz megadhat\'ok olyan
$A_L$ \'es $B_L$ norm\'al\'o konstansok, amelyekre igaz az, hogy az
$F_L(x)=F(B_Lx+A_L)$ eloszl\'asokra
$$
\underbrace{F_L*\cdots* F_L}_{L\text{-szeres konvul\'uci\'o}}=F. \tag$*$
$$
Ekvivalens megfogalmaz\'asban: Ha $\eta_1,\eta_2,\dots$ f\"uggetlen $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok, akkor
$\eta_1\overset{\Delta}\to=
\frac{(\eta_1-A_L)+\cdots+(\eta_L-A_L)}{B_L}$, vagy m\'as
megfogalmaz\'asban: 
$$
\varphi(t)=\(e^{-tA_L/B_L}\varphi\(\frac t{B_L}\)\)^L,
$$ 
ahol $\varphi(t)=\int e^{itx}F(dx)$ az $F$ eloszl\'as
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye. (E definici\'oban
$\overset{\Delta}\to=$
szint\'en eloszl\'asban val\'o azonoss\'agot jel\"ol.)
Val\'oj\'aban azt is megk\"ovetelj\"uk, hogy az $F_L$ f\"uggv\'enyben
szerepl\H{o} $B_L$norm\'a\'o tag $B_L=L^\alpha$ alak\'u sz\'am legyen 
valamely $\alpha>0$ sz\'ammal, de m\'elyebb vizsg\'alatok azt 
mutatj\'ak, hogy csak ilyen norm\'al\'o tagggal teljes\"ulhet a 
$(*)$  formula.}

\medskip\noindent
{\bf Vizsg\'aland\'o k\'erd\'esek:}

\item{a.)} A stabilis eloszl\'asok \'es a definici\'ojukban
szerepl\H{o} $A_L$ \'es $B_L$ norm\'al\'o faktorok jellemz\'ese.
\item{b.)} Stabilis eloszl\'asok vonz\'asi tartom\'any\'anak
megad\'asa, \'es az el\H{o}fordul\'o
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek\-ben szerepl\H{o} norm\'al\'o
faktorok megad\'asa.

\beginsection P\'eld\'ak korl\'atlanul oszthat\'o \'es stabilis
eloszl\'asokra.
 
\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'as.}\/ Ez korl\'atlanul oszthat\'o,
s\H{o}t stabilis eloszl\'as. Egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik $L$ darab f\"uggetlen 0 v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $\frac{\sigma^2}L$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az
eloszl\'as\'aval. Ezen \"osszeadand\'ok eloszl\'asa megegyezik az
$\frac\eta{\sqrt L}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'aval. Teh\'at $\eta$ eloszl\'asa stabilis, $A_L=0$ \'es
$B_L=\sqrt L$ v\'alaszt\'assal.
\item{b.)}  {\it Poisson eloszl\'as.}\/
Ez korl\'atlanul oszthat\'o, de nem stabilis eloszl\'as. Mivel k\'et
f\"uggetlen $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, ez\'ert egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
megegyezik $L$ darab f\"uggetlen $\frac \lambda L$
para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'aval. Ez\'ert a Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korl\'atlanul
oszthat\'oak. Viszont egy $\frac \lambda L$ param\'eter\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nem \'{\i}rhat\'o fel egy
$\lambda$ param\'eter\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
line\'aris transzform\'altjak\'ent, \'es a Poisson eloszl\'as nem
stabilis.
 
A fenti k\'et p\'elda a legfontosabb p\'elda a korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asokra.
 
\medskip\noindent
{\it Egy\'eb p\'eld\'ak:}
 
\item{a.)} A Cauchy eloszl\'as. Ennek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac 1{\pi(1+x^2)}$ \'es karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=e^{-|t|}$. Mivel $e^{-|t|}=\(e^{-|t|/L}\)^L$, azaz
$\varphi(t)=\varphi\(\frac tL\)^L$, a Cauchy eloszl\'as stabilis
$A_L=0$ \'es $B_L=L$  v\'alaszt\'assal.
\item{b.)} $\Gamma$-eloszl\'asok. Ezen eloszl\'asok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f_{\alpha,\nu}(x)=\cases
\frac1{\Gamma(\nu)}\alpha^\nu x^{\nu-1}e^{-\alpha x} &\text{ha }
x\ge0\\
0 &\text{ha }x<0
\endcases,
$$
ahol $\alpha>0$, $\nu>0$ k\'et param\'eter, $\Gamma(t)=\int_0^\infty
x^{t-1}e^{-x}\,dx$ a $\Gamma$ f\"uggv\'eny. N\'emi sz\'amol\'assal
l\'athat\'o, hogy $f_{\alpha,\mu+\nu}=f_{\alpha,\mu}*f_{\alpha,\nu}$,
ez\'ert
$$
f_{\alpha,\nu}=\underbrace{f_{\alpha,\frac\nu L}*\cdots *
f_{\alpha,\frac\nu L}}_{L\text{-szeres konvoluci\'o}},
$$
ez\'ert $f_{\alpha,\nu}$ korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as. Be
lehet l\'atni, hogy egy $f_{\alpha,\nu}(x)$ 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\H{u} eloszl\'as 
karakterisztikus f\"uggv\'enye 
$\varphi_{\alpha,\nu}(t)=(1-i\frac t\alpha)^{-\nu}$,
\'es innen k\"ovetkezik a fenti konvoluci\'okra fel\'{\i}rt
azonoss\'ag.
 
A korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok csal\'adja pontosan
le\'{\i}rhat\'o. Ezt a le\'{\i}r\'ast a L\'evy--Hincsin formula adja
meg. Ennek form\'alis megfogalmaz\'asa el\H{o}tt megadjuk e formula
szeml\'eletes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at. Nevezetesen
megmutatjuk, hogy f\"uggetlen Poisson \'es norm\'alis eloszl\'as\'u
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
term\'eszetes m\'odon \'uj korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konstru\'alhat\'oak, \'es ezek
eloszl\'asa megadja az \"osszes (L\'evy--Hincsin formula \'altal
le\'{\i}rt) korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'ast.
 
\beginsection Korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konstrukci\'oja.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy ha $\xi_1,\cdots,\xi_k$  f\"uggetlen,
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $\alpha_1\xi_1+\cdots+\alpha_k\xi_k+A$  line\'aris
kombin\'aci\'o szint\'en korl\'atlanul oszthat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Tov\'abb\'a, ha $F_n$
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok sorozata, $F_n\Rightarrow F$,
ahol $\Rightarrow$ eloszl\'asbeli konvergenci\'at jelent, akkor $F$
is korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as. Val\'oban, fel\'{\i}rva
tetsz\H{o}leges $L$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra az
$F_n=\underbrace{G_{n,L}*\cdot*G_{n,L}}_{L\text{-szeres
konvol\'uci\'o}}$ azo\-nos\-s\'ag\-ban elv\'egezve az $n\to\infty$
hat\'ar\'atmenetet megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
$F=\underbrace{G_L*\cdot*G_L}_{L\text{-szeres
konvol\'uci\'o}}$ azonoss\'agot. Val\'oj\'aban ennek a
hat\'ar\'atmenetnek a v\'egrehajthat\'os\'aga indokl\'asra szo\-rul.
Viszont ezt az \'all\'{\i}t\'ast csak olyan speci\'alis esetben fogjuk
alkalmazni az al\'abb ismertetett konstrukci\'oban,
amikor a limeszel\'es jo\-gos\-s\'a\-ga k\"onnyebben igazolhat\'o. A
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
v\'egrehajtand\'o konstrukci\'o k\"onnyeb\-ben megtehet\H{o} Poisson
folyamatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez\'ert felid\'ezz\"uk a
k\"ovetkez\H{o} ered\-m\'enyt, amelynek megadjuk az egyik
lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as\'at t\'argyal\'asunk
v\'eg\'en egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben. 

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $(X,\Cal A,\mu)$ m\'erhet\H{o} t\'er $\mu$
$\sigma$-v\'eges m\'ert\'ekkel. Ekkor l\'etezik Poisson mez\H{o} $\mu$
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel. Pontosabban meg lehet adni egy
$(\Omega,\Cal B,P)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon egy
$\xi(\oo)$, $\oo\in \Omega$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
amely \'ert\'ekeit az $X$ halmaz megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmazain
veszi fel (a $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
m\'erhat\H{o}s\'ege azt jelenti, hogy minden $A\in \Cal A$ halmazra
\'es $k$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra $\{\oo\:\#\{\xi(\oo)\cap
A\}=k\}\in \Cal B$) \'ugy, hogy teljes\"ulnek a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agok: 

\medskip
\item{1.)} Tetsz\H{o}leges v\'eges m\'ert\'ek\H{u} halmazban 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok kijel\"olt pont van.
\item{2.)} Ha $A_1\in\Cal A$, $A_2\in \Cal A,\dots, A_k\in \Cal A$
diszjunkt  halmazok, $\mu(A_j)<\infty$, $j=1,\dots,k$, akkor az
$A_1,\dots,A_k$, halmazokba es\H{o} kijel\"olt  pontok sz\'ama
f\"uggetlen  Poisson el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'ok $\mu(A_j)$, $j=1,\dots,k$,  param\'eterrel.

}
\medskip 
Legyen $\mu$ olyan $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek a 
$\bold R\setminus\{0\}$ halmazon, ($\bold R$ a tov\'abbiakban a 
sz\'am\-egye\-nest jel\"oli), \'es legyen $x_1(\oo),x_2(\oo),\dots$ 
Poisson mez\H{o} az $(\bold R\setminus\{0\}, \Cal A)$ t\'eren 
$\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'er\-t\'ek\-kel. (Itt $\Cal A$ a Borel 
$\sigma$-algebr\'at jel\"oli.) Azt szeretn\'enk bel\'atni, hogy 
a $\xi(\oo)=\summ_{n=1}^\infty x_n(\oo)$ \"osszeg, azaz a Poisson 
mez\H{o} \'altal megjel\"olt pontok koordin\'at\'ainak az 
\"osszege kor\-l\'at\-la\-nul oszthat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ugyanis, tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz $L$-re
tekints\"unk $L$ darab f\"uggetlen $(y_1^j(\oo),y_2^j(\oo),\dots)$,
$j=1,2,\dots,L$ Poisson mez\H{o}t a $(\bold R\setminus\{0\},\Cal A)$
t\'eren $\frac \mu L$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, \'es defini\'aljuk
az $\eta_j=\summ_{n=1}^\infty y_n^j(\oo)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Azt v\'arjuk, hogy a $\xi(\oo)$ \'es
$\eta_1(\oo)+\cdots+\eta_L(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asa megegyezik, hiszen az
$\eta_1(\oo)+\cdots+\eta_L(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o nem m\'as mint az \"osszes $y_n^j(\oo)$, $n=1,2,\dots$,
$j=1,\dots,L$, koordin\'at\'ak \"osszege. Viszont az $y_n^j(\oo)$
Poisson mez\H{o}k egye\-s\'{\i}\-t\'ese Poisson mez\H{o} $\mu$
sz\'aml\'al\'om\'ert\'ekkel, hiszen tetsz\H{o}leges $A$ halmazba
es\H{o} pontok sz\'ama $L$ darab f\"uggetlen $\frac\mu L$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege.
 
A fenti heurisztikus gondolatmenetben az okoz gondot, hogy a
$\xi(\oo)$-t \'es $\eta_j(\oo)$-t defini\'al\'o v\'egtelen \"osszeg nem
felt\'etlen\"ul \'ertelmes. Bel\'atjuk, hogy ha a $\mu$ m\'ert\'ekre
al\-kal\-mas feltev\'est tesz\"unk, \'es a fent defini\'alt \"osszeget
megfelel\H{o}en regulariz\'aljuk, akkor a fenti heurisztika pontoss\'a
tehet\H{o}. Tov\'abb\'a, mint a k\'es\H{o}bb megfogalmazand\'o
L\'evy--Hincsin formula mutatja, az \'{\i}gy kapott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asai a korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\'eg gazdag csal\'adj\'at adj\'ak.

Tegy\"uk fel, hogy a $\mu$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
felt\'etelt:
$$
\aligned
&\mu([a,\infty))<\infty \qquad \mu((-\infty,-a])<\infty \\
&\int_0^a x^2\mu(\,dx)<\infty, \qquad
\int_{-a}^{0} x^2\mu(\,dx)<\infty
\endaligned
\qquad\text{minden $a>0$-ra.}
\tag $**$
$$
Defini\'aljuk az $\xi_N(\oo)=\summ_{n\:
|x_n(\oo)|>2^{-N}}x_n(\oo)$ v\'eletlen tagsz\'am\'u \"osszeget minden
$N=0,1,\dots$-ra. Ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'ertelmesek, mert
$$
\mu((-\infty,-2^{-N})\cup(2^{-N},\infty))<\infty
$$
miatt ez a halmaz egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a tekintett
Poisson mez\H{o}nek csak v\'eges sok tagj\'at tartalmazza. Ez\'ert
a $\xi_N(\oo)$-t defini\'al\'o \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  v\'eges sok tagb\'ol \'all. Azt
\'all\'{\i}tjuk tov\'abb\'a, hogy a $\xi(\oo)=\limm_{N\to\infty}
\xi_N(\oo)-(E\xi_N(\oo)-E\xi_1(\oo))$ limesz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'etezik. Mivel $\xi_N(\oo)
-(E\xi_N(\oo)-E\xi_1(\oo))=\xi_0(\oo)+\summ_{k=0}^N\zeta_k(\oo)$,
ahol
$$
\zeta_k(\oo)=\zeta'_k(\oo)-E\zeta'_k(\oo),\quad \text{\'es}\quad
\zeta_k'(\oo)=\summ_{n\:2^{-k}<|\xi_n(\oo)|\le 2^{-k-1}} \xi_n(\oo),
$$
el\'eg bel\'atni, hogy a $\summ_{k=0}^\infty \zeta_k(\oo)$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al. Viszont a $\zeta_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. (Diszjunkt
halmazokba es\H{o} pontok koordin\'at\'ait adjuk \"ossze,
\'es egy Poisson mez\H{o} diszjunkt halmazaiban bek\"ovetkez\H{o}
esem\'enyek f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol.) Ez\'ert a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik klasszikus
eredm\'enye (a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok \"osszegeinek konvergenci\'aj\'anak sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et megad\'o h\'arom sor t\'etel,
pontosabban annak k\"onnyebb fele) alapj\'an el\'eg bel\'atni
azt, hogy $\summ_{k=0}^\infty \text{Var}\,\zeta_k<\infty$. (A $\zeta_k$
definici\'oja alapj\'an $E\zeta_k=0$.) A k\'{\i}v\'ant
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont k\"ovetkezik a $(**)$
rel\'aci\'ob\'ol \'es a k\"ovetkez\H{o} lemm\'ab\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\mu$ v\'eges m\'ert\'ek egy v\'eges $(a,b]$
intervallum Borel m\'erhet\H{o} halmazainak $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aj\'an. Legyen $x_1(\oo), \dots, x_{k(\oo)}(\oo)$
(v\'eletlen $k=k(\oo)$-val) Poisson mez\H{o} $((a,b],\Cal A)$-n $\mu$
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, $S(\oo)=\summ_{j=1}^{k(\oo)}x_j(\oo)$.
Ekkor
$$
ES=\int_a^b x\mu(\,dx),\qquad \text{\rm Var}\,S=\int _a^b x^2\mu(\,dx).
$$
Tov\'abb\'a az $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmusa, (amelyik
l\'e\-te\-zik) minden $t\in \bold R$-re teljes\'{\i}ti a
$$
\log Ee^{itS}=\int_a^b\(e^{itx}-1\)\mu(\,dx)
$$
azonoss\'agot.} 

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A lemm\'aban besz\'elt\"unk karakterisztikus
f\"uggv\'eny logaritmus\'ar\'ol. Jegyezz\"uk meg, hogy ha egy
$\varphi(\cdot)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny egy az orig\'ot
tartalmaz\'o $[A,B]$ intervallumban sehol sem egyenl\H{o} null\'aval,
akkor term\'eszetes m\'odon defini\'alhat\'o e karakterisztikus
f\"uggv\'eny logaritmusa ebben az $[A,B]$ intervallumban. Azt kell
meg\-\'er\-te\-ni, hogy b\'ar egy komplex sz\'am logaritmusa
nincs egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozva, mert ha $z_1=\log z$, akkor
a $\log z=z_1+i2k\pi$ rel\'aci\'o tetsz\H{o}leges $k$ eg\'esz sz\'amra
teljes\"ul, a $\varphi(\cdot)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny
$\psi(t)=\log \varphi(t)$ logaritmus\'at a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
term\'eszetes defini\'alni a fenti felt\'etelek mellett az $[A,B]$
intervallumon: Egyr\'eszt megk\"ovetelj\"uk, hogy
$e^{\psi(t)}=\varphi(t)$, $A\le t\le B$, m\'asr\'eszt legyen $\psi(t)$
folytonos f\"uggv\'eny az $[A,B]$ intervallumon, amelyre $\psi(0)=0$.
Teh\'at egy folytonoss\'agi megk\"ot\'essel v\'alasztjuk ki a
logaritmus f\"uggv\'eny megfelel\H{o} \'ag\'at. 

\medskip
A Lemma \'es $(**)$ alapj\'an
$$
\summ_{k=0}^\infty \text{Var}\,\zeta_k=
\summ_{k=0}^\infty \int_{2^{-k-1}<|x|\le 2^{-k}}x^2\mu(\,dx)
= \int_{0<|x|\le1 }x^2\mu(\,dx)<\infty,
$$
ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant konvergencia.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Ha a $\mu$ m\'ert\'ek v\'eges sok
$u_1,\dots,u_n$ pontba van koncentr\'alva $\mu(u_j)=\mu_j$,
$j=1,\dots,n$, $\summ_{j=1}^n\mu_j=1$, akkor $S=u_1Z_1+\dots+u_nZ_n$,
ahol $Z_1,\dots,Z_n$ f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu_1,\dots,\mu_n$
param\'eterekkel. Ez\'ert ebben az esetben
$$
\align
ES&=\sum u_jEZ_j=\sum u_j \mu_j=\int x\mu(\,dx)\\
\text{Var}\,S&=\sum u_j^2\text{Var}\,Z_j=\sum u_j^2\mu_j=\int
x^2\mu(\,dx)\\
\log Ee^{itS}&=\sum\log Ee^{itu_jZ_j}=\sum
\mu_j\(e^{itu_j}-1\)=\int\(e^{itx}-1\)\mu(\,dx).
\endalign
$$
Ha $\mu$ tetsz\H{o}leges v\'eges m\'ert\'ek $(a,b]$-n, akkor
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $T>0$ eg\'esz
sz\'amot, \'es legyen $\mu_T$ az az $a+\frac {b-a}Tt$, $t=1,\dots,T$
pontokba koncentr\'alt m\'ert\'ek, amelyre
$$
\mu_T\left\{a+\frac{b-a}Tt\right\}
=\mu\left\{\(a+\frac{b-a}T(t-1), a+\frac{b-a}Tt\]\right\}.
$$
Ha $x_1(\oo),\dots,x_{k(\oo)}(\oo)$  Poisson folyamat $((a,b],\Cal A)$-n
$\mu$  sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, akkor  defi\-ni\-\'al\-juk az
$x_{j,T}(\oo)=a+\frac{b-a}T
t_j$, ha $a+\frac{b-a}T(t_j-1)<x_j(\oo)\le a+\frac{b-a}Tt_j$, $1\le
j\le k(\oo)$ pontfolyamatot. Ekkor  $x_{1,T}(\oo),\dots,x_{k(\oo),T}$
Poisson mez\H{o} $((a,b],\Cal A)$-n $\mu_T$ sz\'aml\'al\'o
m\'ert\'ekkel.
 
Legyen $S_T(\oo)=\summ_{j=1}^{k(\oo)}x_{j,T}(\oo)$. Ekkor $S_T(\oo)\to
S(\oo)$, ha $T\to\infty$. Ez\'ert
$$
\limm_{T\to\infty}ES_T=ES,\quad
\limm_{T\to\infty}\text{Var}\,S_T=\text{Var}\,S\quad\text{\'es} \quad
\limm_{T\to\infty}\log Ee^{itES_T}=\log Ee^{itES},
$$
\'es $T\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a lemma
\'all\'{\i}t\'as\'at tetsz\H{o}leges v\'eges $\mu$ m\'er\-t\'ek\-re.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A karakterisztikus f\"uggv\'eny logaritmus\'ara
adott k\'eplet \'erv\'enyes  $a=-\infty$  \'es $b=\infty$ eset\'en is,
ha $\mu([a,b])<\infty$. Val\'oban, ha alkalmazzuk a formul\'at olyan,
$(a_n,b_n]$ intervallumra, amelyre $-\infty<a_n<b_n<\infty$, $a_n\to a$
\'es  $b_n\to b$, akkor $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a
formul\'at az \'altal\'anos esetben is. 

\medskip
A lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadhatjuk a fent konstru\'alt $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a logaritmus\'at. Nevezetesen,
$$
\log \varphi(t)=\log E e^{it\xi}=\int_{\bold
R\setminus\{0\}}\(e^{itx}-1-itA(x)\)\mu(\,dx),
$$
ahol $\mu$ egy a $(**)$  felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} m\'ert\'ek, \'es
$A(x)=1$, ha $|x|\le 1$, \'es $A(x)=0$, ha $|x|>1$.
 
Ezt a k\'epletet a k\"ovetkez\H{o}k\'epp  igazolhatjuk:
Mivel $\xi(\oo)=\xi_0(\oo)+\summ_{k=0}^\infty\zeta_k(\oo)$, \'es
az \"osszegben szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, ez\'ert $\xi(\oo)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a
logaritmus\'at megkapjuk, ha \"osszegezz\"uk az egyes ta\-gok
karak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a
logaritmus\'at. Tov\'abb\'a, a Lemma alapj\'an
$$
\log Ee^{it\zeta_k}=\log E^{it\zeta'_k}-itE\zeta'_k
=\int_{2^{-k-1}}^{2^{-k}}\(e^{itx}-1-itx\)\mu(\,dx).
$$
 
A $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat kiss\'e
\'altal\'anosabb m\'odon is defini\'alhatjuk. Legyen $A(N)\to0$,
$B(N)\to\infty$, ha $N\to\infty$, $0<A(N)<1<B(N)\le \infty$,
tetsz\H{o}leges monoton, determinisztikus sorozat, vezess\"uk be a
$\xi_N(\oo)=\summ_{n\: A(N)<|x_n(\oo)|<B(N)}x_n(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozokat, ahol $x_n(\oo)$ Poisson
mez\H{o} az $(\bold R\setminus\{0\},\Cal A)$ t\'eren $\mu$
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, \'es $\mu$ egy a $(**)$ felt\'etelt
teljes\'{\i}t\H{o} m\'ert\'ek. Ekkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
l\'etezik a k\"ovetkez\H{o} regu\-la\-ri\-z\'alt \"osszeg:
$$
\align
\xi(\oo)&=\lim_{N\to\infty}\text{Reg}\,\xi_N(\oo)\\
&=\lim_{N\to\infty}
\!\!\!\( \sum_{n\: A(N)<|x_n(\oo)|<B(N)} \!\!\! x_n(\oo)-
E\sum_{n\: A(N)<|x_n(\oo)|<1} \!\!\!  x_n(\oo)\).
\endalign
$$
Hasonl\'oan defini\'alhatunk tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz $L$
sz\'amra $L$ darab f\"uggetlen $\eta_L(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mint $L$ darab f\"uggetlen a
$R\setminus\{0\},\Cal A)$ t\'eren $\frac\mu L$ sz\'aml\'al\'o
m\'ert\'ekkel defini\'alt Poisson mez\H{o} pontjai koordin\'at\'ainak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt regul\'aris \"osszeget. Ekkor
$\eta_1+\cdots+\eta_L\overset\Delta\to=\xi$, ahol $\overset\Delta\to=$
eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at jel\"ol. Ez\'ert $\xi$
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
 
\'Ujabb korl\'atlanul oszthat\'o  eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot kapunk, ha
a fent konst\-ru\-\'alt $\xi(\oo)$ helyett  \'altal\'anosabb,
$\xi(\oo)+\eta(\oo)+D$ alak\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot tekint\"unk, ahol $\eta$
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $\sigma^2\ge0$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
\'es $D$ konstans. Ennek az \'uj val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a logaritmusa
$$
\log \bar\varphi(t)=\log\varphi(t)-\frac{\sigma^2t^2}2+itD
=\int_{\bold R\setminus\{0\}}\(e^{itx}-1-itA(x)\)\mu(\,dx)
-\frac{\sigma^2t^2}2+itD,
$$
alak\'u, ahol $\varphi(t)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye.
 
A L\'evy--Hincsin formula l\'enyeg\'eben azt mondja ki, hogy a fenti
k\'eplet megadja az \"osszes korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek logaritmus\'at, \'es 
egy karakterisztikus f\"uggv\'eny fent megadott 
reprezent\'aci\'oj\'aban  szerepl\H{o} $\mu(\cdot)$ m\'ert\'ek
\'es $\sigma^2$ \'es $D$ sz\'amok egy\'ertelm\H{u}en 
meghat\'arozottak. A L\'evy--Hincsin formul\'at az irodalomban 
t\"obb, k\"ul\"onb\"oz\H{o} ekvivalens m\'odon fogalmazt\'ak meg. 
Ennek a formul\'anak nincsen kit\"untetett, ,,legjobb alakja".  
A tov\'abbi el\H{o}ad\'asokban William Feller {\it An Introduction 
to the Probability Theory and Its Application II.}\/ k\"onyv 
17.~fejezet\'eben le\'{\i}rt t\'argyal\'asm\'odot fogjuk
k\"ovetni. Ez\'ert a L\'evy--Hincsin formul\'at a Feller k\"onyvben
le\'{\i}rt m\'odon fogalmazzuk meg, \'es megmutatjuk, hogy az ott
szerepl\H{o} reprezent\'aci\'o ekvivalens az \'altalunk megadottal. 
A Feller k\"onyvben megfogalmazott eredm\'eny kimond\'as\'ahoz
sz\"uks\'eg van a k\"ovetkez\H{o} definici\'ora. 

\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it A sz\'amegyenes Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an
defini\'alt $M$ m\'ert\'ek kanonikus m\'ert\'ek, ha tetsz\H{o}leges
v\'eges $[a,b]\subset\bold R$ intervallum $M\{[a,b]\}$ m\'ert\'eke
v\'eges, \'es tetsz\H{o}leges $a>0$ sz\'amra}
$$
\int_{a}^\infty\frac1{x^2}M(\,dx)<\infty,\quad \text{\'es}\quad
\int_{-\infty}^{-a}\frac1{x^2}M(\,dx)<\infty.
$$

\medskip\noindent
{\bf T\'etel. L\'evy--Hincsin formula.} {\it  Egy $F$ eloszl\'as akkor
\'es csak akkor korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o, ha az eloszl\'as
$\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
van logaritmusa, \'es az a k\"ovetkez\H{o} alakban \'{\i}rhat\'o fel:
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac {e^{itx}-1-it\sin
x}{x^2}M(\,dx)+itB,
$$
ahol $M$ kanonikus m\'ert\'ek. Az $F$ korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'as egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek logaritmus\'at el\H{o}\'all\'{\i}t\'o k\'epletben
az $M$ kanonikus m\'er\-t\'e\-ket \'es a $B$ val\'os sz\'amot.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti k\'epletben  az integrandus
\'ert\'ek\'et az orig\'oban \'ugy defini\'aljuk, mint az integrandus
folytonos kiterjeszt\'es\'et az orig\'oba, azaz \'ert\'eke
$-\frac{t^2}2$. Ez\'ert, az orig\'obeli r\'esz hozad\'eka az
integr\'alhoz $-M(0)\frac{t^2}2$. \'Igy \"osszehasonl\'{\i}tva a
L\'evy--Hincsin formula \'altalunk \'es a Feller k\"onyv \'altal
megadott alakj\'at, kapjuk, hogy $M(0)=\sigma^2$, \'es ez adja meg a
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as norm\'alis komponens\'et.
Tov\'abb\'a, a $\mu(dx)=x^2 M(dx)$, $x\in \bold R\setminus\{0\}$,
definici\'oval l\'athatjuk, hogy a $\mu$ akkor \'es csak akkor
teljes\'{\i}ti a $(**)$ felt\'etelt, ha az \H{o}t defini\'al\'o
k\'epletben szerepl\H{o} $M(\cdot)$  egy kanonikus m\'ert\'ek
megszor\'{\i}t\'asa $\bold R\setminus\{0\}$-ra. \'At\'{\i}rva az
\'altalunk megadott integr\'alt $\mu$ m\'ert\'ek helyett $M$
m\'ert\'ek szerinti integr\'alra, azt kapjuk, hogy a kapjuk, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny logaritmus\'ara adott k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} reprezent\'aci\'o k\"ul\"onbs\'ege
$\int_{-\infty}^{\infty}it\frac{A(x)-\sin x}{x^2}M(\,dx)+i(B-D)t$.
Az ebben a formul\'aban szerepl\H{o} integr\'al v\'eges, mert
$$
\sup_{x\neq0}|A(x)-\sin(x)|<\infty,\quad\text{\'es}\quad \limm_{x\to0}
\frac{A(x)-\sin x}{x^2}=0.
$$
Ez\'ert  az $B$ vagy $D$ konstans alkalmas v\'alaszt\'as\'aval a k\'et
kifejez\'es k\"ul\"onbs\'ege null\'av\'a tehet\H{o}.
 
Az \'altalunk, illetve a Feller k\"onyvben szerepl\H{o}
reprezent\'aci\'o k\"ul\"onbs\'ege a $\mu$ illetve $M$ m\'ert\'ek
haszn\'alat\'an k\'{\i}v\"ul abb\'ol ad\'odik, hogy az
\'altal\'anos korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban egy limeszel\'est
is v\'egre kell hajtani, \'es ez csak bizonyos regulariz\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehets\'eges. A regulariz\'aci\'o maga nem
egy\'ertelm\H{u}, \'es az, hogy mi a ,,term\'eszetes
regulariz\'aci\'o" az az alkalmazott m\'odszert\H{o}l f\"ugg.
 
V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy az \'altalunk defini\'alt
$A(x)$ helyettes\'{\i}thet\H{o} a
$$
\tau(x)=\tau_a(x)=\cases
x&\text{ha }|x|\le a\\
a&\text{ha }x\ge a  \\
-a&\text{ha }x\le -a
\endcases
$$
f\"uggv\'ennyel a L\'evy--Hincsin formul\'aban, azaz egy $F$
korl\'atlanul oszt\-ha\-t\'o eloszl\'as
$\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
a logaritmusa a k\"ovetkez\H{o} alakban is fel\-\'{\i}r\-ha\-t\'o:
$$
\log \varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac {e^{itx}-1-it\tau(x)}
{x^2}M(\,dx)+itB,
$$
Mi a m\'asodik r\'eszben a korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asoknak
ezt a jellemz\'es\'et fogjuk haszn\'alni. A $\tau(\cdot)$ f\"uggv\'eny
haszn\'alat\'anak az az el\H{o}nye az $A(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel
szemben, hogy $\tau(\cdot)$ folytonos (\'es korl\'atos) f\"uggv\'eny,
\'es ez egyszer\H{u}bb\'e teszi bizonyos ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tek
elv\'egz\'es\'et. (Eml\'ekeztet\H{o}\"ul: Eloszl\'asok akkor \'es csak
akkor konverg\'alnak egy ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-hoz, ha minden
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enynek a v\'arhat\'o \'ert\'eke
ezen eloszl\'asok szerint konverg\'al ennek a f\"uggv\'enynek a
hat\'arm\'ert\'ek szerinti v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ehez.)
 
\beginsection Megjegyz\'esek:

1. {\it Korl\'atlanul oszthat\'o folyamatok} 

\medskip\noindent
Tekints\"unk egy $F$ korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'as\'u Gauss
komponenst nem tartalmaz\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eloszl\'ast.
Ekkor az  $F$ f\"uggv\'eny $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek logaritmusa a 
L\'evy--Hincsin formula alapj\'an fel\'{\i}rhat\'o
$$
\log \varphi(t)=\int_{x\neq0}(e^{itx}-1-itA(x))\mu(\,dx)+iDt
$$
alakban, ahol a $\mu$  m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $(**)$  felt\'etelt,
$A(t)=1$, ha $|t|\le 1$, \'es $A(t)=0$, ha $|t|>1$. A korl\'atlanul
oszthat\'o eloszl\'asokat le lehet \'{\i}rni vagy a fenti m\'odon vagy
egy kanonikus $M$ m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a L\'evy--Hincsin
formula \'altalunk illetve a Feller k\"onyv \'altal le\'{\i}rt
form\'aj\'aban. A k\'et jellemz\'es ekvivalens. A tov\'abbiakban
k\'enyelmesebbnek l\'atszik a $\mu$  m\'ert\'ekkel dolgozni az $M$
m\'ert\'ek helyett.
 
A f\H{o} r\'eszben ismertetett konst\-ruk\-ci\'o alapj\'an egy 
Poisson mez\H{o} seg\'{\i}ts\'eg\'evel konst\-ru\-\'al\-tunk 
egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Megmutatjuk, hogy a konstrukci\'o n\'emi m\'odos\'{\i}t\'as\'aval 
olyan $\xi(t)=\xi(t,\oo)$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus 
folyamatot is tudunk konstru\'alni, amely teljes\'{\i}ti a 
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat:

\medskip
\item{1.} $\xi(1,\oo)$ $F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\item{2.} $\xi(t,\oo)$ f\"uggetlen \'es stacion\'arius
n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat, azaz tetsz\H{o}leges
$0<t_1<t_2<\cdots<t_k$ sz\'amokra, $\xi(0)\equiv0$, a
$\xi(t_1)$, $\xi(t_2)-\xi(t_1)$, \dots, $\xi(t_k)-\xi(t_{k-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
tetsz\H{o}leges $0\le s,t<\infty$-re a $\xi(t+s)-\xi(t)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa nem f\"ugg
$t$-t\H{o}l.
\item{3.} Majdnem minden $\oo$-ra a $\xi(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria
minden pontban jobbr\'ol folytonos, \'es
minden pontban l\'etezik a trajekt\'ori\'anak baloldali
hat\'ar\'ert\'eke is. Az irodalomban az ilyen folyamatokat cadlag
(continue \`a droite, limite \`a gauche) folyamatoknak h\'{\i}vj\'ak.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'etezik olyan f\"uggetlen \'es stacion\'arius
n\"ovekem\'eny\H{u} $W(t,\oo)$, $t\ge0$, Gauss folyamat, amely 
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel folytonos trajekt\'ori\'aj\'u,
$W(0,\oo)\equiv0$, \'es $W(1,\oo)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Az ilyen folyamatot az
irodalomban Wiener folyamatnak h\'{\i}vj\'ak. Egy \'altal\'anos
korl\'atlanul oszthat\'o $F$ eloszl\'as be\'agyazhat\'o egy az
el\H{o}bb felsorolt  1.---3. tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
$\xi(t,\oo)$, \'es egy t\H{o}le f\"uggetlen $\sigma$-val megszorzott
Wiener folyamat \"osszeg\'ebe. Ez azt jelenti, hogy az \'{\i}gy
konstru\'alt folyamat \'ert\'eke a $t=1$ helyen  $F$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A konstrukci\'oban szerepl\H{o}
$\mu$ m\'ert\'eket \'es $\sigma$ konstanst a L\'evy--Hincsin formula
hat\'arozza meg. A korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok sok
tulajdons\'aga jobban meg\'erthet\H{o}, ha ezt az eloszl\'ast
be\'agyazzuk egy ilyen korl\'atlanul oszthat\'o folyamatba.

\medskip
A k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u folyamatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
konstru\'alhatjuk meg. Legyen $\bar\mu=\mu\times \lambda$ a $\mu$
m\'ert\'ek \'es az $\bold R^+=\{t\:t\ge0\}$ pozit\'{\i}v f\'elegyenesen
defini\'alt Lebesgue m\'ert\'ek direkt szorzata az $(\bold
R\setminus\{0\}\times \bold R^+, \Cal A)$ t\'eren, ahol $\Cal A$ a
Borel $\sigma$-algebr\'at jel\"oli, \'es tekints\"unk egy
$(x_1(\oo),x_2(\oo),\dots)
=((x_1^{(1)}(\oo),x_1^{(2)}(\oo)),(x_2^{(1)}(\oo),x_2^{(2)}(\oo))
,\dots)$ Poisson mez\H{o}t a $(\bold
R\setminus\{0\}\times \bold R^+, \Cal A)$ t\'eren $\bar\mu$
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel.
 
Tekints\"unk a magyar\'azatban szerepl\H{o} regulariz\'aci\'ohoz
hasonl\'on alkalmas monoton cs\"okken\H{o} $A(N)\to0$ sorozatot. Az ott
le\'{\i}rt elj\'ar\'ashoz hasonl\'oan defini\'aljuk a $\xi(t,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat szimult\'an minden
$t\ge0$-ra azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy $B(N)=\infty$-t
v\'alasztunk, azaz ezek a korl\'atok nem jelennek meg a definici\'oban,
tov\'abb\'a az \"osszegez\'esben az $x_n(\oo)\in R\setminus\{0\}\times
\bold R^+$ pontok els\H{o} koordin\'at\'ait \"osszegezz\"uk, \'es a
$\xi(t,\oo)$ definici\'oj\'aban csak azokat az $x_n(\oo)$ mintapontokat
vessz\"uk figyelembe, amelyeknek m\'asodik koor\-din\'a\-t\'a\-ja kisebb
vagy egyenl\H{o} mint $t$. R\'eszletesebben:
$$
\align
\xi(t,\oo)&=\lim_{N\to\infty}\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)\\
&=\lim_{N\to\infty}
\!\!\! \(\sum\Sb n\: A(N)<|x_n^{(1)}(\oo)|\\ x_n^{(2)}(\oo)\le t\endSb
\!\!\!
x^{(1)}_n(\oo)- E\sum\Sb n\: A(N)<|x_n^{(1)}(\oo)|<1\\ x_n^{(2)}(\oo)\le
t\endSb \!\!\!  x_n^{(1)}(\oo)\).
\endalign
$$
 
A f\H{o} r\'eszben ismertetett \'ervel\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
minden r\"ogz\'{\i}tett $t\ge0$-ra a
$\limm_{N\to\infty}\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)$ hat\'ar\'ert\'ek
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'etezik. Tov\'abb\'a a
$\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)$, $t\ge0$, folyamat teljes\'{\i}ti az 1.---3.
tulajdons\'agokat. Az 1. \'es 2. tulajdons\'ag a Poisson
mez\H{o} f\"uggetlens\'egi \'es a m\'asodik koordin\'ata szerinti
eltol\'asinvari\'ans tulajdons\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik. Az ut\'obbi
tulajdons\'ag a Lebesgue m\'ert\'ek eltol\'asinvari\'ans
tulajdons\'ag\'anak a k\"ovetkezm\'enye. A 3. tulajdons\'agot, mivel a
$\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)$ folyamat stacion\'arius
n\"ovekm\'eny\H{u}, el\'eg $0\le t\le1$ eset\'en bel\'atni. Ez viszont
az\'ert igaz, mert a
$$
((-\infty,-A(N))\cup (A(N),\infty))\times[0,1]
$$
tartom\'anyban az \'altalunk tekintett Poisson mez\H{o} csak v\'eges
sok pontot tartalmaz. Ez\'ert a $\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)$, $0\le
t\le1$ trajekt\'ori\'anak csak v\'eges sok
ugr\'ashelye van, ahol a trajekt\'oria jobbr\'ol folytonos.
 
Egyszer\H{u} $N\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy az 1. \'es
2. tulajdons\'agot a $\xi(t,\oo)$ folyamat is teljes\'{\i}ti.  A
3.~tulajdons\'agot el\'eg $0\le t\le1$-re bel\'atni. Tov\'abb\'a,
felhaszn\'alva szabads\'agunkat az $A(N)$ sorozat
megv\'alaszt\'as\'aban, v\'alasszuk ezt a sorozatot \'ugy, hogy
$\int_{\{x\:0<|x|<A(N)\}}x^2\mu(\,dx)\le 4^{-N}$.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)-
\text{Reg}\,\xi_{N+1}(t,\oo)$, $0\le t\le1$, folyamat 0 v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat  minden
$N\ge1$-re, amelyre
$$
E\(\text{Reg}\,\xi_{N+1}(1,\oo)-\text{Reg}\,\xi_N(1,\oo)\)^2=
\int_{\{x\:A(N+1)<|x|<A(N)\}}x^2\mu(\,dx)\le 4^{-N}.
$$
Ez\'ert a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
P&\(\sup_{0\le t\le
1}\left|\text{Reg}\,\xi_{N+1}(t,\oo)-\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)\right|
\ge 2^{-N/2}\)\\
&\qquad\le 2^N \int_{\{x\:0<|x|<A(N)\}}x^2\mu(\,dx)\le 2^{-N}.
\endalign
$$
 Mivel a fenti becsl\'esek jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esek
\"osszege konvergens, \'es
$$
\xi(t,\oo)=\text{Reg}\,\xi_1(t,\oo)+\sum_{N=1}^\infty
\[\text{Reg}\,\xi_{N+1}(\oo)-\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)\],
$$
ez\'ert a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy hogy majdnem minden $\oo$-ra
$$
\sup_{0\le t\le1}\left|\xi(t,\oo)-\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)\right|
\le\frac{2^{-N/2}}{\sqrt 2-1}\quad\text{ha }N\ge N_0(\oo).
$$
Az utols\'o rel\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel $N\to\infty$
hat\'ar\'atmenet adja, hogy nemcsak a $\text{Reg}\,\xi_N(t,\oo)$,
hanem a $\xi(t,\oo)$ folyamat is teljes\'{\i}ti a 3. tulajdons\'agot.
Ugyanis innen k\"ovetkezik, hogy egy olyan $\oo$ pontban, amely
teljes\'{\i}ti ezt a felt\'etelt, tetsz\H{o}leges $0\le t\le1$ pontban
\'es tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
$|\limsup\xi(t\pm0)-\liminf\xi(t\pm0)|\le\e$. Tov\'abb\'a a jobboldali
hat\'ar\'ert\'ek megegyezik a $\xi(t,\oo)$ sz\'ammal.
 
 
\medskip\noindent
b.) {\it Stabilis eloszl\'asok:}

\medskip\noindent
A stabilis eloszl\'asok illetve a term\'eszetes m\'odon
defini\'alhat\'o f\"uggetlen \'es sta\-cio\-n\'a\-rius 
n\"ovekm\'eny\H{u} stabilis folyamatok, amelyekbe ezeket a folyamatokat
be\-\'agyaz\-hat\-juk az el\H{o}z\H{o}ek alapj\'an egyszer\H{u}en
megkonstru\'alhat\'oak. Egyszer\H{u}en olyan korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'ast vagy folyamatot konstru\'alunk, amelyre a $\mu$ vagy $M$
m\'ert\'ek extra homogenit\'asi tulajdons\'aggal rendelkezik.
Nevezetesen, legyen a $\mu$ m\'ert\'eknek
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye, amelyet a
k\"ovetkez\H{o} k\'eplet ad meg: 
$$
\frac {d\mu}{dx}(x)=\cases
C_1x^{-\alpha} &\text{ha } x>0\\
C_2|x|^{-\alpha} &\text{ha } x<0
\endcases
$$
ahol $C_1\ge0$, $C_2\ge0$, $C_1+C_2>0$, $1<\alpha<3$. Az utols\'o
felt\'etel azt biztos\'{\i}tja, hogy  a $\mu$ m\'ert\'ek
teljes\'{\i}ti a $(**)$ felt\'etelt. Ez a $\mu$ m\'ert\'ek
stabilis eloszl\'asokat vagy folyamatokat hat\'aroz meg.

R\'eszletesebb vizsg\'alat megmutatja, hogy a fenti k\'eplet megadja
az \"osszes stabilis eloszl\'ast \'es folyamatot. Tov\'abb\'a, a
korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asok definic\'oj\'aban sze\-rep\-l\H{o}
reg\-u\-la\-ri\-z\'a\-ci\'o ebben a speci\'alis esetben egyszer\H{u}bb
\'es term\'eszetesebb m\'odon elv\'egezhet\H{o}. V\'eg\"ul a
karakterisztikus f\"uggv\'enyeket megad\'o integr\'al ebben az esetben
explicit m\'odon ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\'o. Ennek ellen\'ere sok
vizsg\'alatban c\'elszer\H{u}bb a ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'enyt
az eredeti (nem kiintegr\'alt) form\'aj\'aban haszn\'alni. A
r\'eszleteket itt nem dolgozzuk ki.
 
\beginsection Poissson folyamat egyszer\H{u} konstrukci\'oja.

A Poisson eloszl\'as egyik alapvet\H{o} tulajdons\'aga az, hogy k\'et
f\"uggetlen $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Az al\'abbi lemm\'aban megfogalmazzuk ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak bizonyos \'ertelm\H{u} megford\'{\i}t\'as\'at, amely
lehet\H{o}s\'eget ad arra, hogy Poisson fo\-lya\-ma\-to\-kat \'es
mez\H{o}ket egyszer\H{u}en megkonstru\'aljunk. 

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel esik,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$.  Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor
az $\eta_j$, $j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
\'Erdemes megfogalmazni az el\H{o}z\H{o} lemma al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et:
\medskip\noindent {\bf A lemma k\"ovetkezm\'enye.} {\it
Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'er, \'es
azon egy $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek. Legyen $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda>0$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, V\'a\-lasszunk egym\'ast\'ol \'es
a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul
$x_1,\dots,x_\xi$ pontokat az $X$ t\'eren \'ugy, hogy
$P(x_j\in\A)=\mu(\A)$ minden $\A\in\Cal A$ \'es $j=1,\dots,\xi$-re.
Ekkor tetsz\H{o}leges diszjunkt $\A_1\in \Cal A$,\dots, $\A_k\in \Cal
A$ halmazokra az e halmazokba es\H{o} kiv\'alasztott $x_l$ pontok
sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen, \'es az egyes $\A_j$, 
$j=1,\dots,k$,  halmazokba es\H{o}
pontok sz\'ama $\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
 
Legyen adva egy  $(X,\Cal B)$  m\'erhet\H{o} t\'er \'es rajta egy
$\nu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek. Az el\H{o}z\H{o}
konst\-ruk\-ci\-\'ot felhaszn\'alva konstru\'alhat\'o egy olyan
$x_1,x_2,\dots$ v\'eletlen pontrendszer az $X$ t\'eren, amely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agot: B\'armely
m\'erhet\H{o} v\'eges $\nu$ m\'ert\'ek\H{u} $\A$ halmazba es\H{o}
pontok sz\'ama $\nu(\A)$ m\'ert\'ek\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es diszjunkt, m\'erhet\H{o},
v\'eges m\'ert\'ek\H{u} halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetlen.} 

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Legyen
$\A_{k+1}=X\setminus\bigcup\limits_{j=1}^k\A_j$,
$p_j=\mu_j(\A_j)$, $j=1,\dots,k+1$. Ekkor a Lemma alapj\'an
az egyes $\A_j$ halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen $\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, \'es ez az els\H{o}
bekezd\'esben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as.
 
A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'aban tekints\"uk az $X$
halmaznak egy olyan partici\'oj\'at, amely rendelkezik a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokkal: $X=\bigcup\limits_{j=1}^\infty X_j$, az $X_j$,
$j=1,2,\dots$, halmazok diszjunktak, $\mu(X_j)=\lambda_j<\infty$.
Konstru\'aljunk a k\"ovetkezm\'eny m\'ar bizony\'{\i}tott r\'esz\'enek
felhaszn\'al\'as\'aval mindegyik $X_j$ halmazon egy olyan pontrendszert
(v\'eletlen sz\'am\'u pontot dobva le $\mu(X_j)$ param\'eter\H u
Poisson eloszl\'assal egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy egy
pont egy $\A_j\subset X_j$ halmazba $\frac{\mu(\A_j)}{\mu(X_j)}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel ess\'ek), hogy egy $\A_j\subset X_j$
halmazba es\H{o} pontok sz\'ama legyen $\mu(\A_j)$, param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
diszjunkt halmazokba egym\'ast\'ol f\"uggetlen sz\'am\'u pont ess\'ek.
Legyen a k\"ul\"onb\"oz\H{o} $X_j$ halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama
egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen. Mivel f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege Poisson
eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg param\'etere egyenl\H{o} az
\"osszeadand\'ok param\'eter\'enek az \"osszeg\'evel, ez\'ert az itt
le\'{\i}rt konstrukci\'oban tetsz\H oleges $\mu(\A)<\infty$
m\'ert\'ek\H{u} halmazba $\mu(\A)$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o esik, \'es
diszjunkt halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama egy\-m\'as\-t\'ol
f\"uggetlen. (Vegy\"uk \'eszre, hogy v\'egtelen sok f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege is
Poisson eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg param\'etere megegyezik az
\"osszeadand\'ok pa\-ra\-m\'e\-te\-r\'e\-nek az \"osszeg\'evel,
felt\'eve, hogy ez az \"osszeg v\'eges. Ugyanis ebben az esetben az
\"osszeg 1~val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eggel, ez\'ert eloszl\'asban is
konverg\'al.) 

\medskip
Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'er, \'es jel\"olje $Z$ az $X$
halmaz \"osszes megsz\'aml\'alhat\'o sok $(x_1,x_2,\dots)$, $x_j\in X$,
$j=1,2,\dots$ pontot tartalmaz\'o r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-b\'ol
\'all\'o pontrendszert. Legyen $\Cal F$ az a legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra, amelyet az $z\: z\in Z,
z(\A_1)=k_1,\dots,z(\A_j)=k_j)$ halmazok gener\'alnak, ahol $z(\A)$,
$\A\in \Cal A$, jel\"oli a $z$ pontrendszernek az $\A$ halmazba es\H{o}
pontjainak a sz\'am\'at; $j=1,2,\dots$, tov\'abb\'a $k_l$ nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'am, \'es $\A_l\in \Cal B$, $\mu(\A_l)<\infty$,
minden $1\le l\le j$-re. Egy $(\Omega,\Cal B,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett m\'erhet\H{o}
$\xi:(\Omega, \Cal B)\to(Z,\Cal F)$ lek\'epez\'est az $(X,\Cal A)$
t\'eren \'ertelmezett pontfolyamatnak nevezik. Legyen adva
egy $\mu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Azt
mondjuk, hogy a $\xi$ pontfolyamat Poisson pontfolyamat az $(X,\Cal A)$
t\'eren $\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, ha tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v eg\'esz $k$ sz\'amra \'es diszjunkt $\A_j\in \Cal A$,
$\mu(\A_j)<\infty$, $j=1,\dots,k$, halmazokra az $\A_j$, $j=1,\dots,k$,
halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es az $\A$ halmazba es\H{o}
pontok sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\mu(\A)$ param\'eterrel. Az el\H{o}z\H{o}
k\"ovetkezm\'enyben megmutattuk, hogy tetsz\H{o}leges $(X,\Cal A,\mu)$
m\'erhet\H{o} t\'er eset\'en $\sigma$-additiv $\mu$ m\'ert\'ekkel
konstru\'alhat\'o e t\'eren \'ertelmezett Poisson pontfolyamat $\mu$
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel.
 
%\vfill\eject

\medskip\noindent
{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etel Poisson eloszl\'assal f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"ossze\-gei\-re.}

\medskip\noindent
Bel\'atjuk azt a harmadik oldalon is megfogalmazott
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt, amelyben a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as
Poisson hat\'areloszl\'as\'u. K\'et bizony\'{\i}t\'ast is adunk. Az\'ert
\'erdemes a k\'et megold\'as mindegyik\'et tekinteni, mert ezekben az
\'altal\'anos hat\'areloszl\'ast\'etelek
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}, fontos
m\'odszer\'et alkalmazzuk. Az els\H{o} bizony\'{\i}t\'asban a
karakterisztikus f\"uggv\'enym\'odszert alkalmazzuk.

\medskip
\noindent {\it Els\H{o} bizony\'{\i}t\'as:} \/ Azt mutatjuk meg, hogy
az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztkus
f\"uggv\'eny\'ehez. Egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye $Ee^{it\eta}=\sum\limits_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda+ikt}=\exp\{-\lambda+\lambda e^{it}\}$.
Jel\"olje $\varphi_{k,j}(t)$ a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ekkor az 1.~felt\'etel
alapj\'an
$$
\varphi_{k,j}(t)=P(\xi_{k,j}=0)+P(\xi_{k,j}=1)e^{it}+\e(k,j,t)
=1+\lambda_{k,j}(e^{it}-1)+\bar\e(k,j,t),
$$
ahol $|\e(k,j,t)|\le P(\xi_{k,j}\ge2)$, \'es
$|\bar\e(k,j,t)|\le 2P(\xi_{k,j}\ge2)$. Innen
$$
\align
Ee^{itS_k}&=\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)
=\prod_{j=1}^{n_k}\(1+\lambda_{k,j}(e^{it}-1)+\bar\e(k,j,t)\)\\
&=\prod_{j=1}^{n_k}\exp\left\{\lambda_{k,j}(e^{it}-1)
+O(\lambda_{k,j}^2+\e(k,j,t))\right\}\\
&=\exp\left\{(e^{it}-1)\(\sum_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\)+
O\(\sum_{j=1}^{n_k}\(\lambda_{k,j}^2+\bar\e(k,j,t)\)\)\right\}\to
\exp\{\lambda(e^{it}-1)\},
\endalign
$$
ha $k\to\infty$, mert $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}
=\lambda$, $\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\le\supp_{1\le j\le
n_k}\lambda_{k,j}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$ a
megfogalmazott t\'etel~2. \'es 3.~felt\'etele alapj\'an, tov\'abb\'a
$\summ_{j=1}^{n_k}\bar\e(k,j,t)\le 2\summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge
2)\to0$, ha $k\to\infty$ a 3. felt\'etel alapj\'an. Mivel
$\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}$ egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye, innen k\"ovetkezik a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa. 

\medskip
A m\'asodik bizony\'{\i}t\'as a k\"ovetkez\H{o} Lemm\'an
alapul. Ezt a lemm\'at, illetve ennek egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at bebizony\'{\i}tjuk a III.
r\'esz kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben. 

\medskip\noindent
{\bf Lemma A.} {\it Legyen $S_k$ \'es $\bar S_k$, $k=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyre az $S_k-\bar
S_k$ k\"ul\"onbs\'egek sorozata sztochasztikusan tart null\'ahoz
$k\to\infty$ eset\'eben. Ha az $\bar S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz,
akkor az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata is
konverg\'al az $F$ eloszl\'ashoz.}

\medskip\noindent
{\it M\'asodik bizony\'{\i}t\'as:}\/
Azt fogjuk bel\'atni, hogy minden $k$ konstansra konstru\'alhat\'o
f\"ug\-get\-len, Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\bar\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, sorozata alkalmas
$\bar\lambda_{k,j}$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, amelyre az $\bar S_k=
\summ_{j=1}^{n_k}\bar\xi_{k,j}$ \'es $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
\"osszegek k\"ul\"onbs\'ege $\bar S_k-S_k$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $k\to\infty$, \'es $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
\bar\lambda_{k,j}=\lambda$. Innen k\"ovetkezik a T\'etel
\'all\'{\i}t\'asa. Ugyanis $\bar S_k$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\summ_{j=1}^{n_k}\bar\lambda_{k,j}$ param\'eterrel.
Ez\'ert $\bar S_k$ eloszl\'asban konverg\'al egy $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, \'es a Lemma~A
alkalmazhat\'o.
 
Legyen $\bar\lambda_{k,j}$ a $\lambda_{k,j}=xe^{-x}$ egyenlet egyn\'el
kisebb megold\'asa. Ha $\lambda_{k,j}\le e^{-1}$, akkor ennek az
egyenletnek van megold\'asa, \'es $|\lambda_{k,j}-\bar
\lambda_{k,j}|=\bar \lambda_{k,j}|1-e^{-\bar \lambda_{k,j}}|\le \const
\bar \lambda_{k,j}^2\le \const\lambda_{k,j}^2$, ez\'ert a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k} \lambda_{k,j}=\lambda$
\'es $\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k} \lambda_{k,j}=0$
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy $\limm_{k\to\infty}
\summ_{j=1}^{n_k}\bar\lambda_{k,j}=\lambda$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\bar\lambda_{k,j}=0$. A $\bar
\xi_{k,j}=1$ esem\'eny egyezzen meg a $\xi_{k,j}=1$ esem\'ennyel.
Jegyezz\"uk meg, hogy a $\bar\lambda_{k,j}$ sz\'amot \'ugy
v\'alasztottuk meg, hogy egy $\bar\lambda_{k,j}$ param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u $\bar\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora teljes\"ulj\"on a $P(\bar\xi_{k,j}=1)=\bar\lambda_{k,j}
e^{-\bar\lambda_{k,j}}=P(\xi_{k,j}=1)$ azonoss\'ag.
Defini\'aljuk a $\bar\xi_{k,j}=m$, $m\neq0$, esem\'enyeket
\'ugy, hogy $P(\bar\xi_{k,j}=m)=\frac{\bar\lambda_{k,j}^m}{m!}
e^{-\bar\lambda_{k,j}}$, \'es r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra a
$\bar\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. El\'eg gazdag val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n ilyen konstrukci\'o lehets\'eges. (Egy lehets\'eges
konstrukci\'o: Legyen $\eta_1,\dots,\eta_{n_k}$ olyan f\"uggetlen, a
$[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyek f\"uggetlenek
a $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okt\'ol is. Tekints\"uk minden $1\le j\le n_k$ sz\'amra a
$[0,1]$ intervallum partici\'oj\'at egy $A_0=[0,a_1]$ \
$\frac{e^{-\bar\lambda}}{1-\bar\lambda e^{-\bar\lambda}}$
hossz\'us\'ag\'u \'es tov\'abbi $A_{l,j}=[a_{l,j-1},
a_{l,j})$, $a_{l,j}-a_{l,j-1}=\frac{\bar
\lambda^le^{-\bar\lambda}}{l!(1-\bar\lambda e^{-\bar\lambda})}$
hossz\'us\'ag\'u intervallumokra, $l=2,3\dots$, \'es legyen
$\bar\xi_{j,k}=l$, ($l\neq1$ esetben), ha $\xi_{k,j}\neq1$, \'es
$\eta_j\in A_{l,j}$. Ekkor ugyanis a
$P(\bar\xi_{k,j}=l|\bar\xi_{k,j}\neq1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek az el\'o\'{\i}rt \'ert\'ekeket veszik fel.)
Az a kik\"ot\'es, hogy az a val\'osz\'{\i}n\'egi mez\H{o}, amelyen a
konstrukci\'ot v\'egezz\"uk el\'eg gazdag nem jelent
kellemetlen megszor\'{\i}t\'ast, mert a bizony\'{\i}tand\'o
hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyess\'ege nem f\"ugg annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}nek a tulajdons\'agait\'ol, amelyen
dolgozunk. Bel\'atjuk, hogy az \'{\i}gy konstru\'alt $\bar\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeire igaz, hogy a $\bar
S_{k}-S_{k}$ k\"ul\"onbs\'egek sztochasztikusan tartanak null\'ahoz.
 
Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
$$
P(|S_k-\bar S_k|>\e)\le \summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge2)
+ \summ_{j=1}^{n_k}P(\bar\xi_{k,j}\ge2),
$$
mivel az $S_k-\bar S_k\neq0$ rel\'aci\'o csak \'ugy lehets\'eges, ha
$\xi_{k,j}\ge2$ vagy $\bar\xi_{k,j}\ge2$ valamely $1\le j\le n_k$
indexre. Viszont $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge2)
=0$ a t\'etel felt\'etelei miatt. Tov\'abb\'a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}P(\bar\xi_{k,j}\ge2)=0$, mert
$\summ_{j=1}^{n_k}P(\bar\xi_{k,j}\ge2)\le\const\summ_{j=2}^\infty
\bar\lambda_{k,j}^2$, \'es teljes\"ulnek a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\bar\lambda_{k,j}=\lambda$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\bar\lambda_{k,j}=0$
rel\'aci\'ok. Innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg
\'es a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa.


\vfill\eject

\noindent
{\bf P\'elda olyan nem stabilis eloszl\'asra, amely teljes\'{\i}ti a 
stabilit\'asi felt\'etel egy gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at.} 

\medskip\noindent
Konstru\'alunk olyan $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, 
amely\-nek $F$  eloszl\'asa nem teljes\'{\i}ti a stabilit\'as $(*)$ 
formul\'aban megadott felt\'etel\'et, de teljes\'{\i}ti annak
k\"ovetkez\H{o} gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at. 

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\alpha>\frac12$ sz\'amot. Olyan nem
stabilis $F$  eloszl\'ast konstru\'alunk, amely\-re teljes\"ul az 
$F(2^\alpha (x-A))*F(2^\alpha (x-A))=F(x)$ azonoss\'ag alkalmas 
$A=A(\alpha)$ val\'os sz\'ammal, vagy m\'ask\'eppen megfogalmazva,
ha $S$ egy $F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
\'es $S'$ \'es $S''$ k\'et f\"uggetlen \'es az $S$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval azonos eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$\frac {(S'+A)+(S''+A)}{2^\alpha}\overset\Delta\to=S$, ahol
 $\overset\Delta\to=$ azt jelenti, hogy az azonoss\'ag k\'et 
oldal\'an egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok vannak.

A k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o konstrukci\'oja a k\"ovetkez\H{o}. Legyenek 
$\eta(2^n)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggetlen, Poisson 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu=2^n$ 
param\'eterrel, \'es legyen
$$
S=\sum_{n=-\infty}^0 2^{-n\alpha}\eta(2^n) 
+\sum_{n=1}^\infty 2^{-n\alpha} [\eta(2^n)-E(\eta(2^n)]=S_1+S_2.
$$ 
Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\alpha>1/2$ eset\'en a fenti k\'epletben 
defini\'alt $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ertelmes, 
azaz az \H{o}t defini\'al\'o \"osszeg (egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel)
konverg\'al, \'es ha  ha $S'$ \'es $S''$ k\'et f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es ugyanaz az eloszl\'asuk
mint $S$-nek, akkor 
$\frac {(S'+A)+(S''+A)}{2^\alpha}\overset\Delta\to=S$.

A konvergencia bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, 
hogy $E2^{-n\alpha}[\eta(2^n)-E\eta(2^n)]=0$, \'es
$\text{Var}\,(2^{-n\alpha}[\eta(2^n)-E\eta(2^n)])=2^{-2n\alpha+n}$,
ahonnan 
$\summ_{n=1}^\infty\text{Var}\,( 2^{-n\alpha_n}[\eta(2^n)-E\eta(2^n)])
<\infty$, ha $\alpha>\frac12$. Ez\'ert az $S_2$ kifejez\'est 
defini\'al\'o $\summ_{n=1}^\infty 2^{-n\alpha} [\eta(2^n)-E(\eta(2^n)]$
\"osszeg konvergens. M\'asr\'eszt, $n\le0$
eset\'en $P(\eta(2^n)\neq0)=1-e^{-2^n}\le\const 2^n$. Innen azt  
kapjuk, hogy $\summ_{n=-\infty}^0 P(\eta(2^n)\neq0)\le\const
\summ_{n=0}^\infty 2^{-n}<\infty$. Ez\'ert a Borel--Cantelli
lemma alapj\'an az $S_1$ kifejez\'est defini\'al\'o \"osszeg egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok tagot tartalmaz, 
\'{\i}gy az is konvergens.

Legyenek $\eta'(2^n)$ \'es $\eta''(2^n)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, az 
$\eta(2^n)$-hez hasonl\'oan f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu=2^n$ param\'eterrel, 
\'es defini\'aljuk az $S'$ \'es $S''$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat az $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot 
defini\'al\'o k\'eplethez hasonl\'oan, csak helyettes\'{\i}ts\"uk 
ezekben a definici\'okban az $\eta(2^n)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az $\eta'(2^n)$ 
illetve $\eta''(2^n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal. 
Azt \'all\'{\i}tom, hogy 
$\frac {(S'+A)+(S''+A)}{2^\alpha}\overset\Delta\to=S$. Ennek 
igazol\'asa \'erdek\'ben vegy\"uk \'eszre, hogy minden $n$ 
eg\'esz sz\'amra 
$$
\frac{2^{-\alpha(n-1)}\eta'(2^{n-1})+2^{-\alpha(n-1)}\eta''(2^{n-1})}
{2^{\alpha}}
\overset\Delta\to=2^{-\alpha n}\eta(2^n),
$$ 
\'es
$$ 
\align
&\frac{2^{-\alpha(n-1)}(\eta'(2^{n-1})-E(\eta'(2^{n-1}))
+2^{-\alpha(n-1)}(\eta''(2^{n-1})-E\eta''(2^n))}
{2^{\alpha}} \\
&\qquad\qquad \overset\Delta\to=2^{-\alpha n}(\eta(2^n)-E\eta(2^n)),
\endalign
$$ 
\'es az ezen azonoss\'agokban szerepl\H{o} kifejez\'esek 
k\"ul\"onb\"oz\H{o}  $n$ indexre f\"uggetlen 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Ezeket az azonoss\'agokat \"osszeadva minden $n$-re ($n\le 0$ 
indexekre az els\H{o}, \'es $n\ge1$ indexekre a m\'asodik 
azonoss\'agot vessz\"uk az \"osszegez\'esben) megkapjuk a 
bizony\'{\i}tand\'o azo\-nos\-s\'a\-got. Az alkalmasan 
v\'alasztand\'o $A$ konstans az\'ert szerepel ebben az 
azonoss\'agban, mert $n=0$-ra az $\eta(2^0)=\eta(1)$, 
m\'{\i}g $n=1$-re a normaliz\'alt $\eta(2)-E\eta(2)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot vett\"uk az $S$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot defini\'al\'o 
\"osszegben. 

Megmutatjuk egy a II. r\'eszben bizony\'{\i}tand\'o eredm\'eny 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az el\H{o}bb defini\'alt $S$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nem stabilis eloszl\'as\'u.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $S$ eloszl\'asa korl\'atlanul oszthat\'o, 
\'es ezt az eloszl\'ast olyan $\mu$ m\'ert\'ek defini\'alja,
amely az $y_n=2^{n\alpha}$ pontokba van koncentr\'alva,  
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$,  \'es $\mu(2^{n\alpha})=2^{-n}$. A 
II. r\'eszben be fogjuk l\'atni, hogy egy  korl\'atlanul 
oszthat\'o eloszl\'as egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a 
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et defini\'al\'o $\mu$ 
m\'ert\'eket. Ezen \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
l\'athat\'o, hogy ha $S_1$, $S_2$ \'es $S_3$ f\"uggetlen 
\'es az $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval azonos 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor 
az $\frac{S_1+S_2+S_3-B}{3^\alpha}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et 
meg\-ha\-t\'a\-ro\-z\'o $\bar\mu$ m\'ert\'ek  k\"ul\"onb\"ozik 
a $\mu$ m\'ert\'ekt\H{o}l. Erre a $\bar\mu$ m\'ert\'ekre ugyanis 
$\bar\mu(A)=3\mu(\frac A{3^\alpha})$ minden m\'erhet\H{o} 
$A$ halmazra. Ez\'ert a $\bar\mu$ m\'ert\'ek k\"ul\"onb\"ozik 
a $\mu$ m\'ert\'ekt\H{o}l, s\H{o}t m\'as halmazba van 
koncentr\'alva.

A fenti p\'elda h\'atter\'eben a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel 
van. Egy korl\'atosan oszthat\'o eloszl\'as akkor \'es csak 
akkor stabilis, ha az \H{o}t meghat\'aroz\'o $\mu$ (vagy 
kanonikus $M$) m\'ert\'ek bizonyos homogenit\'asi 
tulajdons\'aggal rendelkezik. Ha ennek a homogenit\'asi 
tulajdons\'agnak csak egy gyeng\'{\i}tett, csup\'an $t=k^n$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, alak\'u param\'eterekre megk\"ovetelt
v\'altozata igaz, ahol $k$ egy r\"ogz\'{\i}tett eg\'esz sz\'am,
akkor teljes\"ulhet a stabilit\'ast kifejez\H{o} $(*)$
tulajdons\'ag egy gyeng\'{\i}tett v\'altozata, de a tekintett 
eloszl\'as nem stabilis.

\bye
 
 
 
