Valószínűségi mértékek és valószínűségi változók közelségének kapcsolata

Ha két valószínűségi változó közel van egymáshoz, akkor ugyanez érvényes eloszlásaikra is. Megfordítva ez természetesen nem igaz, a két valószínűségi változó lehet például független és azonos eloszlású is. Viszont a következő tipusú kérdésekre érdekes, nem triviális válasz adható. Ha adva van két egymáshoz közel lévő valószínűségi mérték μ és ν valamely (X, ρ) metrikus tér Borel σ-algebráján, akkor tudunk-e konstruálni egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, rajta két valószínűségi változót ξ-t és η-t úgy, hogy ξ eloszlása μ, η eloszlása ν, és a ξ és η valószínűségi változók közel vannak egymáshoz? Természetesen a közelség fogalmát pontosítani kell.

Egy természetes konstrukció a következő: Legyen (Ω, A, P) = (X × X, A × A, P), ahol × direkt szorzatot jelöl, A a ρ metrika, illetve az általa meghatározott topológia által generált σ-algebra, és P alkalmas valószínűségi mérték az adott téren. Definiáljuk továbbá a ξ(x_{1}, x_{2}) = x_{1}, η(x_{1}, x_{2}) = x_{2}, (x_{1}, x_{2}) ∈ X × X, valószínűségi változókat ezen a téren. Ekkor a feladat a következőképpen fogalmazható át. Konstruáljunk olyan P valószínűségi mértéket az (X × X, A × A) téren, melynek marginális eloszlásai μ és ν, továbbá a P mérték nagyrésze az (x, x), x ∈ X, pontokból álló átló közelébe van koncentrálva. E probléma vizsgálatában nagyon hasznos a kombinatorikában fontos König–Hall tétel, (házassági probléma), illetve ennek egy folytonos változata. Ezeket az eredményeket megfogalmazzuk, illetve egy Appendix-ben bebizonyítjuk.

König–Hall tétel, (Házassági probléma). Legyen adva n fiú és n lány, melyek között vannak olyanok, akik ismerik egymást. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Akkor és csak akkor tudjuk őket úgy párbaállítani (összeházasítani), hogy csak ismerősök kerüljenek párba, ha a lányok bármely csoportja együttesen legalább annyi fiút ismer, mint ennek a csoportnak a létszáma.

Formálisan megfogalmazva: Tekintsünk egy Y = {y_{1}, …, y_{n}} és Z = {z_{1}, …, z_{n}} halmazból továbbá egy d: Y × Z → {0, 1} leképezésből álló páros gráfot. Itt d(y, z) = 1, y ∈ Y, z ∈ Z azt jelenti, hogy az y és z pontok össze vannak kötve, d(y, z) = 0 pedig azt, hogy nincsenek összekötve. Egy A ⊂ Y esetén definiáljuk a B(A) ⊂ Z halmazt, mely az A-beli pontokkal összekötött pontokat jelöli, azaz

B(A) = {z: z ∈ Z, és létezik olyan y ∈ A, melyre d(y, z) = 1}.

Akkor és csak akkor létezik ennek a páros gráfnak faktorizációja, azaz az Y és Z halmaz elemeinek olyan (y_{j}, z_{π(j)}), j = 1, 2, …, n, párbaállítása, melyre d(y_{j}, z_{π(j)}) = 1 minden j = 1, 2, …, n-re, és π(j), j = 1, …, n, az {1, …, n} halmaz alkalmas permutációja, ha |B(A)| ≥ |A| minden |A| ⊂ Z halmazra, ahol |C| egy C halmaz számosságát jelöli.

König–Hall tétel egy folytonos változata. Legyen adva r raktár u_{1}, u_{2}, …, u_{r}

nagyságú készletekkel és s üzem, v_{1} …, v_{s} nagyságú igényekkel, ∑_{j=1}^{r} u_{j} = ∑_{k=1}^{s} v_{k}. Le-

gyenek bizonyos raktárak és üzemek úttal összekötve. Az összes igényt a létező útakon való szállítással akkor és csak akkor elégíthetjük ki, ha üzemek tetszőleges csoportjára, az ezek valamelyikével összekötött raktárak összkapacítása nem kisebb, mint ezen üzemek összigénye.

Formálisan megfogalmazva: Tekintsünk egy Y = {y_{1}, …, y_{r}} és Z = {z_{1}, …, z_{s}} halmazokból és d: Y ×Z → {0, 1} leképezésből álló páros gráfot, ahol d(y, z) = 1, y ∈ Y, z ∈ Z azt jelenti, hogy az y és z pontok össze vannak kötve, d(y, z) = 0 pedig azt, hogy nincsenek összekötve. Legyen továbbá adva két u(y), u(y) ≥ 0, y ∈ Y és v(z), v(z) ≥ 0, z ∈ Z, a ∑_{y∈Y} u(y) = ∑_{z∈Z} v(z) feltételt teljesítő súlyfüggvény. Minden A ⊂ Y halmazra

definiáljuk a B(A) ⊂ Z halmazt a

B(A) = {z: z ∈ Z, és létezik olyan y ∈ A, melyre d(y, z) = 1}

képlettel. Akkor és csak akkor létezik olyan w(y, z) ≥ 0 “szállítási függvény”, melyre

i.) ∑_{z: d(y,z)=1} w(y, z) = u(y) minden y ∈ Y -re,

és ∑_{y: d(y,z)=1} w(y, z) = v(z) minden z ∈ Z-re.

ii.) A w(y, z) > 0 egyenlőtlenség csak akkor teljesül, ha d(y, z) = 1,

ha minden A ∈ Y -re ∑_{z∈B(A)} v(z) ≥ ∑_{y∈A} u(y).

Feladatok:

0.) Lássuk be, hogy a König–Hall tételben, illetve annak folytonos változatában a feltételek szimmetrikusak az Y és Z halmazokra, azaz, ha felcseréljük a feltételekben (és a B(A) halmaz definiciójában) az Y és Z halmazt, akkor a feltételek érvényben maradnak.

1.) Legyen adva két μ és ν valószínűségi mérték egy (X, ρ) szeparábilis metrikus térnek a metrika segítségével generált toplógia által meghatározott B Borel σ-algebráján. Jelölje B^{α} = {x: ρ(x, B) < α} egy B ⊂ X halmaz α sugarú nyílt környezetét. Tegyük fel, hogy a μ és ν mértékek teljesítik a μ(B) ≤ ν(B^{α}) + β feltételt minden B ⊂ X zárt halmazra valamilyen α > 0 és β > 0 számokkal. Ekkor minden ε > 0 esetén konstruálható egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, és azon olyan ξ és η X értékű valószínűségi változók, melyek eloszlása μ illetve ν, és amelyekre a

P (ρ(ξ, η) > α + ε) ≤ β + ε  (a)

reláció teljesül. Megfordítva, ha a μ eloszlású ξ és ν eloszlású η valószínűségi változók teljesítik az (a) relációt, akkor μ(B) ≤ ν(B^{α+ε}) + β + ε. Ha X nemcsak szeparábilis, hanem teljes metrikus tér is, akkor az (a) reláció igaz ε = 0 esetén is. (Az utolsó állítás bizonyításában felhasználhatjuk azt az eredményt, mely szerint szeparábilis teljes metrikus téren μ_{n} valószínűségi mértékek egyenletes kompakt sorozatának létezik a mértékek gyenge konvergenciája szerint konvergens részsorozata.)

2.) Legyen adva egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér, azon a tér temészetes topológiája által meghatározott A Borel σ-algebra. Jelölje M az (X, A) téren értelmezett valószínűségi mértékek terét, és a valószínűségi mértékpárokon vezessük be a következő d(·, ·) függvényt: Ha μ ∈ M és ν ∈ M, akkor

d(μ, ν) = inf{α: μ(B) ≤ ν(B^{α}) + α minden zárt B ⊂ X halmazra},

ahol B^{α} jelentése ugyanaz, mint az előző feladatban. Lássuk be, hogy d(·, ·) metrika az M téren, és ez a metrika a valószínűségi mértékek terén értelmezett gyenge konvergenciáját metrizálja, azaz egy μ_{n} ∈ M, n = 1, 2, …, sorozatra, és μ ∈ M-re μ_{n} ⇒ μ n → ∞ esetén akkor és csak akkor, ha d(μ_{n}, μ) → 0, ahol ⇒ a gyenge konvergenciát jelöli. Az (M, d) tér szeparábilis metrikus tér, és ha (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, akkor az (M, d) tér is az.

Megjegyzés: Az, hogy egy topológikus teret indukáló metrika teljes metrika-e vagy sem, nem topológikusan invariáns, azaz lehetséges, hogy egy teljes és nem teljes metrika ugyanazt a topológiát definiálja. Ezért abból az általános eredményből, hogy teljes metrikus tér valószínűségi mértékeinek terén létezik olyan teljes metrika, mely a gyenge konvergenciát indukálja nem következik, hogy a fenti d(·, ·) metrika is teljes metrikus teret indukál.

Be fogjuk látni a következő Állítás A-t:

Állítás A: Alkalmazuk a 2. feladat jelöléseit. Ha a μ_{n} ∈ M, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékek sorozata és egy μ ∈ M valószínűségi mérték teljesíti az μ_{n} ⇒ μ, ha n → ∞ feltételt, akkor létezik (Ω, A, P) valószínűségi mező, és azon ξ_{n}, n = 1, 2, …, és ξ valószínűségi változók úgy, hogy ξ_{n} eloszlása μ_{n}, n = 1, 2, …, ξ eloszlása μ, és ξ_{n} → ξ egy valószínűséggel.

Az Állítás A bizonyítása azon alapul, hogy alkalmas konstrukcióban különböző n indexekre azok az n indextől függő halmazok, amelyekre a ξ_{n} és ξ valószínűségi változók távolsága viszonylag nagy, átfedhetik egymást. Ezt elérendő, a ξ_{n} valószínűségi változók együttes eloszlását alkalmasan kell megválasztanunk. Ezért a fenti Állítás A-ban szereplő egy valószínűségi konvergencia nem annyira hasznos, mint azt az első pillanatban gondolnánk. A valószínűségszámítás tartalmas egy valószínűséggel érvényes állításokat tartalmazó tételei ugyanis a valószínűségi változók együttes eloszlásától függnek. Az Állítás A viszont megengedi a valószínűségi változók együttes eloszlásának megváltoztatását.

Az Állítás A bizonyítása teljes szeparábilis terekben egyszerűbb, és ebben az esetben a valószínűségi mezőt is nagyon speciálisan lehet megválasztani. Annak érdekében, hogy Állítás A-t ebben az esetben belássuk érdemes először a következő feladatot megoldani.

3.) Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, μ valószínűségi mérték ezen tér Borel σ-algebráján. Tekintsük azt a speciális (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, melyre Ω = [0, 1], A a Borel σ-algebra a [0, 1] intervallumon, P a Lebesgue mérték a [0, 1] intervallum Borel σ-algebráján. Konstruálható ezen a valószínűségi mezőn olyan az értékeit az X térben felvevő ξ valószínűségi változó, melynek eloszlása μ.

4.) Bizonyítsuk be Állítás A-t,ha (X, ρ) szeparábilis, teljes metrikus tér. Ebben az esetben választhatjuk a (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, mint Ω = [0, 1], A a Borel σ-algebra a [0, 1] intervallumon, és P a Lebesgue mérték a [0, 1] intervallum Borel σ-algebráján.

5.) Az Állítás A (egy alkalmasan nagy (M, A, P) valószínűségi mezőn) érvényes tet-

szőleges szeparábilis, nem feltétlenül teljes (X, ρ) metrikus tér esetében. 6.) Legyenek ξ_{n}, n = 1, 2, …, és ξ (X, ρ) értékű valószínűségi változók, ahol (X, ρ)

szeparábilis metrikus tér. Tegyük fel, hogy ξ_{n} ⇒ ξ, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. Ekkor a ξ_{n} valószínűségi változók μ_{n} és a ξ valószínűségi változók μ eloszlására μ_{n} ⇒ μ, ahol ⇒ valószínűségi mértékek gyenge konvergenciáját jelöli.

Láttuk (1. feladat), hogy az a kérdés, hogy egy (X, ρ) téren definiált μ és ν valószínűségi mértékekhez, hogyan lehet olyan μ és ν eloszlású ξ és η valószínűségi változókat úgy, hogy azok közel vannak egymáshoz a következő némileg informálisan megfogalmazható “szállítási problémához” vezet: Hogyan lehet egy μ tömegeloszlású pontrendszer pontjait viszonylag kevés mozgatással egy ν tömegeloszlású pontrendszerbe átvinni? Ha az (X, ρ) tér a számegyenes a szokásos metrikával, akkor e téren levő egyszerű rendezés miatt ez a “szállítási probléma” lényegesen egyszerűsődik. Ekkor ugyanis bizonyos természetes kiértékelések esetén (lásd a későbbi 9. feladatot) érdemes kizárni a következő lehetőséget: Léteznek olyan x_{1} < x_{2} és x_{3} < x_{4} számpárok, melyekre az x_{1} pontot az x_{4} és az x_{2} pontot az x_{3} pontba szállítjuk. Ekkor ugyanis az x_{1} → x_{3} és x_{2} → x_{4} szállítás gazdaságosabb. Ezt a lehetőséget zárja ki az alább ismertetendő kvantilis transzormációnak nevezett konstrukció, amelyiknek belátjuk egy optimalitási tulajdonságát.

A kvantilis transzformáció definiciójához szükségünk lesz a következő matematikai statisztikában is gyakran használt tény felidézésére. Ha ξ F eloszlású valószínűségi változó a számegyenesen, akkor alkalmas feltételek esetén η = F (ξ) egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon. Megfordítva, ha η egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon, akkor ξ = F^{−1}(η), ahol F^{−1}(x) az F (x) eloszlás inverze, F eloszlású valószínűségi változó. A következő feladat ennek az állításnak pontosítása, enyhe általánosítása.

7.) Legyen ξ egy F (x) = P (ξ < x) eloszlású és η egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Definiáljuk az F (x) (nem feltétlenül szigorúan) monoton függvény általánosított inverzét az F^{−1}(x) = sup{u: F (u) < x} képlettel. Ekkor ξ̄ = F^{−1}(η) F eloszlású valószínűségi változó. Megfordítva, legyen ε a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású és a ξ valószínűségi változótól független valószínűségi változó. Ekkor η̄ = F̃(ξ, ε) = F (ξ)+ε[F (ξ+0)−F (ξ)], ahol F (x+0) = lim_{h>0,h→0} F (x + h), a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó.

8.) Legyen adva két F és G eloszlásfüggvény. Ha ζ egyenletes eloszlású valószínűségi változó, akkor a ξ̄ = F^{−1}(ζ) és η̄ = G^{−1}(ζ) valószínűségi változók, ahol F^{−1} és G^{−1} függvények úgy vannak definiálva mint az előző feladatban, F illetve G eloszlásúak. Ha ¯ ξ̄ F eloszlású, és ε a ¯ ξ̄ valószínűségi változótól független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, akkor ¯ η̄ = G^{−1}(F̃(¯ξ̄, ε)) valószínűségi változó G eloszlású valószínűségi változó. A (ξ̄, η̄) és (¯ξ̄, ¯ η̄) véletlen vektorok eloszlása megegyezik.

A valószínűségszámításban gyakran felmerül a következő probléma. Adva van két μ és ν valószínűségi mérték a számegyenesen, és olyan (ξ, η) véletlen vektort akarunk definiálni a számegyenesen, melyre ξ eloszlása μ, η eloszlása pedig ν eloszlású. Valójában a valószínűségi problémák vizsgálatában elég megadni a (ξ, η) vektor eloszlását. Két konstrukció, mely ugyanolyan eloszlású vektort ad meg, alkalmazások szempontjából ekvivalens. Ezért az előző feladatban konstruált (ξ̄, η̄) és (¯ξ̄, ¯ η̄) véletlen vektorok konstrukcióját egyaránt kvantilis transzformációnak nevezzük. A következő feladatban a kvantilis transzformáció egy optimum tulajdonságát fogalmazzuk meg.

9.) Legyen ξ és η két valószínűségi változó F (x), illetve G(x) eloszlásfüggvényekkel, melyekre E|ξ| < ∞, E|η| < ∞, és Φ(x) egy konvex függvény a számegyenesen. Ekkor EΦ(ξ − η) ≥ ∫_{0}^{1} Φ (F^{−1}(x) − G^{−1}(x)) dx > −∞, ahol F^{−1}(x) és G^{−1}(x) megegyezik a 6. feladatban definiált inverzzel. Abban az esetben, ha a (ξ, η) vektort kvantilis transzformációval konstruáljuk, akkor a fenti egyenlőtlenség két oldala egyenlő.

Végül néhány az előzőektől kissé eltérő témájú feladatot fogalmazunk meg, melyek bizonyos vizsgálatokban hasznosak. Ezek bizonyítása használ néhány nem-triviális mértékelméleti tényt, például a feltételes eloszlás létezését vagy a Banach felbontási tételt, illetve a Radon–Nikodym tételt, melynek ez utóbbi tétel egyszerű következménye.

10.) Legyen adva három szeparábilis, teljes metrikus tér, (X_{i}, ρ_{i}), i = 1, 2, 3, és jelölje A_{i}, i = 1, 2, 3, az ezen terek topológiája által indukált σ-algebrát. Legyen μ valószínűségi mérték az (X_{1} × X_{2}, A_{1} × A_{2}) és ν valószínűségi mérték az (X_{2} × X_{3}, A_{2} × A_{3}) téren. Ekkor létezik olyan P valószínűségi mérték az (X_{1} × X_{2} × X_{3}, A_{1} × A_{2} × A_{3}) téren, melynek vetülete az X_{1} × X_{2} térre a μ, az X_{2} × X_{3} térre pedig a ν mértékkel egyezik meg.

Megjegyezzük, hogy amennyiben egy (X, ρ) tér teljes szeparábilis metrikus tér, akkor ezek végtelen direkt szorzata X × X × ⋯ szintén tekinthető mint, egy teljes szeparábilis teljes metrikus tér alkalmas ρ̄ metrikával. Valóban, feltehetjük, hogy a ρ mérték olyan, hogy minden x ∈ X és x̄ ∈ X esetén, ρ(x, x̄) ≤ 1. Ezt elérhetjük például bevezetve a ρ′(x, x̄) = min(ρ(x, x̄), 1) új metrikát az (X, ρ) téren, ha ez szükséges. Definiáljuk a

ρ̄((x_{1}, x_{2}, …), (x̄_{1}, x̄_{2}, …)) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}} ρ(x_{k}, x̄_{k})

metrikát az X ×X ×⋯ szorzattéren. Az (X ×X ×⋯, ρ̄) tér szeparábilis teljes metrikus tér ezzel a metrikával.

A 10. feladat eredményéből következik, hogy ha adva van két μ és ν valószínűségi mérték valamely (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus téren és olyan μ eloszlású ξ és ν eloszlású η valószínűségi változókat akarunk konstruálni, melyek valamilyen (természetes) értelemben közel vannak egymáshoz, akkor ezt elérhetjük úgy, hogy olyan (ξ, ζ) és (η, ζ̄) az (X, ρ) téren értelmezett valószínűségi változókból álló párokat konstruálunk, melyek elemei közel vannak egymáshoz, ezenkívül ξ μ η pedig ν eloszlású, és a ζ illetve ζ̄ valószínűségi változók azonos eloszlásúak. Továbbá, a 10. feladat után tett megjegyzés alapján ezt az érvelést lehet alkalmazni akkor is ha előírt eloszlású ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozatot előírt eloszlású η_{1}, η_{2}, … sorozattal akarjuk approximálni.

Az előbbi paragrafus állításait lehet némileg élesíteni. Ha adva van egy μ eloszlású ξ valószínűségi változó egy elég bő (Ω, A, P) valószínűségi mezőn továbbá egy ν valószínűségi mérték az X ×X szorzattéren, ahol (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, továbbá a ν valószínűségi eloszlás vetülete μ akkor konstruálhatunk olyan η valószínűségi változót ezen az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melyre teljesül az, hogy a (ξ, η) véletlen vektor eloszlása ν. Továbbá hasonló állítás érvényes, ha egy ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozatot olyan η_{1}, η_{2}, … sorozattal akarunk párosítani egy elég bő valószínűségi mezőn melyek együttes eloszlása előírt. Ez utóbbi megjegyzés azt jelenti, hogy ha egy valószínűségi változónak vagy valószínűségi változók sorozatának “jó approximációját” akarjuk elérni valamely másik valószínűségi változóval vagy valószínűségi változók sorozatával, akkor elég megadni az eredeti és társított valószínűségi változók vagy sorozatok együttes eloszlását. Nem jelent valódi megszorítást, ha az approximálandó valószínűségi változó vagy sorozat rögzítve van.

A fenti állítást a következő 11. feladatban fogjuk belátni. Megjegyezzük, hogy egy valószínűségi mező “elég bő” a fenti értelemben, ha létezik benne egy a ξ valószínűségi vátozótól vagy a ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozattól független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó.

11.) Legyen adva egy ν valószínűségi mérték egy X × X szorzattéren, ahol (X, ρ) szeparábilis teljes metrikus tér. Legyen μ a ν mérték vetülete az X × X tér első koordinátájára. Ha ξ μ eloszlású valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi téren, és létezik egy χ a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású, és a ξ-től független valószínűségi változó az (Ω, A, P) téren, akkor konstruálható ezen a téren olyan η valószínűségi változó. melyre a (ξ, η) pár eloszlása ν.

12.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy (X, A) mérhető téren, ξ eloszlása μ, η eloszlása ν, akkor P (ξ ≠ η) ≥ Var (μ, ν), ahol Var (μ, ν) = sup_{A∈A} |μ(A) − ν(A)|, a

μ és ν mérték variációs távolsága. Tetszőleges μ-re és ν-re léteznek olyan μ és ν eloszlású ξ és η valószínűségi változók, melyekre a fenti egyenlőtlenség két oldala egyenlő.

Az 1. feladat állítását, illetve azt, hogy adott eloszlással rendelkező mértékek jó illesztése a kombinatorikában jól ismert “szállítási problémák” megoldásán alapul R. M. Dudley dolgozataiból tanultam. A 2. feladatban szereplő metrikát Prohorov metrikának hívják az irodalomban. A 4. (illetve az ennek alapjául szolgáló 3. feladat) eredménye Szkorohodtól, az 5. feladat megoldását szolgáló konstrukció pedig Dudleytól származik. A 4. feladat eredményének az 5. feladatban megfogalmazott általánosítása nem triviális. Megpróbálhatnánk az állítást visszavezetni a teljes metrikus terekről szóló állításra úgy, hogy a szeparábilis metrikus teret beágyazzuk egy teljes szeparábilis metrikus térbe. Ez mindig lehetséges, de előfordulhat, hogy a beágyazott tér a nagyobb tér egy nem mérhető részhalmaza. Ezért ilyen módon nem kapunk egyszerű bizonyítást.

Az ismertetett kvantilis transzformáció illetve annak hasznossága jól ismert az irodalomban, és ennek a módszernek a kidolgozását nehéz névhez kötni.

Megoldások

0.) Egy B ⊂ Z halmazra definiáljuk az A(B) = {y: y ∈ Y, d(y, z) = 1} halmazt. Azt kell belátnunk, hogy a König–Hall tétel felételeinek teljesülése esetén |A(B)| ≥ |B|. Ez ekvivalens az |Y \ A(B)| ≤ |Z \ B| állítással. A feltételből következik, hogy |B(Y \ A(B))| ≥ |Y \ A(B)|. Ezért elég megmutatni, hogy B(Y \ A(B)) ⊂ Z \ B . Ez igaz, mert ha y ∈ B(Y \ A(B)), azaz létezik olyan z ∉ A(B), melyre d(y, z) = 1, akkor az A(B) halmaz definiciója alapján y ∉ B, azaz B(Y \ A(B)) ⊂ Z \ B. Az állítás bizonyítása a König–Hall tétel folytonos változata esetén hasonló. Ebben az esetben a ∑_{y∈Y} u(y) = ∑_{z∈Z} v(z) reláció felhasználásával a bizonyítandó állítás a

∑_{y∈Y \A(B)} u(y) ≤ ∑_{z∈Z\B} v(z) állításra vezethető vissza, és ez a B(Y \ A(B)) ⊂ Z \ B

relációból következik. 1.) Definiáljuk az (Ω, A, P) teret, ahol Ω = X × X, A az X × X tér topológiája által

definiált σ-algebra, P alkalmasan definiált valószínűségi mérték az (Ω, A) téren. Legyen ξ(x_{1}, x_{2}) = x_{1} és η(x_{1}, x_{2}) = x_{2}. A feladat állítását bebizonyítjuk, ha konstruálunk olyan P valószínűségi mértéket az (Ω, A) téren, melyre

a.) P (A × X) = μ(A), P (X × A) = ν(A) minden mérhető A ⊂ X halmazra. b.) P ({(x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) > α + ε}) ≤ β + ε.

Ilyen konstrukciót a König–Hall tétel folytonos változatának segítségével adunk meg. Definiálunk egy páros gráfot alkalmas súlyfüggvényekkel. Ennek érdekében bevezetünk néhány fogalmat. Jelölje G(x, α) az x középpontú α sugarú gömböt. Legyen x_{1}, x_{2}, …, egy mindenütt sűrű sorozat az X téren, és rögzítsünk egy ε > 0

számot. Mivel ⋃_{n=1}^{∞} G (x, \frac{ε}{5}) = X létezik olyan N = N(ε) szám, melyre a W =

⋃_{n=1}^{N(ε)} G (x, \frac{ε}{5}) halmazra μ(W) > 1 − \frac{ε}{2} és ν(W) > 1 − \frac{ε}{2}. Definiáljuk a V_{k} =

G (x_{k}, \frac{ε}{5}) \ ⋃_{j=1}^{k−1} G (x_{j}, \frac{ε}{5}), k = 1, …, N és V_{N+1} = X \ W_{N} halmazokat. Ekkor V_{k},

k = 1, …, N + 1 az X tér particiója, d(V_{k}) ≤ \frac{ε}{5}, ha 1 ≤ k ≤ N, ahol d(A) egy A ⊂ X halmaz átmérőjét jelöli. Továbbá μ(V_{N+1}) < \frac{ε}{2} és ν(V_{N+1}) < \frac{ε}{2}. Nevezzük az x_{k} pontot a V_{k} halmaz középpontjának, 1 ≤ k ≤ N. Definiáljuk a következő páros gráfot: Y = {y_{1}, …, y_{N+1}} = {V_{1}, …, V_{N+1}}, Z = \{z_{1}, …, z_{N+1}\} = \{V_{1}, …, V_{N+1}\}, d(y_{j}, z_{k}) = 1, ha ρ(x_{j}, x_{k}) ≤ α+ \frac{ε}{2}, 1 ≤ j, k ≤ N, illetve d(y_{N+1}, z_{k}) = 1, d(y_{j}, z_{N+1}) = 1 minden 1 ≤ j, k ≤ N + 1 esetén. Minden egyéb esetben d(y, z) = 0. Vezessük be továbbá a következő súlyfüggvényeket: u(y_{j}) = μ(V_{j}), v(z_{j}) = ν(V_{j}), j = 1, …, N, u(y_{N+1}) = μ(V_{n+1}) + β, v(z_{N+1}) = ν(V_{n+1}) + β. Azt állítjuk, hogy ez a rendszer teljesíti a König–Hall tétel folytonos verziójának feltételeit. A kívánt egyenlőtlenség nyílván teljesül olyan A ⊂ X halmazra, melyre y_{N+1} ∈ A. Ekkor ugyanis B(A) = Z, mert az y_{N+1} a Z halmaz minden pontjával össze van

kötve. Ha y_{N+1} ∉ A legyen D_{1} = ⋃_{V_{j}∈A} V_{j} és D_{2} = ⋃_{V_{j}∈B(A)} V_{j}. Ekkor ∑_{y∈A} u(y) =

μ(D_{1}) és ∑_{z∈B(A)} v(z) = ν(D_{2}) + β, mivel y_{N+1} ∉ A és z_{N+1} ∈ B(A). Ezért az

állítás feltételei miatt elég belátni, hogy D̄_{1}^{α} ⊂ D_{2}, ahol D̄_{1} a D_{1} halmaz lezártját jelöli. Viszont, ha x ∈ D̄_{1}, akkor létezik olyan y_{j} = V_{j} ∈ A halmaz, melynek x_{j} középpontjára ρ(x, x_{j}) ≤ \frac{ε}{5}, így G(x, α) ⊂ G (x_{j}, α + \frac{ε}{5}). Másrészt G (x_{j}, α + \frac{ε}{5}) ⊂ D_{2}. Ellenkező esetben ugyanis létezne olyan v ∈ X pont, melyre ρ(x_{j}, v) < α + \frac{ε}{5}, és v ∈ V_{k} egy olyan V_{k}, 1 ≤ k ≤ N halmazra, mely nincs összekötve a V_{j} halmazzal, azaz ρ(x_{j}, x_{k}) ≥ α+ \frac{ε}{2}. Ez azonban nem lehetséges, mert d(V_{k}) ≤ \frac{ε}{5}, így ρ(x_{j}, x_{k}) ≤ ρ(x_{j}, v) + \frac{ε}{5}. Beláttuk, hogy a König–Hall tétel folytonos változata alkalmazható erre a rendszerre.

Legyen w̄(y, z) egy a König–Hall tétel folytonos változatát a fenti rendszerben kielégítő függvény, és definiáljuk a w_{1}(y_{j}, z_{k}) függvényt a következő módon:

w_{1}(y_{j}, z_{k}) = w̄(y_{j}, z_{k}) ha 1 ≤ j, k ≤ N,
és w_{1}(y_{j}, z_{k}) = 0, ha j = N + 1 vagy k = N + 1.

Ez a w_{1}(y, z) függvény teljesíti a következő tulajdonságokat:

i.) w_{1}(y_{j}, z_{k}) ≥ 0, és w_{1}(y_{j}, z_{k}) > 0 csak akkor, ha 1 ≤ j, k ≤ N és ρ(x_{j}, x_{k}) < α + \frac{ε}{2}

ii.) ∑_{z∈Z} w_{1}(y_{j}, z) ≤ u(y_{j}) = μ(V_{j}), ∑_{y∈Y} w_{1}(y, z_{k}) ≤ v(z_{k}) = ν(V_{k}).

iii.) ∑_{y∈Y,z∈Z} w_{1}(y, z) ≤ 1−β−ε mert ∑_{y∈Y,z∈Z} w_{1}(y, z) ≤ ∑_{y∈Y,z∈Z} w(y, z)−u(y_{N+1})−

v(z_{N+1}) ≤ 1 + β − 2(β + \frac{ε}{2}).

A w_{1}(y, z) függvény tulajdonságaiból következik, hogy létezik olyan w_{2}(y_{j}, z_{k}) ≥ 0, 1 ≤ j, k ≤ N + 1, függvény, melyre a w(y, z) = w_{1}(y, z) + w_{2}(y, z) függvény teljesíti a

∑_{z∈Z} w(y_{j}, z) = u(y_{j}) = μ(V_{j}), ∑_{y∈Y} w(y, z_{k}) = v(z_{k}) = ν(V_{k})

tulajdonságokat. Ennek a w(y, z) függvénynek a segítségével definiálunk egy olyan P valószínűségi mértéket az X × X téren, mely teljesíti az a.) és b.) tulajdonságokat. Legyen

P (C × D) = \frac{μ(C)}{μ(W_{j})} \frac{ν(C)}{ν(W_{k})}w(y_{j}, z_{k}) ha C ⊂ W_{j}, D ⊂ W_{k}

valamilyen 1 ≤ j, k ≤ N + 1 indexekkel. Az általános esetben pedig legyen

P (C × D) = ∑_{j=1}^{N+1} ∑_{k=1}^{N+1} P ((C ∩ V_{j}) × (D ∩ V_{k})) .

Ezután a P mértéket egyértelműen kiterjeszthetjük ezekről a téglalap halmazokról. Ez a P mérték teljesíti mind az a.) mind a b.) tulajdonságot. Ugyanis tetszőleges A ⊂ V_{j}, 1 ≤ j ≤ N + 1 esetén

P (A × X) = ∑_{k=1}^{N+1} P (A × V_{j}) = \frac{μ(A)}{μ(V_{j})} ∑_{k=1}^{N+1} w(x_{j}, y_{k}) = μ(A),

és innen következik, hogy P (X × A) = ν(A) minden mérhető A ⊂ X halmazra. Az a.) állítás második része hasonlóan látható. Másrészt,

P ((x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) ≤ α + ε) ≥ ∑_{(j,k) : ρ(x_{j},x_{k})≤α+ \frac{ε}{2}} P (V_{j} × V_{k})

= ∑_{(j,k) : ρ(x_{j},x_{k})≤α+ \frac{ε}{2}} w(V_{j} × V_{k})

≥ ∑_{y_{j}∈Y, z_{k}∈Z} w_{1}(V_{j} × V_{k}) ≥ 1 − β − ε,

és ez az állítás ekvivalens a b.) feltétellel. Megfordítva, ha az (a) tulajdonság teljesül, akkor tetszőleges B (zárt) halmazra {ξ ⊂ A, η ∉ A^{α+ε}} ⊂ {(ξ, η): ρ(ξ, η) > α + ε}, ezért P (ξ ∈ A, η ∉ A^{α+ε}) ≤ β + ε. Mivel {ξ ∈ A} ⊂ {ξ ∈ A, η ∉ A^{α+ε}} ∪ {η ∈ A^{α+ε}}, innen következik, hogy μ(A) ≤ β + ε + ν(A^{α+ε}), és ezt kellett bizonyítani.

A következő észrevételt tesszük. Ha X teljes metrikus tér és P_{n}, n = 1, 2, …, olyan valószínűségi mértékek sorozata az X×X téren, melynek marginális eloszlásai két ntől független μ és ν mérték, akkor e mértéksorozatnak létezik a gyenge konvergencia szerint konvergens részsorozata. Ennek az állításnak a bizonyításához azt érdemes észrevenni, hogy tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan K ⊂ X kompakt halmaz, melyre μ(K) ≥ 1 − \frac{ε}{2} és ν(K) ≥ 1 − \frac{ε}{2}. Ezért a K × K ⊂ X × X kompakt halmazra és valószínűségi mértékek olyan P_{n} sorozatára az X × X téren melyek marginális eloszlásai a μ és ν mérték P_{n}(K × K) ≥ 1 − ε minden n-re, ahonnan következik, hogy a P_{n} mértéksorozat feszes, azaz létezik gyengén konvergens részsorozata. Legyen P_{n}, n = 1, 2, …, olyan μ és ν marginális eloszlással rendelkező valószínűségi mértékek sorozata az X × X téren, melyek teljesítik az (a) tulajdonságot ε = \frac{1}{n} számmal. Legyen P_{n_{k}}, k = 1, 2, …, ennek a sorozatnak gyengén konvergens részsorozata, és legyen P e részsorozat határértéke. A P mérték marginális eloszlásai μ és ν. Azt állítjuk, hogy egy P eloszású (ξ, η) vektor teljesíti az (a) feltételt az ε = 0 számmal is. Ugyanis, az {(x_{1}, x_{2}): (x_{1}, x_{2}) ∈ X × X, ρ(x_{1}, x_{2}) > α + ε} alakú halmazok nyíltak. Ezért

β ≥ lim sup_{k→∞} P_{n_{k}} ({(x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) > α + ε}) ≥ P ({(x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) > α + ε})

minden ε > 0-ra, ahonnan

P ({(x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) > α}) = lim_{ε→0} P ({(x_{1}, x_{2}): ρ(x_{1}, x_{2}) > α + ε}) ≤ β.

Ezzel az 1. feladat állításait bebizonyítottuk.

2.) Először azt látjuk be, hogy d(·, ·) metrika. i.) d(μ, μ) = 0. Másrészt, belátjuk, hogy d(μ, ν) = 0 esetén μ = ν. Valóban, d(μ, ν) = 0 esetén μ(F) ≤ ν(F) minden zárt F ⊂ G halmazra, mert F = ⋂_{ε→0} F^{ε}, így μ(F) ≤ lim inf_{ε→0}(ν(F^{ε}) + ε) =

ν(F). Belátjuk, hogy valójában μ(F) = ν(F) minden zárt halmazra. Ugyanis tudjuk, hogy μ(G) ≥ ν(G) minden nyílt G halmazra, ezért μ(F) = lim_{ε→0} μ(F^{ε}) ≥

lim_{ε→0} ν(F^{ε}) = ν(F). Innen következik, hogy μ(A) = ν(A) minden zárt vagy nyílt A halmazra. Egy mértéket viszont meghatároznak a nyílt halmazokon felvett értékei, ezért μ = ν. ii.) d(μ, ν) = d(ν, μ). Legyen d(μ, ν) < α. Belátjuk, hogy ekkor d(ν, μ) ≤ α. Legyen F ⊂ X tetszőleges zárt halmaz, és definiáljuk az F′ = X \ F^{α} halmazt. Állítjuk, hogy (F′)^{α} ⊂ X \ F. Valóban, ha y ∈ (F′)^{α} akkor d(y, X\F^{α}) < α, azaz létezik olyan z ∈ X, melyre d(z, F) ≥ α és d(z, y) < α. Ebből viszont következik, hogy y ∉ F, tehát (F′)^{α} ⊂ X \ F. Ezt a relációt felhasználva kapjuk, hogy 1 − μ(F^{α}) = μ(F′) ≤ ν((F′)^{α}) + α ≤ ν(X \ F) + α = 1 − ν(F) + α, azaz ν(F) ≤ μ(F^{α}) + α. Ezért d(ν, μ) ≤ α. Ezzel beláttuk, hogy d(ν, μ) ≤ d(μ, ν). Szimmetriaokokból d(μ, ν) = d(ν, μ). iii.) d(μ_{1}, μ_{3}) ≤ d(μ_{1}, μ_{2}) + d(μ_{2}, μ_{3}). Ha d(μ_{1}, μ_{2}) = α, d(μ_{2}, μ_{3}) = β akkor minden ε > 0-ra és zárt F halmazra μ_{1}(F) ≤ μ_{2}(F^{α+ε})+α+ε, μ_{2}(F^{α+ε}) ≤ μ_{3}((F^{α+ε})^{β+ε})+β+ε. Mivel (F^{α+ε})^{β+ε}) ⊂ F^{α+β+2ε} innen kapjuk, hogy μ_{1}(F) ≤ μ_{3}(F^{α+β+2ε})+α +β +2ε. Mivel ez az állítás érvényes minden F zárt halmazra és ε > 0 számra, innen következik a iii.) reláció.

d(μ_{n}, μ) → 0 akkor és csak akkor, ha μ_{n} ⇒ μ. Ha d(μ_{n}, μ) → 0, akkor minden zárt F halmazra, és ε > 0 számra lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F^{ε}) + ε. Mivel F = ⋂_{ε→0} F^{ε},

lim_{ε→0} (μ(F^{ε}) + ε) = μ(F). Innen, lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F) és ez az állítás ekvivalens

azzal, hogy μ_{n} ⇒ μ.

A másik irányú állítás bizonyításához először azt mutatjuk meg, hogy minden ε > 0ra létezik olyan N = N(ε) egész szám és az X tér V_{1}, …, V_{N}, V_{N+1} particiója, mely teljesíti az alábbi feltételeket: μ(∂V_{k}) = 0, k = 1, …, N + 1, d̄(V_{k}) < ε^{2}, k = 1, …, N, és μ(V_{N+1}) ≤ \frac{ε}{2}, ahol ∂A az A halmaz határát és d̄(A) az A halmaz átmérőjét jelöli. Valóban, legyen x_{1}, x_{2}, … egy mindenütt sűrű halmaz az X térben. Mindegyik x_{k}-re válasszunk egy olyan x_{k} középpontú δ_{k}, \frac{ε^{2}}{2} < δ_{k} < ε^{2} sugarú G(x_{k}, δ_{k}) gömböt az X térben, melyre μ (∂G(x_{k}, δ_{k})) = 0. E gömbök uniója lefedi az X teret. Válasszunk egy olyan N = N(ε) számot, melyre

μ ( ⋃_{k=1}^{N} G(x_{k}, δ_{k})) ≤ \frac{ε}{2}. Legyen V_{N+1} = X \ ( ⋃_{k=1}^{N} G(x_{k}, δ_{k})) és V_{k} = G(x_{k}, δ_{k}) \

( ⋃_{j=1}^{k=1} G(x_{j}, δ_{j})), k = 1, …, N. E halmazok teljesítik a kívánt feltételeket.

Minden F ⊂ X zárt halmazra definiáljuk a B(F) = ⋃_{k: V_{k}∩F ≠∅} V_{k} halmazt. Vegyük

észre, hogy F ⊂ B(F) ⊂ F^{ε} ∪ V_{N+1}. Továbbá lim_{n→∞} sup_{F zárt halmaz} |μ_{n}(B(F) −

μ(B(F)| = 0, mert lim_{n→∞} μ_{n}(V_{k}) = μ(V_{k}) minden k = 1, …, N + 1-re, véges sok B(F) alakú halmaz van, és mindegyik véges sok V_{k} halmaz uniója. Ezért létezik olyan n = n(ε) az F zárt halmaztól független küszöbindex, melyre

μ(F^{ε}) − μ_{n}(F) ≥ μ(B(F)) − μ(V_{N+1}) − μ_{n}(B(F)) ≥ −ε

minden zárt F halmazra, tehát d(μ_{n}, μ) ≤ ε, ha n ≥ n_{0}(ε). Innen következik az állítás. Az (M, d) tér szeparábilis. Legyen ugyanis x_{1}, x_{2}, …, egy mindenütt sűrű halmaz az X téren, legyen M_{0} azon diszkrét valószínűségi mértékek halmaza, melyek az {x_{1}, x_{2}, … } halmaz véges részhalmazaira vannak koncentrálva, és minden pont mértéke racionális szám. Ez megszámlálható halmaz, ezért elég belátni, hogy M_{0} az M halmaz mindenütt sűrű részhalmaza. Ezt be lehet látni például az előző érvelés némi módosításával. Ez ugyanis mutatja, hogy tetszőleges μ ∈ M mértékhez és ε > 0 számhoz választhatunk olyan V_{1}, …, V_{N} particióját az X térnek és olyan η > 0 számot, melyre igaz, hogy ha egy ν ∈ M mérték teljesíti a |μ(V_{k})−ν(V_{k})| ≤ η feltételt minden k = 1, …, N-re akkor ez a ν mérték teljesíti a d(μ, ν) < ε relációt is. Mivel minden μ ∈ M esetén M_{0} tartalmaz ilyen ν mértéket ezért M_{0} az M halmaz mindenütt sűrű részhalmaza. Ha X teljes metrikus tér, akkor (X, d) is az. Elég belátni, hogy ha

lim_{n→∞} sup_{m: m≥n} d(μ_{n}, μ_{m}) = 0

akkor a μ_{n}, n = 1, 2, … sorozat, relative kompakt, azaz létezik gyengén konvergens részsorozata. Ehhez elég belátni, hogy tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan K ⊂ X kompakt halmaz, melyre μ_{n}(K) ≥ 1 − ε minden n indexre. Ezt a bizonyítandó állítást lehet gyengíteni a következő módon. Elegendő megmutatni azt, hogy tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan kompakt K = K(ε) halmaz, melynek K^{ε} ε sugarú környezete teljesíti a μ_{n}(K^{ε}) ≥ 1 − ε egyenlőtlenséget minden n = 1, 2, … -ra. Tekintsünk ugyanis ilyen K (ε2^{−m}) halmazokat, minden

m = 1, 2, … számra, és definiáljuk a K = ⋂_{m=1}^{∞}(K(ε2^{−m})^{ε2^{−m}} halmazt. Ekkor

μ_{n}(K) ≥ 1 − ∑_{m=1}^{∞} ε2^{−m} = 1 − ε. Ezért elég belátni, hogy a fenti K halmaz relative

kompakt, (azaz lezártja kompakt). Ennek érdekében idézzük fel azt az eredményt, mely szerint egy teljes szeparábilis tér A részhalmaza, akkor és csak akkor relative kompakt, ha minden δ > 0-ra létezik az A halmaznak véges δ hálója, azaz olyan véges halmaz, melyre tetszőleges x ∈ A pont távolsága e véges halmaz valamelyik pontjától kisebb mint δ. Ez a feltétel teljesül a fenti K halmazra, mert minden δ > 0-ra létezik olyan m szám, melyre δ > ε2^{−m}, ilyen m-re az K(ε2^{−m})^{ε2^{−m}} halmazban van véges δ háló, és ez véges δ háló a K halmazban is.

Ezt a gyengített feltételt beláthatjuk a következő módon. Egy rögzített ε > 0 számhoz válasszunk olyan n_{0} = n_{0}(ε) indexet, melyre d(μ_{n_{0}}, μ_{n}) ≤ \frac{ε}{4} minden n ≥ n_{0} számra, és legyen K_{0} ⊂ X olyan kompakt halmaz, melyre μ_{n_{0}}(K_{0}) ≥ 1 − \frac{ε}{4}. Ekkor μ_{n}(K_{0}^{ε/4}) ≥ μ_{n_{0}}(K_{0})− \frac{ε}{4} ≥ 1− \frac{ε}{2} minden n ≥ n_{0} számra. Válasszunk továbbá olyan K_{1} kompakt halmazt, melyre μ_{n}(K_{1}) ≥ 1 − \frac{ε}{2} minden n ≤ n_{0}-ra. Ekkor a K = K_{1} ∪ K_{0} halmaz kompakt, és μ_{n}(K^{ε}) ≥ 1 − ε minden n = 1, 2, … számra. Ugyanis μ_{n}(K^{ε}) ≥ μ_{n}(K_{0}^{ε/4} ≥ 1 − ε, ha n ≥ n_{0}, és μ_{n}(K^{ε}) ≥ μ_{n}(K_{1}) ≥ 1 − ε, ha n ≤ n_{0}. A második feladat állításait beláttuk.

3.) Létezik az X térnek olyan X_{1} = {A_{1}, A_{2}, … } particiója, melyre d̄(A_{j}) ≤ 1, és μ(∂A_{j}) = 0 minden j = 1, 2, … indexre. Itt d̄(A) az A halmaz átmérőjét, ∂A pedig az A halmaz határát jelöli. (Ennek az állításnak a bizonyítása az előző feladatban szereplő μ_{n} ⇒ μ akkor d(μ_{1}, μ_{2}) → 0 állítás bizonyításának elején megadott érvelésből következik.) A partició egyes elemeit továbbosztva meg lehet adni az X tér olyan egyre finomodó X_{1} ⊃ X_{2} ⊃ ⋯ X_{k} ⊃ ⋯ melyek A_{j_{1},...,j_{k}} ∈ X_{k} (A_{j_{1},...,j_{k}} ⊂ A_{j_{1},...,j_{k−1}}) elemeire d̄(A_{j_{1},...,j_{k}}) ≤ 2^{−k} és μ (∂(A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0. Definiáljuk a [0, 1) intervallumnak (a Lebesgue mértékkel ellátva) hasonló intervallumokból álló egymásba skatulyázott Y_{1} ⊃ Y_{2} ⊃ ⋯ Y_{k} ⊃ ⋯ particióit a következő módon. Legyen Y_{1} =

{B_{1}, …, B_{k}, … }, B_{k} = [b_{k−1}, b_{k}), b_{k} = ∑_{j=1}^{k} μ(A_{j}), k = 1, 2, …, és ha az Y_{k} partició

B_{j_{1},...,j_{k}} = [b_{j_{1},...,j_{k−1}}, b_{j_{1},...,j_{k}}), b_{j_{1},...,j_{k}} − b_{j_{1},...,j_{k−1}} = μ(A_{j_{1},...,j_{k}}) halmazait már definiáltuk, akkor az Y_{k+1} particióját definiáljuk úgy, hogy a B_{j_{1},...,j_{k}} intervallumot felosztjuk egymáshoz csatlakozó B_{j_{1},...,j_{k},s} = [b_{j_{1},...,j_{k},s−1}, b_{j_{1},...,j_{k},s}), μ (A_{j_{1},...,j_{k},s}) hosszúságú intervallumokra, és ez definiálja az Y_{K+1} particióját. Válasszunk ki minden k ≥ 1 számhoz, és A_{j_{1},...,j_{k}} halmazhoz egy x_{j_{1},...,j_{k}} ∈ A_{j_{1},...,j_{k}} pontot. Definiáljuk a ξ_{k}, k = 1, 2, …, X tér értékű valószínűségi változókat a ([0, 1), B, λ) valószínűségi mezőn a ξ_{k}(y) = x_{j_{1},...,j_{k}}, ha y ∈ B_{j_{1},...,j_{k}} képlet segítségével. Azt állítjuk, hogy létezik a ξ(y) = lim_{k→∞} ξ_{k}(y), y ∈ [0, 1) valószínűségi változó, és ξ eloszlása μ. A fenti limesz valóban létezik, mert minden y ∈ [0, 1) ponthoz ki lehet választani egyértelműen olyan egymásba skatulyázott B_{j_{1},...,j_{k}} intervallumokat, melyekre y ∈ B_{j_{1},...,j_{k}}, és ebből következik, hogy a ξ_{k}(y) ∈ A_{j_{1},...,j_{k}} pontok Cauchy sorozatot alkotnak. Ahhoz, hogy belássuk azt, hogy a ξ valószínűségi változó μ eloszlású elég megmutatni azt, hogy P (ξ ∈ A_{j_{1},...,j_{k}}) = μ (A_{j_{1},...,j_{k}}) minden k = 1, 2, … számra és A_{j_{1},...,j_{k}} halmazra. A ξ valószínűségi változó konstrukciójából következik, hogy y ∈ B_{j_{1},...,j_{k}} esetén ξ(y) ∈ Ā_{j_{1},...,j_{k}}, ahol Ā az A halmaz lezártját jelöli. Először azt mutatjuk meg, hogy ebből a tényből és a később bizonyítandó

P (ξ(y) ∈ ∂A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0 minden k = 1, 2, … számra és j_{1}, …, j_{k} indexre. (∗)

állításból következik az, hogy ξ μ eloszlású. Valóban, innen következik, hogy

P (ξ(y) ∈ A_{j_{1},...,j_{k}}) ≥ P (ξ(y) ∈ Ā_{j_{1},...,j_{k}}) − P (ξ(y) ∈ ∂A_{j_{1},...,j_{k}})
≥ λ (B_{j_{1},...,j_{k}}) = μ (A_{j_{1},...,j_{k}}) ,

és ezeket az egyenlőtlenségeket összegezve kapjuk, hogy

1 = ∑_{j_{1},...,j_{k}} P (ξ(y) ∈ A_{j_{1},...,j_{k}}) ≥ ∑_{j_{1},...,j_{k}} μ (A_{j_{1},...,j_{k}}) = 1

Innen következik, hogy a fenti egyenlőtlenségek valójában azonosságok, ezért a ξ valószínűségi változó μ eloszlású. A (∗) állítás bizonyításához vegyük észre, hogy mivel μ(∂A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0 minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám, melyre a ∂A_{j_{1},...,j_{k}} halmaz δ sugarú (∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ} környezetére μ ((∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ}) < ε. Válasszunk egy olyan nagy s számot, melyre d̄(A_{j′_{1},...,j′_{s}}) < \frac{δ}{2} minden A_{j′_{1},...,j′_{s}} halmazra. Mivel ρ(ξ_{s}(y), ξ(y)) ≤

max_{j_{1},...,j_{k}} d̄(A_{j_{1},...,j_{k}}) ezért a ξ(y) ∈ ∂A_{j_{1},...,j_{k}} esetén ρ (ξ_{s}(y), ∂A_{j_{1},...,j_{k}}) < \frac{δ}{2}. Innen

kapjuk, hogy ξ(y) ∈ ∂A_{j_{1},...,j_{k}} esetén y ∈ B_{j′_{1},...,j′_{s}} olyan j′_{1}, …, j′_{s} indexekkel, melyre ρ (A_{j′_{1},...,j′_{s}}, ∂A_{j_{1},...,j_{k}}) < \frac{δ}{2}, ezért A_{j′_{1},...,j′_{s}} ⊂ (∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ}. Innen kapjuk, hogy

λ {y: ξ(y) ∈ ∂A_{j_{1},...,j_{k}}} ≤ ∑_{(j′_{1},...,j′_{s}) : A_{j′_{1},...,j′_{s}} ⊂(∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ}} λ (B_{j′_{1},...,j′_{s}})

= ∑_{(j′_{1},...,j′_{s}) : A_{j′_{1},...,j′_{s}} ⊂(∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ}} μ (A_{j′_{1},...,j′_{s}}) ≤ μ ((∂A_{j_{1},...,j_{k}})^{δ}) ≤ ε.

Mivel ez az egyenlőtlenség minden ε > 0-ra igaz, innen következik a (∗) reláció és a 3. feladat állítása.

4.) Tekintsük a μ_{n}, n = 1, 2, …, illetve μ eloszlású ξ valószínűségi változóknak a 3. feladat megoldásában megadott konstrukcióját mindegyik mérték konstrukciójában ugyanazt az X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ ⋯ particiósorozatot használva. Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben azt kell biztosítani, hogy a μ(∂A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0 feltételek mellett a μ_{n}(∂A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0 feltételek is teljesüljenek minden n = 1, 2, … indexre. Azt állítjuk, hogy a μ_{n} ⇒ μ relációból következik, hogy ξ_{n} → ξ egy valószínűséggel a fenti konstrukció valószínűségi változóira. Vegyük észre, hogy lim_{n→∞} μ_{n}(A_{j_{1},...,j_{k}}) = μ(A_{j_{1},...,j_{k}}) minden j_{1}, …, j_{k}-ra, mert ezen halmazok határára 0 μ-mértékűek. Innen, illetve a konstrukcióból az is következik, hogy b_{j_{1},...,j_{k}}(n) → b_{j_{1},...,j_{k}} n → ∞ esetén, ahol b_{j_{1},...,j_{k}}(n) jelöli a ξ_{n} valószínűségi változók konstrukciójában szereplő B_{j_{1},...,j_{k}}(n) intervallum jobboldali végpontját. Rögzített ε > 0 számra válasszunk olyan k számot, melyre 2^{−k} < ε. Ekkor az A_{j_{1},...,j_{k}} halmazok átmérője kisebb mint ε. Válasszunk egy a {j_{1}, …, j_{k}} szám

k-asokból álló véges D_{k} halmazt, melyre ∑_{(j_{1},...,j_{k}) : (j_{1},...,j_{k})∈D_{k}} μ(A_{j_{1},...,j_{k}}) > 1 − \frac{ε}{2}.

Ekkor létezik olyan n_{0} = n_{0}(ε) index úgy, hogy a

B(ε) = ⋃_{(j_{1},...,j_{k})∈D_{k}} ⋃_{n≥n_{0}}(B_{j_{1},...,j_{k}} △ B_{j_{1},...,j_{k}}(n))

halmazra λ(B(ε)) < \frac{ε}{2}, ahol A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) egy A és B halmaz szimmetrikus differenciáját jelöli. Ekkor a B_{1}(ε) = ⋃_{(j_{1},...,j_{k})∈D_{k}}(B_{j_{1},...,j_{k}} \ B(ε)

halmazra λ(B_{1}(ε)) > 1 − ε. A B_{2} = B_{1} ∩ Y_{0} ∩ ⋂_{n=1}^{∞} Y_{0,n}, ahol Y_{0,n} = [0, 1) \

⋃_{k=1}^{∞} ⋃_{j_{1},...,j_{k}}{b_{j_{1},...,j_{k}}(n)} szintén teljesíti a λ(B_{2}(ε)) > 1 − ε relációt. Továbbá n >

n_{0} és y ∈ B_{2}(ε) esetén ρ(ξ_{n}(y), ξ(y) ≤ ε, mert ebben az esetben ξ_{n}(y) és ξ(y) ugyanannak az A_{j_{1},...,j_{k}} halmaznak a lezártjában van. Innen következik, hogy

λ (lim sup_{n→∞} |ξ_{n} − ξ| ≥ ε) < ε.

Mivel ez a reláció érvényes minden ε > 0-ra innen következik a feladat állítása. 5.) Legyen X̄ = X × [0, 1], és definiáljuk az (Ω, A) mértékteret mint Ω = X̄ × X ×

⋯ × X × ⋯, A az X̄ illetve X tereken értelmezett σ-algebrák szorzat σ-algebrája. Az ω = (x, u, x_{1}, x_{2}, …) ∈ Ω pontban definiáljuk a ξ és ξ_{n} valószínűségi változókat a ξ(ω) = x, ξ_{n}(ω) = x_{n}, n = 1, 2, … formulákkal. A P mérték definicióját az X̄ téren bevezetett μ̄ = μ×λ mérték segítségével és alkalmasan definiált Q_{n}((x, u), A), (x, u) ∈ X̄ = X × [0, 1], A ⊂ X az X halmaz mérhető részhalmaza, feltételes valószínűségi mértékek segítségével definiáljuk úgy, hogy az x_{n} koordináta feltételes eloszlása rögzített (x, u) ∈ X̄ feltétel mellett Q_{n}((x, u), ·) legyen, és az x_{n} koordináták rögzített (x, u) ∈ X̄ feltétel mellett legyenek feltételesen függetlenek. (Az, hogy Q_{n}((x, u), A) feltételes valószínűségi mérték azt jelenti, hogy Q_{n}((x, u), ·) valószínűségi mérték az (X, A) téren minden (x, u) ∈ X̄ pontra, és Q_{n}(·, A) mérhető függvény minden A ∈ A halmazra.) Formálisan megfogalmazva, legyen

P (A × A_{1} × ⋯ × A_{n}) = ∫_{(x,u)∈A} Q_{1}((x, u), A_{1}) … Q_{n}((x, u), A_{n})) dμ(x) du
minden A ∈ X̄, A_{j} ∈ X, j = 1, …, n halmazra.

(A mértékelmélet nem triviális eredményeiből következik, hogy az ily módon definiált P illetve annak kiterjesztése valóban valószínűségi mértéket határoz meg. Érdemes megjegyezni, hogy ez a tény olyan eredményből következik (Tulcea–Ionescu tétel), mely nem használja a tér topológiai tulajdonságait, ezért használható nem szeparábilis metrikus terekben is.) Minden k = 1, 2, …, számra definiáljuk az X tér olyan A_{k} = {A_{1,k}, A_{2,k}, … } particióját, melyre d̄(A_{j,k}) < \frac{1}{k} és μ (∂A_{j,k}) = 0, j = 1, 2, …, ahol d̄(A) jelöli az A halmaz átmérőjét ∂A pedig a határát. Minden k = 1, 2, … -ra definiáljunk

egy olyan m(k) indexet, melyre μ ( ⋃_{j≥m(k)} A_{j,k}) ≤ \frac{1}{k^{2}} és μ(A_{j,k}) > 0 minden

1 ≤ j ≤ m(k)-ra. (Ez utóbbi feltétel teljesítése érdekében esetleg átindexelhetjük az A_{j,k} halmazokat.) Ezután tekintsünk egy olyan 1 = n_{1} < n_{2} < n_{3} < ⋯ számsorozatot, melyre teljesül, hogy

|μ_{n}(A_{j,k}) − μ(A_{j,k})| < \frac{μ(A_{j,k})}{k^{2}m(k)}, minden 1 ≤ j < m(k) és n_{k} ≤ n < n_{k+1}számra.

Ez lehetséges, mert lim_{n→∞} μ_{n}(A_{j,k}) = μ(A_{j,k}) minden k és j számra a μ(∂A_{j,k}) = 0 reláció miatt. Vezessük be a

λ_{j,k,n} = \frac{min (μ(A_{j,k}), μ_{n}(A_{j,k}))}{μ(A_{j,k})}, n_{k} ≤ n < n_{k+1}, j < m(k)

számokat. Nyílván 1 − \frac{1}{k^{2}} ≤ λ_{j,k,n} ≤ 1. Definiáljuk a Q_{n}((x, u), ·) feltételes eloszlásokat először csak bizonyos feltételeket kielégítő (x, u) ∈ X̄ és n párokra. Legyen

Q_{n}((x, u), C) = \frac{μ_{n}(C ∩ A_{j,k})}{μ_{n}(A_{j,k})}, ha n_{k} ≤ n < n_{k+1}, x ∈ A_{j,k}, 1 ≤ j < m(k),
és 0 ≤ u ≤ λ_{j,k,n} minden C ∈ A halmazra.

A még nem tekintett tartományon úgy akarjuk definiálni a Q_{n}(·, ·) feltételes eloszlásokat, hogy a P mérték vetülete az n-ik koordinátára μ_{n} legyen. Ennek érdekében vezessük be a

P_{n} = (1 − ∑_{j=1}^{m(k)−1} min [μ_{n}(A_{j,k}), μ(A_{j,k})]) , n_{k} ≤ n < n_{k+1}

számokat, (ez a szám X̄ = X × [0, 1] halmaz azon részének a μ mértéke, ahol még nem definiáltuk a Q_{n}(·, ·) feltételes eloszlást)) és a következő μ̄_{n} valószínűségi mértéket az X téren:

μ̄_{n}(C) = \frac{1}{P_{n}} [μ_{n}(C) − ∑_{j=1}^{m(k)−1} min [μ_{n}(A_{j,k}), μ(A_{j,k})] \frac{μ_{n}(C ∩ A_{j,k})}{μ_{n}(A_{j,k})}] , C ∈ A,

és legyen

Q_{n}((x, u), C) = μ̄_{n}(C), ha C ∈ A, n_{k} ≤ n < n_{k+1},
és x ∈ A_{j,k}, j ≥ m(k) vagy x ∈ A_{j,k}, j < m(k)és λ_{j,k,n} < u ≤ 1.

Azt állítjuk, hogy

∫ Q_{n}((x, u), C)μ( dx) du = μ_{n}(C), C ∈ A.  (+)

Valóban, ha n_{k} ≤ n < n_{k+1}, akkor 1 ≤ j < m(k) és C ∈ A esetén

∫ Q_{n}((x, u), C ∩ A_{j,k})μ( dx) du = μ(A_{j,k})λ_{j,k,n} \frac{μ_{n}(C ∩ A_{j,k})}{μ_{n}(A_{j,k})} + μ_{n}(C ∩ A_{j,k})

− min (μ(A_{j,k}), μ(A_{j,k})) \frac{μ_{n}(C ∩ A_{j,k})}{μ_{n}(A_{j,k})} = μ_{n}(C ∩ A_{j,k}).

Másrészt legyen B_{k} = X \ ( ⋃_{j=1}^{m(k)−1} A_{j,k}). Ekkor az {A_{j,k}, 1 ≤ j < m(k), B_{k}}

halmazrendszer az X tér egy particióját adja. Speciálisan, A_{j,k} ∩ B_{k} = ∅ minden 1 ≤ j < m(k)-ra.

∫ Q_{n}((x, u), C ∩ B_{k})μ( dx) du = μ_{n}(C ∩ B_{k}).

Ezeket az azonosságokat összeadva kapjuk a (+) relációt, ami azt jelenti, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlása az előírt μ_{n} mérték minden n = 1, 2, … számra.

Másrészt, P ( sup_{n_{k}≤n<n_{k+1}} ρ(ξ_{n}, ξ) ≥ \frac{1}{k} | ξ̄ = (x, u)) = 0, ha (x, u) ∉ X_{1}(k) ⊂ X̄,

ahol ξ̄(x, u, x_{1}, x_{2}, …) = (x, u) és

X_{1}(k) = B_{k} × [0, 1] ∪ ⋃_{j=1}^{m(k)−1} {(x, u): x ∈ A_{j,k}, inf_{n_{k}≤n<n_{k+1}} λ_{j,k,n} ≤ u ≤ 1} .

Ezért

P ( sup_{n_{k}≤n<n_{k}} ρ(ξ_{n}, ξ) > \frac{1}{k} ) ≤ μ × λ(X_{1}(k))

= ∑_{j=1}^{m(k)} (1 − min_{n_{k}≤n<n_{k+1}} λ_{j,k,n}) μ(A_{j,k}) + μ(B_{k}) ≤ \frac{2}{k^{2}} .

Mivel

∑_{k=1}^{∞} P ( sup_{n_{k}≤n<n_{k}} ρ(ξ_{n}, ξ) > \frac{1}{k} ) ≤ ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k^{2}} < ∞

a Borel–Cantelli lemmából következik, hogy ξ_{n} → ξ egy valószínűséggel, ha n → ∞. 6.) Legyen F tetszőleges zárt halmaz. Mivel F = ⋂_{δ→0} F^{δ} = F, ahol F^{δ} jelöli az F

halmaz δ sugarú nyílt környezetét, ezért tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, hogy μ(F^{δ}) < μ(F) + ε. Mivel ξ_{n} ⇒ ξ sztochasztikusan, ezért minden δ > 0hoz és ε > 0-hoz létezik olyan n_{0} = n_{0}(ε, δ) index, hogy P (ρ(ξ, ξ_{n}) > δ) < ε. Továbbá {ω: ξ(ω) ∉ F^{δ}} ⊂ {ω: ξ_{n}(ω) ∉ F } ∪ {ω: ρ(ξ_{n}(ω), ξ(ω)) > δ}, ezért 1 − μ(F^{δ}) ≤ 1 − μ_{n}(F) + ε, és μ(F) + ε ≥ μ(F^{δ}) ≥ μ_{n}(F) − ε, ha n ≥ n_{0}. Innen lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F) + 2ε. Mivel ez minden ε > 0-ra igaz, kapjuk, hogy

lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F) minden zárt F halmazra, azaz μ_{n} ⇒ μ.

7.) Annak bizonyításához, hogy ξ = F^{−1}(η) F eloszlású, elég azt megmutatni, hogy

{ω: η(ω) < F (x)} ⊂ {ω: F^{−1}(η)(ω) < x} ⊂ {ω: η(ω) ≤ F (x)}.

A jobboldali tartalmazás igaz, mert ha F^{−1}(η)(ω) < x akkor létezik olyan h > 0 szám, melyre F^{−1}(η)(ω) = sup{u: F (u) < η(ω)} < x−h. Ebből viszont következik, hogy η(ω) ≤ F (x). Ha ugyanis F (x) < η(ω) volna, akkor az x szám is szerepelne azon u számok között, melyek szuprémuma meghatározza F^{−1}(η)-t, és ez ellentmond az F^{−1}(η)(ω) < x − h egyenlőtlenségnek. A baloldali tartalmazás bizonyításához vegyük észre, hogy η(ω) < F (x) esetén η(ω) = F (x) − h, és F^{−1}(η(ω)) = F^{−1}(F (x) − h)) = sup{v: F (v) < F (x) − h} alkalmas h > 0 számmal. Viszont sup{v: F (v) < F (x) − h} < x, mert F (x) balról folytonos függvény, így F (v) < F (x) − h-ból következik, hogy létezik olyan δ = δ(h) > 0 szám, melyre v < x−δ, tehát F^{−1}(η(ω)) = sup{v: F (v) < F (x)−h} ≤ x − δ < x. Tehát a baloldali tartalmazás is érvényes. Annak bizonyítása érdekében, hogy F̃(ξ, ε) egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumban, minden x valós számra definiáljuk a z(x) = sup{y: F (y) < x} számot. Mivel az F eloszlásfüggvény balról folytonos, ezért F (z) ≥ x. Vizsgáljuk külön az F (z) = x és F (z) < x eseteket. Ha F (z) = x, akkor F (u + 0) < x minden u < z számra, és {ω: F̃(ξ(ω), ε(ω)) < x} = {ω: ξ(ω) < z}. Ezért P (F̃(ξ, ε) < x) = P (ξ < z) = F (z) = x. Ha F (z) < x, akkor F (z + 0) ≥ x, és

{ω: F̃(ξ(ω, ε(ω)) < x}
= {ω: ξ(ω) < z} ∪ {ω: ξ(ω) = z, F (z) + ε(ω)[F (z + 0) − F (z)] < x}.

Ezért

P (F̃(ξ, ε) < x) = P (ξ < z) + P (ξ(ω) = z)P (ε(ω)[F (z + 0) − F (z)] < x)

= F (z) + [F (z + 0) − F (z)]\frac{x − F (z)}{F (z + 0) − F (z)} = x.

Innen következik a feladat második állítása. 8.) Az előző feladat eredményeiből közvetlenül következik, hogy a ξ̄ valószínűségi vál-

tozó F, η̄ pedig G eloszlású. Továbbá F̃(¯ξ̄, ε) egyenletes ¯ η̄ pedig G eloszlású valószínűségi változók. Annak érdekében, hogy megmutassuk azt hogy a (ξ̄, η̄) és (¯ξ̄, ¯ η̄ vektorok eloszlása megegyezik, elég megmutatni, hogy F^{−1}(F̃(¯ξ̄, ε)) = ¯ ξ̄ egy valószínűséggel, mert ez azt jelenti, hogy mind a két véletlen vektor előállítható, (0 mértékű halmaz figyelmen kívül hagyásával) mint egy a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó transzformáltja, (mind a két koordináta ugyanannak a valószínűségi változónak a transzformáltja) és mind a két vektor előállításában ugyanazt a transzformációt alkalmazzuk. Sőt ezt a bizonyítandó állítást tovább lehet gyengíteni. Elég megmutatni azt, hogy P (F^{−1}(F̃(¯ξ̄, ε)) ≤ ¯ ξ̄) = 1, mert ha két azonos eloszlású valószínűségi változó közül az egyik egy valószínűséggel nagyobb a másiknál, akkor ezek a változók egy valószínűséggel megegyeznek. Lássuk be ezt az állítást. Ha ¯ ξ̄(ω) = x, akkor

F^{−1}(F̃(¯ξ̄(ω), ε(ω))) = sup{u: F (u) < F̃(x, ε(ω))},

és mivel F (v) ≥ F̃(x, ε(ω)) ha v > x, innen következik, hogy (F^{−1}(F̃(¯ξ̄(ω), ε(ω))) ≤ x = ¯ ξ̄(ω).

9.) Jegyezzük meg, hogy amennyiben a ξ = F^{−1}(ζ), η = G^{−1}(ζ), egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó fenti transzformáltjai, azaz a kvantilis transzformációt alkalmazzuk, akkor a feladatban szereplő egyenlőtlenség két oldala egyenlő. A bizonyítandó egyenlőtlenséget bizonyítsuk be először abban a speciális esetben, amikor a ξ és η valószínűségi változók eloszlása a számegyenes egy véges X = {x_{1}, …, x_{n}}, x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}, részhalmazába van koncentrálva. Legyen p_{j} = P (ξ = x_{j}), q_{k} = P (η = x_{k}), r(x_{j}, y_{k}) = P (ξ = x_{j}, η = x_{k}), 1 ≤ j, k ≤ n. Vezessük be a

r(x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k}) = min (r(x_{j}, y_{k}), r(x_{k}, y_{j})) ,
r = max_{\begin{matrix}\{x_{j},x_{k},y_{j},y_{k}\}∈X×X×X×X \\ x_{j}<x_{k}, y_{j}<y_{k} \end{matrix}} r(x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k})

mennyiségeket. Vegyük észre, hogy ha a (ξ, η) vektort a kvantilis transzformáció segítségével definiáljuk, akkor a fent definiált r számra r = 0. Továbbá, az r = 0 feltétel és a ξ változó F illetve az η változó G eloszlása meghatározza a (ξ, η) vektor együttes eloszlását is. Valóban, feltehetjük az általánosság megszorítása nélkül, hogy az (Ω, A, P) ahol a (ξ, η) vektor definiálva van, tér Ω = X × X a diszkrét topológia által meghatározott A σ-algebrával, ξ(x_{j}, x_{k}) = x_{j} η(x_{j}, x_{k}) = x_{k}, 1 ≤ j, k ≤ n. Ekkor a kívánt tulajdonságú P mérték reprezentálható egy olyan szállítási probléma megoldásával, ahol az x_{j} pontban levő p_{j} tömegeket át kell szállítani úgy, hogy az x_{k} pontba q_{k} tömeget szállítunk, és ekkor r(x_{j}, x_{k}) = P (ξ = x_{j}, η = x_{k}) az x_{j} pontból az x_{k} pontba szállított tömeg. Ekkor az r = 0 feltételt kielégítő szállítás olyan, hogy az x_{1} pontban levő p_{1} tömeget először az x_{1} pontba majd, ha még maradt tömeg az x_{1} pontban akkor az x_{2} majd x_{3} pontokba szállítjuk és így tovább, majd az x_{2} pontból a legkisebb indexű még nem teljesen betöltött pontba szállítunk, utána az azt következőbe és így tovább. Ugyanezt tesszük ezután az x_{3}, x_{4} pontokban levő tömegekkel és így tovább. Azt állítjuk, hogy

min_{ξ eloszlása F η eloszlása G} EΦ(ξ, η) = EΦ(ξ̄, η̄),  (b)

ahol ξ̄, η̄ egy F és G marginális eloszlással rendelkező véletlen vektor, melyre r = 0.

Valóban, ha a (ξ, η) eloszlása olyan, hogy r ≠ 0, akkor létezik olyan (x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k}) számnégyes, melyre r̄ = r(x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k}) = min (r(x_{j}, y_{k}), r(x_{k}, y_{j})) > 0. Bevezetünk egy új r̄(x_{j}, x_{k}), 1 ≤ j, k ≤ n együttes eloszlásokat, úgy hogy egy ezekkel az eloszlásokkal meghatározott (ξ̄, η̄) véletlen vektor marginális eloszlásai F és G, továbbá EΦ(ξ, η) ≤ EΦ(ξ̃, η̃), és amennyiben Φ szigorúan konvex függvény, akkor szigorú egyenlőtlenség érvényes. Ezeket a valószínűségeket a következőképpen definiáljuk.

r̄(x_{j}, y_{j}) = r(x_{j}, y_{j}) + r̄
r̄(x_{k}, y_{k}) = r(x_{k}, y_{k}) + r̄
r̄(x_{j}, y_{k}) = r(x_{j}, y_{k}) − r̄
r̄(x_{k}, y_{j}) = r(x_{k}, y_{j}) − r̄
r̄(x, y) = r(x, y) egyébként.

Ekkor a (ξ̄, η̄) véletlen vektor marginális eloszlásai az előírtak, és

EΦ(ξ̃− η̃) − EΦ(ξ − η) = r̄(Φ(x_{j} − y_{j}) + Φ(x_{k} − y_{k}) − Φ(x_{j} − y_{k}) − Φ(x_{k} − y_{j})) .

Ez a kifejezés nem negatív, és szigorúan pozitív, ha Φ(·) szigorúan konvex. Ugyanis

x_{j} − y_{k} < \begin{matrix}x_{j} − y_{j} \\ x_{k} − y_{k} \end{matrix} < x_{k} − y_{j},

és ezért a Φ függvény konvexitása miatt

Φ(x_{j} − y_{j}) + Φ(x_{k} − y_{k}) ≤ Φ(x_{j} − y_{k}) + Φ(x_{k} − y_{j}),

(felhasználjuk azt is, hogy (x_{j} − y_{j}) + (x_{k} − y_{k}) = (x_{j} − y_{k}) + (x_{k} − y_{j})) és szigorú egyenlőtlenség érvényes akkor, ha Φ szigorúan monoton függvény. Belátjuk ennek a relációnak a segítségével a (b) formulát. A fenti módszerrel, amennyiben r ≠ 0, akkor olyan új a marginális eloszlásokra tett feltételeknek eleget tevő olyan új (ξ, η) véletlen vektor tudunk definiálni, melyre EΦ(ξ, η) nem nő, sőt amennyiben a Φ függvény szigorúan konvex, (például Φ(x) = x^{2}) akkor ez a várható érték szigorúan monoton csökken. Továbbá minden egyes lépésben azon (x_{j}, y_{j}, x_{k}, y_{k}) négyesek halmaza, melyekre r̄ = r(x_{j}, x_{k}, y_{j}, y_{k}) = min (r(x_{j}, y_{k}), r(x_{k}, y_{j})) > 0 változik. Ezért véges sok lépésben eljutunk ahhoz az együttes eloszláshoz, melyre r = 0, és ez az eloszlás a Φ függvény esetén minimumot egy szigorúan konvex függvény esetén pedig szigorú minimumot szolgáltat. Ha F és G két olyan eloszlásfüggvény, mely véges intervallumra van koncentrálva, akkor ezeket az eloszlásokat érdemes az F_{n}(x) = F (\frac{[nx]}{n}) és G_{n}(x) = G (\frac{[nx]}{n}) eloszlásokkal közelíteni. Pontosabban egy F (x) és G(y) marginális eloszlásokkal rendelkező H(x, y) két-dimenziós eloszlást érdemes a H_{n}(x, y) = H (\frac{[nx]}{n}, \frac{[ny]}{n}) eloszlással közelíteteni, ahol [u] az u szám egész részét jelöli. Alkalmazva az állítást a már bebizonyított esetben és n-nel végtelenhez tartva megkapjuk az állítás bizonyítását az adott esetben. Az általános eset hasonlóan visszavezethető az utóbbi esetre alkalmas határátmenet segítségével, ha a valószínűségi változókat csonkítjuk valamely ±u szinten. Ezen a csonkításon azt értjük, hogy ha a (ξ, η) vektor a [−u, u] × [−u, u] négyzeten kívül veszi fel az értékét akkor a csonkított változó értéke az origó. Azután végrehajtva az u → ∞ határátmenetet bebizonyíthatjuk a kívánt eredményt az általános esetben. Megjegyezzük, hogy a Φ függvény konvexitásából következik, hogy Φ(x) ≥ Ax + B minden x valós számra, alkalmas A és B konstansokkal, ezért EΦ(ξ − η) ≥ −|A|E(|ξ| + |η| − |B| > −∞ a feladat feltételeinek teljesülése esetén. Érdemes megjegyezni, hogy alkalmas lineáris függvényt hozzáadva a Φ(x) függvényhez redukálhatjuk a problémát arra az esetre, amikor Φ(x) ≥ 0 minden x számra, és Φ(0) = 0. Ugyancsak feltehetjük, hogy EΦ(ξ − η) < ∞. Ezek az észrevételek segíthetik a határátmenet végrehajtását. A bizonyítandó egyenlőtlenség baloldalán alkalmazhatjuk a mononoton konvergencia tételt a jobboldalán pedig a Fatou lemmát. A részletek kidolgozását elhagyjuk.

10.) Legyen γ a μ illetve ν mérték vetülete az X_{2} térre. Legyen továbbá P (x, A) az (X_{1}×X_{2}, A_{1}×A_{2}, μ) téren az A×X_{2} alakú mérhető részhalmazok feltételes eloszlása előírt x ∈ X_{2}, Q(x, C) pedig az (X_{2} ×X_{3}, A_{2} ×A_{3}, ν) téren az X ×C alakú mérhető részhalmazok feltételes eloszlása előírt x ∈ X_{2} értékek szerint. Azaz legyen μ(A × B) = ∫_{B} P (x, A)γ( dx) minden A ∈ A halmazra, és ν(B × C) = ∫_{B} P (x, C)γ( dx) minden C ∈ A_{3} halmazra. (Ilyen feltételes eloszlások léteznek teljes szeparábilis metrikus tereken.) Definiáljuk az A × B × C alakú mérhető halmazok mértékét az X_{1} × X_{2} × X_{3} téren P (A × B × C) = ∫_{B} P (x, A)Q(x, C)γ( dx) képlet segítségével. Ezt a mértéket kiterjeszthetjük az (X_{1} × X_{2} × X_{3}, A_{1} × A_{2} × A_{3}) térre. és ez a mérték teljesíti a kívánt feltételeket.

11.) Legyen P (x, A), x ∈ X, A az X halmaz mérhető részhalmaza, a ν mérték második koordinátájának feltételes eloszlása feltéve az első koordinátát, azaz legyen P (x, ·) valószínűségi mérték az X halmaz mérhető részhalmazain minden x ∈ X pontra, P (·, A) mérhető függvény minden mérhető A ⊂ X halmazra, és ν(A × B) = ∫_{A} P (x, B)μ( dx) minden mérhető A ⊂ X és B ⊂ X halmazra. A valószínűségszámítás (mértékelmélet) egyik eredménye szerint ilyen feltételes eloszlás létezik.

Tekintsük a (Q, B, λ) valószínűségi mezőt, ahol Q = [0, 1], B a Borel σ-algebra a [0, 1] intervallumon, és λ a Lebesgue mérték a [0, 1] σ-algebrán. Azt állítjuk, hogy meg lehet konstruálni ζ(x, u), u ∈ Q = [0, 1], x ∈ X valószínűségi változóknak az x ∈ X paraméterrel indexezett halmaza a (Q, B, λ) valószínűségi mezőn úgy, hogy ζ(x, ·) P (x, ·) eloszlású valószínűségi változó minden x ∈ X pontra, ahol P (x, A) az előző paragrafusban definiált feltételes eloszlás, és ζ(·, u) mérhető függvény az (X, ρ) téren minden u ∈ [0, 1] számra. Valójában egy ennél kissé gyengébb állátást látunk be. Csak annyit állítunk, hogy a ζ(x, ·) valószínűségi változó eloszlása P (x, ·) mérték a μ mérték szerint majdnem minden x-re. Ez viszont nem jelent valódi megszorítást, mert a P (x, ·) mértékeket egy az x pontoknak egy μ mérték szerint null mértékű halmazán megváltoztatva ismét feltételes eloszlást kapunk.

A fenti állítás bizonyítását megkapjuk a 3. feladatban megadott konstrukció természetes adaptációjának segítségével. Ott megadtunk egy lehetőséget arra, hogy hogyan lehet tetszőleges α valószínűségi mérték esetén α eloszlású valószínűségi változót konstruálni a (Q, B, λ) valószínűségi mezőn. Azt kell ellenőriznümk, hogy ezt a konstrukciót alkalmazva olyan μ = P (x, ·) eloszlású ζ(x, u) valószínűségi változókat konstruálhatunk szimultán módon minden x ∈ X pontra, melyekre a ζ(·, u függvények (X, ρ) mérhetőek minden u ∈ [0, 1[ pontra. Az egyetlen változtatás, melyet a 3. feladatban leírt konstrukcióhoz képest teszünk abban áll, hogy a konstukcióban felhasznált partició A_{j_{1},...,j_{k}} határára a μ(∂A_{j_{1},...,j_{k}}) = 0 feltétel teljesül. Ekkor viszont a feltételes eloszlás tulajdonságai miatt a P (x, (∂A_{j_{1},...,j_{k}})) = 0 reláció is teljesül μ majdnem minden x pontra a particiókban szerepllő összes (megszámlálható sok) A_{j_{1},...,j_{k}} halmazra. Alkalmazzuk a 3. feladatban leírt konstrukciót mindegyik olyan x pontra, mely teljesíti, hogy a P (x, ·) mérték szerint a fenti particiók elemei null-mértékűek. A kivételes null-mértékű (a μ mérték szerint) halmazon legyen ζ(x, u) = x_{0}, ahol x_{0} egy rögzített az x ponttól független pont. Az így konstruált valószínűségi változók teljesítik a kívánt tulajdonságokat. Legyen η(ω) = ζ(ξ(ω), χ(ω)) a fent konstruált ζ(x, u) változók segítségével. Azt állítjuk, hogy ez az η változó teljesíti a feladat feltételeit, azaz P (ξ(ω) ∈ A, η(ω) ∈ B) = ν(A × B) minden mérhető A ⊂ X és B ⊂ X halmazokra. Viszont mivel a (χ(ω), ξ(ω)) vektor eloszlása dv μ(dx) a [0, 1] × X téren, ezért

P (ξ(ω) ∈ A, η(ω) ∈ B) = ∫ (∫ I (x ∈ A, ζ(x, v) ∈ B) dv) μ( dx)
= ∫ I(x ∈ A)P (x, B)μ( dx) = ∫_{A} P (x, B)μ( dx) = ν(A × B),

ahol I(C) a C halmaz indikátorfüggvénye. Innen következik a feladat állítása. 12.) Létezik a μ és ν mértékeknek a következő tipusú felbontása. μ = γ + μ_{1}, ν =

γ + ν_{1}, ahol a γ mérték a μ és ν mértékek “közös része”, a μ_{1} és ν_{1} mértékek pedig szingulárisak. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan C ∈ A halmaz, melyre a μ_{1} mérték a C a ν_{1} mérték pedig az X \ C halmazra van koncentrálva, azaz μ_{1}(X \ C) = 0, és ν_{1}(C) = 0. Valóban, tekintsünk egy a μ és ν mértéket domináló mértéket (például választhatjuk a \frac{μ+ν}{2} mértéket,) legyen f(x) a μ és g(x) a ν mérték sűrűségfüggvénye e domináló mérték szerint. Ekkor legyen γ a min(f(x), g(x)), μ_{1} az f(x)−min(f(x), g(x)) és ν_{1} a g(x)−min(f(x), g(x)) sűrűségfüggvénnyel definiált mérték e domináló mérték szerint. Végül legyen C a C = {x: f(x) ≥ g(x)} halmaz. Ez a felbontás teljesíti a kívánt tulajdonságokat, továbbá μ(A)−ν(A) ≤ μ(C)−ν(C) minden A ∈ A halmazra. Vegyük észre, hogy μ(C) − ν(C) = μ(C) − γ(C) = μ_{1}(C) = μ_{1}(X) = 1 − γ(X), ahonnan sup_{A∈A} (μ(A) − ν(A)) = 1 − γ(X). Hasonlóan

becsülhetőek a ν(A) − μ(A) alakú mennyiségek. Ezért Var (μ, ν) = sup_{A∈A} |μ(A) −

ν(A)| = 1 − γ(X). Ha ξ és η μ illetve ν eloszlású valószínűségi változók, akkor

P (ξ ≠ η) ≥ P ({ξ ∈ C} ∩ {η ∉ C}) ≥ μ(C) − ν(C) = Var (μ, ν).

Annak érdekében, hogy olyan konstrukciót készítsünk, melyben a fenti egyenlőtlenség két oldala megegyezik, definiáljuk a következő (Ω, B, P) valószínűségi mezőt. Legyen Ω = X ∪ (X × X), és B a természtes σ-algebra Ω-n, amelyiknek a megszorítása az X halmazra A, az X × X halmazra pedig A × A. Definiáljuk a P mértéket a következő módon: A P mérték megszorítása az X halmazra legyen γ, az X × X halmazra pedig D(μ_{1} × ν_{1}), ahol D^{−1} = μ_{1}(X) = ν_{1}(X), azaz D a természetes normáló faktor. Definiáljuk a ξ és η valószínűségi változókat a következő módon. Ha ω = x ∈ X, akkor ξ(ω) = η(ω) = x, ha ω = (x_{1}, x_{2}) ∈ X×X, akkor ξ(ω) = x_{1}, η(ω) = x_{2}. Ekkor a ξ valószínűségi változó μ az η valószínűségi változó pedig ν eloszlású. Továbbá, P (ξ = η) = γ(X) = 1 − Var (μ, ν), mert A P mérték megszorítása az X × X halmazra a C × (X \ C) halmazra van koncentrálva, ahol ξ(ω) ≠ η(ω). Innen következik a feladat állítása.

Megjegyzés: Technikai okokból definiáltuk a szélsőértéket szolgáló valószínűségi változókat az Ω = X∪(X×X) és nem az Ω_{1} = X×X valószínűségi mezőn, ahol természetes lett volna dolgozni. Ez utóbbi esetben ugyanis a γ mértéket a D = {(x, x): x ∈ X} átlóra kellett volna koncentrálni. Viszont van olyan eset, amikor ez a D átló az Ω_{1} = X × X halmaz nem mérhető részhalmaza, és ez a tény problémát okoz. Olyan konstrukciót akartunk adni, amelyik ebben az esetben is működik.

Kiegészítés

A König–Hall tétel bizonyítása. A feltétel szükségessége nyílvánvaló. Az elégségességet az Y halmaz számossága szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha |Y | = 1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a feltétel elégségességét tudjuk |Y | = k < n esetén, és lássuk be |Y | = n-re. Két esetet különböztetünk meg.

a.) Létezik olyan A halmaz, melyre 0 < |A| = k < n és |B(A)| = |A|. b.) Minden olyan A ⊂ Y halmazra, melyre 0 < |A| < n |B(A)| > |A|.

Az a.) esetben azt állítjuk, hogy az állítás feltételei teljesülnek mind az Ȳ = A, Z̄ = B(A) mind az Ȳ = Y \ A, Z̄ = Z \ B(A) halmazokra és a d(y, z) függvény megszorítására ezekre az Ȳ ×Z̄ halmazokra. Innen és az indukciós feltevésből következik a feltétel elégségessége az a.) esetben. Az Ȳ = A, Z̄ = B(A) esetben ez az állítás nyilvánvaló. Ha Ȳ = Y \ A és Z̄ = Z \ B(A) tekintsünk egy C ⊂ Y \ A halmazt. Legyen C̄ = C ∪ A. Ekkor |C| = |C̄| − k, |B(C̄)| ≥ |C̄|, és B(C) ∩ Z̄ ⊃ B(C̄) \ B(A), ahonnan |B(C) ∩ Z̄| ≥ |B(C̄)| − k ≥ |C̄| − k, és |B(C) ∩ Z̄| ≥ |C|, amint állítottuk.

A b.) esetben tekintsünk egy egy z_{j} ∈ Z pontot, melyre d(y_{1}, z_{j}) = 1. Párosítsuk az y_{1} pontot az z_{j} ponttal. A tétel bizonyításának befejezéséhez elég belátni azt, hogy az Ȳ = Y \{y_{1}} és Z̄ = Z \{z_{j}} halmazok teljesítik a feladat feltételeit a b.) esetben. Ez azonban nyilvánvaló, mert a b.) esetben A ⊂ Z esetén |B(A) ∩ Z̄| ≥ |B(A)| − 1 ≥ |A|.

A König–Hall tétel folytonos verziójának bizonyítása. A feltétel szükségessége ebben az esetben is nyílvánvaló. Az elégségesség bizonyítását visszavezetjük az eredeti König– Hall tételre.

Tekintsük először azt a speciális esetet, amikor létezik olyan N egész szám, melyre

u(y_{j}) = \frac{k_{j}}{N} minden y_{j} ∈ Y és v(z_{l}) = \frac{p_{l}}{N} minden z_{l} ∈ Z-ra, ahol k_{j} és p_{l} egész számok.

Ekkor tekintsük a következő páros gráfot. Ȳ = {(y_{j}, m(j)), y_{j} ∈ Y, 1 ≤ m(j) ≤ k_{j}} Z̄ = {(z_{l}, n(l)), z_{l} ∈ Z, 1 ≤ n(l) ≤ p_{l}}, d̄((y_{j}, m(j)), (z_{l}, n(l))) = d(y_{j}, z_{l}). Ekkor az (Ȳ , Z̄, d̄(·, ·)) páros gráf teljesíti a König–Hall tétel feltételeit. Elég ugyanis a König–Hall tétel feltételeit azokra az A ⊂ Ȳ halmazokra ellenőrizni, melyekre ȳ = (y_{j}, m(j)) ∈ A esetén (y_{j}, k) ∈ A minden (y_{j}, k), 1 ≤ k ≤ k_{j} pontra, és ez a feltétel megegyezik azzal,

hogy ∑_{z∈B(A)} v(z) ≥ ∑_{y∈A} u(y) minden A ∈ Y -ra.

Ezért létezik az Ȳ és Z̄ halmaz pontjainak egy olyan párosítása, melyben a párba állitott ȳ és z̄ pontokra d̄(ȳ, z̄) = 1. Legyen w̄(ȳ, z̄) = 1, ha ȳ és z̄ párba vannak állítva,

és w̄(ȳ, z̄) = 0 egyébként. Ekkor a w(y_{j}, z_{l}) = \frac{1}{N} ∑_{\begin{matrix}ȳ=(y_{j},m(j)),1≤m(j)≤k_{j} \\ z̄=(z_{l},n(l)),1≤n_{l}≤p_{l} \end{matrix}} w̄(ȳ, z̄) függvény

teljesíti a tétel állítását ebben a speciális esetben.

Az általános eset visszavezethető a már bebizonyított esetre alkalmas approximációval. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ∑_{y∈Y} u(y) = ∑_{z∈Z} v(z) = 1.

Minden N = 1, 2, … -re definiáljuk a következő közelítő rendszert. Legyen Ȳ = Ȳ_{N} = Y ∪ {r + 1}, Z̄ = Z̄_{N} = Z ∪ {s + 1}, d̄(y, z) = d̄_{N}(y, z) = d(y, z), ha y ∈ Y, z ∈ Z, és d̄(y_{r+1}, z) = d̄_{N}(y_{r+1}, z) = d̄(y, z_{s+1}) = d̄_{N}(y, z_{s+1}) = 1, (azaz az y_{r+1} és z_{s+1} pontok

a másik halmaz minden pontjával össze vannak kötve), ū_{N}(y) = \frac{[Nu(y)]}{N}, ha y ∈ Y,

v̄_{N}(z) = \frac{[Nv(z)]}{N}, ha z ∈ Z, ahol [u] az u szám egész részét jelöli, továbbá ū_{N}(y_{r+1}) =

∑_{y∈Y} (u(y) − ū_{N}(y)) = 1− ∑_{y∈Y} ū_{N}(y), és v̄_{N}(y_{s+1}) = ∑_{z∈Z} (v(z) − v̄_{N}(z)) = 1− ∑_{z∈Z} v̄_{N}(z).

Vegyük észre, hogy az új rendszer is teljesíti a tétel feltételeit. Ugyanis, ha A ⊂ Y, akkor a Z̄_{N} halmaz A halmazzal összekötött pontjaiból álló halmaz B̄_{N}(A) = B(A) ∪ {z_{s+1}},

és ∑_{y∈A} ū_{N}(y) ≤ ∑_{y∈A} u(y) ≤ ∑_{z∈B(A)} v(z) ≤ ∑_{z∈B(A)} v̄_{N}(z) + v̄_{N}(z_{s+1}) ≤ ∑_{z∈B̄(A)} v̄_{N}(z). Ha

pedig y_{r+1} ∈ A, akkor B̄_{N}(A) = Z̄_{N}, és ∑_{y∈A} ū_{N}(y) ≤ 1 = ∑_{z∈Z̄_{N}} v̄_{N}(z). Ezért ebben az

esetben alkalmazhatjuk a tételt.

Tekintsünk minden N = 1, 2, … -ra egy a feltételt kielégítő w̄_{N}(y, z), y ∈ Ȳ, z ∈ Z̄ “szállítási függvényt”. Mivel 0 ≤ w̄_{N}(y, z) ≤ 1 minden y ∈ Ȳ és z ∈ Z̄ pontra, és N = 1, 2, … számra, ezért ki lehet választani egy olyan N_{k} → ∞ részsorozatot, melyre a w(y, z) = lim_{k→∞} w_{N_{k}}(y, z) limesz minden y ∈ Ȳ és z ∈ Z̄ pontra létezik. Ez a w(y, z) függvény teljesíti a tétel állítását.