\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=2.5pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\rang{\text{\rm rang}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection A Cochran--Fisher t\'etelr\H{o}l

A matematikai statisztika egyik fontos eredm\'enye a Cochran--Fisher
t\'etel, amely a variancia anal\'{\i}zisben j\'atszik fontos
szerepet. Ugyanakkor ez a t\'etel l\'enyeg\'et tekintve val\'oj\'aban
egy line\'aris algebrai \'all\'{\i}t\'as. \'Erdemes megmutatni, hogy
hogyan lehet ezt az eredm\'enyt, illetve n\'eh\'any ehhez
kapcsol\'od\'o a matematikai statisztik\'aban szint\'en hasznos
\'all\'{\i}t\'ast a lin\'aris algebra m\'odszereivel
bebizony\'{\i}tani.

E jegyzet ezt a bizony\'{\i}t\'ast \'es a Cochran--Fisher t\'etel
n\'eh\'any alkalmaz\'as\'at tartalmazza. El\H{o}sz\"or megfogalmazom
mag\'at az eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Cochran--Fisher t\'etel.}\/ {\it Legyen adva $n$ f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, $\xi_1,\dots,\xi_n$, \'es defini\'aljuk
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel a
$Q=Q(\xi_1,\dots,\xi_n)=\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ ki\-fe\-je\-z\'est.
Legyen adva ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg $k$ darab
$Q_j=Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)$,
$Q_j=\summ_{i=1}^n\summ_{l=1}^n c_{i,l}^{(j)}\xi_i\xi_l$,
$1\le j\le k$, alak\'u (quadratikus) kifejez\'es a
$c_{i,l}^{(j)}=c_{l,i}^{(j)}$  azonoss\'agot  minden $1\le i,l\le n$,
$1\le j\le k$, indexre  teljes\'{\i}t\H{o} egy\"utthat\'okkal,
amelyekre \'erv\'enyes a
$$
Q=Q_1+Q_2+\cdots+Q_k \tag1
$$
azonoss\'ag. Jel\"olje $\rang(Q_j)$ a $Q_j$ kifejez\'es rangj\'at,
amelyet \'ugy defini\'alunk, mint a $Q_j$ kifejez\'es
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} egy\"utthat\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(c_{i,l}^{(j)})$,
$1\le i,l\le n$, m\'atrix rangj\'at. Ekkor teljes\"ul az
$$
n\le \rang(Q_1)+\rang(Q_2)+\cdots+\rang(Q_k) \tag2
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ha a (2) formul\'aban egyenl\H{o}s\'eg
\'erv\'enyes, akkor a $Q_j$, $1\le j\le k$, kifejez\'esek
f\"uggetlen $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\rang(Q_j)$ sza\-bad\-s\'ag\-fok\-kal. S\H{o}t, ebben
az esetben l\'eteznek olyan f\"uggetlen
$\zeta_{j,1},\dots,\zeta_{j,r_j}$,
$r_j=\rang(Q_j)$, $1\le j\le k$, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $Q_j=\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$, $1\le j\le k$,
\'es $Q=\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$.}

\medskip
Fel fogom id\'ezni egy m\'atrix rangj\'anak a definici\'oj\'at \'es
legfontosabb tulajdons\'agait. Ezel\H{o}tt megfogalmazom azt a
line\'aris algebrai \'all\'{\i}t\'ast, amelyb\H{o}l a
Cochran-Fisher t\'etel k\"ovetkezik.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy Euklideszi t\'erbeli identit\'as
transzform\'aci\'o felbont\'as\'ar\'ol.} {\it Te\-kint\-s\"uk az
$I=I_n$ identit\'as transzform\'aci\'ot az $n$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'erben. Legyen adva ennek egy
$$
I=Q_1+Q_2+\cdots+Q_k \tag3
$$
alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa, ahol $Q_1,\dots,Q_k$
szimmetrikus lek\'epez\'esek. Ekkor
$$
n\le \rang(Q_1)+\rang(Q_2)+\cdots+\rang(Q_k). \tag4
$$
Ha a (4) formul\'aban egyenl\H{o}s\'eg teljes\"ul, akkor
a $Q_1,\dots,Q_k$ lek\'epez\'esek egym\'asra
me\-r\H{o}\-le\-ges projekci\'ok.}

\medskip
Felid\'ezem, hogy egy m\'atrix rangj\'at \'ugy defini\'aljuk,
mint a m\'atrixb\'ol kiv\'alaszthat\'o maxim\'alis sz\'am\'u
line\'arisan f\"uggetlen sorok sz\'am\'at. Tekints\"unk egy
szimmetrikus biline\'aris f\"uggv\'enyt meghat\'aroz\'o
line\'aris transzform\'aci\'ot egy Euklideszi t\'erben. Egy
ilyen transzform\'aci\'o tetsz\H{o}leges ortonorm\'alt
koordin\'atarendszerben fel\'{\i}rt m\'atrix\'anak ugyanaz a
rangja, mert a transzform\'aci\'o k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
koordin\'atarendszerben fel\'{\i}rt $A$ \'es $B$ m\'atrix
reprezent\'aci\'oja k\"oz\"ott az $A=UBU^*$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes alkalmas $U$ unit\'er m\'atrix-szal. Innen
k\"ovetkezik, hogy besz\'elhet\"unk egy szimmetrikus
biline\'aris f\"uggv\'eny vagy az \H{o}t egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroz\'o kvadratikus alak rangj\'ar\'ol is. Egy (nem
felt\'etlen\"ul szimmetrikus) transzform\'aci\'o rangja megegyezik
a transzform\'aci\'o k\'epter\'enek dimenzi\'oj\'aval, \'es egy
kvadratikus alak rangja jellemezhet\H{o} \'ugy is, mint a
lek\'epez\'es f\H{o}tengely transzform\'aci\'os alak\-j\'a\-ban
szerepl\H{o} nem z\'er\'o saj\'at\'ert\'ekek sz\'ama.

\'Erdemes tudni a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyeket a line\'aris
algebr\'ab\'ol egy m\'atrix vagy line\'aris lek\'epez\'es 
rangj\'ar\'ol. Egy m\'atrix line\'arisan f\"uggetlen sorainak
\'es line\'arisan f\"uggetlen oszlopainak sz\'ama megegyezik, 
\'es ezek egyike tekinthet\H{o} egy m\'atrix rang\-j\'a\-nak. Ha egy
m\'atrixot megszorzunk (ak\'ar balr\'ol ak\'ar jobbr\'ol) egy
m\'asik m\'atrix-szal, a szor\-zat\-m\'a\-trix rangja kisebb vagy 
egyenl\H{o}, mint az eredeti m\'atrix rangja. Ha egy invert\'alhat\'o
m\'atrix-szal szorzunk, akkor egyenl\H{o}s\'eg van. Ha adva van
egy line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o, akkor ennek m\'atrixa 
f\"ugg att\'ol, hogy mely b\'azis seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'{\i}rtuk 
fel, de a kapott m\'atrix rangja m\'ar nem f\"ugg ett\H{o}l. Ezen
eredem\'eny alapj\'an besz\'elhet\"unk egy line\'aris 
transzform\'aci\'o rangj\'ar\'ol, mint az \'altala 
meghat\'arozott m\'atrix rangj\'ar\'ol.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy az identit\'as transzform\'aci\'onak
egy Euklideszi t\'erben t\"or\-t\'e\-n\H{o} felbont\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etelt jobban meg\'erts\"uk, \'erdemes felid\'ezni
egy Euklideszi t\'er projekci\'oj\'anak fogalm\'at \'es legfontosabb
tulajdons\'agait. Geometriai m\'odon egy $E$ Euklideszi t\'er
(ortogon\'alis) projekci\'oj\'at egy $B\subset E$ alt\'erre \'ugy
defini\'aljuk, mint az Euklideszi t\'er $x\in E$ pontjainak azt
az $x\to Px$ transzform\'aci\'oj\'at, amely az $x$ pontnak e pont
orthogon\'alis vet\"ulet\'et felelteti meg a $B$ alt\'erre,
azaz $Px\in B$, \'es $x-Px$ mer\H{o}leges minden $y\in B$ vektorra,
azaz $(x-Px,y)=0$, ha $y\in B$. K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o
mer\H{o}leges egym\'asra, ha a $Px$ \'es $Qy$ vektorok
mer\H{o}legesek egym\'asra minden $x,y\in E$ vektorra, azaz
$(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$ \'es $y\in E$ vektorra. \'Erdemes a
projekci\'ok \'es projekci\'ok mer\H{o}legess\'eg\'enek
fogalm\'at algebrai nyelven is megfogalmazni. A k\"ovetkez\H{o}
lemma a projekci\'ok ilyen jellemz\'es\'et fogalmazza meg.

\medskip\noindent
{\bf Lemma egy Euklideszi t\'er projekci\'oinak a
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Egy $E$ Euklideszi t\'er $P$
projekci\'oja szimmetrikus oper\'ator, \'es a projekci\'o
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $B$ alt\'er, ahov\'a a 
projekci\'o vet\'{\i}t, megegyezik a $P$ transzform\'aci\'o
$B=\{Px\colon\; x\in E\}$ k\'epter\'evel. Egy $x\in B$ vektorra
$Px=x$, \'es egy a $B$ alt\'erre mer\H{o}leges $x$ vektorra $Px=0$.

Egy Euklideszi t\'er $P$ \"onmag\'aba val\'o line\'aris 
lek\'epez\'ese akkor \'es csak akkor projekci\'o, ha 
szimmetrikus, \'es teljes\'{\i}ti a $P=P^2$ azonoss\'agot. 
K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o akkor \'es csak akkor 
mer\H{o}leges egym\'asra, ha $PQ=0$. Ekkor a $QP=0$ azonoss\'ag 
is teljes\"ul. Speci\'alisan, ha $P$ projekci\'o, akkor $I-P$ 
egy r\'a mer\H{o}leges projekci\'o. Ezenk\'{\i}v\"ul 
\'erv\'enyes a $0\le P\le I$ azonoss\'ag, azaz 
$0\le (Px,x)\le (x,x)$ minden $x\in E$ vektorra.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Legyen $P$ projekci\'o az
$E$ Euklideszi t\'er egy $B$ alter\'ere. L\'assuk be el\H{o}sz\"or,
hogy a $B$ alt\'er megegyezik a $P$ oper\'ator k\'epter\'evel.
Val\'oban, egyr\'eszt definici\'o szerint $Px\in B$ minden $x\in E$
vektorra. M\'asr\'eszt nincs olyan $y\in B$ vektor, amelyet nem
tartalmaz a $P$ oper\'ator k\'eptere. Ugyanis egy ilyen $y$ vektor
l\'etez\'ese eset\'en $y-Py$ olyan nem z\'er\'o vektor lenne,
amelyre $y-Py\in B$, ez\'ert mer\H{o}leges \"onmag\'ara, \'es ez
ellentmond\'as. Ha $x\in B$, akkor $z=Px=x$. Val\'oban, ekkor a
$z=Px$ vektorra teljes\"ul mind az $x-z\in B$, mind az $(x-z,y)=0$
minden $y\in B$ vektorra. Hasonl\'oan $Px=0$, ha $x$ mer\H{o}leges
a $B$ alt\'erre, mert ekkor $(x-0,y)=0$ minden $y\in B$ vektorra,
\'es $0\in B$, teh\'at az $x$ vektor $x=(x-0)+0$, \'es 
$x=(x-Px)+Px$ felbont\'asa egy $B$-re mer\H{o}leges \'es egy a $B$
alt\'er \'altal tartalmazott vektorra megegyezik.

Mutassuk meg azt is, hogy egy $P$ projekci\'o
olyan szimmetrikus oper\'ator, amelyre $P^2=P$. Val\'oban,
a $P=P^*$ rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni,
hogy $(Px,y)=(x,Py)$, ha $y\in B$ vagy ha $y$ mer\H{o}leges a $B$
alt\'erre. Ha $y\in B$, akkor $y=Py$, ez\'ert
$(Px,y)-(x,Py)=(Px,y)-(x,y)=(Px-x,y)=0$, \'es ha $y$ mer\H{o}leges
a $B$ alt\'erre, akkor $Py=0$, ez\'ert $(x,Py)=0$ \'es $(Px,y)=0$,
mert $Px\in B$. A $Px=P^2x$ bizony\'{\i}t\'as\'at is el\'eg
ellen\H{o}rizni akkor, ha $x\in B$ vagy ha $x$ mer\H{o}leges a $B$
alt\'erre. Az els\H{o} esetben viszont $x=Px=P^2x$, a m\'asodik
esetben pedig $0=Px=P^2x$.

L\'assuk be, hogy ha $P=P^*$, \'es $P=P^2$, akkor $P$ projekci\'o
a $P$ transzform\'aci\'o $B=\{Px\colon\; x\in E\}$ k\'epter\'ere.
Val\'oban, $Px\in B$ minden $x\in E$ vektorra, \'es mivel
$y=Pz=P^2z=Py$ valamely $z\in E$ vektorral, ha $y\in B$, ez\'ert
$(x-Px,y)=(x,y)-(Px,y)=(x,Py)-(x,P^*y)=0$ minden $x\in E$ \'es
$y\in B$ vektorra.

K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o akkor \'es csak akkor mer\H{o}leges,
ha $(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$ \'es $y\in E$ vektorra. Viszont
$(Px,Qy)=(P^*x,Qy)=(x,PQy)$, ez\'ert $(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$
\'es $y\in E$ vektorra akkor \'es csak akkor, ha $PQ=0$. Ha $PQ=0$,
akkor $0=(PQ)^*=Q^*P^*=QP$. Ha $P$ projekci\'o,
akkor $(I-P)^*=I^*-P^*=I-P$, $(I-P)^2=I-2P+P^2=I-P$, \'es
$P(I-P)=0$, azaz $I-P$ a $P$ projekci\'ora mer\H{o}leges
projekci\'o. V\'eg\"ul, ha $P$ projekci\'o, akkor
$(x,Px)=(x,P^2x)=(Px,Px)\ge0$, \'es alkalmazva ezt az
\"osszef\"ugg\'est az $I-P$ projekci\'ora azt kapjuk, hogy
$(x,(I-P)x)\ge0$, azaz $(x,Px)\le(x,x)$.

\medskip
F\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges sorozata t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor, \'es egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor line\'aris transzform\'altja szint\'en norm\'alis
eloszl\'as\'u. Ezenk\'{\i}v\"ul tudjuk, hogy egy t\"obbv\'altoz\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor koordin\'at\'ai akkor \'es csak
akkor f\"uggetlenek, ha korrel\'atlanok. Megmutatom e t\'enyek
felhaszn\'al\'as\'aval, hogy az egy Euklideszi t\'erbeli
identit\'as transzform\'aci\'o felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a Cochran--Fisher t\'etel.

A $Q_j(x)=\summ_{i=1}^n\summ_{l=1}^n c_{i,l}^{(j)}\xi_i\xi_l$ 
kifejez\'esnek feleltess\"uk meg a $C^{(j)}=(c_{i,l}^{(j)})$, 
$1\le i,l\le n$, szimmetrikus m\'atrixot minden $1\le j\le k$ 
indexre. Ezenk\'{\i}v\"ul vezess\"uk be az $E_n$ $n$-dimenzi\'os 
Euklideszi teret, amelynek elemei az $x=(x_1,\dots,x_n)$ val\'os 
sz\'am $n$-esek a szok\'asos $(x,y)=\sum_{s=1}^n x_sy_s$
skal\'arszorz\'assal, ha $x=(x_1,\dots,x_n)$ \'es $y=(y_1,\dots,y_n)$. 
Megmutatom az Euklideszi t\'erbeli identit\'as transzform\'aci\'o 
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
a Cochran-Fisher t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
a fenti $C^{(j)}$ m\'atrixok, illetve a nekik megfelel\H{o} $Q_j$
oper\'atorok az $E_n$ t\'erben, $1\le j\le k$, egym\'asra
mer\H{o}leges projekci\'ok.

A fenti jel\"ol\'esekkel az~(1) formula a
$$
\xi I\xi^*=\xi C^{(1)}\xi^*+\cdots +\xi C^{(k)}\xi^*
=\xi(C^{(1)}+\cdots+C^{(k)})\xi^* \tag5
$$
azonoss\'ag alakj\'aban \'{\i}rhat\'o, ahol $I$ az identit\'as 
m\'atrixot jel\"oli, \'es a fenti azonoss\'ag egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teljes\"ul. Ez viszont csak \'ugy 
lehets\'eges, ha
$$
x Ix^*=x(C^{(1)}+\cdots+C^{(k)}) x^* \tag6
$$
minden $x\in E_n$ vektorra, ahonnan $I=C^{(1)}+\cdots +C^{(k)}$, \'es
a $C^{(j)}$, $1\le j\le k$, m\'atrixok \'altal meghat\'arozott $Q_j$ 
szimmetrikus oper\'atorok az $E_n$ t\'erben teljes\'{\i}tik a
(3)~rel\'aci\'ot. Val\'oban a $T\colon (\Omega,{\Cal A},P)\to E_n$,
$T(\omega)=(\xi_1(\omega),\dots,\xi_n(\omega))$, transzform\'aci\'o 
abb\'ol a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}b\H{o}l ahol a $\xi_k$, 
$1\le k\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok defini\'alva 
vannak az $E_n$ Euklideszi t\'erbe, \'es azon a 
$(2\pi)^{-n/2}\exp\{-(x^2_1+\cdots+x_n^2)/2\}\,dx_1\dots\,dx_n$ 
m\'ert\'ekkel m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'es. Ez\'ert az~(5) 
azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy a~(6) azonoss\'ag \'erv\'enyes 
majdnem minden $x=(x^{(1)},\dots,x^{(n)})\in E_n$ pontban a standard 
norm\'alis vagy a Lebesque m\'ert\'ek szerint. Ez viszont csak \'ugy
lehets\'eges, ha a~(6) azonoss\'ag minden $x\in R^n$ vektorra igaz,
teh\'at $I=Q_1+\cdots+Q_n$.

To\-v\'ab\-b\'a, ha a (2) formula \'erv\'enyes 
egyenl\H{o}s\'eggel, akkor a (4)~formula is \'erv\'enyes 
egyen\-l\H{o}\-s\'eg\-gel. Teh\'at a Cochran--Fisher t\'etel 
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en a $Q_j$, $1\le j\le k$,
oper\'atorokra teljes\"ulnek az Euklideszi t\'erbeli identit\'as 
transzform\'aci\'o fel\-bon\-t\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel 
felt\'etelei. Ez\'ert e t\'etel alapj\'an a $Q_j$ oper\'atorok 
egym\'asra mer\H{o}leges projekci\'ok.

Azt a t\'enyt, hogy a  $Q_j$ oper\'atorok egym\'asra mer\H{o}leges 
projekci\'ok fel\'{\i}rom sz\'a\-munk\-ra hasznosabb alakban.

Vezess\"uk be az $S_0=0$ \'es $S_j=\sum_{l=1}^j\text{rang}\,(Q_l)$,
$1\le j\le k$, sz\'amokat, \'es jel\"olje $B_j$, a $Q_j$ oper\'ator 
k\'epter\'et. V\'alasszunk $u_s=(u_{s,1},\dots,u_{s,n})\in E_n$, 
$1\le s\le n$, egys\'egvektorokat \'ugy, hogy  az $S_{j-1}<s\le S_j$
indexekre, $1\le j\le k$, $u_s\in B_j$, \'es az $u_s$, 
$S_{j-1}< s\le S_j$, vektorok mer\H{o}legesek egym\'asra. Ez 
lehets\'eges. Ekkor a $Q_j$ projekci\'ok mer\H{o}legess\'ege 
miatt az $u_s$, $1\le s\le n$ vektorok egy ortonorm\'alt b\'azist 
alkotnak az $E_n$ t\'erben, \'es az $u_s$ vektorok koordin\'at\'aib\'ol 
\'all\'o $U=(u_{s,t})$, $1\le s,t\le n$, m\'atrix ortogonon\'alis. 
Jel\"olje $I_j=(a^{(j)}_{s,t})$, $1\le s,t\le n$, azt a diagon\'alis 
m\'atrixot, amelyre $a^{(j)}_{s,s}=1$, ha $S_{j-1}<s\le S_j$, \'es 
$a^{(j)}_{s,t}=0$ egy\'ebk\'ent. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
Q_j=U^*I_jU \quad \text{minden } 1\le j\le k \text{ indexre.} \tag7
$$
Ehhez elegend\H{o} bel\'atni, hogy $u_sQ_ju^*_t=u_sU^*I_jUu^*_t$ 
minden $1\le s,t\le n$ \'es $1\le j\le k$
indexre, ahol $u_s$, $1\le s\le n$, az el\H{o}bb konstru\'alt
ortonorm\'alt b\'azis az $E_n$ Euklideszi t\'erben. Viszont 
$u_sQ_ju^*_t=1$, ha $s=t$, \'es $S_{j-1}<s\le S_j$, \'es
$u_sQ_ju^*_t=0$ egy\'ebk\'ent az $u_s$ vektorok definici\'oja 
miatt. M\'asr\'eszt, mivel $U$ ortogon\'alis transzform\'aci\'o
ez\'ert $U^*=U^{-1}$, ahonnan az $U$ m\'atrix definici\'oja miatt
$u_sU^*=e_s$ minden $1\le s\le n$ indexre, ahol $e_s$ az a vektor, 
amelyiknek az $s$-ik koordin\'at\'aja 1, \'es az \"osszes t\"obbi 
koordin\'at\'aja 0. Innen az is k\"ovetkezik, hogy $Uu_t^*=e_t^*$, 
\'es $u_sU^*I_jUu^*_t=e_sI_je^*_t$. Viszont $e_sI_je^*_t=1$, ha $s=t$, 
\'es $S_{j-1}<s\le S_j$, \'es  $e_sI_je^*_t=0$ egy\'ebk\'ent. A fenti
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik az (7)~\'all\'{\i}t\'as.

Bebizony\'{\i}tom az~(7) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
Cochran--Fisher t\'etelt. Ennek \'erdek\'eben defini\'aljuk az 
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)=\xi U^*=(\xi_1,\dots,\xi_n)U^*$ vektort.
Ekkor $\eta$ $n$-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u vektor,
amelynek koordin\'at\'ai korrel\'atlanok \'es 1 sz\'or\'as\'uak,
ez\'ert f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. M\'asr\'eszt az (7)~formula
alapj\'an
$$
Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)=\xi Q_j\xi^*=\xi U^*I_jU\xi^*=\eta I_j \eta^*
=\!\sum_{s=S_{j-1}+1}^{S_j} \!\eta_s^2 \quad 
\text{minden } 1\le j\le k \text{ indexre.} 
$$
Ezzel a $Q_j=Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)$ kifejez\'eseknek
megtal\'altuk a k\'{\i}v\'ant $Q_j=\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$, 
$1\le j\le k$, alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, ahol 
$\zeta_{j,1},\dots,\zeta_{j,r_j}$, $r_j=\rang(Q_j)$, $1\le j\le k$, 
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Egyszer\H{u}en, legyen $\zeta_{j,s}=\eta_{S_{j-1}+s}$
minden $1\le j\le k$, $1\le s\le r_j$ indexre.
V\'eg\"ul vegy\"uk \'eszre. hogy
$$
\sum_{j=1}^k Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)
=\sum_{j=1}^k \sum_{s=1}^{r_j}\zeta^2_{j,s}=\sum_{s=1}^n\eta_s^2
=(\eta,\eta)=\xi U^*U\xi^*=\sum_{s=1}^n\xi_s^2
=Q(\xi_1,\dots,\xi_n).
$$

\medskip\noindent
{\it Egy Euklideszi t\'erbeli identit\'as transzform\'aci\'o
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Te\-kint\-s\"uk minden $1\le j\le k$ indexre a $Q_j$
lek\'epez\'es k\'epter\'enek egy $r_j=\rang(Q_j)$ elemb\H{o}l
\'all\'o $e_{j,1},\dots,e_{j,r_j}$ b\'azis\'at. Ha a
$\summ_{j=1}^kr_j<n$ rel\'aci\'o teljes\"ulne, akkor l\'etezne
olyan $e\in E_n$ nem z\'er\'o vektor, amelyre $(e,e_{j,s})=0$
minden $1\le j\le k$, $1\le s\le r_j$ indexre. Egy ilyen $e$
vektorra a $(e,Q_je)=0$ azonoss\'ag teljes\"ul minden 
$1\le j\le k$ indexre. Ez viszont ellentmond a (3) 
azonoss\'agnak, mivel innen azt kapjuk, hogy 
$0<(e,Ie)=\summ_{j=1}^k(e,Q_je)=0$, ami ellentmond\'as.

Ha a $\summ_{j=1}^kr_j=n$ azonoss\'ag \'erv\'enyes, akkor
tekints\"uk a $Q_j$ lek\'epez\'esek k\'epter\'enek egy 
$e_{j,1}$,\dots,$e_{j,r_j}$ b\'azis\'at minden $1\le j\le k$ 
indexre. Vegy\"uk e vektorok k\"oz\"ul az $e_{j,s}$, 
$1\le j\le k-1$, alak\'uakat, \'es vezess\"uk be e vektorok 
\'altal gener\'alt $B$ alteret, valamint annak $C$ 
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alter\'et az $E_n$  
Euklideszi t\'erben. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a $C$ 
alt\'er dimenzi\'oja $r_k$. Val\'oban, ha tekintj\"uk az 
\"osszes $e_{j,1}$,\dots, $e_{j,r_j}$, $1\le j\le k$, 
alak\'u vektort, akkor ezek egy $n$ elem\H{u} gener\'ator 
rendszert, ez\'ert b\'azist alkotnak az $E_n$ t\'erben. 
Ez\'ert az $e_{j,1}$,\dots, $e_{j,r_j}$, $1\le j\le k-1$, alak\'u 
vektorok line\'arisan f\"uggetlenek, \'{\i}gy az \'altaluk 
gener\'alt $B$ alt\'er $n-r_k$, \'es annak $C$ ortogon\'alis 
kieg\'esz\'{\i}t\H{o}je $r_k$ dimenzi\'os.

Mivel mind a $Q_k$ m\'atrix rangja, mind a $C$ alt\'er
dimenz\'oja $r_k$, \'es $Q_jx=0$, ha $1\le j\le k-1$, \'es
$x\in C$, ez\'ert $Q_kx=x-\summ_{j=1}^{k-1}Q_jx=x$, ha $x\in C$, 
tov\'abb\'a $Q_kx\in C$ minden $x\in R^n$ vektorra, teh\'at 
speci\'alisan akkor is, ha $x\in B$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy 
ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $Q_kx=0$ $x\in B$ eset\'en. 
Val\'oban, ha egy $x\in B$ vektorra $Q_kx=y$ lenne valamely 
$y\neq0$ (\'es $y\in C$) vektorral, akkor a $Q_k$ m\'atrix 
szimmetrikus tulajdons\'aga miatt 
$(y,y) =(Q_kx,y)=(x,Q_ky)=(x,y)=0$ lenne. (A sz\'amol\'as
utols\'o l\'ep\'es\'eben kihaszn\'altam, hogy $x\in B$ \'es
$y\in C$, ez\'ert az $x$ \'es $y$ vektorok mer\H{o}legesek
egym\'asra.) 

Innen k\"ovetkezik, hogy a $Q_k$ oper\'ator megegyezik a 
$C$ alt\'erre val\'o ortogon\'alis vet\'{\i}t\'essel. 
Hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, hogy az \"osszes $Q_j$, 
$1\le j\le k$, oper\'ator egy $r_j$ dimenzi\'os projekci\'o. 
Tov\'abb\'a, mivel $Q_jx\in B$ minden $x\in E_n$ vektorra, ha 
$1\le j\le k-1$, \'es $Q_ky\in C$ minden $y\in E_n$ vektorra, 
ez\'ert $(Q_jx,Q_ky)=0$. Ez azt jelenti, hogy a $Q_k$ 
projekci\'o mer\H{o}leges minden $Q_j$, $j\neq k$ 
projekci\'ora. Hasonl\'oan l\'athat\'o a t\"obbi projekci\'o 
ortogonalit\'asa is. A t\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok
n\'eh\'any tov\'abbi a variancia anal\'{\i}zisben hasznos
\'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok
kvadratikus alakjainak n\'eh\'any hasznos tulajdons\'ag\'ar\'ol.}
{\it Legyen adva egy $n$-dimenzi\'os $X=(X_1,\dots,X_n)$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
\item{a.)} Tekints\"unk egy $A$ szimmetrikus $n\times n$-es
m\'atrixot. Az $XAX^*$ kifejez\'es akkor \'es csak akkor
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, ha teljes\"ul az $A^2=A$ azonoss\'ag, azaz $A$
projekci\'o. Ha ez a felt\'etel teljes\"ul, akkor  $XAX$ 
eloszl\'asa $\rang(A)$ sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u $\chi$-n\'egyzet 
eloszl\'as.

\item{b.)} Ha $A$ \'es $B$ k\'et szimmetrikus m\'atrix, amelyre
$A^2=A$, $B^2=B$, \'es $AB=0$, akkor az $XAX^*$ \'es $XBX^*$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'uak $\rang(A)$ \'es $\rang(B)$
szabads\'agfokkal.

\item{c.)} Ha $Q$, $Q_1$, $Q_2$ szimmetrikus $n\times n$
m\'eret\H{u} m\'atrixok,  $XQX^*$ \'es  $XQ_1X^*$ $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $Q=Q_1+Q_2$,
\'es $Q_2$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix, akkor $XQ_1X^*$
\'es $XQ_2X^*$ f\"uggetlen $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip\noindent}
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha az $A$ szimmetrikus
m\'atrix teljes\'{\i}ti az $A^2=A$ felt\'etelt, akkor projekci\'o,
\'es az $XAX^*$ kifejez\'est a f\H{o}tengelytranszform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rhatjuk
$\summ_{j=1}^{\rang(A)}Y^2_j$ alakban, ahol $Y_j$,
$1\le j\le\rang(A)$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\'Altal\'anos szimmetrikus $A$ m\'atrix eset\'eben az $XAX^*$
kifejez\'est $\summ_{j=1}^n \lambda_j Y^2_j$ alakban \'{\i}rhatjuk
a f\H{o}tengelytranszform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol
$Y_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ az $A$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei.
Ez a kifejez\'es akkor \'es csak akkor $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u, ha az \"osszes $\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ek 0
vagy 1 \'ert\'eket vesz fel. (Ez p\'eld\'aul az eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek fel\'{\i}r\'as\'ab\'ol
l\'atszik.) Ez a tulajdons\'ag viszont akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha $A$ projekci\'o, azaz $A^2=A$.

A t\'etel b) pontj\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg azt
\'eszrevenni, hogy az adott felt\'etelek mellett $A$ \'es $B$
k\'et ortogon\'alis projekci\'o. Innen a Cochran--Fisher
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak alkalmaz\'as\'aval be lehet
bizony\'{\i}tani a b) pont \'all\'{\i}t\'as\'at, de lehet
a Cochran--Fisher t\'etelt k\"ozvetlen\"ul is alkalmazni az
$n$-dimenzi\'os $E_n$ t\'er $I$ identit\'as
transzform\'aci\'oj\'anak al\-kal\-mas $I=C+B+A$ alak\'u
reprezent\'aci\'oj\'anak felhaszn\'al\'as\'aval. Ebben a
reprezent\'aci\'oban $C$ az $A+B$ projekci\'o k\'epter\'enek az
$E_n$ t\'er $n-\rang(A)-\rang(B)$ dimenzi\'os ortogon\'alis
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'ere vett projekci\'o.

A t\'etel c) pontj\'anak bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben mutassuk
meg el\H{o}sz\"or azt, hogy az adott felt\'etelek mellett a $Q$
projekci\'o $B$ k\'eptere tartalmazza a $Q_1$ projekci\'o $A$
k\'epter\'et. Val\'oban, ha l\'etezne egy $x\in A\setminus B$,
$x\neq 0$, vektor, akkor erre az $x$ vektorra teljes\"ulne a
$(Q_2x,x)=(Qx,x)-(Q_1x,x)=(y,x)-(x,x)=(y,y)-(x,x)<0$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ahol $y$ az $x$ vektornak (az $x$
vektorn\'al r\"ovidebb) $Qx$ vet\"ulete a $B$ alt\'erre. Ez az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg vi\-szont ellentmond annak a
felt\'etelnek, hogy $Q_2$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix.

Abb\'ol, hogy a $Q_1$ projekci\'o k\'eptere r\'esze a $Q$
projekci\'o k\'epter\'enek k\"ovetkezik, hogy $Q_1=Q_1Q=QQ_1$,
ez\'ert $Q_2^2=(Q-Q_1)^2=Q+Q_1-2Q_1=Q-Q_1=Q_2$, \'es 
$Q_1Q_2=Q_1(Q-Q_1)=0$. Ez azt jelenti, hogy $Q_1$ \'es $Q_2$ 
ortogon\'alis projekci\'ok, \'es a b) r\'esz 
\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik a c) r\'esz \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
A Cochran--Fisher t\'etel egy alkalmaz\'asak\'ent megmutatom,
hogy hogyan k\"ovetkezik ebb\H{o}l az eredm\'enyb\H{o}l \'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l a
matematikai statisztika egyik fontos hat\'areloszl\'ast\'etele,
amely a $\chi$-n\'egyzet m\'odszer alapj\'aul szolg\'al.
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at fogom ismertetni.

\medskip\noindent
{\bf Egy $\chi$-n\'egyzet hat\'areloszl\'ast\'etel.}\/ {\it Legyen
adva $r$ darab urna, \'es dobjunk ezekbe egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ darab goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
\'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
esik a $j$-ik urn\'aba, ahol $p_j\ge0$, $j=1,\dots,r$,
$\summ_{j=1}^rp_j=1$ el\H{o}\'{\i}rt sz\'amok. Jel\"olje
$\nu_n(j)$, $1\le j\le r$, a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok
sz\'am\'at. Ekkor a $\summ_{j=1}^r\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak az $r-1$ szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $n\to\infty$.}

\medskip
E t\'etelt a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l \'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l fogjuk levezetni.

\medskip\noindent
{\bf A t\"obbv\'altoz\'os  centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
egy k\"ovetkezm\'enye.} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb
megfogalmazott $\chi$-n\'egyzet hat\'areloszl\'ast\'etelben
le\'{\i}rt modellt \'es az abban defini\'alt $\nu_n(j)$,
$1\le j\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Az
$\frac1{\sqrt n}(\nu_n(1)-np_1,\dots,\nu_n(r)-np_r)$ v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan norm\'alis
eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektorhoz, amelyre
$EZ_j=0$, $EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es
$EZ_iZ_j=-p_ip_j$, $1\le i<j\le r$, ha $n\to\infty$.}

\medskip
Az el\H{o}bb megfogalmazott $\chi$-n\'egyzet
hat\'areloszl\'ast\'etel k\"ovetkezik a fenti
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-b\H{o}l \'es abb\'ol az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol, hogy egy olyan norm\'alis eloszl\'as\'u
$(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektorra, amelyre $EZ_j=0$,
$EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es $EZ_iZ_j=-p_ip_j$, ha
$1\le i<j\le r$, a $\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u $r-1$ szabads\'agfokkal. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as
a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l \'es egy a $(Z_1,\dots,Z_r)$
v\'eletlen vektorral megegyez\H{o} eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
al\'abb ismertetett konstrukci\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik.

\medskip\noindent
{\bf Alkalmas kovarianci\'aj\'u v\'eletlen norm\'alis vektorok
konstrukci\'oja.} {\it Legyenek adva $Y_1,\dots,Y_n$  f\"uggetlen,
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es olyan pozit\'{\i}v $p_j$, $1\le j\le r$, val\'os
sz\'amok, amelyekre $\summ_{j=1}^rp_j=1$. Defini\'aljuk az
$$
U=\sqrt p_1Y_1+\sqrt{p_2}Y_2+\cdots+\sqrt{p_r}Y_r
$$ 
\'es
$$
Z_j=\sqrt{p_j}Y_j-p_jU, \quad 1\le j\le r,
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $EZ_j=0$,
$EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, \'es $EZ_iZ_j=-p_ip_j$, ha $1\le i<j\le r$.
Ezenk\'{\i}v\"ul teljes\"ul a
$$
\sum_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}+U^2=\sum_{j=1}^r Y_j^2 \tag8
$$
\'es $\summ_{j=1}^rZ_j=0$ azonoss\'ag.}

\medskip
A fenti eredm\'enyb\H{o}l \'es a Cochran--Fisher 
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az, hogy az el\H{o}bb fel\'{\i}rt
$\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$ \"osszeg $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u $r-1$ szabads\'agfokkal. Val\'oban, a (8) 
\"osszegben sze\-rep\-l\H{o} $\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$
kifejez\'es a f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
$Y_1,\dots,Y_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kvadratikus
kifejez\'ese, amelynek rangja a $\summ_{j=1}^rZ_j=0$ azonoss\'ag
miatt legfeljebb $r-1$.  Ez a rang legfeljebb~$r-1$, mert 
az el\H{o}bb eml\'{\i}tett azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$(Z_1,\dots,Z_r)=(Y_1,\dots,Y_r)D$ egy olyan $D$ m\'atrix-szal,
amely\-nek rangja kisebb vagy egyenl\H{o}, mint $r-1$. Ez\'ert a
a $Z=(Z_1,\dots,Z_r)$ vektor \'altal defini\'alt tetsz\H{o}leges 
$Z BZ^*$ kvadratikus alak $ZBZ^*=YDBD^*Y^*$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol
$Y=(Y_1,\dots,Y_r)$, \'es $\text{rang}\,(DBD^*)\le\text{rang}\,(D)\le
r-1$. Ezenk\'{\i}v\"ul $U^2$ egy olyan kvadratikus
kifejez\'ese az $Y_1,\dots,Y_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak, amelynek rangja~1. Ez\'ert a (8) azonoss\'agb\'ol
\'es a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$  kifejez\'es $r-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. (Ezenk\'{\i}v\"ul azt is tudjuk, hogy ez f\"uggetlen az
$U^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. S\H{o}t a $Z_j$,
$1\le j\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
az $U$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. De erre a
t\'enyre nincs sz\"uks\'eg\"unk).

Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy hogyan tal\'alhatjuk meg
a $(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektor fenti, sz\'amunkra hasznos 
reprezent\'aci\'oj\'at term\'eszetes m\'odon. Ezt magyar\'azom el 
a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} megjegyz\'esben.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Tekints\"unk egy $B(t)$, $0\le t\le1$,
Brown bridge-t, \'es vezess\"uk be az $t_0=0$,
$t_j=\summ_{l=1}^jp_l$, $1\le j\le r$, sz\'amokat. E mennyis\'egek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a keresett eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_r)$
vektort $Z_j=B(t_j)-B(t_{j-1})$, $1\le j\le r$, alakban
\'all\'{\i}thatjuk el\H{o}. Legyen adva a $B(t)$ Brown bridge-nek 
egy $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le1$, alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa egy $W(t)$, $0\le t\le1$, Wiener folyamat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor bevezetve az
$Y_j=p_j^{-1/2}(W(t_j)-W(t_{j-1}))$, $1\le j\le r$, f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, fel\'{\i}rhatjuk az
$U=W(1)=\summ_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j$ \'es $Z_j=\sqrt {p_j}Y_j-p_jU$,
$1\le j\le r$ azonoss\'agokat. Ezt az elj\'ar\'ast k\"ovett\"uk a
fenti konstrukci\'oban.

\medskip\noindent
{\it Az alkalmas kovarianci\'aj\'u v\'eletlen norm\'alis vektorok
konstrukci\'oj\'aban megfogalmazott eredm\'enyek
bizony\'{\i}t\'asa.} Az $EZ_j=0$, $1\le j\le r$, rel\'aci\'o
nyilv\'anval\'o.
$$
\align
EZ_j^2&=(p_j^{1/2}-p_j^{3/2})^2EY_j^2
+\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq j}p_j^2p_lEY_l^2\\
&=p_j(1-p_j)^2+\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq j}
p_j^2p_l=p_j(1-p_j)^2+(1-p_j)p_j^2=p_j(1-p_j),
\endalign
$$
$$
\align
EZ_iZ_j&=p_ip_j
\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq i,j} p_l-p_ip_j(1-p_i)EY_i^2
-p_ip_j(1-p_j)EY_j^2 \\
&=p_ip_j(1-p_i-p_j)-p_ip_j(2-p_i-p_j)=-p_ip_j,
\endalign
$$
ha $i\neq j$, \'es
$$
\align
\sum_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}+U^2&=\sum_{j=1}^r(Y_j-\sqrt{p_j}U)^2+U^2
=\sum_{j=1}^rY_j^2+\sum_{j=1}^rp_jU^2-2U\sum_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j+U^2\\
&=\sum_{j=1}^rY^2_j+U^2-2U^2+U^2=\sum_{j=1}^rY^2_j.
\endalign
$$
V\'eg\"ul
$$
\summ_{j=1}^rZ_j=\summ_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j-\summ_{j=1}^r p_j U=U-U=0.
$$
A k\'{\i}v\'ant eredm\'enyeket bebizony\'{\i}tottuk.

\bye
