\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 2pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek \'es
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"ozels\'eg\'enek kapcsolata
 
Ha k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o k\"ozel van
egym\'ashoz, akkor ugyanez \'erv\'enyes eloszl\'asaikra is.
Megford\'{\i}tva ez term\'eszetesen nem igaz, a k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o lehet p\'eld\'aul f\"uggetlen
\'es azonos eloszl\'as\'u
is. Viszont a k\"ovetkez\H{o} tipus\'u  k\'erd\'esekre \'erdekes, nem
trivi\'alis v\'alasz adhat\'o. Ha adva van k\'et egym\'ashoz k\"ozel
l\'ev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek $\mu$ \'es $\nu$
valamely $(X,\rho)$ metrikus t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an,
akkor tudunk-e konstru\'alni egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, rajta k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $\xi$-t \'es $\eta$-t \'ugy,
hogy $\xi$ eloszl\'asa $\mu$, $\eta$ eloszl\'asa $\nu$, \'es a $\xi$
\'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"ozel vannak
egym\'ashoz? Term\'eszetesen a k\"ozels\'eg fogalm\'at pontos\'{\i}tani
kell.
 
Egy term\'eszetes konstrukci\'o a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $(\Omega,
\Cal A, P)=(X\times X,\Cal A\times \Cal A,P)$, ahol $\times$ direkt
szorzatot jel\"ol, $\Cal A$ a $\rho$  metrika, illetve az \'altala
meghat\'arozott topol\'ogia \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra, \'es
$P$ alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az adott t\'eren.
Defini\'aljuk tov\'abb\'a a $\xi(x_1,x_2)=x_1$, $\eta(x_1,x_2)=x_2$,
$(x_1,x_2)\in X\times X$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
ezen a t\'eren. Ekkor a feladat a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen
fogalmazhat\'o \'at. Konstru\'aljunk olyan $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az $(X\times X,\Cal A\times
\Cal A)$ t\'eren, melynek margin\'alis eloszl\'asai $\mu$ \'es $\nu$,
tov\'abb\'a a $P$ m\'ert\'ek nagyr\'esze az $(x,x)$, $x\in X$,
pontokb\'ol \'all\'o \'atl\'o k\"ozel\'ebe van koncentr\'alva. E
probl\'ema vizsg\'alat\'aban nagyon hasznos  a kombinatorik\'aban
fontos K\"onig--Hall t\'etel, (h\'azass\'agi probl\'ema), illetve
ennek egy folytonos v\'altozata. Ezeket az eredm\'enyeket
megfogalmazzuk, illetve egy Appendix-ben
bebizony\'{\i}tjuk.\medskip\noindent
{\bf K\"onig--Hall t\'etel, (H\'azass\'agi probl\'ema).} {\it Legyen
adva $n$ fi\'u \'es  $n$ l\'any, melyek k\"oz\"ott vannak olyanok, akik
ismerik egym\'ast. (Az ismerets\'egek k\"olcs\"on\"osek.) Akkor \'es
csak akkor tudjuk \H{o}ket \'ugy p\'arba\'all\'{\i}tani
(\"osszeh\'azas\'{\i}tani), hogy csak ismer\H{o}s\"ok
ke\-r\"ul\-je\-nek p\'arba, ha a l\'anyok b\'armely csoportja
egy\"uttesen legal\'abb annyi fi\'ut ismer, mint ennek a csoportnak a
l\'etsz\'ama.
 
Form\'alisan megfogalmazva: Tekints\"unk egy $Y=\{y_1,\dots,y_n\}$
\'es $Z=\{z_1,\dots,z_n\}$ halmazb\'ol  tov\'abb\'a egy $d\:Y\times
Z\to\{0,1\}$ lek\'epez\'esb\H{o}l \'all\'o p\'aros gr\'afot.
Itt $d(y,z)=1$, $y\in Y$, $z\in Z$ azt jelenti, hogy az $y$ \'es $z$
pontok \"ossze vannak k\"otve, $d(y,z)=0$ pedig azt, hogy nincsenek
\"osszek\"otve. Egy $A\subset Y$ eset\'en defini\'aljuk a $B(A)\subset
Z$ halmazt, mely az $A$-beli pontokkal
\"osszek\"ot\"ott pontokat jel\"oli, azaz
$$
B(A)=\{z\: z\in Z,\text{ \'es l\'etezik olyan }y\in A, \text{ melyre
}d(y,z)=1\}.
$$
Akkor \'es csak akkor l\'etezik ennek a p\'aros gr\'afnak
faktoriz\'aci\'oja, azaz az $Y$ \'es $Z$ halmaz elemeinek olyan $(y_j,
z_{\pi(j)})$, $j=1,2,\dots,n$, p\'arba\'all\'{\i}t\'asa,
melyre $d(y_j,z_{\pi(j)})=1$ minden $j=1,2,\dots,n$-re,
\'es $\pi(j)$, $j=1,\dots,n$, az $\{1,\dots,n\}$ halmaz alkalmas
permut\'aci\'oja, ha $|B(A)|\ge |A|$ minden $|A|\subset Z$ halmazra,
ahol $|C|$ egy $C$ halmaz sz\'amoss\'ag\'at jel\"oli.} \medskip\noindent
{\bf K\"onig--Hall t\'etel egy folytonos v\'altozata.} {\it Legyen adva
$r$ rakt\'ar $u_1,u_2,\dots,u_r$ nagys\'ag\'u k\'eszletekkel \'es $s$
\"uzem, $v_1\dots,v_s$ nagys\'ag\'u ig\'enyekkel,
$\summ_{j=1}^r u_j=\summ_{k=1}^s v_k$. Le\-gye\-nek bizonyos rakt\'arak
\'es \"uzemek \'uttal \"osszek\"otve. Az \"osszes ig\'enyt a
l\'etez\H{o} \'utakon val\'o sz\'all\'{\i}t\'assal akkor \'es csak
akkor el\'eg\'{\i}thetj\"uk ki, ha \"uzemek tetsz\H{o}leges
csoportj\'ara, az ezek valamelyik\'evel \"osszek\"ot\"ott rakt\'arak
\"osszkapac\'{\i}t\'asa nem kisebb, mint ezen \"uzemek \"osszig\'enye.
 
Form\'alisan megfogalmazva: Tekints\"unk egy $Y=\{y_1,\dots,y_r\}$ \'es
$Z=\{z_1,\dots,z_s\}$ halmazokb\'ol \'es $d\:Y\times Z\to\{0,1\}$
lek\'epez\'esb\H{o}l \'all\'o p\'aros gr\'afot, ahol $d(y,z)=1$, $y\in
Y$, $z\in Z$ azt jelenti, hogy az $y$ \'es $z$
pontok \"ossze vannak k\"otve, $d(y,z)=0$ pedig azt, hogy nincsenek
\"osszek\"otve. Legyen tov\'abb\'a adva k\'et $u(y)$, $u(y)\ge0$, $y\in
Y$ \'es $v(z)$,  $v(z)\ge0$, $z\in Z$, a $\summ_{y\in
Y}u(y)=\summ_{z\in Z}v(z)$ felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
s\'ulyf\"uggv\'eny. Minden $A\subset Y$ halmazra defini\'aljuk a
$B(A)\subset Z$ halmazt a
$$
B(A)=\{z\:z\in Z,\text{ \'es l\'etezik olyan }y\in A, \text{ melyre }
d(y,z)=1\}
$$
k\'eplettel. Akkor \'es csak akkor l\'etezik olyan $w(y,z)\ge0$
``sz\'all\'{\i}t\'asi f\"uggv\'eny", melyre \smallskip
\item {i.)} $\summ_{z\: d(y,z)=1} w(y,z)=u(y)$ minden $y\in
Y$-re,\hfill\break
\'es $\summ_{y\: d(y,z)=1} w(y,z)=v(z)$ minden $z\in Z$-re.
\item{ii.)} A $w(y,z)>0$ egyenl\H{o}tlens\'eg csak akkor teljes\"ul,
ha $d(y,z)=1$, \smallskip
ha minden $A\in Y$-re $\summ_{z\in B(A)} v(z)\ge \summ_{y\in A}u(y)$.}
\medskip \noindent{\bf Feladatok:} \medskip
\item{0.)} L\'assuk be, hogy a K\"onig--Hall t\'etelben, illetve annak
folytonos v\'altozat\'aban a felt\'etelek szimmetrikusak az $Y$ \'es
$Z$ halmazokra, azaz, ha felcser\'elj\"uk a fel\-t\'e\-te\-lek\-ben
(\'es a $B(A)$ halmaz definici\'oj\'aban) az $Y$ \'es $Z$ halmazt,
akkor a felt\'etelek \'erv\'enyben maradnak.
\item{1.)} Legyen adva k\'et $\mu$ \'es $\nu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis
metrikus t\'ernek a metrika seg\'{\i}ts\'eg\'evel gener\'alt
topl\'ogia \'altal meghat\'arozott  $\Cal B$ Borel
$\sigma$-al\-geb\-r\'a\-j\'an. Jel\"olje $B^\alpha=\{x\:
\rho(x,B)<\alpha\}$ egy $B\subset X$ halmaz $\alpha$ sugar\'u
ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et. Tegy\"uk fel, hogy a $\mu$ \'es $\nu$
m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a $\mu(B)\le \nu(B^\alpha)+\beta$
felt\'etelt minden $B\subset X$ z\'art halmazra valamilyen $\alpha>0$
\'es $\beta>0$ sz\'amokkal. Ekkor minden $\e>0$ eset\'en
konstru\'alhat\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi$ \'es $\eta$ $X$ \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek
eloszl\'asa $\mu$ illetve $\nu$, \'es amelyekre a
$$
P(\rho(\xi,\eta)>\alpha+\e)\le \beta+\e  \tag a
$$
rel\'aci\'o teljes\"ul. Megford\'{\i}tva, ha a $\mu$ eloszl\'as\'u $\xi$
\'es $\nu$ eloszl\'as\'u $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik az (a) rel\'aci\'ot, akkor $\mu(B)\le
\nu(B^{\alpha+\e})+\beta+\e$.
 
\item{} Ha $X$ nemcsak szepar\'abilis, hanem teljes metrikus t\'er is,
akkor az (a) rel\'aci\'o igaz $\e=0$ eset\'en is. (Az utols\'o
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'alhatjuk azt az
eredm\'enyt, mely szerint szepar\'abilis teljes metrikus t\'eren
$\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek egyenletes kompakt
sorozat\'anak l\'etezik a m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aja szerint
konvergens r\'eszsorozata.)
\item{2.)} Legyen adva egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er,
azon a t\'er tem\'eszetes topol\'ogi\'aja \'altal meghat\'arozott $\Cal
A$ Borel $\sigma$-algebra. Jel\"olje $\Cal M$ az $(X,\Cal A)$ t\'eren
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek ter\'et, \'es a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekp\'arokon vezess\"uk
be a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} $d(\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'enyt: Ha $\mu\in
\Cal M$ \'es $\nu\in \Cal M$, akkor
$$
d(\mu,\nu)=\inf\{\alpha\:\mu(B)\le \nu(B^\alpha)+\alpha\;\text{minden
z\'art } B\subset X\; \text{halmazra}\},
$$
ahol $B^\alpha$ jelent\'ese ugyanaz, mint az el\H{o}z\H{o} feladatban.
L\'assuk be, hogy $d(\cdot,\cdot)$ metrika az $\Cal M$ t\'eren, \'es ez
a metrika a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek ter\'en
\'ertelmezett gyenge konvergenci\'aj\'at metriz\'alja, azaz egy
$\mu_n\in \Cal M$, $n=1,2,\dots$, sorozatra, \'es $\mu\in \Cal M$-re
$\mu_n\Rightarrow \mu$ $n\to\infty$ eset\'en akkor \'es csak akkor, ha
$d(\mu_n,\mu)\to0$, ahol $\Rightarrow$ a gyenge konvergenci\'at
jel\"oli. Az $(\Cal M,d)$ t\'er szepar\'abilis metrikus t\'er, \'es ha
$(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er, akkor az $(\Cal M,d)$
t\'er is az. \smallskip
\item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ Az, hogy egy topol\'ogikus teret
induk\'al\'o metrika teljes metrika-e vagy sem, nem topol\'ogikusan
invari\'ans, azaz lehets\'eges, hogy egy teljes \'es nem teljes metrika
ugyanazt a topol\'ogi\'at defini\'alja. Ez\'ert abb\'ol az
\'altal\'anos eredm\'enyb\H{o}l, hogy teljes metrikus t\'er
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeinek ter\'en l\'etezik olyan
teljes metrika, mely a gyenge konvergenci\'at induk\'alja nem
k\"ovetkezik, hogy a fenti $d(\cdot,\cdot)$ metrika is teljes metrikus
teret induk\'al.
\smallskip Be fogjuk l\'atni a k\"ovetkez\H{o} \'All\'{\i}t\'as~A-t:
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as A:} {\it Alkalmazuk a 2. feladat jel\"ol\'eseit.
Ha a $\mu_n\in\Cal M$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek sorozata \'es egy $\mu\in\Cal M$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek  teljes\'{\i}ti az
$\mu_n\Rightarrow\mu$, ha $n\to\infty$ felt\'etelt, akkor l\'etezik
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es
azon $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'ugy, hogy $\xi_n$ eloszl\'asa $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
$\xi$ eloszl\'asa $\mu$, \'es $\xi_n\to\xi$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}\medskip
Az \'All\'{\i}t\'as A bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy alkalmas
konstrukci\'oban k\"ul\"onb\"oz\H{o} $n$ indexekre azok az $n$
indext\H{o}l f\"ugg\H{o} halmazok, amelyekre a $\xi_n$ \'es $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok t\'avols\'aga viszonylag nagy,
\'atfedhetik egym\'ast. Ezt el\'erend\H{o}, a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'at
alkalmasan kell megv\'alasztanunk. Ez\'ert a fenti
\'All\'{\i}t\'as~A-ban sze\-rep\-l\H{o} egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia nem annyira hasznos, mint azt az els\H{o} pillanatban
gondoln\'ank. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tartalmas
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'erv\'enyes \'all\'{\i}t\'asokat
tartalmaz\'o t\'etelei ugyanis a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'at\'ol f\"uggnek. Az
\'All\'{\i}t\'as~A viszont megengedi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'anak
meg\-v\'al\-toz\-ta\-t\'a\-s\'at.
 
Az \'All\'{\i}t\'as~A bizony\'{\i}t\'asa teljes szepar\'abilis terekben
egyszer\H{u}bb, \'es ebben az esetben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t is nagyon speci\'alisan lehet megv\'alasztani. Annak
\'erdek\'eben, hogy \'All\'{\i}t\'as~A-t ebben az esetben bel\'assuk
\'erdemes el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladatot megoldani. \medskip
\item{3.)} Legyen $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er, $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek ezen t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an. Tekints\"uk azt a speci\'alis $(\Omega,\Cal A,
P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, melyre $\Omega=[0,1]$, $\Cal
A$ a Borel $\sigma$-algebra a $[0,1]$ intervallumon, $P$ a Lebesgue
m\'ert\'ek a $[0,1]$ intervallum Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an.
Konstru\'alhat\'o ezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n olyan az
\'ert\'ekeit az $X$ t\'erben felvev\H{o} $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek eloszl\'asa $\mu$.
\item{4.)} Bizony\'{\i}tsuk be  \'All\'{\i}t\'as A-t,ha $(X,\rho)$
szepar\'abilis, teljes  metrikus t\'er. Ebben az esetben
v\'alaszthatjuk a $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t, mint $\Omega=[0,1]$, $\Cal A$ a Borel $\sigma$-algebra a
$[0,1]$ intervallumon, \'es $P$ a Lebesgue m\'ert\'ek a $[0,1]$
intervallum Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an.
\item{5.)} Az \'All\'{\i}t\'as A (egy alkalmasan nagy $(M,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n) \'erv\'enyes
tet\-sz\H{o}\-le\-ges szepar\'abilis, nem felt\'etlen\"ul teljes
$(X,\rho)$ metrikus t\'er eset\'eben.
\item{6.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ $(X,\rho)$
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ahol $(X,\rho)$
szepar\'abilis metrikus t\'er. Tegy\"uk fel, hogy
$\xi_n\Rightarrow\xi$, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus
konvergenci\'at jel\"ol. Ekkor a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\mu_n$ \'es a  $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\mu$ eloszl\'as\'ara $\mu_n\Rightarrow\mu$,
ahol $\Rightarrow$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aj\'at jel\"oli.\medskip
L\'attuk (1. feladat), hogy az a k\'erd\'es, hogy egy
$(X,\rho)$ t\'eren defini\'alt $\mu$ \'es $\nu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekhez, hogyan lehet olyan
$\mu$ \'es $\nu$ eloszl\'as\'u $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy azok k\"ozel
vannak egym\'ashoz a k\"ovetkez\H{o} n\'emileg inform\'alisan
megfogalmazhat\'o ``sz\'all\'{\i}t\'asi probl\'em\'ahoz" vezet: Hogyan
lehet egy $\mu$ t\"omegeloszl\'as\'u pontrendszer pontjait viszonylag
kev\'es mozgat\'assal egy $\nu$ t\"omegeloszl\'as\'u pontrendszerbe
\'atvinni? Ha az $(X,\rho)$ t\'er a sz\'amegyenes a szok\'asos
metrik\'aval, akkor e t\'eren lev\H{o} egyszer\H{u} rendez\'es miatt
ez a ``sz\'all\'{\i}t\'asi probl\'ema" l\'enyegesen
egyszer\H{u}s\H{o}dik. Ekkor ugyanis bizonyos term\'eszetes
ki\'ert\'ekel\'esek eset\'en (l\'asd a k\'es\H{o}bbi 9. feladatot)
\'erdemes kiz\'arni a k\"ovetkez\H{o} lehet\H{o}s\'eget:
L\'eteznek olyan $x_1<x_2$ \'es $x_3<x_4$ sz\'amp\'arok, melyekre az
$x_1$ pontot az $x_4$ \'es az $x_2$ pontot az $x_3$ pontba
sz\'all\'{\i}tjuk. Ekkor ugyanis az $x_1\to x_3$ \'es $x_2\to x_4$
sz\'all\'{\i}t\'as gazdas\'agosabb. Ezt a  lehet\H{o}s\'eget z\'arja
ki az al\'abb ismertetend\H{o} kvantilis transzorm\'aci\'onak nevezett
konstrukci\'o, amelyiknek bel\'atjuk egy optimalit\'asi
tulajdons\'ag\'at.
 
A kvantilis transzform\'aci\'o definici\'oj\'ahoz sz\"uks\'eg\"unk
lesz a k\"ovetkez\H{o} matematikai statisztik\'aban is gyakran
haszn\'alt t\'eny  felid\'ez\'es\'ere. Ha $\xi$ $F$ eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a sz\'amegyenesen,
akkor alkalmas felt\'etelek eset\'en $\eta=F(\xi)$ egyenletes
eloszl\'as\'u val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$
intervallumon. Megford\'{\i}tva, ha $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumon,
akkor $\xi=F^{-1}(\eta)$, ahol $F^{-1}(x)$ az $F(x)$ eloszl\'as inverze,
$F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A
k\"ovetkez\H{o} feladat ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
pontos\'{\i}t\'asa, enyhe \'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip
\item{7.)} Legyen $\xi$ egy $F(x)=P(\xi<x)$ eloszl\'as\'u \'es $\eta$
egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Defini\'aljuk az $F(x)$ (nem
felt\'etlen\"ul szigor\'uan) monoton f\"uggv\'eny
\'altal\'anos\'{\i}tott inverz\'et az $F^{-1}(x)=\sup\{u\: F(u)<x\}$
k\'eplettel. Ekkor $\bar\xi=F^{-1}(\eta)$ $F$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Megford\'{\i}tva, legyen $\e$
a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u \'es a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor $\bar\eta=\tilde
F(\xi,\e)=F(\xi)+\e[F(\xi+0)-F(\xi)]$, ahol $F(x+0)=\limm_{h>0,h\to0}
F(x+h)$, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{8.)} Legyen adva k\'et $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ha
$\zeta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor a $\bar\xi=F^{-1}(\zeta)$ \'es
$\bar\eta=G^{-1}(\zeta)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ahol
$F^{-1}$ \'es $G^{-1}$ f\"uggv\'enyek \'ugy vannak defini\'alva mint
az el\H{o}z\H{o} feladatban, $F$ illetve $G$ eloszl\'as\'uak. Ha
$\bar{\bar\xi}$ $F$ eloszl\'as\'u, \'es $\e$ a $\bar{\bar\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\bar{\bar\eta}=G^{-1}(\tilde F(\bar{\bar \xi},\e))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A $(\bar\xi,\bar\eta)$ \'es
$(\bar{\bar\xi},\bar{\bar\eta})$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa
megegyezik. \smallskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban gyakran felmer\"ul a
k\"ovetkez\H{o} probl\'ema. Adva
van k\'et $\mu$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
a sz\'amegyenesen, \'es olyan $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektort akarunk
defini\'alni a sz\'amegyenesen, melyre $\xi$ eloszl\'asa $\mu$, $\eta$
eloszl\'asa pedig $\nu$ eloszl\'as\'u. Val\'oj\'aban a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban el\'eg
megadni a $(\xi,\eta)$ vektor eloszl\'as\'at. K\'et konstrukci\'o, mely
ugyanolyan eloszl\'as\'u vektort ad meg, al\-kal\-ma\-z\'a\-sok
szempontj\'ab\'ol ekvivalens. Ez\'ert az el\H{o}z\H{o} fel\-adatban
konstru\'alt $(\bar\xi,\bar\eta)$ \'es $(\bar{\bar\xi},\bar{\bar\eta})$
v\'eletlen vektorok konstrukci\'oj\'at egyar\'ant kvantilis
transzform\'aci\'onak nevezz\"uk. A k\"ovetkez\H{o} fel\-adatban a
kvantilis transzform\'aci\'o egy optimum tulajdons\'ag\'at fogalmazzuk
meg. \smallskip
\item{9.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$, illetve $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyekkel,
melyekre $E|\xi|<\infty$, $E|\eta|<\infty$, \'es $\Phi(x)$ egy konvex
f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor $E\Phi(\xi-\eta)\ge \int_0^1
\Phi\(F^{-1}(x)-G^{-1}(x)\)\,dx>-\infty$, ahol $F^{-1}(x)$ \'es
$G^{-1}(x)$ megegyezik a 6. feladatban defini\'alt inverzzel. Abban
az esetben, ha a $(\xi,\eta)$ vektort kvantilis transzform\'aci\'oval
konstru\'aljuk, akkor a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg k\'et oldala
egyenl\H{o}. \smallskip
V\'eg\"ul n\'eh\'any az el\H{o}z\H{o}ekt\H{o}l kiss\'e
elt\'er\H{o} t\'em\'aj\'u feladatot fogalmazunk meg, melyek bizonyos
vizsg\'alatokban
hasznosak. Ezek bizony\'{\i}t\'asa haszn\'al n\'eh\'any nem-trivi\'alis
m\'ert\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti t\'enyt, p\'eld\'aul a felt\'eteles
eloszl\'as l\'etez\'es\'et vagy  a Banach felbont\'asi t\'etelt,
illetve a Radon--Nikodym t\'etelt, melynek ez ut\'obbi
t\'etel egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye. \smallskip
\item{10.)} Legyen adva h\'arom szepar\'abilis, teljes metrikus t\'er,
$(X_i,\rho_i)$, $i=1,2,3$, \'es jel\"olje $\Cal A_i$, $i=1,2,3$, az
ezen terek topol\'ogi\'aja \'altal induk\'alt $\sigma$-algebr\'at.
Legyen $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(X_1\times
X_2,\Cal A_1\times\Cal A_2)$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek az $(X_2\times X_3,\Cal A_2\times\Cal A_3)$ t\'eren. Ekkor
l\'etezik olyan $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(X_1
\times X_2\times X_3,\Cal A_1\times\Cal A_2\times A_3)$ t\'eren,
melynek vet\"ulete az $X_1\times X_2$ t\'erre a $\mu$, az $X_2\times
X_3$ t\'erre pedig a $\nu$ m\'ert\'ekkel egyezik meg.\medskip
Megjegyezz\"uk, hogy amennyiben egy $(X,\rho)$ t\'er teljes
szepar\'abilis metrikus t\'er, akkor ezek v\'egtelen direkt szorzata
$X\times X\times\cdots$ szint\'en tekinthet\H{o} mint, egy teljes
szepar\'abilis teljes metrikus t\'er alkalmas $\bar \rho$ metrik\'aval.
Val\'oban, feltehetj\"uk, hogy a $\rho$ m\'ert\'ek olyan, hogy minden
$x\in X$ \'es $\bar x\in X$ eset\'en, $\rho(x,\bar x)\le 1$. Ezt
el\'erhetj\"uk
p\'eld\'aul bevezetve a $\rho'(x,\bar x)=\min(\rho(x,\bar x),1)$ \'uj
metrik\'at az $(X,\rho)$ t\'eren, ha ez sz\"uks\'eges. Defini\'aljuk a
$$
\bar\rho\((x_1,x_2,\dots),(\bar x_1,\bar x_2,\dots)\)=\sum_{k=1}^\infty
\frac1{2^k}\rho(x_k,\bar x_k)
$$
metrik\'at az $X\times X\times\cdots$ szorzatt\'eren. Az $(X\times
X\times\cdots,\bar\rho)$ t\'er szepar\'abilis teljes metrikus t\'er
ezzel a metrik\'aval.
 
A 10. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ha adva van
k\'et $\mu$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek valamely
$(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'eren \'es olyan $\mu$
eloszl\'as\'u $\xi$ \'es $\nu$ eloszl\'as\'u $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat akarunk konstru\'alni, melyek
valamilyen (ter\-m\'e\-sze\-tes) \'er\-te\-lem\-ben
k\"ozel vannak egym\'ashoz, akkor ezt el\'erhetj\"uk \'ugy, hogy olyan
$(\xi,\zeta)$ \'es $\(\eta,\bar \zeta\)$ az $(X,\rho)$ t\'eren
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
p\'arokat konstru\'alunk, melyek elemei k\"ozel vannak egym\'ashoz,
ezenk\'{\i}v\"ul $\xi$ $\mu$ \ $\eta$ pedig $\nu$ eloszl\'as\'u, \'es a
$\zeta$ illetve $\bar\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
azonos eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a, a 10. feladat ut\'an tett
megjegyz\'es alapj\'an ezt az \'ervel\'est lehet alkalmazni akkor is ha
el\H{o}\'{\i}rt eloszl\'as\'u $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozatot
el\H{o}\'{\i}rt eloszl\'as\'u $\eta_1,\eta_2,\dots$ sorozattal
akarjuk approxim\'alni.
 
Az el\H{o}bbi paragrafus \'all\'{\i}t\'asait lehet n\'emileg
\'eles\'{\i}teni. Ha adva van egy $\mu$ eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy el\'eg b\H{o}
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n tov\'abb\'a
egy $\nu$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek az $X\times X$
szorzatt\'eren, ahol $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er,
tov\'abb\'a a $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eloszl\'as vet\"ulete
$\mu$  akkor konstru\'alhatunk olyan $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot ezen az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, melyre teljes\"ul az, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa $\nu$. Tov\'abb\'a hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes,
ha egy $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozatot olyan $\eta_1,\eta_2,\dots$
sorozattal akarunk p\'aros\'{\i}tani egy el\'eg b\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n melyek egy\"uttes eloszl\'asa
el\H{o}\'{\i}rt. Ez ut\'obbi megjegyz\'es azt jelenti, hogy ha egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak vagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'anak ``j\'o
approxim\'aci\'oj\'at" akarjuk el\'erni va\-la\-mely m\'asik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval vagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'aval, akkor el\'eg
meg\-ad\-ni az eredeti \'es t\'ars\'{\i}tott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok vagy sorozatok egy\"uttes eloszl\'as\'at.
Nem jelent val\'odi megszor\'{\i}t\'ast, ha az approxim\'aland\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vagy sorozat r\"ogz\'{\i}tve van.
 
A fenti \'all\'{\i}t\'ast a k\"ovetkez\H{o} 11. feladatban fogjuk
bel\'atni. Megjegyezz\"uk, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
``el\'eg b\H{o}" a fenti \'ertelemben, ha l\'etezik benne egy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'atoz\'ot\'ol vagy a $\xi_1,\xi_2,\dots$
sorozatt\'ol f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
\item{11.)} Legyen adva egy $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
egy $X\times X$ szorzatt\'eren, ahol $(X,\rho)$ szepar\'abilis teljes
metrikus t\'er. Legyen $\mu$ a $\nu$ m\'ert\'ek vet\"ulete az $X\times
X$ t\'er els\H{o} koordin\'at\'aj\'ara. Ha $\xi$ $\mu$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\'eren, \'es l\'etezik egy $\chi$ a
$[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u, \'es a  $\xi$-t\H{o}l
f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az $(\Omega,\Cal
A,P)$ t\'eren, akkor konstru\'alhat\'o ezen a t\'eren olyan $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. melyre a $(\xi,\eta)$
p\'ar eloszl\'asa $\nu$.
\item{12.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'eren, $\xi$ eloszl\'asa
$\mu$, $\eta$ eloszl\'asa $\nu$, akkor $P(\xi\neq\eta)\ge
\text{Var}\,(\mu,\nu)$, ahol $\text{Var}\,(\mu,\nu)=\supp_{A\in \Cal
A}|\mu(A)-\nu(A)|$, a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ek vari\'aci\'os
t\'avols\'aga. Tetsz\H{o}leges $\mu$-re \'es $\nu$-re l\'eteznek olyan
$\mu$ \'es $\nu$ eloszl\'as\'u $\xi$  \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg k\'et oldala egyenl\H{o}.
\medskip
 
Az 1. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at, illetve azt, hogy adott
eloszl\'assal rendelkez\H{o} m\'ert\'ekek j\'o illeszt\'ese a
kombinatorik\'aban j\'ol ismert ``sz\'all\'{\i}t\'asi probl\'em\'ak"
megold\'as\'an alapul R.~M. Dudley dolgozataib\'ol tanultam. A 2.
feladatban szerepl\H{o} metrik\'at Prohorov metrik\'anak h\'{\i}vj\'ak
az irodalomban. A 4. (illetve az ennek alapj\'aul szolg\'al\'o 3.
feladat) eredm\'enye Szkorohodt\'ol, az 5. feladat megold\'as\'at
szolg\'al\'o konstrukci\'o pedig Dudleyt\'ol sz\'armazik.  A 4. feladat
eredm\'eny\'enek az 5. feladatban megfogalmazott
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa nem trivi\'alis. Megpr\'ob\'alhatn\'ank az
\'all\'{\i}t\'ast visszavezetni a teljes metrikus terekr\H{o}l
sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'asra \'ugy, hogy a szepar\'abilis metrikus
teret be\'agyazzuk egy teljes szepar\'abilis metrikus t\'erbe. Ez
mindig lehets\'eges, de el\H{o}fordulhat, hogy a be\'agyazott t\'er a
nagyobb t\'er egy nem m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza. Ez\'ert ilyen
m\'odon nem kapunk egyszer\H{u} bizony\'{\i}t\'ast.
 
Az ismertetett kvantilis transzform\'aci\'o illetve annak hasznoss\'aga
j\'ol ismert az irodalomban, \'es ennek a m\'odszernek a
kidolgoz\'as\'at neh\'ez n\'evhez k\"otni.
 
\vfill\eject
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{0.)} Egy $B\subset Z$ halmazra defini\'aljuk az $A(B)=\{y\: y\in
Y, \;d(y,z)=1\}$ halmazt. Azt kell bel\'atnunk, hogy a K\"onig--Hall
t\'etel fel\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en $|A(B)|\ge |B|$. Ez
ekvivalens az $|Y\setminus A(B)|\le |Z\setminus B|$
\'all\'{\i}t\'assal. A felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$|B(Y\setminus A(B))|\ge |Y\setminus A(B)|$. Ez\'ert el\'eg megmutatni,
hogy $B(Y\setminus A(B))\subset Z\setminus B$ . Ez igaz, mert ha $y\in
B(Y\setminus A(B))$, azaz l\'etezik olyan $z\notin
A(B)$,  melyre $d(y,z)=1$, akkor az $A(B)$ halmaz definici\'oja
alapj\'an $y\notin B$, azaz $B(Y\setminus A(B))\subset Z\setminus B$.
\item{} Az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa a K\"onig--Hall t\'etel
folytonos v\'altozata eset\'en hasonl\'o. Ebben az esetben a
$\summ_{y\in Y} u(y)=\summ_{z\in Z} v(z)$ rel\'aci\'o
felhaszn\'al\'as\'aval a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as a
$\summ_{y\in Y\setminus A(B)} u(y)\le\summ_{z\in Z\setminus B} v(z)$
\'all\'{\i}t\'asra vezethet\H{o} vissza, \'es ez a $B(Y\setminus
A(B))\subset Z\setminus B$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik.
\item{1.)} Defini\'aljuk az $(\Omega,\Cal A,P)$ teret, ahol
$\Omega=X\times X$, $\Cal A$ az $X\times X$ t\'er topol\'ogi\'aja
\'altal defini\'alt $\sigma$-algebra, $P$ alkalmasan defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(\Omega,\Cal A)$ t\'eren.
Legyen $\xi(x_1,x_2)=x_1$ \'es $\eta(x_1,x_2)=x_2$. A feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at bebizony\'{\i}tjuk, ha konstru\'alunk olyan $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az $(\Omega,\Cal A)$ t\'eren,
melyre \smallskip
\itemitem{a.)} $P(A\times X)=\mu(A)$, $P(X\times A)=\nu(A)$ minden
m\'erhet\H{o} $A\subset X$ halmazra.
\itemitem{b.)}  $P\(\{(x_1,x_2)\:
\rho(x_1,x_2)>\alpha+\e\}\)\le\beta+\e$. \smallskip
\item{} Ilyen konstrukci\'ot a K\"onig--Hall t\'etel folytonos
v\'altozat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel adunk meg.
\item{}Defini\'alunk egy p\'aros gr\'afot alkalmas
s\'ulyf\"uggv\'enyekkel. Ennek \'erdek\'eben be\-ve\-ze\-t\"unk
n\'eh\'any fogalmat. Jel\"olje $G(x,\alpha)$ az $x$ k\"oz\'eppont\'u
$\alpha$ sugar\'u g\"omb\"ot. Legyen $x_1,x_2,\dots$, egy minden\"utt
s\H{u}r\H{u} sorozat az $X$ t\'eren, \'es r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy
$\e>0$ sz\'amot. Mivel $\bigcupp_{n=1}^\infty G\(x,\frac\e5\)=X$
l\'etezik olyan $N=N(\e)$ sz\'am, melyre a $W=\bigcupp_{n=1}^{N(\e)}
G\(x,\frac\e5\)$ halmazra $\mu(W)>1-\frac\e2$ \'es $\nu(W)>1-\frac\e2$.
Defini\'aljuk a $V_k=G\(x_k,\frac\e5\)\setminus \bigcupp_{j=1}^{k-1}
G\(x_j,\frac\e5\)$, $k=1,\dots, N$ \'es $V_{N+1}=X\setminus W_N$
halmazokat. Ekkor $V_k$, $k=1,\dots,N+1$ az $X$ t\'er partici\'oja,
$d(V_k)\le \frac \e5$, ha $1\le k\le N$, ahol $d(A)$ egy $A\subset X$
halmaz \'atm\'er\H{o}j\'et jel\"oli. Tov\'abb\'a
$\mu(V_{N+1})<\frac\e2$ \'es $\nu(V_{N+1})<\frac\e2$. Nevezz\"uk az
$x_k$ pontot a $V_k$ halmaz k\"oz\'eppontj\'anak, $1\le k\le N$.
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} p\'aros gr\'afot:
$Y=\{y_1,\dots,y_{N+1}\}=\{V_1,\dots,V_{N+1}\}$,
$Z=\{z_1,\dots,z_{N+1}\}=\{V_1,\dots,V_{N+1}\}$, $d(y_j, z_k)=1$, ha
$\rho(x_j,x_k)\le \alpha+\frac\e2$, $1\le j,k\le N$, illetve
$d(y_{N+1},z_k)=1$, $d(y_j,z_{N+1})=1$ minden $1\le j,k\le N+1$
eset\'en. Minden egy\'eb esetben $d(y,z)=0$. Vezess\"uk be tov\'abb\'a
a k\"ovetkez\H{o} s\'ulyf\"uggv\'enyeket: $u(y_j)=\mu(V_j)$,
$v(z_j)=\nu(V_j)$, $j=1,\dots,N$, $u(y_{N+1})=\mu(V_{n+1})+\beta$,
$v(z_{N+1})=\nu(V_{n+1})+\beta$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ez a
rendszer teljes\'{\i}ti a K\"onig--Hall t\'etel folytonos
verzi\'oj\'anak felt\'eteleit.
\item{} A k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul
olyan $A\subset X$ halmazra, melyre $y_{N+1}\in A$. Ekkor ugyanis
$B(A)=Z$, mert az $y_{N+1}$ a $Z$ halmaz minden pontj\'aval \"ossze
van k\"otve. Ha $y_{N+1}\notin A$ legyen $D_1=\bigcupp_{V_j\in A}
V_j$ \'es $D_2=\bigcupp_{V_j\in B(A)} V_j$. Ekkor $\summ_{y\in
A}u(y)=\mu(D_1)$ \'es $\summ_{z\in B(A)}v(z)=\nu(D_2)+\beta$, mivel
$y_{N+1}\notin A$ \'es $z_{N+1}\in B(A)$. Ez\'ert az \'all\'{\i}t\'as
felt\'etelei miatt el\'eg bel\'atni, hogy $\bar D_1^\alpha\subset D_2$,
ahol $\bar D_1$ a $D_1$ halmaz lez\'artj\'at jel\"oli. Viszont, ha
$x\in \bar D_1$, akkor l\'etezik olyan $y_j=V_j\in A$ halmaz, melynek
$x_j$ k\"oz\'eppontj\'ara $\rho(x, x_j)\le\frac\e5$, \'{\i}gy
$G(x,\alpha)\subset G\(x_j,\alpha+\frac\e5\)$. M\'asr\'eszt
$G\(x_j,\alpha+\frac\e5\)\subset D_2$. Ellenkez\H{o} esetben ugyanis
l\'etezne olyan $v\in X$ pont, melyre $\rho(x_j,v)<\alpha+\frac\e5$,
\'es $v\in V_k$ egy olyan $V_k$, $1\le k\le N$ halmazra, mely nincs
\"osszek\"otve a $V_j$ halmazzal, azaz $\rho(x_j,x_k)\ge
\alpha+\frac\e2$. Ez azonban nem lehets\'eges, mert $d(V_k)\le\frac
\e5$, \'{\i}gy $\rho(x_j,x_k)\le \rho(x_j,v)+\frac\e5$. Bel\'attuk,
hogy a K\"onig--Hall t\'etel folytonos v\'altozata alkalmazhat\'o
erre a rendszerre.
\item{} Legyen $\bar w(y,z)$ egy a K\"onig--Hall t\'etel folytonos
v\'altozat\'at a fenti rendszerben kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
f\"uggv\'eny, \'es defini\'aljuk a $w_1(y_j,z_k)$ f\"uggv\'enyt a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
\align
&w_1(y_j,z_k)=\bar w(y_j,z_k)\quad\text{ha } 1\le j,k\le N,\\
&\qquad \text{ \'es } w_1(y_j,z_k)=0, \quad\text{ha }j=N+1 \text{ vagy }
k=N+1.
\endalign
$$
Ez a $w_1(y,z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat: \smallskip
\itemitem{i.)} $w_1(y_j,z_k)\ge 0$, \'es $w_1(y_j,z_k)>0$ csak akkor,
ha $1\le j,k\le N$ \'es $\rho(x_j,x_k)<\alpha+\frac\e2$
\itemitem{ii.)} $\summ_{z\in Z}w_1(y_j,z)\le u(y_j)=\mu(V_j)$,
$\summ_{y\in Y}w_1(y,z_k)\le v(z_k)=\nu(V_k)$.
\itemitem{iii.)} $\summ_{y\in Y, z\in Z} w_1(y,z)\le 1-\beta-\e$ mert
$\summ_{y\in Y, z\in Z} w_1(y,z)\le  \summ_{y\in Y, z\in Z}
w(y,z)-u(y_{N+1})-v(z_{N+1})\le 1+\beta-2(\beta+\frac\e2)$.
\smallskip
\item{} A $w_1(y,z)$ f\"uggv\'eny tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik,
hogy l\'etezik olyan $w_2(y_j,z_k)\ge0$, $1\le j,k\le N+1$,
f\"uggv\'eny, melyre a $w(y,z)=w_1(y,z)+w_2(y,z)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a \smallskip
\itemitem{} $\summ_{z\in Z}w(y_j,z)= u(y_j)=\mu(V_j)$, \
$\summ_{y\in Y}w(y,z_k)= v(z_k)=\nu(V_k)$ \smallskip
\item{} tulajdons\'agokat. Ennek a $w(y,z)$ f\"uggv\'enynek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alunk egy olyan $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az $X\times X$ t\'eren, mely
teljes\'{\i}ti az a.) \'es b.) tulajdons\'agokat. Legyen
$$
P(C\times D)=\frac{\mu(C)}{\mu(W_j)}
\frac{\nu(C)}{\nu(W_k)}w(y_j,z_k)\quad\text{ha }
C\subset W_j,\; D\subset W_k
$$
valamilyen $1\le j,k\le N+1$ indexekkel. Az \'altal\'anos esetben
pedig legyen
$$
P(C\times D)=\sum_{j=1}^{N+1}\sum_{k=1}^{N+1} P\((C\cap V_j)\times
(D\cap V_k)\).
$$
Ezut\'an a $P$ m\'ert\'eket egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthetj\"uk
ezekr\H{o}l a t\'eglalap halmazokr\'ol. Ez a $P$ m\'ert\'ek
teljes\'{\i}ti mind az a.) mind a b.) tulajdons\'agot. Ugyanis
tetsz\H{o}leges $A\subset V_j$, $1\le j\le N+1$ eset\'en
$$
P(A\times X)=\summ_{k=1}^{N+1}P(A\times V_j)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(V_j)}
\summ_{k=1}^{N+1}w(x_j,y_k)=\mu(A),
$$
\'es innen k\"ovetkezik, hogy $P(X\times A)=\nu(A)$ minden
m\'erhet\H{o} $A\subset X$ halmazra. Az a.) \'all\'{\i}t\'as m\'asodik
r\'esze hasonl\'oan l\'athat\'o. M\'asr\'eszt,
$$
\align
P((x_1,x_2)\: \rho(x_1,x_2)\le \alpha+\e)&\ge
\summ_{(j,k)\:\rho(x_j,x_k)\le \alpha+\frac\e2}P(V_j\times V_k)\\
&=\summ_{(j,k)\:\rho(x_j,x_k)\le \alpha+\frac\e2}w(V_j\times V_k)\\
&\ge \summ_{y_j\in Y,\,z_k\in Z}w_1(V_j\times V_k)
\ge 1-\beta-\e,
\endalign
$$
\'es ez az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens a b.) felt\'etellel.
\item{} Megford\'{\i}tva, ha az (a) tulajdons\'ag teljes\"ul, akkor
tetsz\H{o}leges $B$ (z\'art) halmazra $\{\xi\subset A,\eta\notin
A^{\alpha+\e}\}\subset \{(\xi,\eta)\: \rho(\xi,\eta)>\alpha+\e\}$,
ez\'ert $P(\xi\in A,\eta\notin A^{\alpha+\e})\le \beta+\e$. Mivel
$\{\xi\in A\}\subset \{\xi \in A, \eta\notin A^{\alpha+\e}\}\cup
\{\eta\in A^{\alpha+\e}\}$, innen k\"ovetkezik, hogy $\mu(A)\le
\beta+\e+\nu(A^{\alpha+\e})$, \'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.
\medskip\item{} A k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tessz\"uk. Ha $X$
teljes metrikus t\'er \'es $P_n$, $n=1,2,\dots$, olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata az $X\times X$
t\'eren, melynek margin\'alis  eloszl\'asai k\'et $n$-t\H{o}l
f\"uggetlen $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ek, akkor e m\'ert\'eksorozatnak
l\'etezik a gyenge konvergencia szerint konvergens r\'eszsorozata.
\item{} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt
\'erdemes \'eszrevenni, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik
olyan $K\subset X$ kompakt halmaz, melyre $\mu(K)\ge 1-\frac\e2$ \'es
$\nu(K)\ge 1-\frac\e2$. Ez\'ert a $K\times K\subset X\times X$ kompakt
halmazra \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek olyan $P_n$
sorozat\'ara az $X\times X$ t\'eren melyek margin\'alis eloszl\'asai a
$\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ek $P_n(K\times K)\ge 1-\e$ minden $n$-re,
ahonnan k\"ovetkezik, hogy a $P_n$ m\'ert\'eksorozat feszes,
azaz l\'etezik gyeng\'en konvergens r\'eszsorozata.
\item{} Legyen $P_n$, $n=1,2,\dots$, olyan $\mu$ \'es $\nu$
margin\'alis eloszl\'assal rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek sorozata az $X\times X$ t\'eren, melyek teljes\'{\i}tik
az (a) tulajdons\'agot $\e=\frac1n$ sz\'ammal. Legyen $P_{n_k}$,
$k=1,2,\dots$, ennek a sorozatnak gyeng\'en konvergens r\'eszsorozata,
\'es legyen $P$ e r\'eszsorozat hat\'ar\'ert\'eke. A $P$ m\'ert\'ek
margin\'alis el\-osz\-l\'a\-sai $\mu$ \'es $\nu$. Azt \'all\'{\i}tjuk,
hogy egy $P$ elosz\'as\'u $(\xi,\eta)$ vektor teljes\'{\i}ti az (a)
felt\'etelt az $\e=0$ sz\'ammal is. Ugyanis, az $\{(x_1,x_2)\:
(x_1,x_2)\in X\times X,\rho(x_1,x_2)>\alpha+\e\}$ alak\'u halmazok
ny\'{\i}ltak. Ez\'ert
$$
\beta\ge \limsup_{k\to\infty}P_{n_k}\(\{(x_1,x_2)\:
\rho(x_1,x_2)>\alpha+\e\}\)\ge P\(\{(x_1,x_2)\:
\rho(x_1,x_2)>\alpha+\e\}\)
$$
minden $\e>0$-ra, ahonnan
$$
P\(\{(x_1,x_2)\:\rho(x_1,x_2)>\alpha\}\)=\lim_{\e\to0}
P\(\{(x_1,x_2)\:\rho(x_1,x_2)>\alpha+\e\}\)\le\beta.
$$
Ezzel az 1. feladat \'all\'{\i}t\'asait bebizony\'{\i}tottuk.
\item{2.)} El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy $d(\cdot,\cdot)$
metrika. i.) $d(\mu,\mu)=0$. M\'asr\'eszt, bel\'atjuk, hogy
$d(\mu,\nu)=0$ eset\'en $\mu=\nu$. Val\'oban, $d(\mu,\nu)=0$ eset\'en
$\mu(F)\le \nu(F)$ minden z\'art $F\subset G$ halmazra, mert
$F=\bigcapp_{\e\to0} F^\e$, \'{\i}gy $\mu(F)\le
\liminff_{\e\to0}(\nu(F^\e)+\e)=\nu(F)$. Bel\'atjuk, hogy val\'oj\'aban
$\mu(F)=\nu(F)$ minden z\'art halmazra. Ugyanis tudjuk, hogy
$\mu(G)\ge\nu(G)$ minden ny\'{\i}lt $G$ halmazra, ez\'ert
$\mu(F)=\limm_{\e\to0}\mu(F^\e)
\ge\limm_{\e\to0}\nu(F^\e)=\nu(F)$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\mu(A)=\nu(A)$ minden z\'art vagy ny\'{\i}lt  $A$ halmazra. Egy
m\'ert\'eket viszont meghat\'aroznak a ny\'{\i}lt halmazokon felvett
\'ert\'ekei, ez\'ert $\mu=\nu$. ii.) $d(\mu,\nu)=d(\nu,\mu)$. Legyen
$d(\mu,\nu)<\alpha$. Bel\'atjuk, hogy ekkor $d(\nu,\mu)\le\alpha$.
Legyen $F\subset X$ tetsz\H{o}leges z\'art halmaz, \'es defini\'aljuk
az $F'=X\setminus F^\alpha$ halmazt. \'All\'{\i}tjuk, hogy
$(F')^\alpha\subset X\setminus F$. Val\'oban, ha $y\in (F')^\alpha$
akkor $d(y,X\setminus F^\alpha)<\alpha$, azaz l\'etezik olyan $z\in X$,
melyre $d(z,F)\ge\alpha$ \'es $d(z,y)<\alpha$. Ebb\H{o}l viszont
k\"ovetkezik, hogy $y\notin F$, teh\'at $(F')^\alpha\subset X\setminus
F$. Ezt a rel\'aci\'ot felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$1-\mu(F^\alpha)=\mu(F')\le\nu((F')^\alpha)+\alpha\le
\nu(X\setminus F)+\alpha=1-\nu(F)+\alpha$, azaz $\nu(F)\le
\mu(F^\alpha)+\alpha$. Ez\'ert $d(\nu,\mu)\le\alpha$. Ezzel
bel\'attuk, hogy $d(\nu,\mu)\le d(\mu,\nu)$. Szimmetriaokokb\'ol
$d(\mu,\nu)=d(\nu,\mu)$. iii.) $d(\mu_1,\mu_3)\le
d(\mu_1,\mu_2)+d(\mu_2,\mu_3)$.  Ha $d(\mu_1,\mu_2)=\alpha$,
$d(\mu_2,\mu_3)=\beta$ akkor minden $\e>0$-ra \'es z\'art $F$ halmazra
$\mu_1(F)\le\mu_2(F^{\alpha+\e})+\alpha+\e$, $\mu_2(F^{\alpha+\e})\le
\mu_3((F^{\alpha+\e})^{\beta+\e})+\beta+\e$. Mivel $(F^{\alpha+\e})
^{\beta+\e})\subset F^{\alpha+\beta+2\e}$ innen kapjuk, hogy
$\mu_1(F)\le \mu_3(F^{\alpha+\beta+2\e})+\alpha+\beta+2\e$.
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes minden $F$ z\'art halmazra
\'es $\e>0$ sz\'amra, innen k\"ovetkezik a iii.) rel\'aci\'o.
\item{} $d(\mu_n,\mu)\to0$ akkor \'es csak akkor, ha $\mu_n\Rightarrow
\mu$. Ha $d(\mu_n,\mu)\to0$, akkor minden z\'art $F$ halmazra, \'es
$\e>0$ sz\'amra $\limsupp_{n\to\infty}\mu_n(F)\le \mu(F^\e)+\e$. Mivel
$F=\bigcapp_{\e\to0}F^\e$, $\limm_{\e\to0}\(\mu(F^\e)+\e\)=\mu(F)$.
Innen, $\limsupp_{n\to\infty}\mu_n(F)\le \mu(F)$ \'es ez az
\'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy $\mu_n\Rightarrow\mu$.
\item{} A m\'asik ir\'any\'u \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan
$N=N(\e)$ eg\'esz sz\'am \'es az $X$ t\'er $V_1,\dots,V_N,V_{N+1}$
partici\'oja, mely teljes\'{\i}ti az al\'abbi felt\'eteleket:
$\mu(\partial V_k)=0$, $k=1,\dots,N+1$, $\bar d(V_k)<\e^2$,
$k=1,\dots,N$, \'es $\mu(V_{N+1})\le\frac\e2$, ahol $\partial A$
az $A$ halmaz hat\'ar\'at \'es $\bar d(A)$ az $A$ halmaz
\'atm\'er\H{o}j\'et jel\"oli. Val\'oban, legyen $x_1,x_2,\dots$ egy
minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmaz az $X$ t\'erben. Mindegyik $x_k$-re
v\'alasszunk egy olyan $x_k$ k\"oz\'eppont\'u $\delta_k$,
$\frac{\e^2}2<\delta_k<\e^2$ sugar\'u $G(x_k,\delta_k)$  g\"omb\"ot
az $X$ t\'erben, melyre $\mu\(\partial G(x_k,\delta_k)\)=0$. E
g\"omb\"ok uni\'oja lefedi az $X$ teret. V\'alasszunk egy olyan
$N=N(\e)$ sz\'amot, melyre $\mu\(\bigcupp_{k=1}^N
G(x_k,\delta_k)\)\le\frac\e2$. Legyen
$V_{N+1}=X\setminus\(\bigcupp_{k=1}^N G(x_k,\delta_k)\)$ \'es
$V_k=G(x_k,\delta_k)\setminus\(\bigcupp_{j=1}^{k=1} G(x_j,\delta_j)\)$,
$k=1,\dots,N$. E halmazok teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant
felt\'eteleket.
\item{} Minden $F\subset X$ z\'art halmazra defini\'aljuk a
$B(F)=\bigcupp_{k\:V_k\cap F\neq\emptyset} V_k$ halmazt. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $F\subset B(F)\subset F^\e\cup V_{N+1}$. Tov\'abb\'a
$\limm_{n\to\infty}\supp_{F\text { z\'art halmaz}}
|\mu_n(B(F)-\mu(B(F)|=0$, mert $\limm_{n\to\infty}\mu_n(V_k)=\mu(V_k)$
minden $k=1,\dots,N+1$-re, v\'eges sok $B(F)$ alak\'u halmaz van, \'es
mindegyik v\'eges sok $V_k$ halmaz uni\'oja. Ez\'ert l\'etezik olyan
$n=n(\e)$ az $F$ z\'art halmazt\'ol f\"uggetlen k\"usz\"obindex,
melyre
$$
\mu(F^\e)-\mu_n(F)\ge\mu(B(F))-\mu(V_{N+1})-\mu_n (B(F))\ge -\e
$$
minden z\'art $F$ halmazra, teh\'at $d(\mu_n,\mu)\le\e$, ha $n\ge
n_0(\e)$. Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\item{} Az $(\Cal M, d)$ t\'er szepar\'abilis. Legyen ugyanis
$x_1,x_2,\dots$, egy minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmaz az $X$ t\'eren,
legyen $\Cal M_0$ azon diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek halmaza, melyek az $\{x_1,x_2,\dots\}$ halmaz v\'eges
r\'eszhalmazaira vannak koncentr\'alva, \'es minden pont m\'ert\'eke
racion\'alis sz\'am. Ez megsz\'aml\'alhat\'o halmaz, ez\'ert el\'eg
bel\'atni, hogy $\Cal M_0$ az $\Cal M$ halmaz minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaza. Ezt be lehet l\'atni p\'eld\'aul az el\H{o}z\H{o}
\'ervel\'es n\'emi m\'odos\'{\i}t\'as\'aval.  Ez ugyanis mutatja, hogy
tetsz\H{o}leges $\mu\in \Cal M$ m\'ert\'ekhez \'es $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $V_1,\dots,V_N$ partici\'oj\'at az $X$ t\'ernek
\'es olyan $\eta>0$ sz\'amot, melyre igaz, hogy ha egy $\nu\in
\Cal M$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $|\mu(V_k)-\nu(V_k)|\le\eta$
felt\'etelt minden $k=1,\dots,N$-re akkor ez a $\nu$ m\'ert\'ek
teljes\'{\i}ti a $d(\mu,\nu)<\e$ rel\'aci\'ot is. Mivel minden
$\mu\in\Cal M$ eset\'en $\Cal M_0$ tartalmaz ilyen $\nu$ m\'ert\'eket
ez\'ert $\Cal M_0$ az $\Cal M$ halmaz minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaza.
\item{} Ha $X$ teljes metrikus t\'er, akkor $(X,d)$ is az. El\'eg
bel\'atni, hogy ha
$$
\limm_{n\to\infty}\supp_{m\: m\ge n}d(\mu_n,\mu_m)=0
$$
akkor a $\mu_n$, $n=1,2,\dots$ sorozat, relative kompakt, azaz
l\'etezik gyeng\'en konvergens r\'eszsorozata. Ehhez el\'eg bel\'atni,
hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $K\subset X$
kompakt halmaz, melyre $\mu_n(K)\ge 1-\e$ minden $n$ indexre.
\item{} Ezt a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast lehet
gyeng\'{\i}teni a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Elegend\H{o}
megmutatni azt, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
l\'etezik olyan kompakt $K=K(\e)$ halmaz, melynek $K^\e$ $\e$ sugar\'u
k\"ornyezete teljes\'{\i}ti a $\mu_n(K^\e)\ge1-\e$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $n=1,2,\dots$-ra. Tekints\"unk  ugyanis
ilyen $K\(\e2^{-m}\)$ halmazokat, minden $m=1,2,\dots$  sz\'amra, \'es
defini\'aljuk a $K=\bigcapp_{m=1}^\infty (K(\e2^{-m})^{\e2^{-m}}$
halmazt. Ekkor $\mu_n(K)\ge1-\summ_{m=1}^\infty\e2^{-m}=1-\e$. Ez\'ert
el\'eg bel\'atni, hogy a fenti $K$ halmaz relative kompakt, (azaz
lez\'artja kompakt). Ennek \'erdek\'eben id\'ezz\"uk fel azt az
eredm\'enyt, mely szerint egy teljes szepar\'abilis t\'er $A$
r\'eszhalmaza, akkor \'es csak akkor relative kompakt,
ha minden $\delta>0$-ra l\'etezik az $A$ halmaznak v\'eges $\delta$
h\'al\'oja, azaz olyan v\'eges halmaz, melyre tetsz\H{o}leges $x\in A$
pont t\'avols\'aga e v\'eges halmaz valamelyik pontj\'at\'ol kisebb
mint $\delta$. Ez a felt\'etel teljes\"ul a fenti $K$ halmazra, mert
minden $\delta>0$-ra l\'etezik olyan $m$ sz\'am, melyre
$\delta>\e2^{-m}$, ilyen $m$-re az $K(\e2^{-m})^{\e2^{-m}}$
halmazban van v\'eges $\delta$ h\'al\'o, \'es ez v\'eges $\delta$
h\'al\'o a $K$ halmazban is.
\item{} Ezt a gyeng\'{\i}tett felt\'etelt bel\'athatjuk a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Egy r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alasszunk olyan $n_0=n_0(\e)$ indexet, melyre
$d(\mu_{n_0},\mu_n)\le\frac\e4$ minden $n\ge n_0$ sz\'amra, \'es legyen
$K_0\subset X$ olyan kompakt halmaz, melyre
$\mu_{n_0}(K_0)\ge1-\frac\e4$. Ekkor $\mu_n(K_0^{\e/4})\ge
\mu_{n_0}(K_0)-\frac\e4\ge1-\frac\e2$ minden $n\ge n_0$ sz\'amra.
V\'alasszunk tov\'abb\'a olyan $K_1$ kompakt halmazt, melyre
$\mu_n(K_1)\ge 1-\frac\e2$ minden $n\le n_0$-ra. Ekkor a $K=K_1\cup
K_0$ halmaz kompakt, \'es $\mu_n(K^\e)\ge1-\e$ minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra. Ugyanis $\mu_n(K^\e)\ge \mu_n(K_0^{\e/4}\ge1-\e$, ha
$n\ge n_0$, \'es $\mu_n(K^\e)\ge\mu_n(K_1)\ge1-\e$, ha $n\le n_0$.
A m\'asodik feladat \'all\'{\i}t\'asait bel\'attuk.
\item{3.)} L\'etezik az $X$ t\'ernek olyan $\Cal X_1=\{A_1,A_2,\dots\}$
partici\'oja, melyre $\bar d(A_j)\le1$, \'es $\mu(\partial A_j)=0$
minden $j=1,2,\dots$ indexre. Itt $\bar d(A)$ az $A$ halmaz
\'atm\'er\H{o}j\'et, $\partial A$ pedig az $A$ halmaz hat\'ar\'at
jel\"oli. (Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa az
el\H{o}z\H{o} fel\-adatban szerepl\H{o} $\mu_n\Rightarrow\mu$ akkor
$d(\mu_1,\mu_2)\to0$ \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak elej\'en
megadott \'ervel\'esb\H{o}l k\"ovetkezik.) A partici\'o egyes
elemeit tov\'abbosztva meg lehet adni az $X$ t\'er olyan egyre
finomod\'o $\Cal X_1\supset \Cal X_2\supset\cdots \Cal
X_k\supset\cdots$ melyek $A_{j_1,\dots,j_k}\in\Cal X_k$
($A_{j_1,\dots,j_k}\subset A_{j_1,\dots,j_{k-1}}$) elemeire $\bar
d\(A_{j_1,\dots,j_k}\)\le2^{-k}$ \'es
$\mu\(\partial(A_{j_1,\dots,j_k}\)=0$. Defini\'aljuk a $[0,1)$
intervallumnak (a Lebesgue m\'ert\'ekkel ell\'atva) hasonl\'o
intervallumokb\'ol \'all\'o egy\-m\'as\-ba skatuly\'azott $\Cal
Y_1\supset \Cal Y_2\supset\cdots\Cal Y_k\supset\cdots$ partici\'oit a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Legyen $\Cal Y_1=\{B_1,\dots, B_k,\dots\}$,
$B_k=[b_{k-1},b_k)$, $b_k=\summ_{j=1}^k\mu(A_j)$, $k=1,2,\dots$, \'es
ha az $\Cal Y_k$ partici\'o $B_{j_1,\dots,j_k}=
[b_{j_1,\dots,j_{k-1}},b_{j_1,\dots,j_k})$,
$b_{j_1,\dots,j_k}-b_{j_1,\dots,j_{k-1}}=\mu(A_{j_1,\dots,j_k})$
halmazait m\'ar defini\'altuk, akkor az $\Cal Y_{k+1}$ partici\'oj\'at
defini\'aljuk \'ugy, hogy a $B_{j_1,\dots,j_k}$ intervallumot
felosztjuk egym\'ashoz csatlakoz\'o $B_{j_1,\dots,j_k,s}
=[b_{j_1,\dots,j_k,s-1},b_{j_1,\dots,j_k,s})$,
$\mu\(A_{j_1,\dots,j_k,s}\)$ hossz\'us\'ag\'u intervallumokra, \'es ez
defini\'alja az $\Cal Y_{K+1}$ partici\'oj\'at. V\'alasszunk ki minden
$k\ge1$ sz\'amhoz, \'es $A_{j_1,\dots,j_k}$ halmazhoz egy
$x_{j_1,\dots,j_k}\in A_{j_1,\dots,j_k}$ pontot. Defini\'aljuk a
$\xi_k$, $k=1,2,\dots$, $X$  t\'er \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a $([0,1),\Cal B,\lambda)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n a $\xi_k(y)=x_{j_1,\dots,j_k}$,
ha $y\in B_{j_1,\dots,j_k}$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy l\'etezik a $\xi(y)=\limm_{k\to\infty}\xi_k(y)$,
$y\in[0,1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $\xi$
eloszl\'asa $\mu$.
\item{} A fenti limesz val\'oban l\'etezik, mert minden $y\in [0,1)$
ponthoz ki lehet v\'alasztani egy\'ertelm\H{u}en olyan egym\'asba
skatuly\'azott $B_{j_1,\dots,j_k}$ intervallumokat, melyekre
$y\in B_{j_1,\dots,j_k}$, \'es ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$\xi_k(y)\in A_{j_1,\dots,j_k}$ pontok Cauchy sorozatot alkotnak.
\item{} Ahhoz, hogy bel\'assuk azt, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu$  eloszl\'as\'u el\'eg
megmutatni azt, hogy $P\(\xi\in A_{j_1,\dots,j_k}\)=\mu
\(A_{j_1,\dots,j_k}\)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra \'es
$A_{j_1,\dots,j_k}$ halmazra. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o konstrukci\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $y\in
B_{j_1,\dots,j_k}$ eset\'en $\xi(y)\in \bar A_{j_1,\dots,j_k}$, ahol
$\bar A$ az $A$ halmaz lez\'artj\'at jel\"oli. El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy ebb\H{o}l a t\'enyb\H{o}l \'es a k\'es\H{o}bb
bizony\'{\i}tand\'o
$$
P\(\xi(y)\in \partial A_{j_1,\dots,j_k}\)=0 \quad\text{minden }
k=1,2,\dots \text{ sz\'amra \'es }j_1,\dots, j_k\text{ indexre.}
\tag$*$
$$
\'all\'{\i}t\'asb\'ol k\"ovetkezik az, hogy  $\xi$ $\mu$ eloszl\'as\'u.
Val\'oban, innen k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
P\(\xi(y)\in A_{j_1,\dots,j_k}\)&\ge P\(\xi(y)\in \bar
A_{j_1,\dots,j_k}\) -P\(\xi(y)\in \partial A_{j_1,\dots,j_k}\)\\
&\ge \lambda\( B_{j_1,\dots,j_k}\) = \mu\( A_{j_1,\dots,j_k}\),
\endalign
$$
\'es ezeket az egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszegezve kapjuk, hogy
$$
1=\sum_{j_1,\dots,j_k} P\(\xi(y)\in A_{j_1,\dots,j_k}\)
\ge \sum_{j_1,\dots,j_k} \mu\(A_{j_1,\dots,j_k}\)=1
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a fenti egyenl\H{o}tlens\'egek val\'oj\'aban
azonoss\'agok, ez\'ert a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\mu$ eloszl\'as\'u.
\item{} A $(*)$ \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy mivel $\mu(\partial A_{j_1,\dots,j_k})=0$  minden $\e>0$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am, melyre a
$\partial A_{j_1,\dots,j_k}$ halmaz $\delta$ sugar\'u $(\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta$ k\"ornyezet\'ere $\mu\((\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta\)<\e$. V\'alasszunk egy olyan nagy $s$
sz\'amot, melyre $\bar d(A_{j'_1,\dots,j'_s})<\frac\delta2$ minden
$A_{j'_1,\dots,j'_s}$ halmazra.  Mivel
$\rho(\xi_s(y),\xi(y))\le\max\limits_{j_1,\dots,j_k}\bar
d(A_{j_1,\dots,j_k})$ ez\'ert a $\xi(y)\in \partial A_{j_1,\dots,j_k}$
eset\'en $\rho\(\xi_s(y),\partial A_{j_1,\dots,j_k}\)<\frac\delta2$.
Innen kapjuk, hogy $\xi(y)\in\partial A_{j_1,\dots,j_k}$ eset\'en
$y\in B_{j'_1,\dots,j'_s}$ olyan $j'_1,\dots,j'_s$ indexekkel, melyre
$\rho\(A_{j'_1,\dots,j'_s},\partial A_{j_1,\dots,j_k}\)<\frac\delta2$,
ez\'ert $A_{j'_1,\dots,j'_s}\subset (\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta$. Innen kapjuk, hogy
$$
\align
&\lambda\left\{y\: \xi(y)\in\partial A_{j_1,\dots,j_k}\right\}\le
\sum_{(j'_1,\dots,j'_s)\: A_{j'_1,\dots,j'_s}\subset (\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta} \lambda\(B_{j'_1,\dots,j'_s}\) \\
&\qquad =\sum_{(j'_1,\dots,j'_s)\: A_{j'_1,\dots,j'_s}\subset (\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta} \mu\(A_{j'_1,\dots,j'_s}\)\le\mu\((\partial
A_{j_1,\dots,j_k})^\delta\)\le\e.
\endalign
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$-ra igaz, innen
k\"ovetkezik a $(*)$ rel\'aci\'o \'es a 3. feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{4.)} Tekints\"uk a $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, illetve $\mu$
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a 3.
feladat megold\'as\'aban megadott konstrukci\'oj\'at mindegyik
m\'ert\'ek konstrukci\'oj\'aban ugyanazt az $\Cal X_1\subset \Cal
X_2\subset\cdots$ partici\'osorozatot haszn\'alva. Az egyetlen
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben azt kell biztos\'{\i}tani, hogy
a $\mu(\partial A_{j_1,\dots,j_k})=0$ felt\'etelek mellett a
$\mu_n(\partial A_{j_1,\dots,j_k})=0$ felt\'etelek is teljes\"uljenek
minden $n=1,2,\dots$ indexre. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy a
$\mu_n\Rightarrow\mu$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy $\xi_n\to\xi$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a fenti konstrukci\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oira.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}\mu_n(A_{j_1,\dots,j_k})=\mu(A_{j_1,\dots,j_k})$
minden $j_1,\dots,j_k$-ra, mert ezen halmazok hat\'ar\'ara 0
$\mu$-m\'ert\'ek\H{u}ek. Innen, illetve a konstrukci\'ob\'ol az is
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy $b_{j_1,\dots,j_k}(n)\to b_{j_1,\dots,j_k}$
$n\to\infty$ eset\'en, ahol $b_{j_1,\dots,j_k}(n)$ jel\"oli a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'aban
szerepl\H{o} $B_{j_1,\dots,j_k}(n)$ intervallum jobboldali
v\'egpontj\'at.
\item{} R\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra v\'alasszunk olyan $k$
sz\'amot, melyre $2^{-k}<\e$. Ekkor az $A_{j_1,\dots,j_k}$ halmazok
\'atm\'er\H{o}je kisebb mint $\e$. V\'alasszunk egy a
$\{j_1,\dots,j_k\}$ sz\'am $k$-asokb\'ol \'all\'o v\'eges
$D_k$ halmazt, melyre $\summ_{(j_1,\dots,j_k)\:(j_1,\dots,j_k)\in
D_k}\mu(A_{j_1,\dots,j_k})>1-\frac\e2$. Ekkor l\'etezik olyan
$n_0=n_0(\e)$ index \'ugy, hogy a
$$
B(\e)=\bigcupp_{(j_1,\dots,j_k)\in D_k} \bigcupp_{n\ge n_0}
(B_{j_1,\dots,j_k}\,\triangle\, B_{j_1,\dots,j_k}(n))
$$
halmazra $\lambda (B(\e))<\frac\e2$, ahol $A\,\triangle\,B=(A\setminus
B)\cup(B\setminus A)$ egy $A$ \'es $B$ halmaz szimmetrikus
differenci\'aj\'at jel\"oli. Ekkor a $B_1(\e)=
\bigcupp_{(j_1,\dots,j_k)\in D_k} (B_{j_1,\dots,j_k}\setminus B(\e)$
halmazra $\lambda(B_1(\e))>1-\e$. A $B_2=B_1\cap Y_0\cap
\bigcapp_{n=1}^\infty Y_{0,n}$, ahol
$Y_{0,n}=[0,1)\setminus\bigcupp_{k=1}^\infty
\bigcupp_{j_1,\dots,j_k} \{b_{j_1,\dots,j_k}(n)\}$ szint\'en
teljes\'{\i}ti a $\lambda(B_2(\e))>1-\e$ rel\'aci\'ot. Tov\'abb\'a
$n>n_0$ \'es $y\in B_2(\e)$ eset\'en $\rho(\xi_n(y),\xi(y)\le\e$, mert
ebben az esetben $\xi_n(y)$ \'es $\xi(y)$ ugyanannak az
$A_{j_1,\dots,j_k}$ halmaznak a lez\'artj\'aban van. Innen k\"ovetkezik,
hogy
$$
\lambda\(\limsup_{n\to\infty}|\xi_n-\xi|\ge\e\)<\e.
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o \'erv\'enyes minden $\e>0$-ra innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{5.)} Legyen $\bar X=X\times[0,1]$, \'es defini\'aljuk az
$(\Omega,\Cal A)$ m\'ert\'ekteret mint $\Omega=\bar X\times
X\times\cdots\times X\times\cdots$, $\Cal A$ az $\bar X$ illetve $X$
tereken \'ertelmezett $\sigma$-algebr\'ak szorzat $\sigma$-algebr\'aja.
Az  $\oo=(x,u,x_1,x_2,\dots)\in\Omega$ pontban defini\'aljuk a $\xi$
\'es $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a $\xi(\oo)=x$,
$\xi_n(\oo)=x_n$, $n=1,2,\dots$ formul\'akkal. A $P$ m\'ert\'ek
definici\'oj\'at az $\bar X$ t\'eren bevezetett $\bar\mu=\mu\times
\lambda$ m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'es alkalmasan defini\'alt
$Q_n((x,u),A)$, $(x,u)\in \bar X=X\times[0,1]$, $A\subset X$ az $X$
halmaz m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza, felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'aljuk \'ugy, hogy az $x_n$ koordin\'ata felt\'eteles
eloszl\'asa r\"ogz\'{\i}tett $(x,u)\in \bar X$ felt\'etel mellett
$Q_n((x,u),\cdot)$ legyen, \'es az $x_n$ koordin\'at\'ak
r\"ogz\'{\i}tett $(x,u)\in \bar X$ felt\'etel mellett legyenek
felt\'etelesen f\"uggetlenek. (Az, hogy $Q_n((x,u),A)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek azt jelenti,
hogy $Q_n((x,u),\cdot)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az
$(X,\Cal A)$ t\'eren minden $(x,u)\in \bar X$ pontra, \'es
$Q_n(\cdot,A)$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny minden $A\in A$ halmazra.)
Form\'alisan megfogalmazva, legyen
$$
\align
P(A\times A_1\times\cdots\times A_n)&=\int_{(x,u)\in A}
Q_1((x,u),A_1)\dots Q_n((x,u),A_n))\,d\mu(x)\,du\\
&\qquad\text
{minden }A\in \bar X, \;A_j\in X,\;j=1,\dots,n \text{ halmazra.}
\endalign
$$
(A m\'ert\'ekelm\'elet nem trivi\'alis eredm\'enyeib\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy az ily m\'odon de\-fi\-ni\-\'alt $P$ illetve annak
kiterjeszt\'ese val\'oban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
hat\'aroz meg. \'Erdemes megjegyezni, hogy ez a t\'eny olyan
eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik (Tul\-cea--Io\-nes\-cu t\'etel), mely
nem haszn\'alja a t\'er topol\'ogiai tulajdons\'agait, ez\'ert
haszn\'alhat\'o nem szepar\'abilis metrikus terekben is.)
\item{} Minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra defini\'aljuk az $X$ t\'er
olyan $\Cal A_k=\{A_{1,k},A_{2,k},\dots\}$ partici\'oj\'at, melyre
$\bar d(A_{j,k})<\frac1k$ \'es $\mu\(\partial A_{j,k}\)=0$,
$j=1,2,\dots$, ahol $\bar d(A)$ jel\"oli az $A$ halmaz
\'atm\'er\H{o}j\'et $\partial A$ pedig a hat\'ar\'at. Minden
$k=1,2,\dots$-ra defini\'aljunk egy olyan $m(k)$ indexet, melyre
$\mu\(\bigcupp_{j\ge m(k)} A_{j,k}\)\le\frac1{k^2}$ \'es
$\mu(A_{j,k})>0$ minden $1\le j\le m(k)$-ra. (Ez ut\'obbi felt\'etel
teljes\'{\i}t\'ese \'erdek\'eben esetleg \'atindexelhetj\"uk az
$A_{j,k}$ halmazokat.)
Ezut\'an tekints\"unk egy olyan $1=n_1<n_2<n_3<\cdots$
sz\'amsorozatot, melyre teljes\"ul, hogy
$$
\left|\mu_n(A_{j,k})-\mu(A_{j,k})\right|<\frac{\mu(A_{j,k})}{k^2m(k)},
\quad \text{minden }1\le j<m(k)\text{ \'es } n_k\le n<n_{k+1}
\text{sz\'amra}.
$$
Ez lehets\'eges, mert $\limm_{n\to\infty}\mu_n(A_{j,k})=\mu(A_{j,k})$
minden $k$ \'es $j$ sz\'amra a $\mu(\partial A_{j,k})=0$  rel\'aci\'o
miatt.
\item{} Vezess\"uk be a
$$
\lambda_{j,k,n}=\frac{\min\(\mu(A_{j,k}),\mu_n(A_{j,k})\)}
{\mu(A_{j,k})}, \quad n_k\le n<n_{k+1},\quad j<m(k)
$$
sz\'amokat. Ny\'{\i}lv\'an $1-\frac1{k^2}\le \lambda_{j,k,n}\le 1$.
Defini\'aljuk a $Q_n((x,u),\cdot)$ felt\'eteles eloszl\'asokat
el\H{o}sz\"or csak bizonyos felt\'eteleket kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
$(x,u)\in\bar X$ \'es $n$ p\'arokra. Legyen
$$
\align
Q_n((x,u),C)=\frac{\mu_n(C\cap A_{j,k})}{\mu_n(A_{j,k})}, \quad
&\text{ha }n_k\le n<n_{k+1},\;x\in A_{j,k},\; 1\le j<m(k),\\
 &\quad\text {\'es }
0\le u\le \lambda_{j,k,n}\quad \text{minden }C\in \Cal A\text{
halmazra}. \endalign
$$
A m\'eg nem tekintett tartom\'anyon \'ugy akarjuk defini\'alni a
$Q_n(\cdot,\cdot)$ felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-so\-kat, hogy a $P$
m\'ert\'ek vet\"ulete az $n$-ik koordin\'at\'ara $\mu_n$ legyen.
Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a
$$
P_n=\(1-\sum_{j=1}^{m(k)-1}\min\[\mu_n(A_{j,k}),\mu(A_{j,k})\]\), \quad
n_k\le n<n_{k+1}
$$
sz\'amokat, (ez a sz\'am $\bar X=X\times [0,1]$ halmaz azon
r\'esz\'enek a $\mu$ m\'ert\'eke, ahol m\'eg nem defini\'altuk a
$Q_n(\cdot,\cdot)$ felt\'eteles eloszl\'ast)) \'es a k\"ovetkez\H{o}
$\bar\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az $X$ t\'eren:
$$
\bar\mu_n(C)=\frac1{P_n}\[\mu_n(C)-\sum_{j=1}^{m(k)-1}
\min\[\mu_n(A_{j,k}),\mu(A_{j,k})\]\frac{\mu_n(C\cap
A_{j,k})}{\mu_n(A_{j,k})}\], \quad C\in \Cal A,
$$
\'es legyen
$$
\align
Q_n((x,u),C)&=\bar \mu_n(C),\quad\text{ha }C\in \Cal A,\quad n_k\le
n<n_{k+1}, \\
&\qquad \text{\'es } x\in A_{j,k},\; j\ge m(k) \text{ vagy } x\in
A_{j,k}, j<m(k) \text {\'es } \lambda_{j,k,n}<u\le 1.
\endalign
$$
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
\int Q_n((x,u),C)\mu(\,dx)\,du=\mu_n(C),\quad C\in \Cal A. \tag +
$$
Val\'oban, ha $n_k\le n<n_{k+1}$, akkor $1\le j<m(k)$ \'es $C\in \Cal A$
eset\'en $$
\align
&\int Q_n((x,u),C\cap A_{j,k})\mu(\,dx)\,du=
\mu(A_{j,k})\lambda_{j,k,n} \frac{\mu_n(C\cap A_{j,k})}
{\mu_n(A_{j,k})}+\mu_n(C\cap A_{j,k})\\
&\qquad -\min\(\mu(A_{j,k}),\mu(A_{j,k})\) \frac{\mu_n(C\cap A_{j,k})}
{\mu_n(A_{j,k})}=\mu_n(C\cap A_{j,k}).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt legyen $B_k=X\setminus\(\bigcupp_{j=1}^{m(k)-1} A_{j,k}\)$.
Ekkor az $\{A_{j,k},1\le j<m(k), B_k\}$ halmazrendszer az
$X$ t\'er egy partici\'oj\'at adja. Speci\'alisan, $A_{j,k}\cap
B_k=\emptyset$ minden $1\le j<m(k)$-ra.
$$
\int Q_n((x,u),C\cap
B_k)\mu(\,dx)\,du=\mu_n(C\cap B_k).
$$
Ezeket az azonoss\'agokat \"osszeadva kapjuk a $(+)$ rel\'aci\'ot, ami
azt jelenti, hogy a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asa az el\H{o}\'{\i}rt $\mu_n$ m\'ert\'ek minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra.
\item{} M\'asr\'eszt,  $P\left.\(\supp_{n_k\le n<n_{k+1}}
\rho(\xi_n,\xi)\ge \dfrac1k\right|\bar\xi=(x,u)\)=0$, ha $(x,u)\notin
X_1(k)\subset \bar X$, ahol $\bar\xi(x,u,x_1,x_2,\dots)=(x,u)$ \'es
$$
X_1(k)=B_k\times[0,1]\cup\bigcupp_{j=1}^{m(k)-1} \left\{(x,u)\: x\in
A_{j,k}, \inff_{n_k \le n<n_{k+1}}\lambda_{j,k,n}\le u\le1\right\}.
$$
Ez\'ert
$$
\align
&P\(\sup_{n_k\le n<n_k}\rho(\xi_n,\xi)>\frac1k\)\le
\mu\times\lambda(X_1(k)) \\
&\qquad= \sum_{j=1}^{m(k)}\(1-\min_{n_k\le n<n_{k+1}}\lambda_{j,k,n}\)
\mu(A_{j,k}) +\mu(B_k)\le\frac 2{k^2}.
\endalign
$$
Mivel
$$
\sum_{k=1}^\infty P\(\sup_{n_k\le n<n_k}\rho(\xi_n,\xi)>\frac1k\)
\le\sum_{k=1}^\infty\frac2{k^2}<\infty
$$
a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $\xi_n\to\xi$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$.
\item{6.)} Legyen $F$ tetsz\H{o}leges z\'art halmaz. Mivel
$F=\bigcapp_{\delta\to0}F^\delta=F$, ahol $F^\delta$ jel\"oli az $F$
halmaz $\delta$  sugar\'u ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et, ez\'ert
tetsz\H{o}leges $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy
$\mu(F^\delta)<\mu(F)+\e$. Mivel $\xi_n\Rightarrow\xi$
sztochasztikusan, ez\'ert minden $\delta>0$-hoz \'es $\e>0$-hoz
l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e,\delta)$ index, hogy
$P\(\rho(\xi,\xi_n)>\delta\)<\e$. Tov\'abb\'a $\{\oo\:\xi(\oo)\notin
F^\delta\}\subset \{\oo\:\xi_n(\oo)\notin
F\}\cup\{\oo\:\rho(\xi_n(\oo),\xi(\oo))>\delta\}$, ez\'ert
$1-\mu(F^\delta)\le 1-\mu_n(F)+\e$, \'es $\mu(F)+\e\ge\mu(F^\delta)
\ge\mu_n(F)-\e$, ha $n\ge n_0$. Innen $\limsupp_{n\to\infty}
\mu_n(F)\le \mu(F)+2\e$. Mivel ez minden $\e>0$-ra igaz, kapjuk, hogy
$\limsupp_{n\to\infty}\mu_n(F)\le \mu(F)$ minden z\'art $F$ halmazra,
azaz $\mu_n\Rightarrow \mu$.
\item{7.)} Annak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy $\xi=F^{-1}(\eta)$ $F$
eloszl\'as\'u, el\'eg azt megmutatni, hogy
$$
\{\oo\: \eta(\oo)<F(x)\}\subset \{\oo\:
F^{-1}(\eta)(\oo)<x\}\subset\{\oo\: \eta(\oo)\le F(x)\}.
$$
A jobboldali tartalmaz\'as igaz, mert ha $F^{-1}(\eta)(\oo)<x$ akkor
l\'etezik olyan $h>0$ sz\'am, melyre $F^{-1}(\eta)(\oo)= \sup\{u\:
F(u)<\eta(\oo)\}<x-h$. Ebb\H{o}l viszont k\"ovetkezik, hogy
$\eta(\oo)\le F(x)$. Ha ugyanis $F(x)<\eta(\oo)$ volna, akkor az $x$
sz\'am is szerepelne azon $u$ sz\'amok k\"oz\"ott, melyek szupr\'emuma
meghat\'arozza $F^{-1}(\eta)$-t, \'es ez ellentmond az
$F^{-1}(\eta)(\oo)<x-h$ egyenl\H{o}tlens\'egnek.
\item{} A baloldali tartalmaz\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy $\eta(\oo)<F(x)$ eset\'en $\eta(\oo)=F(x)-h$, \'es
$F^{-1}(\eta(\oo))=F^{-1}(F(x)-h))=\sup\{v\:F(v)<F(x)-h\}$ alkalmas
$h>0$ sz\'ammal. Viszont $\sup\{v\:F(v)<F(x)-h\}<x$, mert $F(x)$
balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, \'{\i}gy $F(v)<F(x)-h$-b\'ol
k\"ovetkezik, hogy l\'etezik olyan $\delta=\delta(h)>0$ sz\'am, melyre
$v<x-\delta$, teh\'at $F^{-1}(\eta(\oo))=\sup\{v\:F(v)<F(x)-h\}\le
x-\delta<x$. Teh\'at a baloldali tartalmaz\'as is \'erv\'enyes.
\item{} Annak bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben, hogy $\tilde F(\xi,\e)$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, minden $x$ val\'os
sz\'amra defini\'aljuk a $z(x)=\sup\{y\: F(y)<x\}$ sz\'amot. Mivel az
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny balr\'ol folytonos, ez\'ert $F(z)\ge x$.
Vizsg\'aljuk k\"ul\"on az $F(z)=x$ \'es $F(z)<x$ eseteket.
\item{} Ha $F(z)=x$, akkor $F(u+0)<x$ minden $u<z$ sz\'amra, \'es
$\{\oo\:\tilde F(\xi(\oo),\e(\oo))<x\}=\{\oo\: \xi(\oo)<z\}$. Ez\'ert
$P(\tilde F(\xi,\e)<x)=P(\xi<z)=F(z)=x$.
\item{} Ha $F(z)<x$, akkor $F(z+0)\ge x$, \'es
$$
\align
&\{\oo\: \tilde F(\xi(\oo,\e(\oo))<x\}\\
&\qquad =\{\oo\: \xi(\oo)<z\}\cup
\{\oo\:\xi(\oo)=z,F(z)+\e(\oo)[F(z+0)-F(z)]<x\}.
\endalign
$$
Ez\'ert
$$
\align
P(\tilde F(\xi,\e)<x)&=P(\xi<z)+P(\xi(\oo)=z)P(\e(\oo)[F(z+0)-F(z)]<x)\\
&=F(z)+[F(z+0)-F(z)]\frac {x-F(z)}{F(z+0)-F(z)}=x.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik a feladat m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa.
\item{8.)} Az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enyeib\H{o}l k\"ozvetlen\"ul
k\"ovetkezik, hogy a $\bar \xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o $F$, $\bar\eta$ pedig $G$ eloszl\'as\'u. Tov\'abb\'a
$\tilde F(\bar{\bar\xi},\e)$ egyenletes $\bar{\bar\eta}$ pedig $G$
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Annak
\'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt hogy a $(\bar\xi,\bar\eta)$ \'es
$(\bar{\bar\xi},\bar{\bar\eta}$ vektorok eloszl\'asa megegyezik,
el\'eg megmutatni, hogy $F^{-1}(\tilde F(\bar{\bar\xi},\e))
=\bar{\bar\xi}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, mert ez azt jelenti,
hogy mind a k\'et v\'eletlen vektor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, (0
m\'ert\'ek\H{u} halmaz figyelmen k\'{\i}v\"ul hagy\'as\'aval) mint egy
a $[0,1]$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o transzform\'altja, (mind a k\'et
koordin\'ata ugyanannak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a
transzform\'altja) \'es mind a k\'et vektor
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban ugyanazt a transzform\'aci\'ot
alkalmazzuk. S\H{o}t ezt a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast
tov\'abb lehet gyen\-g\'{\i}\-teni. El\'eg megmutatni azt, hogy
$P(F^{-1}(\tilde F(\bar{\bar\xi},\e))\le\bar{\bar\xi})=1$, mert
ha k\'et azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
k\"oz\"ul az egyik egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel nagyobb
a m\'asikn\'al, akkor ezek a v\'altoz\'ok egy
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megegyeznek.
\item{} L\'assuk be ezt az \'all\'{\i}t\'ast.  Ha
$\bar{\bar\xi}(\oo)=x$, akkor
$$
F^{-1}(\tilde F(\bar{\bar\xi}(\oo),\e(\oo)))=\sup\{u\: F(u)<\tilde
F(x,\e(\oo))\},
$$
\'es mivel $F(v)\ge \tilde F(x,\e(\oo))$ ha $v>x$, innen k\"ovetkezik,
hogy $(F^{-1}(\tilde F(\bar{\bar\xi}(\oo),\e(\oo)))\le
x=\bar{\bar\xi}(\oo)$.
\item{9.)} Jegyezz\"uk meg, hogy amennyiben a $\xi=F^{-1}(\zeta)$,
$\eta=G^{-1}(\zeta)$, egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fenti
transzform\'altjai, azaz a kvantilis transzform\'aci\'ot alkalmazzuk,
akkor a feladatban szerepl\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg k\'et oldala
egyenl\H{o}. A bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eget
bizony\'{\i}tsuk be el\H{o}sz\"or abban a speci\'alis esetben, amikor
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa
a sz\'amegyenes egy v\'eges $X=\{x_1,\dots,x_n\}$, $x_1<x_2<\cdots<x_n$,
r\'eszhalmaz\'aba van koncentr\'alva. Legyen $p_j=P(\xi=x_j)$,
$q_k=P(\eta=x_k)$, $r(x_j,y_k)=P(\xi=x_j,\eta=x_k)$, $1\le j,k\le n$.
Vezess\"uk be a
$$
\align
r(x_j,x_k,y_j,y_k)&=\min \(r(x_j,y_k), r(x_k,y_j)\),\\
r&=\max \Sb \{x_j,x_k,y_j,y_k\}\in X\times X\times X\times X\\
x_j<x_k,\;y_j<y_k \endSb r(x_j,x_k,y_j,y_k)
\endalign
$$
mennyis\'egeket. Vegy\"uk \'eszre, hogy ha a $(\xi,\eta)$ vektort a
kvantilis transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk,
akkor a fent defini\'alt $r$ sz\'amra $r=0$. Tov\'abb\'a,  az $r=0$
felt\'etel \'es a  $\xi$ v\'altoz\'o $F$ illetve az $\eta$ v\'altoz\'o
$G$ eloszl\'asa meghat\'arozza a $(\xi,\eta)$ vektor egy\"uttes
eloszl\'as\'at is. Val\'oban, feltehetj\"uk az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul, hogy az $(\Omega,\Cal A,P)$ ahol a
$(\xi,\eta)$ vektor defini\'alva van, t\'er $\Omega=X\times X$ a
diszkr\'et topol\'ogia \'altal meghat\'arozott $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aval, $\xi(x_j,x_k)=x_j$ $\eta(x_j,x_k)=x_k$, $1\le
j,k\le n$. Ekkor a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $P$ m\'ert\'ek
reprezent\'alhat\'o egy olyan sz\'all\'{\i}t\'asi probl\'ema
megold\'as\'aval, ahol az $x_j$ pontban lev\H{o} $p_j$
t\"omegeket \'at kell sz\'all\'{\i}tani \'ugy, hogy
az $x_k$ pontba $q_k$ t\"omeget sz\'all\'{\i}tunk, \'es ekkor
$r(x_j,x_k)=P(\xi=x_j,\eta=x_k)$ az $x_j$ pontb\'ol az $x_k$ pontba
sz\'all\'{\i}tott t\"omeg. Ekkor az $r=0$ felt\'etelt
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} sz\'all\'{\i}t\'as olyan, hogy az $x_1$ pontban
lev\H{o} $p_1$ t\"omeget el\H{o}sz\"or az $x_1$ pontba majd,
ha m\'eg maradt t\"omeg az $x_1$ pontban akkor az $x_2$ majd $x_3$
pontokba sz\'all\'{\i}tjuk \'es \'{\i}gy tov\'abb, majd az $x_2$
pontb\'ol a legkisebb index\H{u} m\'eg nem teljesen bet\"olt\"ott
pontba sz\'all\'{\i}tunk, ut\'ana az azt k\"ovetkez\H{o}be \'es
\'{\i}gy tov\'abb. Ugyanezt tessz\"uk ezut\'an az $x_3$, $x_4$
pontokban lev\H{o} t\"omegekkel \'es \'{\i}gy tov\'abb. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
\min\Sb \xi \text{ eloszl\'asa }F\\ \eta \text{ eloszl\'asa }G \endSb
E\Phi(\xi,\eta)= E\Phi(\bar\xi,\bar\eta), \tag b
$$
ahol $\bar \xi,\bar\eta$ egy $F$ \'es $G$ margin\'alis eloszl\'assal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektor, melyre $r=0$.
\item{} Val\'oban, ha a $(\xi,\eta)$ eloszl\'asa olyan, hogy $r\neq0$,
akkor l\'etezik olyan $(x_j,x_k,y_j,y_k)$ sz\'amn\'egyes, melyre
$\bar r=r(x_j,x_k,y_j,y_k)=\min \(r(x_j,y_k), r(x_k,y_j)\)>0$.
Be\-ve\-ze\-t\"unk egy \'uj $\bar r(x_j,x_k)$, $1\le j,k\le n$
egy\"uttes eloszl\'asokat, \'ugy hogy egy ezekkel az eloszl\'asokkal
meghat\'arozott $(\bar\xi,\bar\eta)$ v\'eletlen vektor margin\'alis
eloszl\'asai $F$ \'es $G$, tov\'abb\'a $E\Phi(\xi,\eta)\le
E\Phi(\tilde\xi,\tilde\eta)$, \'es amennyiben $\Phi$ szigor\'uan
konvex f\"uggv\'eny, akkor szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eg
\'erv\'enyes. Ezeket a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket a
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen de\-fi\-ni\-\'al\-juk.
$$
\align
\bar r(x_j,y_j)&=r(x_j,y_j)+\bar r \\
\bar r(x_k,y_k)&=r(x_k,y_k)+\bar r \\
\bar r(x_j,y_k)&=r(x_j,y_k)-\bar r \\
\bar r(x_k,y_j)&=r(x_k,y_j)-\bar r \\
\bar r(x,y)&=r(x,y) \quad\text{egy\'ebk\'ent.}
\endalign
$$
Ekkor a $(\bar\xi,\bar\eta)$ v\'eletlen vektor margin\'alis
eloszl\'asai az el\H{o}\'{\i}rtak, \'es
$$
E\Phi(\tilde\xi-\tilde\eta)-E\Phi(\xi-\eta)=\bar r\(\Phi(x_j-y_j)+
\Phi(x_k-y_k)-\Phi(x_j-y_k)-\Phi(x_k-y_j)\).
$$
Ez a kifejez\'es nem negat\'{\i}v, \'es szigor\'uan pozit\'{\i}v, ha
$\Phi(\cdot)$ szigor\'uan konvex.  Ugyanis
$$
\aligned
x_j-y_k <
\endaligned
\aligned
&x_j-y_j\\
&x_k-y_k
\endaligned
\aligned
<x_k-y_j,
\endaligned
$$
\'es ez\'ert a $\Phi$ f\"uggv\'eny konvexit\'asa miatt
$$
\Phi(x_j-y_j)+\Phi(x_k-y_k)\le \Phi(x_j-y_k)+\Phi(x_k-y_j),
$$
(felhaszn\'aljuk azt is, hogy $(x_j-y_j)+(x_k-y_k)=(x_j-y_k)+(x_k-y_j)$)
\'es szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes akkor, ha $\Phi$
szigor\'uan monoton f\"uggv\'eny.
 \item{} Bel\'atjuk ennek a rel\'aci\'onak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
(b) formul\'at. A fenti m\'odszerrel, amennyiben $r\neq0$, akkor olyan
\'uj a margin\'alis eloszl\'asokra tett felt\'eteleknek eleget tev\H{o}
olyan \'uj $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor tudunk defini\'alni, melyre
$E\Phi(\xi,\eta)$ nem n\H{o}, s\H{o}t amennyiben a $\Phi$ f\"uggv\'eny
szigor\'uan konvex, (p\'eld\'aul $\Phi(x)=x^2$) akkor ez a v\'arhat\'o
\'ert\'ek szigor\'uan
monoton cs\"okken. Tov\'abb\'a minden egyes l\'ep\'esben azon
$(x_j,y_j,x_k,y_k)$ n\'egyesek halmaza, melyekre $\bar
r=r(x_j,x_k,y_j,y_k)=\min \(r(x_j,y_k),
r(x_k,y_j)\)>0$ v\'altozik. Ez\'ert v\'eges sok l\'ep\'esben eljutunk
ahhoz az egy\"uttes eloszl\'ashoz, melyre $r=0$, \'es ez az eloszl\'as
a $\Phi$ f\"uggv\'eny eset\'en minimumot egy szigor\'uan konvex
f\"uggv\'eny eset\'en pedig szigor\'u minimumot szolg\'altat.
\item{} Ha $F$ \'es $G$ k\'et olyan eloszl\'asf\"uggv\'eny, mely
v\'eges  intervallumra van koncentr\'alva, akkor ezeket az
eloszl\'asokat \'erdemes az $F_n(x)=F\(\frac{[nx]}n\)$ \'es
$G_n(x)=G\(\frac{[nx]}n\)$ eloszl\'asokkal k\"ozel\'{\i}teni.
Pontosabban egy $F(x)$ \'es $G(y)$ margin\'alis eloszl\'asokkal
rendelkez\H{o} $H(x,y)$ k\'et-dimenzi\'os eloszl\'ast \'erdemes a
$H_n(x,y)=H\(\frac{[nx]}n,\frac{[ny]}n\)$ eloszl\'assal
k\"ozel\'{\i}teteni, ahol $[u]$ az $u$ sz\'am eg\'esz
r\'esz\'et jel\"oli.  Alkalmazva az \'all\'{\i}t\'ast a m\'ar
bebizony\'{\i}tott esetben \'es $n$-nel v\'egtelenhez tartva megkapjuk
az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at az adott esetben.
Az \'altal\'anos eset hasonl\'oan visszavezethet\H{o} az ut\'obbi
esetre alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ha a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat csonk\'{\i}tjuk valamely $\pm
u$ szinten. Ezen a csonk\'{\i}t\'ason azt \'ertj\"uk, hogy ha a
$(\xi,\eta)$ vektor a $[-u,u]\times[-u,u]$ n\'egyzeten
k\'{\i}v\"ul veszi fel az \'ert\'ek\'et akkor a csonk\'{\i}tott
v\'altoz\'o \'ert\'eke az orig\'o. Azut\'an v\'egrehajtva az
$u\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet bebizony\'{\i}thatjuk a k\'{\i}v\'ant
eredm\'enyt az \'altal\'anos eset\-ben. Megjegyezz\"uk, hogy a $\Phi$
f\"uggv\'eny konvexit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $\Phi(x)\ge Ax+B$
minden $x$ val\'os sz\'amra, alkalmas $A$ \'es $B$ konstansokkal,
ez\'ert $E\Phi(\xi-\eta)\ge-|A|E(|\xi|+|\eta|-|B|>-\infty$ a fel\-adat
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en. \'Erdemes megjegyezni, hogy
alkalmas line\'aris f\"uggv\'enyt hozz\'aadva a $\Phi(x)$
f\"uggv\'enyhez reduk\'alhatjuk a probl\'em\'at arra az eset\-re, amikor
$\Phi(x)\ge0$ minden $x$ sz\'amra, \'es $\Phi(0)=0$. Ugyancsak
feltehetj\"uk, hogy $E\Phi(\xi-\eta)<\infty$. Ezek az \'eszrev\'etelek
seg\'{\i}thetik a hat\'ar\'atmenet v\'egrehajt\'as\'at. A
bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eg baloldal\'an alkalmazhatjuk a
mononoton konvergencia t\'etelt a jobboldal\'an pedig a Fatou lemm\'at.
A r\'eszletek kidolgoz\'as\'at elhagyjuk.
\item{10.)} Legyen $\gamma$ a $\mu$ illetve $\nu$ m\'ert\'ek
vet\"ulete az $X_2$ t\'erre. Legyen tov\'abb\'a $P(x,A)$ az $(X_1\times
X_2,\Cal A_1\times\Cal A_2,\mu)$ t\'eren az $A\times X_2$ alak\'u
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazok felt\'eteles eloszl\'asa el\H{o}\'{\i}rt
$x\in X_2$, $Q(x,C)$ pedig az $(X_2\times X_3,\Cal
A_2\times A_3,\nu)$ t\'eren az $X\times C$ alak\'u m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmazok felt\'eteles eloszl\'asa el\H{o}\'{\i}rt $x\in X_2$
\'ert\'ekek szerint. Azaz legyen $\mu (A\times B)
=\int_{B}P(x,A)\gamma(\,dx)$ minden $A\in \Cal A$ halmazra, \'es $\nu
(B\times C)=\int_{B}P(x,C)\gamma(\,dx)$ minden $C\in \Cal A_3$
halmazra. (Ilyen felt\'eteles eloszl\'asok l\'eteznek teljes
szepar\'abilis metrikus tereken.) Defini\'aljuk az $A\times B\times C$
alak\'u m\'erhet\H{o} halmazok m\'ert\'ek\'et az $X_1\times X_2\times
X_3$ t\'eren $P(A\times B\times C)=\int_{B}P(x,A)Q(x,C)\gamma(\,dx)$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a m\'ert\'eket kiterjeszthetj\"uk
az $(X_1\times X_2\times X_3,\Cal A_1\times\Cal A_2\times \Cal A_3)$
t\'erre. \'es ez a m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
felt\'eteleket.
\item{11.)} Legyen $P(x,A)$, $x\in X$, $A$ az $X$ halmaz m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmaza, a  $\nu$ m\'ert\'ek m\'asodik koordin\'at\'aj\'anak
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az els\H{o} koordin\'at\'at, azaz
legyen $P(x,\cdot)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $X$ halmaz
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain minden $x\in X$ pontra, $P(\cdot,A)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny minden m\'erhet\H{o}  $A\subset X$
halmazra, \'es $\nu(A\times B)=\int_A P(x,B)\mu(\,dx)$ minden
m\'erhet\H{o} $A\subset X$ \'es $B\subset X$ halmazra. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
(m\'ert\'ekelm\'elet) egyik eredm\'enye szerint ilyen felt\'eteles
eloszl\'as l\'etezik.
\item{} Tekints\"uk a $(Q,\Cal B,\lambda)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t, ahol
$Q=[0,1]$, $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra a $[0,1]$ intervallumon,
\'es $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek a $[0,1]$ $\sigma$-algebr\'an. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy meg lehet konstru\'alni $\zeta(x, u)$, $u\in
Q=[0,1]$, $x\in X$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
az $x\in X$ param\'eterrel indexezett halmaza a $(Q,\Cal B,\lambda)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ugy, hogy $\zeta(x,\cdot)$
$P(x,\cdot)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
minden $x\in X$ pontra, ahol $P(x,A)$ az el\H{o}z\H{o} paragrafusban
defini\'alt felt\'eteles eloszl\'as, \'es  $\zeta(\cdot, u)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $(X,\rho)$ t\'eren minden $u\in [0,1]$
sz\'amra. Val\'oj\'aban egy enn\'el kiss\'e gyeng\'ebb \'all\'at\'ast
l\'atunk be. Csak annyit \'all\'{\i}tunk, hogy a $\zeta(x,\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa $P(x,\cdot)$
m\'ert\'ek a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x$-re.
Ez viszont nem jelent val\'odi megszor\'{\i}t\'ast, mert a
$P(x,\cdot)$ m\'ert\'ekeket egy az $x$ pontoknak egy $\mu$ m\'ert\'ek
szerint null m\'ert\'ek\H{u} halmaz\'an megv\'altoztatva ism\'et
felt\'eteles eloszl\'ast kapunk.
\item{} A fenti \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at megkapjuk a 3.
feladatban megadott konstrukci\'o ter\-m\'e\-sze\-tes
adapt\'aci\'oj\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ott megadtunk egy
lehet\H{o}s\'eget arra, hogy hogyan lehet tetsz\H{o}leges $\alpha$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek eset\'en $\alpha$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot konstru\'alni a $(Q,\Cal
B,\lambda)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt kell
ellen\H{o}rizn\"umk, hogy ezt a konstrukci\'ot alkalmazva olyan
$\mu=P(x,\cdot)$ eloszl\'as\'u $\zeta(x,u)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alhatunk szimult\'an m\'odon minden $x\in X$ pontra, melyekre
a $\zeta(\cdot, u$ f\"uggv\'enyek $(X,\rho)$ m\'erhet\H{o}ek minden
$u\in [0,1[$ pontra. Az egyetlen v\'al\-toz\-ta\-t\'as, melyet a 3.
feladatban le\'{\i}rt konstrukci\'ohoz k\'epest tesz\"unk abban \'all,
hogy a konstukci\'oban felhaszn\'alt partici\'o $A_{j_1,\dots,j_k}$
hat\'ar\'ara a $\mu(\partial A_{j_1,\dots,j_k})=0$ felt\'etel
teljes\"ul. Ekkor viszont a felt\'eteles eloszl\'as tulajdons\'agai
miatt a $P(x,(\partial A_{j_1,\dots,j_k}))=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul
$\mu$ majdnem minden $x$ pontra a partici\'okban szerepll\H{o} \"osszes
(megsz\'aml\'alhat\'o sok) $A_{j_1,\dots,j_k}$ halmazra. Alkalmazzuk a
3. feladatban le\'{\i}rt konstrukci\'ot mindegyik olyan $x$ pontra,
mely teljes\'{\i}ti, hogy a $P(x,\cdot)$ m\'ert\'ek szerint a fenti
partici\'ok elemei null-m\'ert\'ek\H{u}ek. A kiv\'eteles
null-m\'ert\'ek\H{u} (a $\mu$ m\'ert\'ek szerint) halmazon legyen
$\zeta(x,u)=x_0$, ahol $x_0$ egy r\"ogz\'{\i}tett az $x$ pontt\'ol
f\"uggetlen pont. Az \'{\i}gy konstru\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokat.
\item{} Legyen $\eta(\oo)=\zeta(\xi(\oo),\chi(\oo))$ a fent
konstru\'alt $\zeta(x,u)$ v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy ez az $\eta$ v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a feladat
felt\'eteleit, azaz $P(\xi(\oo)\in A,\eta(\oo)\in B)=\nu(A\times B)$
minden m\'erhet\H{o} $A\subset X$ \'es $B\subset X$ halmazokra. Viszont
mivel a $(\chi(\oo),\xi(\oo))$ vektor eloszl\'asa $dv\,\mu(dx)$ a
$[0,1]\times X$ t\'eren, ez\'ert
$$
\align
&P(\xi(\oo)\in A,\eta(\oo)\in B)=\int\(\int I\(x\in
A,\zeta(x,v)\in B\)\,dv\)\mu(\,dx)\\
&\qquad =\int I(x\in A)P(x,B)\mu(\,dx)
=\int_AP(x,B)\mu(\,dx)=\nu(A\times B),
\endalign
$$
ahol $I(C)$ a $C$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{12.)} L\'etezik a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekeknek a
k\"ovetkez\H{o} tipus\'u felbont\'asa. $\mu=\gamma+\mu_1$,
$\nu=\gamma+\nu_1$, ahol a $\gamma$ m\'ert\'ek a $\mu$ \'es $\nu$
m\'ert\'ekek ``k\"oz\"os r\'esze", a $\mu_1$ \'es $\nu_1$ m\'ert\'ekek
pedig szingul\'arisak. Ez azt jelenti, hogy l\'etezik olyan $C\in
A$ halmaz, melyre a $\mu_1$ m\'ert\'ek a $C$ a $\nu_1$ m\'ert\'ek pedig
az $X\setminus C$ halmazra van koncentr\'alva, azaz $\mu_1(X\setminus
C)=0$, \'es $\nu_1(C)=0$. Val\'oban, tekints\"unk egy a $\mu$ \'es
$\nu$ m\'ert\'eket domin\'al\'o m\'ert\'eket (p\'eld\'aul
v\'alaszthatjuk a $\frac {\mu+\nu}2$ m\'ert\'eket,) legyen $f(x)$ a
$\mu$ \'es $g(x)$ a $\nu$ m\'ert\'ek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye e
domin\'al\'o m\'ert\'ek szerint. Ekkor legyen $\gamma$ a
$\min(f(x),g(x))$, $\mu_1$ az $f(x)-\min(f(x),g(x))$ \'es $\nu_1$ a
$g(x)-\min(f(x),g(x))$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel defini\'alt
m\'ert\'ek e domin\'al\'o m\'ert\'ek szerint. V\'eg\"ul legyen $C$ a
$C=\{x\: f(x)\ge g(x)\}$ halmaz. Ez a felbont\'as teljes\'{\i}ti a
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokat, tov\'abb\'a $\mu(A)-\nu(A)\le
\mu(C)-\nu(C)$ minden $A\in\Cal A$ halmazra. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\mu(C)-\nu(C) =\mu(C)-\gamma(C)=\mu_1(C)=\mu_1(X)=1-\gamma(X)$,
ahonnan $\supp_{A\in \Cal A}\(\mu(A)-\nu(A)\)= 1-\gamma(X)$.
Hasonl\'oan becs\"ulhet\H{o}ek a $\nu(A)-\mu(A)$ alak\'u mennyis\'egek.
Ez\'ert $\text{Var}\,(\mu,\nu)=\supp_{A\in \Cal A}|\mu(A)-\nu(A)|=
1-\gamma(X)$. Ha $\xi$ \'es $\eta$ $\mu$ illetve $\nu$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
P(\xi\neq\eta)\ge P(\{\xi\in C\}\cap\{\eta\notin C\})
\ge\mu(C)-\nu(C)=\text{Var}\,(\mu,\nu).
$$
\item{} Annak \'erdek\'eben, hogy olyan konstrukci\'ot
k\'esz\'{\i}ts\"unk, melyben a fenti egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg k\'et
oldala megegyezik, defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega, \Cal
B,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Legyen $\Omega=X\cup
(X\times X)$, \'es $\Cal B$ a term\'esztes $\sigma$-algebra $\Omega$-n,
amelyiknek a megszor\'{\i}t\'asa az $X$ halmazra $\Cal A$, az
$X\times X$ halmazra pedig $\Cal A\times \Cal A$.
Defini\'aljuk a $P$ m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: A $P$
m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa az $X$ halmazra legyen $\gamma$,
az $X\times X$ halmazra pedig $D(\mu_1\times\nu_1)$, ahol
$D^{-1}=\mu_1(X)=\nu_1(X)$, azaz $D$ a term\'eszetes norm\'al\'o
faktor. Defini\'aljuk a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Ha $\oo=x\in
X$, akkor $\xi(\oo)=\eta(\oo)=x$, ha $\oo=(x_1,x_2)\in
X\times X$, akkor $\xi(\oo)=x_1$, $\eta(\oo)=x_2$. Ekkor a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu$ az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o pedig $\nu$ eloszl\'as\'u.
Tov\'abb\'a, $P(\xi=\eta)=\gamma(X)=1-\text{Var}\,(\mu,\nu)$, mert A
$P$ m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa az $X\times X$ halmazra a
$C\times(X\setminus C)$ halmazra van koncentr\'alva, ahol
$\xi(\oo)\neq\eta(\oo)$. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.  \smallskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Technikai okokb\'ol defini\'altuk a
sz\'els\H{o}\'ert\'eket szolg\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-kat az $\Omega=X\cup(X\times X)$ \'es nem az
$\Omega_1=X\times X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ahol
term\'eszetes lett volna dolgozni. Ez ut\'obbi esetben ugyanis a
$\gamma$ m\'ert\'eket a $D=\{(x,x)\:x\in X\}$ \'atl\'ora kellett volna
koncentr\'alni. Viszont van olyan eset, amikor ez a $D$ \'atl\'o az
$\Omega_1=X\times X$ halmaz nem m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza, \'es ez a
t\'eny probl\'em\'at okoz. Olyan konstrukci\'ot akartunk adni, amelyik
ebben az esetben is m\H{u}k\"odik.
 
 
\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es
 
{\it A K\"onig--Hall t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A felt\'etel
sz\"uks\'egess\'ege ny\'{\i}lv\'anval\'o. Az el\'egs\'egess\'eget az
$Y$ halmaz sz\'amoss\'aga szerinti teljes indukci\'oval
bizony\'{\i}tjuk. Ha $|Y|=1$, akkor az \'all\'{\i}t\'as
nyilv\'anval\'o. Tegy\"uk fel, hogy a felt\'etel el\'egs\'egess\'eg\'et
tudjuk $|Y|=k<n$ eset\'en, \'es l\'assuk be $|Y|=n$-re. K\'et esetet
k\"ul\"onb\"oztet\"unk meg. \smallskip
 
\item {a.)} L\'etezik olyan $A$ halmaz, melyre $0<|A|=k<n$ \'es
$|B(A)|=|A|$.
\item {b.)} Minden olyan $A\subset Y$ halmazra, melyre $0<|A|<n$
$|B(A)|>|A|$.
\smallskip
Az a.) esetben azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az \'all\'{\i}t\'as
felt\'etelei teljes\"ulnek mind az $\bar Y=A$, $\bar Z=B(A)$ mind az
$\bar Y=Y\setminus A$, $\bar Z=Z\setminus B(A)$ halmazokra \'es a
$d(y,z)$ f\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'as\'ara ezekre az $\bar Y\times
\bar Z$ halmazokra. Innen \'es az indukci\'os feltev\'esb\H{o}l
k\"ovetkezik a felt\'etel el\'egs\'egess\'ege az a.) esetben.
Az  $\bar Y=A$, $\bar Z=B(A)$ esetben ez az \'all\'{\i}t\'as
nyilv\'anval\'o. Ha $\bar Y=Y\setminus A$ \'es $\bar
Z=Z\setminus B(A)$ tekints\"unk egy $C\subset Y\setminus A$ halmazt.
Legyen $\bar C=C\cup A$. Ekkor $|C|=|\bar C|-k$, $|B(\bar C)|\ge
|\bar C|$, \'es $B(C)\cap \bar Z\supset B(\bar C)\setminus B(A)$,
ahonnan $|B(C)\cap \bar Z|\ge |B(\bar C)|-k\ge |\bar C|-k$, \'es
$|B(C)\cap \bar Z|\ge |C|$, amint \'all\'{\i}tottuk.
 
A b.) esetben tekints\"unk egy egy $z_j\in Z$ pontot, melyre
$d(y_1,z_j)=1$. P\'aros\'{\i}tsuk az $y_1$ pontot az $z_j$ ponttal. A
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez el\'eg bel\'atni azt,
hogy az $\bar Y=Y\setminus\{y_1\}$ \'es $\bar Z=Z\setminus \{z_j\}$
halmazok teljes\'{\i}tik a feladat felt\'eteleit a b.) esetben. Ez
azonban nyilv\'anval\'o, mert a b.) esetben $A\subset Z$ eset\'en
$|B(A)\cap\bar Z|\ge |B(A)|-1\ge |A|$. \medskip \noindent
{\it A K\"onig--Hall t\'etel folytonos verzi\'oj\'anak
bizony\'{\i}t\'asa.}\/  A felt\'etel sz\"uks\'egess\'ege ebben az
esetben is ny\'{\i}lv\'anval\'o. Az el\'egs\'egess\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'at visszavezetj\"uk az eredeti K\"onig--Hall
t\'etelre.
 
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis esetet, amikor l\'etezik
olyan $N$ eg\'esz sz\'am, melyre $u(y_j)=\dfrac{k_j}N$ minden $y_j\in
Y$ \'es $v(z_l)=\dfrac{p_l}N$ minden $z_l\in Z$-ra, ahol $k_j$ \'es
$p_l$ eg\'esz sz\'amok. Ekkor tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'aros
gr\'afot. $\bar Y=\{(y_j, m(j)), y_j\in Y, 1\le m(j)\le k_j\}$
$\bar Z=\{(z_l, n(l)), z_l\in Z, 1\le n(l)\le p_l\}$, $\bar
d((y_j,m(j)),(z_l,n(l)))=d(y_j,z_l)$. Ekkor az $(\bar Y,\bar Z, \bar
d(\cdot,\cdot))$ p\'aros gr\'af teljes\'{\i}ti a K\"onig--Hall t\'etel
felt\'eteleit. El\'eg ugyanis a K\"onig--Hall t\'etel felt\'eteleit
azokra az $A\subset \bar Y$ halmazokra ellen\H{o}rizni, melyekre $\bar
y=(y_j,m(j))\in A$ eset\'en $(y_j,k)\in A$ minden $(y_j,k)$, $1\le k\le
k_j$ pontra, \'es ez a felt\'etel megegyezik azzal, hogy $\summ_{z\in
B(A)} v(z)\ge \summ_{y\in A}u(y)$ minden $A\in Y$-ra.
 
Ez\'ert l\'etezik az $\bar Y$ \'es $\bar Z$ halmaz
pontjainak egy olyan p\'aros\'{\i}t\'asa, melyben a p\'arba \'allitott
$\bar y$ \'es $\bar z$ pontokra $\bar d(\bar y,\bar z)=1$. Legyen $\bar
w(\bar y,\bar z)=1$, ha $\bar y$ \'es $\bar z$ p\'arba vannak
\'all\'{\i}tva, \'es $\bar w(\bar y,\bar z)=0$ egy\'ebk\'ent. Ekkor a
$w(y_j,z_l)=\dfrac1N\summ\Sb \bar y=(y_j, m(j)),1\le m(j)\le k_j\\ \bar
z=(z_l,n(l)),1\le n_l\le p_l\endSb \bar w(\bar y,\bar z)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at ebben a speci\'alis
esetben.
 
Az \'altal\'anos eset visszavezethet\H{o} a m\'ar bebizony\'{\i}tott
esetre alkalmas app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'o\-val. Az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk, hogy
$\summ_{y\in Y} u(y)=\summ_{z\in Z} v(z)=1$. Minden $N=1,2,\dots$-re
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} k\"ozel\'{\i}t\H{o} rendszert. Legyen
$\bar Y=\bar Y_N=Y\cup \{r+1\}$, $\bar Z=\bar Z_N=Z\cup \{s+1\}$,
$\bar d(y,z)=\bar d_N(y,z)=d(y,z)$, ha $y\in Y$, $z\in Z$, \'es $\bar
d(y_{r+1},z)=\bar d_N(y_{r+1},z)=\bar d(y,z_{s+1})=\bar
d_N(y,z_{s+1})=1$, (azaz az $y_{r+1}$ \'es $z_{s+1}$ pontok a m\'asik
halmaz minden pontj\'aval \"ossze vannak k\"otve), $\bar
u_N(y)=\dfrac{[Nu(y)]}N$, ha $y\in Y$, $\bar v_N(z)=\dfrac{[Nv(z)]}N$,
ha $z\in Z$, ahol $[u]$ az $u$ sz\'am eg\'esz r\'esz\'et jel\"oli,
tov\'abb\'a $\bar u_N(y_{r+1})= \summ_{y\in Y}\(u(y)-\bar u_N(y)\)
=1-\summ_{y\in Y}\bar u_N(y)$, \'es $\bar v_N(y_{s+1})=\summ_{z\in
Z}\(v(z)-\bar v_N(z)\)=1-\summ_{z\in Z}\bar v_N(z)$. Vegy\"uk \'eszre,
hogy az \'uj rendszer is teljes\'{\i}ti a t\'etel felt\'eteleit.
Ugyanis, ha $A\subset Y$, akkor a $\bar Z_N$ halmaz $A$ halmazzal
\"osszek\"ot\"ott pontjaib\'ol \'all\'o halmaz $\bar
B_N(A)=B(A)\cup\{z_{s+1}\}$, \'es $\summ_{y\in A}\bar u_N(y)\le
\summ_{y\in A}u(y)\le \summ_{z\in B(A)}v(z)\le\summ_{z\in B(A)}\bar
v_N(z)+\bar v_N(z_{s+1})\le\summ_{z\in \bar B(A)}\bar v_N(z)$. Ha pedig
$y_{r+1}\in A$, akkor $\bar B_N(A)=\bar Z_N$, \'es $\summ_{y\in A}\bar
u_N(y)\le1=\summ_{z\in\bar Z_N}\bar v_N(z)$. Ez\'ert ebben az esetben
alkalmazhatjuk a t\'etelt.
 
Tekints\"unk minden $N=1,2,\dots$-ra egy a felt\'etelt
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $\bar w_N(y,z)$, $y\in \bar Y$, $z\in \bar Z$
``sz\'all\'{\i}t\'asi f\"uggv\'enyt". Mivel $0\le \bar w_N(y,z)\le 1$
minden $y\in\bar Y$ \'es $z\in\bar Z$ pontra, \'es $N=1,2,\dots$
sz\'amra, ez\'ert ki lehet v\'alasztani egy olyan $N_k\to\infty$
r\'eszsorozatot, melyre a $w(y,z)=\limm_{k\to\infty}w_{N_k}(y,z)$
limesz minden $y\in \bar Y$ \'es $z\in \bar Z$ pontra l\'etezik. Ez a
$w(y,z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.
 
 
 
 \bye
 
