Empirikus eloszlásfüggvény approximációja

E feladatsorban normalizált empirikus eloszlásfüggvény Brown bridge folyamattal való approximációjával foglalkozunk. Részletesebben megfogalmazva a következő problémát vizsgáljuk:

Legyen B(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, egy Brown bridge egy (Ω, B, P) valószínűségi mezőn, azaz legyen B(t) egy Gausss folyamat EB(t) = 0 várható értékkel és EB(s)B(t) = min(s, t) − st, 0 ≤ s, t ≤ 1, kovarianciafüggvénnyel. Feltesszük továbbá azt is, hogy a B(t, ω) Brown bridge B(·, ω) trajektóriái a [0, 1] intervallumon folytonos függvények minden ω ∈ Ω elemi eseményre. A valószínűségszámítás klasszikus eredméyei szerint valóban létezik a fenti tulajdonságokat kielégítő Brown bridge.

Legyen P_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású mintához tartozó empirikus eloszlásfüggvény, azaz legyen ζ_{1}, …, ζ_{n} független, a [0, 1] interval-

lumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók sorozata, P_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} I(\{ζ_{j} ≤ t\}),

0 ≤ t ≤ 1, ahol I(A) az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli. Legyen

Z_{n}(t) = \sqrt{n}[P_{n}(t) − t] , 0 ≤ t ≤ 1 .

a P_{n}(t) folyamat standardizáltja. Ekkor a Z_{n}(t) és B(t), 0 ≤ t ≤ 1, folyamatok kovarianciafüggvénye megegyezik. Be akarjuk látni, hogy a két folyamat egymáshoz közel tehető alkalmas konstrukcióval. Pontosabban megfogalmazva:

Approximációs tétel. Legyen adva egy B(t) Brown bridge egy elég gazdag (Ω, B, P) valószínűségi mezőn. (Elég feltételezni azt, hogy ezen a valószínűségi mezőn megadható η_{k}, k = 1, 2, …, független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóknak olyan sorozata, amely független a B(t) Brown bridge-től.) Ekkor minden n = 2, 3, … számra konstruálható független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóknak olyan ζ_{1}, …, ζ_{n} sorozata, amelyre igaz, hogy a belőle elkészített

P_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} I(\{ζ_{n} ≤ t\}) empirikus eloszlásfüggvény, illetve annak Z_{n}(t) = \sqrt{n}[P_{n}(t)−

t], 0 ≤ t ≤ 1, standardizáltja teljesíti a

P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤1} |Z_{n}(t) − B(t)| > C_{1} log n + x) ≤ C_{2}e^{−λx}

relációt minden x > 0 számra alkalmas (n-től független) univerzális C_{1} > 0, C_{2} > 0 és λ > 0 konstansokkal.

A tételt kielégítő konstrukció elkészítésénél közvetlenül a P_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvényt konstruáljuk meg mint egy rögzített Brown bridge alkalmas transzformáltját úgy, hogy annak véges dimenziós eloszlásai az előírtak legyenek, és e folyamat Z_{n}(t) standardizáltja közel legyen ehhez a B(t) Brown bridge-hez. A módszer a kvantilis transzformáció módszerének adaptálása illetve alkalmas általánosítása az adott probléma vizsgálatában. Az okoz nehézséget, hogy jelen esetben a Brown bridge illetve a konstruált empirikus eloszlásfüggvény többdimenziós eloszlásai is előírtak, míg a kvantilis transzformáció csak előírt egydimenziós eloszlású valószínűségi változók konstrukciójával foglalkozik. Ezen a nehézségen a következő módon segíthetünk. A Brown bridge-t rögzítjük és a (standardizált) Z_{n}(t) empirikus folyamat értékeit a [0, 1] intervallum egyre újabb és újabb t értékeire definiáljuk, mint ennek a Brown bridge-nek alkalmas transzformáltját. Az l-edik lépésben a Z_{n}(t) folyamat értékeit a t = j2^{−l}, j = 0, 1, …, 2^{l}, diadikus pontokban definiáljuk. Ennek során arra kell ügyelnünk, hogy az újonnan konstruálandó valószínűségi változók feltételes eloszlásai feltéve a már megkonstruált valószínűségi változók értékeit előírtak. Az adott problémában a vizsgálandó feltételes eloszlások jól kezelhetőek, és a módszer alaposabb kidolgozásával megkapjuk a kívánt eredményt. Ez a konstrukció azért működik jól, mert a Z_{n}(t) folyamat értékeit a t_{k,l} = k2^{−l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, pontok mindegyikében már az l-edik lépésben megkonstruáljuk. Ha a Z_{n}(t) − B(t) folyamat értékeinek szuprémuma a már megkonstruált pontokban mindegyik lépésben keveset nő, akkor ez biztosítja, hogy a megkonstruált standardizált empirikus folyamat és a Brown bridge közel lesznek egymáshoz. A becslések részletes kidolgozásával azt tudjuk biztosítani, hogy durván szólva ez a különbség minden lépésben csak konstanssal nőjön. Így olyan konstrukciót kapunk, amelyben a Z_{n}(t) és B(t) folyamatok különbségének a szuprémuma majdnem egy valószínűséggel kisebb, mint const. log n. Érdemes megjegyezni, hogy ez az állítás éles, azaz a két folyamat különbsége tetszőleges konstrukció esetén majdnem egy valószínűséggel nagyobb, mint const. log n alkalmas pozitív konstanssal. Az utóbbi állítást lényegesen könnyebb bizonyítani, mint az ebben a feladatsorban tárgyalt eredményt, és ezt egy ennek a feladatsornak az eredményéhez kapcsolódó feladatsorban meg is fogjuk tenni.

Ahhoz, hogy a kvantilis transzformáció módszert jól tudjuk alkalmazni az approximációs tétel bizonyításánál felmerülő problémákban Z_{n}(t_{2})−Z_{n}(t_{1}) alakú valószínűségi változók (alkalmas feltételek melletti) feltételes eloszlásait leíró határeloszlástételre van szükségünk pontos aszimptotikával. Sőt, ahhoz, hogy jó becslést kapjunk, nem elég egy szokásos értelemben vett határeloszás tétel, hanem nagy eltérés tételre van szükségünk, azaz olyan eredményre, amely jó becslést ad az eloszlásfüggvény nem tipikus értékeire is. Megfogalmazzuk a nagy eltérés elmélet egyik klasszikus eredményét abban a speciális esetben, amelyikben szükségünk lesz rá. Ezután két olyan feladatot tárgyalunk ennek segítségével, melyek alkalmas becslést adnak a számunkra szükséges kvantilis transzformációval elvégzett approximációk jóságára.

Az alábbiakban a következő jelöléseket használjuk. Legyen φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} a standard normális sűrűségfüggvény, és Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} φ(x) dx a standard normális eloszlásfüggvény. Szükségünk lesz a következő eredményre.

Tétel. Jelölje F_{n}(x) az n elemű p = \frac{1}{2} paraméterű B (n, \frac{1}{2}) binomiális eloszlás stan-

dardizáltját, azaz legyen F_{n}(x) = P (2\frac{η_{1} + ⋯ + η_{n} − \frac{n}{2}}{\sqrt{n}} < x), ahol η_{1}, …, η_{n} független

valószínűségi változók, és P (η_{j} = 1) = P (η_{j} = 0) = \frac{1}{2}, j = 1, …, n. Akkor léteznek olyan univerzális, (n-től független) K > 0, A > 0 konstansok, melyekkel az F_{n}(x) eloszlásfüggvényre az alábbi becslések érvényesek az |x| ≤ A\sqrt{n} intervallumban:

(1 − Φ(x)) exp \{−\frac{K(x^{3} + 1)}{\sqrt{n}}\} ≤ 1 − F_{n}(x) ≤ (1 − Φ(x)) exp \{\frac{K(x^{3} + 1)}{\sqrt{n}}\}

Φ(−x) exp \{−\frac{K(x^{3} + 1)}{\sqrt{n}}\} ≤ F_{n}(−x) ≤ Φ(−x) exp \{\frac{K(x^{3} + 1)}{\sqrt{n}}\} ,
ha 0 ≤ x ≤ A\sqrt{n}.

(A tétel állítása igaz tetszőleges A < \frac{1}{2} és alkalmas K = K(A) konstansokkal, de erre az élesebb eredményre nem lesz szükségunk.)

Megjegyezzük, hogy a fent kimondott tétel egy általánosabb eredmény speciális esete. Egy B(n, \frac{1}{2}) eloszlású valószínűségi változó eloszlása, mint azt a tétel kimondásában megjegyeztük, felírható mint n független egyforma eloszlású B(1, \frac{1}{2}) eloszlású valószínűségi változó összegének az eloszlása. A nagy eltérések általános elméletéből következik, hogy független egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizált részletösszegére a tételben kimondott becslés érvényes, feltéve, hogy az összeadandóknak létezik momentum-generáló függvénye, azaz ezek F (x) eloszlásfüggvénye teljesíti az ∫ e^{tx}F ( dx) < ∞ feltételt, ha |t| < a alkalmas a > 0 számmal. Ez az eredmény és ennek bizonyítása a Nagy eltérések elmélete I. feladatsor 22. feladatában is megtalálható.

Feladatok 1.) Léteznek olyan C_{1} > 0 és C_{2} > 0 számok, melyekre

C_{1}(x + 2) < \frac{φ(x)}{1 − Φ(x)} < C_{2}(x + 2), ha x ≥ −1
C_{1}(x + 2) < \frac{φ(−x)}{Φ(−x)} < C_{2}(x + 2), ha x ≥ −1.

b.) Léteznek olyan C_{1} > 0 és C_{2} > 0 számok, melyekre tetszőleges x > 0 és |h| < x + 1 számokra

e^{−C_{1}h(x+2)} < \frac{1 − Φ(x + h)}{1 − Φ(x)} < e^{−C_{2}h(x+2)}, ha x ≥ 0, és h > 0,
e^{C_{2}h(x+2)} < \frac{Φ(−x + h)}{Φ(−x)} < e^{C_{1}h(x+2)}, ha x ≥ 0 és h > 0,

és (külön tárgyalva a h > 0 és h < 0 eseteket)

e^{C_{1}|h|(x+2)} < \frac{1 − Φ(x + h)}{1 − Φ(x)} < e^{C_{2}|h|(x+2)}, ha x ≥ 0, és h < 0,
e^{−C_{2}|h|(x+2)} < \frac{Φ(−x + h)}{Φ(−x)} < e^{−C_{1}|h|(x+2)}, ha x ≥ 0 és h < 0.

Legyen η standard normális eloszlású valószínűségi változó, F (x) tetszőleges eloszlásfüggvény. Ismert, (lásd például a Valószínűségi mértékek és valószínűségi változók közelségének kapcsolata feladatsor 7. feladatát), hogy a ξ = F^{−1}(Φ(η)) valószínűségi változó, ahol F^{−1}(x) = sup{u: F (u) < x}, F (x) eloszlású. (Ez a kvantilis transzformáció.) A következő feladatban az η és az így konstuált ξ valószínűségi változók távolságára adunk becslést, ha a ξ valószínűségi változó F (x) = F_{n}(x) eloszlásfüggvénye n elemű p = \frac{1}{2} binomomiális eloszlású valószínűségi változó normalizáltjának az eloszlásfüggvénye, illetve kissé általánosabban, ha olyan eloszlásfüggvényt tekintünk,

ahol a \frac{\sqrt{n}}{2} szórás helyett \frac{\sqrt{m}}{2} számmal osztunk a normalizálás alkalmazásakor, ahol m és n egymáshoz közeli számok.

2.) Legyen F_{m,n}(x) egy olyan ξ_{m,n} = \frac{2}{\sqrt{m}} (ξ̄_{n} − \frac{n}{2}) valószínűségi változó eloszlása,

melynek definiciójában egy B(n, \frac{1}{2}) paraméterű binomiális eloszlású ξ̄_{n} valószínűségi változó szerepel. Azaz legyenek χ_{k}, k = 1, …, n, P (χ_{k} = 0) = (χ_{k} = 1) = \frac{1}{2},

független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, és ξ̄_{n} = ∑_{k=1}^{n} χ_{k}. Tegyük fel,

hogy |n−m| ≤ Bn valamilyen elég kis B > 0 számmal. Legyen η standard normális eloszlású valószínűségi változó, és definiáljuk az ξ_{m,n} = F_{m,n}^{−1}(Φ(η)) F_{m,n} eloszlású valószínűségi változót. Megadható egy n_{0} = n_{0}(B) küszöbindex, és léteznek olyan A > 0, K > 0 konstansok, melyekre igaz, hogy minden n > n_{0} számra

|ξ_{m,n} − η| < K \frac{1 + η^{2} + \frac{(m−n)^{2}}{n}}{\sqrt{n}} az \{|η| ≤ A\sqrt{n}\} halmazon.

Megadjuk az Approximációs Tételt kielégítő konstrukció rövid informális leírását. Rögzítjük a B(t) Brown bridge-t, és a P_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvényt, illetve annak Z_{n}(t) = \sqrt{n}(P_{n}(t) − t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizáltját rekurziv módon konstruáljuk. A

konstrukció l-edik lépése után a Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ), k = 0, 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók már

meg vannak konstruálva, és az l + 1-ik lépésben megkonstruáljuk a Z_{n} (\frac{2k + 1}{2^{l+1}}), k =

0, 1, …, 2^{l} − 1, valószínűségi változókat. Ezeknek a valószínűségi változóknak a konstrukciójában figyelembe kell vennünk azt, hogy a Z(t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizált empirikus eloszlásfüggvény meghatározza ezeknek a valószínűségi változóknak az (együttes)

feltételes eloszlását azon feltétel mellett, hogy a már megkonstruált Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ), k =

0, 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók értékei előírtak. Kényelmesebb közvetlenül nem a

Z_{n} (\frac{2k + 1}{2^{l+1}}) valószínűségi változókat, hanem a

Z_{n} (\frac{2k + 1}{2^{l+1}}) − Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ) vagy Z_{n} (\frac{k + 1}{2^{l}}) − Z_{n} (\frac{2k + 1}{2^{l+1}})

különbségeket megkonstruálni. Ennek érdekében meg kell határozni ezen különbségek együttes feltételes eloszlását. Ezenkívül meghatározzuk a Brown bridge megváltozását

leíró B (\frac{2k + 1}{2^{l+1}}) − B (\frac{k}{2^{l}} ) vagy B (\frac{k + 1}{2^{l}}) − B (\frac{2k + 1}{2^{l+1}}) különbségek együttes fel-

tételes eloszlását is, feltéve a folyamat B (\frac{k}{2^{l}} ), k = 1, …, 2^{l}, értékeit. Látni fogjuk,

hogy egyrészt az empirikus folyamat illetve a Brown bridge speciális (Markov) tulajdonságai miatt a vizsgált véletlen vektorok feltételesen függetlenek az adott feltételek mellett. Ezenkívül az egydimenziós feltételes eloszlások explicit módon megadhatóak mind az empirikus folyamat mind a Brown bridge esetében. Meg fogjuk konstruálni a standardizált empirikus eloszlásfüggvény fent jelzett megváltozásait a Brown bridge megfelelő megváltozásainak transzformáltjaként a (feltételes) kvantilis transzformáció segítségével. (A feltételes jelző arra utal, hogy az előírt feltételes eloszlásokkal fogunk dolgozni. Ennek a megjegyzésnek a pontosabb értelme a részletek kidolgozása után világosabb lesz.)

Látni fogjuk, hogy olyan (feltételes) eloszlások jelennek meg, melyeknek aszimptotikáját a feladatsor elején kimondott tétel jól leírja. Ezért a 2. feladat eredménye a továbbiakban jól használható lesz. Megjegyezzük, hogy a kvantilis transzformációt közvetlenül nem az alábbi különbségekre fogjuk alkalmazni, hanem a különbségekből kivonjuk azok alkalmas feltételek szerinti feltételes várható értékét. Ilyen módon a kvantilis transzformációt két olyan valószínűségi változó között alkalmazzuk, melyeknek a várható értéke megegyezik, de szórásuk kissé eltérhet. A feltételes eloszlások megjelenése az oka annak, hogy a második feladatban binomiális eloszlású valószínűségi változók nem feltétlenül természetes normalizáltjait is érdemes volt tekinteni. A konstrukcióban megjelenő feltételes várható értékek egyszerűek, ezért jó felső korlátot tudunk adni a

Z_{n} (\frac{k + 1}{2^{l}}) − B (\frac{k + 1}{2^{l}}) , k = 0, 1, …, 2^{l},

változók abszolút értékének a szuprémumára is, ha a fenti konstrukciót alkalmazzuk. Az így kapott korlát önmagában még nem elegendő a számunkra, de ez olyan kifejezés, melyet a valószínűségszámítás klasszikus módszerei segítségével jól tudunk vizsgálni.

A fent vázolt program kidolgozása lesz az approximációs tétel bizonyításának a fő része. Ahhoz, hogy ezt végrehajthassuk érdemes bevezetni néhány jelölést.

Legyen adva egy Z_{n}(t) standardizált empirikus folyamat vagy egy B(t) Brown bridge. Definiálunk e folyamatok t, 0 ≤ t ≤ 1, paraméterének “szukcessziv felezésével” és alkalmas normalizással bizonyos valószínűségi vektorokat. A következő 3.) és 4.) feladatokban megfogalmazzuk ezeknek a véletlen vektoroknak számunkra legfontosabb tulajdonságait. Ezek sugallják a Z_{n}(t) folyamat természetes definicióját.

Legyen

U_{k,l} = 2^{(l+1)/2} [B (\frac{k}{2^{l}} ) − B (\frac{k − 1}{2^{l}})] , k = 1, 2, …, 2^{l}, l = 0, 1, 2, … (1a)

V_{k,l}(n) = 2^{(l+1)/2} [Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ) − Z_{n} (\frac{k − 1}{2^{l}})] , k = 1, 2, …, 2^{l}, l = 0, 1, 2, …,(1b)

azaz a Z_{n}(t) és B(t) folyamatoknak a diadikus k2^{−l} alakú pontok közötti megváltozásainak alkalmas normalizáltja. Vezessük be az

F_{l} = B {U_{k,l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}} , l = 1, 2, …

és

G_{l} = G_{l}(n) = B {V_{k,l}(n), 1 ≤ k ≤ 2^{l}} , l = 1, 2, …  (2)

σ-algebrákat. Definiáljuk továbbá az

\begin{aligned}U_{l} & = \{U_{k,l}, k = 1, …, 2^{l}\}, l = 1, 2, … \\ V_{l}(n) & = \{V_{k,l}(n), k = 1, …, 2^{l}\}, l = 1, 2, … \end{aligned}  (3)

és az

\begin{matrix}Ū_{l+1} = \{Ū_{1,l+1}, …, Ū_{2^{l+1},l+1}\}, V̄_{l+1}(n) = \{V̄_{1,l+1}(n), …, V̄_{2^{l+1},l+1}(n)\}, \\ Ū_{k,l+1} = U_{k,l+1} − E(U_{k,l+1}|F_{l}), V̄_{k,l+1}(n) = V_{k,l+1}(n) − E(V_{k,l+1}(n)|G_{l}(n)) \\ 1 ≤ k ≤ 2^{l+1} \end{matrix} (4)

valószínűségi vektorokat, l = 0, 1, 2, . . ..

A fenti definiciókban szereplő 2^{(l+1)/2} normálás helyett mást is választhattunk volna. Ez a normálás azért természetes, mert mint a következő feladatok mutatják, ezzel a normálással Ū_{k,l} és V̄_{k,l}(n) valószínűségi változók feltételes várható értéke 0 és feltételes szórása majdnem 1, feltéve a számunkra érdekes feltételeket.

3.) Használjuk az előző jelöléseket. Vegyük először észre azt, hogy az G_{l}(n) σ-algebra a következő B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomokból áll.

B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) = \{ω: V_{k,l}(n)(ω) = \frac{2^{(l+1)/2}}{\sqrt{n}} [m_{k} − n2^{−l}], k = 1, …, 2^{l}\} ,

ahol m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, nem negatív egész számok, és ∑_{k=1}^{2^{l}} m_{k} = n. (Az m_{k} szám meg-

egyezik a Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvényt meghatározó ζ_{1}, …, ζ_{n} minta [(k − 1)2^{−l}, k2^{−l}] intervallumba eső pontjainak számával.) Az

{E (V_{l+1}(n)|G_{l}(n)) , k = 1, …, 2^{l+1}} = {Ṽ_{k,l+1}(n), k = 1, …, 2^{l+1}}

reláció érvényes, ahol Ṽ_{2k−1,l+1}(n) = Ṽ_{2k,l+1}(n) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n), k = 1, …, 2^{l}. Ezért

V̄_{2k−1,l+1}(n) = −V̄_{2k,l+1}(n) = V_{2k−1,l+1}(n) − \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n).

A (4) formulában definiált V̄_{l+1}(n) valószínűségi vektor feltételes eloszlása a G_{l}(n) σ-algebra szerint a σ-algebra B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomján megegyezik egy

X = {X_{k}, k = 1, …, 2^{l+1}} = {X_{k}(m_{1}, …, m_{2^{l}}), k = 1, …, 2^{l+1}}

valószínűségi vektor eloszlásával, ahol X_{2k−1} = −X_{2k}, k = 1, 2, …, 2^{l}, és az X_{2k−1}, k = 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók függetlenek. Továbbá X_{2k−1} eloszlása meg-

egyezik egy (\frac{2^{l+2}}{n} )^{1/2} (X̄_{2k−1} − EX̄_{2k−1}) valószínűségi változó eloszlásával, ahol

X̄_{2k−1} B(m_{k}, \frac{1}{2}) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, azaz

P (X̄_{2k−1} = j) = \binom{m_{k}}{j}2^{−m_{k}}, j = 0, 1, …, m_{k} .

4.) Az előző jelöléseket használva

{E(U_{k,l+1}|F_{l}), k = 1, …, 2^{l}} = {Ũ_{k,l+1}, k = 1, …, 2^{l+1}},

ahol Ũ_{2k−1,l+1} = Ũ_{2k,l+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, k = 1, …, 2^{l}. Ezért Ū_{2k−1,l+1} = −Ū_{2k,l+1} =

U_{2k−1,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}.

A (4) formulában definiált Ū_{l+1} valószínűségi vektor független az F_{l} σ-algebrától. Eloszlása megegyezik egy Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{2^{l+1}} véletlen vektor eloszlásával, ahol Y_{2k−1} = −Y_{2k}, k = 1, …, 2^{l}, és Y_{2k−1}, k = 1, …, 2^{l}, független, standard normális eloszlású valószínűségi változók.

Érdemes megjegyezni, hogy a (4) formulában definiált Ū_{k,l+1} valószínűségi változók eloszlása (és speciálisan szórása) nem függ a F_{l} σ-algebrától. Ez azzal függ össze, hogy a 4.) feladatban Gauss eloszlású valószínűségi vektorokat tekintettünk, és ilyen esetben bizonyos koordinátáknak a feltételes eloszlása, feltéve a többi valószínűségi változó értékeit normális eloszlás, amelyiknek kovariancia mátrixa nem függ a feltételben szereplő valószínűségi változók értékeitől. A 3. feladatban tekintett valószínűségi változók feltételes eloszlása és szórása függ a feltételben szereplő változók értékeitől, de ez a függés gyenge. A fenti megjegyzést közvetlenül nem fogjuk használni a továbbiakban, de talán jobban megvilágítja bizonyos összefüggések hátterét.

Megadjuk a Z(t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizált empirikus eloszlásfüggvény konstrukciójának pontos leírását. Legyen Z_{n}(0) = Z_{n}(1) = 0, és definiáljuk l szerinti

rekurzióval a Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ), k = 0, 1, …, 2^{l}, valószínűségi változókat. Ha a konstrukció

l-edik lépését már megtettük, azaz a Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ), k = 0, 1, …, 2^{l}, valószínűségi változókat

már definiáltuk, akkor tekintsük az m_{k} = m_{k}(l) = \sqrt{n} (Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ) − Z_{n} (\frac{k − 1}{2^{l}})) + \frac{n}{2^{l}}, k = 1, …, 2^{l}, véletlen számokat. Az m_{k} mennyiség azt adja meg, hogy a a Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlányfüggvényt definiáló ζ_{1}, …, ζ_{n} független a [0, 1) intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók közül hány esik a [(k −1)2^{−l}, k2^{−l}] intervallumba. Azt fogjuk felhasználni, hogy előírt m_{k} = m_{k}(l), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, számok esetén a [(2k − 2)2^{−l−1}, (2k − 1)2^{−l−1}] intervallumba eső pontok száma binomiális B(m_{k}, \frac{1}{2}) eloszlású valószínűségi változó m_{k} és \frac{1}{2} paraméterekkel, továbbá, ezek a valószínűségi változók különböző k indexekre feltételesen függetlenek, feltéve az m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, értékeket. A konstrukcióban ezeket a valószínűségi változókat, illetve jobb kezelhetőség érdekében ezek lineáris alkalmas transzformáltjait definiáljuk olyan normális eloszlású valószínűségi változók kvantilis transzformációja segítségével, amelyeket az adott B(t) Brown bridge felhasználásával definiálunk természetes módon. Ezeknek a változóknak

a segítségével ki tudjuk fejezni a Z_{n} (\frac{2k − 1}{2^{l+1}}). k = 1, …, l, valószínűségi változókat,

és így végre tudjuk hajtani a rekurzió l + 1-ik lépését.

Konkrétabban, képletekkel leírva, a következő konstrukciót csináljuk: Jelölje F̄_{m}(x) egy binomiális B(m, \frac{1}{2}) eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét m és \frac{1}{2} para-

méterekkel, és legyen F_{m_{k},l}(x) = F_{m_{k},l,n}(x) = F̄_{m_{k}} (\frac{\sqrt{n}x}{2^{(l+2)/2}} + \frac{m_{k}}{2} ) a fent definiált

m_{k} = m_{k}(l) számmal, azaz F_{m_{k},l}(x) a F̄_{m_{k}}(x) eloszlás “majdnem standardizáltja”. Az F_{m_{k},l}(x) eloszlásfüggvény ugyanis egy B(m_{k}, \frac{1}{2}) eloszlású valószínűségi változó olyan transzformáltjának az eloszlásfüggvénye, amelyikben a változóból kivontuk a várható értékét, de a valódi \frac{1}{2} \sqrt{m_{k}} szórás helyett a \frac{\sqrt{n}}{2·2^{l/2}} számmal osztottunk. Legyen

V̄_{2k−1,l+1}(n) = F_{m_{k},l}^{−1} (Φ(Ū_{2k−1,l+1})) , k = 1, …, 2^{l},  (5a)

ahol F^{−1}(x) = sup{u: F (u) < x}. Ez azt jelenti, hogy a V̄_{2k−1,l+1}(n) valószínűségi változó a standard normális eloszlású Ū_{2k−1,l+1} valószínűségi változó kvantilis transzformáltja. Az ebben a kvantilis transzformációban szereplő F_{m_{k},l}(x) eloszlásfüggvényt úgy definiáltuk, ahogy azt az (1)—(4) formulában definiált V̄_{2k−1,l+1}(n) valószínűségi változónak a 3. feladatban leírt (feltételes) eloszlása sugallja. Megjegyezzük, hogy a V̄_{2k−1,l+1}(n) valószínűségi változó definiciójával közvetett módon azt adtuk meg, hogy ha a majdan megkonstruálandó ζ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók közül m_{k} veszi fel értékét a [(k − 1)2^{−l}, k2^{−l}] intervallumban, akkor hány ζ_{j} esik a [(k − 1)2^{−l}, (2k − 1)2^{−l−1}] intervallumba.

Legyen továbbá

V_{2k−1,l+1}(n) = V̄_{2k−1,l+1}(n) + \frac{V_{k−1,l}(n)}{\sqrt{2}}  (5b)
(= V̄_{2k−1,l+1}(n) + E (V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n))) , k = 1, …, 2^{l},

és

Z_{n} (\frac{2k − 1}{2^{(l+1)}}) = Z_{n} (\frac{2k − 2}{2^{(l+1)}}) + 2^{−(l+2)/2}V_{2k−1,l+1}(n), k = 1, …, 2^{l}. (5c)

Ezeknek a valószínűségi változóknak a definiciójában igyekeztünk azt is elérni, hogy az (1)—(4) formula ezekre a valószínűségi változókra érvényesek legyenek. Ez az elv sugallja V_{2k,l+1}(n) és V̄_{2k,l+1}(n) valószínűségi változók definióját is. Nevezetesen, legyen

V_{2k,l+1}(n) = \sqrt{2}V_{k,l}(n) − V_{2k−1,l+1}(n)  (5d)

és

V̄_{2k,l+1}(n) = −V̄_{2k−1,l+1}(n),  (5e)

mert az (1)—(4) formulák és a 3. feladat eredménye ezt sugallják. A következő 5a és 5b feladatokban befejezzük a konstrukció leírását, és belátjuk, hogy ilyen módon valóban egy standardizált empirikus eloszlásfüggvényt konstruáltunk.

5a.) Rögzítsünk egy L > 0 számot, és konstruáljuk meg a Z_{n}(k2^{−l}), V_{k,l}(n) és V̄_{k,l}(n) valószínűségi változokat, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, a fent leírt módon minden l = 1, 2, …, L számra. Az így definiált Z_{n}(k2^{−L}), 1 ≤ k ≤ 2^{L}, valószínűségi vektor eloszlása megegyezik egy normalizált empirikus eloszlásfüggvény koordinátáinak az együttes eloszlásával a t = k2^{−L}, k = 1, …, 2^{L} pontokban. A megkonstruált V_{k,l}(n) és V̄_{k,l}(n) véletlen vektorok és Z_{n}(t) folyamat (pontosabban annak megszorítása a k2^{−L} alakú pontokba) teljesítik az (1)—(4) relációkat, pontosabban teljesítik az (1b) formulát l ≤ L és a (4) formula V változókra vonatkozó részét az l ≤ L − 1 indexekre. Továbbá teljesül a G_{l}(n) ⊂ F_{l} a reláció is minden l ≤ L számra.

5b.) Tekintsük az előbb konstruált Z_{n}(k2^{−L}), 0 ≤ k ≤ 2^{L}, valószínűségi változókat, (Z_{n}(0) ≡ 0), és legyen m_{k} = \sqrt{n} (Z_{n}(k2^{−L}) − Z_{n}((k − 1)2^{−L}))+n2^{−L}, 1 ≤ k ≤ 2^{L}. Konstruáljunk minden k = 1, …, 2^{L} számra egy független, a [(k − 1)2^{−L}, k2^{−L}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változókból álló ζ_{1}^{(k)}, …, ζ_{m_{k}}^{(k)} m_{k} elemű sorozatot, amelyek különböző k-ra függetlenek. Tekintsük ezeknek a véletlen sorozatoknak az egyesítését, és az így kapott n elemű véletlen sorozat elemeit rakjuk nagyság szerinti sorrendbe. Az így kapott 0 ≤ ζ_{1}^{∗} ≤ ζ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} egy független és a [0, 1] intervallumban független eloszlású egyenletes eloszlású valószínűségi változókból elkészített rendezett minta eloszlása. Azaz ha az {1, …, n} halmaz (π(1), …, π(n)) permutációi közül kiválasztjuk az egyiket véletlenül és a 0 ≤ ζ_{1}^{∗} ≤ ζ_{2}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} sorozattól függetlenül \frac{1}{n!} valószínűséggel, akkor a (ζ_{1}, …, ζ_{n}) = (ζ_{π(1)}^{∗}, …, ζ_{π(n)}^{∗}) vektor koordinátái független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók. A ζ_{1}, …, ζ_{n} valószínűségi változókból elkészített normalizált empirikus eloszlásfüggvény a t = k2^{−L}, 0 ≤ k ≤ 2^{L}, pontokban megegyezik a konstrukciójukban felhasznált Z_{n}(k2^{−L}), 1 ≤ k ≤ 2^{L}, valószínűségi változókkal.

Be akarjuk látni, hogy a kiinduló B(t) Brown bridge és az 5a—5b feladatban konstruált független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású ζ_{1}, …, ζ_{n} valószínűségi változókból készített Z_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizált empirikus eloszlásfüggvény teljesíti az approximációs tétel állítását, ha a konstrukcióban elvégett felezések számát, az L = L(n) számot elég nagynak választjuk. Például L(n) = n alkalmas választás.

Feltesszük továbbá, hogy n ≥ n_{0} valamely elég nagy fix n_{0} számra. A tétel bizonyításának érdekében becsülni fogjuk minden x > C_{0} log n, alkalmas C_{0} > 0, l = l(x) és minden 1 ≤ k ≤ 2^{l} számra a

P ( sup_{1≤k≤2^{l}} \sqrt{n}|Z_{n}(k2^{−l}) − B(k2^{−l})| > \frac{x}{2})  (6a)

P (\sqrt{n} sup_{(k−1)2^{−l}≤t≤k2^{−l}} |Z_{n}(t) − Z_{n} (\frac{k − 1}{2^{l}})| > \frac{x}{4})  (6b)

és

P (\sqrt{n} sup_{(k−1)2^{−l}≤t≤k2^{−l}} |B(t) − B (\frac{k − 1}{2^{l}})| > \frac{x}{4})  (6c)

valószínűségeket. A legnehezebb és legfontosabb az (6a) kifejezés jó becslése. Megjegyezzük, hogy csak ez függ a konstrukciótól. Az (6a) kifejezés becslésének érdekében bizonyítsunk be először egy állítást, amely a 2. feladat eredményének és a konstrukció szerkezetének a következménye.

6.) Legyenek az U_{k,l}, V_{k,l}(n) Ū_{k,l} és V̄_{k,l}(n) az (1)—(4) formulák által definiált valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy l ≤ L, ahol L a Z_{n}(t) normalizált empirikus folyamat konstrukciójában szereplő paraméter, “a felezések száma”. Mutassuk meg, hogy léteznek olyan K > 0 és A > 0 konstansok, hogy tetszőleges 1 ≤ k ≤ 2^{l}-re teljesülnek az

\begin{aligned}2^{−(l+2)/2}|Ū_{2k−1,l+1} − V̄_{2k−1,l+1}(n)| & = 2^{−(l+2)/2}|Ū_{2k,l+1} − V̄_{2k,l+1}(n)| \\ & < \frac{K}{\sqrt{n}}(Ū_{2k−1,l+1}^{2} + V_{k,l}^{2}(n) + 1) \\ & = \frac{K}{\sqrt{n}}(Ū_{2k,l+1}^{2} + V_{k,l}^{2}(n) + 1), \end{aligned}  (7a)

és

\begin{aligned}max & (2^{−(l+2)/2} |U_{2k−1,l+1} − V_{2k−1,l+1}(n)| , 2^{−(l+2)/2} |U_{2k,l+1} − V_{2k,l+1}(n)|) \\ & < \frac{K}{\sqrt{n}}(Ū_{2k−1,l+1}^{2} + V_{k,l}^{2}(n) + 1) + \frac{2^{−(l+1)/2}}{2} |U_{k,l} − V_{k,l}(n)| \\ & = \frac{K}{\sqrt{n}}(Ū_{2k,l+1}^{2} + V_{k,l}^{2}(n) + 1) + \frac{2^{−(l+1)/2}}{2} |U_{k,l} − V_{k,l}(n)| \end{aligned} (7b)

egyenlőtlenségek, ha |Ū_{2k−1,l+1}| < A\sqrt{n}2^{−l/2} és |V_{k,l}(n)| < A\sqrt{n}2^{−l/2}.

A 6. feladat eredménye jó becslést ad a konstrukcióban használt kvantilis transzformáció jóságára. Jegyezzük meg, hogy a becslés jobb oldalán szereplő (Ū_{2k,l+1}^{2}+V_{k,l}^{2}(n)+ 1) kifejezés eloszlása jól becsülhető, és a végtelenben exponenciálisan lecsengő korlátot lehet adni annak a valószínűségére, hogy ez a kifejezés nagyobb mint valamilyen x > 0 szám. A 6. feladatban megfogalmazott egyenlőtlenségek hasznosabbak számunkra, mint egy éles becslés a benne baloldalon szereplő kifejezések eloszlásfüggvényeire. A minket érdeklő Z_{n}(k2^{−l})−B(k2^{−l}) alakú különbségekre ugyanis olyan kifejezések lineáris kombinációjának a segítségével tudunk jó felső korlátot adni, mint amilyenek a 6. feladat becsléseinek jobb oldalán szerepelnek. Egy ilyen lineáris kombinációra, és ezáltal az approximációs tételben vizsgált kifejezésre is jobb becslést kapunk, ha az egyes tagok eloszlására ismert korlátokon kívül kihasználjuk a lineáris kombinációban szereplő tagok statisztikai tulajdonságaiból adódó kiejtéseket is.

A további vizsgálatok érdekében bevezetjük egy diadikus tört rangjának a definicióját. Azt mondjuk, hogy a t = k2^{−l}, 0 ≤ t ≤ 1, szám diadikus rangja l, ha k páratlan szám. Tekintsünk egy t = k2^{−l} számot, amelynek a diadikus rangja l. Ekkor létezik I_{j}, 0 ≤ j ≤ l intervallumoknak olyan sorozata, amelyre I_{0} = [0, 1], I_{0} ⊃ I_{1} ⊃ ⋯ ⊃ I_{l} ∋ t, és I_{j} = [u_{j}, v_{j}] = [u_{j}(t), v_{j}(t)] = [k_{j}(t)2^{−j}, (k_{j}(t) + 1)2^{−j}], ahol k_{j}(t) egész szám, azaz I_{j} 2^{−j} hosszúságú intervallum, és ezek végpontjai olyan diadikus racionális számok, amelyek diadikus rangja nem nagyobb, mint j. Valóban, legyen I_{0} = [0, 1], I_{1} a [0, \frac{1}{2}] és [\frac{1}{2}, 1] intervallumok közül az, amelyik tartalmazza a t pontot, és ha I_{j} = [u_{j}, u_{j} + 2^{−j}] már definiálva van j < l-re, akkor legyen I_{j+1} az [u_{j}, u_{j} +2^{−j−1}] és [u_{j} +2^{−j−1}, u_{j} +2^{−j}] intervallumok közül az, amelyik tartalmazza a t pontot. Ez a definició j + 1 < l-re egyértelmű, j + 1 = l-re mind a két intervallumot tekinthetnénk. Kényelmi szempontok miatt az I_{l} intervallumot az I_{l} = [t, t + 2^{−l}] képlettel definiáljuk. Először azt mutatjuk meg, hogy a Z_{n}(t) és B(t) valószínűségi változók kifejezhetőek a fent konstruált I_{j} intervallumokhoz tartozó V_{k,j}(n) illetve U_{k,j} valószínűségi változók alkalmas lineáris kombinációjával.

7.) Legyen t = k2^{−l} olyan diadikus racionális szám, amelynek diadikus rangja l. Legyenek I_{j} = I_{j}(t) = [u_{j}, v_{j}], 0 ≤ j ≤ l, a fent definiált intervallumok, és definiáljuk az ε(j) = ε(j, t), 1 ≤ j ≤ l, mennyiségeket az ε(j) = 0, ha u_{j−1} = u_{j}, és ε(j) = 1, ha u_{j} > u_{j−1}, 1 ≤ j ≤ l, formulával. Vezessük be a k_{j} = u_{j}2^{j}, 0 ≤ j ≤ l, jelölést. Legyenek továbbá U_{k,l}, V_{k,l}(n) és Ū_{k,l}, V̄_{k,l}(n) az (1)—(4) formulákban definiált valószínűségi változók. Ekkor

\begin{aligned}Z_{n}(t) = Z_{n} (k2^{−l}) & = ∑_{j=1}^{l} ε(j)2^{−(j+1)/2} (\sqrt{2}V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) − V_{k_{j}+1,j}(n)) \\ B(t) = B (k2^{−l}) & = ∑_{j=1}^{l} ε(j)2^{−(j+1)/2} (\sqrt{2}U_{k_{j−1}+1,j−1} − U_{k_{j}+1,j}) . \end{aligned} (8a)

Továbbá,

\begin{matrix}2^{−(j+1)/2} |V_{k_{j}+1,j}(n) − U_{k_{j}+1,j}| \\ ≤ \frac{K}{\sqrt{n}} (∑_{s=0}^{j−1} 2^{−s} (Ū_{k_{j−s}+1,j−s}^{2} + V_{k_{j−s−1}+1,j−s−1}^{2}(n) + 1)) , \end{matrix}  (8b)

és

\begin{matrix}\sqrt{n}|Z_{n}(t) − B(t)| = \sqrt{n} |Z_{n}(k2^{−l}) − B(k(2^{−l})| \\ ≤ 4K (∑_{j=1}^{l} (Ū_{k_{j}+1,j}^{2} + V_{k_{j−1}+1,j−1}^{2}(n) + 1)) \end{matrix}  (8c)

a

B = B(t) = B(k2^{−l})

= ⋂_{j=1}^{l} (\{ω: |Ū_{2k_{j−1}+1,j}(ω)| < \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}}\} ∩ \{ω: |V_{k_{j−1}+1,j−1}(n)(ω)| < \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}}\})

halmazon, ahol K > 0 és A > 0 megegyezik a 6. feladatban szereplő K és A konstansokkal.

A (6a) formulában szereplő kifejezésre a következő becslést fogjuk bizonyítani.

P ( sup_{1≤k≤2^{n}} \sqrt{n} |Z_{n} (k2^{−l}) − B (k2^{−l})| > \frac{x}{2}) < e^{−Dx}
alkalmas D > 0 számmal, ha C_{0} log n ≤ x ≤ C^{−1}n és 2^{−l} ≥ Cxn^{−1},

(9)

ahol C_{0} > 0 és C > 0 elég nagy pozítiv számok, n ≥ n_{0}, és n_{0} = n_{0}(C_{0}, C) alkalmas küszöbindex.

A (9) becslésben szereplő x > C_{0} log n megszorítás nem okoz problémát az Approximációs Tétel bizonyításában, mert az ott bizonyítandó egyenlőtlenség csak x ≥ const. log n esetében tartalmaz bizonyítandó állítást. Az x ≤ C^{−1}n feltétel sem jelent komoly megszorítást, mert x ≥ C^{−1}n esetében, mint azt látni fogjuk, az Approximációs Tételben szereplő egyenlőtlenség könnyen bizonyítható. Az l = l(x) számra előírt 2^{−l} ≤ Cxn^{−1} egyenlőtlenség azt biztosítja, hogy a (9) formulában szereplő becslés elég egy elég sűrű t_{k} = k2^{−l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, halmazon érvényes. Ezt az l = l(x) számot igyekeztünk minél jobban megválasztani. A (9) formulában megadott becslés és a (6b) és (6c) formulában definiált események jó becslése szolgáltatják az Approximációs Tétel bizonyítását.

A (9) formulát a (8c) képlet és a következő 8.–12. feladatok eredményei segítségével fogjuk belátni. Ezeknek a feladatokonak a feltételei között megjelennek az x és l számokra a (9) formulában előírt feltételek.

8.) A (8c) egyenlőtlenségben szereplő Ū_{2k_{j−1}+1,j}, 1 ≤ j ≤ l, és a Ū_{1,j}, 1 ≤ j ≤ l, illetve a V_{k_{j−1}+1,j−1}(n), 1 ≤ j ≤ l, és V_{1,j−1}(n), 1 ≤ j ≤ l, valószínűségi változók sorozatának az eloszlása megegyezik. Továbbá az Ū_{1,j}, 1 ≤ j ≤ l, valószínűségi változók függetlenek és standard normális eloszlásúak.

Legyen C_{0} log n ≤ x ≤ C^{−1}n és 2^{−l} ≥ C \frac{x}{n} valamilyen elég nagy C_{0} > 0 és C > 0 számmal. Ekkor a 7. feladatban szereplő B halmaz valószínűsége teljesíti az 1 − P (B) ≤ e^{−D_{1}x} egyenlőtlenséget alkalmas D_{1} = D_{1}(C) > 0 számmal. Ha az előbb tekintett C > 0 szám elég nagy, és n ≥ n_{0}, ahol n_{0} alkalmas küszöbindex, akkor

P (18K ∑_{j=1}^{l} Ū_{1,j}^{2} > x) ≤ e^{−D_{2}x}

alkalmas D_{2} > 0 számmal. (Itt K ugyanaz a konstans, mint amelyik 6. és 7. feladatban szerepel.)

Megjegyezzük, hogy a utolsó becslés a benne szereplő konstansoktól eltekintve éles. Ugyanis akár az összeg egyetlen tagja is, lévén standard normális eloszlású valószínűségi változó négyzete, több mint e^{−const. x} valószínűséggel vesz fel x-nél nagyobb értéket. Ez azt jelenti, hogy a kitevőben szereplő konstansttól eltekintve ugyanolyan jó becslést tudunk adni annak valószínűségére, hogy a vizsgált l tagú összeg nagyobb, mint x, mint annak a valószínűségére, hogy az összeg egyetlen tagja nagyobb ennél a korlátnál. Ez olyan tagszámú összegekre igaz, amelyek várható értéke kisebb, mint αx valamilyen 0 ≤ α < 1 számmal.

A (9) formula bizonyításának érdekében meg fogjuk mutatni, hogy

\begin{aligned}P & (18K ∑_{j=1}^{l} V_{k_{j−1}+1,j−1}(n)^{2} > x) = P (18K ∑_{j=1}^{l} V_{1,j−1}(n)^{2} > x) \\ & = P (18K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Z_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) ≤ e^{−D_{3}x} \end{aligned}  (10)

alkalmas D_{3} > 0 számmal, ha C_{0} log n ≤ x ≤ C^{−1}n és 2^{−l} ≥ Cxn^{−1} alkalmas C_{0} > 0 és C > 0 konstansokkal. (A (10) formulában szereplő első két azonosság egyrészt a 8. feladat eredményéből másrészt a V_{1,j} változók definiciójából következik.) Először tekintsük a következő feladatot.

9.) Bizonyítsuk be a 7.) és 8.) feladat eredménye valamint a (10) becslés segítségével a (9) formulát.

Megjegyezzük, hogy a (10) képlet hasonló a 8. feladat utolsó becsléséhez. Továbbá, a Z_{n}(t) standardizált empirikus folyamat hasonlóan viselkedik, mint a B(t) Brown bridge, és nem nehéz a (10) formula olyan analogonját bebizonyítani, amelyikben a V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) valószínűségi változókat az U_{k_{j−1}+1,j−1} változókkal helyettesítjük. Ezért természetes azt várni, hogy a (10) becslés érvényes. A becslés bizonyításában az a technikai nehézség merül fel, hogy a Z_{n}(t) normalizált empirikus folyamat nem független növekményű, és a valószínűségszámítás klasszikus módszerei elsősorban független folyamatok becslésére alkalmasak. Ezt a nehézséget egy szintén klasszikus módszerrel, a Poisson approximációval győzhetjük le.

Először megmutatjuk, hogyan lehet egyszerűsíteni a (10) formula bizonyítását Poisson approximáció segítségével. Legyen ζ_{n}, n = 1, 2, …, független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók sorozata, és κ_{n} n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, amely független a ζ_{n}, n = 1, 2, …, sorozattól. Definiáljuk a

Z_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} (∑_{k=1}^{n} I(\{ζ_{k} ≤ t\}) − nt)  (11a)

X_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} (∑_{k=1}^{κ_{n}} I(\{ζ_{k} ≤ t\}) − nt)  (11b)

és

Y_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{k=n}^{κ_{n}} I(\{ζ_{k} ≤ t\}), 0 ≤ t ≤ 1,  (11c)

sztochasztikus folyamatokat, ahol I(A) az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli, és κ_{n} <

n esetén az Y_{n}(t) összegben szereplő összeg úgy értendő, hogy ∑_{k=n}^{κ_{n}} = − ∑_{k=κ_{n}}^{n}. Ekkor

Z_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy standardizált empirikus eloszlásfüggvény, és Z_{n}(t) = X_{n}(t)−Y_{n}(t). Ezért nem nehéz belátni, hogy

\begin{aligned}P (18K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Z_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) & ≤ P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) \\ & + P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) . \end{aligned} (12)

A (12) egyenlőtlenség bizonyítása része lesz a 10. és 11. feladatoknak. A (12) egyenlőtlenség jobb oldalának második tagját azért lesz egyszerű becsülni, mert az Y_{n}(t) folyamatot definiáló összeg viszonylag kevés |κ_{n} − n| tagból áll, ezért durva becsléseket is alkalmazhatunk. Ezt a kifejezést az alább megfogalmazandó 10. és 11. feladatok eredményeinek a segítségével fogjuk megbecsülni. Az első tag becslését az könnyíti meg, hogy az X_{n}(t) folyamat standardizált Poisson folyamat n paraméterrel, azaz tetszőleges 0 ≤ t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 számokra az X_{n}(t_{j}) − X_{n}(t_{j−1}), 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változók függetlenek, és a \sqrt{n} (X_{n}(t_{j}) − X_{n}(t_{j−1})) + n(t_{j} − t_{j−1}) valószínűségi változó Poisson eloszlású n(t_{j} − t_{j−1}) paraméterrel. Az, hogy a fenti módon konstruált X_{n}(t) folyamat n paraméterű Poisson folyamat a valószínűségszámítás egyik jól ismert eredménye. Egyébként ennek az állításnak a bizonyítása megtalálható a Poisson folyamatok feladatsor 2. feladatának megoldásában is.

10.) Bizonyítsuk be a (12) formulát. Továbbá mutassuk meg, hogy ha κ_{n} n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, y ≤ B_{1}\sqrt{n} valamilyen B_{1} > 0 számmal, akkor létezik olyan B_{2} = B_{2}(B_{1}) > 0 szám, amelyre P (|κ_{n} − n| ≥ y) ≤ e^{−B_{2}y^{2}/n}. Rögzítsünk valamilyen x > 0 valós és l pozitív egész számokat. Legyen ζ_{k}, k = 1, 2, …, független, a [0, 1] intervallumban egyeneletes eloszlású valószínűségi változók egy sorozata, és definiájuk az

Ȳ_{n,m}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{k=1}^{m} I(\{ζ_{k} ≤ t\}), m = 0, 1, 2, …

és

ξ_{k} = ξ_{k,l} = ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2}I (ζ_{k} < \frac{1}{2^{j−1}} ) , k = 1, 2, …,

valószínűségi változókat. Ekkor tetszőleges B > 0 számra

P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) ≤ P (|κ_{n} − n| > B\sqrt{nx})

+ P (\sqrt{72K} ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2}Ȳ_{n,B\sqrt{nx}} (\frac{1}{2^{j−1}} ) > \sqrt{x})  (13)

= P (|κ_{n} − n| > B\sqrt{nx}) + P (\begin{matrix}√ & \overline{72K} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} ∑_{k=1}^{B\sqrt{nx}} ξ_{k} > \sqrt{x}) .

A ξ_{k} = ξ_{k,l}, k = 1, 2, …, valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak.

A végtelenben exponenciálisan csökkenő becslést akarunk kapni a (12) formula jobboldalának második tagjára. Ehhez elég a 10. feladat becslésének jobboldalán szereplő valószínűségre jó felső korlátot adni. Itt azt kell becsülni, hogy független valószínűségi változók összege nagyobb mint egy adott korlát. A valószínűségszámításnak egyszerű, standard módszerei vannak ilyen problémák vizsgálatára, és ezek jelen esetben is alkalmazhatóak.

Ha azt akarjuk belátni, hogy annak valószínűsége, hogy egy S valószínűségi változó valamilyen A értéknél nagyobb számot vesz fel kisebb, mint e^{−const. x} gyakran hasznos a következő érvelés. P (S > A) = P (\frac{x}{A}S > x) ≤ e^{−x}E exp\{\frac{x}{A}S\}. Ha meg tudjuk mutatni, hogy E exp\{\frac{x}{A}S\} ≤ e^{αx} valamilyen α < 1 számmal, akkor kívánt alalú becslést kapunk. A következő feladatban azt akarjuk belátni, hogy ez a módszer a minket érdeklő kifejezés becslésében is jó eredményt ad.

11.) Használjuk az előző feladatban bevezett fogalmakat és jelöléseket. Tegyük fel, hogy az ott tekintett x > 0 valós és l számok teljesítik a C_{0} log n < x < C^{−1}n és a 2^{−l} > Cxn^{−1} egyenlőtlenségeket valamilyen C > 0 és C_{1} > 0 számokkal. Lássuk be, hogy ebben az esetben létezik olyan K̄ = K̄(C) > 0 konstans, hogy minden elég nagy n-re

E exp \begin{cases}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{cases}ξ_{k}\} ≤ 1 + \begin{matrix}K̄ & \sqrt{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}.

Lássuk be ennek az egyenlőtlenségnek és a 10. feladat eredményének felhasználásával (a B > 0 konstanst elég kicsinek választva), hogy a fenti feltételeket kielégítő x és L számokra teljesül a

P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) < e^{−D_{4}x}  (14)

egyenlőtlenség alkalmas D_{4} > 0 konstanssal minden elég nagy n-re.

Jó becslést akarunk adni a (12) formula jobboldalán szereplő első összeg eloszlására is. Bár az X_{n}(t) standardizált Poisson folyamat független növekményű, a kifejezésben szereplő X_{n} (2^{−j−1})^{2} valószínűségi változók nem függetlenek, mert e tagok az X_{n}(t) folyamat [0, 2^{−j−1}] nem diszjunkt intervallumokba eső megváltozásainak a függvényei. Ezen a kényelmetlenségen azonban könnyen segíthetünk, ha az X_{n} (2^{−j−1})^{2} valószínűségi változót felírjuk, mint az X_{n}(t) folyamatnak alkalmas intervallumokon vett megváltozásainak az összegét, alkalmazzuk a Cauchy–Schwarz egyenlőtlenséget, és az így kapott egyenlőtlenségeket összegezzük. Felírhatjuk, hogy

2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} = 2^{j}(∑_{k=j}^{l} 2^{−(k−j)/4} · 2^{(k−j)/4} [X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} )]

+ 2^{−(l−j)/4} · 2^{(l−j)/4}X_{n} (\frac{1}{2^{l}} ))^{2}  (15)

≤ 2^{j}B (∑_{k=j}^{l} 2^{(k−j)/2} [X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} )]^{2} + 2^{(l−j)/2}X_{n}^{2} (\frac{1}{2^{l}} ))

minden j = 1, …, l-re B = B_{j} = ∑_{k=j}^{l} 2^{−(k−j)/2} +2^{−(l−j)/2} < 5 konstanssal. A következő

feladat egyik állítása az, hogy ezeket az egyenlőtlenségeket összegezve a minket érdeklő valószínűséget felülről tudjuk becsülni egy olyan tipusú esemény valószínűségével, hogy független standardizált Poisson eloszlású valószínűségi változók négyzeteinek alkalmas lineáris kombinációja nagyobb, mint valamilyen x szám. Ez a feladat nagyon hasonló a 8. feladat utolsó becsléséhez, és hasonlóan bizonyítható. Egy technikai probléma merül fel a most vizsgálandó becslés bizonyításában. Az a nehézség jelenik meg, hogy (standardizált) Poisson eloszlású valószínűségi változók négyzetének, — szemben normális eloszlású valószínűségi változók négyzetével — nincs exponenciális momentumuk. Ezt a nehézséget a vizsgálandó összeg tagjainak természetes csonkításával győzhetjük le. A túl nagy értékeket felvevő összeadandóknak ugyanis elhanyagolható a hozadéka a vizsgált összegben, a csonkított valószínűségi változóknak pedig van jól becsülhető exponenciális momentumuk. Megjegyezzük, hogy ez a módszer azért működik jól, mert egy nagy paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, — lévén független valószínűségi változók összege, — közel normális eloszlású. Abban a tartományban, ahol a csonkított valószínűségi változók eloszlását tekintjük a normális közelítés elég jó. Ez teszi lehetővé, hogy a 8. feladat becsléséhez hasonlóan, jó becslést kapunk ebben az esetben is.

12.) Mutassuk meg, hogy

\begin{matrix}P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) \\ ≤ P (1500K (∑_{k=1}^{l} \frac{2^{k}}{n} (η_{k} − Eη_{k})^{2} + \frac{2^{l}}{n} (η_{l+1} − Eη_{l+1})^{2}) > x) , \end{matrix} (16)

ahol η_{k}, k = 1, …, l + 1, független valószínűségi változók sorozata, továbbá η_{k} Poisson eloszlású λ_{k} = λ_{k,n} = n2^{−k} paraméterrel, ha 1 ≤ k ≤ l, és η_{l+1} Poisson eloszlású λ_{l+1} = λ_{l+1,n} = λ_{l} paraméterrel. Definiáljuk az η_{k}, 1 ≤ k ≤ l + 1 valószínűségi változók η̄_{k} = η̄_{k}(n) csonkítottjait a következő módon:

η̄_{k} = \{ \begin{matrix}η_{k} − Eη_{k} & ha |η_{k} − Eη_{j}| < n2^{−k} \\ 0 & ha |η_{k} − Eη_{k}| ≥ n2^{−k} \end{matrix} k = 1, …, l + 1,

Érvényesek a következő egyenlőtlenségek: P (|η_{k} − Eη_{k}| > u) ≤ 2 exp \{−\frac{u^{2}}{8n2^{−k}} \},

ha u < n2^{−k}, speciálisan P (|η_{k} − Eη_{k}| ≥ n2^{−k}) ≤ 2 exp \{−\frac{n}{2^{(k+3)}} \}. Továbbá

E exp \{\frac{2^{k−4}}{n} η̄_{k}^{2}\} ≤ B alkalmas (n-től és k-tól független) B > 0 konstanssal minden

1 ≤ k ≤ l + 1-re. Tekintsünk egy x > 0 valós és l egész számot, amelyek teljesítik a C_{0} log n < x < C^{−1}n és a 2^{−l} > Cxn^{−1} egyenlőtlenségeket alkalmas C > 0 és C_{0} > 0 számokkal, és legyen n ≥ n_{0}, ahol n_{0} = n_{0}(C, C_{0}) alkalmas küszöbindex. Lássuk be, hogy ebben az esetben

P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) ≤ e^{−D_{5}x}  (17)

alkalmas D_{5} > 0 számmal. Mutassuk meg, hogy az eddig bizonyított egyenlőtlenségekből következnek a (10) és (9) formulák.

Az approximációs tétel bizonyításának befejezése érdekében jó felső korlátot akarunk adni olyan kifejezések valószínűségére, mint amilyenek az (6b) és (6c) kifejezésekben szerepelnek. Az alábbi Állítás-ban megfogalmazzuk azokat az egyenlőtlenségeket, melyekre szükségünk van a továbbiakban.

Állítás: Legyen B(t), 0 ≤ t ≤ 1, egy Brown bridge, Z_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, pedig egy n elemű mintából (n független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból) készített standardizált empirikus eloszlásfüggvény. Rögzítsünk egy 0 ≤ y ≤ n valós számot. Ekkor tetszőleges L > 0 valós számra megadható egy olyan α = α(L) > 0 valós szám és n_{0} = n_{0}(L) küszöbindex, amelyre a B(t) illetve Z_{n}(t) folyamatok teljesítik a következő egyenlőtlenségeket:

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|B(t)| > y) ≤ 2e^{−αy},  (18a)

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Z_{n}(t)| > y) ≤ 2e^{−αy},  (18b)

ha n ≥ n_{0}. Ezekben az egyenlőtlenségekben az α > 0 konstans és az n_{0} küszöbindex megadhatóak az L szám függvényében, azaz az n_{0} küszöbindex nem függ az y számtól, az α > 0 kitevő pedig nem függ sem az y számtól sem az n_{0} küszöbindextől.

Nem törekedtünk meghatározni az optimális konstansokat a (18a) és (18b) formulákban, mert erre nincs szükségünk. Ennek meghatározása a (18a) formulában lényegesen könnyebb, mert a Brown bridge Gauss folyamat, és az ilyen folyamatok vizsgálata lényegesen egyszerűbb. A (18b) becslés szemléletes tartalma az, hogy mivel a Z_{n}(t) nagy n-re hasonlóan viselkedik egy Brown bridge-hez, ezért hasonló becslések érvényesek rá. Az állítás bizonyításában hasznos az alább kimondott lemma, amely lehetővé teszi azt, hogy független növekményű folyamatok maximumának eloszlására jó becslést adjunk. Ennek a lemmának a bizonyítását meg fogjuk adni egy Kiegészítés-ben.

Lemma. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, amelyekre Eξ_{k} ≥ 0, Ee^{sξ_{k}} = e^{B_{k}(s)} valamilyen rögzített s > 0 és B_{k}(s), k = 1, …, n számokkal. Legyen

S_{k} = ∑_{j=0}^{k} ξ_{j}, k = 1, …, n. Ekkor

P ( sup_{1≤k≤n} S_{k} > x) ≤ exp {−sx + ∑_{k=1}^{n} B_{k}(s)}

minden x > 0 számra.

Legyen X(t), a ≤ t ≤ b, független növekményű sztochasztikus folyamat valamilyen [a, b] intervallumban, azaz tegyük fel, hogy az X(t_{1}) − X(a), X(t_{2}) − X(t_{1}), …, X(b) − X(t_{k}) valószínűségi változők függetlenek tetszőleges a ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ ⋯ ≤ t_{k} ≤ b számokra. Tegyük fel azt is, hogy az X(t) folyamat trajektóriái folytonosak, vagy általánosabban úgynevezett cadlag (continue à droite, limite à gauche), azaz jobbról folytonos függvények, amelyeknek minden a ≤ t < b pontban van baloldali limesze. Legyen továbbá az m(t) = EX(t), a ≤ t ≤ b, függvény monoton növekvő. Ekkor a

P ( sup_{a≤t≤b} X(t) − X(a) > x) ≤ e^{−sx}Ee^{s(X(b)−X(a))}

egyenlőtlenség teljesül tetszőleges s > 0 számra. (Ez úgy értendő, hogy az egyenlőtlenség jobboldala végtelen, ha az Ee^{s(X(b)−X(a))} várható érték nem létezik.)

Megjegyzés: Az Eξ_{k} ≥ 0 feltétel és az m(t) függvény monotonitásának megkövetelése azért kell, mert ez biztosítja azt, hogy az S_{k}, k = 1, 2, …, n, illetve az X(t), a ≤ t ≤ b, folyamatnak pozitív a trendje.

A valószínűségszámításnak számos olyan eredménye van, amely azt mondja ki, hogy független nem negatív várható értékű valószínűségi változók részletösszegeinek a maximuma nem sokkal nagyobb, mint az összes valószínűségi változó összege. A fent megfogalmazott Lemma is ilyen tipusú eredmény. Ez ugyanis azt mondja ki, hogy egy az összes valószínűségi változó összegének eloszlására adott természetes felső korlát egyben felső korlát az összes részletösszeg maximumára is.

Az előbbi lemmát nem alkalmazhatjuk közvetlenül az Állítás bizonyítására, mert sem a Brown bridge sem a standardizált empirikus folyamat nem független növekményű folyamat. Viszont megkaphatjuk a (18a) becslés bizonyítását alkalmazva azt az észrevételt, hogy ha W (t), 0 ≤ t ≤ 1, Wiener folyamat, azaz olyan Gauss folyamat, amelyre EW (t) = 0, EW (s)W (t) = min(s, t) minden 0 ≤ s, t ≤ 1 számra, akkor W (t) független növekményű (és feltehetjük, hogy folytonos trajektóriájú) és a B(t) = W (t) − tW (t) sztochasztikus folyamat Brown bridge. A (18b) becslés bizonyítását pedig megkaphatjuk a (11a)—(11c) képletekben definiált Poisson approximáció segítségével.

13.) Bizonyítsuk be a (18a) egyenlőtlenségnek azt a módosítását, amelyben a B(t) Brown bridge-t egy W (t) Wiener folyamattal helyettesítjük. Bizonyítsuk be továbbá a (18b) egyenlőtlenségnek azt a módosítását, amelyben a Z_{n}(t) folyamatot egy n paraméterű X_{n}(t) standardizált Poisson folyamattal helyettesítjük. (A (11b) képletben definiáltunk egy n paraméterű X_{n}(t) standardizált Poisson folyamatot.)

14.) Bizonyítsuk be az előző feladat eredménye és egy Brown bridge B(t) = W (t) − tW (1) alakú előállítása segítségével, ahol W (t) Wiener folyamat, az Állítás-ban szereplő (18a) egyenlőtlenséget. Tekintük a (11c) képletben definiált Y_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, folyamatot. Lássuk be, hogy ez a folyamat tetszőleges L ≥ 0-ra és minden n > n_{0} indexre teljesíti a

P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤L \frac{y}{n}} |Y_{n}(t)| ≥ y) ≤ 2e^{−αy}

egyenlőtlenséget alkalmas n_{0} küszöbindex és α = α(L) > 0 szám választásával. Lássuk be a fenti egyenlőtlenség és az előző feladat eredménye segítségével az Állítás-ban szereplő (18b) egyenlőtlenséget.

A fenti eredmények segítségével már nem nehéz belátni az Approximációs Tételt. Adva egy olyan x, C_{0} log n < x < 2C^{−1}n szám alkalmas C > 1 konstanssal válasszunk egy l = l(x) konstanst úgy, hogy C \frac{x}{n} ≤ 2^{−l} < 2C \frac{x}{n}. Ekkor a fenti eredmények lehetővé teszik mind azt, hogy a P ( sup_{1≤k≤2^{l}} \sqrt{n}|Z_{n}(k2^{−l}) − B(k2^{−l})| ≥ \frac{x}{2}) valószínűségre jó

felső korlátot adjunk, mind azt, hogy a \sqrt{n}B(t) és \sqrt{n}Z_{n}(t) folyamatok fluktuációját megbecsüljük a (k − 1)2^{−l} ≤ t < k2^{−l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, intervallumokban, ha a C > 0 konstanst (n-től függetlenül) elég nagyra választjuk. Az x > C^{−1}n esetében az Approximációs Tétel Állítása egyszerűbb, és az a konstrukciótól függetlenül a durva \sqrt{n}|Z_{n}(t) − B(t)| ≤ \sqrt{n}(|Z_{n}(t)| + |B(t)|) becslés segítségével is bebizonyítható.

15.) Bizonyítsuk be a fenti eredmények segítségével az Approximációs Tételt.

Néhány megjegyzés a tárgyalt problémával kapcsolatban

A feladatsorban tárgyalt eredményt Komlós János, Major Péter és Tusnády Gábor An approximation of partial sums of independent RV’s and the sample DF. I. dolgozata tartalmazza, amely a Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 32 (1975), folyóiratban jelent meg a 111–131. oldalakon. Az említett cikk ennek az eredménynek a bizonyítását csak vázlatosan tartalmazza. Ez a cikk tartalmaz egy analóg eredményt független valószínűségi változók approximációjáról Wiener folyamat segítségével. Mivel a két approximáció ugyanazon a konstrukción alapul, az említett cikk csak a független valószínűségi változók részletösszegeinek approximációját tárgyalja részletesen.

A lényeges különbség az említett cikk és az itt leírt tárgyalásmód között az, hogy ebben a feladatsorban kidolgoztuk azon becslések részleteit, amelyeket természetes elvárni független valószínűségi változók részletösszegeinek viselkedése miatt, de a precíz bizonyítás kissé kényelmetlen. Ugyanis a becslésekben szereplő valószínűségi változók csak “majdnem”, de nem teljesen függetlenek. Továbbá, úgy gondoltam, hogy önmagában is érdekes és tanulságos lehet azon standard és többé–kevésbé klasszikus valószínűségi módszerek, technikák ismertetése és részletesebb tárgyalása, amelyek lehetővé teszik a bizonyítás során felmerülő technikai problémák megoldását. Ennek érdekében azt a kényelmetlenséget is vállaltam, hogy a feladatsor hosszabb lett.

E feladatsor folytatásában tárgyalni fogom a független valószínűségi változók részletösszegeinek approximációjával kapcsolatos problémakört. Ebben a folytatásban viszont nem fogom minden állítás részletes bizonyítását kidolgozni. Ehelyett inkább arra fogok törekedni, hogy érthető módon elmagyarázzam, melyek az alapvető megoldandó problémák ebben a problémakörben. Továbbá megpróbálok néhány példával rávilágítani arra, hogy mely részletekre kell különösképpen odafigyelni.

Az Approximációs Tétel bizonyítását későbbi dolgozatok is tartalmazzák. Az érdeklődők Tusnády Gábor, Jean Bretagnolle, és Pierre Massart dolgozatait tanulmányozhatják. Ezek a dolgozatok többek között azt is vizsgálják, hogy az Approximációs Tétel milyen viszonylag kis konstansokkal érvényes. Mi ezzel a kérdéssel itt nem foglalkoztunk.

Érdemes megjegyezni, hogy bizonyos dolgozatok Haar-függvények szerinti sorfejtésre alapítják az Aproximációs Tételt kielégítő konstrukciót, illetve annak bizonyítását, hogy ez a konstrukció teljesíti az Approximációs Tételt. Bár az itteni tárgyalásban a Haar függvények nem jelentek meg, a két tárgyalásmód lényegegesen nem különbözik, csak más nyelven magyarázza el ugyanazt a konstrukciót. Leírom röviden a Haar függvények szerinti sorfejtésen alapuló módszer gondolatmenetét.

Legyen φ_{1}(t), φ_{2}(t), …, tetszőleges teljes ortonormált rendszer az L_{2}([0, 1], λ) térben, ahol λ jelöli a Lebesgue mértéket, és legyen η_{1}, η_{2}, …, független, standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata. Ekkor a valószínűségszámítás egyik nem nehezen bizonyítható eredménye alapján a

W (t) = ∑_{l=1}^{∞} η_{l} ∫_{0}^{t} φ_{l}(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1

folyamat Wiener folyamat. Valóban a felírt folyamat Gauss folyamat, (a felírt összegek egy valószínűséggel konvergálnak minden 0 ≤ t ≤ 1 számra), EW (t) = 0, és a folyamat kovarianciafüggvénye

EW (s)W (t) = ∑_{l=1}^{∞} ∫_{0}^{s} φ_{l}(u) du ∫_{0}^{t} φ_{l}(u) du = min(s, t) minden 0 ≤ s, t ≤ 1 számra.

Az utolsó azonosság ebben a képletben a Parseval formula következménye, amely sze-

rint min(s, t) = ∫_{0}^{1} I_{[0,s]}I_{[0,t]}(u) du = ∑_{l=1}^{∞} a_{l}b_{l}, ahol I_{[a,b]}(·) az [a, b] intervallum in-

dikátorfüggvénye, és a_{l} = ∫_{0}^{1} I_{[0,s]}(u)φ_{l}(u) du, b_{l} = ∫_{0}^{1} I_{[0,t]}(u)φ_{l}(u) du. Egy teljes bizonyításban azt is be kellene látni, hogy az így definiált folyamat folytonos trajektóriájú egy valószínűséggel, de a továbbiakban egy Wiener folyamat fent leírt reprezentációját csak egy speciális esetben fogjuk alkalmazni, és arra az állításra, hogy a definiált folyamat folytonos trajektóriájú nem lesz szükségünk. (Egyébként a trajektóriák folytonosságának bizonyítása az alább tárgyalt speciális esetben nem nehéz.)

Definiáljuk a következő χ_{k,l}(u), 0 ≤ l < ∞, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, függvényeket a [0, 1] intervallumon. χ_{0,1}(u) ≡ 1, χ_{k,l}(u) = 2^{l/2}, ha (k − 1)2^{−l} ≤ u < (2k − 1)2^{−l}, χ_{k,l}(u) = −2^{l/2}, ha (2k − 1)2^{−l} ≤ u < k2^{−l} és χ_{k,l}(u) = 0 egyébként, 0 ≤ l < ∞, 1 ≤ k ≤ 2^{k}. Ezeket a χ_{k,l} függvényeket hívják az irodalomban Haar függvényeknek, és nem nehéz belátni, hogy a Haar fügvények teljes ortonormált rendszert alkotnak az L_{2}([0, 1], λ) térben. Ezért az előbbiek alapján

W (t) = ∑_{l=0}^{∞} ∑_{k=1}^{2^{l}} η_{k,l} ∫_{0}^{t} χ_{k,l}(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1,

ahol az η_{k,l} valószínűségi változók függetlenek és standard normális eloszlásúak. Továbbá, B(t) = W t) − tW (1)) = W (t) − ∫_{0}^{t} χ_{[0,1]}(u) du W (1) Brown bridge, és W (1) = η_{1,0}, mert a W (1) valószínűségi változó fenti reprezentációjában az összes többi η_{k,l} együtthatója 0, és az η_{1,0} változó együtthatója pedig 1. Ezért a

B(t) = ∑_{l=1}^{∞} ∑_{k=1}^{2^{l}} η_{k,l} ∫_{0}^{t} χ_{k,l}(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1,

sztochasztikus folyamat Brown bridge. Vegyük észre, hogy a Haar függvények speciális alakja miatt

η_{k,l} = ∫ χ_{k,l}(s)B(s) ds

= 2^{l/2} ([B(k2^{−l}) − B((2k − 1)2^{−l−1})] − [B(2k − 1)2^{−l−1}) − B((k − 1)2^{−l})]) ,

és ez megegyezik a feladatsor fent leírt konstrukciójában definiált Ū_{k,l} valószínűségi változóval.

Másrészt, nem nehéz l szerinti teljes indukcióval belátni, hogy definiálva egy Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvény segítségével a V̄_{k,l}(n) valószínűségi változókat az (1b) illetve (4) képlet segítségével (felhasználva a 3. feladat eredményét is, amely lehetővé teszi a (4) képletben szereplő feltételes várható érték egyszerű kiszámolását) kapjuk, hogy a

Z̄_{n}(t) = ∑_{l=1}^{∞} ∑_{k=1}^{2^{l}} V̄_{k,l}(n) ∫_{0}^{t} χ_{k,l}(s) ds, 0 ≤ t ≤ 1,

sztochasztikus folyamatra, Z̄_{n}(k2^{−l}) = Z_{n}(k2^{−l}) minden l = 1, 2, …, 1 ≤ k ≤ 2^{l} számra. Ezért Z̄_{n}(t) ≡ Z_{n}(t) minden 0 ≤ t ≤ 1 paraméterre. Ha sikerül a B(t) Brown bridge illetve a Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvény fenti konstrukcióját úgy megadni, hogy a benne szereplő Ū_{k,l}, illetve V̄_{k,l}(n) Fourier együtthatók közel vannak egymáshoz, akkor egy az Approximációs Tételt kielégítő konstrukciót kapunk. A bizonyítás részleteinek kidolgozása hasonló a feladatsorban részletesen tárgyalt gondolatmenethez.

2. Megoldások

1.) A következő egyenlőtlenség jól ismert a valószínűségszámításban, és egyszerűen bizonyítható parciális integrálással. (Egyébként ez az állítás szerepel a Normális eloszlású valószínűségi változók feladatsor 7. feladatában.)

(\frac{1}{x} − \frac{1}{x^{3}} ) φ(x) < 1 − Φ(x) < \frac{1}{x}φ(x), minden x > 0 − ra.

Innen következik, hogy C_{1}(x+2) < \frac{φ(x)}{1 − Φ(x)} < C_{2}(x+2) ha x ≥ 2 alkalmas C_{1} > 0

és C_{2} > 0 konstansokkal. Továbbá, mivel a φ(x) és 1 − Φ(x) függvények szeparálva vannak mind nullától mind végtelentől, ha x egy véges tartományban van, ezért a fenti egyenlőtlenség érvényes minden x > −1 esetén is. A φ(−x) = φ(x) és Φ(−x) = 1 − Φ(x) azonosságok alapján a második egyenlőtlenség ekvivalens az elsővel. b.)

log \frac{1 − Φ(x + h)}{1 − Φ(x)} = h \frac{d}{dx} log (1 − Φ(x))|_{x=u} = −h\frac{φ(u)}{1 − Φ(u)},

ahol u alkalmas szám az [x, x+h] intervallumban. Ezért, a |h| < |x|+1 feltétel teljesülése esetén

C_{1}(x + 2) < \frac{φ(u)}{1 − Φ(u)} < C_{2}(x + 2), ha x > −1

a feladat már bizonyított része alapján. Ezt behelyettesítve a fenti azonosságba megkapjuk a feladat első azonosságát h > 0 (és x > −1) esetén. A második azonosság innen következik a Φ(−u) = 1 − Φ(u) azonosság alapján. A h < 0 eset hasonlóan tárgyalható vagy visszavezethető a h > 0 esetre.

2. Először bebizonyítjuk az F_{m,n}(x) függvény következő approximációját a normális eloszlásfüggvény segítségével.

1 − F_{m,n}(x) = (1 − Φ(x)) exp \{O (\frac{x^{3} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(x^{2} + x) + 1}{\sqrt{n}})\}

F_{m,n}(−x) = Φ(−x) exp \{O (\frac{x^{3} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(x^{2} + x) + 1}{\sqrt{n}})\}

ha 0 ≤ x ≤ Ā\sqrt{n} és |n − m| < Bn alkalmas Ā > 0 és B > 0 számokkal. Az O(·) egyenletes a fenti formulában. Valóban, a feladatsor elején kimondott (nagy eltérés) tétel és az első feladat eredménye alapján

1 − F_{m,n}(x) = (1 − Φ (\sqrt{\frac{n}{m}}x)) exp \{O (\frac{x^{3} + 1}{\sqrt{n}})\}

= (1 − Φ(x)) exp \{O (|\sqrt{\frac{n}{m}} − 1| (x^{2} + 2x) + \frac{x^{3} + 1}{\sqrt{n}})\}

= (1 − Φ(x)) exp \{O (\frac{x^{3} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(x^{2} + x) + 1}{\sqrt{n}})\}

ha 0 ≤ x ≤ Ā\sqrt{n}x, mert |\sqrt{\frac{n}{m}} − 1| (x^{2} + 2x) ≤ const. \frac{|n − m|}{n}(x^{2} + 2x) a feladat

feltételeinek teljesülése esetén. A másik egyenlőtlenség hasonlóan bizonyítható. Az alábbi egyenlőtlenség segítségével megmutatjuk, hogy létezik olyan K > 0 konstans, amelyre

\begin{matrix}1 − F_{m,n}(x + h(x)) ≤ 1 − Φ(x) ≤ 1 − F_{m,n}(x − h(x)), \\ ahol h(x) = h_{m,n}(x) = K \frac{x^{2} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(|x| + 1) + 1}{\sqrt{n}}, \end{matrix}  (2.1)

ha 0 ≤ x ≤ A\sqrt{n} alkalmas A > 0-val. Valóban, ekkor

log \frac{1 − F_{m,n}(x + h(x))}{1 − Φ(x)} = log \frac{1 − F_{m,n}(x + h(x))}{1 − Φ(x + h(x))} + log \frac{1 − Φ(x + h(x))}{1 − Φ(x)}

≤ \frac{K_{1}}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{3} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{2} + x + h(x)) + 1) − C_{1}h(x)(x + 2)

alkalmas K_{1} > 0 és a C_{1} > 0 konstansokkal feltéve, hogy teljesülnek az |x + h(x)| < Ā\sqrt{n} és |h(x)| ≤ x + 1 egyenlőtlenségek, mert ezek a feltételek biztosítják, hogy az 1. feladat eredménye, illetve a 2. feladatban bebizonyított egyenlőtlenség felhasználható. E formulában a K_{1} konstans a feladat elején már bebizonyított becslés O(·) konstansa, a C_{1} konstans pedig az első feladat b) részében jelent meg. Azt állítjuk, hogy megválaszthatóak alkalmas A > 0, B > 0 és K > 0 konstansok úgy, hogy ha az x < A\sqrt{n}, |n − m| < Bn, n ≥ n_{0} feltételek teljesülnek, ahol n_{0} alkalmas küszöbindex, akkor érvényesek az alábbi egyenlőtlenségek : |x+h_{m,n}(x)| < Ā\sqrt{n}, |h(x)| ≥ x + 1, és

\frac{K_{1}}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{3} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{2} + x + h(x)) + 1) − C_{1}h(x)(x + 2) ≤ 0.

Ezekből az egyenlőtlenségekből, illetve az előző formulákból következik az 1 − F_{m,n}(x + h(x)) ≤ 1 − Φ(x) egyenlőtlenség, azaz a (2.1) formula bal oldala.

Legyen K = \frac{100K_{1}}{C_{1}} . Ha az A > 0 és B > 0 számokat (K-tól függően) elég

kicsinek választjuk, akkor teljesülnek az |x + h_{m,n}(x)| < Ā\sqrt{n} és |h(x)| ≤ x + 1 egyenlőtlenségek. Ekkor

\frac{K_{1}}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{3} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}} ((x + h(x))^{2} + x + h(x)) + 1)

≤ \frac{K_{1}}{\sqrt{n}} ((2x + 1)^{3} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}} ((2x + 1)^{2} + 2x + 1) + 1)

≤ \frac{100K_{1}}{\sqrt{n}} (x^{3} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}}(x^{2} + 1) + 1)

≤ \frac{100K_{1}}{\sqrt{n}} (x + 2) (x^{2} + \frac{|n − m|}{\sqrt{n}}(x + 1) + 1) = \frac{100K_{1}}{K} (x + 2)h(x)

≤ C_{1}(x + 2)h(x).

Innen következik a (2.1) egyenlőtlenség baloldala. A jobboldal hasonlóan bizonyítható. A (2.1) formulából következik, hogy

F_{m,n}(x − h(x)) ≤ Φ(x) ≤ F_{m,n}(x + h(x)), ha 0 ≤ x ≤ A\sqrt{n}, és |n − m| < Bn.

Ez az egyenlőtlenség érvényes és hasonlóan bizonyítható abban az esetben, ha a 0 ≤ x ≤ A\sqrt{n} feltételt a 0 ≥ x ≥ −A\sqrt{n} feltétellel helyettesítjük. Ebből az egyenlőtlenségből következik, hogy

x − h_{m,n}(x) ≤ F_{n,m}^{−1}(Φ(x)) ≤ x + h_{m,n}(x), ha |x| ≤ A\sqrt{n} és |n − m| ≤ Bn.

és

|F_{m,n}^{−1}(Φ((η)) − η| ≤ h_{m,n}(η) = K \frac{η^{2} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(|η| + 1) + 1}{\sqrt{n}} ≤ K̄ \frac{η^{2} + \frac{(n−m)^{2}}{n} + 1}{\sqrt{n}},

alkalmas K̄ > 0 számmal, ha |η| ≤ A\sqrt{n} és |n − m| ≤ Bn. (Az utolsó becslésben

felhasználtuk azt, hogy \frac{|n − m|}{\sqrt{n}}(|η|+1) ≤ \frac{1}{2} (\frac{(n − m)^{2}}{n} + η^{2} + 1).) Ezzel a feladat

állítását beláttuk.

Megjegyzés: Valójában a következő, a második feladat állításánál némileg élesebb becslést láttuk be:

|F_{m,n}^{−1}(Φ(η)) − η| ≤ K \frac{η^{2} + \frac{|n−m|}{\sqrt{n}}(|η| + 1) + 1}{\sqrt{n}}

A feladatban megfogalmazott állítás viszont a későbbiekben jobban használható.

3.) A V_{k,l}(n), k = 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók ugyanazt a σ-algebrát generálják,

mint az m_{k} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(l+1)/2}} V_{k,l}(n) + \frac{n}{2^{l}}, k = 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók. Az m_{k} valószínűségi változó értéke megegyezik a Z_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizált empirikus folyamatot definiáló ζ_{1}, …, ζ_{n} független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók közül azon ζ_{j} valószínűségi változók számával, amelyek értéke a [(k − 1)2^{−l}, k2^{−l}] intervallumba esik. Ugyanis m_{k} = n[P_{n}(k2^{−l}) − P_{n}((k − 1)2^{−l})], ahol P_{n}(t) a feladatsor elején definiált empirikus eloszlásfüggvény.

Rögzítsük az m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l} valószínűségi változók értékeit, azaz a G_{l}(n) σ-algebra B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomját, és jelölje Y_{k}, k = 1, …, 2^{l}, a [(k − 1)2^{−l}, (2k − 1)2^{−l−1}] intervallumba eső ζ_{j} pontok számát. Ekkor az Y_{k} valószínűségi változók feltételesen függetlenek feltéve a G_{l}(n) σ-algebrát, és Y_{k} feltételes eloszlása a B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomon a B(m_{k}, \frac{1}{2}) binomiális eloszlás m_{k} és \frac{1}{2} paraméterekkel. Innen kapjuk, hogy

V_{2k−1,l+1}(n) = \frac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt{n}} Y_{k} − \frac{\sqrt{n}}{2^{l/2}} ,
E (V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n)) = \frac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt{n}} E(Y_{k}|G_{l}(n)) − \frac{\sqrt{n}}{2^{l/2}} = \frac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt{n}} \frac{m_{k}}{2} − \frac{\sqrt{n}}{2^{l/2}}

= \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n)

és

V̄_{2k−1,l+1}(n) = \frac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt{n}} Y_{k} − \frac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt{n}} \frac{m_{k}}{2}

a G_{l}(n) σ-algebra B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomján. Továbbá

V̄_{2k−1,l+1}(n) + V̄_{2k,l+1}(n) = V_{k,l}(n) − E(V_{k,l}(n)|G_{l}(n)) = V_{k,l}(n) − V_{k,l}(n) = 0,

és

E (V_{2k,l+1}(n)|G_{l}(n)) = \sqrt{2}E (V_{k,l}(n)|G_{l}(n)) − E (V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n))

= (\sqrt{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}) V_{k,l}(n) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n).

A fenti relációkból következik a feladat állítása (Y_{k} = X_{2k−1} szereposztással). 4.) Mivel a tekintett valószínűségi változók együttesen normális eloszlásúak, a kívánt

állításokat bebizonyíthatjuk egyszerűen a kovarinciafüggvény vizsgálatával. Ezt a számítást egyszerűsíthetjük, ha a B(t) Brown bridge B(t) = W (t) − tW (1) reprezentációját használjuk, ahol W (t), 0 ≤ t ≤ 1, EW (t) = 0, EW (s)W (t) = min(s, t) Wiener folyamat. Egyszerű számolással kapjuk, hogy

E (U_{2k−1,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}) U_{j,l} = E (U_{2k,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}) U_{j,l} = 0.

Innen, illetve a tekintett valószínűségi változók együttes Gauss eloszlásából követke-

zik, hogy az \{U_{2k−1,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, U_{2k,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, k = 1, …, 2^{l}\} véletlen vek-

tor független az F_{l} σ-algebrától, és koordinátái nulla várható értékű valószínűségi változók.

Ezért E (U_{2k−1,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}| F_{l}) = 0, és E(U_{2k−1,l+1}|F_{l}) = \frac{1}{\sqrt{2}}E(U_{k,l}|F_{l}) =

\frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}. Hasonlóan E(U_{2k,l+1}|F_{l}) = \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}. Ezért, Ū_{2k−1,l+1} =

U_{2k−1,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, Ū_{2k,l+1} = U_{2k,l+1} − \frac{1}{\sqrt{2}}U_{k,l}, k = 1, …, 2^{l}.

Egyszerű számolás mutatja, hogy Ū_{2k−1,l+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(U_{2k−1,l+1} −U_{2k,l+1}) = −Ū_{2k,l+1}, és EŪ_{2j−1,l+1}Ū_{2k−1,l+1} = δ_{j,k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, ahol δ_{j,k} = 0, ha j ≠ k, és δ_{j,k} = 1, ha j = k. Ez azt jelenti, hogy az F_{l} σ-algebrától független Ū_{2k−1,l+1}, k = 1, …, 2^{l}, valószínűségi változók függetlenek és standard normális eloszlásúak. Továbbá teljesül az Ū_{2k−1,l+1} = −Ū_{2k,l+1} azonosság. A 4. feladat állításait beláttuk.

5a.) A feladat állítását beláthatjuk l szerinti teljes indukcióval. Tegyük fel, hogy az

állítást már bebizonyítotuk l-re. Definiáljuk az M_{k} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(l+1)/2}} V_{k,l}(n) + \frac{n}{2^{l}}, k =

1, …, 2^{l}, valószínűségi változókat. Megjegyezzük, hogy az M_{k} számok azt adják meg, hogy azon (később még megkonstruálandó) független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású ζ_{1}, …, ζ_{n} valószínűségi változók közül, amelyek a Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvényt definiálják hány ζ_{j} változó esik a [(k − 1)2^{−l}, k2^{−l}], 1 ≤ k ≤ 2^{l}, intervallumba. Az (5a) formulában definiált V̄_{2k−1,l+1}(n) valószínűségi változók a standard normális eloszlású Ū_{2k−1,l+1} valószínűségi változók függvényei, amelyek a 4. feladat eredménye alapján függetlenek egymástól, továbbá függetlenek a G_{l}(n) σ-algebrától is, mert az F_{l} ⊃ G_{l}(n) σ-algebrától is függetlenek. Innen következik, hogy a V̄_{2k−1,l+1} valószínűségi változók feltételesen függetlenek, feltéve az M_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, valószínűségi változókat, amelyek a G_{l}(n) σalgebrát generálják. Feltételes eloszlásaik pedig az M_{k} = m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, feltételek mellett megegyeznek az (5a) formula előtt definiált F_{m_{k},l}(x) eloszlásfüggvényekkel.

A 3. feladat eredménye alapján az (1)—(4) formulában egy Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvény segítségével definiált V̄_{2k−1,l+1}(n), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, véletlen vektor feltételes eloszlása feltéve a kiinduló Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvény segítségével definiált G_{l}(n) σ-algebrát megadható a következő módon. Definiáljuk az M_{k} valószínűségi változókat azzal a formulával, amelyet e feladat megoldásának elején felírtunk, azzal a különbséggel, hogy most a Z_{n}(t) folyamat által definiált V_{k,l}(n) változókat helyettesítjük be ebbe a formulába. A V̄_{2k−1,l+1}(n), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, véletlen vektor feltételes eloszlása az M_{k} = m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, feltételek mellett, azaz a G_{l}(n) σ-algebra B(m_{1}, …, m_{2^{l}}) atomján megegyezik az előbb tekintett V̄_{2k−1,l}(n) változók feltételes eloszlásával az M_{k} = m_{k}, 1 ≤ k ≤ 2^{l}, feltételek mellett az eredeti M_{k} valószínűségi változókkal. Továbbá, mivel a most tekintett esetben E(V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n)) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n) a 3. feladat eredménye alapján, ezért összehasonlítva az (1)—(4) formulákat az (5b) és (5c) formulákkal, kapjuk, hogy az általunk konstruált Z_{n}((2k − 1)2^{−(l+1)}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, véletlen vektor feltételes eloszlása feltéve a már megkonstruált Z_{n}(k2^{−l}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, valószínűségi változók értékeit, megegyezik az analóg feltételes eloszlással, ha a Z_{n}((2k − 1)2^{−(l+1)}) és Z_{n}(k2^{−l}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, valószínűségi változókat egy Z_{n}(t), 0 ≤ t ≤ 1, standardizált empirikus eloszlásfüggvény megfelelő pontokban felvett értékeivel helyettesítjük. A Z_{n}(k2^{−(l+1)}), 1 ≤ k ≤ 2^{l+1}, valószínűségi változók együttes eloszlását egyértelműen meghatározza a a Z_{n}(k2^{−l}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, valószínűségi változók együttes eloszlása és a Z_{n}((2k − 1)2^{−(l+1)}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, valószínűségi vektor feltételes eloszlása, feltéve a Z_{n}(k2^{−l}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, változók értékeit. Ezért a Z_{n}((2k − 1)2^{−(l+1)}), 1 ≤ k ≤ 2^{l}, véletlen vektor feltételes eloszlásairól kapott eredményből és az indukciós feltevésből következik, hogy a Z_{n}(k2^{−(l+1)}), 1 ≤ k ≤ 2^{l+1}, véletlen vektor eloszlása megegyezik egy Z_{n}(t) standardizált empirikus eloszlásfüggvény értékeinek az együttes eloszlásával t = k2^{−(l+1)}, 1 ≤ k ≤ 2^{+1}, pontokban. Belátjuk, hogy a most definiált Z_{n}(k2^{−(l+1)}), V_{k,l+1}(n) és V̄_{k,l+1}(n) valószínűségi változók teljesítik az (1)—(4) formulákat. Az (5a) képletben definiált V̄_{2k−1,l}(n) valószínűségi változók teljesítik az E(V̄_{2k−1,l}(n)|G_{l}(n)) = 0 azonosságot, mert a V̄_{2k−1,l}(n) valószínűségi változó feltételes eloszlása feltéve a G_{l}(n) σ-algebrát az F_{m_{k},l}(x) eloszlásfüggvény a G_{l}(n) σ-algebra azon atomján, amelyen

m_{k} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(l+1)/2}} V_{k,l}(n) + \frac{n}{2^{l}} , k = 1, …, 2^{l},

és egy F_{m_{k},l}(x) eloszlású valószínűségi változó várható értéke nulla. Ezért az (5b) formula alapján E(V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n)) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n), és

V̄_{2k−1,l+1}(n) = V_{2k−1,l+1}(n) − E(V_{2k−1,l+1}(n)|G_{l}(n)).

Az (5c) formula alapján

V_{2k−1,l+1}(n) = 2^{(l+2)/2} (Z_{n} (\frac{2k − 1}{2^{l+1}}) − Z_{n} (\frac{2k − 2}{2^{l+1}})) .

A fenti azonosságok tartalmazzák az (1)—(4) formulának az indukció l + 1-ik lépésben bizonyítandó állításait páratlan k számokra. A megfelelő azonosságok bizonyítása érdekében páros k számokra vegyük először észre, hogy az utolsó egyenlőségből, az (5d) formulából, valamint az (1b) képlet l − 1 indexre már bizonyított alakjából következik, hogy

V_{2k,l+1}(n) = 2^{(l+2)/2} (Z_{n} (\frac{k}{2^{l}} ) − Z_{n} (\frac{k − 1}{2^{l}}))

− 2^{(l+2)/2} (Z_{n} (\frac{2k − 1}{2^{l+1}}) − Z_{n} (\frac{2k − 2}{2^{l+1}}))

= 2^{(l+2)/2} (Z_{n} (\frac{2k}{2^{l+1}} ) − Z_{n} (\frac{2k − 1}{2^{l+1}})) .

Ismét használva az (5d) formulát, illetve a V_{2k−1,l+1}(n) változóra bizonyított formulákat kapjuk, hogy E(V_{2k,l+1}(n)|G_{l}(n)) = \sqrt{2}V_{k,l}(n) − \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n), továbbá

V_{2k,l+1}(n) = \sqrt{2}V_{k,l}(n) − V̄_{2k−1,l+1}(n) − \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n) = \frac{1}{\sqrt{2}}V_{k,l}(n) − V̄_{2k−1,l+1}(n).

E formulákból, illetve az (5e) képletből következik, hogy teljesül a V̄_{2k,l+1}(n) = V_{2k,l+1}(n)−E(V_{2k,l+1}(n)|G_{l}(n)) azonosság is. Ezzel az (1)—(4) formulákat az l+1ik lépésben is beláttuk. Végül vegyük észre, hogy a G_{l+1}(n) ⊂ F_{l+1} reláció is teljesül, mert a G_{l+1}(n) σ-algebrát generáló V_{k,l+1}(n) valószínűségi változók a F_{l+1} mérhető U_{k,l+1} valószínűségi változók mérhető függvényei.

5b.) A ζ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók 5b.) feladatban megadott konstrukciójából azonnal következik, hogy a belőlük készített standardizált empirikus eloszlásfüggvény értékei a t = k2^{−L} pontokban megegyeznek a Z_{n}(k2^{−L}) valószínűségi változókkal minden 1 ≤ k ≤ 2^{L} számra. Be kell még látnunk, hogy ezek független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Ennek érdekében be fogjuk látni a következő állítást. Ha ζ̄_{1}, …, ζ̄_{n} független, a [0, 1] intervallumban egyeneletes eloszlású valószínűségi változók sorozata, ζ̄_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ̄_{n}^{∗} az ebből a sorozatból készített rendezett minta, és M_{k} jelöli a ζ̄_{j}^{∗}, 1 ≤ j ≤ n sorozatnak a [(k − 1)2^{−L}, k2^{−L}] intervallumba eső pontjainak számát, 1 ≤ k ≤ 2^{L},

akkor P (M_{1} = m_{1}, …, M_{2^{L}} = m_{2^{L}}) = \frac{n!}{m_{1}! ⋯ m_{2^{L}}!}2^{−Ln}, ha m_{k} ≥ 0 minden

1 ≤ k ≤ 2^{L} indexre, és ∑_{k=1}^{2^{L}} m_{k} = n. Továbbá a ζ̄_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ̄_{n}^{∗} véletlen sorozat

feltételes eloszlása feltéve az {M_{1} = m_{1}, …, M_{2^{L}} = m_{2^{L}}} eseményt megegyezik olyan ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+1}, ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+2}, …, ξ_{m_{0}+···+m_{k}}, 1 ≤ k ≤ 2^{L}, (m_{0} = 0), egymástól független, véletlen sorozatok egyesítésének az eloszlásával, amelyekre a ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+1}, ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+2}, …, ξ_{m_{0}+···+m_{k}} véletlen sorozat m_{k} számú független, a [(k−1)2^{−l}, k2^{−L}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta. Valóban, könnyen ellenőrizhető a

P (M_{1} = m_{1}, …, M_{2^{L}} = m_{2^{L}}) = \frac{n!}{m_{1}! ⋯ m_{2^{L}}!}2^{−Ln}

azonosság. Másrészt, ha mindegyik ζ̄_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változó esetén előírjuk, hogy melyik [m(j)2^{−L}, (m(j) + 1)2^{−L}] intervallumba esik, és ezt úgy tesszük, hogy az [(k − 1)1^{−L}, k2^{−L}] intervallumba m_{k} ζ̄_{j} változó esik, 1 ≤ k ≤ 2^{L}, akkor a ζ̄_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók feltételesen függetlenek ezen feltételek mellett, és ζ_{j} egyenletes eloszlású a [m(j)2^{−L}, (m(j) + 1)2^{−L}] intervallumban. Innen következik, hogy a ζ̄_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ̄_{n}^{∗} rendezett minta feltételes eloszlása egy ilyen feltétel mellett, és ezért ezen feltételek uniójára, azaz az M_{1} = m_{1}, …, M_{2^{L}} = m_{2^{L}} feltételek mellett is az előbb leírt feltételes eloszlás. Tekintsük az 5b.) feladatban konstruált ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} véletlen sorozatot, és definiáljuk az M′_{k} valószínűségi változókat úgy, hogy M′_{k} egyenlő a ζ_{j}^{∗}, 1 ≤ j ≤ n, sorozatnak a [(k − 1)2^{−L}, k2^{−L}] intervallumba eső pontjainak számával. Ekkor

P (M′_{1} = m_{1}, …, M′_{2^{L}} = m_{2^{L}}) = \frac{n!}{m_{1}! ⋯ m_{2^{L}}!}2^{−Ln}, ha m_{k} ≥ 0 minden 1 ≤

k ≤ 2^{L} indexre, és ∑_{k=1}^{2^{L}} m_{k} = n. Továbbá a ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} véletlen sorozat feltételes eloszlása feltéve az {M′_{1} = m_{1}, …, M′_{2^{L}} = m_{2^{L}}} eseményt megegyezik olyan ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+1}, ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+2}, …, ξ_{m_{0}+···+m_{k}}, 1 ≤ k ≤ 2^{L}, (m_{0} = 0), egymástól független, véletlen sorozatok egyesítésének az eloszlásával, ahol a

ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+1}, ξ_{m_{0}+···+m_{k−1}+2}, …, ξ_{m_{0}+···+m_{k}}

sorozat m_{k} számú független, a [(k−1)2^{−l}, k2^{−L}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta. Mivel az M′_{1}, …, M′_{2^{L}} eloszlása, illetve a ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} véletlen sorozat feltételes eloszlása feltéve az {M′_{1} = m_{1}, …, M′_{2^{L}} = m_{2^{L}}} eseményt meghatározza a ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} véletlen sorozat eloszlását, a fenti állításokból következik, hogy a ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} és ζ̄_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ̄_{n}^{∗} véletlen sorozatok eloszlása megegyezik, azaz ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} egy független, és a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változókból készített rendezett minta. Végül tegyük a következő észrevételt. Ha ζ̄_{1}, …, ζ̄_{n} független, a [0, 1] intervallumban egyeneletes eloszlású valószínűségi változók sorozata, akkor definiálva az {1, …, n}, halmaznak azt a véletlen permutációját, amelyre ζ̄_{j} = ζ̄_{π(j)}, j = 1, …,n, ahol ζ̄_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ̄_{n}^{∗} a ζ̄_{1}, …, ζ̄_{n} sorozatból készített rendezett minta, akkor a (π(1), …, π(n)), és (ζ̄_{1}^{∗}, …, ζ̄_{n}^{∗}) vektorok függetlenek, és a (π(1), …, π(n)) vektor egyenletes eloszlású az {1, …, n} halmaz permutációin. Ebből a tényből, illetve abból, hogy ζ_{1}^{∗} ≤ ⋯ ≤ ζ_{n}^{∗} egy független, és a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változókból készített rendezett minta, következik, hogy az 5b.) feladatban definiált ζ_{1}, …, ζ_{n} sorozat független és a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változókból áll.

6.) A 6.) feladat fő állítása a 2. feladat eredményének következménye. Annak érdekében, hogy elkerüljük különböző mennyiségeknek ugyanazzal a betűvel való jelölését, alkalmazzuk a második feladat eredményét m̄ és n̄ jelöléssel az m és n betűk helyett.

Alkalmazzuk a második feladat eredményét m̄ = \frac{n}{2^{l}}, n̄ = m_{k} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(l+1)/2}} V_{k,l}(n)+ \frac{n}{2^{l}}

és η = Ū_{2k−1,l+1} szereposztással. Ekkor |n̄ − m̄| = \frac{\sqrt{n}}{2^{(l+1)/2}} |V_{k,l}(n)| = \begin{matrix}√ & \overline{n̄} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}|V_{k,l}(n)|.

Egyszerű számolás adja, hogy a 2. Lemma |η| < A\sqrt{n̄} és |n̄−m̄| < Bn̄ feltételei teljesülnek, ha az A > 0 konstanst a 6. feladat végén megfogalmazott feltételben elég

kicsinek választjuk. Másrészt \frac{(n̄ − m̄)^{2}}{n̄} = \frac{V_{k,l}(n)^{2}}{2} , ezért a 2. feladat eredménye megadja (7a) reláció első felét. A (7a) reláció második fele nyilvánvaló, mert Ū_{2k−1,l+1} = −Ū_{2k−1,l+1}. A (7b) egyenlőtlenség a (7a) formula egyszerű következménye, mert

|U_{2k−1,l+1} − V_{2k−1,l+1}(n)| ≤ |Ū_{2k−1,l+1} − V̄_{2k−1,l+1}(n)| + \frac{|U_{k,l} − V_{k,l}(n)|}{\sqrt{2}},

és

|U_{2k,l+1} − V_{2k,l+1}(n)| ≤ |Ū_{2k−1,l+1} − V̄_{2k−1,l+1}(n)| + \frac{|U_{k,l} − V_{k,l}(n)|}{\sqrt{2}},

mivel V_{2k−1,l}(n) = V̄_{2k−1,l}(n) + \frac{V_{k,l}(n)}{\sqrt{2}}, U_{2k−1,l} = Ū_{2k−1,l} + \frac{U_{k,l}}{\sqrt{2}} a harmadik és ne-

gyedik feladatban bizonyított E(V_{2k−1,l}(n)|G_{l}(n)) = \frac{V_{k,l}(n)}{\sqrt{2}} és E(U_{2k−1,l}(n)|F_{l}) =

\frac{U_{k,l}}{\sqrt{2}} azonosságok alapján. Ezenkívül hasonló reláció érvényes a V_{2k,l}(n) és U_{2k,l}

valószínűségi változókra is.

7.) A V_{k,l} valószínűségi változók, az ε(j) illetve k(j) számok definiciója alapján az

ε(j)2^{−(j+1)/2} (\sqrt{2}V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) − V_{k_{j}+1,j}(n))
= ε(j) (Z_{n}(k_{j}2^{−j}) − Z_{n}(k_{j−1}2^{−(j−1)})

azonosság érvényes minden 1 ≤ j ≤ l számra. Ugyanis vagy ε(j) = 0, amikor ez az állítás nyilvánvaló vagy ε(j) = 1, amikor k_{j} = 2k_{j−1} + 1, és a V_{k,l} valószínűségi változók definiciójából következik az állítás. Ezeket az azonosságokat összegezve és felhasználva a Z_{n}(k_{l}2^{−l}) = Z_{n}(t) és Z_{n}(k_{0}) = Z_{n}(0) = 0 relációkat kapjuk (8a) formula első sorát a Z_{n}(t) valószínűségi változó reprezentációjáról. A B(t) kifejezésre felírt formula hasonlóan bizonyítható.

A (8b) képlet bizonyításában alkalmazzuk a (7b) formulát l = j − s − 1 és k = k_{j−s−1} + 1 választással. Ha u_{j−s−1} = k_{j−s−1}2^{−j−s−1} = u_{j−s} = k_{j−s}2^{−j−s}, akkor k_{j−s} + 1 = 2(k_{j−s−1} + 1) − 1, és tekintsük az egyenlőtlenség baloldalán szereplő maximum első tagját, és az egyenlőtlenség jobboldalán az első kifejezést. Ha u_{j−s−1} = k_{j−s−1}2^{−j−s−1} < u_{j−s} = k_{j−s}2^{−j−s}, akkor k_{j−s} + 1 = 2(k_{j−s−1} + 1), és ekkor tekintsük az egyenlőtlenség baloldalán szereplő maximum második tagját, és az egyenlőtlenség jobboldalán a második kifejezést. E választással kapjuk, hogy

2^{−s} · 2^{−(j−s+1)/2}|U_{k_{j−s}+1,j−s} − V_{k_{j−s}+1,j−s}(n)|

< 2^{−s} · \frac{K}{\sqrt{n}}(Ū_{k_{j−s}+1,j−s}^{2} + V_{k_{j−s−1}+1,j−s−1}^{2}(n) + 1)

+ 2^{−(s+1)} · 2 · \frac{2^{−(j−(s+1)+1)/2}}{2} |U_{k_{j−(s+1)}+1,j−(s+1)} − V_{k_{j−(s+1)}+1,j−(s+1)}(n)|

minden 1 ≤ j ≤ l és 0 ≤ s ≤ j − 1 számpárra. Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva minden 0 ≤ s ≤ j−1 számokra, és összehasonlítva a két oldalt megkapjuk a (8b) egyenlőtlenséget. Azt kell észrevenni, hogy minden 1 ≤ j − s ≤ j − 1 indexre az |U_{k_{j−s}+1,j−s} − V_{k_{j−s}+1,j−s}(n)| kifejezések ugyanazzal az együtthatóval szerepelnek az összegzés után kapott egyenlőtlenség mindkét oldalán. Továbbá jegyezzük meg, hogy ha ω ∈ B, ahol B a 7. feladatban definiált halmaz, akkor az előbbi egyenlőtlenségek érvényesek, azaz a Ū_{k_{j−s}+1,j−s}(ω) és V_{kj−s+1,j−s}(ω) teljesítik a 6. feladat feltételeit.

A Z_{n}(k2^{−l}) − B(k2^{−l}) a (8a) formula segítségével kifejezhető mint a V_{k_{j}+1,j}(n) − U_{k_{j}+1,j} kifejezések lineáris kombinációja. Ezen tagok mindegyikére becslést ad a (8b) formula. Behelyettesítve ezeket a becsléseket ebbe a kifejezésbe, kapjuk a következő becslést:

|Z_{n}(k2^{−l}) − B(k2^{−l})| ≤ 2 ∑_{j=1}^{l} 2^{−(j+1)/2}|V_{k_{j}+1,j}(n) − U_{k_{j}+1,j}|

≤ \frac{2K}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{l} ∑_{s=0}^{j−1} 2^{−s} (Ū_{k_{j−s}+1,j−s}^{2} + V_{k_{j−s−1}+1,j−s−1}^{2}(n) + 1)

= \frac{2K}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{l} ∑_{s=1}^{j} 2^{−(j−s)} (Ū_{k_{s}+1,s}^{2} + V_{k_{s−1}+1,s−1}^{2}(n) + 1)

= \frac{2K}{\sqrt{n}} ∑_{s=1}^{l} (Ū_{k_{s}+1,s}^{2} + V_{k_{s−1}+1,s−1}^{2}(n) + 1) ∑_{j=s}^{l} 2^{−(j−s)}.

Innen következik a (8c) formula.

8.) A negyedik feladat eredménye alapján a Ū_{k,j}, 1 ≤ j ≤ l, 1 ≤ k ≤ 2^{j}, független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, innen következik az állítás az Ū_{k_{j}+1,j}, 1 ≤ j ≤ l, együttes eloszlásáról. Az analóg állítás a V_{k_{j−1}+1,j−1}(n), 1 ≤ j ≤ l, sorozat eloszlására j szerinti teljes indukcióval következik az alábbi állításból.

Az V_{k_{j−1}+1,j−1}(n), illetve ami ezzel ekvivalens, az M_{j−1} = \frac{\sqrt{n}}{2^{j/2}} V_{k_{j−1}+1} − \frac{n}{2^{j−1}} valószínűségi változók feltételes eloszlása feltéve az M_{s} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(s+1)/2}} V_{k_{s}+1,s}− \frac{n}{2^{s}} = m_{s}, 1 ≤ s ≤ j −2, feltételeket megegyezik az V_{1,j−1}(n), illetve az M̄_{j−1} = \frac{\sqrt{n}}{2^{j/2}} V_{1,j−1} − \frac{n}{2^{(j−1)}} valószínűségi változó feltételes eloszlásával feltéve az M̄_{s} = \frac{\sqrt{n}}{2^{(s+1)/2}} V_{1,s} − \frac{n}{2^{s}} = m_{s}, 1 ≤ s ≤ j−2, feltételeket, ahol m_{1}, …, m_{s−2}, tetszőleges nem negatív egész számok. Ez az állítás igaz, mert mind az M_{j−1} mind a M̄_{j−1} feltételes eloszlása az adott feltételek mellett a B(m_{j−2}, \frac{1}{2}) binomiális eloszlás m_{j−2} és \frac{1}{2} paraméterrel.

Az 1 − P (B) ≤ e^{−D_{1}x} egyenlőtlenséget a következő becslések segítségével mutatjuk meg. Tetszőleges 1 ≤ j ≤ l számra

P (|V_{k_{j−1}+1,j−1}(n)| > \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}}) = P (\frac{2^{j/2}}{\sqrt{n}} |∑_{k=1}^{n}(χ_{k} − Eχ_{k})| > \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}})

= P (|∑_{k=1}^{n}(χ_{k} − Eχ_{k})| > \frac{An}{2^{j}}) ,

ahol χ_{k}, 1 ≤ k ≤ n, független valószínűségi változók, és P (χ_{k} = 1) = 1 − P (χ_{k} =

0) = 2^{−(j−1)}. Innen kapjuk, hogy Ee^{t(χ_{k}−Eχ_{k})} = (1 − \frac{1}{2^{j−1}} + \frac{e^{t}}{2^{j−1}} ) e^{−t/2^{j−1}},

ahonnan |t| < 1 esetén Ee^{t(χ_{k}−Eχ_{k})} ≤ exp \{\frac{e^{t} − 1}{2^{j−1}} − \frac{t}{2^{j−1}} \} ≤ exp \{\frac{10t^{2}}{2^{j}} \}. Az

utóbbi becslésekben azt használtuk ki, hogy t+1 ≤ e^{t}, és e^{t} −1−t < 5t^{2}, ha |t| ≤ 1.

Az előző becslések alapján E (exp {t ∑_{k=1}^{n}(χ_{k} − Eχ_{k})|} ≤ e^{10t^{2}n}, ha |t| < 1, és

P (V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) > \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}}) = P (exp \{t ∑_{k=1}^{n}(χ_{k} − Eχ_{k})\} > e^{Ant/2^{j}})

≤ e^{n2^{−j}(10t^{2}−At)} ≤ e^{−D̄2^{l−j}x} minden 1 ≤ j ≤ l számra.

(2.2a)

alkalmas D̄ > 0 számmal, ha j ≤ l. Az utolsó egyenlőtlenségben azt használtuk ki, hogy egyrészt 10t^{2} − At < −D′ alkalmas D′ > 0 számmal, ha a t > 0 számot elég kicsire választjuk, másrészt −n2^{−j} = −2^{l−j}2^{−l}n ≤ −C_{0}x2^{l−j}. Mivel Ū_{k_{j−1}+1,j−1} standard normális eloszlású valószínűségi változó, ezért egyszerű számolás adja, hogy

P (|U_{k_{j−1}+1,j−1}(ω)| < \frac{A\sqrt{n}}{2^{j/2}}) ≤ e^{−A^{2}n2^{j−1}} ≤ e^{−D′′2^{l−j}x}

minden 1 ≤ j ≤ l számra.

(2.2b)

A (2.2a) becslés akkor is érvényes marad, ha benne a V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) változót −V_{k_{j−1}+1,j−1}(n) a változóval helyettesítjük. Ha a (2.2a) egyenlőtlenségeket, azok előbb említett analogonjait valamint a (2.2b) egyenlőtlenségeket összegezzük minden 1 ≤ j ≤ n számra, akkor megkapjuk a 1 − P (B) ≤ e^{−D_{1}x} egyenlőtlenséget. A 8. feladat utolsó becslésének bizonyítása érdekében tekintsük egy normális eloszlású valószínűségi változó négyzetét, és számítsuk ki e valószínűségi változó standardizáltjának a momentumgeneráló függvényét. Ha η standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Ee^{t(η^{2}−Eη^{2})} = Ee^{t(η^{2}−1)} = \frac{e^{−t}}{\sqrt{2π}} ∫ e^{tx^{2}−x^{2}/2} dx = \frac{e^{−t}}{\sqrt{1 − 2t}}, ha t < \frac{1}{2}.

Innen log Ee^{t(η^{2}−Eη^{2})} = −t − \frac{1}{2} log(1 − 2t) < t^{2}, ha 0 < t ≤ \frac{1}{4}. (Egy ilyen tipusú becslés érvényességének mélyebb oka az, hogy egy 0 várható értékű valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye úgy viselkedik, mint e^{const. t^{2}} az origó közelében.) Ezért

P (18K ∑_{j=1}^{l} Ū_{1,j−1}^{2} > x) = P (exp \{\frac{1}{4} ∑_{j=1}^{l}(Ū_{1,j−1}^{2} − EŪ_{1,j−1}^{2})\} > e^{x/72K−l})

≤ e^{2l−x/72K} ≤ e^{−x/144K} = e^{−D_{2}x},

amint azt a feladatban állítottuk, feltéve, hogy l ≤ \frac{x}{288K}. Ez az egyenlőtlenség azért teljesül, mert l = log C + log n − log x ≤ 2 log n ≤ \frac{2x}{C_{0}} ≤ \frac{x}{288K} a 8. feladat feltéteteleinek teljesülése esetén, ha ezekben a feltételekben a C_{0} konstanst elég nagyra választjuk, és n ≥ n_{0}, ahol n_{0} alkalmas küszöbindex.

9.) A (8c) egyenlőtlenség érvényes minden t = k2^{−l}, k = 1, …, 2^{l}, a B_{0} = ⋂_{k=1}^{2^{l}} B(k2^{−l})

halmazon. A 8. feladat becslése alapján 1 − P (B_{0}) ≤ 2^{l}e^{−D_{1}x} ≤ \frac{n}{Cx}e^{−D_{1}x} ≤

ne^{−D_{1}x} ≤ e^{x/C_{0}−D_{1}x} ≤ e^{−D_{1}x/2}, ha a 9. feladat feltételeiben szereplő x ≥ C_{0} log n egyenlőtlenségben a C_{0} konstanst és az n_{0} küszöbindexet elég nagyra választjuk.

Ezért a (8c) egyenlőtlenségből, illetve 8. feladat első felének az eredményéből következik, hogy

P ( sup_{1≤k≤2^{n}} \sqrt{n}|Z_{n}(k(2^{−l}) − B(k2^{−l})| > \frac{x}{2})

≤ e^{−D_{1}x/2} + 2^{l}P (4K ∑_{j=1}^{l} (Ū_{1,j}^{2} + V_{1,j−1}^{2}(n) + 1) ≥ \frac{x}{2})

≤ e^{−D_{1}x/2} + 2^{l}P (18K ∑_{j=1}^{l} Ū_{1,j−1}^{2} > x) + 2^{l}P (18K ∑_{j=1}^{l} V_{1,j−1}^{2} > x) .

Az utolsó egyenlőtlenségben kihasználtuk hogy 4K ∑_{j=1}^{l} 1 = 4Kl ≤ \frac{x}{18}, mert l ≤

log n ≤ \frac{x}{C_{0}} ≤ \frac{x}{72K}, ha a C_{0} > 0 konstanst és az n_{0} küszöbindexet, amelyre

n ≥ n_{0} a (9) reláció feltételében elég nagyra választjuk. Ezért a (10) formula eredménye, a 8. feladat utolsó egyenlőtlensége és az előző egyenlőtlenség alapján a (9) kifejezés baloldala felülről becsülhető a e^{D_{1}x/2} +2^{l} (e^{−D_{2}x} + e^{−D_{3}x}) kifejezéssel. Mivel 2^{l} ≤ n ≤ e^{min(D_{2},D_{3})x/2}, ha a C_{0} > 0 és n_{0} küszöbindexet alkalmasan választjuk a (9) formulában, innen következik a 9. feladat állítása.

10.) Mivel Z_{n}(t) = X_{n}(t) − Y_{n}(t), Z_{n}(t)^{2} ≤ 2X_{n}(t)^{2} + 2Y_{n}(t)^{2}, és

P (18 ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Z_{n}^{2} (\frac{1}{2^{j−1}} ) > x)

≤ P (36 ∑_{j=1}^{l} 2^{j} (X_{n}^{2} (\frac{1}{2^{j−1}} ) + Y_{n}^{2} (\frac{1}{2^{j−1}} )) > x)

≤ P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) + P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) .

Ez a (12) formula.

Ha κ_{n} n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, akkor κ_{n} − n mo-

mentumgeneráló függvénye Ee^{t(κ_{n}−n)} = e^{−tn} ∑_{k=0}^{∞} \frac{n^{k}}{k!} e^{−n+tk} = e^{n(e^{t}−1−t)}. Innen

kapjuk, hogy mivel n(e^{t} − t − 1) ≤ t^{2}, ha |t| ≤ 1, Ee^{t(κ_{n}−n)} ≤ e^{nt^{2}}, ha |t| ≤ 1. Ezért P (κ_{n} − n > y) ≤ e^{nt^{2}−ty} ≤ e^{−y^{2}/4n} t = \frac{y}{2n} választással, ha y ≤ 2n. Hasonlóan, P (κ_{n} − n < −y) ≤ e^{−y^{2}/4n}. A κ_{n} − n eloszlásáról a feladatban kissé általánosabban megfogalmazott egyenlőtlenség is érvényes. Ugyanis, ha az |y| ≤ 2n feltételt helyettesítjük a |y| ≤ B_{1}n feltétellel, akkor az előző egyenlőtlenség érvényben marad amennyiben a −y^{2}/4n kitevőt a −B_{2}y^{2}/n kitevővel helyettesítjük alkalmas B_{2} > 0 konstanssal. A (13) formula bizonyítása érdekében jegyezzük meg, hogy mivel a (11c) formulában definiált Y_{n}(t) valószínűségi változók nem negatívak, ezért

P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) ≤ P ((\sqrt{72K} ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2}Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} ))^{2} > x) ,

és véve a κ_{n} − n = m, −∞ < m < ∞ feltételeket, és felhasználva a (13) képlet előtt definiált Ȳ_{n,m} valószínűségi változók definicióját, kapjuk, hogy

\begin{matrix}P (\sqrt{72K} ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2} |Y_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )| > \sqrt{x}) \\ = ∑_{m=−∞}^{∞} P (\sqrt{72K} ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2}Ȳ_{n,|m|} (\frac{1}{2^{j−1}} ) > \sqrt{x}) P (κ_{n} − n = m) \\ ≤ P (\sqrt{72K} ∑_{j=1}^{l} 2^{j/2}Ȳ_{n,B\sqrt{nx}} (\frac{1}{2^{j−1}} ) > \sqrt{x}) P (|κ_{n} − n| ≤ B\sqrt{nx}) \\ + P (|κ_{n} − n| > B\sqrt{nx}). \end{matrix} (2.3)

A (2.3) képlet utolsó relációját annak észrevételével láthatjuk be, hogy a (2.3) formula második sorában szereplő szorzatban az első valószínűség az |m| = |κ_{n} − n| paraméter monoton függvénye. Ha rögzítjük az M = B\sqrt{nx} számot, és az előbb tekintett valószínűségre úgy adunk felső becslést, hogy |m| ≤ M esetén az m paramétert az M számmal helyettesítjük, |m| > M esetén pedig a triviális 1 felső becslést adjuk, akkor megkapjuk a (2.3) reláció utolsó egyenlőtlenségét. A (13) képletben felírt első reláció a a (2.3) formula és az azt megelőző reláció egyszerű következménye. Végül a (13) formula végén felírt azonosság egyszerű számolással adódik, ha a (13) formulába beírjuk az Ȳ_{n,B\sqrt{nx}} valószínűségi változó definicióját, az így kapott kettős összegben az összegezést felcseréljük, és ebben a kifejezésben a ζ_{k}, 1 ≤ k ≤ B\sqrt{nx}, változótól függő tagok összegét egy ξ_{k} valószínűségi változóban egyesítjük.

A ξ_{k} = ξ_{k,l} valószínűségi változók a független ζ_{k} valószínűségi változók függvényei. Innen, illetve a ξ_{k} valószínűségi változók definiciójából következik, hogy ezek függetlenek és egyforma eloszlásúak.

11.) A feladat feltételeinek teljesülése esetén 2^{l/2} ≤ \sqrt{\frac{n}{Cx}}, és \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}ξ_{k} ≤ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} \frac{2^{(l+1)/2}}{\sqrt{2} − 1} ≤

\begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}\sqrt{\frac{n}{Cx}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} − 1} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2} − 1)\sqrt{C}}. Ezért exp \begin{cases}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{cases}ξ_{k}\} ≤ 1 + C̄ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}ξ_{k} alkalmas

C̄ = C̄(C) > 0 számmal, és E exp \begin{cases}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{cases}ξ_{k}\} ≤ 1 + C̄ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix}Eξ_{k} ≤ 1 + K̄ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} alkalmas

K̄ = K̄(C) számmal, amint ezt állítottuk, mert Eξ_{k} = ∑_{j=1}^{l} 2^{−j/2−1} ≤ \sqrt{2} + 1.

Innen kapjuk, hogy

P (\begin{matrix}√ & \overline{72K} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} ∑_{k=1}^{B\sqrt{nx}} ξ_{k} > \sqrt{x}) = P (exp \begin{cases}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{cases} ∑_{k=1}^{B\sqrt{nx}} ξ_{k}\} > exp \{\frac{x}{\sqrt{72K}} \})

≤ (1 + K̄ \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{n} \end{matrix})^{B\sqrt{nx}}exp \{−\frac{x}{\sqrt{72K}} \} ≤ e^{BK̄x−x/\sqrt{72K}}.

Válasszunk a fenti egyenlőtlenségben B = \frac{1}{12K̄\sqrt{K}} számot. Ekkor az itt szereplő

valószínűségről beláttuk, hogy kisebb, mint e^{−const. x}. Másrészt, a 10. feladat első állítása alapján a P (|κ_{n} − Eκ_{n}| > B\sqrt{nx}) < e^{−const. x} egyenlőtlenség is érvényes. Ezekből a becslésekből és a (13) formulából következik a (14) formula.

12.) Összegezve a (15) formulában felírt egyenlőtlenségeket (B = 5 együtthatóval) kapjuk, hogy

72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2}

≤ 360K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}(∑_{k=j}^{l} 2^{(k−j)/2} [X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} )]^{2} + 2^{(l−j)/2}X_{n}^{2} (\frac{1}{2^{l}} ))

= 360K ∑_{k=1}^{l} 2^{k} [X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} )]^{2} ∑_{j=1}^{k} 2^{(j−k)/2}

+ 360K ∑_{j=1}^{l} 2^{(l+j)/2}X_{n}^{2} (\frac{1}{2^{l}} )

≤ 1500K (∑_{k=1}^{l} 2^{k} [X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} )]^{2} + 2^{l}X_{n}^{2} (\frac{1}{2^{l}} )) .

A 2^{k}X_{n} (\frac{1}{2^{k−1}} ) − X_{n} (\frac{1}{2^{k}} ), 1 ≤ k ≤ l, és a 2^{l}X_{n} (\frac{1}{2^{l}} ) valószínűségi változók függetlenek, és együttes eloszlásuk megegyezik a (16) képletben szereplő független, ott megadott paraméterű η_{k}, 1 ≤ k ≤ l, Poisson eloszlású valószínűségi változókból

definiált \frac{η_{k} − Eη_{k}}{\sqrt{n}}, ≤ k ≤ l + 1, kifejezések együttes eloszlásával. Ezért az utolsó

egyenlőtlenségből következik a (16) formula.

A P (|η_{k} − Eη_{k}| > u) ≤ 2 exp 2 \{−\frac{u^{2}}{8n2^{−k}} \} egyenlőtlenséget u < n2^{−k} eset-

ben már bebizonyítottuk a 10. feladatban. Az ott bizonyított becslés egy κ_{n} n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényéről ugyanis tetszőleges valós n > 0 számra is érvényes. (Ebben az egyenlőtlenségben nem törekedtünk éles becslést adni. Továbbá ezt az egyenlőtlenséget úgy fogalmaztuk meg, hogy a k = l + 1 esetet ne kelljen külön tekinteni.) Speciálisan, u = n2^{−k} választással megkapjuk a P (|η_{k} − Eη_{k}| ≥ n2^{−k}) ≤ 2 exp \{−\frac{n}{2^{(k+3)}} \} becslést.

Az E exp {n2^{−(k+4)}η̄_{k}^{2}} ≤ B egyenlőtlenség bizonyítása érdekében vezessük be az F_{k}(y) = F_{n,k}(y) = P (|η̄_{k}| < y), 1 ≤ k ≤ l + 1, eloszlásfüggvényeket, és jegyezzük meg, hogy az eddig bizonyítottak alapján 1 − F_{k}(y) ≤ 2e^{−2^{k}y^{2}/8n}. Ezért parciális integrálással kapjuk, hogy

E exp \{\frac{2^{k−4}}{n} η̄_{k}^{2}\} = ∫_{0}^{2^{−k}n}e^{2^{k}y^{2}/16n}F_{k}( dy)

= ∫_{0}^{2^{−k}n}(1 − F_{k}(y)) de^{2^{k}y^{2}/16n} − [(1 − F_{k}(y))e^{2^{k}y^{2}/16n}]_{0}^{2^{−k}n}

= ∫_{0}^{2^{−k}n}(1 − F_{k}(y))\frac{2^{k}y}{8n} e^{2^{k}y^{2}/16n} dy + 1 − (1 − F_{k}(2^{−k}n))e^{2^{−k}n/16}

≤ 2 ∫_{0}^{2^{−k}n}\frac{2^{k}y}{8n} e^{−2^{k}y^{2}/16n} dy + 1 − e^{−2^{−k}n/16}

= 2 ∫_{0}^{2^{−k/2}n^{1/2}/4}2ye^{−y^{2}} dy + 1 − e^{−2^{−k}n/16} ≤ B,

amint azt állítottuk. A (17) formula bizonyításában felhasználjuk a (16) formulát, az η_{k} −Eη_{k} valószínűségi változók előbb bevezetett csonkítását, a η̄_{k} valószínűségi változó definicióját és az η_{k} −Eη_{k} valószínűségi változókról bebizonyított egyenlőtlenségeket. Így kapjuk, hogy

P (72K ∑_{j=1}^{l} 2^{j}X_{n} (\frac{1}{2^{j−1}} )^{2} > x) ≤ P (1500K (∑_{k=1}^{l} \frac{2^{k}}{n} η̄_{k}^{2} + \frac{2^{l}}{n} η̄_{l+1}^{2}) > x)

+ ∑_{k=1}^{l+1} P (|η_{k} − Eη_{k}| > 2^{−k}n)

≤ P (exp \{∑_{k=1}^{l} \frac{2^{(k−4)}}{n} η̄_{k}^{2} + \frac{2^{(l−4)}}{n} η̄_{l+1}^{2}\} > exp \{\frac{x}{24000K} \})

+ 2 ∑_{k=1}^{l+1} e^{−n2^{−(k+3)}} ≤ e^{Bl−x/24000K} + const. e^{−n2^{−(l+4)}}.

Ha x > C_{0} log n elég nagy C_{0} > 0 konstanssal, akkor Bl − \frac{x}{24000K} ≤ −\frac{x}{30000K}

és n2^{−(l+4)} ≥ const. x, mert ezen feltételek mellett Bl ≤ B log n + const. ≤ \frac{B}{C_{0}} x +

const. ≤ \frac{x}{120000}, ha a C_{0} konstans elég nagy, és mivel n2^{−l} ≥ Cx, ezért n2^{−(l+4)} ≥ const. x. E relációkból és az utolsó egyenlőtlenségből következik a (17) formula. A (10) egyenlőtlenség egyszerű következménye a (12), (14) és (17) formuláknak, a (9) reláció pedig a 9. feladat eredménye alapján következik a (10) egyenlőtlenségből és a 7. és 8. feladat eredményeiből.

13.) Mind egy W (t) Wiener folyamat mind egy X_{n}(t) standardizált Poisson folyamat független növekményű folyamat, és teljesülnek az EW (t) = 0 és EX_{n}(t) = 0 azonosságok minden 0 ≤ t ≤ 1 számra. Továbbá a Wiener folyamat trajektóriái folytonos a standardizált Poisson folyamat trajektóriái pedig cadlag (jobbról folytonos baloldali határértékkel rendelkező) függvények. Ezért a feladatsorban megfogalmazott Lemma alkalmazható mind a ±B(t) mind a ±X_{n}(t) folyamatokra. Mivel W (t) nulla várható értékű t szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változók, ezért Ee^{±sW (t)} = e^{ts^{2}/2}, és a Lemma utolsó egyenlőtlensége alapján

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} ±\sqrt{n}W (t) > y) ≤ exp \{ns^{2}L\frac{y}{2n} − sy\}

tetszőleges s > 0 számmal. Ebből az egyenlőtlenségből s = \frac{1}{L} választással megkapjuk a (18a) egyenlőtlenség analogonját a Wiener folyamatra α = \frac{1}{2L} paraméterrel. A (18b) egyenlőtlenség analogonjának a bizonyítása hasonló. Az X_{n}(t) valószínűségi változó egy \sqrt{n}t paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó minusz annak a várható értéke. Ezért, mint azt például a 10. feladat megoldásában megmutattuk e^{±sX_{n}(t)} ≤ e^{s^{2}\sqrt{n}t}, ha 0 ≤ s ≤ 1. Ezért a Lemma alkalmazásával kapjuk, hogy

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} ±\sqrt{n}X_{n}(t) > y) ≤ e^{s^{2}Ly−sy} = e^{−y/4L}

s = \frac{1}{2L} választással, ha L ≤ \frac{1}{2}, és így s ≤ 1. Ha L ≤ \frac{1}{2} akkor, felhasználva azt, hogy a (18b) képlet baloldalán levő valószínűség az L paraméter monoton növekvő függvénye kapjuk, hogy a (18b) becslés ebben az esetben is érvényes ugyanazzal az α együtthatóval mint L = \frac{1}{2} esetben. (Valójában, ebben az esetben a becslést javítani lehet, de erre nem lesz szükségünk.)

14.) A (18a) formula bizonyítását megkapjuk a Brown bridge-nek a feladatban megfogalmazott reprezentációja és a 13. feladat eredménye alapján a következő módon:

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|B(t)| > y) ≤ P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|W (t)| > \frac{y}{2} )

+ P (\sqrt{n}L\frac{y}{n}|W (1)| ≥ \frac{y}{2} ) ≤ 2e^{−αy} + P (|W (1)| ≥ \frac{\sqrt{n}}{2L}) ≤ 2e^{−αy} + 2e^{−n/8L^{2}}.

A (18a) formula innen következik a 0 < y ≤ n feltétel miatt. A (18b) formula hasonlóan bizonyítható a (11a)—(11c) formulákban definiált Poisson approximáció és a 13. feladat eredménye alapján. Ezek alapján kapjuk, hogy

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Z_{n}(t)| > y) ≤ 2e^{−αy} + P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Y_{n}(t)| > \frac{y}{2} ) , (2.4)

ahol az Y_{n}(t) sorozatot a (11c) formula definiálja. A (2.4) egyenlőtlenség jobboldalának második tagját a 11. feladat módszeréhez hasonlóan becsülhetjük. Tekintsük az Y_{n}(t) folyamat feltételes eloszlását a κ_{n} = m, m = 0, ±1, ±2, …, feltételek mellett. Ekkor a (2.3) formula bizonyításának érveléséhez hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{aligned}P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Y_{n}(t)| > \frac{y}{2} ) & ≤ P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Ȳ_{n,B\sqrt{ny}}(t)| > \frac{y}{2} ) \\ & + P (|κ_{n} − n| > B\sqrt{ny}) , \end{aligned}  (2.5)

ahol az Ȳ_{n,m}(t) folyamatot a 10. feladat megfogalmazásában a (13) formula előtt definiáltuk, κ_{n} az Y_{n}(t) folyamatnak a (11) formulában megadott definiciójában szereplő n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és B > 0 tetszőleges pozitív szám. A (2.5) formula jobboldala jól becsülhető a következő átalakítások segítségével.

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Ȳ_{n,B\sqrt{ny}}(t)| > \frac{y}{2} ) = P (\sqrt{n}Ȳ_{n,B\sqrt{ny}} (\frac{Ly}{n} ) ≥ \frac{y}{2} )

= P ( ∑_{j=1}^{B\sqrt{n}y} χ_{j} > \frac{y}{2} ) ≤ (Ee^{χ_{1}})^{B\sqrt{ny}} e^{−y/2},

ahol χ_{1}, χ_{2}, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók, és P (χ_{1} = 1) = 1 − P (χ_{1} = 0) = L\frac{y}{n}. Ezért felhasználva az y ≤ n feltételt kapjuk, hogy

Ee^{χ_{1}} = 1 + \frac{Ly}{n} (e − 1) ≤ exp \{(e − 1)\frac{Ly}{n} \} ≤ exp \{L(e − 1)\sqrt{\frac{y}{n}}\}.

Alkalmazzuk az az előző becsléseket B = \frac{1}{6L} választással és a 10. feladat megoldásában adott becslést a κ_{n} − n eloszlásfüggvényéről. Ezekből az eredményekből következik, hogy

P ( sup_{0≤t<L \frac{y}{n}} \sqrt{n}|Ȳ_{n,B\sqrt{ny}}(t)| > \frac{y}{2} ) ≤ (Ee^{χ_{1}})^{\sqrt{ny}/6L} e^{−y/2} ≤ e^{(e−1)y/6−y/2} ≤ e^{−y/6},

és P (|κ_{n} − n| > \frac{1}{6L}\sqrt{yn}) ≤ e^{−const. y}. Ezek a becslések felső korlátot szolgál-

tatnak a (2.5) formulában szereplő kifejezésre B = \frac{1}{6L} választással, és innen

következik, hogy a (2.4) formulában szereplő kifejezés kisebb, mint 2e^{−αy} alkalmas α > 0 konstanssal. A 14. feladat állítását ezzel beláttuk.

15.) Válasszunk olyan C_{0} > 0, C > 0 és D > 0 számokat és n_{0} küszöbindexet, amelyekre minden a C_{0} log n ≤ x ≤ C^{−1}n és 2^{−l} ≥ Cxn^{−1} feltételeket kielégítő x > 0 valós és l > 0 egész számra teljesül a (9) reláció, ha n ≥ n_{0}. Először azt a kissé gyengébb állítást látjuk be, hogy az Approximációs tétel feltételben megadott becslés teljesül minden C_{0} log n ≤ x ≤ C^{−1}n számra, ha n ≥ n_{0} és 0 < x ≥ C^{−1}n ezekkel az n_{0} és C számmal. Definiáljuk azt az l = l(x) pozitív egész számot, amelyre 2Cxn^{−1} > 2^{−l} ≥ Cxn^{−1} az előbb tekintett C > 0 számmal. A 14. feladatban bebizonyított (18a) és (18b) reláció segítségével megmutatjuk, hogy

P ( sup_{1≤k≤2^{l}} sup_{(k−1)2^{−l}≤t<k2^{−l}} \sqrt{n} |B(t) − B (\frac{(k − 1)}{2^{l}})| > \frac{x}{4}) ≤ e^{−αx},

P ( sup_{1≤k≤2^{l}} sup_{(k−1)2^{−l}≤t<k2^{−l}} \sqrt{n} |Z_{n}(t) − Z_{n} (\frac{(k − 1)}{2^{l}})| > \frac{x}{4}) ≤ e^{−αx}

(2.6)

alkalmas α > 0 és az előbb definiált l = l(x) számokkal, ha x ≥ C_{0} log n alkalmas C_{0} > 0 számmal. A (2.6) reláció belátása érdekében vegyük észre, hogy a (18a) és (18b) formula baloldalán szereplő szuprémumban a 0 ≤ t ≤ L\frac{y}{n} tartomány

helyettesíthető egy u ≤ t ≤ u + L\frac{y}{n} tartománnyal, ha 0 ≤ u ≤ 1 − \frac{y}{n}, mert az ezzel a helyettesítéssel kapott kifejezés valószínűsége megegyezik az eredeti kifejezés valószínűségével. Megmutatjuk, alkalmazva a (18a) és (18b) formulának ezt

a módosítását y = \frac{x}{4}, L = \frac{8}{C} és u = (k − 1)2^{−l}, 1 ≤ k ≤ 2^{l} választással, hogy a

(2.6) kifejezés baloldalán szereplő valószínűségek kisebbek mint 2^{l+1}e^{−αx}. Ehhez elegendő azt ellenőrizni, hogy az ottani kifejezésekben szereplő belső szuprémumot 2^{−l} ≤ 2\frac{x}{Cn} = L\frac{x}{4n} hosszú intervallumokban vettük, és a külső szuprémum 2^{l}

tagból áll. Végül jegyezzük meg, hogy 2^{l+1} ≤ \frac{2n}{Cx} ≤ n ≤ e^{αx/2}, ha x ≥ C_{0} log n, azaz n ≤ e^{x/C_{0}} elég nagy C_{0} számmal. Innen következik a (2.6) formula (α/2 > 0 paraméterrel az α > 0 paraméter helyett.) Az approximációs tétel állítása (ebben a némileg gyengített formában) egyszerű következménye a (9) és (2.6) formuláknak. Ugyanis adva egy 0 ≤ t ≤ 1 szám, tekintsük azt a k = k(t), 1 ≤ k ≤ 2^{l} számot, amelyre (k − 1)2^{−l} ≤ t < k2^{−l}. Ekkor a (9) és (2.6) formula alapján x ≤ C_{0} log n esetén

\sqrt{n} |Z_{n}(t) − B(t)| ≤ \sqrt{n} |Z_{n} ((k − 1)2^{−l}) − B ((k − 1)2^{l})|
+ \sqrt{n} |B(t) − B ((k − 1)2^{−l})| + \sqrt{n} |Z_{n}(t) − Z_{n} ((k − 1)2^{−l})| ≤ x

kivéve egy a 0 ≤ t ≤ 1 számtól független e^{−Dx} + 2e^{−αx} mértékű halmazt, tehát az approximációs tétel igaz C_{0} log n < x ≤ C^{−1}n esetén. Az x ≤ C_{0} log n esetben az állítás teljesül, ha az Approximációs tételben szereplő C_{1} konstanst elég nagyra választjuk. Az x ≥ C^{−1}n esetben a (18a) és (18b) képletek alapján felírhatjuk, hogy

P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤1} |Z_{n}(t) − B(t)| > x)

≤ P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤1} |B(t))| > \frac{x}{2}) + P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤1} |Z_{n}(t))| > \frac{x}{2})

≤ e^{−Cx^{2}/n} ≤ e^{−C̄x}

(2.7)

alkalmas C > 0 és C̄ > 0 konstansokkal. Megjegyezzük, hogy a (18a) és (18b) képletekben szerepel a 0 ≤ \frac{x}{2} ≤ n feltétel. (A C^{−1}n ≤ x ≤ n feltétel miatt ugyanaz az ott megadott felső becslés nagyságrendje, ha a kitevőben x-t vagy \frac{x^{2}}{n} -et írunk. Az itt megadott formula a becslés természetes alakja az általános esetben.) A (2.7) képlet második sorának első tagja hasonlóan becsülhető minden x > C^{−1}n számra, mint a (18a) képletben szereplő kifejezés, amely a Brown bridge szuprémumára ad becslést. (Ennek a becslésnek a bizonyításában a Brown bridge-nek a Wiener folyamattal való reprezentációját használtuk, és nem használtuk ki az x ≤ n feltételt.) A (18b) állítás bizonyításában használt Poisson approximáció az x ≫ n esetben nem ad jó becslést, de az \frac{x}{2} > n esetben erre az approximációra nincsen szükségünk. Ugyanis a triviális

P (\sqrt{n} sup_{0≤t≤1} |Z_{n}(t))| > n) = 0

azonosság érvényes, és ebbben az esetben ez használható. Ezért a (2.7) formula igaz, és az Approximációs Tétel az x ≥ C^{−1}n esetben is érvényes. Bár az n ≤ n_{0} eset külön vizsgálatának nincs jelentősége, megjegyezzük, hogy az Approximációs Tétel ebben az esetben is igaz. Ehhez elég azt észrevenni, hogy amiatt, hogy n korlátos, a (2.7) egyenlőtlenség második és ezért első sora is kisebb, mint C_{1}e^{−C_{2}x} minden x ≥ 0 számra alkalmas C_{1} > 0 és C_{2} > 0 konstansokkal.

Kiegészítés

A Lemma bizonyítása:

Definiáljuk a következő τ valószínűségi változót (megállási szabályt), amely azt

számolja, hogy az S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{k}, k = 1, …, n részletösszegek sorozata mely indexre lesz

először nagyobb, mint a kijelölt x > 0 szám.

τ = τ(x, n) = \{ \begin{matrix}min\{k: S_{k} > x\} & ha sup_{1≤k≤n} S_{k} > x \\ n & ha sup_{1≤k≤n} S_{k} ≤ x \end{matrix} .

Mivel P ( sup_{1≤k≤n} S_{k} > x) = P (S_{τ} > x) ezért a Lemma első egyenlőtlenségét természetes

és lehetséges úgy bizonyítani, hogy jó becslést adunk az S_{τ} valószínűségi változó Ee^{sS_{τ}} exponenciális momentumára.

A martingálelmélet standard eredményeiből következik, hogy Ee^{sS_{τ}} ≤ Ee^{sS_{n}} tetszőleges s ≥ 0 számra. Ehhez célszerű belátni, hogy minden s ≥ 0 számra az (e^{sS_{k}}, F_{k}), k = 1, …, n, sorozat, ahol F_{k} = σ(ξ_{1}, …, ξ_{k}) a ξ_{1}, …, ξ_{k} valószínűségi változók által generált σ-algebra szuper-martingál, azaz E (e^{sS_{k+1}}|F_{k}) ≥ e^{sS_{k}} egy valószínűséggel. Ezt az egyenlőtlenséget nem nehéz belátni felhasználva a feltételes várható érték tulajdonságait valamint azt, hogy e^{sS_{k+1}} = e^{sS_{k}}e^{sξ_{k+1}}, és a ξ_{k+1} valószínűségi változó független az F_{k} σ-algebrától. Innen következik, hogy E (e^{sS_{k+1}}|F_{k}) = e^{sS_{k}}Ee^{sξ_{k+1}} ≥ e^{sS_{k}}, mert Ee^{sξ_{k+1}} ≥ e^{Esξ_{k+1}} ≥ 1 a Jensen egyenlőtlenség és az Eξ_{k+1} ≥ 0 feltétel alapján.

A martingálelmélet egy alapvető (és egyszerű) eredménye alapján abból, hogy az (e^{sS_{k}}, F_{k}), k = 1, …, n, sorozat szupermartingál és a τ (megállási szabály) teljesíti a τ ≤ n egyenlőtlenséget egy valószínűséggel következik, hogy Ee^{sS_{τ}} ≤ Ee^{sS_{n}}. Ezt az egyenlőtlenséget nem nehéz belátni, de mivel az itt használt érvelés lényegesen különbözik a feladatsorban tárgyalt módszerektől, ezt elhagyjuk. Érdemes megjegyezni, hogy ennek az egyenlőtlenségnek a szemléletes tartalma az, hogy egy előnyös játékban minél tovább játszunk annál nagyobb a várható nyereményünk.

A exponenciális momentumra adott és (részben) bizonyított becslésből következik, hogy

P ( sup_{1≤k≤n} S_{k} > x) = P (S_{τ} > x) = P (e^{sS_{τ}} > e^{sx}) ≤ Ee^{sS_{τ}} e^{−sx}

≤ Ee^{sS_{n}}e^{−sx} = exp {−sx + ∑_{k=1}^{n} B_{k}(s)} ,

és ez a Lemma első állítása.

A feladat második állításának bizonyítása érdekében vezessük be minden n = 1, 2, … számra a t_{k,n} = a + (b − a)k2^{−n}, 0 ≤ k ≤ 2^{n}, számokat, és a ξ_{k,n} = X(t_{k,n}) − X(t_{k−1,n}), 1 ≤ k ≤ 2^{n}, valószínűségi változókat. Ekkor rögzített n számra a ξ_{k,n}, 1 ≤ k ≤ 2^{n}, valószínűségi változók függetlenek, mivel az X(t) folyamat független

növekményű, és X(t_{k,n}) − X(a) = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j,n}, 1 ≤ k ≤ n. Továbbá Eξ_{k,n} ≥ 0 minden

1 ≤ k ≤ n-re, és mivel az X(t) sztochasztikus folyamat trajektóriái folytonos vagy cadlag (jobbról folytonos és baloldali határértékkel rendelkező) függvények, ezért tetszőleges x > 0 számra

{ω: sup_{a≤t≤b} (X(t, ω) − X(a, ω)) > x} = ⋃_{n=1}^{∞} {ω: sup_{1≤k≤2^{n}} (X(t_{k,n}, ω) − X(a, ω)) > x} .

Ezenkívül az utolsó reláció jobboldalán az unióban szereplő halmazok egy az n paraméter szerint növekvő halmazsorozatot alkotnak. Innen és a Lemma már bizonyított része alapján

P ( sup_{a≤t≤b}(X(t) − X(a)) > x) = lim_{n→∞} P ( sup_{1≤k≤2^{n}} (X(t_{k,n}) − X(a)) > x)

≤ lim_{n→∞} e^{−sx} ∏_{k=1}^{2^{n}} Ee^{sξ_{k,n}} = e^{−sx}Ee^{s(X(b)−X(a))}.

Ezzel a lemma mindkét állítását beláttuk.