\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=2.5pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
\TagsOnRight 
 
\beginsection N\'eh\'any alapvet\H{o} eredm\'eny a $\chi^2$
statisztik\'ar\'ol

Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} statisztikai feladatot. Adott egy
dob\'okocka, \'es el akarjuk d\"onteni, hogy az szab\'alyos-e. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a kock\'at $n$ alkalommal, \'es
megjegyezz\"uk, h\'any alkalommal volt a dob\'as eredm\'enye $j$,
$1\le j\le 6$. Jel\"olje $\nu_n(j)$, $1\le j\le 6$, ezeket a
(v\'eletlen) sz\'amokat. Ha a $\nu_n(j)\sim\frac n6$ rel\'aci\'o
teljes\"ul minden $1\le j\le 6$ sz\'amra akkor a kock\'at
szab\'alyosnak tekinthetj\"uk, ellenkez\H{o} esetben pedig
szab\'alytalannak. Meg kell pontosabban fogalmazni, mit jelentenek a
fenti aszimptotikus rel\'aci\'ok. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\frac1n\summ_{j=1}^6\(\nu_n(j)-\frac n6\)^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Be lehet l\'atni,
hogy amennyiben a kocka szab\'alyos, azaz minden oldal\'ara $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik, akkor ennek a kifejez\'esnek
l\'etezik hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'eben, \'es ez a
hat\'areloszl\'as explicit m\'odon megadhat\'o. Ez lehet\H{o}v\'e
teszi egy olyan term\'eszetes teszt megad\'as\'at, amelyben egy
szab\'alyos dob\'okock\'at el\H{o}\'{\i}rt $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tekint\"unk szab\'alyosnak, \'es egy
szab\'alytalan dob\'okock\'at nagy $n$ kis\'erletsz\'am eset\'en
majdnem egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fogunk szab\'alytalannak
tekinteni.
 
A fenti probl\'em\'at term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}thatjuk,
\'es az \'uj probl\'ema meg\-ol\-d\'a\-s\'at megadhatjuk a fent
eml\'{\i}tett hat\'areloszl\'ast\'etel egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-tott feladat a k\"ovetkez\H{o}: Legyen
adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizni akarjuk azt a felt\'etelez\'est,
amely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul bedobunk ezen
ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $\summ_{j=1}^k
p_j=1$. Ennek a fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es\-nek az ellen\H{o}rz\'ese
\'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot
ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Be lehet l\'atni, hogy
felt\'etelez\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ezt a
hat\'areloszl\'ast meg tudjuk adni. Ezt a hat\'areloszl\'ast\'etelt
\'{\i}rjuk le a 2.~feladatban. E hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a kocka sza\-b\'a\-lyos\-s\'a\-g\'a\-nak
ellen\H{o}rz\'es\'ehez hasonl\'oan ellen\H{o}rizni tudjuk
felt\'etelez\'es\"unk he\-lyes\-s\'e\-g\'et.
 
E hat\'ereloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy
egyr\'eszt meg tudjuk adni a
$\left\{\frac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}},\;j=1,\dots,k\right\}$
v\'eletlen vektorok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'at a t\"obb-dimenzi\'os
cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel,
m\'asr\'eszt, ha valamely $\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$
v\'eletlen vek\-to\-rok el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'eben,
\'es $f(x_1,\dots,x_k)$  folytonos $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
akkor az $f\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\),\quad n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $f(\eta_1,\dots,\eta_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Ez lehet\H{o}v\'e teszi a minket \'erdekl\H{o}
statisztik\'ak hat\'areloszl\'as\'anak megad\'as\'at. De ezt a
hat\'areloszl\'ast egyszer\H{u}bb, jobban \'attekinthet\H{o} alakban
akarjuk megadni. Ez lehets\'eges n\'emi line\'aris algebra
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A sz\'amol\'as sor\'an felhaszn\'aljuk azt,
hogy ha $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $D$ kovarianciam\'atrix\'u norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor, $A$ egy $k\times k$-as
m\'atrix akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)A$ $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $A^*DA$ kovarianciam\'atrix\'u
nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor. A minket
\'erdekl\H{o} hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
megk\"onny\'{\i}ti az al\'abbi \"onmag\'aban
is \'erdekes  els\H{o} feladat. Ezut\'an fogalmazzuk meg a
2.~feladatban a $\chi^2$ pr\'oba alapj\'at k\'epez\H{o} statisztikai
\'all\'{\i}t\'ast.
 
\item{1.)} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal.
Legyenek a $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok a $D$ m\'atrix
saj\'at\'ert\'ekei (multiplicit\'assal). Bizony\'{\i}tsuk be
(alapvet\H{o} line\'aris algebrai ismeretek felhaszn\'al\'as\'aval),
hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.

\medskip
\item{2.)} Adott $k$ darab urna, amelyekbe bedobunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $1\le j\le k$,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o}
goly\'ok sz\'am\'at. L\'assuk be, hogy a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a
$k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ eloszl\'ashoz, ha $n\to\infty$,
(a $k$ sz\'am r\"ogz\'{\i}tett), azaz egy olyan $\zeta_{k-1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'ahoz, amelyet \'ugy
kapunk, hogy tekint\"unk $k-1$ darab f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u $\xi_1,\dots,\xi_{k-1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot \'es elk\'esz\'{\i}tj\"uk se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\"uk\-kel
a $\zeta_{k-1}=\summ_{j=1}^{k-1}\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot.

\medskip
A 2.~feladatban szerepl\H{o} hat\'areloszl\'as csak az urn\'ak
$k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt, hogy term\'eszetes
statisztik\'at vett\"unk, olyat amelyben a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az elt\'er\'ese annak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos szerepet j\'atszik.
Az, hogy a hat\'areloszl\'as a $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as azzal f\"ugg
\"ossze, hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am s\'ulyozott
n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba es\H{o}
goly\'ok sz\'am\'anak elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l), de ezek k\"oz\"ott van egy determinisztikus
\"osszef\"ugg\'es. Nevezetesen az, hogy az \"osszes urn\'aba es\H{o}
goly\'ok sz\'ama minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke null\'aval
egyenl\H{o}. A 2.~fel\-adat eredm\'eny\'et inform\'alisan
\'ugy szokt\'ak interpret\'alni, hogy $k-1$ szabads\'agi fokkal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve azok
hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast olyan
v\'eletlen \"osszeg adja meg, amelyben mindegyik szabads\'agi foknak
egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete. A 4.~illetve
$4.'$~feladatban a 2.~feladat egy olyan \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at
fogalmazzuk meg, mint amilyent a 2.~fel\-adat fenti heurisztikus
interpret\'aci\'oja su\-gall. Ezel\H{o}tt azonban a 3.~feladatban egy
a 4. \'es $4.'$~feladat bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos technikai
jelleg\H{u} \'all\'{\i}t\'ast t\'argyalunk. 

\medskip
\item{3.)} Legyenek $X_1,\dots,X_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $p_j\ge0$,
$1\le j\le k$, tetsz\H{o}leges nem negat\'{\i}v sz\'amok, amelyekre
$\summ_{j=1}^kp_j=1$. Ekkor az $X_1^2+\cdots+X_k^2-\(\sqrt
{p_1}X_1+\cdots+\sqrt{p_k}X_k\)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u, \'es f\"uggetlen a standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $\summ_{j=1}^k\sqrt{p_j}X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol.

\medskip
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} modellt. Adva vannak urn\'ak, amelyekbe
egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul bedobunk $n$ goly\'ot, amelyek a
$j$-ik urn\'aba $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek. Tekints\"uk
el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor bizonyos urn\'akat nem tudunk
megk\"ul\"onb\"oztetni egym\'ast\"ol, csak azt tudjuk megfigyelni,
hogy r\"ogz\'{\i}tve urn\'ak $k$ csoportj\'at, a goly\'ok az urn\'ak
melyik csoportj\'aba esnek. Illetve annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
is tudjuk, hogy az egyes goly\'ok az urn\'ak valamelyik csoportj\'aba
es\-nek. Ebben az eset\-ben alkalmazhatjuk a 2.~feladat
eredm\'eny\'et, amely megadja az egyes urnacsoportokba es\H{o} goly\'ok
sz\'am\'anak egy olyan f\"uggv\'eny\'et, amelynek van hat\'areloszl\'asa
$n\to\infty$ eset\'eben, \'es az a $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as. Ha meg
tudjuk figyelni az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at is,
\'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is ismerj\"uk, hogy a
goly\'ok az egyes urn\'akba esnek, akkor ebben az eset\-ben is
al\-kal\-maz\-hat\-juk a 2.~feladat eredm\'eny\'et. Ezen eredm\'eny
szerint az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak egy alkalmas
f\"uggv\'eny\'et v\'eve, annak  van hat\'areloszl\'asa, \'es az
$\chi^2$ eloszl\'as\'u. Ha ezt a k\'et statisztik\'at egyidej\H{u}leg
n\'ezz\"uk, akkor ezek egy\"uttes\'enek is van hat\'areloszl\'asa az
$n\to\infty$ eset\-ben, \'es ez az egy\"uttes eloszl\'as olyan, mint
ami\-lyet a 2.~feladat ut\'ani heurisztikus \'ervel\'es
su\-gall. Nevezetesen, a durv\'abb megfigyel\'eshez tartoz\'o
statisztika hat\'areloszl\'asa  meg\-egye\-zik $k-1$ f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
n\'egy\-zet\-\"ossze\-g\'e\-nek az eloszl\'as\'aval. Ha az egyes
urn\'akat is meg tudjuk k\"ul\"onb\"oztetni, \'es a durv\'abb
\'es pontosabb megfigyel\'esekhez tartoz\'o statisztik\'ak egy\"uttes
hat\'areloszl\'as\'at akarjuk megadni, akkor a durv\'abb
megfigyel\'eseken alapul\'o statisztika hat\'areloszl\'as\'at
le\'{\i}r\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz hoz\-z\'a kell
adni annyi f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a n\'egyzet\'et, amennyivel
a modell szabads\'agfoka n\H{o} a pontosabb megfigyel\'esek \'altal.
E k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes eloszl\'asa
adja meg a k\'et statisztika egy\"uttes hat\'areloszl\'as\'at.
Ezt az eredm\'enyt fogalmazzuk meg pontosabban a 4.~feladatban, a
$4.'$~feladat pedig a 4.~feladat eredm\'eny\'enek egy term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. 

\medskip
\item{4.)} Legyen adva urn\'aknak $k$ csoportja, \'es az urn\'ak
$j$-ik csoportj\'aban legyen $l_j$, $l_j\ge1$, urna, $1\le j\le k$.
Dobjunk le $n$ goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul az urn\'akba
\'ugy, hogy mindegyik goly\'o a $j$-ik csoport $s$-ik  urn\'aj\'aba
$p_{j,s}>0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik, \'es jel\"olje
$\nu_n(j,s)$ az ebbe az urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at, $1\le
j\le k$, $1\le s\le l_j$, $\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{l_j}p_{j,s}=1$.
Legyen tov\'abb\'a $p_j=\summ_{s=1}^{l_j}p_{j,s}$,
$\nu_n(j)=\summ_{s=1}^{l_j}\nu_n(j,s)$, $1\le j\le k$, azaz azon
goly\'ok sz\'ama, amelyek a $j$-ik csoportban lev\H{o} urn\'ak
valamelyik\'ebe esnek. Vezess\"uk be tov\'abb\'a az $L=\summ_{j=1}^k
l_j$ jel\"ol\'est, \'es tekints\"uk az
$U^{(0)}_n=\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{l_j}
\frac{(\nu_n(j,s)-np_{j,s})^2} {np_{j,s}}$ valamint az
$U^{(1)}_n=\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_{j})^2}
{np_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor a
2.~fel\-adat eredm\'enye alapj\'an tudjuk, hogy az $U^{(0)}_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a $\chi^2(L-1)$, az
$U^{(1)}_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok pedig a
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'ashoz konverg\'alnak, ha $n\to\infty$.
Az ebb\H{o}l a k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol
\'all\'o $(U^{(0)}_n, U^{(1)}_n)$ v\'eletlen vektornak is van
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon jellemezhet\H{o}:

\item{} Tekints\"unk $L-1$ f\"uggetlen $\xi_1,\dots,\xi_{L-1}$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, \'es tekints\"uk azt az $U=(U_0,U_1)$ v\'eletlen
vektort, amelynek az els\H{o} koordin\'at\'aja az \"osszes $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzet\"osszege, a
m\'asodik koordin\'ata pedig csak az els\H{o} $k-1$ $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzet\"osszege, azaz
$U_0=\summ_{j=1}^{L-1}\xi_j^2$, $U_1=\summ_{j=1}^{k-1}\xi_j^2$.
Ekkor az $(U^{(0)}_n, U^{(1)}_n)$ v\'eletlen vektorok az
$U=(U_0,U_1)$ v\'eletlen vektorhoz konverg\'alnak eloszl\'asban
$n\to\infty$ eset\'en.

\item{4.$'$)} Tekints\"uk az $\{1,\dots,k\}$ halmaz egym\'asba
skatuly\'azott $\Cal A_1 \supset\Cal A_2\supset\cdots\supset\Cal A_t$
partici\'oit, $\Cal A_j=\{A_{j,1},\dots, A_{j,l_j}\}$, $1\le j\le t$,
$\bigcupp_{s=1}^{l_j} A_{j,s}=\{1,\dots,k\}$, $A_{j,s}\cap
A_{j,s'}=\emptyset$, ha $1\le s, s'\le l_j$, \'es $s\neq s'$. (Az $\Cal
A_j\supset \Cal A_{j+1}$, $1\le j<t$, rel\'aci\'o azt jelenti, hogy
minden $A_{j+1,s}$, $1\le s\le l_{j+1}$, halmazhoz l\'etezik egy azt
tartalmaz\'o $A_{j,u}\supset A_{j+1,s}$, $1\le u\le l_j$ halmaz.)
Rendelj\"unk hozz\'a minden $1\le r\le k$ ponthoz va\-la\-mi\-lyen
$p_r>0$ s\'ulyt \'ugy, hogy $\summ_{r=1}^kp_r=1$, \'es rendelj\"uk
hozz\'a az $\Cal A_j$ partici\'o $A_{j,s}$ elem\'ehez a
$p_s^{(j)}=\summ_{r\in A_{j,s}} p_r$ s\'ulyt, $1\le j\le t$, $1\le
s\le l_j$. Dobjunk le $n$ goly\'ot $k$ urn\'aba egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_r$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az $r$-ik urn\'aba, $1\le r\le k$,
\'es jel\"olje $\nu_n(r)$ az $r$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok
sz\'am\'at. Az $\Cal A_j$ partici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'aljuk a $\nu_n^{(j)}(s)=\summ_{r\in A_{j,s}} \nu_n(r)$, $1\le
s\le l_j$, sz\'amokat, azaz sz\'amoljuk meg azt, hogy h\'any goly\'o
esik azon urn\'ak valamelyik\'ebe, amelyek indexei az $A_{j,s}$
halmazban vannak. Defini\'aljuk az
$U^{(n)}_j=\summ_{s=1}^{l_j}\frac{\(\nu_n^{(j)}(s)-np_s^{(j)}\)^2}
{np_s^{(j)}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le j\le
t$. Ekkor az $(U^{(n)}_1,\dots, U^{(n)}_t)$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy $(U_1,\dots,U_t)$ v\'eletlen
vektorhoz, ha $n\to\infty$, amelyet a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
defini\'alhatunk. Legyen $\xi_1,\dots,\xi_{k-1}$ $k-1$ darab 
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es 
$U_j=\summ_{s=1}^{l_j-1}\xi_s^2$, $1\le j\le t$.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat statisztikai je\-len\-t\H{o}\-s\'e\-ge az,
hogy seg\'{\i}t meg\'erteni azt, hogy a $\chi^2$ statisztika mi\'ert
jelenik meg ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon bizonyos statisztikai
feladatokban, amikor konfidencia tartom\'anyokat akarunk
konst\-ru\'al\-ni. 

Legyen adva $k$ urna, \'es dobjunk be ezekbe $n$
goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o $p_j$, $p_j>0$, $\summ_{j=1}^kp_j=1$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $1\le j\le k$. Ha
az egyes urn\'akba $m_j$, $1\le j\le k$, goly\'o esik, akkor a
term\'eszetes becsl\'es a $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a $\hat
p_j=\frac{m_j}n$ kifejez\'es, $1\le j\le k$. Ez egyben a $p_j$, $1\le
j\le k$, param\'eterek maximum likelihood becsl\'ese is. A
matematikai statisztika egyik fontos feladata konfidencia-tartom\'any
konst\-ruk\-ci\'o\-ja, amely jelen
esetben a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at jelenti. R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $0<u<1$ sz\'amot, \'es az $m_1,\dots,m_k$ megfigyel\'esek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel adjunk egy vi\-szony\-lag kis (v\'eletlen)
$U_n(m_1,\dots,m_k)$ tartom\'anyt \'ugy, hogy az igazi
$(p_1,\dots,p_k)$ param\'eterek $u$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vannak ebben az $U_n(m_1,\dots,m_k)$ tartom\'anyban, azaz form\'alisan,
$$
P\((p_1,\dots,p_k)\in U_n(m_1,\dots,m_k)\)=u.
$$
Az al\'abb ismertetend\H{o} 5.~feladat eredm\'enye a k\"ovetkez\H{o}
(aszimptotikus) m\'odszert su\-gall\-ja ezen k\'erd\'es
megold\'as\'ara: Adva egy $0<u<1$  sz\'am, defini\'aljuk azt az
$x=x(u)$ sz\'amot, amelyre egy $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u $\zeta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora $P(\zeta<2x)=u$.
Ezut\'an defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} (v\'eletlen) $\bar
U_n(m_1,\dots,m_k)$ \'es $U_n(m_1,\dots,m_k)$ ellipszoidokat:
$$
\bar U_n(m_1,\dots,m_k)=\left\{(u_1,\dots,u_k)\:\sum_{j=1}^k
\frac{(m_j-nu_j)^2}{n\hat p_j}\le x\right\},
$$
(ebben a formul\'aban $n\hat p_j=m_j$, $1\le j\le k$), \'es
$$
U_n(m_1,\dots,m_k)= \bar U_n(m_1,\dots,m_k)\cap
\left\{(u_1,\dots,u_k)\:\summ_{j=1}^k u_j=1\right\}.
$$
Ekkor a 2.~feladat \'es al\'abb megfogalmazand\'o 5. feladat
eredm\'enye alapj\'an a
$$
\limm_{n\to\infty}P\((p_1,\dots,p_k)\in U_n(m_1,\dots,m_k)\)=u,
$$
rel\'aci\'o \'erv\'enyes, \'es a maximum likelihood m\'odszer ennek
a rel\'aci\'onak az alkalmaz\'as\'at sugallja, ha a
konfidenciatartom\'anyt akarjuk meghat\'arozni a fenti
probl\'em\'aban. \medskip
\item{5.)} Legyen adva $k$ urna, \'es dobjunk ezekbe $n$ goly\'ot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $1\le j\le k$,
$\summ_{j=1}^kp_j=1$. Jel\"olje $m_1,\dots,m_k$ az egyes urn\'akba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at, $\summ_{j=1}^k m_j=n$. Tekints\"uk a
likelihood f\"uggv\'eny $L_n(p_1,\dots,p_k,m_1,\dots,m_k)$
logaritmus\'at, $\summ_{j=1}^k p_j=1$, $\summ_{j=1}^km_j=n$,
$p_j\ge0$, $m_j\ge0$, $1\le j\le k$, azaz tekints\"uk azon esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az egyes urn\'akba $m_1,\dots,m_k$
goly\'o esik abban az esetben, ha annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a goly\'ok a megfelel\H{o} urn\'aba esnek az $p_1,\dots,p_k$
sz\'amokkal egyenl\H{o}ek, majd vegy\"uk ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a logaritmus\'at. Ekkor
$$
L_n(p_1,\dots,p_k,m_1,\dots,m_k)=\log\frac{n!}{m_1!\cdots
m_k!}+\summ_{j=1}^k m_j\log p_j,
$$
\'es az $L_n(p_1,\dots,p_k,m_1,\dots,m_k)$ f\"uggv\'eny maximuma
r\"ogz\'{\i}tett $m_1,\dots,m_k$ sz\'a\-mok\-ra a $p_j=\hat
p_j=\frac{m_j}n$, $1\le j\le k$, pontban v\'etetik fel. Azaz ez a
$p_1,\dots,p_k$ para\-m\'e\-te\-rek maximum likelihood becsl\'ese.
Tekints\"uk a maximum likelihood f\"ugg\-v\'eny loga\-rit\-mu\-s\'a\-nak
k\"ul\"onbs\'eg\'et a becs\"ult $\hat p_j=\frac{m_j}n$, $1\le j\le k$,
\'es a val\'odi $p_1,\dots,p_k$ param\'eterek k\"oz\"ott, azaz
vegy\"uk az
$$
\align
&B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)\\
&\qquad=L_n\(\frac{m_1}n,\dots,\frac{m_k}n,m_1,\dots,m_k\)
-L_n\(p_1,\dots,p_k,m_1,\dots,m_k\)
\endalign
$$
k\"ul\"onbs\'eget. Ez a k\"ul\"onbs\'eg a
$\(\frac{m_1}n,\dots,\frac{m_k}n\)$ \'es $(p_1,\dots,p_k)$
eloszl\'asok k\"oz\"otti $I$-divergencia szorozva $n$-nel, azaz
$$
B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)
=\left. nI\(\(\frac{m_1}n,\dots,\frac{m_k}n\)\right\|(p_1,\dots,p_k)\)
=n\sum_{j=1}^k\frac{m_j}n \log\frac{\frac{m_j}n}{p_j}.
$$
A $B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok aszimptotikusan megegyeznek a $\chi^2$ pr\'ob\'aban
szerepl\H{o} statisztik\'anak fel\'evel. Ez azt jelenti, hogy ha a
$$
C_n(m_1,\dots,m_k)=\summ_{j=1}^k\frac{(m_j-np_j)^2}{np_j}
$$
statisztik\'at tekintj\"uk, akkor $\frac12C_n(m_1,\dots,m_k)-
B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k} (m_1,\dots,m_k)\Rightarrow0$ az $n\to\infty$
esetben, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol.
\item{} Igaz ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a k\"ovetkez\H{o}
v\'altozata is: A fenti \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyben marad, ha a
$C_n((m_1,\dots,m_k)$ kifejez\'esben $np_j$-t az $n\hat
p_j=m_j$ sz\'ammal helyettes\'{\i}tj\"uk, azaz
$$
\frac12\bar C_n(m_1,\dots,m_k)-B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}
(m_1,\dots,m_k)\Rightarrow0,\quad \text{ha } n\to\infty,
$$
ahol
$$
\bar C_n(m_1,\dots,m_k)=\summ_{j=1}^k\frac{(m_j-np_j)^2}{m_j}.
$$

\medskip
Az 5.) feladatnak megfogalmazhatjuk az al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et.
Defini\'aljuk minden $(m_1,\dots,m_k)$ param\'eterre \'es $x$ sz\'amra
az al\'abbi  ellipszoidot.
$$
D((u_1,\dots,u_k)|m_1,\dots,m_k,x)=
\left\{(u_1,\dots,u_k)\colon\; \summ_{j=1}^k\frac{(m_j-nu_j)^2}{m_j}<x\right\}
$$
Ekkor a k\"ovetkez\H{o}t mondhatjuk. Dobjunk $n$ pontot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $k$ urna valamelyik\'abe, \'es legyen $p_j$, 
$1\le j\le k$, $\sum_{j=1}^k p_j=1$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy egy goly\'o a $j$-ik urn\'aba esik. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty}P((p_1,\dots,p_k)\in D((u_1,\dots,u_k)|m_1,\dots,m_k,x)
=1-F_k(x), \tag1
$$
ahol $F_k(x)$ a $k-1$ param\'eter\H{u} $\chi^2$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Ez azt jelenti, hogy ha az $n$ dob\'assz\'am nagy, \'es az egyes urn\'akba 
es\H{o} dob\'asok sz\'ama $m_1,\dots,m_k$, akkor ezen pontok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudtunk defini\'ali egy olyan v\'eletlen 
$D((u_1,\dots,u_k)|m_1,\dots,m_k,x)$ halmazt, amelyre teljes\"ul
az~(1) rel\'aci\'o. Ez a t\'eny hasznos, mind a statisztikai
ellen\H{o}rz\'esben mind a konfidencia tartom\'anyok konstrukci\'oj\'aban.


 
\vfill\eject
 
\beginsection Megold\'asok:

\item{1.)} A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, amelynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak. (Az $U$ m\'atrix is
fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix saj\'atvektorainak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre itt nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor standard norm\'alis eloszl\'as\'u. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{2.)} A t\"obbdimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an a
$$
\(\frac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{n p_1}},\dots,
\frac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt {np_k}}\)
$$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$ eset\'en
egy olyan $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, amelyre $\Var\eta_j=(1-p_j)$,
$E\eta_j=0$, $1\le j\le k$, \'es $\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$,
ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. Ez\'ert elegend\H{o} bel\'atni,
hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es a fenti
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorra a
$\summ_{j=1}^l\eta_j^2$ kifejez\'es $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mivel a
$\summ_{j=1}^k\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ehhez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz konverg\'alnak
eloszl\'asban.

\item{} Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk az
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le
k$, kovarianciam\'atrix\'at, amelyre $d_{j,j}=1-p_j$, $1\le j\le k$,
$d_{j,l}=-\sqrt {p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$, \'es
\'erts\"uk meg a $D$ kovarianciam\'atrixnak a szerkezet\'et. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy az $u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektor
saj\'atvektora a $D$ kovarianciam\'atrixnak nulla saj\'at\'ert\'ekkel
\'es emellett, ha egy $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor mer\H{o}leges erre
az $u$ vektorra, azaz $\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor az $x$
vektor a $D$ m\'atrixnak saj\'atvektora 1 saj\'at\'ert\'ekkel.

\item{} Val\'oban, tetsz\H{o}leges $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j} \sqrt{p_l} d_{j,l}=-\sqrt {p_j}\summ_{l\:l\neq j}
p_l=-\sqrt{ p_j}(1-p_j)=-\sqrt{ p_j}d_{j,j},
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k \sqrt{p_l}d_{j,l}=0$, \'es ez azt jelenti,
hogy az $u$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora  nulla
saj\'at\'ert\'ekkel. 

\item{} Ha $\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor
minden $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j}d_{j,l} x_l=-\sqrt{p_j} \summ_{l\:l\neq j}
\sqrt{p_l} x_l=\sqrt {p_j}\sqrt{p_j}x_j=p_jx_j,
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k d_{j,l} x_l=x_jp_j+x_j(1-p_j)=x_j$, \'es ez azt
jelenti, hogy az $x$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora egy
saj\'at\'ert\'ekkel.
 
\item{} Ez azt jelenti, hogy a $D$ kovariancia m\'atrixnak l\'etezik
egy nulla \'es $k-1$ 1 sa\-j\'at\-\'er\-t\'ek\-kel rendelkez\H{o}
ortogon\'alis saj\'atvektora. Val\'oban, az
$u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektor \'es a r\'a mer\H{o}leges
alt\'er tetsz\H{o}leges $k-1$ vektorb\'ol \'all\'o ortogon\'alis
b\'azisa alkalmas v\'alaszt\'as. Ez\'ert a bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik az els\H{o} feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l. Ekkor ugyanis a saj\'at\'ert\'ekek
rendszere az 1 sz\'amb\'ol  \'all $k-1$ multiplicit\'assal \'es a
nulla sz\'amb\'ol egy multiplicit\'assal.

\item{3.)} Vezess\"uk be a $Z_j=X_j-\sqrt{p_j}\summ_{l=1}^k\sqrt
{p_l}X_l$, $1\le l\le k$, \'es $U=\summ_{l=1}^k\sqrt {p_l}X_l$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $(Z_1,\dots,Z_k,U)$
$k+1$ dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor. Tov\'abb\'a, $EZ_jU=0$ minden $1\le j\le k$ sz\'amra, \'es
$EU^2=1$. Innen, \'es a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-b\'ol
k\"ovetkezik, hogy az $U=\summ_{l=1}^k\sqrt {p_l}X_l$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'o f\"uggetlen a $(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen
vektort\'ol. Tov\'abb\'a egyszer\H{u} algebrai sz\'amol\'as adja,
hogy $\summ_{j=1}^k Z^2_j= X_1^2+\cdots+X_k^2-\(\sqrt
{p_1}X_1+\cdots+\sqrt{p_k}X_k\)^2$. Ez\'ert a
bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez el\'eg megmutatni azt, hogy
$\summ_{j=1}^k Z^2_j$, $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Viszont egyszer\H{u}
sz\'amol\'as adja, hogy $EZ_j=0$, $EZ_j^2=1-p_j$, $1\le j\le k$,
$EZ_jZ_l=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$.
M\'asr\'eszt az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-ban bebizony\'{\i}tottuk (ez
volt a bizony\'{\i}t\'as l\'enyege), hogy egy ilyen kovariancia
m\'atrix\'u, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $(Z_1,\dots,Z_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorra a $\summ_{j=1}^k Z_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u.

\item{4.)} Tekints\"uk  a
$Z_{j,s,n}=\frac{\nu_n(j,s)-np_{j,s}}{\sqrt{n p_{j,s}}}$,
$1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$, illetve a a
$Z_{j,n}=\frac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}}$, $1\le j\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. A t\"obbdimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa
konverg\'al egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es alkalmas
kovarianci\'aj\'u $Z_{j,s}$, $1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$, \'es
$Z_j$, $1\le j\le k$, koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o
v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u vektorhoz. Innen k\"ovetkezik,
hogy az $(U^{(0)}_n,U^{(1)}_n)$ vektoroknak van hat\'areloszl\'asa.
Abb\'ol a c\'elb\'ol, hogy ezt a hat\'areloszl\'ast megadjuk,
el\H{o}sz\"or defini\'alunk olyan $Z_{j,s}$, \'es $Z_j$
koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o t\"obbdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektort, amelynek eloszl\'asa megegyezik a $Z_{j,s,n}$
\'es $Z_{j,n}$ koordin\'at\'aj\'u v\'eletlen vektorok
hat\'areloszl\'as\'aval.

\item{} Legyenek $X_{j,s}$, $1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$,
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel az
$$
X_j=\frac1{\sqrt{p_j}}\summ_{s=1}^{l_j}\sqrt{p_{j,s}}X_{j,s},\qquad
X=\summ_{j=1}^k\sqrt{p_j}X_j=\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{l_j}
\sqrt{p_{j,s}}X_{j,s},
$$
$$
Z_{j,s}=X_{j,s}-\sqrt{p_{j,s}}X,
$$
tov\'abb\'a a
$$
Z_j=\frac1{\sqrt{p_j}}\summ_{s=1}^{l_j}
\sqrt{p_{j,s}}Z_{j,s}=\frac1{\sqrt{p_j}}
\summ_{j=1}^{l_j}\sqrt{p_{j,k}}X_{j,k}-\frac{p_jX}{\sqrt{p_j}}
=X_j-\sqrt{p_j}X
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.

\item{} A $Z_{j,s}$, $1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$
koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o vektor eloszl\'asa megegyezik a
$Z_{j,s,n}=\frac{\nu_n(j,s)-np_{j,s}}{\sqrt {np_{j,s}}}$,
$1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$, koordin\'at\'akat tartalmaz\'o
v\'eletlen vektor hat\'areloszl\'as\'aval $n\to\infty$ eset\'en,
mert ez olyan norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, amelyre $EZ_{j,s}=0$,
$\Var Z_{j,s}=1-p_{j,s}$, $1\le j\le k$, $1\le s\le l_j$, \'es
$\Cov(Z_{j,s},Z_{j',s'})=-\sqrt{p_{j,s}p_{j',s'}}$, ha $1\le j,j'\le
k$, $1\le s\le l_j$, $1\le s'\le l_{j'}$, \'es $(j,s)\neq(j',s')$.
Tov\'abb\'a, ha ezeket a vektorokat kieg\'esz\'{\i}tj\"uk a $Z_j$,
$1\le j\le k$ koordin\'at\'akkal akkor ezen vektorok eloszl\'asa
megegyezik azon vektorok hat\'areloszl\'as\'aval $n\to\infty$
eset\'eben, amelyeket \'ugy kapunk, hogy a $Z_{j,s,n}$
koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o vektort kieg\'esz\'{\i}tj\"uk a
$Z_{j,n}$, $1\le j\le k$ koordin\'at\'akkal. Ehhez el\'eg
\'eszrevenni, hogy $Z_{j,n}=\frac1{\sqrt{p_j}}\summ_{s=1}^{l_j}
\sqrt{p_{j,s}}Z_{j,s,n}$, \'es hasonl\'o rel\'aci\'o \'erv\'enyes a
$Z_j$ \'es $Z_{j,s}$ vektorokra is.

\item{} A fentiek alapj\'an az $(U_n^{(0)},U^{(1)}_n)$ vektorok
hat\'areloszl\'asa megegyezik 
az $U^{(0)}=\sum\limits_{j=1}^k\sum\limits_{s=1}^{l_j}Z^2_{j,s}$ \'es
$U^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^kZ^2_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o $(U^{(0)},U^{(1)})$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval.

\item{} Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy $\summ_{s=1}^{l_j}Z_{j,s}^2-Z_j^2=
\summ_{s=1}^{l_j}X_{j,s}^2-X_j^2$ minden $1\le j\le k$ sz\'amra.
Val\'oban, $\summ_{s=1}^{l_j}Z_{j,s}^2=
\summ_{s=1}^{k_j}\(X_{j,s}-\sqrt{p_{j,s}}X\)^2=
\summ_{s=1}^{l_j}X_{j,s}^2+p_jX^2-2\sqrt{p_j}XX_j$, \'es
$Z_j^2=X_j^2 +p_jX^2-2\sqrt{p_j}XX_j$. E k\'et azonoss\'agot kivonva
egym\'asb\'ol kapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

\item{} Vezess\"uk be a $V_j=\summ_{s=1}^{l_j}Z_{j,s}^2-Z_j^2$, $1\le
j\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. A fenti
azonoss\'agb\'ol \'es a 3. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a $(V_j,X_j)$ vektor koordin\'at\'ai f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol, $V_j$ $\chi^2(l_j-1)$, $X_j$ pedig standard norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o minden 
$1\le j\le k$ indexre. Val\'oban, r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $1\le j\le k$ 
indexet, vezess\"uk be a $q_s=\frac{p_{j,s}}{p_j}$ sz\'amokat, \'es 
haszn\'aljuk fel a 
$\summ_{s=1}^{l_j}Z_{j,s}^2-Z_j^2=\summ_{s=1}^{l_j}X_{j,s}^2-X_j^2$ 
azonoss\'agot. Ekkor $X_j=\sum\limits_{s=1}^{l_j}\sqrt{q_s}X_{j,s}$, \'es
bevezetve az $Y_{j,s}=X_{j,s}-\sqrt{q_s}X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, fel\'{\i}rhatjuk, hogy 
$\sum\limits_{s=1}^{l_j}Y_{j,s}^2
=\sum\limits_{s=1}^{l_j}X_{j,s}^2-X_j^2$. Ez\'ert a 3.) fel\-adat eredm\'enye
a benne szerepl\H{o} v\'altoz\'ok alkalmas v\'alaszt\'as\'aval megadja
a k\'{\i}v\'ant eredem\'enyt.

\item{} Tov\'abb\'a a $(V_j,X_j)$, $1\le j\le k$, vektorok
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol, mert a $(V_j,X_j)$ vektor az $X_{j,s}$,
$1\le s\le l_j$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enye.
Vegy\"uk tov\'abb\'a \'eszre, hogy a $V=\summ_{j=1}^k X_j^2-X^2$
vektorra $V=\summ_{j=1}^kZ_j^2$, (mellesleg  a $V$ vektor f\"uggetlen
az $X$ vektort\'ol, de erre a t\'enyre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk),
\'es $V$ $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u vektor. Tov\'abb\'a a
konst\-ruk\-ci\'o szerkezet\'eb\H{o}l \'es a $V_j$, $X_j$, $1\le j\le
k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a $V_j$, $1\le j\le k$, \'es $V$ v\'eletlen
vektorok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Ez\'ert a $V$ \'es
$\summ_{j=1}^kV_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlenek $\chi^2(k-1)$ \'es $\chi^2(L-k)$
eloszl\'assal. Ezenk\'{\i}v\"ul az $U=(U_0,U_1)$ v\'eletlen vektor
megegyezik a $\(V+\summ_{j=1}^kV_j,V\)$ vektorral. Innen k\"ovetkezik 
a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A bizony\'{\i}t\'as m\'odszere jobban
\'erthet\H{o}, ha felid\'ezz\"uk azt, hogy az egyes urn\'akba es\H{o}
pontok sz\'am\'anak alkalmas normaliz\'altjainak hat\'areloszl\'asa
kifejezhet\H{o} mint egy Brown bridge n\"ovekm\'enyeinek az
eloszl\'asa alkalmas intervallumokon. Tov\'abb\'a egy Brown bridge-t
el\H{o} lehet \'all\'{\i}tani, $B(t)=W(t)-tW(1)$ alakban, ahol $W(t)$,
$0\le t\le1$, Wiener folyamat, \'es Wiener folyamattal egyszer\H{u}bb
sz\'amolni mint Brown bridge-zsel, mert az f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat. A bizony\'{\i}t\'asban sze\-rep\-l\H{o}
konstrukci\'o h\'atter\'eben ez az \'eszrev\'etel \'all. Jegyezz\"uk
meg, hogy ha a Brown bridge-t $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le1$, alakban
reprezent\'aljuk egy Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel, akkor ez a
$B(\cdot)$ Brown bridge f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol. Ez t\'eny felel meg a 3.~feladat
\'all\'{\i}t\'as\'anak az $X_1^2+\cdots+X_k^2-\(\sqrt
{p_1}X_1+\cdots+\sqrt{p_k}X_k\)^2$ \'es $\summ_{j=1}^k\sqrt{p_j}X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l.

\medskip
\item{4.$'$)} El\H{o}sz\"or konstru\'alunk olyan $Z^{(j)}_s$, $1\le
j\le t$, $1\le s\le l_j$ koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektort, amelynek eloszl\'asa a
$Z^{(j)}_{n,s}=\frac{\nu_n^{(j)}(s)-np^{(j)}_s}{\sqrt{np^{(j)}_s}}$,
$1\le j\le t$, $1\le s\le l_j$ koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o v\'eletlen
vektoroknak, hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ esetben, \'es amelyekkel
viszonylag egyszer\H{u} sz\'amolni. Ennek \'erdek\'eben tekints\"unk
$X_r$, $1\le r\le k$, f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es defini\'aljuk
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel az
$$
\align
X^{(j)}_s&=\frac1{\sqrt{p^{(j)}_s}}\summ_{r\:r\in A_{j,s}}\sqrt{p_r}
X_r, \qquad 1\le j\le t,\quad 1\le s\le l_j, \\
X&=\summ_{s=1}^{l_j}\sqrt{p^{(j)}_s}X^{(j)}_s=\summ_{r=1}^k\sqrt{p_r}
X_r,\\
Z^{(j)}_s&=X^{(j)}_s-\sqrt{p^{(j)}_s}X, \qquad 1\le j\le t,\quad 1\le
s\le l_j,
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Jegyezz\"uk meg, hogy az
$X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja
korrekt volt, azaz $X$ val\'oban nem f\"ugg az els\H{o}
fel\'{\i}r\'as\'aban szerepl\H{o} $j$ indext\H{o}l. Tov\'abb\'a
minden $1\le j'\le j\le t$ \'es $1\le s\le l_{j'}$ sz\'amp\'arra
\'erv\'enyes az al\'abbi azonoss\'ag:
$$
Z^{(j')}_s=\frac1{\sqrt{p^{(j')}_s}}\summ_{u\:A_{j,u}\subset A_{j',s}}
\sqrt{p^{(j)}_u}Z^{(j)}_u.
$$

\item{} Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy a fent defini\'alt
$Z^{(j)}_s$, $1\le j\le t$, $1\le s\le l_j$, koordin\'at\'akb\'ol
\'all\'o v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik a $Z^{(j)}_{n,s}$
$1\le j\le t$, $1\le s\le l_j$, koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o
v\'eletlen vektorok hat\'areloszl\'as\'aval, ha $n\to\infty$. Ennek
megmutat\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk el\H{o}sz\"or a
legfinomabb partici\'ot, azaz a $j=t$ esetet \'es vegy\"uk \'eszre,
hogy mivel $EZ^{(t)}_s=0$, $\Var Z^{(t)}_s=1-p^{(t)}_s$,  $1\le s\le
l_t$, $\Cov(Z^{(t)}_s Z^{(t)}_{s'})=-\sqrt{p^{(t)}_s p^{(t)}_{s'}}$,
ha $1\le s, s'\le l_t$, \'es  $s\neq s'$, ez\'ert a a $Z^{(t)}_{n,s}$,
$1\le s\le l_t$, koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak a $Z^{(t)}_s$, $1\le s\le l_t$,
vektorokb\'ol \'all\'o v\'eletlen vektorhoz, ha $n\to\infty$. Mivel
$$
Z^{(j)}_{n,s}=\frac1{\sqrt{p^{(j)}_s}}\summ_{u\:A_{t,u}\subset
A_{j,s}} \sqrt{p^{(t)}_u}Z^{(j)}_{n,u},
$$
minden $1\le j\le t$ \'es $1\le s\le l_j$ sz\'amra, \'es hasonl\'o
rel\'aci\'o \'erv\'enyes a $Z^{(j)}_s$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra, ez\'ert az el\H{o}z\H{o} \'all\'{\i}t\'asb\'ol
k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant hat\'areloszl\'as \'erv\'enyess\'ege.

\item{} A 4. feladatban v\'egrehajtott sz\'amol\'ashoz hasonl\'oan
kapjuk, hogy minden $1<j\le t$, \'es $1\le s\le l_{j-1}$ sz\'amokra
\'erv\'enyes a
$$
\align
V_{j-1,s}&=\summ_{r\: A_{j,r}\subset
A_{j-1,s}}{Z^{(j)}_r}^2-{Z^{(j-1)}_s}^2=
\summ_{r\: A_{j,r}\subset A_{j-1,s}}{X^{(j)}_r}^2-{X^{(j-1)}_s}^2\\
&=\summ_{r\: A_{j,r}\subset A_{j-1,s}}
\(X^{(j)}_r-\frac{\sqrt{p_r^{(j)}}}{\sqrt{p_s^{(j-1)}}}
X^{(j-1)}_s\)^2
\endalign
$$
azonoss\'ag. Tov\'abb\'a, $EX^{(j-1)}_s\(X^{(j)}_r
-\frac{\sqrt{p_r^{(j)}}}{\sqrt{p_s^{(j-1)}}}X^{(j-1)}_s\)=0$
minden $1\le s\le l_{j-1}$ sz\'amra \'es olyan $r$ indexre, amelyre
$A_{j,r}\subset A_{j-1,s}$. Ez\'ert a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy az $X^{(j-1)}_s$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o f\"uggetlen az
$\(X^{(j)}_r-\frac{\sqrt{p_r^{(j)}}}{\sqrt{p_s^{(j-1)}}}
X^{(j-1)}_s,\;r\in A_{j-1,s}\)$ v\'eletlen vektort\'ol. Innen, \'es
a $V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\'oj\'ab\'ol k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az $X^{(j-1)}_s$ \'es
$V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol. To\-v\'ab\-b\'a, mivel az $X^{(j-1)}_s$ \'es
$V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kifejezhet\H{o}ek
mint azon $X_u$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyei,
amelyekre $u\in A_{j-1,s}$, ez\'ert az $(X^{(j-1)}_s,V_{j-1},s)$,
$1\le s\le l_{j-1}$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek. A fenti
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik, hogy az $X^{(j-1)}_s$,
$V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$1\le s\le l_{j-1}$, f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.

\item{} Vezess\"uk be az $U_j=\summ_{s=1}^{l_j}{Z^{(j)}_s}^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le j\le t$. A
$V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
bebizony\'{\i}tott azo\-nos\-s\'a\-go\-kat \"osszeadva kapjuk, hogy
$U_j-U_{j-1}=\summ_{s=1}^{l_{j-1}}V_{j-1,s}$. A $V_{j-1,s}$,
$1\le s\le l_{j-1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, tov\'abb\'a a 3.~feladat eredm\'enye szerint
$V_{j-1,s}$ $\chi^2(m(j-1,s)-1)$ eloszl\'as\'u, ahol $m(j-1,s)$
az $A_{j-1,s}$ halmaz sz\'amoss\'ag\'at jel\"oli. Ez\'ert
$U_j-U_{j-1}$ $\chi^2(l_j-l_{j-1})$ eloszl\'as\'u. Tov\'abb\'a az
el\H{o}z\H{o} paragrafusban bizony\'{\i}tott f\"uggetlens\'egi
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy az $U_j-U_{j-1}
=\summ_{s=1}^{l_{j-1}}V_{j-1,s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o minden $1<j\le t$ sz\'amra f\"uggetlen az
$\left\{X^{(j-1)}_s,\;1\le s\le l_{j-1}\right\}$ v\'eletlen
vektort\'ol. Ezek az \'all\'{\i}t\'asok a $j=1$ esetben is igazak,
ha az $U_0=0$ \'es $l_0=1$ definici\'ot alkalmazzuk. (A $j=1$
esetben az $X$ vektor j\'atszhatja az $U_1-U_0$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen vektorok
rendszer\'et, de erre az \'eszrev\'etelre nincs sz\"uks\'eg\"unk.)

\item{} Az $U_m-U_{m-1}$, $1\le m<j$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok az $\left\{X^{(j-1)}_s,\;1\le s\le l_j\right\}$
v\'eletlen vektor f\"uggv\'enyek\'ent is kifejezhet\H{o}ek. Ez\'ert
az $U_j-U_{j-1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen
az $\{U_m-U_{m-1},\; 1\le m\le j-1\}$ v\'eletlen vektort\'ol. A fenti
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol kapjuk, hogy az $U_j-U_{j-1}$, $1\le j\le t$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol,
\'es $\chi^2(l_j-l_{j-1})$ eloszl\'as\'uak. Innen, \'es a $U_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\item{5.)} Ha a goly\'ok az egyes urn\'akba $p_1,\dots,p_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esnek, akkor annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az els\H{o} urn\'aba $m_1$
a m\'asodik urn\'aba $m_2$,\dots, a $k$-ik urn\'aba $m_k$ goly\'o esik
$\frac{n!}{m_1!\cdots m_k!}p_1^{m_1}\cdots p_k^{m_k}$. Innen
egyszer\H{u} sz\'amol\'assal kapjuk az
$$
L_n(p_1,\dots,p_k,m_1,\dots,m_k)
$$
f\"uggv\'enyre fel\'{\i}rt kifejez\'est. Ennek
sz\'els\H{o}\'ert\'ek\'et r\"ogz\'{\i}tett $m_1,\dots,m_k$
\'ert\'ekek ese\-t\'en a Lagrange f\'ele multiplik\'ator m\'odszer
seg\'{\i}ts\'eg\'evel (A $\summ_{j=1}^kp_j=1$ felt\'etel miatt
\'erdemes alkalmazni a Lagrange f\'ele multiplik\'ator m\'odszert)
a k\"ovetkez\H{o} egyen\-let\-rend\-szer seg\'{\i}ts\'eg\'evel
hat\'arozhatjuk meg: A Lagrange f\'ele multiplik\'ator m\'odszer
szerint a $\sum\limits_{j=1}^k m_j\log p_j-\lambda(p_1+\cdots+p_k)$
f\"uggv\'eny parci\'alis deriv\'altjai a $_j$ v\'altoz\'o szerint
nulla, \'es a $k+1$-ik egyenlet a $p_1+\cdots+p_k=1$ rel\'aci\'o.

\item{}Innen $\frac{m_j}{\hat p_j}-\lambda=0$, $1\le j\le k$. Az 
$m_j=\lambda p_j$ egyenleteket \"osszeadva kapjuk hogy $\lambda=n$, 
ahonnan $\hat p_j=\frac{m_j}n$, $1\le j\le k$, a maximum likelihood 
becsl\'es a $p_1,\dots,p_k$ param\'eterekre. Innen egyszer\H{u} 
sz\'amol\'assal kapjuk a $B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)$ 
kifejez\'esre megadott formul\'at. A $B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)$ 
kifejez\'es aszimptotk\'ajanak meghat\'aroz\'asa \'er\-de\-k\'e\-ben 
\'{\i}rjuk fel a Taylor sorfejt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
n\frac{m_j}n\log\frac{\frac{m_j}n}{p_j}&=
-n\frac{m_j}n\log\(1+\frac{p_j-\frac{m_j}n}{\frac{m_j}n}\)\\
&=-n\(p_j-\frac{m_j}n\)+\frac12\frac{(m_j-np_j)^2}{n\frac{m_j}n}
+\e_j(n)\\
&=-n\(p_j-\frac{m_j}n\)+\frac12\frac{(m_j-np_j)^2}{np_j}+\bar\e_j(n)
\endalign
$$
minden $1\le j\le k$ sz\'amra, ahol $\e_j(n)\Rightarrow0$,
$\bar\e_j(n)\Rightarrow0$, ha $n\to\infty$, \'es $\Rightarrow$
szto\-chasz\-ti\-kus konvergenci\'at jel\"ol. Az $\e_j(n)\Rightarrow0$
\"osszef\"ugg\'es az\'ert teljes\"ul, mert felhaszn\'alva azt, hogy
az $\(\frac{m_j}n-p_j\)^3n^{3/2}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sztochasztikusan korl\'atos kapjuk, hogy a fenti Taylor
sorban a harmadik tag hozad\'eka elhanyagolhat\'oan kicsi. Az itt
haszn\'alt \'ervel\'esekben felhaszn\'aljuk, hogy a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel szerint 
$\frac{m_j-np_j}{\sqrt{np_j(1-p_j)}}$ eloszl\'asban konverg\'al a 
standard norm\'alis eloszl\'ashoz. Ezut\'an az 
$\frac{m_j}{np_j}\Rightarrow1$ rel\'aci\'o \'es az
$\frac{(m_j-np_j)^2}{n\frac{m_j}n}$ kifejez\'es sztochasztikus
korl\'atoss\'aga miatt a fenti aszimptotik\'aban a m\'asodik
sorozat helyettes\'{\i}thet\H{o} a harmadik sorral.

\item{} A fenti rel\'aci\'okat \"osszegezve minden $j=1,\dots,k$-ra
kapjuk, hogy, \'erv\'enyes a
$$
\align
B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k}(m_1,\dots,m_k)
&=-n\summ_{j=1}^k\(p_j-\frac{m_j}n\)+\frac12\summ_{j=1}^k
\frac{(m_j-np_j)^2}{np_j}+\e(n)\\
&=\frac12\summ_{j=1}^k \frac{(m_j-np_j)^2}{np_j}+\e(n)
\endalign
$$
rel\'aci\'o, ahol $\e(n)\Rightarrow0$, mivel $\summ_{j=1}^k
\(p_j-\frac{m_j}n\)=0$. Ez\'ert 
$$
\frac12C_n(m_1,\dots,m_k)-B^{(n)}_{p_1,\dots,p_k} (m_1,\dots,m_k)\Rightarrow0, 
\quad\text{ha } n\to\infty.
$$
Tov\'abb\'a, mivel minden $1\le j\le k$ sz\'amra
$\frac{m_j}n\Rightarrow p_j$, ha $n\to \infty$, \'es az
$\frac{(m_j-np_j)^2}{np_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan korl\'atosak ez\'ert
$$
C_n(m_1,\dots,m_k)-\bar C_n(m_1,\dots,m_k)\Rightarrow0, 
\quad\text{ha } n\to\infty.
$$ 
Innen k\"ovetkezik, hogy az utols\'o rel\'aci\'oban a
$C_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot 
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-het\-j\"uk a $\bar C_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval. Ezzel
bel\'attuk a 5.~feladat \"osszes \'all\'{\i}t\'as\'at.
 
 
\bye
 
 
 
 
\item{} Tekints\"unk $k-1$ ortogon\'alis
$x^{(j)}=\(x_1^{(j)},\dots,x_k^{(j)}\)$, $1\le j\le k-1$,
egys\'egvektort a $k$-dimenzi\'os t\'erben, amelyek mer\H{o}legesek
az $u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektorra is, azaz
$\summ_{l=1}^kx^{(j)}_l\sqrt{p_l}=0$ minden $1\le j\le k-1$
sz\'amra, \'es legyen $x^{(k)}=\(x_1^{(k)},\dots,x_k^{(k)}\)=
u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$. Ekkor az $x^{(j)}$ vektorok,
$1\le j\le k$, ortonorm\'alt b\'azis\'at alkotj\'ak a
$k$-dimenzi\'os t\'ernek, amelyek egyben a $D$ m\'atrix
saj\'atvektorai is $\lambda_j=1$, ha $1\le j\le k-1$, \'es
$\lambda_k=0$ saj\'at\'ert\'ekekkel. Defini\'aljuk az
$U=(u_{j,l})=\(x^{(j)}_l\)$, $1\le j,l\le k$ m\'atrixot \'es a
$\Lambda=\(\lambda_{j,k}\)$, $1\le j,l\le k$, diagon\'alis
m\'atrixot, amelyre $\lambda_{j,l}=0$, ha $j\neq l$, \'es
$\lambda_{j,j}=\lambda_j$ az $x^{(j)}$ vektor saj\'at\'ert\'eke,
azaz $\lambda_j=1$, ha $1\le j\le k-1$, \'es $\lambda_k=0$. Ekkor
$U$ unit\'er m\'atrix, \'es $D=U^*\Lambda U$. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a line\'aris algebra \'altal\'anos
eredm\'enyeib\H{o}l, de k\"ozvetlen\"ul is bel\'athatjuk a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon.

\item{} El\'eg megmutatni azt, hogy $x^{(j)}D{x^{(l)}}^*=
x^{(j)}U^*\Lambda U{x^{(l)}}^*$ minden $1\le j,l\le k$ indexre, mert
innen k\"ovetkezik, hogy  $xDy^*=xU^*\Lambda Uy^*$ minden $x$ \'es
$y$ $k$-dimenzi\'os vektorra. Viszont $x^{(j)}D{x^{(l)}}^*=\lambda_j
x^{(j)}{x^{(l)}}^*=\lambda_j\delta_{j,l}$, ahol $\delta_{j,l}=0$, ha
$j\neq l$, \'es $\delta_{j,l}=1$, ha $j=l$. M\'asr\'eszt, azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy az $x^{(j)}U^*\Lambda
U{x^{(l)}}^*=\lambda_j\delta_{j,l}$ azonoss\'ag is teljes\"ul.
Val\'oban az $x^{(j)}$ egys\'egvektorok ortogonalit\'as\'ab\'ol, \'es
az $U$ m\'atrix definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$x^{(j)}U^*=e_j$, ahol $e_j$ az az egys\'egvektor, amelynek a $j$-ik
koordin\'at\'aja 1, az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla. Innen
k\"ovetkezik, hogy $x^{(j)}U^*\Lambda U{x^{(l)}}^*=e_j\Lambda e_l^*
=\lambda_j\delta_{j,l}$.
\item{} Tekints\"uk az $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\eta U^*$ v\'eletlen vektort, ahol $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ az
el\H{o}bb tekintett norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D=U^*\Lambda U$ kovariancia
m\'atrix-szal. Ekkor $\bar\eta$ is norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, kovariancia m\'atrixa pedig $U
DU^*=UU^*\Lambda U U^*=\Lambda$. Mivel $U^*$ unit\'er m\'atrix
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2= \summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$, ez\'ert
elegend\H{o} ez ut\'obbi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at meghat\'arozni. De mivel $\bar\eta$ nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $\Lambda$
kovariancia m\'atrix-szal ez\'ert $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.


\bye

