\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=2pt plus 1.7pt

\centerline{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'eny becsl\'ese cenzor\'alt minta
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
\centerline{\it A j\'o becsl\'es megtal\'al\'asa.}

\medskip\noindent
Az empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny becsl\'ese cenzor\'alt minta
alapj\'an a k\"ovetkez\H{o} fel\-ada\-tot jelenti. 

Legyen $X_1,\dots,X_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata $F$ eloszl\'assal,  
$Z_1,\dots,Z_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata $G$ eloszl\'assal, 
\'es legyen az  $X_1,\dots,X_n$ \'es $Z_1,\dots,Z_n$ sorozat 
egym\'ast\'ol f\"uggetlen. 

Nem ismerj\"uk sem az $F$ sem a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt.
Az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt k\'{\i}\-v\'an\-juk megbecs\"ulni, 
de csak az $Y_i=\min(X_i,Z_i)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, \'es a $\delta_i=I(X_i\le Z_i)$ esem\'enyeket,
$1\le i\le n$,  tudjuk megfigyelni, azaz azt, hogy a megfigyelt
$Y_i$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $X_i$-vel 
vagy $Z_i$-vel egyenl\H{o}-e.

Kaplan \'es Meyer a k\"ovetkez\H{o} becsl\'est javasolta az
$S(u)=1-F(u)$ f\"uggv\'enyre:
$$
1-F_n(u)=S_n(u)=\left\{
\alignedat2
&\prod_{i=1}^n\left(\frac{N(Y_i)}{N(Y_i)+1}\right)^{I(Y_i\leq u,
\delta_i=1)} && \text{ ha }u\leq\max(Y_1,\dots,Y_n)\\
&0&& \text{ ha } u\geq\max(Y_1,\dots,Y_n),\;\bar\delta_n =1,\\
&\text{nem defini\'alt} &&\text{ ha }u\geq\max(Y_1,\dots,Y_n),
\;\bar\delta_n=0, 
\endalignedat\right. 
$$
ahol
$$
N(t)=\#\{Y_i,\;\;Y_i>t,\;1\le i \le n\}=\sum_{i=1}^n I(Y_i>t),
$$
\'es $\bar\delta_n=\bar\delta_{i(n)}$, ahol az $i(n)$ indexet
az $Y_{i(n)}=\max\limits_{1\le i\le n}Y_i$ k\'eplet defini\'alja.
Az \"ures szorzat \'ert\'ek\'et (azaz az $S_n(u)$ kifejez\'es 
\'ert\'ek\'et abban az esetben, ha nincs az 
$Y_i\leq u,\;\delta_i=1$ felt\'etelt kiel\'eg\'{\i}t\H{o} 
mintaelem) 1-nek defini\'aljuk.

Azt k\'{\i}v\'anjuk megmutatni, hogy ez a becsl\'es maximum likelihood
tipus\'u becsl\'es a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. Becs\"ulj\"uk meg
az $(F,G)$ eloszl\'asp\'art a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Legyenek $x_1,\dots,x_k$, $x_1<x_2<\dots<x_k$, azon  $Y_i$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekei, amelyek
valamelyik $X_i$ v\'altoz\'oval egyenl\H{o}ek, azaz minden $x_s$, 
$1\le s\le k$, ponthoz l\'etezik olyan $i$ index, amelyre $X_i=x_s$,
\'es $\delta_i=1$, \'es legyenek $z_1,\dots,z_l$, $z_1<z_2<\dots<z_l$, 
azon  $Y_i$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekei, 
amelyek olyan $Y_i$ v\'altoz\'ok \'ert\'ekei, amelyekre
$Y_i=Z_i$, azaz $\delta_i=0$. Feltessz\"uk, hogy
mind az $F$ mind a $G$ eloszl\'as atommentes, ez\'ert nem jelenik
meg ugyanaz a mintaelem k\'etszer. Ha $x_k>y_l$, akkor bevezet\"unk
egy `fikt\'{\i}v' $y_{l+1}>x_k$, ha $y_l>x_k$ akkor bevezet\"unk egy
`fikt\'{\i}v' $x_{k+1}>y_l$ elemet. Ennek \'ert\'ek\'et tetsz\H{o}legesen
v\'alasztjuk. Vegy\"uk az \"osszes olyan $(F,G)$ eloszl\'asp\'art, 
amelyre $F$ az $x_i$, $1\le i\le k$, (vagy $1\le i\le k+1$), $G$ 
a $z_j$, $1\le j\le l$, vagy ($1\le j\le l+1$) pontokba van 
koncentr\'alva. Sz\'amoljuk ki, hogy ezen eloszl\'asp\'arok 
k\"oz\"ul melyikre lesz a legnagyobb annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy az \'altalunk megfigyelt sorozat jelenik meg. Azt \'all\'{\i}tom,
hogy ez a feladat megoldhat\'o, \'es a megold\'as az $F$ eloszl\'asra 
a Kaplan \'es Meyer \'altal javasolt k\'epletet adja. A $G$ eloszl\'asra 
egy hasonl\'o k\'epletet kapunk, de azt nem \'{\i}rom fel. A fikt\'{\i}v
$x_{k+1}$ vagy $z_{l+1}$ \'ert\'eket az\'ert vezett\"uk be, mert ha
$x_k$ a legnagyobb megfigyelt \'ert\'ek, akkor $Z_1$ pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel felvesz enn\'el nagyobb \'ert\'ekeket is,
\'es hasonl\'o argumentum \'erv\'enyes akkor, ha $y_l$ a legnagyobb
megfigyelt \'ert\'ek.

Legyen $p_i=P(X_1=x_i)$, $q_j=P(Z_1=z_j)$, \'es sz\'amoljuk ki annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy ilyen eloszl\'as eset\'en
az \'altalunk bevezetett esem\'eny k\"ovetkezik be. Vezess\"uk be
a $P_i=p_i+\cdots+p_k$, $1\le i\le k$, sz\'amokat,  ha nincs 
$x_{k+1}$ elem, \'es a $P_i=p_i+\cdots+p_{k+1}$, $1\le i\le k+1$, 
sz\'amokat, ha van $x_{k+1}$ elem. Hasonl\'oan, legyen
$Q_j=q_j+\cdots+q_l$, $1\le j\le l$,  ha nincs $z_{l+1}$ elem, \'es
a $Q_j=q_j+\cdots+q_{l+1}$, $1\le j\le l+1$,  ha van $z_{l+1}$
elem. Teljes\"ul a $P_1=Q_1=1$ azonoss\'ag. 
\'Irjuk fel a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.

Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy m\'er\'esnek 
$x_i$ az eredm\'enye $p_i Q_{r(i)}$, $1\le i\le k$, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $z_j$-vel egyenl\H{o} 
$q_j P_{s(j)}$, $1\le j\le l$, ahol az $r(i)$ \'es $s(j)$
indexeket a $z_{r(i)-1}<x_j<z_{r(i)}$ \'es $x_{s(j)-1}<z_j<x_{s(j)}$
k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. (Bevezetj\"uk az $x_0=z_0=-\infty$
konvenci\'ot.) Ennek alapj\'an a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
P=P(p_,p_2,\dots,q_1,q_2,\dots)
=\prod_{i=1}^k p_iQ_{r(i)}\cdot \prod_{j=1}^l q_jP_{s(j)}.
$$
V\'egezz\"uk el a $p_i=P_i-P_{i+1}$, $1\le i\le k$, \'es $q_j=Q_j-Q_{j+1}$,
$1\le j\le l$, helyettes\'{\i}t\'eseket a fenti k\'epletben, ($P_{k+1}=0$,
ha nem l\'etezik $x_{k+1}$, \'es $Q_{l+1}=0$, ha nem \'etezik
$z_{l+1}$ elem), \'es rendezz\"uk \'at a fenti egyenlet jobboldal\'at,
mint k\'et olyan kifejez\'es szorzat\'at, amelyek k\"oz\"ul az 
els\H{o} kifejez\'es egy olyan szorzat, amelyben csak $P_i$-t\H{o}l
f\"ugg\H{o}, a m\'asodik kifejez\'es olyan szorzat, amelyben csak 
$Q_j$-t\H{o}l f\"ugg\H{o} tagok vannak. Vezess\"uk be a 
k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket: $\alpha(i)$ a $z_j$ pontok sz\'ama 
az $(x_i,x_{i+1})$ intervallumban, $\beta(j)$ az $x_i$ pontok 
sz\'ama a $(z_j,z_{j+1})$ intervallumban. Ezzel a jel\"ol\'essel azt 
kapjuk, hogy
$$
P=I_1\cdot I_2,
$$
ahol
$$
I_1=\prod_{i=1}^{k-1}(P_i-P_{i+1})P_{i+1}^{\alpha(i)}\cdot P_k
=\prod_{i=1}^{k-2}(P_i-P_{i+1})P_{i+1}^{\alpha(i)}
\cdot(P_{k-1}-P_k)P_k^{(\alpha(k-1)+1)},
$$
ha $x_{k+1}$ nem l\'etezik, \'es
$$
I_1=\prod_{i=1}^k(P_i-P_{i+1})P_{i+1}^{\alpha(i)},
$$
ha $x_{k+1}$ l\'etezik. Hasonl\'oan
$$
I_2=\prod_{j=1}^{l-2}(Q_j-Q_{j+1})Q_{j+1}^{\beta(j)}
\cdot(Q_{l-1}-Q_l) Q_l^{(\beta(l)+1)},
$$
ha $z_{l+1}$ nem l\'etezik, \'es
$$
I_2=\prod_{j=1}^l(Q_j-Q_{j+1})Q_{j+1}^{\beta(j)},
$$
ha $z_{l+1}$ l\'etezik. 


Ennek alapj\'an a keresett becsl\'es megtal\'al\'as\'anak
\'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} sz\'els\H{o}\'ert\'ek 
feladatot kell megoldanunk. Tal\'aljuk, meg milyen 
$(P_1,\dots,P_k)$ (vagy $(P_1,\dots,P_{k+1})$) vektorra
veszi fel az $I_1$ kifejez\'es a maximum\'at az
$1=P_1\ge P_2\ge\cdots\ge P_k\ge0$ (illetve
$1=P_1\ge P_2\ge\cdots\ge P_{k+1}\ge0$) felt\'etel mellett.

A feladat megold\'as\'aban a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at fogjuk haszn\'alni.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it A $(P-x)x^{\alpha}$, $0\le x\le P$, $\alpha\ge1$, 
kifejez\'es az $x=\frac\alpha{\alpha+1}P$ pontban veszi fel a 
maximum\'at, \'es ott \'ert\'eke $\frac1{\alpha+1}P^{\alpha+1}$.} 

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A $(P-x)x^\alpha$ f\"uggv\'eny deriv\'altja
$\alpha(P-x)x^{\alpha-1}-x^\alpha=x^{\alpha-1}[\alpha(P-x)-x]$. Ez 
az $x_0=\frac\alpha{\alpha+1}$ pontban egyenl\H{o} null\'aval. Az $x_0$
pont a f\"uggv\'eny maximumhelye, \'es a f\"uggv\'eny \'ert\'eke 
ebben a pontban $\frac1{\alpha+1}P^{\alpha+1}$.

\medskip
Sz\'amoljuk ki $I_1$ maximum\'anak az \'ert\'ek\'et el\H{o}sz\"or abban 
az esetben, ha $x_{k+1}$ nem l\'etezik. Ha a $P_1,\dots,P_{k-1}$ pontokat
r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es keress\"uk azt a $P_k$ sz\'amot, amelyre $I_1$
\'ert\'eke maxim\'alis, azt kapjuk (a lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy
$P_k=\frac{\alpha(k-1)+1}{\alpha(k-1)+2}P_{k-1}$, \'es
$$
I_1=\text{const.}  
\prod_{i=1}^{k-2}(P_i-P_{i+1})P_{i+1}^{\alpha(i)}
\cdot P_{k-1}^{\alpha(k-2)+\alpha(k-1)+2}
$$
egy olyan konstanssal, amely csak az $\alpha(\cdot)$ sz\'amokt\'ol
f\"ugg, de nem f\"ugg a $P_i$ sz\'amok v\'alaszt\'as\'at\'ol. Ezut\'an
a $P_{k-1}$ \'ert\'ek\'et v\'alasztjuk meg r\"ogz\'{\i}tett $P_i$,
$1\le i\le k-2$ \'ert\'ekek mellett \'ugy, hogy $I_1$ \'ert\'eke
maxim\'alis legyen. Azt kapjuk (a lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy
$P_{k-1}=\frac{\alpha(k-2)+\alpha(k-1)+2}{\alpha(k-2)+\alpha(k-1)+3}P_{k-2}$, 
\'es
$$
I_1=\text{const.}  
\prod_{i=1}^{k-3}(P_i-P_{i+1})P_{i+1}^{\alpha(i)}
\cdot P_{k-2}^{\alpha(k-3)+\alpha(k-2)+\alpha(k-1)+3}.
$$
Indukci\'oval kapjuk, hogy tetsz\H{o}leges $i$ indexre $2\le i\le k$,
az $I_1$ maximum\'at ny\'ujt\'o vektor $P_i$ koordin\'at\'aj\'anak a 
v\'alaszt\'asa a k\"ovetkez\H{o}.
$$
P_i=\frac{\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k-1)+k+1-i}
{\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k-1)+k+2-i}P_{i-1},
$$ 
\'es
$$
I_1=\text{const.}  
\prod_{s=1}^{k-i-1}(P_s-P_{s+1})P_{s+1}^{\alpha(s)}
\cdot P_{i-1}^{\alpha(i-2)+\cdots+\alpha(k-1)+k-i+2}.
$$

Vegy\"uk \'eszre,  hogy
$$
\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k-1)+k+1-i=N(x_{i-1})
$$
(azzal az $N(\cdot)$ kifejez\'essel, amelyik az $1-F_n(u)$ 
becsl\H{o}f\"uggv\'eny definici\'oj\'aban szerepel), mert 
$\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k-1)$ darab $x_{i-1}$-n\'el nagyobb
$z_j$ \'es $k+1-i$ darab $x_{i-1}$-n\'el nagyobb $x_{i'}$ sz\'am
van. Ez\'ert a sz\'els\H{o}\'ert\'ek feladatot megold\'o $P_i$
sz\'amokra fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\frac{P_i}{P_{i-1}}=\frac{N(x_{i-1})}{N(x_{i-1})+1}, \quad 2\le i\le k.
\tag$*$
$$
M\'asr\'eszt $P_1=1$. Innen azt kapjuk, hogy
$$
P_i=\prod_{s=2}^i\frac{N(x_{s-1})}{N(x_{s-1})+1}, \quad 2\le i\le k.
$$
Ez tekinthet\H{o} \'ugy, mint a Kaplan \'es Meyer \'altal javasolt
becsl\'es fel\'{\i}r\'asa m\'as alakban, mert $S_n(u)=1-F_n(u)=P_i$,
ha $x_{i-1}\le u<x_i$. (Itt megint az $x_0=-\infty$ konvenci\'ot 
haszn\'aljuk.) 

Az az eset, amikor l\'etezik $x_{k+1}$ pont hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. 
De ilyenkor l\'etezik a $P_{k+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, \'es
az $\alpha(k)\ge1$ sz\'am is. Az el\H{o}z\H{o} esethez hasonl\'oan
sz\'amolva azt kapjuk, hogy $P_{k+1}=\frac{\alpha(k)}{\alpha(k)+1}P_k$,
\'es az $I_1$ kifejez\'es is kisz\'amolhat\'o ezzel a $P_{k+1}$
v\'alaszt\'assal. Ezut\'an indukci\'oval kisz\'am\'{\i}tjuk a
$P_{k-s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek optim\'alis 
v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'at \'es a hoz\-z\'a\-juk tartoz\'o 
$I_1$ kifejez\'es \'ert\'ek\'et. Azt kapjuk, hogy
$$
P_i=\frac{\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k)+k+1-i}
{\alpha(i-1)+\cdots+\alpha(k)+k+2-i}P_{i-1},
$$ 
minden $2\le i\le k$ indexre, (\'es az $I_1$ kifejez\'esre is 
fel\'{\i}rhatunk az el\H{o}z\H{o} esethez hasonl\'o formul\'at). 
Ez\'ert a $(*)$ formula ekkor is \'erv\'enyes. K\"ovetkez\'esk\'epp 
most is a Kaplan \'es Meyer \'altal javasolt formul\'at kapjuk, 
mint az itt tekintett maximumhely keres\'ese feladat megold\'as\'at.


\bye
