\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

\centerline{\bf Elégséges becslések a statisztikában.}

\medskip\noindent
A statisztikában fontos szerepet játszó becsléselmélettel foglalkozunk.
Az első minket érdeklő kérdés az, hogy a rendelkezésre álló mintából,
aminek a segítségével egy eloszláscsalád ismeretlen paraméterét akarjuk
becsülni, ho\-gyan válasszuk ki a számunkra lényeges információt, és
hagyjuk el a lé\-nyeg\-te\-lent. Ez a probléma vezet el minket az
elégséges statisztika fogalmához. Annak érdekében, hogy ezt a 
problémát jobban megértsük tekintsük a következő példát.

Egy lámpa élettartamát akarjuk megbecsülni. (Ez az élettartam a 
be\-csü\-len\-dő ismeretlen paraméter). Ennek érdekében vesz\"unk
$n$ számú lámpát, és meg\-mér\-jük ezek $X_1,\dots,X_n$ élettartamát. 
Ezenkívül megszámoljuk meny\-nyi ezen lámpák összélettartama, és ahány 
órát égtek együtt ezek a lámpák összesen, annyiszor feldobunk egy 
dobókockát, és meg\-szá\-mol\-juk a hatos dobások $Y$ számát. Adjuk 
meg a $Z=(X_1,\dots,X_n,Y)$ vektor értékét a becslést végző személynek.
Világos, hogy ebben az adathalmazban a $Z$ vektor utolsó
koordinátája az $Y$ szám fölösleges, tehát a $Z$ vektor első $n$ 
koordinátája, a $Z'=(X_1,\dots,X_n)$ vektor ugyanannyi értékes 
információt ad, mint a $Z$ vektor, tehát ez elégséges statisztika.

Meg kívánjuk adni az elégséges statisztika jó definicióját olyan 
esetekben is, amelyekben bizonyos adatok fölöslegessége nem olyan 
nyílvánvaló, mint a fenti példában. Ezenkívül szeretnénk egy jó 
tételt bizonyítani, amely segít az elégséges statisztikák 
megtalálásában. Másik célunk egy olyan eredmény bizonyítása, amely 
megmutatja, hogy elégséges statisztikák segítségével ugyan\-olyan 
jó becslést tudunk adni, mint a teljes, tehát az elégséges statisztika 
információin kívül az elégséges statisztika használata során 
elhagyott információkat is felhasználó módszerek segítségével.

A fenti p\'eld\'aban a $Z=(X_1,\dots,X_n,Y)$ véletlen vektor feltételes 
eloszlása a $Z'=(X_1,\dots,X_n)=(x_1,\dots,x_n)$ feltétel mellett nem
függ a becsülendő paramétertől, (azaz a lámpa élettartamától), mert e 
feltétel mellett $X_1=x_1$,\dots, $X_n=x_n$, és a $Z$ vektor utolsó 
koordinátjának, az $Y$ valószínűségi változónak az értéke nem függ a 
keresett paraméter értékétől, mert az, hogy hányszor dobtuk fel a 
kockát, az az $x_1,\dots,x_n$ számok értékétől függ.

A most tárgyalt példa sugallja az elégséges statisztika definicióját.
Olyan esettel fogunk foglalkozni, ahol a megfigyelt $X$ valószínűségi
változó értékét az $R^n$ $n$-dimenziós Euklideszi térben veszi fel, 
(például független 1-dimenziós valószínűségi változók $n$ elemű 
sorozatát figyeljük meg), de tekinthetnénk általánosabb esetet is. 
Például a valószínűségi változó értéke lehet a $[0,1]$ intervallumban 
folytonos függvények terének egy eleme. Függjön ennek el\-osz\-lá\-sa 
egy ismeretlen $\vartheta$ paramétertől. Ezenkívül definiálunk egy 
$T(x)$ függvényt az $R^n$ t\'eren, és azt mondjuk, hogy $T(X)$ 
elégséges statisztika, ha az $X$ valószínűségi változó feltételes 
eloszlása, feltéve a $T(X)$ valószínűségi változó \'ert\'ek\'et a 
$\vartheta$ paraméterrel indexelt $P_\vartheta$ mérték szerint nem 
függ ettől a $\vartheta$ pa\-ra\-mé\-ter\-től. Az egyszerűség
kedvéért fel fogjuk tenni, hogy a $T(X)$ statisztika egy 
$m$-dimenziós Euklideszi térben veszi fel az értékét valamilyen 
$m$~pa\-ra\-mé\-ter\-rel, azaz $T\colon\; R^n\to R^m$. Az előzőleg 
tekintett példában $Z$ volt az $X$ valószínűségi változó a $T(X)$ 
elégséges statisztikát pedig úgy kaptuk, hogy a $Z$ vektornak 
elhagytuk az utolsó koordinátáját. Az elégséges statisztika pontos 
definiciója a következő.

\medskip\noindent
{\bf Elégséges statisztika definiciója.} {\it Legyen adva 
egy $(\Omega,{\cal A})$ mér\-het\H{o} tér \'es egy $X$ 
valószínűségi változó ezen a m\'erhet\H{o} t\'eren, amely 
értékeit az $R^n$ Euklideszi t\'erben veszi fel. Tegyük fel, hogy
az $X$ valószínűségi változó  eloszlása $P_\vartheta$, ahol 
$\vartheta\in\Theta$ egy $\Theta$ param\'eter halmazzal.
(Maga a $\vartheta$ param\'eter ismeretlen, \'es ezt
akarjuk megbecs\"ulni az $X$ valószínűségi változó értékének
a segítségével.)

Legyen $T(x)$ mérhető függvény az $R^n$ téren, amely értékeit
egy $R^m$  Euklideszi térben veszi fel valamilyen $m$ paraméterrel.
Azt mondjuk, hogy $T(X)$ elégséges statisztika (az $X $megfigyelésre
vonatkozólag), ha abban az esetben, amikor az $X$ valószínűségi 
változó eloszlása $P_\vartheta$ valamely $\vartheta\in\Theta$
param\'eterrel, a $T(X)$ valószínűségi változó feltételes 
eloszlása feltéve az $X$ va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változó értékét 
nem függ ettől a $\vartheta$ paramétertől, azaz minden 
$x\in R^n$ pontra és $A\subset R^n$ Borel mérhető halmazra
\begin{equation}
P_\vartheta(y\colon\: y\in A|\sigma(T(x)))=h_A(T(x)) \quad
\textrm{minden } \vartheta\in \Theta \textrm{  paraméterre}
\label{1}
\end{equation}
valamely Borel mérhető $h_A(\cdot)$ függvénnyel az $R^m$ téren.
Az (\ref{1}) azonoss\'ag bal oldal\'an az $\{y\colon\; y\in A\}$
halmaz indikátor függvényének vettük a feltételes vár\-ha\-tó 
értékét az $(R^n,{\cal B}^n,P_\vartheta)$ valószínűségi 
mezőn a $T(x)$ valószínűségi vál\-to\-zó által generált $\sigma(T(x))$
$\sigma$-algebra szerint. Ez a feltételes várható érték a $T(x)$ 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változ\'o függvénye. 
Az (\ref{1}) formula állítás\'anak lényeges része az, hogy a
benne szerepl\H{o} 
$h_A(\cdot)$ fügvény nem függ a $\vartheta$ paramétertől.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyzés:}\/ Érdemes néhany szót szólni arról, hogy milyen
valószínűségi mezőben és milyen valószínűségi változókkal fogunk 
dolgozni vizsgálataink során. A matematikai statisztika klasszikus 
problémáiban független, egyforma eloszlású $(X_1,\dots,X_n)$
valószínűségi változók sorozatával dolgozunk va\-la\-mi\-lyen 
ismeretlen $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, eloszlással. 
Kényelmesebb lesz ezt a sorozatot egyetlen $X=(X_1,\dots,X_n)$ 
vektor értékű valószínűségi változónak te\-kin\-te\-ni, 
tehát az így definiált $X$ véletlen vektornak az eloszlásával 
dolgozni a szorzattéren, és azt jelölni $P_\theta$-val. Ilyen 
módon nem csak független, hanem függő valószínűségi változók 
sorozatát is tudjuk vizsg\'alni a modellünkben.

A másik fontos kérdés az, hogy hogyan definiáljuk azt a valószínűségi 
mezőt, amelyben dolgozunk. A mi $X$ valószínűségi változónk egy
$(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőben van definiálva, de mi 
nem ezt a rendszert figyeljük meg, Mi azt tudjuk, hogy az $X$ 
valószínűségi változó eloszlása $P_\vartheta$ egy ismeretlen 
$\vartheta\in\Theta$  paraméterrel. Ezért érdemes egy olyan 
valószínűségi mezőt tekinteni, ahol a $P_\vartheta$ eloszlásokkal 
dolgozunk.

Ennek érdekében tekintsük az $(R^n,{\cal B}^n,P_\vartheta)$,
$\vartheta\in\Theta$, valószínűségi mezőt, azaz az $R^n$ Euklideszi
teret a ${\cal B}^n$ Borel $\sigma$-algebrával, ha az $X$ 
val\'oszínűségi változó az $R^n$ téren veszi fel az értékeit, 
\'es $P_\vartheta$ az $X$ valószínűségi változó eloszlása, azaz 
$P_\vartheta(B)=P(X\in B)$ minden $B\in{\cal B}^n$ halmazra. 
Ezenkívül tekintsük a $\xi(x)=x$, $x\in R^n$, valószínűségi 
változót az $(R^n,{\cal B}^n,P_\vartheta)$ téren. Ekkor $\xi(x)$ 
eloszlása $P_\vartheta$. 

Alkalmas $T(X)$ elégséges statisztikát keresünk. 
De ezt úgy definiáljuk, hogy megadunk egy az
$(R^n,{\cal B}^n)$ téren definiált mérhető $T(x)$ függvényt, 
és ebbe behelyettesítjük az $X$ valószínűségi változót.  
Az egy\-sze\-rű\-ség kedvéért feltesszük, hogy a keresett 
$T(x)$ függvény egy $T\colon\;R^n\to R^m$ Borel m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny az $R^n$ Euklideszi térből az $R^m$
Euklideszi térbe valamely $m>0$ paraméterrel. Hasonlóan egy 
az $X$ valószínűségi változó segítségével definiált 
$S(X)$ paraméterbecslést úgy adunk meg, hogy definiáljuk azt az
$S(x)$ függ\-vényt az $R^n$ téren, amelyikbe az $X$ valószínűségi 
változót behelyettesítjük. Jegyezzük meg, hogy ha az $X$ 
valószínűségi változó $P_\vartheta$ eloszlású, akkor az $S(X)$
és az $(R^n,{\cal B}^n,P_\vartheta)$ valószínűségi mezőn definiált
 $S(x)$   valószínűségi változó eloszlása megegyezik.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyzés:}\/ Haszn\'alni fogjuk a k\"ovetkez\H{o} 
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt is. Legyen adva egy 
$T(x)\colon\; R^n\to R^m$ Borel mérhető függvény, és definiáljuk 
a $\sigma(T(x))$ $\sigma$-algebrát az $(R^n,{\cal B}^n)$ mérhető 
téren úgy, mint azt a legszűkebb $\sigma$-algebrát, amely\-re a 
$T(x)$ függvény mérhető. A mér\-ték\-el\-mé\-let egy fon\-tos 
eredménye sze\-rint egy az $(R^n,{\cal B}^n)$ mérhető téren 
definiált $\eta$ függvény akkor és csak akkor mérhető a 
$\sigma(T(x))$ $\sigma$-algebra szerint, ha felírható 
$\eta(x)=h(T(x))$ alakban egy az $R^m$ Euklideszi téren Borel 
mérhető $h(x)$ függvény segítségével. 

\medskip\noindent
{\it 3. megjegyzés:}\/ Felidézem azokat a Radon--Nikodym deriváltakról
szóló ered\-mé\-nye\-ket is, amelyeket e jegyzetben használni fogunk.

Legyen adva egy $\mu$ és egy ránézve abszolút folytonos $\nu$ mérték 
egy $(\Omega,{\cal A})$ mérhető téren, és jelölje
$\frac{d\nu}{d\mu}$ a $\nu$ mérték Radon--Nikodym deriváltját a
$\mu$ mérték szerint. Ekkor a következő képlet segítségével tudunk 
áttérni egy a $\nu$ mérték szerinti integrálról egy $\mu$ mérték 
szerinti integrálra. 
$$
\int_\Omega f(\omega)\;d\nu(\omega)=
\int_\Omega f(\omega)\frac{d\nu}{d\mu}(\omega)\;d\mu(\omega).
$$
Ezzel az eredménnyel szoros kapcsolatban van a következő azonossság.
Ha adva van egy $\mu$ egy $\nu$ és egy $P$ mérték úgy, hogy $\nu$ 
abszolút folytonos a $\mu$, \'es $P$ abszolút folytonos a $\nu$ mértékre, 
akkor igaz a következő azonosság:
$$
\frac{dP}{d\mu}(\omega)=\frac{dP}{d\nu}(\omega)\frac{d\nu}{d\mu}(\omega).
$$
Ez az azonosság úgy értendő, hogy a két oldal egyenlő majdnem minden
$\omega\in\Omega$ pontban a $\mu$ mérték szerint. Ezeket az 
eredményeket egy általános $(\Omega,{\cal A})$ mérhető térben 
fogalmaztuk meg, de csak az $(R^n,{\cal B}^n)$ térben fogjuk használni.

\medskip
A k\"ovetkező eredményben az elégséges statisztika olyan jellemzését
kí\-ván\-juk adni, amely segít az elégséges statisztikák 
megtalálásában. Olyan ese\-tet vizsgálunk, amelyben a tekintett 
$P_\vartheta$ eloszl\'asok abszol\'ut foly\-to\-no\-sak 
egy $\sigma$-véges $\mu$ mértékre az $R^n$ Euklideszi t\'erben,
 tehát létezik a $\frac{dP_\vartheta}{d\mu}$ Radon--Nikodym derivált 
minden $\vartheta\in\Theta$ param\'eterre. Az alábbi Neyman--Fisher
faktoriz\'aci\'os tétel megadja a $\frac{dP_\vartheta}{d\mu}$ 
Radon--Nikodym deriváltak tulajdonságainak a segítségével annak 
szükséges és elégséges feltételét, hogy egy $T(X)$ statisztika 
elégséges legyen az $X$ sta\-tisz\-ti\-k\'a\-ra n\'ezve. 

\medskip\noindent
{\bf Neyman--Fisher faktoriz\'aci\'os tétel elégséges statisztikák 
jel\-lem\-zé\-sé\-ről.} {\it Legyen adva egy $X$ valószínűségi 
változó egy $(\Omega,{\cal A})$ mér\-het\H{o} téren, amely 
értékeit az $R^n$ Euklideszi veszi fel. Legyen az $X$ valószínűségi 
változó eloszlása valamely $P_\vartheta$ valószínűségi mérték az
$R^n$ Euklideszi tér Borel mér\-he\-tő rész\-hal\-ma\-zain, ahol 
$\vartheta\in\Theta$ egy $\Theta$ param\'eter halmazzal.
Tegyük fel, hogy létezik egy olyan $\mu$ $\sigma$-véges mérték
az $R^n$ tér Borel mérhető rész\-hal\-ma\-za\-in, amelyikre mindegyik 
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, m\'ert\'ek abszolút folytonos 
erre a $\mu$ mértékre az $(R^n,{\cal B}^n)$  téren. Legyen $T(x)$ 
$R^m$ \'ert\'ek\H{u} mérhető függvény az $R^n$ téren. 

A $T(X)$ statisztika akkor és csak akkor elégséges az $X$ 
sta\-tisz\-ti\-ká\-ra nézve, ha mindegyik $\vartheta\in\Theta$ 
param\'eterre a $\frac{dP_\vartheta}{d\mu}$ Radon--Nikodym derivált 
az $(R^n,{\cal B}^n)$ Euklideszi t\'eren felírható
\begin{equation}
\frac{dP_\vartheta}{d\mu}(x)=f_\vartheta(T(x))g(x)
\label{2}
\end{equation}
alakban, ahol $f_\vartheta(\cdot)$ mérhető függvény az $R^m$ t\'eren,
$g(x)$ pedig olyan mérhető függvény az $R^n$ téren, amelyik
nem függ a $\vartheta$ paramétertől.} 

\medskip
A Neyman--Fisher faktoriz\'aci\'os tétel bizonyításában fel fogjuk 
használni az alábbi lemma eredményét.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen adva $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$,
valószínűségi mértékek olyan családja az $(R^n,{\cal B}^n)$
Euklideszi téren, amelynek mindegyik eleme abszolút folytonos egy 
az $(R^n,{\cal B}^n)$ téren definiált $\mu$ $\sigma$-véges
mértékre. Ekkor létezik megszámlálhatóan  sok 
$\vartheta_1,\vartheta_2,\dots$, $\vartheta_j\in\Theta$, 
$j=1,2,\dots$, paraméter, és $c_j>0$, $j=1,2,\dots$ valós számok 
sorozata úgy, hogy $\sum_{j=1}^\infty c_j=1$, 
és $Q=\sum_{j=1}^\infty c_jP_{\vartheta_j}$ olyan valószínűségi mérték az
$(R^n,{\cal B}^n)$ téren, amelyre teljes\"ul, hogy $P_\vartheta$ 
abszolút foly\-to\-nos a $Q$ mértékre minden $\vartheta\in\Theta$ 
index eset\'eben.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A $c_j$, $c_j>0$, $\sum_{j=1}^\infty c_j=1$ 
paramétereket tetszőleges módon választhatjuk a fenti lemmában.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizonyítása.} Feltehetjük, hogy a lemmában szereplő $\mu$
mérték véges és nem csak $\sigma$-véges. Valóban, ha $\mu$ felírható 
$\mu=\sum_{j=1}^\infty \mu_j$ alakban, ahol $\mu_j$, $j=1,2,\dots$,
véges mérték, akkor a $\mu$ mértéket helyettesíthetjük tetszőleges 
$\mu'=\sum_{j=1}^\infty c_j\mu_j$ alakú mértékkel is a lemmában, ahol 
$c_j>0$, \'es a $c_j$ konstansok alkalmas választásával 
elérhetjük, hogy az új $\mu'$ mérték véges legyen.

Vezessük be a valószínűségi mértékek ${\cal P}$ családját, ahol 
$P\in{\cal P}$ , ha léteznek olyan $P_{\vartheta_j}$ mértékek,
$\vartheta_j\in\Theta$, és $c_j>0$, $j=1,2,\dots$, konstansok, amelyekre
$\sum_{j=1}^\infty c_j=1$, \'es $P=\sum_{j=1}^\infty c_jP_{\vartheta_j}$. 
Világos, hogy mindegyik $P\in{\cal P}$ mérték abszolút folytonos 
a $\mu$ mértékre. 

Elég belátni, hogy van olyan $Q\in{\cal P}$ mérték, amelyre igaz, 
hogy mindegyik $P\in{\cal P}$ mérték abszolút folytonos erre a 
$Q$ mértékre. Egy ilyen m\'ert\'ek megtal\'al\'asa érdekében 
defini\'aljuk a $B(Q)=\left\{x\colon\; \frac{dQ}{d\mu}(x)>0\right\}$ 
halmazt minden $Q\in{\cal P}$ m\'ert\'ekre, \'es legyen 
$A=\sup\limits_{B(Q)\colon\;Q\in{\cal P}}\mu(B(Q))$. Azt állítom, 
hogy létezik olyan $Q\in{\cal P}$ m\'ert\'ek, amelyre $\mu(B(Q))=A$. 
Valóban, vegyük olyan $B(Q_n)$, $Q_n\in{\cal P}$, $n=1,2,\dots$,  
halmazok sorozatát, amelyekre $\mu(B(Q_n))\to A$. Ekkor a
$Q=\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}P_n$ mértékre $Q\in{\cal P}$, 
$B(Q)\supset \bigcup\limits_{n=1}^\infty B(Q_n)$, ez\'ert
$\mu(B(Q))\ge\limsup_{n\to\infty} \mu(B(Q_n))\ge A$, illetve 
az $A$ sz\'am definici\'oja miatt $\mu(B(Q))=A$.

Azt állítom, hogy minden $P\in{\cal P}$ mérték abszolút 
folytonos az előbb konstruált $Q$ mértékre. Valóban, tekintsünk 
egy $P\in{\cal P}$ mértéket. Ha ez nem 
lenne abszolút folytonos a $Q$ mértékre, akkor létezne olyan
$D\in{\cal B}$ halmaz, amelyre $P(D)>0$, és $Q(D)=0$,
ez\'ert $D\cap B(Q)=\emptyset$. Tov\'abb\'a $P(D')>0$ 
a $D'=D\cap\left \{x\colon\:\frac{dP}{d\mu}(x)>0\right\}$ 
halmazra, ez\'ert $\mu(D')>0$. Innen egyr\'eszt 
$\mu(B(Q)\cup D')=\mu(B(Q))+\mu(D')>\mu(B(Q))=A$, 
m\'asr\'eszt
a $Q^*=\frac12(Q+P)$ mértékre $Q^*\in{\cal P}$,
\'es $B(Q)\cup D'\subset B(Q^*)$. Ez azt jelenti, hogy
$\mu(B(Q^*))\ge\mu(B(Q)\cup D')>A$,
és ez ellentmondás. A lemmát beláttuk.

\medskip\noindent
{\it A Neyman--Fisher faktorizációs tétel bizonyítása.}\/ Először
azt látjuk be, hogy ha a $T(X)$ statisztika elégséges, azaz  
teljesíti a (\ref{1}) relációt, és $\mu$ egy a $P_\vartheta$, 
$\vartheta\in\Theta$,
valószínűségi mértékeket dominál\'o mérték, akkor teljesül a 
(\ref{2}) reláció is ezzel a $\mu$ m\'ert\'ekkel. Első lépésben a 
$\frac{dP_{\vartheta}}{d\mu}$ Radon--Nikodym deriváltak helyett a
$\frac{dP_{\vartheta}}{dQ}$
Radon--Nikodym deriváltakat számoljuk ki, ahol $Q$ a lemmában
szereplő tulajdonságokat teljesítő mérték.

Megmutatjuk, hogy az (\ref{1}) tulajdonság nem csak a $P_\vartheta$,
$\vartheta\in\Theta$, hanem minden $P\in{\cal P}$
mértékre, tehát speciálisan a $Q$ mértékre is érvényes. Ennek érdekében
tekintsünk egy $A\in{\cal B}(R^n)$ és $B\in{\cal B}(R^m)$ halmazt, egy
$P=\sum_{j=1}^\infty c_jP_{\vartheta_j}\in{\cal P}$ valószínűségi mértéket, 
és végezzük el a következő számolást, amelyikben felhaszn\'aljuk
az~(\ref{1}) formul\'at, \'es benne a $h(T(x))$ f\"uggv\'eny
jelent\'es\'et.
\begin{eqnarray*}
&&P(\{x\colon\; x\in A\}
\cap\{x\colon\; T(x)\in B\}) \\
&&\qquad=\sum_{j=1}^\infty c_j P_{\vartheta_j}(\{x\colon\; x\in A\}
\cap\{x\colon\; T(x)\in B\}) \\
&&\qquad =\sum_{j=1}^\infty c_j\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} 
h_A(T(x))\,dP_{\vartheta_j} \\
&&\qquad=\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} 
\sum_{j=1}^\infty c_j
h_A(T(x))\,dP_{\vartheta_j}\\
&&\qquad=\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} h_A(T(x))\,dP,
\end{eqnarray*}
ahonnan
$$
P(x\in A|\sigma(T(x)))=h_A(T(x)) \quad\textrm{minden }P\in{\cal P}
\textrm{ mértékre.}
$$
Speci\'alisan
$$
P_\vartheta(x\in A|\sigma(T(X)))= Q(x\in A|\sigma(T(x))) 
\quad\textrm{minden }\vartheta\in\Theta \textrm{ paraméterre.}
$$
Ennek az utolsó relációnak a segítségével fogjuk bizonyítani a
(\ref{2})~relációt. Ennek érdekében először a $\frac{dP_\vartheta}{dQ}$,  
$\vartheta\in\Theta$, Radon--Nikodym deriváltat fogjuk kiszámolni.

Jelölje $f_\vartheta(T(x))$ a $\frac{dP_\vartheta}{dQ}$ Radon--Nikodym
deriváltat az  $(R^n,\sigma(T(x)))$ téren, azaz, amikor azt a 
$\sigma(T(x))$ $\sigma$-algebrát tekintjük az $R^n$ t\'eren,
ami a legszűkebb olyan $\sigma$-algebra az $R^n$ téren, 
amelyikre a $T(x)$ függvény mérhető. Ez a Radon--Nikodym deriv\'alt
a $T(x)$ f\"uggv\'eny f\"uggv\'enye, mert $\sigma(T(x))$ m\'erhet\H{o}.

Ekkor tetszőleges $A\in{\cal B}(R^n)$ halmazra, felírhatjuk hogy
\begin{eqnarray*}
&&P_\vartheta(x\colon\;x\in A)=\int P_\vartheta(x\in A|\sigma(T(x))) 
dP_\vartheta \\
&&\qquad=\int Q(x\colon\; x\in A|\sigma(T(x)) f_\vartheta(T(x)) dQ \\
&&\qquad=\int E_Q(I_{\{(x\colon\; x\in A\}} 
f_\vartheta(T(x))|\sigma(T(X)) dQ \\
&&\qquad=\int I_{\{x\colon\;x \in A\}} f_\vartheta(T(x)) dQ
=\int_{\{x\colon\; x\in A\}} f_\vartheta(T(x)) dQ,
\end{eqnarray*}
ahol $I_A$ az $A$ halmaz indikátor függvényét jelöli.

Innen
$$
\frac{dP_\vartheta}{dQ}(x)=f_\vartheta(T(x)),
$$
és
$$
\frac{dP_\vartheta}{d\mu}(x)=
\frac{dP_\vartheta}{dQ}(x)\frac{dQ}{d\mu}(x)
=f_\vartheta(T(x)) g(x),
$$
ahol $g(x))$ a $\frac{dQ}{d\mu}$ Radon--Nikodym deriv\'alt
az $(R^n,{\cal B}^n)$ téren. A (\ref{2})~formulát beláttuk.

\medskip
Lássuk be, hogy a (\ref{2}) formulából következik a (\ref{1}) formula.
Ennek ér\-de\-ké\-ben először kiszámoljuk a $\frac{dP_\vartheta}{dQ}$
Radon--Nikodym deriváltat, ha a
$\frac{dP_\vartheta}{d\mu}$ Ra\-don--Nikodym derivált teljesíti a 
(\ref{2}) relációt.

Azt állítom, hogy
\begin{equation}
\frac{dP_\vartheta}{dQ}(x)=u_\vartheta(T(x)) \quad
\textrm{a } {\cal B}^n \;\; \sigma\textrm{-algebrán}  
\label{3}
\end{equation}
az
$$
u_\vartheta(T(x))=\frac{f_\vartheta(T(x))}
{\sum_{j=1}^\infty c_jf_{\vartheta_j}(T(x))}
$$
függvénnyel. Az $u_\vartheta(T(x))$ függvény explicit alakjának az
ismeret\'ere nem lesz szükségünk, el\'eg azt tudni, hogy ez $T(x)$
f\"uggv\'enye. Azért hasznosabb a (\ref{3}), 
mint a (\ref{2})~formula, mert ebben nem szerepel a második, nem a 
$T(x)$ függvénytől függő $g(x)$ faktor, (amelyik viszont nem függ 
a $\vartheta$ paramétertől).

A (\ref{3}) bizonyításában felhasználjuk a 
$\frac{dP_\vartheta}{d\mu}=\frac{dP_\vartheta}{dQ}\frac{dQ}{d\mu}$
azonosságot, ahonnan azt kapjuk, hogy
$$
f_\vartheta(T(x))g(x)
=\frac{dP_\vartheta}{dQ}(x)
\left(\sum_{j=1}^\infty c_jf_{\vartheta_j}(T(x)))g(x)\right).
$$
Innen osztással kifejezve a $\frac{dP_\vartheta}{dQ}$ Radon-Nikodym 
deriváltat megkapjuk a (\ref{3}) formulát a megadott 
$u_\vartheta(T(x))$ függvénnyel. Valójában az említett számolás
jogossága némi indoklásra szorul. Mi van akkor, ha a felhasznált 
azonosság mind a két oldala nullával egyenlő? Csak röviden 
indokolom meg a számolás jogosságát. A bizonyítandó azonosság 
igaz, ha $2^n<f_\vartheta(T(x))g(x)\le 2^{n+1}$, és
$2^m<\sum_{j=1}^\infty c_jf_{\vartheta_j}(T(x))g(x)\le 2^{m-1}$
valamilyen $n,m=0,\pm1,\pm2,\dots$ számokkal. Innen következik,
hogy a (\ref{3})~formula igaz majd\-nem minden  $x$ pontban a 
$Q$ mérték szerint, mert csak null mértékű halmazt nem vettünk 
figyelembe a sz\'amol\'asban.

Belátom, hogy a (\ref{3}) formula teljesülése esetén érvenyes az 
(\ref{1})~formula a  $h_A(T(x))=E_Q(I_{\{x\colon\;x\in A\}}|\sigma(T(x)))$
választással minden $A\in R^n$ Borel mérhető halmazra. Ez az alábbi 
számolásból következik.

Tetszőleges $A\in R^n$ és $B\in R^m$ Borel mérhető halmazokra
\begin{eqnarray*}
&& 
\int_{\{x\colon\; T(x))\in B\}} I_{\{x\colon\;x\in A\}} dP_\vartheta
=\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} I_{\{x\colon\; x\in A\}}
 u_\vartheta(T(x))dQ \\
&&\qquad=\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} 
E_Q(I_{\{x\colon\;x\in A\}} u_\vartheta(T(x))|\sigma(T(x)))dQ \\
&&\qquad=\int_{\{\omega\colon\; T(x)\in B\}} 
h_A(T(x))) u_\vartheta(T(x))dQ \\
&&\qquad=\int_{\{x\colon\; T(x)\in B\}} 
h_A((T(x)) dP_\vartheta,
\end{eqnarray*}
és $h_A(T(x))$ $\sigma(T(x))$  mérhető függvény. 
Ezért 
$$
P_\vartheta(x\in A)|\sigma(T(x))=h_A(T(x))). 
$$
Ezzel a tétel mindkét irányú állítását beláttuk.

\medskip
E jegyzet befejező részében azt mutatjuk meg, hogy ha adva van egy 
úgy\-ne\-ve\-zett torzítatlan paraméter becslés, akkor tudunk 
konstruálni olyan elégséges statisztikán alapuló torzítatlan 
becslést, amelyik jobb ennél a becs\-lés\-nél, mert tetszőleges 
paraméter esetén kisebb a szórása. A tétel megfogalmazása
előtt felidézem a torzítatlan becslés 
definiciój\'at.

\medskip\noindent
{\bf Torzítatlan becslés definiciója.} {\it Le\-gyen adva 
egy $(\Omega,{\cal A})$ mér\-het\H{o} tér \'es azon egy $X$ 
valószínűségi változó, amely értékeit az $R^n$ Euklideszi 
t\'eren veszi fel. Legyen az $X$ valószínűségi változó  eloszlása 
$P_\vartheta$, ahol $\vartheta\in\Theta$ egy $\Theta$ 
param\'eter halmazzal. Annak a $\vartheta$ param\'eternek 
az értéke, amelyik meg\-ha\-tá\-roz\-za az $X$ valószínűségi 
változó eloszlását  ismeretlen. 

Legyen adva valamely $\psi(\vartheta)$, $\vartheta\in\Theta$, 
függvény amelyet meg akarunk be\-csül\-ni. Az $X$ 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változó egy $S(X)$  
függvényét, ahol $S(x)$ mérhető függvény az $(R^n,{\cal B}^n)$  
téren becs\-lés\-nek nevezünk. Azt mondjuk, hogy $S(X)$ 
torzítatlan becslése a $\psi(\vartheta)$ függvénynek, ha 
$ES(X)=E_\vartheta S(x)=\psi(\vartheta)$ minden 
$\vartheta\in\Theta$ paraméterre abban az esetben, ha az 
$X$ valószínűségi változó eloszlása $P_\vartheta$, ahol 
$E_\vartheta$ várható értéket jelent a $P_\vartheta$ mérték 
szerint.}

\medskip
A következő Rao--Blackwell--Kolmogorov tétel arról szól, hogy
hogyan lehet egy torzítatlan paraméter becslést helyettesíteni
egy jobb, elégséges statisztikán alapuló torzítatlan becsléssel.

\medskip\noindent
{\bf Rao--Blackwell--Kolmogorov tétel.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega, {\cal A})$ mérhető tér, azon egy $X$ $R^n$ térbeli 
értéket felvevő valószínűségi változó, amelynek eloszlása a
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, eloszlások családjába
tartozik valamely ismeretlen $\vartheta\in\Theta$ paraméterrel.
Legyen adva a $\vartheta$ paraméter valamely $\psi(\vartheta)$
függvényének egy torzítatlan $S(X)$ becslése az $X$ valószínűségi
változó segítségével. Ezen\-kí\-vül tegyük fel, hogy létezik egy
olyan $\mu$ $\sigma$-véges mérték az $R^n$ téren, amelyre mindegyik 
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mérték abszolút folytonos, és 
egy olyan $T(x)$ mérhető függvény az $R^n$ térből valamely 
$R^m$ térbe, amelyre a $\mu$ mértékkel együtt teljesül a 
(\ref{2}) formula valamely $f_\vartheta(T(x))$ és $g(x)$ 
függvényekkel.

Ekkor $T(X)$ elégséges statisztika a Neyman--Fisher faktorizációs
tétel sze\-rint. Ezenkívül az $E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x)))$ 
feltételes várható érték a $P_\vartheta$ mérték sze\-rint
teljesíti az $U(T(x))=E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x)))$ azonosságot 
 egy olyan az $R^m$ téren definiált mérhető $U(x)$ függvénnyel,
amelyik nem függ a $\vartheta$ paramétertől. $U(T(X))$ 
torzítatlan becslése a $\psi(\vartheta)$ függ\-vény\-nek, 
amelyre $\textrm{Var}\, U(T(X))\le\textrm{Var}\, S(X)$
minden $\vartheta\in\Theta$ paraméterre, ha $X$ $P_\vartheta$ 
eloszl\'as\'u $\vartheta\in\Theta$ param\'eterrel.} 

\medskip\noindent
{\it A Rao--Blackwell--Kolmogorov tétel bizonyítása.} Először
azt kell megmutatni, hogy az $E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x))$ 
feltételes várható érték nem függ a $P_\vartheta$ mértéktől.
A bizonyítás alapgondolata az, hogy a feltéteteles eloszlások
nem függnek a $\vartheta$ paramétertől, és a vizsgált feltételes
várható értéket ki lehet számolni a feltételes eloszlások
szerinti integrál segítségével, tehát egy olyan integrál
formájában, amely nem függ a $\vartheta$ paramétertől.

Ahhoz, hogy ezt a bizonyítást végrehajtsuk szükségünk van a
va\-ló\-szí\-nű\-ség\-szá\-mí\-tás egy nem triviális eredményére 
a feltételes eloszlások létezéséről, amelyek szerinti klasszikus 
Lebesgue integrál lehetővé teszi a feltételes vár\-ha\-tó 
értékek kiszámolását. Valójában ennél kicsit többre van 
szükségünk. Úgy kell megadni a feltételes eloszlásokat mindegyik 
$P_\vartheta$ mérték szerint, hogy ez az eloszlás ne függjön a 
$\vartheta$ paramétertől. (A felt\'eteles eloszl\'asok 
konstrukci\'oja sor\'an megjelen\H{o} különböző $\vartheta$ 
paraméterekhez tartozó null-mértékű kivételes, rossz halmazoknak 
együttesen is kicsiknek kell lenni\"uk.) Ez a tu\-laj\-don\-ság azonban 
a Neyman--Fisher tétel bi\-zo\-nyí\-tá\-sá\-ban kapott 
rész\-ered\-mé\-nyek segítségével biztosítható.

Felidézem a feltételes eloszlások létezéséről szóló eredményt.

\medskip
Legyen adva egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mező, azon egy 
${\cal F}\subset{\cal A}$ $\sigma$-algebra és
egy $\xi$ valószínűségi változó amely értékeit az $R^n$ Euklideszi térben
veszi fel. Ekkor létezik egy olyan $F(B,\omega)$ függvény, ahol az első
$B$ koordináta az $R^n$ Euklideszi tér Borel-mérhető részhalmaza, 
a második $\omega$ koordináta az $\Omega$ halmaz pontja, úgy hogy a 
következő tulajdonságok teljesülnek.

\medskip
\begin{description}
\item[{\rm a)}] $F(\cdot,\omega)$ valószínűségi mérték minden 
r\"ogz\'{\i}tett 
$\omega\in\Omega$ pontra az $R^n$ tér Borel mérhető részhalmazain.

\item[{\rm b)}] $F(B,\cdot)$ ${\cal F}$ mérhető függvény az $\Omega$ 
halmazon, 
az $R^n$ Euklideszi tér  minden $B$ r\"ogz\'{\i}tett Borel mérhető 
részhalmazára.

\item[{\rm c)}] $P(\xi\in B|{\cal F})(\omega)= F(B,\omega)$ az 
$R^n$ tér minden $B$ Borel mérhető rész\-hal\-ma\-zá\-ra. 
\end{description}

\medskip
A Neyman--Fisher féle faktorizációs tételben beláttuk, hogy a tétel
fel\-té\-te\-lei\-nek teljesülése esetén létezik olyan $Q$ valószínűségi 
mérték az $R^n$ tér Borel mér\-he\-tő részhalmazain, amelyre 
$Q(x\in B|\sigma(T(x)))=P_\vartheta(x\in B|\sigma(T(x)))$ 
minden $B$ Borel mérhető halmazra az $R^n$ Euklideszi t\'erben. 
Alkalmazhatjuk a feltételes eloszlásokról szóló
tétel eredményét az $(R^n,{\cal B}^n,Q)$ valószínűségi mezőn a $\xi(x)=x$
valószínűségi változóra és ${\cal F}=\sigma(T(x))$ $\sigma$-algebrára.
A fenti eredmény alapján a fenti választásal kapott $Q(B,x)$ feltételes
eloszlás választható a $P_\vartheta(B,x)$ felt\'eteles eloszlásnak 
minden $\vartheta\in\Theta$ paraméterre.

Innen, és abból a viszonylag egyszerű eredményből, amely lehetővé
teszi a feltételes várható érték kiszámolását a feltételes eloszlás
segítségével kö\-vet\-ke\-zik, hogy a
$$
V(x)=E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x))=\int S(y) Q(\,dy,x)
$$
függvény nem függ a $\vartheta$ paramétertől, \'es $V(x)$ 
fel\'{\i}rhat\'o $V(x)=U(T(x))$ alakban, mert $\sigma(T(x))$ 
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.

A tétel befejező részének a bizonyítása egyszerű.
\begin{eqnarray*}
E U(T(X))&=&E_\vartheta U(T(x))
=E_\vartheta(E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x))) \\
&=&E_\vartheta S(x)=E S(X)=\psi(\vartheta)
\end{eqnarray*}
ha az $X$ valószínűségi változó eloszlása $P_\vartheta$, tehát 
$U(X)$ az $S(x)$ valószínűségi változóhoz hasonlóan a 
$\psi(\vartheta)$ függvény torzítatlan becslése.

Hasonlóan, felhasználva a feltételes várható érték tulajdonságait
kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
E U^2(T(X))&=& E_\vartheta U^2(T(x))
=E_\vartheta\left(\left[E_\vartheta(S(x)|\sigma(T(x))\right]^2\right) \\
&\le& E_\vartheta S^2(x)=E S^2(X),
\end{eqnarray*}
ha az $X$ valószínűségi változó eloszlása $P_\vartheta$.
 
Ezért 
az $U(T(X))$ és $S(X)$ becslések torzítatlanságát felhaszn\'alva kapjuk a
$$
\textrm{Var U((T(X))}=E U^2(T(X))-\psi(\vartheta)^2 \le
E S^2(X)-\psi(\vartheta)^2=\textrm{Var}\, S(X)
$$ 
egyenlőtlenséget, ha az $X$ valószínűségi változó eloszlása 
$P_\vartheta$.


\begin{center}
{\bf Kiegészítés.}
\end{center}

\medskip\noindent
Röviden ismertetek néhány további hasznos fogalmat és eredményt
a becs\-lé\-sek\-kel kapcsolatban. A bizonyításokat elhagyom.

Az elégséges statisztikák nem egyértelműen meghatározottak.
Például az eredeti megfigyelt véletlen vektor mindig elégséges
statisztika, de érdekes ese\-tek\-ben van más, kevesebb információt
tartalmazó elégséges statisztika is. Az a kérdés, hogy van-e legjobb
elégséges statisztika. A válasz nagyon általános esetekben igenlő,
de az eredmény megfogalmazása érdekében először be kell vezetni
a megfelelő fogalmat. Ez\'ert definiáljuk a minimális elégséges 
sta\-tisz\-ti\-ká\-kat.

\medskip\noindent
{\bf Minimális elégséges statisztika definiciója.} {\it Legyen 
adva egy $(\Omega,{\cal A})$ mér\-het\H{o} tér \'es azon egy $X$ 
valószínűségi változó, amely értékeit az $R^n$ Euklideszi t\'erben 
veszi fel, és eloszlása valamely $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$ 
valószínűségi mérték az $R^n$ t\'eren egy $\Theta$ param\'eter 
halmazzal.

Legyen $T(x)$ olyan mérhető (vektor értékű) függvény az 
$R^n$ téren, amelyre $T(X)$ elégséges statisztika ezzel a
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, m\'ert\'ekcsal\'addal. Azt 
mondjuk, hogy $T(X)$ minim\'alis el\'egs\'eges statisztika, 
ha minden olyan $S(x)$ függvényre az $R^n$ Euklideszi téren, 
amelyre $S(X)$ elégséges statisztika ugyanezzel a 
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, m\'ert\'ekcsal\'addal, a  
$T(x)=u(S(x))$ azonosság teljesül valamely  $u(\cdot)$ mérhető 
függvénnyel, vagy ami ezzel ekvivalens, 
$\sigma(T(\cdot))\subset \sigma(S(\cdot))$, azaz az a 
leg\-szű\-kebb $\sigma$-algebra az $R^n$ téren, amelyre 
a $T(\cdot)$ f\"uggv\'eny mérhető, kisebb, mint az a 
legszűkebb $\sigma$-algebra az $R^n$ t\'eren, amelyre az 
$S(\cdot)$ függvény mérhető.}

\medskip 
Ha két k\"ulönböző $S_1(x)$ és $S_2(x)$ függvény mindegyike 
meghatároz egy minimális elégséges statisztikát (ugyanazzal a 
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mér\-ték\-csa\-lád\-dal), 
akkor az általuk generált $\sigma$-algebrák megegyeznek, vagy 
ami ezzel ekvivalens, e transzform\'aci\'ok egymás függvényei, 
azaz léteznek olyan $u_1(\cdot)$ és $u_2(\cdot)$ 
f\"ugg\-v\'e\-nyek, amelyekre $S_2(x)=u_2(S_1(x))$, és  
$S_1(x)=u_1(S_2(x))$ . Ez az eredm\'eny megmondja, hogy 
milyen mértékben egyértelműen meghat\'arozott egy minimális 
elégséges statisztika.

Nagyon általános feltételek mellett létezik minimális elégséges
statisztika. Bahadur R. R. (1957) On unbiased estimetes of 
unifrormly minimum variance című cikkében, Sankhya,18, 211--224, 
bebizonyította minimális elégséges statisztikák létezését 
akkor, ha létezik a $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mértékeknek 
közös domináló mértéke. (Ez volt a Neyman--Fisher faktorizációs
tétel feltétele is.) Ismeretes ezenkívül a minimális elégséges
statisztikáknak jellemzése is. Erról szól az alábbi tétel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel minim\'alis el\'egs\'eges statisztik\'ak
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen a $P_\vartheta$, 
$\vartheta\in\Theta$, eloszláscsalád az $R^n$ t\'eren
olyan, hogy e valószínűségi mértékcsaládnak van egy 
$\mu$ $\sigma$-v\'eges domináló mértéke. Legyen a 
$P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mérték 
sű\-rű\-ség\-függ\-vé\-nye a $\mu$ mérték szerint 
$L_\vartheta(x)$. Egy $T(x)$ függvény 
akkor és csak akkor határoz meg egy minimális elégséges $T(X)$ 
statisztikát, ha tetszőleges $x,y\in R^n$ pontpárra 
$$
\frac{L_\vartheta(x)}{L_\vartheta(y)} \textrm { nem függ a  }
\vartheta\in\Theta \textrm{ paramétertől } \Longleftrightarrow \; T(x)=T(y).
$$
}

\medskip
Heurisztikus szinten egyszerűen megmagyarázhatóak az előbb 
megfogalmazott eredmények. Vezessük be a következő ekvivalencia
osztályokat az $R^n$ téren. Egy $x$ és $y$ pont akkor tartozik
ugyanabba az ekvivalencia osztályba, ha az
$\frac{L_\vartheta(x)}{L_\vartheta(y)}$ hányados \'ert\'eke nem függ 
a $\vartheta\in\Theta$ paramétertől. Vegyük észre, hogy egy $x$ 
és $y$ pont ismerete ugyanazt az információt adja
a $\vartheta\in\Theta$ paraméter értékéről, ha ezek a pontok 
ugyanabban az ekvivalencia osztályban vannak, míg eltérő 
információt ad, ha különböző ekvivalencia osztályokban vannak. 
Ez a k\"ovetkező képet sugallja.

Tekintsük azt az ${\cal U}$ $\sigma$-algebrát az $R^n$ téren, 
amelynek atomjai az előbb definiált ekvivalencia osztályok. 
Heurisztikus szinten azt v\'arjuk, hogy egy $T(X)$ statisztika
akkor és csak akkor elégséges, ha a $T(x)$ függvény mérhető az
${\cal U}$ $\sigma$-algebrára. Ez azt jelenti, hogy ${\cal U}$
a (létező) minimális elégséges statisztikát meghatározó  
$\sigma$-algebra, és $T(X)$ akkor és csak akkor minimális
elégséges statiszika, ha a $T(x)$ függvény az ${\cal U}$
$\sigma$-algebrát generálja.  


\medskip
Egy másik probléma, amivel foglalkozni fogunk az, hogy találjunk 
minél jobb torzítatlan paraméter becslést egy minta segítségével.
Bevezetem az e problémával kapcsolatos legfontosabb fogalmakat,
és megadok néhány ered\-ményt, de a bizonyításokat elhagyom.
Az első fogalom a hatásosság (efficiency), amely arról szól,
hogy mikor jobb egy torzítatlan becslés, mint a másik.

\medskip\noindent
{\bf Hatásosság definiciója.} {\it Legyen $T_1(X)$  és $T_2(X)$
a $\vartheta$ paraméter valamely $\psi(\vartheta)$ függvényének
torzítatlan becslése. Azt mondjuk, hogy a $T_1(x)$
becslés hatásosabb, mint a $T_2(X)$ becslés, ha
$$
\textrm{Var}_\vartheta (T_1(X))\le \textrm{Var}_\vartheta (T_2(X))
 \quad\textrm{minden } \vartheta\in\Theta \textrm{ paraméterre.}
$$
A $\vartheta\in\Theta$ param\'eter egy $\psi(\vartheta)$, 
függvény\'enek torzítatlan becslése hatásos, ha az a 
$\psi(\vartheta)$, $\vartheta\in\Theta$, f\"uggv\'eny
minden torzítatlan becslésénél hatásosabb.}

\medskip
A most bevezetett hatásosság csak részben rendezés, ez\'ert nincsen
mindig ha\-t\'a\-sos rendez\'es. Ha viszont van, akkor az egyértelmű.
Ezt mondja ki az alábbi tétel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $T_1(X)$ \'es $T_2(X)$ egyaránt torzítatlan,
hatásos becslései a  $\psi(\vartheta)$, $\vartheta\in\Theta$, függvénynek,
akkor 
$$
P_\vartheta(T_1(x)=T_2(x))=1 \quad \textrm{minden } \vartheta\in\Theta
\textrm{ paraméterre.}
$$
}

\medskip
Ez a tétel megegyezik a Bolla--Krámli könyv 3. fejezetének az
1.3 tételével. A bizonyítást, amely megtalálható ebben a 
könyvben elhagyom. Csak meg\-jegy\-zem a bizonyítás fő gondolatát.
Ha $T_1(X)$ \'es $T_2(X)$ egyaránt torzítatlan, hatásos becslései 
a  $\psi(\vartheta)$, $\vartheta\in\Theta$, függvénynek, akkor
ugyanez elmondhat\'o a $\frac{T_1(X)+T_2(X)}2$ becslésre is.
Sőt, abból hogy ez nem lehet szigorúan hat\'asosabb, mint a
$T_1(X)$ és $T_2(X)$ becslések, (különben az utóbbi becslések 
nem lennének hatásosak) következik a tétel állítása.

\medskip
Éredekel minket az is, hogy mikor van egyetlen torzítatlan
becslés. Ez vezetett az alábbi fogalom bevezetéséhez.

\medskip\noindent
{\bf Teljes statisztika definiciója.} {\it  Egy $T(X)$ statisztika 
teljes a $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, eloszláscsalád szerint, 
ha minden olyan $g(\cdot)$ függvényre, amelyre érvényes az 
$E_\vartheta (g(T(x))=0$ reláció minden $\vartheta\in\Theta$ 
param\'eterre, ugyancsak \'erv\'enyes a $P_\vartheta(g(T(x))=0)=1$ 
reláció minden $\vartheta\in\Theta$ param\'eterre.}

\medskip
A Rao--Blackwell--Kolmogorov tétel alapján tudjuk, hogy
ha $T(x)$ elég\-sé\-ges statisztika, akkor tetszőleges torzítatlan 
becslésnél van hatásosabb, a $T(X)$ statisztikán alapuló 
torzítatlan becslés. Ha ez a $T(X)$ statisztika teljes, és 
egy $\psi(\vartheta)$ függvénynek van egy a $T(X)$ 
statisztikán alapuló $g(T(X))$ torzítatlan becslése, akkor 
ez a becslés hatásos, mert a teljesség miatt a $\psi(\vartheta)$ 
függvénynek nincs más a $T(X)$ statisztikán alapuló torzítatlan 
becslése.

Érdemes kimondani a következő tételt is. (Ez a Bolla--Krámli
könyv második fejezetének 3.3 tétele.)

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $T(X)$ elégséges statisztika teljes, 
akkor az minimális elégséges statisztika is.}

\medskip
Végül ismertetem egy fontos eloszláscsaládnak, az úgynevezett
ex\-po\-nen\-ci\-ális eloszl\'ascsaládnak a fogalmát. Egyrészt 
fontos eloszláscsaládokról mondhatjuk, hogy exponenciális
függvénycsaládot alkotnak, másrészt ezeknek szép tulajdonságai
vannak. Ezekben lehet találni természetes módon érdekes elégséges
statisztikákat, amelyek nagyon általános feltételek mellett
teljesek is. Ez az előbb kimondott tétel alapján azt jelenti,
hogy e statisztikák minimális elégséges statisztikák.

\medskip\noindent
{\bf Exponenciális eloszláscsaládok definiciója.} {\it Azt mondjuk,
hogy az $R^n$ Euklideszi téren definiált $P_\vartheta$, 
$\vartheta\in\Theta$, valószínűségi mértékek halmaza
exponenciális családot alkot, ha $\Theta\subset R^k$ valamilyen
$k\ge1$ indexszel, a $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$ mértékeknek 
létezik egy  $\nu$ $\sigma$-véges
domináló mértéke, és a $P_\vartheta$, $\vartheta\in\Theta$, mértéknek
 a $\nu$ mérték szerinti sűrűségfüggvénye a következő alakú.
\begin{eqnarray}
\frac{dP_\vartheta}{d\nu}(x)=c(\vartheta)\exp\left\{\sum_{j=1}^k
a_j(\vartheta) T_j(x)\right\}h(x) \quad \textrm{minden }\vartheta\in\Theta
\textrm{ paraméterre}, \label{4}
\end{eqnarray}
valamilyen el\H{o}re megadott
$$
a(\vartheta)=(a_1(\vartheta),\dots,a_k(\vartheta)),
\quad T(x)=(T_1(x),\dots,T_k(x)), \quad h(x)\ge0 \textrm{ és }
c(\vartheta)
$$ 
függvényekkel, ahol $a\colon\; \Theta\to R^k$ \'es
 $T\colon\; R^n\to R^k$, $h(x)$ egy alkalmas 
f\"uggv\'eny az $R^n$ t\'eren, \'es $c(\vartheta)$ alkalmas normáló 
konstans, amelyik biztosítja azt, hogy $P_\vartheta$ valószínűségi 
mérték legyen.}

\medskip
A Neyman--Fisher faktorizációs tételből következik, hogy a
$$
T(x)=(T_1(x),\dots,T_k(x))
$$ 
függvény elégséges statisztikát har\'aroz meg. Tov\'abb\'a, ha 
$X_1,\dots,X_N$ f\"ug\-get\-len p\'eld\'anyai egy 
$\frac{dP_\vartheta}{d\nu}(x)$ sűrűségfüggvényű exponenciális családnak
egy $\nu$ do\-mi\-ná\-ló mértékkel, akkor, ahogy azt egyszerű számolás 
mutatja, az 
$$
X^{(N)}=(X_1,\dots,X_N)
$$ 
vektor is exponenciális eloszlású 
$d\nu^{(N)}(x_1,\dots,x_N)=\prod\limits_{j=1}^N\nu(\,dx_j)$ 
domináló mértékkel, és a $\frac{dP^{(N)}_\vartheta}{d\nu^{(N)}}$ 
sű\-rű\-ség\-függ\-vé\-nyét is egyszerűen 
fel lehet írni a kö\-vet\-ke\-ző képlet segítségével.
$$
\frac{dP^{(N)}_\vartheta}{d\nu^{(N)}}(x_1,\dots,x_N)=c^N(\vartheta)
\exp\left\{\sum_{j=1}^k a_j(\vartheta)
\left(\sum_{l=1}^N T_j(x_l)\right)\right\}\prod_{j=1}^Nh(x_j) .
$$
Innen következik, hogy ebben az exponenci\'alis
eloszl\'ascsal\'adban a
\begin{eqnarray}
T^{(N)}(x_1,\dots,x_N)=\left(\sum_{l=1}^N T_1(x_l),\dots,
\sum_{l=1}^N T_k(x_l)\right) \label{5}
\end{eqnarray}
vektor elégséges statisztika. (Lásd a Bolla--Krámli könyv
2. fejezetében a 3.4 Tétel bizonyításának a számolásait.)

Abban a speci\'alis esetben, amikor a (\ref{4}) formul\'aban
$a_j(\vartheta)=\vartheta_j$, $1\le j\le k$, van természetes
paraméterezésű exponenciális családról beszélünk. Ha adva van
egy az (\ref{4}) képlettel megadott sűrűségfüggvénnyel
rendelkező exponenciális család, akkor ebből a 
$\vartheta=(\vartheta_1,\dots,\vartheta_k)$ paraméter alkalmas
transzformációjával természetes paraméterezésű exponenciális
családot kapunk. Nevezetesen a $\vartheta_j$ param\'etert az
$a_j(\vartheta)$ param\'eterrel helyettes\'itj\"uk minden
$1\le j\le k$ indexre. (A $\nu$ domináló mértéket nem változtatjuk
meg.) Egy természetes paraméterezésű exponenciális
családban szereplő mértékek sűrűségfüggvénye
\begin{eqnarray}
\frac{dP_\vartheta}{d\nu}(x)=c(\vartheta)\exp\left\{\sum_{j=1}^k
\vartheta_j T_j(x)\right\}h(x) \quad \textrm{minden }\vartheta\in\Theta
\textrm{ paraméterre} \label{6}
\end{eqnarray}
alakú. Egy természetes paraméterezésű exponenciális családot
teljes ran\-gú\-nak nevezünk, ha a $\Theta\subset R^k$ paramétertartomány 
tartalmaz nyílt rész\-hal\-mazt. Igaz a következő eredmény.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy a (\ref{6}) k\'eplettel
defini\'alt természetes paraméterezésű exponenciális család.
Ha ez az exponenciális család teljes rangú, akkor
a $T(x)=(T_1(x),\dots,T_k(x))$ statisztika elégséges és teljes. }

\medskip
Megjegyzem, a (\ref{5}) képletben definiált statisztika szintén
elégséges és teljes, ha a hozzákapcsolódó exponenciális családot
az előbb leírt módon egy teljes rangú természetes paraméterezésű
exponenciális család segítségével definiáljuk.






\end{document}




