Áttekintés Dynkin, Evgenyij Boriszovics és Yushkevics, Alekszandr Adolfovics Tételek és feladatok Markov folyamatokról című könyvéről

Negyedik fejezet: Határfeltételek folytonos idejű Markov folyamatokra, különös tekintettel a születési és halálozási folyamatokra.

A könyv negyedik fejezete olyan folytonos idejű Markov folyamatok minél teljesebb leírását próbálja megadni, amelyek véges idő alatt elérhetik a fázistér egyik határpontját. Folytonos idejű Markov folyamatokat általában a Markov folyamat infinitezimális operátorának vagy annak egy ebben a könyvben karakterisztikus operátornak nevezett változatának a segítségével írnak le. A Markov folyamatok néhány mély tétele biztosítja, hogy ha a Markov folyamat nem kerül véges idő alatt az állapottér egy határpontjába, akkor ez az operátor, ‘amely infinitezimálisan megadja a Markov folyamat végtelen kis idő alatt történő változását’, egyértelműen meghatározza egy adott kezdeti állapotból indított Markov folyamat eloszlását. De problémát okoz az, ha a Markov folyamat véges idő alatt elérheti az állapottér egy határpontját, mert ekkor nem világos, hogy mi történik ezután. E fejezet fő témája annak tárgyalása, hogy hogyan lehet folytatni egy Markov folyamatot egy határpont elérése után úgy, hogy az továbbra is Markov folyamat maradjon.

E kérdés vizsgálata komoly problémát jelent a legegyszerűbb esetekben is, amikor az infinitezimális vagy karakterisztikus operátort egyszerűen definiáljuk, és a Markov folyamatot könnyen meg tudjuk konstruálni az infinitezimális vagy karakterisztikus operátor segítségével addig a véletlen időpontig, amikor a Markov folyamat eléri az állapottér egy határpontját. A fejezet első alfejezete ismerteti bizonyítás nélkül azt, hogy hogyan tudjuk megadni az összes olyan Markov folyamatot a (−∞, 0] félegyenesen, amely Wiener folyamatként viselkedik a (−∞, 0) nyílt félegyenesen, és ha eléri a 0 határpontot, akkor úgy viselkedik, hogy továbbra is Markov folyamat maradjon. A könyv röviden megemlíti e probléma egy természetes egyszerű általánosítását is, azt az esetet, amikor Wiener folyamat helyett úgynevezett diffuziós folyamatot tekintünk. Ezután rátér az ebben a fejezetben részletesen tárgyalt úgynevezett születési és halálozási folyamatok vizsgálatára. Ez az előbb említett Wiener illetve diffuziós folyamat egy technikailag egyszerűbben vizsgálható ‘diszkrét állapottérrel rendelkező’ változata, amelyben az állapottér a nem negatív számok halmaza. Ez a modell hasonlóan viselkedik a Wiener folyamatokhoz, ezért ennek tárgyalása segít az elérhető határpontokkal rendelkező tartományokon definiált Wiener folyamatok viselkedésének a jobb megértésében is. A fejezet vizsgálatának fontos része ennek a hasonló viselkedésnek a megmutatása.

Leírom röviden, informális módon azt, hogy hogyan lehet jellemezni azokat a Markov folyamatokat, amelyek Wiener folyamatként viselkednek a (−∞, 0) félegyenesen, a 0 pont pedig határpontjuk. Lehetséges, hogy a Wiener folyamat 0 pontja elnyelő fal, azaz ha a részecske eléri a 0 pontot, akkor örökre ottmarad. Elképzelhető, hogy a 0 pont eltüntető (extinction) fal, azaz a részecske a 0 pontot elérése után eltűnik. Ez azt jelenti, hogy a 0 pont elérése után a Markov folyamat megszűnik létezni. Lehet, hogy a 0 pont tükröző fal, azaz a Markov folyamat a 0 pont elérése után úgy viselkedik, mint egy −|W (t)| sztochasztikus folyamat, ahol W (t) egy Wiener folyamat a (−∞, ∞) egyenesen. Lehetséges továbbá, hogy a Markov folyamat egy ideig vár, és ez a véletlen várakozási idő exponenciális valamilyen a > 0 paraméterrel, (az exponenciális várakozási idő szükséges a Markov tulajdonság megőrzéséhez), majd véletlenszerűen a (−∞, 0) félegyenes valamely pontjába ugrik, ahonnan egy Wiener folyamatként folytatja a pályáját. Ebben az esetben egy technikai feltételt is teszünk az ugrás nagyságáról, ami azért szükséges, hogy kizárjuk a túlságosan szabálytalan Markov folyamatokat, amelyeknek a trajektóriái csúnyán viselkednek. Azt követeljük meg, hogy a Markov folyamat trajektóriái jobbról folytonos (continue à droite) függvények legyenek.

Ha a vizsgált Markov folyamat eléri a 0 pontot, akkor választhatjuk bizonyos valószínűséggel ezen lehetséges folytatások valamelyikét, és kissé pontatlanul fogalmazva azt mondhatjuk, hogy ezzel leírtuk az összes lehetőséget. Valójában a helyzet kissé bonyolultabb, mert a véletlen várakozási idő után bekövetkező véletlen ugrás lehetséges megvalósulása összetettebb jelenség. Ha a Markov folyamat egy t_{0} időpontban meglátogatja a 0 pontot, akkor előfordulhat az is, hogy a 0 pont ezt követő látogatási időpontjai torlódnak ehhez a t_{0} időponthoz, és e látogatások között a Markov folyamat kis ugrásokat végez. Az összes lehetőséget úgy tudjuk pontosan leírni, hogy megadjuk a Markov folyamat U karakterisztikus operátorának a hatását a (−(∞, 0] félegyenes minden pontjában, tehát az x = 0 pontban is. Emlékeztetek a karakterisztikus operátor definiciójára. Egy Markov folyamat állapotterén definiált függvények alkalmas osztályán definiált U karakterisztikus operátor a következő:

Uf(x) = lim_{U↓x} \frac{E_{x}f(x(τ)) − f(x)}{E_{x}τ}  (4.1)

ahol U ↓ x azt jelenti hogy nyílt halmazoknak az x pontra szűkülő sorozatát tekintjük, E_{x} az x pontból kiinduló Markov folyamatra vett várható érték, és τ az első időpont, amikor az x pontból kiinduló x(t), t ≥ 0, Markov folyamat kilép az U halmazból.

A keresett Markov folyamat karakterisztikus operátorára Uf(x) = \frac{1}{2}Δf(x), ha x < 0. Definiálni kell még a Uf(0) mennyiséget. Erre a következő formula érvényes.

βUf(0) + αf′(0) + γf(0) + ∫_{−∞}^{0}[f(0) − f(y)]π( dy) = 0,  (4.2)

ahol α, β és γ nem negatív konstansok, π olyan mérték a (−∞, 0) félegyenesen, amelyre

π((−∞, −1)) − ∫_{−1}^{0} yπ( dy) < ∞.

Az α, β, γ és δ = π(−∞, 0) számok nem lehetnek egyszerre nullák.

Mint a könyv egy heurisztikus indoklásban megindokolja, ha α = γ = δ = 0, és β ≠ 0, akkor ez a formula azt jelenti, hogy a 0 pont elnyelő fal, ha α ≠ 0, β = γ = δ = 0, akkor a 0 pont tükröző fal, ha γ ≠ 0, α = β = δ = 0, akkor a 0 pont eltüntető (extinction) fal, ha α = β = γ, és 0 < δ < ∞, akkor egy véletlen ugrás történik π/δ eloszlással. Hasonló, de bonyolultabb ugrás történik, ha α = β = γ = 0, és δ = ∞. Az általános esetben e hatások keveréke történik.

Ha Wiener folyamat helyett diffuziós folyamatot tekintünk a (−∞, 0) félegyenesen, aminek az infinitezimális operátora (a \frac{1}{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} operátor helyett)

L = a(x)\frac{d^{2}}{dx^{2}} + b(x)\frac{d}{dx},

akkor hasonló, de összetettebb jelenség lép fel. Speciálisan, ebben az esetben meg kell határozni azt is, hogy milyen a(x) és b(x) együtthatók esetén éri el a diffuziós folyamat véges idő alatt a 0 pontot.

A fejezet további részében a szerzők bevezetik a születési és halálozási folyamatokat, amelyek a diffuziós folyamatok diszkretizált változatának tekinthetők. Ezek a folyamatok a diffuziós folyamatokhoz hasonló viselkedést mutatnak, ezért segítenek megérteni azok viselkedését. Másrészt a születési és halálozási folyamatok tárgyalása egyszerűbb.

Ismertetem a születési és halálozási folyamat definicióját.

A születési és halálozási folyamat definiciója. Legyen adva egy p_{0}, p_{1}, … számsorozat, amelynek tagjaira p_{0} = 1, 0 < p_{n} < 1 minden n = 1, 2, … számra, és legyen q_{n} = 1 − p_{n} minden n = 0, 1, 2, … számra. Legyen továbbá adva egy a_{0}, a_{1}, …, a_{n} > 0, n = 0, 1, 2, … számsorozat. E számsorozatok segítségével a következőképpen definiáljuk az általuk meghatározott születési és halálozási folyamatot.

Az X(t) születési és halálozási folyamat olyan folytonos idejű Markov folyamat valamely 0 ≤ t < T (ω) véletlen időintervallumban, 0 < T (ω) ≤ ∞, amely értékeit a nem negatív egész számok halmazán veszi fel, és a kővetkezőképp viselkedik. A Markov folyamat valamely k_{0}, 0 ≤ k_{0} < ∞, állapotból indul a t = 0 időpontban, azután átugrik egy k_{1}, 0 ≤ k_{1} < ∞ állapotba valamely véletlen idő múlva, és így tovább; ha eljutott valamely k állapotba, akkor véletlen ideig ott marad, majd átugrik egy új állapotba. Ezen véletlen ugrások helyét és időpontját a Markov folyamat a_{n} és p_{n} paraméterei a következőképp határozzák meg.

Ha a Markov folyamat valamely t időpontban jutott a k állapotba, és k ≥ 1, akkor az véletlen a_{k} paraméterű exponenciális eloszlású időtartamig a k állapotban marad, (ez a véletlen időtartam független a Markov folyamat korábbi viselkedésétől), és utána p_{k} valószínűséggel a k + 1, q_{k} = 1 − p_{k} valószínűséggel a k − 1 állapotba lép. Ha a Markov folyamat valamely t időpontban a 0 állapotba jutott, akkor véletlen a_{0} paraméterű exponenciális eloszlású időtartamig a 0 állapotban marad, (ez az időtartam szintén független a Markov folyamat korábbi viselkedésétől), és utána p_{0} = 1 valószínűséggel az 1 állapotba kerül.

Jelölje T_{n} = T_{n}(ω) az n-ik ugrás időpontját az X(t) folyamat értékében, és legyen

T = T (ω) = lim_{n→∞} T_{n}(ω).  (4.3)

Az X(t) folyamatot a [0, T (ω)) intervallumban definiáljuk az előbb definiált T (ω) valószínűségi változóval.

Szemléletesen az előbb ismertetett Markov folyamat a következőt jelenti. Van egy populáció, amelyiknek létszáma időnként megváltozik, mert vagy meghal valaki vagy új egyed születik. E populáció létszámának időbeli változása Markov folyamatot alkot, és ennek a Markov folyamatnak a viselkedését vizsgáljuk. Ha a populáció létszáma egy adott időpontban n, akkor exponenciális ideig (a_{n} paraméterrel) kell várni, míg a pouláció létszáma megváltozik. Ekkor p_{n} valószínűséggel új egyed születik, és q_{n} valószínűséggel meghal valaki. Ha n = 0 akkor a helyzet kissé módosul, mert ekkor csak új egyed születhet. Előfordulhat, hogy a populáció létszáma véges idő alatt végtelenre növekszik. Az első kérdés az, hogy ez a Markov folyamat milyen p_{n} és a_{n}, n = 0, 1, …, paraméterei esetén következik be. Ha ez bekövetkezik akkor az egyik lehetőség az, hogy a Markov folyamatot ebben az időpontban megállítjuk. Ezért volt természetes a Markov folyamatot csak egy véletlen időpontig tekinteni. A születési és halálozási folyamat definiciójában szereplő T (ω) valószínűségi változó 1 valószínűséggel ezzel a véletlen időponttal egyenlő.

A második vizsgálandó kérdés az, hogy ha a Markov folyamat véges idő alatt végtelen nagyságúra növekszik (amit úgy is interpretálhatunk, hogy a Markov folyamat véges idő alatt eléri az állapottér ∞ határpontját), akkor hogyan folytathatjuk a Markov folyamatot (a ∞ ponttal kibővítve az állapotteret) úgy, hogy az így kapott sztochasztikus folyamat továbbra is Markov folyamat maradjon (ugyanazokkal az átmenetvalószínűségekkel, ha a kiinduló pont a 0, 1, … pontok valamelyike. A könyv e fejezetének fő témája ezen kérdések megválaszolása.

Megjegyzés: Annak érdekében, hogy valóban Markov folyamatot definiáljunk szükséges volt feltenni, hogy a várakozási idők egy születés vagy halálozás bekövetkeztéig exponenciális eloszlásúak. Feltettük, hogy 0 < p_{n} < 1 minden n ≥ 1 indexre szigorú egyenlőtlenséggel. Ennek a feltételezésnek technikai okai voltak.

Először azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy mikor éri el a Markov folyamat véges időn belül a ∞ határpontot. E kérdés megválaszolása érdekében első lépésben azt vizsgáljuk, hogy egy születési és halálozási folyamat mikor konvergál ∞-hez, ha a Markov folyamat lépéseinek száma tart a végtelenhez. E kérdés megválaszolásához érdemes tudni azt, hogy ha a Markov folyamatot elindítjuk egy [a, b] intervallum belsejéből, akkor mi annak a valószínűsége, hogy a Markov folyamat kilép ebből az intervallumból, és a b jobboldali végpont irányában lép ki ezen intervallumból először.

Ha Wiener folyamatot tekintünk, akkor ismerjük az analóg kérdésre a választ. Ha adva van egy [a, b] intervallum, és a Wiener folyamat egy x, a < x < b, pontból indul el, akkor annak valószínűsége, hogy a Wiener folyamat az a és b pontok közül először a b pontot éri el \frac{x−a}{b−a}, és annak a valószínűsége, hogy az a pontot éri el először \frac{b−x}{b−a}. Bevezetünk egy olyan úgynevezett kanonikus skálát egy születési és halálozási folyamat állapotterén, amelynek alkalmazása esetén ezen születési és halálozási folyamat kilépési valószínűségei egy adott intervallumból hasonló képleteket teljesítenek, mint a Wiener folyamat megfelelő valószínűségei. Pontosabban szólva a {0, 1, 2, … } nem negatív egész számokból álló állapottéren definiált születési és halálozási folyamat helyett egy alkalmas u_{0}, u_{1}, …, u_{0} < u_{1} < …, pontokból álló állapotteren definiált szintén születési és halálozási folyamatnak nevezett Markov folyamatot tekintünk, amelyben egy lépésen belül az u_{n} állapotból vagy az u_{n+1} vagy az u_{n−1} állapotba juthatunk. Ezen állapotváltozás bekövetkezéséig exponenciális eloszlási várakozási idő telik el a_{n} paraméterrel, és p_{n} valószínűséggel jutunk az u_{n} pontból az u_{n+1} pontba, és q_{n} valószínűséggel az u_{n−1} pontba. E módosított és eredeti születési és halálozási folyamat között egyszerű kapcsolat van, és az u_{n} pontok (a kanonikus skála) választása esetén a minket érdeklő valószínűségek hasonlóan viselkednek, mint az analóg valószínűségek a Wiener folyamat esetében. A továbbiak ban a születési és halálozási folyamatokat úgy fogjuk tekinteni, hogy azok értékeiket a kanonikus skálán veszi fel, azaz lehetséges értékeik az u_{0}, u_{1}, … számok a 0, 1, 2, … számok helyett.

Definiáljuk az u_{n} számokat a következő módon: Legyen u_{0} = 0, u_{1} = 1, és ezután definiáljuk rekurzív módon az u_{n} számokat a

q_{n} = \frac{u_{n+1} − u_{n}}{u_{n+1} − u_{n−1}} , p_{n} = \frac{u_{n} − u_{n−1}}{u_{n+1} − u_{n−1}} , n ≥ 1,

képletek segítségével. (Ez annak felel meg, hogy [a, b] = [u_{n−1}, u_{n+1}], x = u_{n} esetén a kilépési valószínűségekre olyan képleteket kapjunk, mint a Wiener folyamatok esetében.) Némi számolás azt adja, hogy ilyen választással

u_{0} = 0, u_{1} = 1, u_{n} = δ_{0} + ⋯ δ_{n−1} = 1 + \frac{q_{1}}{p_{1}} + ⋯ + \frac{q_{1} ⋯ q_{n−1}}{p_{1} ⋯ p_{n−1}} , n ≥ 1,  (4.4)

ahol

δ_{k} = \frac{q_{1} ⋯ q_{k}}{p_{1} ⋯ p_{k}} , k ≥ 1.  (4.5)

Legyen

r = lim_{n→∞} u_{n} = 1 + lim_{n→∞} (\frac{q_{1}}{p_{1}} + ⋯ + \frac{q_{1} ⋯ q_{n−1}}{p_{1} ⋯ p_{n−1}} ) ,  (4.6)

és nevezzük az E = {u_{0}, u_{1}, … } halmazt a Markov folyamat állapotterének, és az r pontot az állapottér határpontjának.

Tekintsünk egy [a, b] intervallumot, és egy a ≤ u ≤ b pontot, amelyekre a = u_{j}, b = u_{k}, u = u_{s} valamely u_{j}, u_{k}, u_{s} ∈ E pontokkal. A következő tételben megadjuk annak valószínűségét, hogy az u = u_{s} pontból kiinduló születési folyamat előbb éri el a b pontot, mint az a pontot, illetve annak valószínűségét, hogy az a = u_{0} = 0 esetben valamikor eléri a b pontot. Ugyancsak megadjuk a megfelelő valószínűségeket akkor, ha b = r.

4.1. Tétel. Legyen adva egy X(t) születési és halálozási folyamat, a kanonikus skálázással. Tekintsünk egy [a, b] intervallumot, és egy a ≤ u ≤ b pontot, amelyekre a = u_{j}, b = u_{k}, u = u_{s} valamely u_{j}, u_{k}, u_{s} ∈ E pontokkal. Jelölje p(u; a, b) annak valószínűségét, hogy az u = u_{s} pontból kiinduló születési folyamat előbb éri el a b pontot, mint az a pontot, és q(u; a, b) annak valószínűségét, hogy előbb érje el az a pontot, mint a b pontot. Legyen p(u; b) annak valószínűsége, hogy az u pontból kiinduló születési és halálozási folyamat valamikor eléri a b pontot, ahol u = u_{s}, b = u_{k}, u_{s}, u_{k} ∈ E, és u ≤ b. Ekkor a következő azonosságok érvényesek:

p(u; a, b) = \frac{u − a}{b − a}, q(u; a, b) = \frac{b − u}{b − a}, p(u; b) = 1.

Ha p(u; a, r) és q(u; a, r) jelöli a p(u; a, b) és q(u; a, b) mennyiségeket abban az esetben, ha a b = u_{k} paramétert a b = r paraméterrel helyettesítjük, akkor az alábbi azonosságok érvényesek:

p(u; a, r) = \{ \begin{matrix}\frac{u − a}{r − a}, ha r < ∞ \\ 0, ha r = ∞, \end{matrix}

q(u; a, r) = \{ \begin{matrix}\frac{r − u}{r − a}, ha r < ∞ \\ 1, ha r = ∞. \end{matrix}

Röviden ismertetem 4.1. tétel bizonyításának a fő gondolatát. Ha a = u_{m}, és b = u_{n}, akkor minden u = u_{l}, m < l < n, számra felírhatjuk a

p(u_{l}) = q_{l}p(u_{l−1}) + p_{l}p(u_{l+1})

azonosságot a p(u_{n}) = 1, p(u_{m}) = 0 határfeltételekkel, ahol p(u), u ∈ E, annak a valószínűségét jelöli, hogy az u pontból kiinduló születési és halálozási folyamat előbb éri el a b, mint az a pontot. Ennek az egyenletrendszernek a segítségével be lehet bizonyítani a p(u; a, b) kifejezésre kapott formulát. A q(u; a, b) kifejezésre adott formula hasonlóan bizonyítható. A p(u; b) kifejezésre hasonló relációkat írhatunk fel a = u_{0} = 0 választással. Az egyetlen különbség az, hogy a p(a) = 0 határfeltétel eltűnik, helyette az p(u_{0}) = p(u_{1}) azonosság jelenik meg. Innen kapjuk a kifejezést a p(b; u) kifejezésre. A tétel többi állítását a tétel már bebizonyított részének a segítségével kapjuk b ↑ r határátmenet segítségével.

A 4.1. tétel eredménye lehetővé teszi annak megadását, hogy mikor rekurzív és mikor tranzitív az az X_{0}, X_{1}, … Markov lánc, amelyet úgy kapunk, hogy feltüntetjük egy születési és halálozási folyamat állapotát az egymást követő ugrások után, de nem jegyezzük meg, hogy ezek az ugrások mely időponoktban következtek be. A következő eredményt kapjuk.

4.2. Tétel. Tekintsünk egy születési és halálozási folyamatot a kanonikus skálázással, és definiáljuk azt az X_{0}, X_{1}, … Markov láncot, amelyet úgy kapunk, hogy feltüntetjük e születési és halálozási folyamat állapotát az egymást követő ugrások után. Ha a születési és halálozási folyamat E állapotterének r határpontjára r = ∞, akkor egy valószínűséggel a Markov lánc a E állapottér minden pontját végtelen sokszor látogatja meg, ezért a Markov lánc nem konvergál az r ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az r határpont a születési és halálozási folyamat taszító határpontja.

Ha r < ∞, akkor egy valószínűséggel a Markov lánc a E állapottér minden pontját véges sokszor látogatja meg, ezért a Markov lánc konvergál az r ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az r határpont a születési és halálozási folyamat vonzó határpontja.

Meg kívánjuk határozni, hogy a születési és halálozási folyamat mikor éri el a fázistér r határpontját véges idő alatt. (Mint a későbbi eredményekből kiderül, ennek valószínűsége mindig vagy nulla vagy egy.) Ha r = ∞, és így az r pont a születési és halálozási folyamat taszító határpontja akkor ez nem történik meg. Ha r < ∞, azaz r a születési és halálozási folyamat vonzó határpontja akkor a kérdés megválaszolása további vizsgálatokat igényel. Ebben az esetben a válasz az egyes ugrások között eltelt időt meghatározó a_{n} paraméterektől is függ. Annak érdekében, hogy a kérdést megválaszoljuk, érdemes meghatározni annak az időnek a várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy egy valamilyen u ∈ [a, b] pontból induló születési és halálozási folyamat kilépjen az [a, b] intervallumból.

E várható érték kiszámolása esetében is érdemes megvizsgálni a Wiener folyamatokra megfogalmazható analóg problémát, és megkeresni a hasonlóságot a két feladat megoldása között.

Legyen adva egy [a, b] intervallum, indítsunk el egy Wiener folyamatot az [a, b] intervallum valamely u, a ≤ u ≤ b pontjából, és számítsuk ki annak az időnek a várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy a Wiener folyamat elérje az [a, b] intervallum valamelyik végpontját. Be lehet látni, hogy ez a várható érték −(u − a)(u − b)-vel egyenlő.

Ennek az eredménynek lehet a következő geometriai interpretációt adni: Tekintsük a −x^{2} parabolát, és azt az egyenest, amelyik e parabola (a, −a^{2}) és (b, −b^{2}) pontjait köti össze. Ekkor a minket érdeklő valószínűség megegyezik az x = u egyenesnek e parabola és egyenes közé eső szakaszának a hosszával. Azért érdemes ezt a geometriai képet megfogalmazni, mert a születési és halálozási folyamatra megfogalmazott analóg kérdésre hasonló, geometriailag megfogalmazható állítás érvényes, csak ott a parabola szerepét egy másik, a könyvben az x(t) születési és halálozási folyamat karakterisztikájának nevezett S(u) függvény veszi át. Definiáljuk ezt a függvényt.

Az S(u) függvény megtalálása érdekében vezessük be az m(u_{n}) = m(u_{n}; a, b) függvényt valamely a = u_{k} és b = u_{l} paraméterekre, amelyik egyenlő annak a τ(a, b) időnek a várható értékével, ami ahhoz kell hogy az u_{n} pontból kiinduló születési és halálozási folyamat elérje vagy az a vagy a b pontot.

A könyv belátja, hogy m(u_{n}) < ∞ minden u_{k} ≤ u_{n} ≤ u_{l} számpárra. Nem nehéz belátni, hogy az m(u_{n}) függvény teljesíti az

m(u_{n}) = \frac{1}{a_{n}} + q_{n}m(u_{n−1}) + p_{n}m(u_{n+1})  (4.7)

egyenletet és az m(a) = m(b) = 0 határfeltételeket.

Ahhoz, hogy a (4.7) képletet felírhassuk, és számolni tudjunk vele meg kell mutatni, hogy m(a, b) = E_{u_{n}}τ(a, b) < ∞. Ennek érdekében a szerzők bebizonyítják a következő, későbbi vizsgálatokban is használt eredményt.

4.3. Lemma. Legyen adva egy Markov lánc valamely E állapottéren, és legyen I ⊂ E ezen állapottér egy (véges vagy végtelen) részhalmaza. Jelölje τ az I halmazból való első kilépés időpontját. Ha léteznek olyan t < ∞ és α > 0 számok, amelyekre

P_{u}(τ < t) ≥ α minden u ∈ I pontban,

akkor

P_{u}(τ < ∞) = 1, és E_{u}τ < ∞

minden u ∈ I pontban.

Az S_{n} = S(u_{n}), n = 0, 1, 2, … sorozatot a (4.4) formulához hasonlóan definiáljuk azzal a különbséggel, hogy minden u_{n} ∈ E pontban definiáljuk, és az

S_{0} = S(u_{0}) = 0

határfeltételt választjuk, és bevezetjük az S_{−1} = 0 mennyiséget is. Ekkor az

(S_{n+1} − S_{n})p_{n} = (S_{n} − S_{n−1})q_{n} − \frac{1}{a_{n}} , n ≥ 1, és S_{1} = −\frac{1}{a_{0}} ,

azonosságot írhatjuk fel. Ezt az azonosságot érdemes átírni a (4.5) formulában definiált δ_{k} mennyiségek segítségével. Ekkor azt kapjuk, hogy

p_{n} = \frac{δ_{n−1}}{δ_{n−1} + δ_{n}} , q_{n} = \frac{δ_{n}}{δ_{n−1} + δ_{n}} ,

és

\frac{S_{n} − S_{n−1}}{δ_{n}} = \frac{S_{n} − S_{n−1}}{δ_{n−1}} − \frac{1}{a_{n}} \frac{δ_{n−1} + δ_{n}}{δ_{n−1}δ_{n}} .  (4.8)

Tekintsük a v_{n} = −\frac{S_{n+1}−S_{n}}{δ_{n}}, n = 1, 2, …, és v_{0} = \frac{1}{a_{n}} sorozatot. Ekkor a (4.8) formula alapján

v_{n} = v_{n−1} + 2μ_{n} n ≥ 1, v_{0} = 2μ_{0},  (4.9)

ahol

2μ_{n} = \frac{1}{a_{n}} \frac{δ_{n−1} + δ_{n}}{δ_{n−1}δ_{n}} , n ≥ 1, és 2μ_{0} = \frac{1}{a_{n}} .  (4.10)

Megjegyzem, hogy az S_{n} és v_{n} számokat ki lehet fejezni a születési és halálozási folyamat p_{n}, q_{n} = 1 − p_{n} és a_{n}, n = 0, 1, 2, … paraméterei segítségével a következő módon:

v_{n} = ∑_{k=0}^{n} μ_{k} = \frac{1}{a_{0}} + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}} \frac{p_{1} ⋯ p_{k−1}}{q_{1} ⋯ q_{k}} , n ≥ 0,

S_{n} = − ∑_{m=0}^{n−1} v_{m}δ_{m} = − ∑_{0≤k≤m≤n−1} \frac{1}{a_{k}} \frac{q_{k+1} ⋯ q_{m}}{p_{k} ⋯ p_{m}} , n ≥ 1.

Definiáljuk az előbb bevezetett S_{n} és v_{n} sorozat segítségével a következő S(u) és v(u) függvényeket. Az S(u) függvényt a 0 ≤ t < r intervallumon definiáljuk, ahol az r számot a (4.6) formulában vezettük be, az S(u) = \frac{u_{n+1}−u}{u_{n+1}−u_{n}} S_{n} + \frac{u−u_{n}}{u_{n+1}−u_{n}} S_{n+1}, ha u_{n} ≤ u ≤ u_{n+1}, n = 0, 1, … A képlet segïtségével. Azaz S(u_{n}) = S_{n}, és az S(u)

függvény lineáris az [u_{n}, u_{n+1}] intervallumokban. A v(u) függvényt a ⋃_{n=0}^{∞}(u_{n}, u_{n+1})

halmazon definiáljuk a v(u) = v_{n} képlet segítségével az u_{n} ≤ u < u_{n+1} intervallumban.

Adva egy z(u_{n}) sorozat, A ≤ n ≤ B + 1, valamely 0 ≤ A ≤ B ≤ ∞ számokkal

az E halmaz egy részhalmazán, definiáljuk annak D_{u}z(u) deriváltját a ⋃_{n=A}^{B}(u_{n}, u_{n+1})

halmazon a

D_{u}z(u) = \frac{z(u_{n+1}) − z(u_{n})}{u_{n+1} − u_{n}}, ha u_{n} < u < u_{n+1}  (4.11)

képlet segítségével. Ekkor a v_{n} sorozat definiciója miatt

D_{u}S(u) = −v(u),  (4.12)

ha u ∈ (u_{n}, u_{n+1}) minden (u_{n}, u_{n+1}) intervallumban. Nem nehéz belátni, hogy a v(u) függvény szigorúan mononton növekvő, és az S(u) függvény monoton csökkenő, konkáv függvény a [0, r) intervallumban. Az S(u) függvényt kiterjeszthetjük a zárt [0, r] intervallumra is az S(r) = lim_{u→r} S(u) képlet segítségével. Ezt az S(u) függvényt nevezzük az x(t) születési és halálozási folyamat karakterisztikájának.

Jelölje m(u; a, b) annak az időnek a várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy az u pontból kiinduló születési és halálozási folyamat elérje az a vagy b pont valamelyikét m(u; b) annak az időnek a várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy az u pontból kiinduló születési és halálozási folyamat elérje a b pontot, ahol a = u_{k}, b = u_{l}, u = u_{s}, és a ≤ u ≤ b. Hasonlóan definiáljuk az m(u; a, r), és m(u; r) mennyiségeket, ha a b = u_{l} számot a b = r számmal helyettesítjük. Mind az S_{n} mind az m(u_{n}; a, b) és m(u_{n}; b) sorozatok teljesítik a (4.7) formulát. Két olyan sorozatnak az m(u_{n})-nel jelölt különbsége, amely teljesíti a (4.7) formulát teljesíti az

m(u_{n}) = q_{n}m(u_{n−1}) + p_{n}m(u_{n+1})

azonosságot. Az ilyen relációt teljesítő sorozatok egyszerűen jellemezhetőek. Ezt a tényt felhasználva a könyv bebizonyítja, hogy az előbb definiált mennyiségek teljesítik az alábbi azonosságot.

4.4. Tétel. Egy születési és halálozási folyamatra az előbb definiált m(u; a, b), m(u, b), m(u; a, r) és m(u; r) várható értékek teljesítik a következő azonosságokat.

m(u; a, b) = S(u) − \frac{(b − u)S(a) + (u − a)S(b)}{b − a},
m(u; b) = S(u) − S(b),
m(u; a, r) = S(u) − \frac{(r − u)S(a) + (u − a)S(r)}{r − a}, ha r < ∞,
m(u; r) = S(u) − S(r), ha r < ∞.

Megjegyzés. Ki tudnánk számolni az m(u; a, r) és m(u; r) mennyiségeket az r = ∞ esetben is, de erre nincs szükségünk.

A 4.4. tétel azt mondja ki, hogy egy születési és halálozási folyamat esetén egy intervallum határának eléréséhez szükséges idő várható értékét egy hasonló geometriai képpel interpretálható képlet fejezi ki, mint a Wiener folyamat esetén, csak ebben az esetben a −x^{2} függvény szerepét az S(u) függvény veszi át, amelyet karakterisztikának nevezünk. A két eset közötti hasonlóságot még jobban ki tudjuk fejezni a következő fogalmak bevezetésének a segítségével.

Vezessük be a μ mértéket a számegyenesen, amely az E = {u_{0}, u_{1}, … } halmazra van koncentrálva, és μ(u_{n}) = μ_{n}, n = 0, 1, 2, … a (4.10) képletben definiált μ_{n} számokkal.

Definiáljuk egy olyan a ⋃_{n=0}^{∞}(u_{n}, u_{n+1}) halmazon definiált z(u) függvény deriváltját a μ

mérték szerint, amelyik minden (u_{n}, u_{n+1}) intervallumon konstans, a következő módon. A D_{μ}(z) derivált egy olyan a E = {u_{0}, u_{1}, … } halmazon definiált függvény, amelynek értékeit a

\begin{aligned}D_{μ}z(u_{n}) & = \frac{z(u′′) − z(u′)}{μ_{n}}, u′ ∈ (u_{n−1}, u_{n}), u′′ ∈ (u_{n}, u_{n+1}), n ≥ 1, \\ D_{μ}z(u_{0}) & = \frac{z(u′′)}{μ_{0}},  u′′ ∈ (u_{0}, u_{1}) \end{aligned}  (4.13)

képlet adja meg.

Ekkor a (4.9) formula felírható D_{μ}v = 2 alakban, és a (4.12) formula szerint

D_{μ}D_{u}S(u) = −2.

Tekintsük a 4.4. Tétel megfogalmazása előtt bevezetett m(u; a, b), m(u; b), m(u; a, r) és m(u; r) mennyiségeket, amelyeket bizonyos u = u_{s}, u_{s} ∈ E paraméterekre definiáltunk. Rögzített a, b vagy r paraméterre jelölje m(u_{n}) az így definiált mennyiségeket (azon u_{n} paraméterekre, amelyekre ezeknek értelme van). Erre a sorozatra is teljesül a

D_{μ}D_{u}m(u) = −2

azonosság.

Ez az azonosság érdekes hasonlóságot mutat a határ eléréséhez szükséges idő várható értékével a Wiener folyamat esetén. Jelölje ebben az esetben is m(u) annak az időnek a várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy az u pontból kiinduló Wiener folyamat elérje az [a, b] intervallum valamely határértékét. Ezt úgy is felírhatjuk, mint a \frac{d^{2}}{du^{2}} m(u) = −2, m(a) = 0, m(b) = 0 egyenlet megoldását. Ez hasonló a születési és halálozási folyamat viselkedéséhez, csak itt a \frac{d^{2}}{du^{2}} , (az egydimenziós Laplace) operátor játszik olyan szerepet, mint a D_{μ}D_{u} operátor a születési és halálozási folyamatok esetében. A Laplace operátor \frac{1}{2}-del szorozva, azaz a \frac{Δ}{2} operátor a karakterisztikus (vagy infinitezimális) operátor a Wiener folyamatok esetében. Mint a későbbi vizsgálatokból kiderül a az \frac{1}{2}D_{μ}D_{u} operátor a karakterisztikus operátor a születési és halálozási folyamatok esetében. A könyv azt is megmutatja, hogy a diffuziós folyamatok esetében is hasonló eredmények igazak.

A D_{μ}D_{u} operátort fel tudtuk írni az S(u) függvény segítségével, amit a születési és halálozási folyamat karakterisztikájának nevezünk. Az S(u) függvényt meghatározzák a p_{n}, a_{n}, n = 0, 1, 2, … paraméterek, de ez az állítás megfordítható. Az S(u) függvény meghatározza ezeket a paramétereket. Ezért egy születési és halálozási folyamatot meghatároz annak S(u) karakterisztikája, és ez az ilyen folyamatok természetes megadási módja.

A már ismertetett eredmények segítenek azon kérdés megválaszolásában, hogy mikor éri el egy felújítási folyamat véges időn belül az állapottér r határpontját. A következő tétel jellemzi azt, hogy mikor teljesül 1 illetve 0 valószínűséggel a T (ω) = ∞ esemény a (4.3) formulában definiált T (ω) valószínűségi változóra.

4.5. Tétel. Tekintsünk egy születési és halálozási folyamatot valamely S(u) karakterisztikával. Az, hogy T (ω) < ∞ vagy T (ω) = ∞ attól függ, hogy S(r) < ∞ vagy S(r) = ∞. Pontosabban,

P_{u}(T (ω) < ∞) és E_{u}T (ω) < ∞ minden u ∈ E pontra,

ha S(r) > −∞, és

P_{u}(T (ω) = ∞) minden u ∈ E pontra,

ha S(r) = −∞.

Egy születési és halálozási folyamat r határpontját elérhetőnek mondjuk, ha ezt a folyamatot bármely u ∈ E pontból indítva P_{u}(T (ω) < ∞) = 1, és nem elérhetőnek, ha bármely u ∈ E pontra P_{u}(T (ω) = ∞) = 1.

A következő tétel tekinthető a 4.5. tétel egy változatának.

4.5′. Tétel. Tekintsünk egy x(t) születési és halálozási folyamatot valamely S(u) karakterisztikával. A következő lehetősegek vannak.

(i) r < ∞, és S(r) > −∞. Ekkor P_{u}(T (ω) < ∞) = 1, és lim_{t↑T} x(t) = r egy valószí-

nűséggel minden u ∈ E pontra. (Születési és halálozási folyamat, elérhető, vonzó r < ∞ határponttal.)

(ii) r < ∞, és S(r) = −∞. Ekkor P_{u}(T (ω) = ∞) = 1, és lim_{t↑T} x(t) = r egy valószínű-

séggel minden u ∈ E pontra. (Születési és halálozási folyamat, nem elérhető, vonzó r < ∞ határponttal.)

(iii) r = ∞, és S(r) = ∞. Ekkor P_{u}(T (ω) = ∞) = 1, és T → ∞ esetén a születési és halálozási folyamat minden állapotot végtelen sokszor meglátogat egy valószínűséggel minden u ∈ E pontra. (Születési és halálozási folyamat, nem elérhető, taszító r = ∞ határponttal.)

A további vizsgálatok fő kérdése az, hogy az (i) esetben, amikor r < ∞, és S(r) > −∞, hogyan tudjuk a születési és halálozási folyamatot a T (ω) időpont után úgy folytatni, hogy az továbbra is Markov folyamat maradjon. Először ezt a kérdést pontosabban meg kell fogalmaznunk. A pontosabb megfogalmazásban definiáljuk a születési és halálozási folyamatok A osztályba tartozó folytatásait, és célunk az lesz, hogy jellemezzük az összes A osztályba tartozó sztochasztikus folyamatot.

Egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatásai olyan Markov folyamatok, amelyek ennek a születési és halálozási folyamatnak folytatásai bizonyos t > T időpontokra, és állapotterük az E halmaz kibővítése a születési és halálozási folyamat r határpontjával. Teljesítik nemcsak a Markov, hanem az erős Markov tulajdonságot is. A leglényegesebb új feltétel az, hogy egy A osztályba tartozó sztochasztikus folyamat trajekóriái minden pontjukban jobbról folytonos függvények. Ez azt jelenti, hogy az r határpont elérése után a trajektória nem viselkedhet nagyon szabálytalanul. Ez bizonyos, a többi feltételnek eleget tevő Markov folyamatokat kizár az A osztályba tartozó sztochasztikus folyamatok közül. Megadjuk az A osztályba tartozó sztochasztikus folyamatok pontos definicióját.

Születési és halálozási folyamatok A osztályba tartozó folytatásainak a definiciója. Legyen adva egy x̄(t), 0 ≤ t < T, születési és halálozási folyamat elérhetö és vonzó határponttal, amely értékeit a kanonikus skálán veszi fel. Azt mondjuk, hogy egy x(t) sztochasztikus folyamat az x̄(t) születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatása, ha teljesíti a következő feltételeket.

(1) Az x(t) sztochasztikus folyamat trajektóriái az x̄(t) folyamat [0, T (ω)) intervallumban megadott trajektóriáinak a folytatásai valamely [0, ζ(ω)) intervallumba, T (ω) ≤ ζ(ω) ≤ ∞. Az x(t) folyamat trajektóriáinak adott időpontbeli értékei az u_{n} ∈ E számok valamelyike vagy az E halmaz állapottér r határpontja.

(2) Az x(t) sztochasztikus folyamat trajektóriáinak P_{u}, u ∈ E, eloszlása, (ha az x(t) születési és halálozási folyamat az u pontból indul) egy bővebb halmazrendszeren definiált valószínűségi mérték, mint az u pontból kiinduló x̄(t) folyamat eloszlása. Azon események valószínűsége, amelyek a sztochasztikus folyamat T (ω) idejéig bekövetkezett eseményeitől függenek megegyezik a két esetben. Emellett elő van írva az x(t) sztochasztikus folyamat P_{r} eloszlása abban az esetben is, ha az x(t) sztochasztikus folyamat az r pontból indul.

(3) Az x(t) sztochasztikus folyamat teljesíti az erős Markov tulajdonságot, azaz, tetszőleges τ(ω) τ(ω) < ζ(ω), megállási szabályra, az y(t) = x(t+τ) sztochasztikus folyamat feltételes eloszlása feltéve az x(t) sztochasztikus folyamat τ időpontig történő viselkedése által generált σ-algebrát csak az x(τ(ω)) = u ∈ E ∪ {r} számtól függ, és megegyezik a P_{u} valószínűségi mértékkel.

(4) Az x(t) folyamat trajektóriái jobbról folytonosak, azaz x(t + h, ω) → x(t, ω) ha h ↓ 0 minden ω elemi eseményre és 0 ≤ t < ζ(ω) számra. (Ez azt jelenti, hogy ha x(t) = u és u ≠ r, a kkor x(·) a t időpont után egy rövid ideig az u pontban marad, és ha x(t) = r, akkor kis idő alatt a trajektória csak kevéssé tud eltávolodni az r ponttól.)

(5) x(T (ω), ω) = r. (Ez a reláció akkor érvényes, ha ζ(ω) > T (ω), azaz x(T (ω)) definiálva van.)

Célunk egy x̄(t) születési és halálozási folyamat összes A tulajdonságú folytatásának megtalálása. A Markov folyamatok általános elméletének eredményeiből következik, hogy e folyamatok jellemzéséhez elég megadni azoknak a (4.1) formulában definiált U karakterisztikus operátorát. A könyv ezt a karakterisztikus operátort megadja explicit alakban. Tegyünk először néhány megjegyzést a (4.1) képlet pontos értelmezéséről. Előfordulhat, hogy az x(t) Markov folyamat soha nem lép ki az U tartományból. Ekkor definició szerint τ(ω) = ζ(ω) a (4.1) képlet nevezőjében szereplő E_{x}τ definiciójában. A számlálóban szereplő Ef(x(τ)) definiciójában viszont a τ = ζ eseményt nem vesszük figyelembe. He E_{x}(τ) = ∞ az x pont minden U környezetére, akkor Uf(x) = 0.

A Uf(u) mennyiséget egyszerű kiszámolni egy születési és halálozási folyamatban, illetve annak A tulajdonságú kiterjesztésében minden u ∈ E pontban. Erről szól a következő eredmény.

4.6. Tétel. Tekintsük egy születési és halálozási folyamatnak vagy annak A tulajdonságú folytatásának az U karakterisztikus operátorát. Ez teljesíti a

Uf(u) = \frac{1}{2}D_{μ}D_{u}f(u) minden u ∈ E pontban.

relációt, ahol a D_{u} és D_{μ} operátorokat a (4.11) és (4.13) képletekben defináltuk.

Bizonyítás. Számoljuk ki a U operátort egy u ∈ E pontban. Nem nehéz belátni, hogy ha az u_{n} ∈ E pont U környezete elég kicsi, akkor az csak az u_{n} pontot tartalmazza. Ezért

Uf(u_{n}) = \frac{q_{n}f(u_{n−1}) + p_{n}f(u_{n+1}) − f(u_{n})}{\frac{1}{a_{n}}}.

Másrészt q_{n} = \frac{δ_{n}}{δ_{n−1}+δ_{n}} és p_{n} = \frac{δ_{n−1}}{δ_{n−1}+δ_{n}}, ezért

Uf(u_{n}) = \frac{\frac{f(u_{n+1})−f(u_{n})}{δ_{n}} − \frac{f(u_{n})−f(u_{n−1})}{δ_{n−1}}}{\frac{1}{a_{n}} \frac{δ_{n−1}+δ_{n}}{δ_{n−1}δ_{n}}}

= \frac{D_{u}f(u′′) − D_{u}f(u′)}{\frac{1}{a_{n}} \frac{δ_{n−1}+δ_{n}}{δ_{n−1}δ_{n}}} = \frac{D_{u}f(u′′) − D_{u}f(u′)}{2μ_{n}} = \frac{1}{2}D_{μ}D_{u}f(u_{n}),

ahol u′ ∈ (u_{n−1}, u_{n}), és u′′ ∈ (u_{n}, u_{n+1}).

Az A tulajdonságú folytatások megtalálásának fő nehézsége a hozzájuk tartozó Uf(r) mennyiség meghatározása. E feladat megoldásának érdekében tekintsük a következő problémákat.

Minden y = u_{n} ∈ E pontra definiáljuk az r pont U_{y} környezetét, mint az U_{y} = {u_{n+1}, u_{n+2}, … }∪{r} halmazt. Jelölje τ_{y} azt az első időpontot, amikor egy az r pontból kiinduló születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatása az U_{y} halmazból kilép, azaz az első olyan időpontot, amikor ez a sztochasztikus folyamat vagy az u_{0}, u_{1}, … u_{n} értékek valamelyikét veszi fel, vagy eltűnik. Az első feladat az x(t) sztochasztikus folyamat eloszlásának megadása a t = τ_{y} időpontban. Mint látni fogjuk ez az eloszlás a születési és halálozási folyamat p_{n} és a_{n} paraméterein kívül e folyamat A osztályba tartozó folytatásainak további paramétereitől is függ. A következő feladat az, hogy amennyiben ezeket (és esetleg más paramétereket is) rögzítünk, akkor számoljuk ki az E_{r}τ_{y} várható értéket is. Ha e feladatokat megoldottuk, akkor ki tudjuk számolni az Uf(r) mennyiséget, azaz a karakterisztikus operátor hatásának az értéket az r pontban is.

A fenti problémák megoldását érdemes a következő megjegyzéssel kezdeni. Abban az esetben, ha x(t) egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatása, és az r pont ennek elnyelő pontja, azaz ha az x(t) folyamat az r pont meglátogatása után örökké ott marad, akkor P_{r}(τ_{y} = ∞) = 1, és E_{r}τ_{y} = ∞. Ellenkező esetben a következő eredmény érvényes.

4.7. Lemma. Ha x(t) egy születési és halálozási folyamat olyan A osztályba tartozó folytatása, amelynek az r pont nem elnyelő pontja, akkor

P_{r}(τ_{y} < ∞) = 1, és E_{r}τ_{y} < ∞

minden y ∈ E pontra.

Megjegyzem, hogy a 4.7. lemma igazolásában fontos szerepet játszik a 4.3. lemma alkalmazása.

Ezután a könyv tekinti egy születési és halálozási folyamat x(t) A osztályba tartozó folytatását, és azt vizsgálja, hogy milyen lehet az x(τ_{y}) valószínűségi változó P_{r} mérték szerinti eloszlása, ahol τ_{y} az az első időpont, amikor az r pontból indított x(t) Markov folyamat először kilép az U_{y} halmazból. Itt y ∈ E tetszőlegesen választott pont.

A könyv először megoldja ezt a feladatot egy természetes speciális esetben. Akkor, ha az x(t) Markov folyamat az r határpontba érve úgy visekedik, hogy ot exponenciális eloszlású ideig vár, majd π(u_{k}) valószínűséggel az u_{k} pontba ugrik, u_{k} ∈ E, és

∑_{k=−1}^{∞} π(u_{k}) = 1. Itt a könyv a következő, a jelölést kissé leegyszerűsítő konvenciót vezeti

be. Azt az eseményt, hogy a részecske eltűnik, úgy interpretálja, hogy a részecske az u_{−1} = −1 állapotba kerül, és onnan már többé nem lép ki. Ennek a valószínűségét π(−1)-nel jelöli. A szerzők megmutatják, hogy ebben az esetben a π_{y}(u) = P_{r}(x(τ_{y}) = u) valószínűségek, ahol u = u_{k}, −1 ≤ k ≤ n, ha y = u_{n}, a következőképp adhatóak meg.

π_{y}(u) = \frac{π(u)}{∑_{u≤y} π(u) + α(y)}, ha u < y,  (4.14)

és

π_{y}(y) = \frac{π(y) + α(y)}{∑_{u≤y} π(u) + α(y)},  (4.15)

ahol

α(y) = \frac{1}{r − y} ∑_{y<z<r}(r − z)π(z).  (4.16)

A most említett formula megadja a π_{y}(u), u ≤ y, eloszlást egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartózó bővítéseinek egy nagy családjára, de nem írja le az összes lehetőséget. A tekintett példában ugyanis olyan modelleket tekintettünk, amelyekben az r határpont valamely t időpontbeli elérése után van egy következő időpont, amikor a folyamat az r pontból valamelyik u_{n} pontba ugrik. De nem minden modellben van ilyen tulajdonságú ‘következő időpont’. Előfordulhat az is, hogy az r pontból történő ugrások időpontjai (jobbról) konvergálnak a t időponthoz. A következő tételben ismertetett eredményben megadjuk az összes lehetséges π_{y}(·) eloszlást egy születési és halálozási folyamat valamely A osztályba tartozó x(t) folytatásának az esetében. Ezek az eloszlások a születési és halálozási folyamat paraméterein kívül függnek még egy π = (π(u_{−1}), π(u_{0}), π(u_{1}), …) nem negatív számokból álló sorozattól, amit az ugrás mértékének és egy α ≥ 0 számtól, amit tükrözési együtthatónak neveznek. Ha a π vektort és α számot megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal akkor azok ugyanazt a π_{y} eloszlást fogják definiálni, minden y ∈ E pontra, de ettől a pozitív együtthatóval való szorzástól eltekintve különböző (π, α) párok különböző eloszlásokat definiálnak. A ∑_{n} π(u_{n}) összeg lehet divergens. Érdemes megjegyezni, hogy a 4.7. lemma szerint π_{y}(·)

egy valódi eloszlás a {u_{−1}, u_{0}, …, y} halmazon minden y ∈ E pontra, ha r az x(t) sztochasztikus folyamatnak nem elnyelő fala, míg az ellenkező esetben π_{y}(u) = 0 minden u ∈ {u_{−1}, u_{0}, …, y} pontban. A pontos eredmény a következőt állítja.

4.8. Tétel. Legyen adva egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó x(t) folytatása. Akkor létezik egy olyan multiplikativ faktor erejéig egyértelműen meghatározott α ≥ 0 tükrözési együtthatónak nevezett konstans és π = (π(u_{−1}), π(u_{0}), π(u_{1}), …) nem negatív számokból álló a

∑_{u}(r − u)π(u) < ∞  (4.17)

feltételt teljesítő, az ugrás mértékének nevezett sorozat, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal.

(1) Az x(t) folyamat által meghatározott α szám és π vektor elemei akkor és csak akkor egyenlőek mind nullával, ha r az x(t) sztochasztikus folyamat elnyelő pontja.

(2) Ha az α szám és a π vektor elemei közül legalább egy nem egyenlő nullával, akkor minden y ∈ E pontra az x(t) sztochasztikus folyamat által meghatározott π_{y} eloszlást a (4.14), (4.15) valamint az

α(y) = \frac{1}{r − y} [α + ∑_{y<z<r}(r − z)π(z)]  (4.18)

képletek határozzák meg ezzel az α számmal és π vektorral.

Csak röviden vázolom ezen eredmény bizonyításának fő gondolatait. Azt, hogy az először tekintett viszonylag egyszerű modellben a π_{y}(u), u ≤ y, valószínűségeket a (4.14)—(4.16) képletek segítségével lehet megadni a 4.1. Tétel segítségével bizonyíthatjuk. Ez ugyanis lehetővé teszi ezen valószínűségek kiszámítását felhasználva azt, hogy tudjuk, hogy ha egy z, x < z < r, pontba kerülünk, akkor milyen valószínűséggel jutunk innen az x és r pontok közül először az x, illetve az r pontba. Azt kapjuk, hogy

π_{y}(u) = π(u) + ∑_{y<z<r} π(z)\frac{z − y}{r − y} π_{y}(u), ha u < y,

π_{y}(y) = π(y) + ∑_{y<z<r} π(z) [\frac{z − y}{r − y} π_{y}(y) + \frac{r − z}{r − y} ] ,

azaz

π_{y}(u) = \frac{π(u)}{1 − \frac{1}{r−y} ∑_{y<z<r}(z − y)π(z)}, ha u < y,

π_{y}(y) = \frac{π(y) + α(y)}{1 − \frac{1}{r−y} ∑_{y<z<r}(z − y)π(z)},

Innen megkapjuk a (4.14) és (4.15) formulákat, ha felhasználjuk az

1 − \frac{1}{r − y} ∑_{y<z<r}(z − y)π(z) = ∑_{z<r} π(z) − \frac{1}{r − y} ∑_{y<z<r}(z − y)π(z)

= ∑_{z≤y} π(z) + \frac{1}{r − y} ∑_{y<z<r}(r − z)π(z) = ∑_{z≤y} π(z) + α(y)

azonosságot.

A 4.8. tétel bizonyítása nehezebb. E tétel bizonyításában a π ugrás mérték sorozatot, illetve az α tükrözési együtthatót is meg kell találni. Ebben az esetben a bizonyítás kiinduló lépése az, hogy az y ∈ E ponton kívül rögzítünk egy x ∈ E, x > y, pontot is, és az előző esethez hasonlóan a π_{y}(u), u < y, valószínűségeket kiszámoljuk a π_{x}(u), u < x, valószínűségek segítségével. Ekkor a π_{y}(u), u ≤ y, valószínűségeket a következő, a (4.14)—(4.16) formulákhoz nagyon hasonló képletek segítségével lehet kifejezni:

π_{y}(u) = \frac{π_{x}(u)}{∑_{u≤y} π_{x}(u) + α_{x}(y)}, ha u < y,

π_{y}(y) = \frac{π_{x}(y) + α_{x}(y)}{∑_{u≤y} π_{x}(u) + α_{x}(y)},

ahol

α_{x}(y) = \frac{1}{r − y} ∑_{y<z≤x}(r − z)π_{x}(z).  (4.19)

Ezután az x → r határátmenet segítségével be lehet látni a kívánt formulát.

A részletek kidolgozása során a bizonyítás egyik fontos lépése annak igazolása, hogy létezik egy olyan π = (π(u_{−1}), π(u_{0}), π(u_{1}), …) nem negatív számokból álló sorozat, amelyre igaz, hogy tetszőleges y ∈ E pontra a {π_{y}(u): u < y, u ∈ E ∪ {u_{−1}}} vektor ennek a π vektor E ∪ {u_{−1}} halmazra való megszorításának a konstansszorosa. Jelölje λ(x) azt a számot, amellyel a π_{x}(u), u < x, vektort beszorozva megkapjuk a π vektornak az u_{−1}, u_{0}, u_{1}, … u_{n} = x paraméterekhez tartozó koordinátáit. A π_{y}(u), u < y, és π_{y}(y)-ra kapott kifejezésekbe behelyettesítve a π_{x}(u) = \frac{π(u)}{λ(x)} azonosságokat azt kapjuk, hogy a (4.14) és (4.15) formulák érvényesek az

α(y) = α_{x}(y)λ(x), (x > y),  (4.20)

konstanssal. Az utolsó formula azt is jelenti, hogy az ott felírt azonosság jobboldala nem függ az x paramétertől. Továbbá a (4.14) formula segítségévek kapjuk, hogy a λ(y) számok, y ∈ E, teljesítik a

λ(y) = ∑_{u≤y} π(y) + α(y)  (4.21)

relációt.

Ilyen módon megtaláltuk azt az α(y) számot, amellyel érvényesek a (4.14) és (4.15) relációk, de még meg kell mutatnunk, hogy ez az α(y) szám kifejezhető a π vektor és az (eddig még nem definiált) α tüközési együttható segítségével a (4.18) formulában megadott módon. Ennek érdekében először megmutatjuk a (4.20), (4.19) és (4.14), (4.15), (4.21) azonosságok segítségével (az utolsó három azonosságot az x és nem az y paraméterre alkalmazva), hogy teljesül az

α(y) = \frac{1}{r − y} [α(x)(r − x) + ∑_{y<z≤x} π(z)(r − z)]

azonosság is. Speciálisan ezen azonosság jobboldala nem függ az x paramétertől. Alkalmazva ebben a képletben az x → r határátmenetet megkapjuk először a (4.17) egyenlőtlenséget, majd a (4.18) azonosságot α = lim_{x→r} α(x)(r − x) választással. Speciálisan ez a limesz létezik, és ez lehetővé teszi (a π vektor ismeretében) az α tükrözési együttható definicióját is.

A 4. fejezet 4.8. tételt bizonyító alfejezete tartalmaz néhány megjegyzést a tételben szereplő paraméterek jelentéséről. Ha α = 0, és ∑ π(u) < ∞, akkor feltehetjük azt is, hogy ∑ π(u) = 1. Ez megegyezik az elsőként tárgyalt speciális esettel. Ha π(u_{n}) = 0 minden u_{n} indexre, és α > 0, akkor π_{y}(y) = 1, és π_{y}(u) = 0 minden u < y állapotra. Ekkor végtelen sok ugrás történik, mielőtt a részecske eléri az y pontot, de ezek az ugrások kicsik. A rendszer viselkedése ekkor hasonlít a Wiener folyamathoz, amely tükröződik a határpontban, ezért az itt megjelenő viselkedést tükrözésnek nevezzük.

Ha α = 0, és ∑ π(u) = ∞ akkor is végtelen sok ugrás következik be, mielőtt a részecske elér egy y pontot. Ez részben hasonlít a tükrözés esetéhez, de ilyenkor viszonylag nagy ugrások is történhetnek. Viszont annak érdekében, hogy a A osztályba tartozó folyamatok (4) tulajdonsága is teljesüljön az ugrások nagyságára bizonyos korlátot is fel kell tenni. Ilyen feltétel a (4.17) reláció. Az általános eset, amikor α > 0 és π > 0 egyszerre lehetséges akkor a folyamat egy tükrözés és ugrás keveréke. Ezt a kérdést tárgyalja a fejezet után megadott Feladatok rész.

A következő vizsgált kérdés az, hogy egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó x(t) folytatása esetén hogyan tudjuk kiszámolni az E_{r}τ_{y} várható értéket. Vegyük észre, hogy ha az r pont az x(t) sztochasztikus folyamat elnyelő pontja akkor Eτ_{y} = ∞ minden y ∈ E pontra. Másrészt a 4.7. lemma alapján Eτ_{y} < ∞ minden y ∈ E pontra, ha az r pont nem elnyelő pontja az x(t) sztochasztikus folyamatnak. Az alábbiakban ismertetem azt az eredményt, amely megadja az x(t) folyamat által meghatározott τ_{y} valószínűségi változó m(y) = E_{r}τ_{y} várható értékét minden y ∈ E pontban. Ez a várható érték függ a kiinduló x̄(t) születési és halálozási folyamat p_{n} és a_{n} paramétereitől, az x(t) folyamatot jellemző és a 4.8. tételben bevezetett α ≥ 0 tükrözési együtthatótól, a π = (π(u_{−1}), π(u_{0}), π(u_{1}), …) nem negatív számokból álló és ugrás mértéknek nevezett sorozattól, valamint egy új abszorpciós együtthatónak nevezett β ≥ 0 konstanstól. Ha az α, és β számokat és a π vektort beszorozzuk ugyanazzal a pozitív konstanssal, akkor azok ugyanazt az m(y) = E_{r}τ_{y} várható értéket határozzák meg.

4.9. Tétel. Legyen adva egy x̄(t) születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó x(t) folytatása, és tekintsük minden y ∈ E pontra a korábban definiált τ_{y} valószínűségi változót és annak m(y) = E_{r}(τ_{y}) várható értékét. Létezik egy olyan β ≥ 0 konstans, amelyik nem egyenlő nullával akkor, ha α = 0 és π = 0 a 4.8. tételben meghatározott α számmal és π vektorral, és amelyikkel érvényes az

m(y) = E_{r}(τ_{y}) = \frac{β + αv(r) + ∑_{y<z<r} π(z)[S(z) − S(r)] − α(y)[S(y) − S(r)]}{λ(y)}, (4.22)

azonoság minden y ∈ E pontban, ahol a (4.22) formulában szereplő kifejezések a következőképp vannak definiálva. S(·) az x̄(t) születési és halálozási folyamat karakterisztikájának nevezett függvény, v(r) = lim_{u→r} v(u) a −S(t) függvény (monoton növekvő, nem negatív) a (4.11) és (4.12) formulákban definiált deriváltjának a limesze az r pontban, α a 4.8. tételben bevezetett tükrözési együttható, π(z) a 4.8. tételben bevezett π ugrás mértéknek nevezett sorozat megfelelő koordinátája, az α(y) és λ(y) számok e mennyiségek segítségével a (4.18) és (4.21) formulákban vannak kifejezve. E képletben az αv(r) kifejezést az α = 0, v(r) = ∞ esetben az

αv(r) = 0, ha α = 0 és v(r) = 0

képlettel definiáljuk.

Az x(t) folyamat vizsgálatában megjelent α, v(r) számok, S(t) karakterisztika és a π az ugrás mértéknek nevezett sorozat teljesítik az

αv(r) < ∞  (4.23)

és

∑_{u} π(u)[S(u) − S(r)] < ∞  (4.24)

egyenlőtlenségeket.

Ha α = 0 és π = 0, azaz, ha r elnyelő pontja az x(t) sztochasztikus folyamatnak akkor a (4.22) képletben meghatározott m(y) mennyiségre m(y) = ∞. A többi esetben m(y) < ∞. Vegyük észre, hogy, ha az α és β számokat és v vektort megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, akkor a (4.22) formula jobboldalán szereplő kifejezés értéke nem változik. Ez azt jelenti, hogy az (α, β, π) vektor csak egy pozitív konstans szorzó erejéig van meghatározva.

A 4.9. tétel bizonyításának nem tárgyalom minden részletét, csak néhány megjegyzést teszek a bizonyítással kapcsolatban.

A 4.9. tétel bizonyításában hasonlóan a 4.8. tétel bizonyításához, veszünk két x, y ∈ E, y < x pontot, és először az m(x) és m(y) várható értéket hasonlítjuk össze, és megvizsgáljuk mit kapunk az x → r határátmenet végrehajtása esetén. Jelen esetben a kívánt formulák bizonyításának érdekében a 4.4. és 4.3. tételek eredményeit érdemes alkalmazni. A 4.4. tétel megadja azon idő m(z; y, r) várható értékét, ami ahhoz szükséges, hogy a z pontból kiinduló születési és halálozási folyamat elérje az y és r pont valamelyikét, (y < z < r). Részletesebben kifejtve, a 4.4. tétel 3. formulája alapján felírhatjuk, hogy

m(z; y, r) = S(z) − \frac{(r − z)S(y) + (z − y)S(r)}{r − y} = [S(z) − S(r)] − \frac{r − z}{r − y} [S(y) − S(r)],

és mivel egy z pontból kiindulva, y < z < r, az y és r pontok közül \frac{r−z}{r−y} valószínűséggel először az y pontot és \frac{z−y}{r−y} valószínűséggel először az r pontot érjük el, ezért

m(y) = m(x) + ∑_{y<z≤x} π_{x}(z) [m(z; y, r) + \frac{z − y}{r − y} m(y)] .

Ezek a formulák, továbbá a korábban a p_{x}(z) valószínűségekre kapott kifejezések lehetővé teszik, hogy egy alkalmas formulát írjunk fel az m(x) és m(y) várható értékek kapcsolatáról. Néhány korántsem triviális átalakítást végrehajtva azt kapjuk, hogy

λ(y)m(y) + α(y)[S(y) − S(r)]

= λ(x)m(x) + α(x)[S(x) − S(r)] + ∑_{y<z≤x} π(z)[S(z) − S(r)].

Azt kell tanulmányozni, mit kapunk ezen azonosság segítségével az x → r határátmenet végrehajtása esetén. Mivel az azonosság baloldala nem függ az x számtól, nem nehéz belátni ilyen módon a (4.24) egyenlőtlenséget. Másrészt vizsgálnunk kell az α(x)[S(x)− S(r)] kifejezés limeszét x → r határátmenet esetén. Némi nem triviális számolás azt adja, felhasználva az S(·) függvény tulajdonságait, hogy

lim_{x↑r} α(x)[S(x) − S(r)] = αv(r).

Ennek segítségével be lehet látni a (4.22) formulát a

β = lim_{x↑r} λ(x)m(x)  (4.25)

választással. Speciálisan az is következik ebből a gondolatmenetből, hogy a β számot definiáló limesz valóban létezik. Végül a (4.23) formula következik a (4.22) formulából.

A szerzők ismertetnek egy olyan eredményt is, amely egyben megmagyarázza, hogy a (4.22) formulában szereplő β számot miért hívják abszorpciós együtthatónak. Azt vizsgálják, hogy az x(t) sztochasztikus folyamat mennyi időt tölt az r határpontban azelőtt hogy az az r pontból először kilép egy U_{y} halmazból. Bebizonyítják a következő tételt.

4.10. Tétel. A 4.9. tételben tekintett x(t) sztochasztikus folyamat az ott használt jelölésekkel teljesíti minden y ∈ E pontban az

E_{r}ξ_{y} = \frac{β}{λ(y)}

relációt, ahol ξ_{y} jelöli azt annak az időnek a (Lebesgue) mértékét, amelyet az r pontból kiinduló x(t) folyamat az r határpontban töltött, mielőtt kilépett az U_{y} halmazból.

Ez azt jelenti, hogy az az idő, amit az r pontból kiinduló x(t) folyamat az r pontban tölt, mielőtt először kilép az r pont egy U_{y} környezetéből arányos a β számmal.

Nem nehéz belátni a (4.18) és (4.21) képletek segítségével, hogy

lim_{y↑r} λ(y) = \{ \begin{matrix}∑_{u} π(u) ha α = 0 \\ ∞ ha α > 0, \end{matrix}

és ez a limesz véges, ha α = 0 és ∑_{u} π(u) < ∞, és végtelen, ha α > 0 vagy ∑_{u} π(u) = ∞.

Az első esetben van egy véges időintervallum, ameddig az r pontban tartózkodó x(t) folyamat az r pontban marad, míg a második esetben azon időpontok halmaza, amikor az x(t) folyamat az r pontban tartózkodik nem tartalmaz intervallumot. Viszont be lehet látni, hogy ebben az esetben azon t időpontok halmaza, amelyet az r pontból kiinduló x(t) folyamat az U_{y} ból való kilépés előtt az r pontban tölt a P_{r} mérték szerint egy valószínűséggel pozitív mértékű Cantor halmaz, és e halmaz mértéke arányos a β paraméterrel.

Láttuk, hogy egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatásának teljesítenie kell a (4.17) és (4.23) egyenlőtlenséget. Be lehet viszont látni, felhasználva az S(t) függvény tulajdonságait, hogy a (4.23) egyenlőtlenségből következik a (4.17) egyenlőtlenség. Bizonyos esetekben ez a két egyenlőtlenség ekvivalens. Az ilyen esetek megadásának érdekében bevezetjük a következő fogalmat. Egy születési és halálozási folyamat r határpontját belülről elérhetőnek nevezzük, ha v(r) < ∞. Ebben az esetben a (4.17) és (4.23) egyenlőtlenségek ekvivalensek. Ez az állítás viszont nem feltétlenül igaz akkor, ha az r pont nem belülről elérhető.

Az eddig tárgyalt eredmények lehetőve teszik hogy kiszámítsuk az Uf(r) menynyiséget, azaz a karakterisztikus operátor értékét az r pontban. Az általános feladat az, hogy írjuk le a születési és halálozási folyamatok A osztályba tartozó folytatásának U karakterisztikus operátorait. Azt már láttuk, hogy egy ilyen sztochasztikus folyamatra Uf(y) = \frac{1}{2}D_{μ}D_{u}f(y), ha y ∈ E, (megadtuk a D_{μ} és D_{u} operátorok pontos leírását), de hiányzik még a Uf(r)-nek a megadása. Ez a születési és halálozási folyamat S(u) karakterisztikáján kívül függ egy α tükrözési, β abszorpciós együtthatótól és és egy π = (π(u_{−1}), π(u_{0}), π(u_{1}), …) ugrás mértékének nevezett sorozattól. A továbbiakban bevezetjük a γ = π(u_{−1}) = π(−1) jelölést, és a π vektor koordinátái közül elhagyjuk ezt az elemet. A γ ≥ 0 számot eltűnési (extinction) együtthatónak fogjuk hívni. Megfogalmazom a U karakterisztikus operátort leíró tételt, aztán teszek néhány megjegyzést ezzel kapcsolatban, végül elmagyarázom a tétel bizonyításának fő lépéseit.

4.11. Tétel. Egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó x(t) folytatását a következőképp adhatjuk meg. Veszünk egy p_{n}, n = 0, 1, …, p_{0} = 1, 0 < p_{n} < 1, ha n ≥ 1, a_{n}, a_{n} > 0, n = 0, 1, 2, …, sorozatot, tekintünk egy e paraméterek által meghatározott x̄(t) születési és halálozási folyamatot, definiáljuk e folyamat S(u), 0 ≤ u ≤ r, karakterisztikáját, annak v(u) deriváltját és az általa meghatározott D_{u} és D_{μ} operátorokat a már leírt módon. E születési és halálozási folyamat egy x(t) A osztályba tartozó folytatását olyan α ≥ 0 tükrözési, β ≥ 0 abszorpciós, γ ≥ 0 tükrözési együtthatók és π = (π(u_{0}), π(u_{1}), …), π(u_{n}) ≥ 0, n = 0, 1, …, ugrás mértékének nevezett sorozat segítségével adjuk meg. Ezek a mennyiségek teljesítik a (4.23), (4.24) és α^{2}+β^{2}+γ^{2}+∑_{u} π(u)^{2} > 0 feltételeket. (A (4.23) feltétel értelmezésében az αv(r) = 0,

ha α = 0 és v(r) = ∞ konvenciót alkalmazzuk.) Az x(t) sztochasztikus folyamatot annak U karakterisztikus operátorának a segítségével adjuk meg, amelyet a következőképp definiálunk.

Uf(u) = \frac{1}{2}D_{μ}D_{u}f(u) ha u ∈ E,

és

βUf(r) + αf′(r) + γf(r) + ∑_{u} π(u)[f(r) − f(u)] = 0  (4.26)

egy olyan f(u), u ∈ E ∪ {r} sorozatra, amely tekinthető egy a [0, r] intervallumon definiált, az r pontban differenciálható függvény megszorításának erre a halmazra. A (4.26) formula úgy értelmezhető, hogy egy f(u), u ∈ E ∪ {r}, sorozatot azonosítunk egy ilyen a [0, r] halmazon definiált f(u) függvénnyel, és csak olyan sorozatokat tekintünk, amelyekre ez az f(u) függvény az r pontban differenciálható. Az x(t) folyamat jellemzésében szereplő α, β és γ konstansok, illetve π vektor egy pozitív konstanssal való szorzás erejéig egyértelműen meg vannak határozva.

A könyvben az van bebizonyítva, hogy egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatása csak ilyen alakú lehet. Annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy egy ilyen karakterisztikus operátor valóban definiál-e egy kívánt tulajdonságú Markov folyamatot, más e könyvben nem tárgyalt módszerek kidolgozását igényli. Ezért a könyv bizonyítás nélkül ismerteti a választ erre a kérdésre. Viszont az utolsó alfejezetben bebizonyítja, hogy az így definiált U karakterisztikus operátor egyértelműen meghatározza a születési és halálozási folyamat x(t) A osztályba tartozó folytatásának az eloszlását. Érdemes megjegyezni, hogy a (4.26) formula nagyon hasonlít a [−∞, 0] félegyenesen definiált Wiener folyamat karakterisztikus operátorának a 0 határpontbeli értékét megadó (4.2) képlethez.

Az általános, de a könyvben nem ismertetett elméletből következik, hogy a 4.9. tételben megadott U operátor mindig definiál egy Markov folyamatot. Ez egyben egy születési és halálozási folyamatnak az A osztályba tartozó folytatása, kivéve azt az esetet, ha

α = β = 0, és ∑_{u} π(u) < ∞.

Ekkor ugyanis az A osztályba tartozó folytatás definiciójának (4) és (5) pontban megfogalmazott, a sztochasztikus folyamat trajektóriáinak T időpontbeli jobboldali folytonosságát előíró feltétele nem teljesül. Érdemes megjegyezni, hogy ez az eset hasonló a 4.8. tétel tárgyalása előtt vizsgált speciális esethez. A lényeges különbség közöttük az, hogy ott az r határpontból való valamely u ∈ E pontba történő ugrás bekövetkezéséhez exponenciális eloszlású ideig várni kell, míg az itt említett esetben a β = 0 feltétel azt jelenti, hogy azonnal megtörténik az ugrás. A kívánt folytonossági tulajdonság ezért nem teljesül az adott esetben.

A 4.10. tétel bizonyításához először fel kell írni a karakterisztikus operátor értékét az r pontban, azaz azt az Uf(r) kifejezést, amit vizsgálni akarunk. Ez a U operátor definiciója, illetve (4.14), (4.15) és (4.21) formula alapján így írható fel:

Uf(r) = lim_{y↑r} \frac{∑_{0<u≤y} π(u)f(u) + α(y)f(y) − λ(y)f(r)}{λ(y)m(y)}.

Illetve mivel λ(y) a (4.21) formula és a γ = π(u(−1) jelölés bevezetése miatt

λ(y) = ∑_{−1≤u≤y} π(u) + α(y) = γ + ∑_{0≤u≤y} π(u) + α(y)

ezt a formulát átírhatjuk, mint

Uf(r) = lim_{y↑r} \frac{∑_{0<u≤y} π(u)[f(u) − f(r)] + α(y)[f(y) − f(r)] − γf(r)}{λ(y)m(y)}.  (4.27)

A (4.27) kifejezésben szereplő tört nevezőjére a (4.25) reláció szerint igaz a

lim_{y↑r} λ(y)m(y) = β

azonosság. Némi vizsgálat azt mutatja, hogy amennyiben az f(u) függvény deriválható az r pontban, akkor e tört számlálója konvergál a

∑_{u} π(u)[f(u) − f(r)] + αf′(r) − γf(r)

kifejezéshez, ha y ↑ r. Ezen állítás igazolásához azt kell megmutatni, hogy a

∑_{0<u≤y} π(u)[f(u) − f(r)]

összeg az adott esetben konvergál a ∑_{u} π(u)[f(u) − f(r)] végtelen összeghez, ha y ↑

r, és az utóbbi összeg véges. Ez azonban könnyen igazolható a (4.17) formula és az f(u) − f(r) ∼ f′(r)(u − r), ha u ↑ r reláció segítségével.

A fenti, a (4.27) formula számlálójára és nevezőjére kapott aszimptotikus relációk implikálják a (4.26) formulát a β > 0 esetben. A β = 0 esetben ezt a határátmenetet nincs jogunk elvégezni. De akkor mondhatjuk azt, hogy a Uf(r) formulát megadó limesz csak akkor létezik, ha a számláló tart a nullához u ↑ r esetén, azaz, ha

∑_{u} π(u)[f(u) − f(r)] + αf′(r) − γf(r) = 0.

Ez viszont megegyezik a (4.26) formulával a β = 0 esetben. Ez azt jelenti, hogy az Uf(r) kifejezés, (ha egyáltalán létezik) teljesíti a (4.26) formulát. Itt meg kell jegyezni azt is, hogy abban az esetben, ha r elnyelő állapot, (ezt az esetet nem tárgyaltuk az előző vizsgálatokban), akkor α = γ = π = U = 0, β > 0, tehát a (4.26) formula ebben az esetben is érvényes.

A fenti érvelés azt bizonyítja, hogy a karakterisztikus operátor csak olyan lehet, amelynek az értéke az r pontban teljesíti a (4.26) formulát. Az, hogy egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatása valóban létezik ilyen karakterisztikus operátorral (enyhe megszorítások esetén), más e könyvben nem tárgyalt vizsgálatokból következik.

A könyv még tartalmazza annak bizonyítását, hogy a karakterisztikus operátor egyértelműen meghatározza egy születési és halálozási folyamat A osztályba tartozó folytatásának az eloszlását. Röviden ismertetem, ezen állítás bizonyításának legfontosabb gondolatait. Ezek a Markov folyamatok elméletének néhány fontos módszerének az alkalmazásán alapulnak.

Azt kell belátni, hogy a megadott Uf operátor értékei, ha az U operátort az E ∪ {r} halmazon folytonos függvények terén alkalmazzuk meghatározzák a p(t, u, v) = P_{u}(x(t) = v) és P (ζ > t) valószínűségeket. Ezt az állítást az analízis eredményei alapján vissza lehet vezetni annak bizonyítására hogy a U operátor hatása a folytonos függvények terére egyértelműen meghatározza az úgynevezett rezolvenst, azaz a

R_{λ}f(u) = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}E_{u}f(x(t)) dt

függvényt minden folytonos f függvényre és λ > 0 számra. Ez a képlet úgy értendő, hogy a t ≥ ζ esetében, vagyis akkor, ha x(t) nincs definiálva, f(x(t)) = 0. Érvényes a rezolvens következő jellemzése is:

R_{λ} = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}P_{t} dt,

ahol P_{t}, t ≥ 0, a Markov folyamat korábban is tárgyalt félcsoportja.

A könyv belátja, hogy amennyiben f folytonos függvény akkor az F (u) = F_{λ}(u) = R_{λ}f(u) függvény is folytonos minden λ > 0 számra. Ezenkívül igaz az alábbi (a rezolvensek elméletében nagyon általános feltételek mellett érvényes) azonosság.

R_{λ} − R_{μ} = (μ − λ)R_{μ}R_{λ} minden λ > 0, μ > 0 számpárra.

Ezen összefüggések segítségével a könyv belátja a következő lemmát.

4.12. Lemma. Ha f folytonos függvény az E ∪ {u} halmazon, akkor minden λ > 0 paraméterre az F (u) = F_{λ}(u) = R_{λ}f(u) függvény olyan folytonos függvény az E ∪ {u} halmazon, amely teljesíti a

f = λF − UF  (4.28)

azonosságot.

Ezen eredmény alapján a kívánt egyértelműség bizonyításához elég megmutatni azt, hogy rögzített folytonos F függvényre a (4.28) egyenletet egyetlen (folytonos) f függvény elégíti ki. Ezt a következőképp láthatjuk be. Elég megmutatni, hogy a λF − UF ≡ 0 egyenletet egyedül az F ≡ 0 függvény elégíti ki a folytonos függvények terében. Ha ez nem teljesülne, akkor létezne olyan folytonos F megoldása ennek az egyenletnek, amely bizonyos pontokban szigorúan pozítiv, sőt létezne olyan u pont, amelyre F (u) = max F (v) = M > 0, azaz az F függvény maximuma felvétetik. De az U operátor definiciója szerint UF (u) ≤ 0, ezért F (u) = \frac{1}{λ}UF (u) ≤ 0 ebben az u pontban. Viszont F (u) = M > 0 az u pontban, és ez ellentmondás.